In diesem Material analysieren wir, wie man Brüche richtig auf einen neuen Nenner bringt, was ein zusätzlicher Faktor ist und wie man ihn findet. Anschließend formulieren wir die Grundregel zur Reduktion von Brüchen auf neue Nenner und veranschaulichen sie anhand von Beispielproblemen.
Das Konzept, einen Bruch auf einen anderen Nenner zu reduzieren
Erinnern Sie sich an die Grundeigenschaft eines Bruchs. Ihm zufolge hat ein gewöhnlicher Bruch a b (wobei a und b beliebige Zahlen sind) unendlich viele Brüche, die ihm gleich sind. Solche Brüche erhält man durch Multiplikation von Zähler und Nenner mit derselben Zahl m (natürlich). Mit anderen Worten, alles gemeinsame Brüche kann durch andere der Form a · m b · m ersetzt werden. Dabei handelt es sich um die Reduktion des ursprünglichen Wertes auf einen Bruch mit dem gewünschten Nenner.
Sie können einen Bruch auf einen anderen Nenner bringen, indem Sie seinen Zähler und Nenner mit einem beliebigen Wert multiplizieren natürliche Zahl. Die Hauptbedingung ist, dass der Multiplikator für beide Teile des Bruchs gleich sein muss. Das Ergebnis ist ein Bruch gleich dem Original.
Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels veranschaulichen.
Beispiel 1
Wandeln Sie den Bruch 11 25 in einen neuen Nenner um.
Lösung
Nehmen Sie eine beliebige natürliche Zahl 4 und multiplizieren Sie beide Teile des ursprünglichen Bruchs damit. Wir berücksichtigen: 11 4 \u003d 44 und 25 4 \u003d 100. Das Ergebnis ist ein Bruchteil von 44.100.
Alle Berechnungen können in dieser Form geschrieben werden: 11 25 \u003d 11 4 25 4 \u003d 44 100
Es stellt sich heraus, dass jeder Bruch auf eine große Anzahl unterschiedlicher Nenner reduziert werden kann. Anstelle von vier könnten wir eine andere natürliche Zahl nehmen und einen weiteren Bruch erhalten, der dem ursprünglichen entspricht.
Aber nicht jede Zahl kann zum Nenner eines neuen Bruchs werden. Für a b kann der Nenner also nur Zahlen b · m enthalten, die Vielfache von b sind. Erinnern Sie sich an die Grundkonzepte der Division – Vielfache und Divisoren. Wenn die Zahl kein Vielfaches von b ist, aber kein Teiler eines neuen Bruchs sein kann. Lassen Sie uns unsere Idee anhand eines Beispiels zur Lösung des Problems erläutern.
Beispiel 2
Berechnen Sie, ob es möglich ist, den Bruch 5 9 auf die Nenner 54 und 21 zu reduzieren.
Lösung
54 ist ein Vielfaches von neun, dem Nenner des neuen Bruchs (d. h. 54 kann durch 9 geteilt werden). Daher ist eine solche Reduzierung möglich. Und wir können 21 nicht durch 9 dividieren, daher kann eine solche Aktion für diesen Bruch nicht durchgeführt werden.
Das Konzept eines zusätzlichen Multiplikators
Lassen Sie uns formulieren, was ein zusätzlicher Faktor ist.
Definition 1
Zusätzlicher Multiplikator ist eine natürliche Zahl, mit der beide Teile eines Bruchs multipliziert werden, um ihn auf einen neuen Nenner zu bringen.
Diese. Wenn wir diese Aktion für einen Bruch ausführen, nehmen wir dafür einen zusätzlichen Multiplikator. Um beispielsweise den Bruch 7 10 auf die Form 21 30 zu reduzieren, benötigen wir einen zusätzlichen Faktor 3 . Und mit einem Multiplikator von 5 können Sie einen Bruchteil von 15 40 aus 3 8 erhalten.
Wenn wir also den Nenner kennen, auf den der Bruch reduziert werden muss, können wir einen zusätzlichen Faktor dafür berechnen. Lassen Sie uns herausfinden, wie es geht.
Wir haben einen Bruch a b , der auf einen Nenner c reduziert werden kann; Berechnen Sie den Zusatzfaktor m . Wir müssen den Nenner des ursprünglichen Bruchs mit m multiplizieren. Wir erhalten b · m , und je nach Problembedingung ist b · m = c . Erinnern Sie sich daran, wie Multiplikation und Division zusammenhängen. Dieser Zusammenhang führt uns zu folgendem Schluss: Der zusätzliche Faktor ist nichts anderes als der Quotient aus c durch b, mit anderen Worten, m = c: b.
Um einen zusätzlichen Faktor zu finden, müssen wir daher den erforderlichen Nenner durch den ursprünglichen dividieren.
