Wer hat die Geschichte der Bruchzahlen erfunden? Geschichte der gemeinsamen Brüche

Dezimalbrüche tauchten im 3. Jahrhundert auf. Chr. im alten China, wo das Dezimalzahlensystem verwendet wurde. Chinesischer Mathematiker des 3. Jahrhunderts. Liu Hui empfahl die Verwendung von Brüchen mit einem Nenner von 10, 100 usw. beim Extrahieren Quadratwurzeln. Er meinte Herrschaft

das später häufig von vielen arabischen und europäischen Mathematikern verwendet wurde. Es war diese Regel, die zusammen mit einigen anderen Rechentechniken maßgeblich zur Einführung von Dezimalbrüchen in die Wissenschaft beitrug.

Im 15. Jahrhundert. Die vollständige Theorie der Dezimalbrüche wurde vom samarkandischen Astronomen Jemshid al-Kashi in der Abhandlung „Der Schlüssel zur Arithmetik“ (1427) entwickelt. Er erläuterte die Regeln für den Umgang mit Dezimalbrüchen. Möglicherweise wusste al-Kashi nicht, dass in China Dezimalbrüche verwendet wurden. Er selbst betrachtete sie als seine Erfindung. Es besteht kein Zweifel, dass die ständige Verwendung von Dezimalbrüchen und die Beschreibung der Regeln für den Umgang mit ihnen das direkte Verdienst des Wissenschaftlers ist. Aber seine Abhandlungen waren den europäischen Gelehrten nicht bekannt. Sie entwickelten unabhängig voneinander die Theorie der Dezimalbrüche.

Die Idee, ein solches Bruchsystem zu konstruieren, tauchte bereits im 13. Jahrhundert immer wieder in Arithmetiklehrbüchern auf. Jordanes Nemorarius schrieb darüber in seinem Aufsatz „Arithmetik, dargelegt in zehn Büchern“.

Der französische Wissenschaftler Francois Viet veröffentlichte 1579 in Paris sein Werk „Mathematischer Kanon“, in dem er trigonometrische Tabellen zitierte, in denen er Dezimalbrüche verwendete. Beim Schreiben von Dezimalbrüchen hielt er sich an keine bestimmte Methode: Manchmal trennte er den ganzzahligen Teil von der Bruchlinie, manchmal stellte er die Zahlen des ganzzahligen Teils fett dar, manchmal schrieb er die Zahlen des Bruchteils kleiner. Dank Vieta begannen Dezimalbrüche in wissenschaftliche Berechnungen einzudringen, fanden jedoch keinen Eingang in die alltägliche Praxis.

Der niederländische Wissenschaftler Simon Stevin war der Ansicht, dass in allen praktischen Berechnungen Dezimalbrüche verwendet werden sollten. Diesem widmete er sein Werk „Der Zehnte“ (1585), in dem er Dezimalbrüche einführte, Regeln für arithmetische Operationen mit ihnen entwickelte und ein Dezimalsystem aus Geldeinheiten, Maßen und Gewichten vorschlug.

„Tenth“ wurde in Europa schnell berühmt. Nachdem der Autor das Buch 1585 auf Flämisch veröffentlicht hatte, übersetzte er es noch im selben Jahr ins Französische, und 1601 erschien es auf Englisch.

Steven hat Brüche anders geschrieben als jetzt. Eine eingekreiste 0 wurde verwendet, um den Bruchteil anzuzeigen. Zum ersten Mal wurde 1592 ein Komma beim Schreiben von Brüchen verwendet. In England begann man, anstelle eines Kommas einen Punkt zu verwenden, in den USA wird er immer noch verwendet. Die Verwendung eines Kommas als Trennzeichen, ähnlich einem Punkt, wurde 1616–1617 vorgeschlagen. berühmter englischer Mathematiker John Napier. Der Astronom Johannes Kepler verwendete in seinen Werken den Dezimalpunkt.

In Russland wurde die Lehre der Dezimalbrüche erstmals von L.F. dargelegt. Magnitsky in seiner „Arithmetik“.

Der Text der Arbeit ist ohne Bilder und Formeln platziert.
Vollversion Die Arbeit ist im Reiter „Arbeitsdateien“ im PDF-Format verfügbar

Einführung

Das Studium der Brüche wird vom Leben selbst diktiert. Die Fähigkeit, verschiedene Berechnungen und Berechnungen durchzuführen, ist für jeden Menschen notwendig, da wir im Alltag auf Brüche stoßen. Ich wollte wissen, woher der Name dieser Nummern kommt; Wer diese Zahlen erfunden hat, ist das Thema „Brüche“, das wir in der Schule lernen, in meinem Leben notwendig.

Studienobjekt: Die Geschichte der gemeinsamen Brüche.

Gegenstand der Studie: gewöhnliche Brüche.

Hypothese: Könnte sich die Mathematik entwickeln, wenn es keine Brüche gäbe?

Ziel der Arbeit: Gestaltung im Mathematik-Klassenzimmer des Standes „Mathematik um uns herum“ Interessante Faktenüber Brüche.

Aufgaben:

Die Geschichte des Auftretens von Brüchen in der Mathematik studieren;

Wählen Sie die interessantesten Fakten über Brüche aus, die zum Zusammensetzen von Abschnitten des Standes verwendet werden können.

Richten Sie einen Stand im Mathe-Klassenzimmer ein.

Da wir in einer Umgebung voller Brüche leben, nehmen wir sie nicht immer deutlich wahr. Dennoch begegnet es uns sehr oft: zu Hause, auf der Straße, im Laden. Wenn wir morgens aufwachen, schauen wir auf den Wecker und treffen uns mit Brüchen. Beim Wiegen von Artikeln in einem Geschäft verwenden wir Brüche. Bei Messungen, bei der Bestimmung des Ladungsvolumens. Fraktionen umgeben uns überall. Mit Hilfe von Brüchen können wir Längen messen und das Ganze in Teile teilen. Aber wie kann man die Körpergröße einer Person oder den Abstand zwischen Objekten messen, ohne Brüche zu kennen? Rundherum - Brüche!

Relevanz: Modernes Leben macht Probleme mit Brüchen relevant, da sich der Umfang der praktischen Anwendung von Brüchen erweitert.

Forschungsmethoden:

1. Suchen Sie nach Informationen über Brüche in verschiedenen Quellen: im Internet, Fiktion, Lehrbücher.

2. Analyse, Vergleich, Verallgemeinerung und Systematisierung von Informationen.

1. Aus der Geschichte der gewöhnlichen Brüche

1.1. Die Entstehung von Brüchen

Um lebenswichtige praktische Probleme zu lösen, mussten die Menschen seit jeher Gegenstände zählen und Mengen abmessen, also die Frage „Wie viele?“ beantworten: Wie viele Schafe sind in der Herde, wie viele Maß Getreide werden gesammelt vom Feld entfernt, wie viele Meilen vom Kreiszentrum entfernt usw. So erschienen Zahlen. Es war nicht immer möglich, das Messergebnis oder den Warenwert auszudrücken natürliche Zahl. Wenn jemand neue Bruchzahlen erfinden musste, tauchten Brüche auf. In der Antike wurden ganze Zahlen und Bruchzahlen unterschiedlich behandelt: Die Präferenzen lagen auf der Seite der ganzen Zahlen. „Wenn du die Einheit teilen willst, werden dich die Mathematiker lächerlich machen und dir das nicht erlauben“, schrieb Platon, der Gründer der Athener Akademie.

In allen Zivilisationen entstand das Konzept eines Bruchteils aus dem Prozess der Aufspaltung des Ganzen in gleiche Teile. Der russische Begriff „Bruch“ stammt wie seine Gegenstücke in anderen Sprachen aus dem Lateinischen. „fractura“, was wiederum eine Übersetzung des arabischen Begriffs mit der gleichen Bedeutung ist: brechen, zerquetschen. Daher waren die ersten Brüche wahrscheinlich überall Brüche der Form 1/n. Die weitere Entwicklung geht natürlich dahin, diese Brüche als Einheiten zu betrachten, aus denen sich Brüche m/n – rationale Zahlen – zusammensetzen lassen. Dieser Weg wurde jedoch nicht von allen Zivilisationen beschritten: Beispielsweise wurde er in der altägyptischen Mathematik nie verwirklicht.

Der erste Bruchteil, den die Leute trafen, war die Hälfte. Obwohl die Namen aller folgenden Brüche mit den Namen ihrer Nenner verknüpft sind (drei – „Drittel“, vier – „Viertel“ usw.), ist dies bei der Hälfte nicht der Fall – ihr Name hat in allen Sprachen nichts was mit dem Wort „zwei“ zu tun hat.

Das System zum Aufzeichnen von Brüchen und die Regeln für die Arbeit mit ihnen unterschieden sich deutlich wie in verschiedene Völker, und zu unterschiedlichen Zeiten unter denselben Leuten. Wichtige Rolle Zahlreiche Anleihen von Ideen spielten auch bei kulturellen Kontakten verschiedener Zivilisationen eine Rolle.

1.2. Brüche in Rus

Im Russischen tauchte das Wort „Fraktion“ im 8. Jahrhundert auf, es kommt vom Verb „zerquetschen“ – brechen, in Stücke brechen. Die moderne Bezeichnung von Brüchen hat ihren Ursprung im alten Indien: Auch die Araber begannen, sie zu verwenden.

In alten Handbüchern finden wir die folgenden Namen von Brüchen in Rus:

Die slawische Nummerierung wurde in Russland bis zum 16. Jahrhundert verwendet, dann begann das dezimale Positionszahlensystem nach und nach in das Land einzudringen. Unter Peter I. ersetzte sie endgültig die slawische Nummerierung.

Als Landmaß wurde in Russland ein Viertel und ein kleineres - ein halbes Viertel - verwendet, das als Oktopus bezeichnet wurde. Dies waren spezifische Brüche, Einheiten zur Messung der Erdfläche, aber der Oktopus konnte weder Zeit noch Geschwindigkeit usw. messen. Viel später begann der Oktopus, einen abstrakten Bruch 1/8 zu bedeuten, der jeden ausdrücken kann Wert. Über die Verwendung von Brüchen in Russland im 17. Jahrhundert kann in V. Bellyustins Buch „Wie die Menschen nach und nach zur echten Arithmetik gelangten“ Folgendes nachgelesen werden: „In einem Manuskript des 17. Jahrhunderts. „Der Artikel über alle Anteile des Dekrets“ beginnt direkt mit der schriftlichen Bezeichnung von Brüchen und mit der Angabe von Zähler und Nenner. Bei der Aussprache von Brüchen sind folgende Besonderheiten interessant: Der vierte Teil wurde Viertel genannt, während Anteile mit einem Nenner von 5 bis 11 in Worten mit der Endung „ina“ ausgedrückt wurden, also 1/7 eine Woche, 1/5 ist eine Fünf, 1/10 ist ein Zehnter; Aktien mit Nennern größer als 10 wurden mit den Worten „Colts“ ausgesprochen, zum Beispiel 5/13 – fünf dreizehnte Lots. Die Nummerierung der Brüche wurde direkt aus westlichen Quellen übernommen. Der Zähler wurde als obere Zahl bezeichnet, der Nenner als untere Zahl.

1.3. Brüche in anderen Staaten der Antike

Alle Punkteregeln alte Ägypter basiert auf der Fähigkeit, Zahlen zu addieren und zu subtrahieren, zu verdoppeln und Brüche zu eins zu ergänzen. Für Brüche gab es spezielle Schreibweisen. Die Ägypter verwendeten Brüche der Form 1/n, wobei n eine natürliche Zahl ist. Solche Brüche heißen Aliquot. Anstatt m:n zu dividieren, multiplizierten sie manchmal m ∙ n.

Hierzu wurden spezielle Tische verwendet. Ich muss sagen, dass Aktionen mit Brüchen ein Merkmal der ägyptischen Arithmetik waren, in der sich die einfachsten Berechnungen manchmal in komplexe Probleme verwandelten. (Anhang 3)

Diese Tabelle half bei der Durchführung komplexer arithmetischer Berechnungen gemäß den anerkannten Regeln. Offenbar haben es die Schriftgelehrten auswendig gelernt, so wie sich Schulkinder heute das Einmaleins auswendig lernen. Mit Hilfe dieser Tabelle wurde auch die Division von Zahlen durchgeführt. Die Ägypter wussten auch, wie man Brüche multipliziert und dividiert. Aber für die Multiplikation musste man Brüche mit Brüchen multiplizieren und dann vielleicht noch einmal die Tabelle verwenden. Die Teilung war noch schwieriger.

Die Ägypter wussten bereits in der Antike, wie man zwei Äpfel in drei teilt: Für diese Zahl gab es sogar ein besonderes Abzeichen. Dies war übrigens der einzige Bruch im Alltag ägyptischer Schriftgelehrter, der keine Einheit im Zähler hatte – alle anderen Brüche hatten sicherlich 1 (die sogenannten Grundbrüche) im Zähler: 1/2, 1/ 3, 1/17, ... usw. Diese Einstellung gegenüber Brüchen war sehr lange vorhanden. Die Zivilisation des alten Ägypten ist bereits untergegangen, das einst grüne Land wurde vom Sand der Sahara verschluckt und die Fraktionen wurden alle in der Summe der Hauptfraktionen angelegt – bis hin zur Renaissance!

In China Fast alle arithmetischen Operationen mit gewöhnlichen Brüchen wurden im 2. Jahrhundert v. Chr. etabliert. Chr e.; Sie werden im grundlegenden Korpus des mathematischen Wissens des alten China beschrieben – „Mathematik in neun Büchern“, dessen letzte Ausgabe Zhang Tsang gehört. Die Berechnung basiert auf einer Regel, die dem Euklid-Algorithmus ähnelt (der größte gemeinsamer Teiler Zähler und Nenner), chinesische Mathematiker reduzierten Brüche. Die Multiplikation von Brüchen wurde als Ermittlung der Fläche eines rechteckigen Grundstücks dargestellt, dessen Länge und Breite in Bruchzahlen ausgedrückt werden. Die Division wurde unter Verwendung der Idee der Division in Betracht gezogen, während es chinesischen Mathematikern nicht peinlich war, dass die Anzahl der Teilnehmer an der Division gebrochen sein könnte, beispielsweise 3⅓ Personen.

Ursprünglich verwendeten die Chinesen die einfachsten Brüche, die mit der Bani-Hieroglyphe benannt wurden:

bani („halb“) -12;

Shao-Verbot („kleine Hälfte“) -13;

Tai Ban („große Hälfte“) -23. Das ist interessant Babylonier bevorzugten einen konstanten Nenner (gleich 60, weil ihr Zahlensystem offenbar sexagesimal war).

Römer Außerdem wurde nur ein Nenner verwendet, nämlich 12.

Die Weiterentwicklung des Konzepts eines gewöhnlichen Bruchs wurde in erreicht Indien. Den Mathematikern dieses Landes gelang es, schnell von Einheitsbrüchen zu Brüchen allgemeiner Form überzugehen. Zum ersten Mal finden sich solche Brüche in den „Regeln des Seils“ von Apastamba (VII-V Jahrhundert v. Chr.), die geometrische Konstruktionen und die Ergebnisse einiger Berechnungen enthalten. In Indien wurde ein Schriftsystem verwendet – möglicherweise chinesischen, möglicherweise spätgriechischen Ursprungs – bei dem der Zähler eines Bruchs über dem Nenner geschrieben wurde – wie bei uns, jedoch ohne Bruchstrich, sondern der ganze Bruch in a gesetzt wurde rechteckiger Rahmen.

Unterhaltsame Brüche

„Ohne die Kenntnis von Brüchen kann niemand als jemand gelten, der sich mit der Arithmetik auskennt!“ (Cicero)

Wenn Menschen Geld verwenden, stoßen sie immer auf Brüche: Im Mittelalter war 1 englischer Pence = 1/12 Schilling; derzeit ist der russische Kopek = 1/100 Rubel.

Messsysteme tragen Brüche: 1 Zentimeter = 1/10 Dezimeter = 1/100 Meter.

Brüche waren zu jeder Zeit in Mode. Der Stil mit Dreiviertelärmeln ist immer relevant. Und eine 7/8-Cropped-Hose ist ein tolles Kleidungsstück.

Sie können Brüche treffen in verschiedenen Unterrichtseinheiten. Zum Beispiel in der Geographie: „Während der Existenz der UdSSR besetzte Russland ein Sechstel des Landes. Jetzt besetzt Russland ein Neuntel des Landes. IN Bildende Kunst- bei der Darstellung einer menschlichen Figur. In der Musik – der Rhythmus, die Größe eines Musikstücks.

Der Mensch begegnet dem Wort „Fraktion“ im Leben:

Kleine Bleikugeln zum Schießen mit einem Jagdgewehr - Schrot.

Häufige, intermittierende Geräusche – Trommeln.

In der Marine hat das Team „geschossen!“ - Waffenstillstand.

Hausnummerierung. Die Zahl durch den Bruch wird an den nummerierten Häusern entlang zweier sich kreuzender Straßen platziert.

Im Tanz erschossen. Der russische Volkstanz ist ohne Brüche und Laufen nicht vorstellbar.

Einen Bruchteil mit den Zähnen ausschlagen – mit den Zähnen klopfen (Frösteln vor Kälte, Angst).

In der Fiktion. Deniska, die Heldin von Viktor Dragunskys Geschichte „Man muss Sinn für Humor haben“, stellte seiner Freundin Mischka einmal ein Problem: Wie teilt man zwei Äpfel gleichmäßig in drei? Und als Mischka schließlich aufgab, verkündete er triumphierend die Antwort: „Kompott kochen!“ Bear und Denis hatten noch keine Brüche durchgemacht und wussten sicher, dass 2 durch 3 nicht teilbar ist?

Streng genommen handelt es sich bei „Kompott kochen“ um Aktionen mit Brüchen. Schneiden wir die Äpfel in Stücke und addieren und subtrahieren, multiplizieren und dividieren wir die Mengen dieser Stücke – wer hält uns auf? .. Es ist uns nur wichtig, uns daran zu erinnern, wie viele kleine Stücke einen ganzen Apfel ergeben ...

Aber das ist nicht die einzige Lösung für dieses Problem! Es ist notwendig, jeden Apfel in drei Teile zu teilen und zwei solcher Teile auf alle drei zu verteilen.

Viele Jahrhunderte lang wurde in den Sprachen der Völker ein Bruch als gebrochene Zahl bezeichnet. Beispielsweise müssen Sie etwas zu gleichen Teilen teilen, zum Beispiel eine Süßigkeit, einen Apfel, ein Stück Zucker usw. Dazu muss ein Stück Zucker in zwei gleiche Hälften geteilt oder gebrochen werden. Das Gleiche gilt auch für Zahlen: Um eine Hälfte zu erhalten, muss man eine Einheit in zwei Teile teilen oder „brechen“. Daher der Name „kaputte“ Zahlen.

Es gibt drei Arten von Brüchen:

Einzelwerte (Aliquots) oder Bruchteile (z. B. 1/2, 1/3, 1/4 usw.).

Systematische Brüche, d. h. Brüche, bei denen der Nenner durch eine Potenz einer Zahl ausgedrückt wird (z. B. eine Potenz von 10 oder 60 usw.).

Gesamtansicht, dessen Zähler und Nenner eine beliebige Zahl sein kann.

Es gibt Brüche „falsch“ – falsch und „echt“ – richtig.

Bruch in der Mathematik- Präsentationsform mathematische Größen Verwendung der Divisionsoperation, die ursprünglich das Konzept nicht ganzzahliger Zahlen oder Brüche widerspiegelt. Im einfachsten Fall ist ein Zahlenbruch das Verhältnis zweier Zahlen.

m:n=m/N

Im Bruchteil M/ n (sprich: „em n“) Zahl M oberhalb der Linie wird als Zähler bezeichnet, und die Zahl n unterhalb der Linie wird als Nenner bezeichnet. Der Nenner gibt an, in wie viele gleiche Teile das Ganze geteilt wurde, und der Zähler gibt an, wie viele solcher Teile genommen wurden. Der Bruchstrich kann als Teilungszeichen verstanden werden.

Der erste europäische Wissenschaftler, der begann, die moderne Aufzeichnung von Brüchen zu nutzen und zu verbreiten, war ein italienischer Kaufmann und Reisender, der Sohn des Stadtschreibers Fibbonacci (Leonardo von Pisa).

Im Jahr 1202 führte er das Wort „Bruch“ ein.

Die Namen Zähler und Nenner wurden im 13. Jahrhundert von Maxim Planud, einem griechischen Mönch, Wissenschaftler und Mathematiker, eingeführt.

Das moderne System zum Schreiben von Brüchen wurde in Indien entwickelt. Nur dort schrieben sie oben den Nenner und unten den Zähler und schrieben keine Bruchzeile. Und Brüche aufschreiben, wie die Araber jetzt begonnen haben. Aktionen mit Brüchen galten im Mittelalter als das schwierigste Gebiet der Mathematik. Bisher sagen die Deutschen über einen Menschen, der sich in einer schwierigen Situation befindet, dass er „in Brüche gefallen“ sei.

Auch in der Musik spielten gewöhnliche Brüche eine Rolle. Und nun wird in einer bestimmten musikalischen Notation eine lange Note – ein Ganzes – in Hälften (halb so kurz), Viertel, Sechzehntel und Dreißigsekunden geteilt. Somit wird das rhythmische Muster jedes Musikstücks, egal wie komplex es auch sein mag, durch gewöhnliche Brüche bestimmt. Es stellte sich heraus, dass Harmonie eng mit Brüchen verbunden war, was die Grundidee der Europäer bestätigte: „Zahl regiert die Welt.“

„Ein Mensch ist wie ein Bruch: Der Zähler ist er selbst und der Nenner ist das, was er über sich selbst denkt. Je größer der Nenner, desto kleiner der Bruch“ (L.N. Tolstoi).

Hauptergebnisse der Studie

Die Bruchlehre galt zu allen Zeiten und bei allen Völkern als der schwierigste Teil der Mathematik. Wer sich mit Brüchen auskannte, genoss hohes Ansehen. Autor einer altslawischen Handschrift aus dem 15. Jahrhundert. schreibt: „Es ist nicht verwunderlich, dass ... im Großen und Ganzen, aber es ist lobenswert, dass in Teilen ...“.

Während der Arbeit habe ich viel Neues und Interessantes gelernt. Ich habe viele Bücher und Abschnitte aus Enzyklopädien gelesen. Ich lernte die ersten Brüche kennen, mit denen Menschen operierten, das Konzept einer aliquoten Fraktion und lernte für mich neue Namen von Wissenschaftlern kennen, die zur Entwicklung der Bruchlehre beigetragen haben. Im Laufe der Arbeit habe ich viele neue Dinge gelernt und ich denke, dass dieses Wissen für mein Studium nützlich sein wird.

Abschluss: Der Bedarf an Brüchen entstand bereits in einem sehr frühen Stadium der menschlichen Entwicklung. Im Leben musste ein Mensch nicht nur Gegenstände zählen, sondern auch Mengen messen. Menschen maßen Längen, Landflächen, Volumina, Körpermassen und die Zeit und leisteten Zahlungen für gekaufte oder verkaufte Waren. Es war nicht immer möglich, das Messergebnis oder die Warenkosten in natürlichen Zahlen auszudrücken. So entstanden Brüche und die Regeln für ihren Umgang.

Praktische Bedeutung der Arbeit:

Ich beherrschte die Arbeit in einem Texteditor und arbeitete mit Internetressourcen. Ich habe das Material zur Dekoration im Mathematikunterricht des Standes „Mathematik um uns herum“ mit Wissenswertem über Brüche (Anhang 1) ausgewählt. Und einen Stand entworfen (Anhang).

Als Ergebnis der Studie Ich habe die Hypothese bestätigt: Auf Brüche konnte der Mensch nicht verzichten, auf Brüche konnte sich die Mathematik nicht entwickeln.

Referenzliste

Anishchenko EA Zahl als Grundkonzept der Mathematik. Mariupol, 2002.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathematik. Klasse 5: Lehrbuch für Bildungseinrichtungen / - 26. Aufl., Sr. - M.: Mnemosyne, 2009. - 280 S.

Geysir G.I. Geschichte der Mathematik in der Schule. Ein Leitfaden für Lehrer. - M.: Aufklärung, 1981. - 239 S.

Mathematik. Klasse 5: Lehrbuch für Allgemeinbildung. Institutionen. [CM. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Schewkin]. - 11. Aufl., überarbeitet. - M.: Bildung, 2016. - 272 S. - (MSU - Schule).

Mathematisches enzyklopädisches Wörterbuch. - M., 1988.

Elektronische Ressourcen für den Fernzugriff (Internet)

3. Material aus Wikipedia – der freien Enzyklopädie. Zugriffsmodus: http://ru.wikipedia.org/wiki

Zitate. Zugriffsmodus: http://citaty.socratify.net/lev-tolstoi/25013.

Anwendungen

Stand „Mathematik um uns herum“

Tabelle „Aufzeichnung von Brüchen in Ägypten“

» Artikel ««. Der Artikel ist eine Antwort auf die Frage unserer Leser: „Unser Kind interessiert sich für Mathematik.“ Was gibt es zum Thema „Brüche“ Interessantes, Nützliches, Ungewöhnliches, Entwickelndes zu bieten? Wir mögen keine in Stücke geschnittenen Kuchen.

Visuelle Symmetrie von Brüchen ist unsere Antwort. Im Allgemeinen ist Mathematik eine Wissenschaft. Es wurde ursprünglich als Wissenschaft entwickelt der höchste Grad konkret, real. Ihre Motive waren reale Objekte, Objekte, Dinge. Doch dann begann die Mathematik, beginnend mit Pythagoras und seinem berühmten Quadrat, ins Abstrakte zu gehen. Das heißt, es hat keinen Bezug zur realen Realität.

Dies kann natürlich bei der Berechnung verschiedener höherer Dinge nützlich sein. Aber beim Erlernen der Grundlagen Es ist am besten, so viel wie möglich auf Mathematik zurückzugreifen Material Beispiele.

Das heißt, ein Minimum an Aktionen im Kopf, ein Maximum an Aktionen mit der Masse.

Dies funktioniert auch dann, wenn der Schüler 18 Jahre alt ist und dringend Mathematik verbessern muss. Nehmen Sie sich ein wenig Zeit, um die Masse, die Materialität des Themas zu vermitteln – und das Lernen wird viel schneller gehen.

Aus dieser Sicht sind Kuchen das Beste (bis auf die Zähne sind sie vielleicht nicht sehr gut 🙂). Aber es ist viel einfacher und viel billiger, Äste und Stöcke zu verwenden. Welche Kinder UNABHÄNGIG in die notwendigen Teile aufteilen können.

Natürlich wird es zunächst nur Reisig sein. Aber nach und nach kommt man zum Punkt. Zum Beispiel zur Symmetrie von Brüchen.

Basierend auf der Materialität und unter Berücksichtigung der Fragestellung beschreiben wir also den Stoff, der in der Schule normalerweise nicht berücksichtigt wird.

Die visuelle Symmetrie von Brüchen ist sowohl Wissenschaft als auch Ästhetik und Entwicklung.

Methodische Fragen

Bilder folgen. Ohne die geringsten Fragen ist es praktisch nutzlos, Kindern Bilder zu zeigen. Bestenfalls sagen sie höflich „Wow …“ und gehen Computer spielen.

Anstelle von Bildern sollten es reale, feste Objekte sein.. Zum Beispiel von ihm in die notwendigen Teile zerbrochene Äste. Bitte beachten Sie, dass seitdem Brüche(vom Wort „zerquetschen“), dann solltest du keine Streichhölzer usw. geben. und bitte darum, sie auszulegen. Es muss etwas Ganzes sein, das in die notwendigen Teile zerlegt ist.

Wenn Sie das Kind hinsetzen und ihm die Zweige in der unten vorgeschlagenen Form vorlegen, dann könnte es sogar Interesse daran haben. Aber nicht mehr. Und wenn Sie ihn bitten, das, was er gesehen hat, in fünf Tagen zu wiederholen, wird er es nicht schaffen. Das heißt, er war einfach überrascht, wie sie über nutzlose, aber amüsante Fakten überrascht sind (z. B. „Wenn man alles zusammenzählt“) Blutgefäße in einer Zeile, dann kann man eine ganze Elefantenherde in einen dicken Kokon wickeln“).

Wenn Sie Leistungen für das Kind wünschen, dann er SAM muss ausbrechen und sich ausbreiten Regeln unten vorgeschlagen. Natürlich müssen Sie nicht alles auf einmal tun.

Nach und nach entsteht, Stock für Stock, die fertige Zeichnung.
Bitte suchen Sie nach Mustern.
Zeit zum „Nachdenken“ – vielleicht einen Tag, vielleicht eine Woche.
Bitte notieren Sie das gefundene Muster.
Bitte überprüfen Sie das Muster in der Praxis.

Danach können Sie mit der nächsten Mustergruppe fortfahren.

Eigentlich die Symmetrie von Brüchen.

Achten Sie auf die Zeichnung.

Es gibt eine Symmetrie, die durch die gebrochenen Teile des Ganzen gebildet wird. Symmetrie gibt es in zwei Formen:

visuell, figurativ
visuell, numerisch.

Es entstand also nicht nur eine schöne glatte Kurve. Numerisches Muster: Zuerst steht oben im Bruch eine Eins und unten verringert sich die Zahl um eins. Und nach 1/2 gibt es ein weiteres Muster – sowohl die obere als auch die untere Zahl erhöhen sich um eins.

Eigentlich eine philosophische Frage: Warum ergibt die Erhöhung des Nenners (oder Zählers und Nenners) um eins eine schöne glatte Kurve?

Vielleicht finden die Kinder die Antwort auf die Frage 🙂

Vor allem, wenn Sie die Schritte 1–5 der Richtlinien befolgen.

Nun kommen wir zu einem anderen Moment der Symmetrie der Brüche. Die gleiche Zeichnung, aber mit einer kleinen Ergänzung:

Wie Sie sehen können, ist das gefundene Muster für die Änderung von Zähler und Nenner um eins spiegelsymmetrisch.

Nun der nächste Moment der Symmetrie. Schneiden wir das Diagramm in 4 Teile und spiegeln die obere linke Ecke. Sie erhalten dieses Bild:

Stimmen Sie zu, es gibt mehr Symmetrie. Aber wir haben immer noch ein weißes, ungefülltes Zentrum. Es ist symmetrisch ... Vielleicht ist da ein Muster drin? Lass uns das Prüfen:

Also ja! Sowohl Zähler als auch Nenner werden um eins reduziert. Der Unterschied zwischen Zähler und Nenner ist jedoch unterschiedlich - 2 Einheiten.

Jetzt ist es an der Zeit, sich daran zu erinnern, dass Brüche reduziert werden können:

Es ist interessant, aber auch hier gilt Symmetrie – Zähler und Nenner werden um eins reduziert. Auch der Unterschied zwischen ihnen ist eins.

Aber wir haben immer noch leere Zellen ... Was wahrscheinlich auch natürlich ist:

Und noch einmal zur Sache! Das gleiche Muster ist eine Verringerung um eins und die Differenz beträgt eins.

Hier sind einige interessante Dinge über die Symmetrie von Brüchen. Nachdem Sie das Muster gelernt haben, können Sie auf beliebige Weise Symmetrie aus beliebigen Brüchen ermitteln.

Hinweis für Eltern (oder etwas, das für ein Kind gut verständlich wäre):

Ein regelmäßiger Wechsel ergibt ein symmetrisches Muster.

In unserem Fall ändern sich die Brüche auf natürliche Weise. Dies gilt aber auch für alle anderen Phänomene in der umgebenden Welt.

Glauben Sie nicht? Hör zu! 🙂

Schreiben Sie Ihr Feedback und Ihre Tipps in die Kommentare!

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ABSTRAKT

Disziplin: „Mathematik“

Zu diesem Thema: „Außerordentliche gewöhnliche Brüche“

Durchgeführt:

Schüler der 5. Klasse

Frolova Natalya

Aufsicht:

Druschtschenko E.A.

Mathematiklehrer

Strezhevoy, Region Tomsk


	Einführung
	Aus der Geschichte der gewöhnlichen Brüche.
	Die Entstehung von Brüchen.
	Brüche im alten Ägypten.
	Brüche im alten Babylon.
	Brüche im antiken Rom.
	Brüche im antiken Griechenland.
	Brüche in Rus.
	Brüche im alten China.
	Fraktionen in anderen Staaten der Antike und des Mittelalters.
	Die Verwendung gewöhnlicher Brüche.
	Aliquote Fraktionen.
	Statt kleiner Anteile große.
	Trennwände unter schwierigen Umständen.
III.	Unterhaltsame Brüche.
	Domino.
	Aus den Tiefen der Jahrhunderte.
	Abschluss
	Referenzliste
	Anhang 1. Natürlicher Maßstab.
	Anhang 2. Alte Probleme mit gewöhnlichen Brüchen.
	Anhang 3. Unterhaltsame Probleme mit gewöhnlichen Brüchen.
	Anhang 4. Domino-Brüche

Einführung

Dieses Jahr haben wir begonnen, gewöhnliche Brüche zu studieren. Sehr ungewöhnliche Zahlen, beginnend mit ihrer ungewöhnlichen Schreibweise und endend mit komplizierte Regeln Aktionen mit ihnen. Allerdings war schon bei der ersten Bekanntschaft mit ihnen klar, dass man auch im normalen Leben nicht auf sie verzichten kann, da wir jeden Tag mit dem Problem konfrontiert werden, das Ganze in Teile zu unterteilen, und selbst in einem bestimmten Moment kam es mir so vor, als ob wir es wären nicht mehr von ganzen, sondern von gebrochenen Zahlen umgeben. Mit ihnen gestaltete sich die Welt schwieriger, aber gleichzeitig auch interessanter. Ich habe ein paar Fragen. Sind Brüche notwendig? Sind sie wichtig? Ich wollte wissen, woher die Brüche kommen und wer die Regeln für die Arbeit mit ihnen entwickelt hat. Obwohl das Wort „erfunden“ wahrscheinlich nicht sehr passend ist, denn in der Mathematik muss alles überprüft werden, da alle Wissenschaften und Branchen in unserem Leben auf klaren mathematischen Gesetzen basieren, die auf der ganzen Welt gelten. Es kann nicht sein, dass bei uns die Addition von Brüchen nach einer Regel erfolgt und irgendwo in England anders.

Im Laufe der Arbeit an der Zusammenfassung musste ich mich einigen Schwierigkeiten stellen: Mit neuen Begriffen und Konzepten musste ich mir den Kopf zerbrechen, Probleme lösen und die von den alten Wissenschaftlern vorgeschlagenen Lösungen analysieren. Außerdem stieß ich beim Tippen erstmals auf die Notwendigkeit, Brüche und Bruchausdrücke auszugeben.

Der Zweck meines Aufsatzes besteht darin, die Entwicklungsgeschichte des Konzepts eines gewöhnlichen Bruchs zu verfolgen und die Notwendigkeit und Bedeutung der Verwendung gewöhnlicher Brüche bei der Lösung praktischer Probleme aufzuzeigen. Die Aufgaben, die ich mir gestellt habe: Material zum Thema des Aufsatzes und seiner Systematisierung sammeln, antike Probleme studieren, das verarbeitete Material zusammenfassen, das verallgemeinerte Material entwerfen, eine Präsentation vorbereiten, die Zusammenfassung präsentieren.

Meine Arbeit besteht aus drei Kapiteln. Ich habe Materialien aus 7 Quellen studiert und verarbeitet, darunter pädagogische, wissenschaftliche und enzyklopädische Literatur sowie die Internetseite. Ich habe eine Anwendung entworfen, die eine Auswahl von Aufgaben aus antiken Quellen, einige unterhaltsame Aufgaben mit gewöhnlichen Brüchen und eine im Power Point-Editor erstellte Präsentation enthält.

ICH. Aus der Geschichte der gewöhnlichen Brüche

1.1 Die Entstehung von Brüchen

Zahlreiche historische und mathematische Studien zeigen, dass in der Antike bei verschiedenen Völkern Bruchzahlen bald nach den natürlichen Zahlen auftraten. Das Auftreten von Brüchen ist mit praktischen Bedürfnissen verbunden: Aufgaben, bei denen eine Teilung in Teile erforderlich ist, waren sehr häufig. Darüber hinaus musste ein Mensch im Leben nicht nur Gegenstände zählen, sondern auch Mengen messen. Die Menschen trafen auf Messungen von Längen, Landflächen, Volumina und Massen von Körpern. In diesem Fall kam es vor, dass die Maßeinheit ganzzahlig oft nicht in den Messwert passte. Beim Messen der Länge eines Abschnitts in Schritten stieß eine Person beispielsweise auf das folgende Phänomen: Zehn Schritte passten in die Länge und der Rest war weniger als ein Schritt. Daher sollte als zweiter wesentlicher Grund für das Auftreten von Bruchzahlen die Messung von Mengen in der gewählten Maßeinheit angesehen werden.

So entstand in allen Zivilisationen das Konzept eines Bruchteils aus dem Prozess der Zerkleinerung des Ganzen in gleiche Teile. Der russische Begriff „Bruch“ stammt wie seine Gegenstücke in anderen Sprachen aus dem Lateinischen. fractura, was wiederum eine Übersetzung des arabischen Begriffs mit der gleichen Bedeutung ist: brechen, zerquetschen. Daher waren die ersten Brüche wahrscheinlich überall Brüche der Form 1/n. Die weitere Entwicklung geht natürlich dahin, diese Brüche als Einheiten zu betrachten, aus denen sich Brüche m/n – rationale Zahlen – zusammensetzen lassen. Dieser Weg wurde jedoch nicht von allen Zivilisationen beschritten: Beispielsweise wurde er in der altägyptischen Mathematik nie verwirklicht.

Das System zur Aufzeichnung von Brüchen und die Regeln für die Arbeit mit ihnen unterschieden sich sowohl zwischen verschiedenen Völkern als auch zu unterschiedlichen Zeiten zwischen denselben Völkern deutlich. Eine wichtige Rolle spielten auch zahlreiche Ideenanleihen im Rahmen kultureller Kontakte zwischen verschiedenen Zivilisationen.

1.2 Fraktionen im alten Ägypten

Im alten Ägypten wurden nur die einfachsten Brüche verwendet, bei denen der Zähler gleich eins war (die sogenannten „Anteile“). Mathematiker nennen solche Brüche Aliquots (von lateinisch aliquot – mehrere). Es wird auch die Bezeichnung Grundbrüche oder Einheitsbrüche verwendet.

Die Ägypter gehen unter Hieroglyphe

(Folge, „[einer] von“ oder Betreff, Mund) über der Zahl, um in der gewöhnlichen Schreibweise einen Einheitsbruch anzugeben, und in heiligen Texten wurde eine Linie verwendet. Z.B:

den größten Teil des Auges

1/2 (oder 32/64)

1/8 (oder 8/64)

Tropfen Tränen (?)

1/32 (oder ²/64)

Darüber hinaus verwendeten die Ägypter Schriftformen, die auf der Hieroglyphe basierten Auge des Horus (Wadget). Die Antike zeichnet sich durch die Verflechtung des Bildes der Sonne und des Auges aus. In der ägyptischen Mythologie wird oft der Gott Horus erwähnt, der die geflügelte Sonne verkörpert und eines der häufigsten heiligen Symbole ist. Im Kampf mit den Feinden der Sonne, verkörpert in der Form von Set, wird Horus zunächst besiegt. Seth reißt das Auge – das wundersame Auge – heraus und zerreißt es. Thoth – der Gott des Wissens, der Vernunft und der Gerechtigkeit – faltete erneut die Teile des Auges zu einem und schuf so das „gesunde Auge des Horus“. Bilder von Teilen des gespaltenen Auges wurden im alten Ägypten schriftlich verwendet, um Brüche von 1 / 2 bis 1 / 64 anzuzeigen.

Die Summe der sechs im Wadget enthaltenen und reduzierten Zeichen gemeinsamer Nenner: 32/64 + 16/64 + 8/64 + 4/64 + 2/64 + 1/64 = 63/64

Diese Brüche wurden zusammen mit anderen Formen ägyptischer Brüche zur Division verwendet Verdammt, das wichtigste Volumenmaß im alten Ägypten. Diese kombinierte Notation wurde auch zur Messung des Volumens von Getreide, Brot und Bier verwendet. Wenn nach der Aufzeichnung der Menge in Form eines Bruchteils des Auges des Horus noch ein Rest übrig blieb, wurde dieser in der üblichen Form als Vielfaches von Ro aufgezeichnet, einer Maßeinheit, die 1/320 Hekat entspricht.

Zum Beispiel so:

Gleichzeitig wurde allen Hieroglyphen der „Mund“ vorangestellt.

Hekat Gerste: 1/2 + 1/4 + 1/32 (d. h. 25/32 Gefäße Gerste).

Hekat betrug ca. 4.785 Liter.

Die Ägypter stellten jeden zweiten Bruch als Summe aliquoter Brüche dar, zum Beispiel 9/16 = 1/2+1/16; 7/8=1/2+1/4+1/8 und so weiter.

Es wurde so geschrieben: /2 /16; /2/4/8.

In manchen Fällen scheint dies einfach genug zu sein. Beispiel: 2/7 = 1/7 + 1/7. Eine weitere Regel der Ägypter war jedoch das Fehlen sich wiederholender Zahlen in einer Bruchreihe. Das heißt, 2/7 war ihrer Meinung nach 1/4 + 1/28.

Nun wird die Summe mehrerer aliquoter Fraktionen als ägyptische Fraktion bezeichnet. Mit anderen Worten: Jeder Bruchteil der Summe hat einen Zähler gleich eins und einen Nenner, der eine natürliche Zahl ist.

Es war natürlich sehr schwierig und zeitaufwändig, verschiedene Berechnungen durchzuführen und dabei alle Brüche durch Einsen auszudrücken. Daher kümmerten sich ägyptische Wissenschaftler darum, die Arbeit des Schreibers zu erleichtern. Sie erstellten spezielle Tabellen zur Erweiterung von Brüchen in einfache. Bei den mathematischen Dokumenten des alten Ägypten handelt es sich nicht um wissenschaftliche Abhandlungen zur Mathematik, sondern um praktische Lehrbücher mit Beispielen aus dem Leben. Zu den Aufgaben, die ein Schüler der Schreiberschule lösen musste, gehörten die Berechnung des Fassungsvermögens von Scheunen, des Korbvolumens und der Feldfläche sowie die Aufteilung des Eigentums unter den Erben. und andere. Der Schreiber musste sich diese Muster merken und sie schnell für Berechnungen anwenden können.

Einer der frühesten bekannten Hinweise auf ägyptische Brüche ist der Rhind Mathematical Papyrus. Drei ältere Texte, in denen ägyptische Brüche erwähnt werden, sind die Ägyptische Mathematische Lederrolle, der Moskauer Mathematische Papyrus und die Akhmim-Holztafel.

Das älteste Denkmal der ägyptischen Mathematik, der sogenannte „Moskauer Papyrus“, ist ein Dokument aus dem 19. Jahrhundert vor Christus. Es wurde 1893 von Golenishchev, einem Sammler antiker Schätze, erworben und ging 1912 in den Besitz des Moskauer Museums der Schönen Künste über. Es enthielt 25 verschiedene Aufgaben.

Beispielsweise wird das Problem der Division von 37 durch die Zahl (1 + 1/3 + 1/2 + 1/7) betrachtet. Durch sukzessives Verdoppeln dieser Bruchzahl und Ausdrücken der Differenz zwischen 37 und dem, was passiert ist, sowie unter Verwendung eines Verfahrens, das im Wesentlichen dem Finden eines gemeinsamen Nenners ähnelt, erhält man die Antwort: Der Quotient ist 16 + 1/56 + 1/679 + 1/ 776.

Das größte mathematische Dokument – ein Papyrus-Rechnungsführer des Schreibers Ahmes – wurde 1858 vom englischen Sammler Rhind gefunden. Der Papyrus wurde im 17. Jahrhundert v. Chr. zusammengestellt. Es ist 20 Meter lang und 30 Zentimeter breit. Es enthält 84 mathematische Probleme, deren Lösungen und Antworten als ägyptische Brüche geschrieben sind.

Der Papyrus von Ahmes beginnt mit einer Tabelle, in der alle Brüche der Form 2\n von 2/5 bis 2/99 als Summen aliquoter Brüche geschrieben sind. Die Ägypter wussten auch, wie man Brüche multipliziert und dividiert. Aber für die Multiplikation musste man Brüche mit Brüchen multiplizieren und dann vielleicht noch einmal die Tabelle verwenden. Die Teilung war noch schwieriger. So wurde zum Beispiel 5 durch 21 geteilt:

Ein häufiges Problem aus dem Ahmes-Papyrus: „Es sei Ihnen gesagt: Teilen Sie 10 Maß Gerste unter 10 Personen; Der Unterschied zwischen jeder Person und ihrem Nachbarn beträgt 1/8 eines Maßes. Der durchschnittliche Anteil beträgt eine Kennzahl. Subtrahiere eins von 10; Rest 9. Die Hälfte der Differenz ausgleichen; es ist 1/16. Nehmen Sie es 9 Mal. Wenden Sie es auf den mittleren Schlag an; Subtrahieren Sie 1/8 des Maßes für jede Seite, bis Sie das Ende erreicht haben.“

Ein weiteres Problem aus dem Ahmes-Papyrus, das die Verwendung aliquoter Fraktionen demonstriert: „Um 7 Brote auf 8 Personen aufzuteilen.“
Wenn Sie jedes Brot in 8 Stücke schneiden, müssen Sie 49 Schnitte machen.
Und im Ägyptischen wurde dieses Problem so gelöst. Der Bruch 7/8 wurde als Anteile geschrieben: 1/2 + 1/4 + 1/8. Das bedeutet, dass jeder Person ein halbes, ein viertel und ein achtes Brot gegeben werden muss; Deshalb schneiden wir vier Brote in zwei Hälften, zwei Brote in 4 Teile und ein Brot in 8 Teile und geben dann jeden Teil davon.

Ägyptische Bruchtabellen und verschiedene babylonische Tabellen sind die ältesten uns bekannten Hilfsmittel zur Erleichterung von Berechnungen.

Ägyptische Brüche wurden im antiken Griechenland und anschließend von Mathematikern auf der ganzen Welt bis zum Mittelalter weiterhin verwendet, trotz der Bemerkungen antiker Mathematiker dazu. Claudius Ptolemäus sprach beispielsweise über die Unannehmlichkeiten der Verwendung ägyptischer Brüche im Vergleich zum babylonischen System (Positionszahlensystem). Eine wichtige Arbeit zur Untersuchung ägyptischer Brüche wurde vom Mathematiker Fibonacci aus dem 13. Jahrhundert in seinem Werk „Liber Abaci“ durchgeführt – dabei handelt es sich um Berechnungen mit Dezimal- und gewöhnlichen Brüchen, die schließlich die ägyptischen Brüche verdrängten. Fibonacci verwendete eine komplexe Notation für Brüche, einschließlich der Notation von Zahlen mit gemischter Basis und der Notation als Summen von Brüchen, wobei häufig ägyptische Brüche verwendet wurden. Außerdem wurden in dem Buch Algorithmen zur Umrechnung von gewöhnlichen Brüchen in ägyptische Brüche vorgestellt.

1.3 Fraktionen im alten Babylon.

Es ist bekannt, dass im alten Babylon das Sexagesimalzahlensystem verwendet wurde. Wissenschaftler führen diese Tatsache darauf zurück, dass die babylonischen Währungs- und Gewichtseinheiten aufgrund historischer Gegebenheiten in 60 gleiche Teile unterteilt wurden: 1 Talent = 60 Min.; 1 Mine = 60 Schekel. Die Sechzigerjahre waren im Leben der Babylonier weit verbreitet. Deshalb verwendeten sie Sexagesimalbrüche, deren Nenner immer die Zahl 60 oder deren Potenzen ist: 60 2 = 3600, 60 3 = 216000 usw. Dies sind die weltweit ersten systematischen Brüche, d.h. Brüche, deren Nenner Potenzen derselben Zahl sind. Mit solchen Brüchen mussten die Babylonier viele Brüche näherungsweise darstellen. Das ist der Nachteil und gleichzeitig der Vorteil dieser Brüche. Diese Brüche wurden bis zum 15. Jahrhundert zu einem ständigen Instrument wissenschaftlicher Berechnungen griechischer und dann arabischsprachiger und mittelalterlicher europäischer Wissenschaftler, bis sie den Dezimalbrüchen Platz machten. Sexagesimalbrüche wurden jedoch bis zum 17. Jahrhundert von Wissenschaftlern aller Völker in der Astronomie verwendet und nannten sie astronomische Brüche.

Das Sexagesimalzahlensystem bestimmte in der Mathematik verschiedener Tabellen Babylons eine große Rolle. Eine vollständige babylonische Multiplikationstabelle müsste Produkte von 1x1 bis 59x59 enthalten, also 1770 Zahlen, und nicht 45 wie unsere Multiplikationstabelle. Es ist fast unmöglich, sich eine solche Tabelle zu merken. Selbst in schriftlicher Form wäre es sehr umständlich. Daher gab es sowohl für die Multiplikation als auch für die Division einen umfangreichen Satz unterschiedlicher Tabellen. Die Divisionsoperation in der babylonischen Mathematik kann als „Problem Nummer eins“ bezeichnet werden. Die Division der Zahl m durch die Zahl n wurde von den Babyloniern auf die Multiplikation der Zahl m mit dem Bruch 1 \\ n reduziert, und sie hatten nicht einmal den Begriff „teilen“. Bei der Berechnung dessen, was wir als x = m: n schreiben würden, haben sie beispielsweise immer so argumentiert: Nehmen Sie den Kehrwert von n, Sie finden 1 \ n, multiplizieren Sie m mit 1\ n, und Sie erhalten x. Anstelle unserer Buchstaben nannten die Bewohner Babylons natürlich bestimmte Zahlen. Die wichtigste Rolle in der babylonischen Mathematik spielten daher zahlreiche Reziproktabellen.

Darüber hinaus erstellten die Babylonier für Berechnungen mit Brüchen die umfangreichsten Tabellen, in denen sie die Grundbrüche in Sexagesimalbrüchen ausdrückten. Zum Beispiel:

1\16 = 3\60 + 45\60 2 , 1\54 = 1\60 + 6\60 2 + 40\60 3 .

Die Addition und Subtraktion von Brüchen erfolgte bei den Babyloniern ähnlich wie die entsprechenden Operationen an ganzen Zahlen und Dezimalbrüchen in unserem Positionszahlensystem. Aber wie wurde ein Bruch mit einem Bruch multipliziert? Eine recht hohe Entwicklung der Messgeometrie (Vermessung, Flächenmessung) lässt darauf schließen, dass die Babylonier diese Schwierigkeiten mit Hilfe der Geometrie überwunden haben: Eine Änderung des linearen Maßstabs um das 60-fache führt zu einer Änderung des Flächenmaßstabs um das 60 × 60-fache. Es ist zu beachten, dass in Babylon die Erweiterung des Bereichs der natürlichen Zahlen auf den Bereich der positiven rationalen Zahlen nicht endgültig erfolgte, da die Babylonier nur endliche Sexagesimalbrüche betrachteten, in deren Bereich eine Division nicht immer möglich ist. Darüber hinaus verwendeten die Babylonier die Brüche 1\2,1\3,2\3,1\4,1\5,1\6,5\6, für die es individuelle Vorzeichen gab.

Spuren des babylonischen Sexagesimalzahlensystems sind in der modernen Wissenschaft bei der Messung von Zeit und Winkeln erhalten geblieben. Die Einteilung einer Stunde in 60 Minuten, einer Minute in 60 Sekunden, eines Kreises in 360 Grad, eines Grads in 60 Minuten, einer Minute in 60 Sekunden hat sich bis heute erhalten.

(kleines Teil).

1.4. Brüche im antiken Rom.

Die Römer verwendeten im Wesentlichen nur konkrete Brüche, die die abstrakten Teile durch Unterteilungen der verwendeten Maße ersetzten. Dieses Bruchsystem basierte auf der Aufteilung einer Gewichtseinheit, die ass genannt wurde, in 12 Teile. So entstanden römische Duodezimalbrüche, d.h. Brüche, deren Nenner immer 12 ist. Das Zwölftel eines Asses wurde Unze genannt. Anstelle von 1/12 sagten die Römer „eine Unze“, 5/12 – „fünf Unzen“ usw. Drei Unzen hießen ein Viertel, vier Unzen ein Drittel, sechs Unzen eine halbe.

Und der Weg, die Zeit und andere Größen wurden mit einer visuellen Sache verglichen – dem Gewicht. Ein Römer könnte zum Beispiel sagen, dass er sieben Unzen der Straße zurückgelegt oder fünf Unzen eines Buches gelesen hat. Dabei ging es natürlich nicht darum, den Weg oder das Buch abzuwägen. Das bedeutete, dass 7/12 des Weges zurückgelegt oder 5/12 des Buches gelesen waren. Und für Brüche, die man durch Reduktion von Brüchen mit dem Nenner 12 oder durch Aufspaltung von Zwölfteln in kleinere Brüche erhält, gab es spezielle Namen. Insgesamt wurden 18 verschiedene Namen für Brüche verwendet. Beispielsweise wurden folgende Namen verwendet:

„scrupulus“ – 1/288 assa,

„semis“ – halber Arsch,

„sextans“ – sein sechster Anteil,

„seven ounce“ – eine halbe Unze, d.h. 1/24 Arsch usw.

Um mit solchen Brüchen arbeiten zu können, musste man sich die Additionstabelle und die Multiplikationstabelle für diese Brüche merken. Daher wussten römische Kaufleute genau, dass man durch Addition von Triens (1/3 Ass) und Sextans ein Semis erhält, und wenn man Dämon (2/3 Ass) mit Secution (2/3 Unzen, d. h. 1/8) multipliziert Arsch), eine Unze wird erhalten . Um die Arbeit zu erleichtern, wurden spezielle Tabellen zusammengestellt, von denen einige überliefert sind.

Eine Unze wurde durch einen Bindestrich – halbes Assa (6 Unzen) – durch den Buchstaben S bezeichnet (das erste im lateinischen Wort Semis ist halb). Diese beiden Zeichen dienten zum Schreiben beliebiger duodezimaler Brüche, von denen jeder seinen eigenen Namen hatte. Beispielsweise wurde 7 \ 12 so geschrieben: S-.

Schon im ersten Jahrhundert v. Chr. sagte der herausragende römische Redner und Schriftsteller Cicero: „Ohne Kenntnis der Brüche kann niemand als jemand gelten, der Arithmetik beherrscht!“

Charakteristisch ist der folgende Auszug aus dem Werk des berühmten römischen Dichters Horaz aus dem 1. Jahrhundert v. Chr. über ein Gespräch zwischen einem Lehrer und einem Schüler in einer der römischen Schulen dieser Zeit:

Lehrer: Lass den Sohn Albins sagen, wie viel übrig bleibt, wenn eine Unze von fünf Unzen weggenommen wird!

Student: Ein Drittel.

Lehrer: Richtig, Sie kennen Brüche gut und können Ihr Eigentum retten.

1.5. Brüche im antiken Griechenland.

Im antiken Griechenland war Arithmetik das Studium der Mathematik allgemeine Eigenschaften Zahlen - getrennt von der Logistik - die Kunst des Rechnens. Die Griechen glaubten, dass Brüche nur in der Logistik verwendet werden könnten. Die Griechen beherrschten alle arithmetischen Operationen mit Brüchen frei, erkannten sie jedoch nicht als Zahlen an. In griechischen Schriften zur Mathematik gab es keine Brüche. Griechische Wissenschaftler glaubten, dass sich die Mathematik nur mit ganzen Zahlen befassen sollte. Sie versorgten Kaufleute, Handwerker, aber auch Astronomen, Landvermesser, Mechaniker und andere „Schwarze“ mit Brüchen. „Wenn du die Einheit teilen willst, werden dich die Mathematiker lächerlich machen und dir das nicht erlauben“, schrieb der Gründer der Athener Akademie, Platon.

Aber nicht alle antiken griechischen Mathematiker stimmten Platon zu. So verwendet Archimedes in der Abhandlung „Über die Messung des Kreises“ Brüche. Heron von Alexandria hatte auch die Freiheit, mit Brüchen umzugehen. Er dividiert wie die Ägypter den Bruch durch die Summe der Grundbrüche. Statt 12\13 schreibt er 1\2 + 1\3 + 1\13 + 1\78, statt 5\12 schreibt er 1\3 + 1\12 usw. Sogar Pythagoras, der natürliche Zahlen mit heiliger Ehrfurcht behandelte, verband bei der Erstellung der Theorie der Tonleiter die wichtigsten musikalischen Intervalle mit Brüchen. Zwar verwendeten Pythagoras und seine Schüler nicht das eigentliche Konzept eines Bruchs. Sie erlaubten sich, nur über die Beziehungen ganzer Zahlen zu sprechen.

Da sich die Griechen nur sporadisch mit Brüchen beschäftigten, verwendeten sie unterschiedliche Schreibweisen. Heron und Diophantus schrieben Brüche in alphabetischer Form, wobei der Zähler unter dem Nenner stand. Für einige Brüche wurden separate Bezeichnungen verwendet, beispielsweise für 1 \ 2 - L“, aber im Allgemeinen ermöglichte ihre alphabetische Nummerierung die Bezeichnung von Brüchen kaum.

Für Einheitsbrüche wurde eine spezielle Schreibweise verwendet: Der Nenner des Bruchs wurde von einem Strich auf der rechten Seite begleitet, der Zähler wurde nicht geschrieben. Zum Beispiel,
im alphabetischen System bedeutete es 32 und „- der Bruch 1\32. Es gibt solche Aufzeichnungen gewöhnlicher Brüche, bei denen der Zähler mit einem Strich und der doppelt genommene Nenner mit zwei Strichen nebeneinander in einer Zeile geschrieben werden. Hier ist wie zum Beispiel Heron von Alexandria den Bruch 3\4 aufschrieb:
.

Die Mängel der griechischen Notation für Bruchzahlen sind auf die Tatsache zurückzuführen, dass die Griechen das Wort „Zahl“ als eine Menge von Einheiten verstanden. Daher verstanden die Griechen das, was wir heute als eine einzelne rationale Zahl – einen Bruch – betrachten, als Verhältnis aus zwei ganzen Zahlen. Dies erklärt, warum gemeinsame Brüche in der griechischen Arithmetik selten waren. Bevorzugt wurden entweder Brüche mit einem einzigen Zähler oder sexagesimale Brüche. Der Bereich, in dem praktische Berechnungen den größten Bedarf an exakten Brüchen hatten, war die Astronomie, und hier war die babylonische Tradition so stark, dass sie von allen Völkern, einschließlich Griechenland, genutzt wurde.

1.6. Brüche in Rus

Der erste uns namentlich bekannte russische Mathematiker, der Mönch des Nowgoroder Klosters Kirik, beschäftigte sich mit den Fragen der Chronologie und des Kalenders. In seinem handgeschriebenen Buch „The Teaching by Him to Know to Man the Numbers of All Years“ (1136), d. h. „Anleitung, wie eine Person die Anzahl der Jahre ermitteln kann“ wendet die Einteilung der Stunde in Quinten, Fünfundzwanzig usw. an. Brüche, die er „Bruchstunden“ oder „Stunden“ nannte. Er kommt zum siebten Bruchteil der Stunden, von denen es 937.500 pro Tag oder Nacht gibt, und er sagt, dass aus dem siebten Bruchteil der Stunde nichts gewonnen wird.

In den ersten Mathematiklehrbüchern (7. Jahrhundert) wurden Brüche Brüche, später „gebrochene Zahlen“ genannt. Im Russischen tauchte das Wort Bruch im 8. Jahrhundert auf, es kommt vom Verb „zerquetschen“ – zerbrechen, in Stücke brechen. Beim Schreiben einer Zahl wurde eine horizontale Linie verwendet.

In alten Handbüchern gibt es die folgenden Namen für Brüche in Rus:

1/2 - halb, halb

1/3 - Drittel

1/4 - vier

1/6 - ein halbes Drittel

1/8 - halbe Stunde

1/12 - ein halbes Drittel

1/16 - halb nach

1/24 - halbes halbes Drittel (kleines Drittel)

1/32 - halb und halb und halb (kleines Viertel)

1/5 - fünf

1/7 - Woche

1/10 - Zehnter.

In Russland wurde ein Viertel oder weniger Landfläche genutzt -

ein halbes Viertel, das Oktopus genannt wurde. Dies waren spezifische Brüche, Einheiten zur Messung der Erdfläche, aber der Oktopus konnte weder Zeit noch Geschwindigkeit usw. messen. Viel später begann der Oktopus, einen abstrakten Bruch 1/8 zu bedeuten, der jeden ausdrücken kann Wert.

Über die Verwendung von Brüchen in Russland im 17. Jahrhundert können Sie im Buch von V. Bellustin „Wie die Menschen allmählich zur echten Arithmetik kamen“ Folgendes lesen: „Im Manuskript des 17. Jahrhunderts. „Der Zahlenartikel über alle Anteile, das Dekret“ beginnt unmittelbar mit der schriftlichen Bezeichnung von Brüchen und mit der Angabe von Zähler und Nenner. Bei der Aussprache von Brüchen sind folgende Besonderheiten interessant: Der vierte Teil wurde Viertel genannt, während Anteile mit einem Nenner von 5 bis 11 in Worten mit der Endung „ina“ ausgedrückt wurden, also 1/7 eine Woche, 1/5 ist eine Fünf, 1/10 ist ein Zehnter; Aktien mit Nennern größer als 10 wurden mit den Worten „Fohlen“ ausgesprochen, zum Beispiel 5/13 – fünf dreizehnte Lose. Die Nummerierung von Brüchen wurde direkt westlichen Quellen entlehnt ... Der Zähler wurde als obere Zahl bezeichnet, der Nenner als untere.“

Seit dem 16. Jahrhundert erfreut sich in Russland das Plankenkonto großer Beliebtheit – Berechnungen mit einem Instrument, das der Prototyp russischer Konten war. Es ermöglichte die schnelle und einfache Durchführung komplexer Rechenoperationen. Das Plankenkonto war unter Kaufleuten, Angestellten Moskauer Orden, „Messern“ – Landvermessern, klösterlichen Haushältern usw. – sehr verbreitet.

In seiner ursprünglichen Form wurde die Brettzählung speziell an die Bedürfnisse der fortgeschrittenen Arithmetik angepasst. Dies ist das Steuersystem in Russland im 15.-17. Jahrhundert, in dem neben Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division ganzer Zahlen auch die gleichen Operationen mit Brüchen durchgeführt werden mussten, da die bedingte Steuereinheit - Pflug, wurde in Teile geteilt.

Das Plankenkonto bestand aus zwei Faltschachteln. Jede Kiste war zweigeteilt (später nur unten); die zweite Box war aufgrund der Besonderheiten des Geldkontos notwendig. Im Inneren der Kiste waren die Knochen an gespannten Schnüren oder Drähten aufgereiht. Gemäß dem dezimalen Zahlensystem hatten die Reihen für ganze Zahlen 9 oder 10 Knochen; Operationen mit Brüchen wurden an unvollständigen Reihen durchgeführt: Eine Reihe mit drei Knochen machte drei Drittel, eine Reihe mit vier Knochen machte vier Viertel (Cheti). Ниже располагались ряды, в которых было по одной кости: каждая кость представляла половину от той дроби, под которой она располагалась (например, кость расположенная под рядом из трех костей, составляла половину от одной трети, кость под ней - половину от половины одной трети, usw.). Die Addition zweier identischer „ähnlicher“ Brüche ergibt einen Bruch der nächsthöheren Kategorie, zum Beispiel 1/12+1/12=1/6 usw. In der Rechnung entspricht die Addition zweier solcher Brüche dem Übergang zum nächsthöheren Bruch.

Brüche wurden ohne Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner summiert, zum Beispiel „ein Viertel und eine Hälfte und eine Hälfte“ (1/4 + 1/6 + 1/16). Manchmal wurden Operationen mit Brüchen wie mit ganzen Zahlen durchgeführt, indem das Ganze (Pflug) einem bestimmten Geldbetrag gleichgesetzt wurde. Wenn beispielsweise Sokha = 48 Geldeinheiten, beträgt der obige Bruch 12 + 8 + 3 = 23 Geldeinheiten.

In der Sosh-Arithmetik musste man sich mit kleineren Brüchen befassen. Einige Manuskripte enthalten Zeichnungen und Beschreibungen von „Rechenkästen“, die den gerade betrachteten ähneln, jedoch mit einer großen Anzahl von Reihen mit einem Knochen, so dass auf ihnen Brüche bis zu 1/128 und 1/96 abgelegt werden können. Zweifellos wurden auch entsprechende Geräte hergestellt. Zur Vereinfachung von Rechnern wurden viele Regeln des Code of Small Bones angegeben, d.h. Addition von Brüchen, die im Sosh-Konto verwendet werden, wie zum Beispiel: dreiviertel Pflug und halber Pflug, anderthalbeinhalb Pflug usw. bis zu halb-halb-halb-halb-halb ein Pflug ist ein Pflug ohne halb-halb-halb-halb-halb ein Viertel, d.h. 3/4+1/8+1/16+1/32 +1/64 + 1/128 = 1 - 1/128 usw.

Von den Brüchen wurden jedoch nur 1/2 und 1/3 sowie die aus ihnen durch sukzessive Division durch 2 erhaltenen Brüche berücksichtigt. Für Operationen mit Brüchen anderer Reihen wurde die „Brettzählung“ nicht angepasst. Bei der Arbeit mit ihnen war es notwendig, auf spezielle Tabellen zurückzugreifen, in denen die Ergebnisse verschiedener Fraktionskombinationen angegeben waren.

IN 1703 Das erste gedruckte russische Lehrbuch der Mathematik „Arithmetik“ erscheint. Autor Magnitsky Leonty Filippovich. Im 2. Teil dieses Buches, „Über Zahlen mit unterbrochenen Linien oder mit Teilen“, wird die Bruchlehre ausführlich beschrieben.

Bei Magnitsky hat es einen fast modernen Charakter. Magnitsky geht ausführlicher auf die Berechnung von Aktien ein als moderne Lehrbücher. Magnitsky betrachtet Brüche als benannte Zahlen (nicht nur 1/2, sondern 1/2 Rubel, Pud usw.) und untersucht Aktionen mit Brüchen im Prozess der Problemlösung. Dass es eine gebrochene Zahl gibt, antwortet Magnitsky: „Eine gebrochene Zahl ist nichts anderes, nur ein Teil einer Sache, die durch eine Zahl erklärt wird, das heißt, ein halber Rubel wird geschrieben, aber er wird in Rubel oder Rubel oder geschrieben.“ Rubel oder zwei Fünftel und alle möglichen Dinge, wobei jeder Teil als Zahl deklariert wird, das heißt als gebrochene Zahl. Magnitsky gibt die Namen aller echten Brüche mit Nennern von 2 bis 10 an. Zum Beispiel Brüche mit einem Nenner von 6: eins sechzehn, zwei sechzehn, drei sechzehn, vier sechzehn, fünf sechzehn.

Magnitsky verwendet den Namen Zähler, Nenner, betrachtet unechte Brüche, gemischte Zahlen, zusätzlich zu allen Aktionen hebt er den ganzen Teil aus einem unechten Bruch hervor.

Die Bruchlehre ist immer der schwierigste Zweig der Arithmetik geblieben, aber gleichzeitig erkannten die Menschen in allen früheren Epochen die Bedeutung des Studiums von Brüchen, und Lehrer in Versen und Prosa versuchten, ihre Schüler aufzuheitern. L. Magnitsky schrieb:

Aber es gibt keine Arithmetik

Ijo im ganzen Angeklagten,

Und in diesen Aktien ist nichts,

Du kannst Antworten.

Iss über dich, freue dich,

Teilweise können.

1.7. Brüche im alten China

In China waren fast alle Rechenoperationen mit gewöhnlichen Brüchen bereits im 2. Jahrhundert v. Chr. etabliert. Chr e.; Sie werden im grundlegenden Korpus des mathematischen Wissens des alten China beschrieben – „Mathematik in neun Büchern“, dessen letzte Ausgabe Zhang Cang gehört. Chinesische Mathematiker rechneten auf der Grundlage einer Regel ähnlich dem Euklid-Algorithmus (dem größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner) und reduzierten Brüche. Die Multiplikation von Brüchen wurde als Ermittlung der Fläche eines rechteckigen Grundstücks dargestellt, dessen Länge und Breite in Bruchzahlen ausgedrückt werden. Die Division wurde unter Verwendung der Idee der Division in Betracht gezogen, während es chinesischen Mathematikern nicht peinlich war, dass die Anzahl der Teilnehmer an der Division gebrochen sein könnte, beispielsweise 3⅓ Personen.

Ursprünglich verwendeten die Chinesen die einfachsten Brüche, die mit der Bani-Hieroglyphe benannt wurden:

Bäder ("halb") -1 \ 2;

Shao Ban („kleine Hälfte“) -1\3;

Tai Ban („große Hälfte“) -2 \ 3.

Der nächste Schritt war die Entwicklung einer allgemeinen Vorstellung von Brüchen und die Bildung von Regeln für den Umgang mit ihnen. Wenn im alten Ägypten nur aliquote Brüche verwendet wurden, wurden sie in China als Brüche-Fen betrachtet und als eine der Arten von Brüchen betrachtet und nicht als die einzig möglichen. Die chinesische Mathematik beschäftigt sich seit der Antike mit gemischten Zahlen. Der früheste der mathematischen Texte, der Zhou Bi Suan Jing (Kanon der Berechnung des Zhou Gnomon/Mathematische Abhandlung über den Gnomon), enthält Berechnungen, in denen Zahlen wie 247933/1460 potenziert werden.

In „Ju zhang suan shu“ („Regeln für das Zählen in neun Abschnitten“) wird ein Bruch als Teil eines Ganzen betrachtet, das in der n-ten Zahl seiner Brüche ausgedrückt wird – fen – m (n

Im ersten Abschnitt von „Ju Zhang Suan Shu“, der sich allgemein mit der Messung von Feldern befasst, werden die Regeln zum Reduzieren, Addieren, Subtrahieren, Dividieren und Multiplizieren von Brüchen sowie deren Vergleich und „Gleichstellung“, d. h. ein solcher Vergleich von drei Brüchen, bei dem es notwendig ist, ihr arithmetisches Mittel zu ermitteln (eine einfachere Regel zur Berechnung des arithmetischen Mittels zweier Zahlen wird im Buch nicht angegeben).

Um beispielsweise die Summe der Brüche in diesem Aufsatz zu erhalten, wird die folgende Anweisung angeboten: „Multiplizieren (hu cheng) abwechselnd die Zähler mit den Nennern. Addieren Sie – das ist die Dividende (shi). Multiplizieren Sie die Nenner – das ist der Divisor (fa). Kombinieren Sie den Dividenden mit dem Divisor zu eins (und). Wenn es einen Rest gibt, verknüpfen Sie ihn mit dem Divisor. Diese Anweisung bedeutet, dass bei der Addition mehrerer Brüche der Zähler jedes Bruchs mit den Nennern aller anderen Brüche multipliziert werden muss. Wenn man den Dividenden (als Summe der Ergebnisse einer solchen Multiplikation) mit dem Divisor (dem Produkt aller Nenner) „kombiniert“, erhält man einen Bruch, der bei Bedarf gekürzt und von dem der ganze Teil durch Division abgetrennt werden sollte , dann ist der „Rest“ der Zähler und der reduzierte Teiler der Nenner. Die Summe einer Menge von Brüchen ist das Ergebnis einer solchen Division, bestehend aus einer ganzen Zahl plus einem Bruch. Die Anweisung „die Nenner multiplizieren“ bedeutet tatsächlich, die Brüche auf den größten gemeinsamen Nenner zu bringen.

Die Bruchreduktionsregel in Jiu Zhang Xuan Shu enthält einen Algorithmus zum Ermitteln des größten gemeinsamen Teilers von Zähler und Nenner, der mit dem sogenannten Euklid-Algorithmus zum Ermitteln des größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen identisch ist. Wenn letzteres aber bekanntlich in den „Prinzipien“ in einer geometrischen Formulierung angegeben ist, dann wird der chinesische Algorithmus rein arithmetisch dargestellt. Der chinesische Algorithmus zur Ermittlung des größten gemeinsamen Teilers, den shu („gleiche Zahl“) genannt, ist als sukzessive Subtraktion einer kleineren Zahl von einer größeren Zahl aufgebaut. Dies ist die Anzahl der Den Shu und es ist notwendig, den Bruchteil zu reduzieren. Beispielsweise wird vorgeschlagen, den Bruch 49\91 zu reduzieren. Wir führen eine sequentielle Subtraktion durch: 91 - 49 \u003d 42; 49 - 42 = 7; 42 - 7 - 7 - 7 - 7 - 7 - 7 = 0. Deng shu = 7. Wir reduzieren den Bruch um diese Zahl. Wir erhalten: 7 \ 13.

Die Bruchteilung in „Ju Zhang Xuan Shu“ unterscheidet sich von der heute akzeptierten. Die Regel „ching fen“ („Reihenfolge der Division“) besagt, dass Brüche vor der Division auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden sollen. Daher hat das Verfahren zum Teilen von Brüchen einen unnötigen Schritt: a/b: c/d = ad/bd: cb/bd = ad/cb. Erst im 5. Jahrhundert Zhang Qiu-jian hat es in seinem Werk „Zhang Qiu-jian suan jing“ („Zählkanon von Zhang Qiu-jian“) beseitigt, indem er Brüche nach der üblichen Regel dividiert hat: a/b: c/d = ad/cb .

Vielleicht war das lange Engagement chinesischer Mathematiker für einen ausgefeilten Algorithmus zur Division von Brüchen auf den Wunsch zurückzuführen, seine Universalität und die Verwendung eines Zählbretts zu bewahren. Tatsächlich besteht es darin, die Division von Brüchen auf die Division ganzer Zahlen zu reduzieren. Dieser Algorithmus ist gültig, wenn eine ganze Zahl durch eine gemischte Zahl teilbar ist. Bei der Division von beispielsweise 2922 durch 182 5 / 8 wurden zunächst beide Zahlen mit 8 multipliziert, was eine weitere Division ganzer Zahlen ermöglichte: 23376:1461= 16

1.8. Fraktionen in anderen Staaten der Antike und des Mittelalters.

Eine Weiterentwicklung des Konzepts der gemeinsamen Fraktion gelang in Indien. Den Mathematikern dieses Landes gelang es, schnell von Einheitsbrüchen zu Brüchen allgemeiner Form überzugehen. Zum ersten Mal finden sich solche Brüche in den „Regeln des Seils“ von Apastamba (VII-V Jahrhundert v. Chr.), die geometrische Konstruktionen und die Ergebnisse einiger Berechnungen enthalten. In Indien wurde ein Schriftsystem verwendet – vielleicht chinesischen und möglicherweise spätgriechischen Ursprungs – bei dem der Zähler eines Bruchs über dem Nenner geschrieben wurde – wie bei uns, jedoch ohne Bruchstrich, sondern der ganze Bruch wurde in a gesetzt rechteckiger Rahmen. Manchmal wurde auch ein „dreistöckiger“ Ausdruck mit drei Zahlen in einem Rahmen verwendet; Je nach Kontext könnte dies einen unechten Bruch (a + b/c) oder die Division einer ganzen Zahl a durch einen Bruch b/c bedeuten.

Zum Beispiel Bruch aufgezeichnet als

Die vom indischen Wissenschaftler Bramagupta (VIII. Jahrhundert) aufgestellten Regeln für Aktionen mit Brüchen unterschieden sich kaum von modernen. Wie in China wurden in Indien lange Zeit, jedoch ab dem 9. Jahrhundert, die Nenner aller Begriffe multipliziert, um sie auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. das kleinste gemeinsame Vielfache verwendet.

Die Araber des Mittelalters verwendeten drei Systeme zum Schreiben von Brüchen. Zuerst wird nach indischer Art der Nenner unter den Zähler geschrieben; Bruchlinie erschien am Ende von XII - frühes XIII V. Zweitens verwendeten Beamte, Landvermesser und Kaufleute die Berechnung aliquoter Brüche, ähnlich der ägyptischen, während Brüche mit Nennern von nicht mehr als 10 verwendet wurden (in der arabischen Sprache gibt es nur für solche Brüche spezielle Bezeichnungen); häufig wurden Näherungswerte verwendet; Arabische Gelehrte arbeiteten daran, diese Rechnung zu verbessern. Drittens übernahmen arabische Gelehrte das babylonisch-griechische Sixagesimalsystem, in dem sie wie die Griechen die alphabetische Notation verwendeten und diese auf ganze Teile ausdehnten.

Die indische Bezeichnung von Brüchen und die Regeln für den Umgang mit ihnen wurden im 9. Jahrhundert übernommen. in muslimischen Ländern dank Muhammad von Khorezm (al-Khwarizmi). In der Handelspraxis der islamischen Länder wurden häufig einzelne Brüche verwendet, in der Wissenschaft wurden Sexagesimalbrüche und in viel geringerem Maße gewöhnliche Brüche verwendet. Al-Karaji (X-XI Jahrhundert), al-Khassar (XII Jahrhundert), al-Kalasadi (XV Jahrhundert) und andere Wissenschaftler stellten in ihren Werken die Regeln für die Darstellung gewöhnlicher Brüche als Summen und Produkte von Einheitsbrüchen vor. Informationen über Brüche wurden vom italienischen Kaufmann und Wissenschaftler Leonardo Fibonacci aus Pisa (13. Jahrhundert) nach Westeuropa übertragen. Er führte das Wort Bruch ein, begann, das Merkmal eines Bruchs zu verwenden (1202), gab Formeln für die systematische Aufteilung von Brüchen in Grundbrüche an. Die Namen Zähler und Nenner wurden im 13. Jahrhundert von Maxim Planud, einem griechischen Mönch, Wissenschaftler und Mathematiker, eingeführt. Die Methode, Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu reduzieren, wurde 1556 von N. Tartaglia vorgeschlagen. Das moderne Schema zur Addition gewöhnlicher Brüche stammt aus dem Jahr 1629. bei A. Girard.

II. Die Verwendung gewöhnlicher Brüche

2.1 Aliquote Fraktionen

Probleme bei der Verwendung aliquoter Fraktionen stellen eine umfangreiche Klasse nicht standardmäßiger Probleme dar, darunter auch solche, die aus der Antike stammen. Aliquote Brüche werden verwendet, wenn etwas mit möglichst wenigen Schritten in mehrere Teile geteilt werden muss. Die Zerlegung von Brüchen der Form 2/n und 2/(2n + 1) in zwei aliquote Brüche wird in Form von Formeln systematisiert

Zerlegung in drei, vier, fünf usw. Aliquotfraktionen können erzeugt werden, indem einer der Terme in zwei Fraktionen, der nächste Term in zwei weitere Aliquotfraktionen usw. zerlegt wird.

Um eine beliebige Zahl als Summe aliquoter Brüche darzustellen, muss man manchmal außergewöhnlichen Einfallsreichtum an den Tag legen. Nehmen wir an, die Zahl 2/43 wird folgendermaßen ausgedrückt: 2/43=1/42+1/86+1/129+1/301. Es ist sehr umständlich, arithmetische Operationen an Zahlen durchzuführen und sie in eine Summe von Bruchteilen von eins zu zerlegen. Daher entstand im Prozess der Lösung von Problemen zur Entwicklung aliquoter Fraktionen als Summe kleinerer aliquoter Fraktionen die Idee, die Entwicklung von Fraktionen in Form einer Formel zu systematisieren. Diese Formel ist gültig, wenn die Erweiterung einer aliquoten Fraktion in zwei aliquote Fraktionen erforderlich ist.

Die Formel sieht so aus:

1/n=1/(n+1) + 1/n (n+1)

Beispiele für die Erweiterung von Brüchen:

1/3=1/(3+1)+1/3 (3+1)=1/4 +1/12;

1/5=1/(5+1)+1/5 (5+1)=1/6 +1/30;

1/8=1/(8+1)+1/8 (8+1)=1/9+1/72.

Diese Formel kann transformiert werden und die folgende nützliche Gleichheit erhalten: 1/n (n+1)=1/n -1/(n+1)

Beispiel: 1/6=1/(2 3)=1/2 -1/3

Das heißt, ein aliquoter Bruch kann durch die Differenz zweier aliquoter Fraktionen oder durch die Differenz zweier aliquoter Fraktionen dargestellt werden, deren Nenner aufeinanderfolgende Zahlen sind, die ihrem Produkt entsprechen.

Beispiel. Stellen Sie die Zahl 1 als Summe verschiedener aliquoter Fraktionen dar

a) drei Terme 1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6

b) vier Semester

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)= 1/2+1/3+1/7+1/42

c) fünf Semester

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=1/2+1/3+1/7+1/42=1/2+(1/4+ +1/12) +1/7+1/42=1/2+1/4+1/12 +1/7+1/42

2.2 Statt kleine Anteile, große

In Maschinenbaubetrieben gibt es einen sehr spannenden Beruf, den sogenannten Reißschreiber. Der Anreißer markiert auf dem Werkstück die Linien, entlang derer dieses Werkstück bearbeitet werden soll, um ihm die nötige Form zu geben.

Der Anreißer muss interessante und manchmal schwierige geometrische Probleme lösen, arithmetische Berechnungen durchführen usw.
„Es war notwendig, 7 identische rechteckige Platten irgendwie zu gleichen Teilen auf 12 Teile zu verteilen. Sie brachten diese 7 Platten zum Markierer und baten ihn, die Platten nach Möglichkeit so zu markieren, dass keines davon in sehr kleine Teile zerkleinert werden musste Die einfachste Lösung, jeden Datensatz in 12 gleiche Teile zu zerschneiden, war also nicht gut, da dadurch viele kleine Teile entstanden.
Ist es möglich, diese Datensätze in größere Teile aufzuteilen? Der Scaler dachte nach, machte einige arithmetische Berechnungen mit Brüchen und fand dennoch den wirtschaftlichsten Weg, diese Platten zu teilen.
Anschließend zerkleinerte er mühelos 5 Teller, um sie zu gleichen Teilen auf sechs Teile zu verteilen, 13 Teller für 12 Teile, 13 Teller für 36 Teile, 26 für 21 usw.

Es stellte sich heraus, dass der Marker den Bruch 7\12 als Summe der Einheitsbrüche 1\3 + 1\4 darstellte. Wenn also von 7 gegebenen Platten 4 in jeweils drei gleiche Teile geschnitten werden, dann erhalten wir 12 Drittel, also ein Drittel für jeden Teil. Die restlichen 3 Teller schneiden wir in jeweils 4 gleiche Teile, wir erhalten 12 Viertel, also ein Viertel für jeden Teil. Ähnlich verhält es sich mit der Darstellung von Brüchen als Summe von Einheitsbrüchen 5\6=1\2+1\3; 13\121\3+3\4; 13\36=1\4+1\9.

2.3 Trennwände unter schwierigen Umständen

Es gibt ein bekanntes orientalisches Gleichnis, in dem ein Vater seinen Söhnen 17 Kamele hinterließ und ihnen befahl, sie unter sich aufzuteilen: die ältere Hälfte, die mittlere – ein Drittel, die jüngere – ein Neuntel. Aber 17 ist nicht durch 2, 3 oder 9 teilbar. Die Söhne wandten sich an den Weisen. Der Weise war mit Brüchen vertraut und konnte in dieser schwierigen Situation helfen.

Er hat einen Trick gemacht. Der Weise fügte sein Kamel eine Zeit lang der Herde hinzu, dann waren es 18. Der Weise teilte diese Zahl, wie im Testament angegeben, und nahm sein Kamel zurück. Das Geheimnis besteht darin, dass die Teile, in die die Söhne laut Testament die Herde aufteilen sollten, nicht 1 ergeben. Tatsächlich ist 1\2 + 1\3 + 1\9 = 17\18.

Es gibt viele solcher Aufgaben. Zum Beispiel eine Aufgabe aus einem russischen Lehrbuch über vier Freunde, die eine Brieftasche mit acht Gutschriften gefunden haben: eine für einen, drei, fünf Rubel und der Rest für zehn Rubel. Im gegenseitigen Einvernehmen wollte man den dritten Teil, das zweite Viertel, das dritte Fünftel, das vierte Sechstel. Aus eigener Kraft gelang es ihnen jedoch nicht: Ein Passant half, indem er seinen Rubel hinzufügte. Um diese Schwierigkeit zu lösen, addierte der Passant Einheitsbrüche 1\3 + 1\4 + 1\5 + 1\6 = 57\60, erfüllte damit die Wünsche von Freunden und verdiente 2 Rubel für sich.

III.Unterhaltsame Brüche

3.1 Dominosteine

Dominoes ist ein Brettspiel, das auf der ganzen Welt gespielt wird. Das Dominospiel besteht meist aus 28 rechteckigen Würfelplättchen. Ein Dominostein ist ein rechteckiger Stein, dessen Vorderseite durch eine Linie in zwei quadratische Teile geteilt ist. Jeder Teil enthält zwischen null und sechs Punkte. Wenn wir die Würfel entfernen, die auf mindestens einer Hälfte keine Punkte enthalten (Blankhe), dann können die verbleibenden Würfel als Brüche betrachtet werden. Knochen, deren beide Hälften die gleiche Anzahl an Punkten enthalten (Doppel), sind unechte Brüche gleich eins. Wenn Sie mehr dieser Knochen entfernen, bleiben 15 Knochen übrig. Sie können auf unterschiedliche Weise platziert werden und interessante Ergebnisse erzielen.

1. Anordnung in 3 Reihen, wobei die Summe der Brüche jeweils 2 beträgt.

;
;

2. Ordnen Sie alle 15 Spielsteine in drei Reihen zu je 5 Spielsteinen an und verwenden Sie einige der Dominosteinchen als unechte Brüche, wie 4/3, 6/1, 3/2 usw., sodass sich die Summe der Brüche in jedem ergibt Zeile war gleich 10.

1\3+6\1+3\4+5\3+5\4=10

2\1+5\1+2\6+6\3+4\6=10

4\1+2\3+4\2+5\2+5\6=10

3. Anordnung der Brüche in Zeilen, deren Summe eine ganze Zahl ist (aber in verschiedenen Zeilen unterschiedlich).

3.2 Seit jeher.

„Er hat dieses Thema gewissenhaft untersucht.“ Das bedeutet, dass das Thema bis zum Ende untersucht wurde und nicht die kleinste Unklarheit bestehen geblieben ist. Und das seltsame Wort „gewissenhaft“ kommt vom römischen Namen 1/288 assa – „scrupulus“.

„Gehen Sie in die Brüche ein.“ Dieser Ausdruck bedeutet, in eine schwierige Situation zu geraten.

„Ass“ – eine Masseneinheit in der Pharmakologie (Apothekerpfund).

„Ounce“ – eine Masseneinheit im englischen Maßsystem, eine Masseneinheit in der Pharmakologie und Chemie.

IV. Abschluss.

Ich kam zu dem Schluss, dass die Geschichte der gemeinsamen Brüche ein kurvenreicher Weg mit vielen Hindernissen und Schwierigkeiten ist. Während der Arbeit an dem Aufsatz habe ich viel Neues und Interessantes gelernt. Ich habe viele Bücher und Abschnitte aus Enzyklopädien gelesen. Ich lernte die ersten Brüche kennen, mit denen Menschen operierten, das Konzept einer aliquoten Fraktion und lernte für mich neue Namen von Wissenschaftlern kennen, die zur Entwicklung der Bruchlehre beigetragen haben. Sie selbst versuchte, olympische und unterhaltsame Probleme zu lösen, wählte unabhängig Beispiele für die Zerlegung gewöhnlicher Brüche in aliquote Brüche aus und analysierte die Lösung der in den Texten angegebenen Beispiele und Probleme. Die Antwort auf die Frage, die ich mir vor Beginn der Arbeit an dem Aufsatz gestellt habe: Gewöhnliche Brüche sind notwendig, sie sind wichtig. Es war interessant, eine Präsentation vorzubereiten, ich musste mich an den Lehrer und die Klassenkameraden wenden, um Hilfe zu erhalten. Außerdem stieß ich beim Tippen erstmals auf die Notwendigkeit, Brüche und Bruchausdrücke auszugeben. Ich habe mein Abstract auf einer Schulkonferenz vorgestellt. Sie trat auch vor ihren Klassenkameraden auf. Sie hörten sehr aufmerksam zu und waren meiner Meinung nach interessiert.

Die Aufgaben, die ich mir vor Beginn der Arbeit an der Zusammenfassung gestellt habe, wurden meiner Meinung nach von mir erfüllt.

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7. /wiki. Material aus Wikipedia – der freien Enzyklopädie.

Anhang 1.

Natürlicher Maßstab

Jeder weiß, dass Pythagoras ein Wissenschaftler und insbesondere der Autor des berühmten Theorems war. Und dass er auch ein brillanter Musiker war, ist nicht allgemein bekannt. Die Kombination dieser Talente ermöglichte es ihm, als Erster die Existenz einer natürlichen Skala zu erraten. Wir mussten es noch beweisen. Pythagoras baute für seine Experimente ein Halbinstrument, ein Halbgerät – ein „Monochord“. Es war eine längliche Schachtel, über die eine Schnur gespannt war. Unter der Schnur, auf dem oberen Deckel der Schachtel, zeichnete Pythagoras eine Skala, um die visuelle Unterteilung der Schnur in Teile zu erleichtern. Viele Experimente wurden von Pythagoras mit einem Monochord durchgeführt und am Ende beschrieb er mathematisch das Verhalten einer klingenden Saite. Die Arbeit von Pythagoras bildete die Grundlage der Wissenschaft, die wir heute musikalische Akustik nennen. Es stellt sich heraus, dass sieben Töne innerhalb einer Oktave für die Musik so natürlich sind wie zehn Finger für die Arithmetik. Bereits die Sehne des allerersten Bogens, die nach dem Schuss oszillierte, lieferte jene musikalischen Klänge, die wir heute noch fast unverändert verwenden.

Aus physikalischer Sicht sind Bogensehne und Sehne ein und dasselbe. Ja, und ein Mann hat eine Sehne hergestellt und dabei auf die Eigenschaften der Bogensehne geachtet. Die klingende Saite schwingt nicht nur als Ganzes, sondern gleichzeitig in Hälften, Terzen, Vierteln usw. Betrachten wir dieses Phänomen nun von der arithmetischen Seite. Hälften schwingen doppelt so oft wie eine ganze Saite, Terzen – dreimal, Viertel – viermal. Mit einem Wort: Je kleiner der schwingende Teil der Saite ist, desto größer ist die Frequenz ihrer Schwingungen. Nehmen wir an, die gesamte Saite schwingt mit einer Frequenz von 24 Hertz. Wenn wir die Schwankungen der Anteile bis zum Sechzehntel berechnen, erhalten wir eine Reihe von Zahlen, die in der Tabelle aufgeführt sind. Diese Frequenzfolge nennt man natürlich, d.h. natürlich, gesund.

Anlage 2

Alte Probleme mit gewöhnlichen Brüchen.

In alten Manuskripten und alten Arithmetiklehrbüchern aus verschiedenen Ländern gibt es viele interessante Aufgaben zu Brüchen. Die Lösung jedes dieser Probleme erfordert erheblichen Einfallsreichtum, Einfallsreichtum und die Fähigkeit zur Vernunft.

1. Ein Hirte kommt mit 70 Bullen. Er wird gefragt:

Wie viele bringt ihr aus eurer großen Herde heraus?

Der Hirte antwortet:

Ich bringe zwei Drittel des Viehs mit. Zählen Sie, wie viele Bullen in der Herde sind?

Papyrus von Ahmes (Ägypten, ca. 2000 v. Chr.).

2. Jemand hat 1/13 aus der Staatskasse genommen. Von dem Rest nahm ein anderer 1/17 ein. Er hinterließ 192 in der Staatskasse. Wir wollen wissen, wie viel ursprünglich in der Staatskasse war

Akmim-Papyrus (VI. Jh.)

3. Reisender! Hier wird die Asche von Diophantus begraben. Und die Zahlen können, oh Wunder, sagen, wie lange er gelebt hat.

Der sechste Teil von ihm war eine wundervolle Kindheit.

Der zwölfte Teil eines weiteren Lebens verging – dann war das Kinn mit Flaum bedeckt.
Der siebte in einer kinderlosen Ehe wurde von Diophantus geführt.

Fünf Jahre sind vergangen; er wurde mit der Geburt eines wunderschönen erstgeborenen Sohnes gesegnet.
Wem das Schicksal im Vergleich zu seinem Vater nur die Hälfte eines schönen und hellen Lebens auf Erden bescherte.

Und in tiefer Trauer akzeptierte der alte Mann des irdischen Schicksals das Ende, nachdem er den Verlust seines Sohnes vor vier Jahren überlebt hatte.

Sagen Sie mir, wie viele Jahre seines Lebens hat Diophantus den Tod akzeptiert?

4. Jemand vermachte im Sterben: „Wenn meine Frau einen Sohn hat, dann lass ihn 2/3 des Nachlasses haben und seine Frau – den Rest.“ Wenn eine Tochter geboren wird, ist sie 1/3 und die Frau 2/3. Es wurden Zwillinge geboren – ein Sohn und eine Tochter. Wie teilt man den Nachlass auf?

Antike römische Aufgabe (II. Jahrhundert)

Finden Sie drei Zahlen, bei denen die größte den Durchschnitt um einen gegebenen Bruchteil der kleinsten übersteigt, so dass der Durchschnitt die kleinste um einen gegebenen Bruchteil der größten übersteigt und die kleinste Zahl 10 um einen gegebenen Bruchteil des Durchschnitts übersteigt.

Diophantus von Alexandria Abhandlung „Arithmetik“ (II. – III. Jahrhundert n. Chr.)

5. Wildente aus Südsee fliegt 7 Tage an die Nordsee. Die Wildgans fliegt 9 Tage lang von der Nordmine zum Südmeer. Jetzt fliegen Ente und Gans gleichzeitig raus. In wie vielen Tagen werden sie sich treffen?

China (2. Jahrhundert n. Chr.)

6. „Ein Kaufmann zog durch drei Städte, und in der ersten Stadt zogen sie von ihm die Hälfte und ein Drittel des Eigentums ein, und in der zweiten Stadt die Hälfte und ein Drittel des restlichen Eigentums und in der dritten Stadt die Hälfte und ein Drittel des restlichen Eigentums. Und als er nach Hause kam, hatte er noch 11 Geld übrig. Finden Sie heraus, wie viel Geld der Händler zunächst hatte.

Anani Shirakatsi. Sammlung „Fragen und Antworten“ (VIIJahrhundert n. Chr).

Es gibt eine Kadamba-Blume,

Für ein Blütenblatt

Ein Fünftel der Bienen ist abgefallen.

Wächst direkt daneben

Alles blüht, Simengda,

Und darauf passte der dritte Teil.

Sie finden ihren Unterschied

Falten Sie es dreimal

Und setze diese Bienen auf den Kutai.

Nur zwei wurden nicht gefunden.

Dein Platz ist nirgendwo

Alle flogen hin und her und überall hin

Ich habe den Duft der Blumen genossen.

Ruf mich jetzt an

Ich zähle in Gedanken

Wie viele Bienen gibt es insgesamt?

Altindische Aufgabe (XI Jahrhundert).

8. „Finden Sie eine Zahl und wissen Sie, dass Sie 10 erhalten, wenn Sie ein Drittel und ein Viertel davon subtrahieren.“

Muhammad ibn Musa al Khorezmi „Arithmetik“ (IX. Jahrhundert)

9. Eine Frau ging in den Garten, um Äpfel zu pflücken. Um den Garten zu verlassen, musste sie durch vier Türen gehen, an denen jeweils ein Wächter stand. Die Frau gab die Hälfte der Äpfel, die sie gepflückt hatte, dem Wachmann an der ersten Tür. Als sie die zweite Wache erreichte, gab die Frau ihm die Hälfte des Restes. Sie machte dasselbe mit der dritten Wache, und als sie die Äpfel mit der vierten Wache teilte, hatte sie noch 10 Äpfel übrig. Wie viele Äpfel hat sie im Garten gepflückt?

„1001 Nacht“

10. Nur „das“ und „das“ und die Hälfte von „das“ und „das“ – wie viel werden es Prozent von drei Vierteln von „das“ und „das“ sein?

Kodex alte Rus'(X-XI Jahrhundert)

11. Drei Kosaken kamen zum Hirten, um Pferde zu kaufen.

„Gut, ich verkaufe euch Pferde“, sagte der Hirte, „ich verkaufe eine halbe Herde und ein weiteres halbes Pferd an den ersten, die Hälfte der restlichen Pferde und noch ein halbes Pferd an den zweiten, und der dritte wird.“ erhält mit einem halben Pferd auch die Hälfte der restlichen Pferde.

Ich werde mir nur 5 Pferde lassen.

Die Kosaken waren überrascht, wie der Hirte die Pferde in Teile zerlegte. Aber nach einigem Überlegen beruhigten sie sich und der Deal kam zustande.

Wie viele Pferde verkaufte der Hirte an jeden Kosaken?

12. Jemand fragte den Lehrer: „Sag mir, wie viele Schüler hast du in deiner Klasse, denn ich möchte dir meinen Sohn zum Unterrichten geben.“ Der Lehrer antwortete: „Wenn mehr Schüler kommen, so viele wie ich habe und halb so viele und ein Viertel und dein Sohn, dann werde ich 100 Schüler haben.“ Die Frage ist: Wie viele Schüler hatte der Lehrer?

L. F. Magnitsky „Arithmetik“ (1703)

13. Der Reisende holte einen anderen ein und fragte ihn: „Ist es weit bis zum Dorf vor uns?“ Ein anderer Reisender antwortete: „Die Entfernung vom Dorf, von dem aus Sie reisen, entspricht einem Drittel der Gesamtentfernung zwischen den Dörfern.“ Und wenn Sie noch zwei Meilen laufen, befinden Sie sich genau in der Mitte zwischen den Dörfern. Wie viele Meilen verbleiben noch bis zum ersten Reisenden?

L. F. Magnitsky „Arithmetik“ (1703)

14. Eine Bäuerin verkaufte Eier auf dem Markt. Die erste Kundin kaufte von ihr die Hälfte der Eier und noch ein halbes Ei, die zweite Hälfte den Rest und noch einmal ein halbes Ei und die dritte die letzten 10 Eier.

Wie viele Eier brachte die Bäuerin auf den Markt?

L. F. Magnitsky „Arithmetik“ (1703)

15. Mann und Frau nahmen Geld aus derselben Truhe und es blieb nichts übrig. Der Mann nahm 7/10 des gesamten Geldes und die Frau 690 Rubel. Wie viel war das ganze Geld?

L. N. Tolstoi „Arithmetik“

16. Ein Achtel einer Zahl

Nehmen Sie, fügen Sie etwas hinzu

Die Hälfte von dreihundert

Und die Acht werden übertreffen

Nicht wenig – fünfzig

Dreiviertel. Ich werde glücklich sein,

Wenn derjenige, der die Punktzahl kennt

Es wird mir eine Nummer sagen.

Johann Hemeling, Mathematiklehrer. (1800)

17. Drei haben etwas Geld gewonnen. Der Anteil des ersten betrug 1/4 dieses Betrags, der Anteil des zweiten betrug 1/7 und der Anteil des dritten betrug 17 Gulden. Wie hoch sind alle Gewinne?

Adam Rize (Deutschland, 16. Jahrhundert) 18. Jemand beschloss, alle seine Ersparnisse gleichmäßig auf alle seine Söhne aufzuteilen, und verfasste ein Testament. „Der älteste meiner Söhne sollte 1.000 Rubel und ein Achtel vom Rest erhalten; der nächste - 2000 Rubel und ein Achtel des neuen Restbetrags; der dritte Sohn – 3.000 Rubel und ein Achtel des nächsten Restbetrags usw.“ Bestimmen Sie die Anzahl der Söhne und die Höhe der vererbten Ersparnisse.

Leonhard Euler (1780)

19. Drei Personen wollen ein Haus für 24.000 Livres kaufen. Sie waren sich einig, dass der Erste die Hälfte geben würde, der Zweite ein Drittel und der Dritte den Rest. Wie viel Geld wird der Dritte geben?

Brüche "," Normal Brüche". Das Spiel „Über das, was sie können ... zum mentalen Zählen.“ Aufgaben zum Thema „ Normal Brüche und Maßnahmen auf ihnen“ 1. U... Philosoph, Schriftsteller. B. Pascal war außerordentlich talentiert und vielseitig, sein Leben war...

Pavlikova E.V. (, MAOU Dyatkovskaya Sekundarschule Nr. 5)

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Studienobjekt: Die Geschichte der gemeinsamen Brüche.

Gegenstand der Studie: gewöhnliche Brüche.

Hypothese: Könnte sich die Mathematik entwickeln, wenn es keine Brüche gäbe?

Ziel der Arbeit: Dekoration des Standes „Mathematik um uns herum“ im Mathematikunterricht mit Wissenswertem über Brüche.

Aufgaben:

1. Studieren Sie die Geschichte der Entstehung von Brüchen in der Mathematik;

2. Wählen Sie die interessantesten Fakten über Brüche aus, die zum Zusammensetzen von Abschnitten des Standes verwendet werden können.

3. Entwerfen Sie einen Stand im Mathematikunterricht.

Relevanz: Das moderne Leben macht Probleme mit Brüchen relevant, da der Umfang der praktischen Anwendung von Brüchen zunimmt.

Forschungsmethoden:

1. Suchen Sie nach Informationen über Brüche in verschiedenen Quellen: Internet, Belletristik, Lehrbücher.

2. Analyse, Vergleich, Verallgemeinerung und Systematisierung von Informationen.

Aus der Geschichte der gewöhnlichen Brüche

Die Entstehung von Brüchen

Um lebenswichtige praktische Probleme zu lösen, mussten die Menschen seit jeher Gegenstände zählen und Mengen abmessen, also die Frage „Wie viele?“ beantworten: Wie viele Schafe sind in der Herde, wie viele Maß Getreide werden gesammelt vom Feld entfernt, wie viele Meilen vom Kreiszentrum entfernt usw. So erschienen Zahlen. Es war nicht immer möglich, das Messergebnis oder die Warenkosten in natürlichen Zahlen auszudrücken. Wenn jemand neue Bruchzahlen erfinden musste, tauchten Brüche auf. In der Antike wurden ganze Zahlen und Bruchzahlen unterschiedlich behandelt: Die Präferenzen lagen auf der Seite der ganzen Zahlen. „Wenn du die Einheit teilen willst, werden dich die Mathematiker lächerlich machen und dir das nicht erlauben“, schrieb Platon, der Gründer der Athener Akademie.

Brüche in Rus

In alten Handbüchern finden wir die folgenden Namen von Brüchen in Rus:

Brüche in anderen Staaten der Antike

Alle Zählregeln der alten Ägypter basierten auf der Fähigkeit, Zahlen zu addieren und zu subtrahieren, zu verdoppeln und Brüche zu eins zu ergänzen. Für Brüche gab es spezielle Schreibweisen. Die Ägypter verwendeten Brüche der Form 1/n, wobei n eine natürliche Zahl ist. Solche Fraktionen werden Aliquots genannt. Anstatt m:n zu dividieren, multiplizierten sie manchmal m. N.

Anwendung

Stand „Mathematik um uns herum“

Tabelle „Aufzeichnung von Brüchen in Ägypten“

In China waren fast alle Rechenoperationen mit gewöhnlichen Brüchen bereits im 2. Jahrhundert v. Chr. etabliert. Chr e.; Sie werden im grundlegenden Korpus des mathematischen Wissens des alten China beschrieben – „Mathematik in neun Büchern“, dessen letzte Ausgabe Zhang Tsang gehört. Chinesische Mathematiker rechneten auf der Grundlage einer Regel ähnlich dem Euklid-Algorithmus (dem größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner) und reduzierten Brüche. Die Multiplikation von Brüchen wurde als Ermittlung der Fläche eines rechteckigen Grundstücks dargestellt, dessen Länge und Breite in Bruchzahlen ausgedrückt werden. Die Division wurde unter Verwendung der Idee der Division in Betracht gezogen, während es chinesischen Mathematikern nicht peinlich war, dass die Anzahl der Teilnehmer an der Division gebrochen sein könnte, beispielsweise 3 1/2 Personen.

Ursprünglich verwendeten die Chinesen die einfachsten Brüche, die mit der Bani-Hieroglyphe benannt wurden:

Verbot ("halb") -1 \ 2;

Shao-Verbot („kleine Hälfte“) -1\3;

Tai Ban („große Hälfte“) – 2 \ 3.

Interessanterweise bevorzugten die Babylonier einen konstanten Nenner (gleich 60, offenbar weil ihr Zahlensystem sexagesimal war).

Auch die Römer verwendeten nur einen Nenner, 12.

Eine Weiterentwicklung des Konzepts der gemeinsamen Fraktion gelang in Indien. Den Mathematikern dieses Landes gelang es, schnell von Einheitsbrüchen zu Brüchen allgemeiner Form überzugehen. Zum ersten Mal finden sich solche Brüche in den „Regeln des Seils“ von Apastamba (VII-V Jahrhundert v. Chr.), die geometrische Konstruktionen und die Ergebnisse einiger Berechnungen enthalten. In Indien wurde ein Schriftsystem verwendet – möglicherweise chinesischen, möglicherweise spätgriechischen Ursprungs – bei dem der Zähler eines Bruchs über dem Nenner geschrieben wurde – wie bei uns, jedoch ohne Bruchstrich, sondern der ganze Bruch in a gesetzt wurde rechteckiger Rahmen.

Unterhaltsame Brüche

„Ohne die Kenntnis von Brüchen kann niemand als jemand gelten, der sich mit der Arithmetik auskennt!“

Wenn Menschen Geld verwenden, stoßen sie immer auf Brüche: Im Mittelalter war 1 englischer Pence = 1/12 Schilling; derzeit ist der russische Kopek = 1/100 Rubel.

Messsysteme tragen Brüche: 1 Zentimeter = 1/10 Dezimeter = 1/100 Meter.

Brüche waren zu jeder Zeit in Mode. Der Stil mit Dreiviertelärmeln ist immer relevant. Und eine 7/8-Cropped-Hose ist ein tolles Kleidungsstück.

Sie können Brüche in verschiedenen Lektionen kennenlernen. Zum Beispiel in der Geographie: „Während der Existenz der UdSSR besetzte Russland ein Sechstel des Landes. Jetzt besetzt Russland ein Neuntel des Landes. In der bildenden Kunst – bei der Darstellung einer menschlichen Figur. In der Musik – der Rhythmus, die Größe eines Musikstücks.

Eine Person trifft im Leben auf das Wort „Bruchteil“:

Kleine Bleikugeln zum Schießen mit einem Jagdgewehr - Schrot.

Häufige, intermittierende Geräusche – Trommeln.

In der Marine hat das Team „geschossen!“ - Waffenstillstand.

Hausnummerierung. Die Zahl durch den Bruch wird an den nummerierten Häusern entlang zweier sich kreuzender Straßen platziert.

Im Tanz erschossen. Der russische Volkstanz ist ohne Brüche und Laufen nicht vorstellbar.

Einen Bruchteil mit den Zähnen ausschlagen – mit den Zähnen klopfen (Frösteln vor Kälte, Angst).

In der Fiktion. Deniska, die Heldin von Viktor Dragunskys Geschichte „Man muss Sinn für Humor haben“, stellte seiner Freundin Mischka einmal ein Problem: Wie teilt man zwei Äpfel gleichmäßig in drei? Und als Mischka schließlich aufgab, verkündete er triumphierend die Antwort: „Kompott kochen!“ Bear und Denis hatten noch keine Brüche durchgemacht und wussten sicher, dass 2 durch 3 nicht teilbar ist?

Aber das ist nicht die einzige Lösung für dieses Problem! Es ist notwendig, jeden Apfel in drei Teile zu teilen und zwei solcher Teile auf alle drei zu verteilen.

Es gibt drei Arten von Brüchen:

1. Einzeln (Aliquote) oder Bruchteile (z. B. 1/2, 1/3, 1/4 usw.).

2. Systematische Brüche, d. h. Brüche, bei denen der Nenner durch eine Potenz einer Zahl ausgedrückt wird (z. B. eine Potenz von 10 oder 60 usw.).

3. Allgemeine Form, bei der Zähler und Nenner eine beliebige Zahl sein können.

Es gibt Brüche „falsch“ – falsch und „echt“ – richtig.

Ein Bruch ist in der Mathematik eine Form der Darstellung mathematischer Größen durch die Divisionsoperation und spiegelt ursprünglich das Konzept der nicht ganzzahligen Zahlen oder Brüche wider. Im einfachsten Fall – ein Zahlenbruch – das Verhältnis zweier Zahlen

Im Bruch m / n (sprich: „em nth“) wird die Zahl m über der Linie als Zähler und die Zahl n unter der Linie als Nenner bezeichnet. Der Nenner gibt an, in wie viele gleiche Teile das Ganze geteilt wurde, und der Zähler gibt an, wie viele solcher Teile genommen wurden. Der Bruchstrich kann als Teilungszeichen verstanden werden.

Im Jahr 1202 führte er das Wort „Bruch“ ein.

Die Namen Zähler und Nenner wurden im 13. Jahrhundert von Maxim Planud, einem griechischen Mönch, Wissenschaftler und Mathematiker, eingeführt.

Auch in der Musik spielten gewöhnliche Brüche eine Rolle. Und nun wird in einer bestimmten musikalischen Notation eine lange Note – ein Ganzes – in Hälften (doppelt so kurz), Viertel, Sechzehntel und Dreißigsekunden geteilt. Somit wird das rhythmische Muster jedes Musikstücks, egal wie komplex es auch sein mag, durch gewöhnliche Brüche bestimmt. Es stellte sich heraus, dass Harmonie eng mit Brüchen verbunden war, was die Grundidee der Europäer bestätigte: „Zahl regiert die Welt.“

„Ein Mensch ist wie ein Bruch: Der Zähler ist er selbst und der Nenner ist das, was er über sich selbst denkt. Je größer der Nenner, desto kleiner der Bruch“ (L.N. Tolstoi).

Hauptergebnisse der Studie

Fazit: Der Bedarf an Brüchen entstand bereits in einem sehr frühen Stadium der menschlichen Entwicklung. Im Leben musste ein Mensch nicht nur Gegenstände zählen, sondern auch Mengen messen. Menschen maßen Längen, Landflächen, Volumina, Körpermassen und die Zeit und leisteten Zahlungen für gekaufte oder verkaufte Waren. Es war nicht immer möglich, das Messergebnis oder die Warenkosten in natürlichen Zahlen auszudrücken. So entstanden Brüche und die Regeln für ihren Umgang.

Die praktische Bedeutung der Arbeit

Ich beherrschte die Arbeit in einem Texteditor und arbeitete mit Internetressourcen. Ich habe das Material für die Gestaltung des Standes „Mathematik um uns herum“ im Mathematikunterricht mit Wissenswertem über Brüche (Anhang) ausgewählt. Und einen Stand entworfen (Anhang).

Als Ergebnis der Studie bestätigte ich die Hypothese: Auf Brüche konnte der Mensch nicht verzichten, auf Brüche konnte sich die Mathematik nicht entwickeln.

Bibliografischer Link

Balbutskaya A.A. INTERESSANTES ÜBER FRAKTIONEN // Beginnen Sie in der Wissenschaft. - 2017. - Nr. 5-2. – S. 265-268;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=874 (Zugriffsdatum: 29.08.2019).