Beispiel 3
Finden Sie den zusätzlichen Faktor, um den der Bruch 17 4 auf den Nenner 124 gebracht wurde.
Lösung
Mit der obigen Regel dividieren wir einfach 124 durch den Nenner des ursprünglichen Bruchs, also vier.
Wir betrachten: 124: 4 \u003d 31.
Diese Art der Berechnung ist häufig erforderlich, wenn Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduziert werden sollen.
Die Regel zum Reduzieren von Brüchen auf einen bestimmten Nenner
Kommen wir zur Definition der Grundregel, mit der man Brüche auf den angegebenen Nenner bringen kann. So,
Definition 2
Um einen Bruch auf den angegebenen Nenner zu bringen, benötigen Sie:
- einen zusätzlichen Multiplikator bestimmen;
- Multiplizieren Sie damit sowohl den Zähler als auch den Nenner des ursprünglichen Bruchs.
Wie wendet man diese Regel in der Praxis an? Lassen Sie uns ein Beispiel für die Lösung des Problems geben.
Beispiel 4
Führe die Reduktion des Bruchs 7 16 auf den Nenner 336 durch.
Lösung
Beginnen wir mit der Berechnung des zusätzlichen Multiplikators. Teilen: 336: 16 = 21.
Wir multiplizieren die erhaltene Antwort mit beiden Teilen des ursprünglichen Bruchs: 7 16 = 7 21 16 21 = 147 336. Also haben wir den ursprünglichen Bruch auf den gewünschten Nenner 336 gebracht.
Antwort: 7 16 = 147 336.
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Ursprünglich wollte ich die Methoden des gemeinsamen Nenners in den Absatz „Brüche addieren und subtrahieren“ aufnehmen. Aber es gab so viele Informationen und ihre Bedeutung ist so groß (schließlich haben nicht nur numerische Brüche einen gemeinsamen Nenner), dass es besser ist, dieses Thema separat zu untersuchen.
Nehmen wir also an, wir haben zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern. Und wir wollen sicherstellen, dass die Nenner gleich werden. Zur Rettung kommt die Haupteigenschaft eines Bruchs, die, ich möchte Sie daran erinnern, so klingt:
Ein Bruch ändert sich nicht, wenn sein Zähler und Nenner mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert werden.
Wenn Sie also die Faktoren richtig wählen, sind die Nenner der Brüche gleich – diesen Vorgang nennt man Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner. Und die gewünschten Zahlen, die die Nenner „nivellieren“, werden als zusätzliche Faktoren bezeichnet.
Warum müssen Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden? Hier nur einige Gründe:
- Addition und Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern. Es gibt keine andere Möglichkeit, diesen Vorgang durchzuführen.
- Bruchvergleich. Manchmal vereinfacht die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner diese Aufgabe erheblich;
- Lösen von Problemen zu Aktien und Prozentsätzen. Prozentsätze sind eigentlich gewöhnliche Ausdrücke, die Brüche enthalten.
Es gibt viele Möglichkeiten, Zahlen zu finden, deren Nenner bei der Multiplikation gleich sind. Wir werden nur drei davon betrachten – in der Reihenfolge zunehmender Komplexität und gewissermaßen zunehmender Effizienz.
Multiplikation „kreuz und quer“
Der einfachste und zuverlässigste Weg, der die Nenner garantiert ausgleicht. Wir handeln „voraus“: Wir multiplizieren den ersten Bruch mit dem Nenner des zweiten Bruchs und den zweiten mit dem Nenner des ersten. Dadurch ergeben sich die Nenner beider Brüche gleich dem Produkt ursprüngliche Nenner. Schau mal:
Betrachten Sie als zusätzliche Faktoren die Nenner benachbarter Brüche. Wir bekommen:
Ja, so einfach ist das. Wenn Sie gerade erst anfangen, Brüche zu lernen, ist es besser, mit dieser Methode zu arbeiten – so versichern Sie sich vor vielen Fehlern und erhalten garantiert das Ergebnis.
Der einzige Nachteil dieser Methode besteht darin, dass man viel zählen muss, da die Nenner „voraus“ multipliziert werden und man dadurch sehr große Zahlen erhält. Das ist der Preis der Zuverlässigkeit.
Gemeinsame Teilermethode
Diese Technik trägt dazu bei, die Berechnungen erheblich zu reduzieren, wird aber leider selten verwendet. Die Methode ist wie folgt:
- Schauen Sie sich die Nenner an, bevor Sie „durch“ (d. h. „kreuz und quer“) gehen. Vielleicht ist einer von ihnen (der größere) durch den anderen teilbar.
- Die aus einer solchen Division resultierende Zahl ist ein zusätzlicher Faktor für einen Bruch mit kleinerem Nenner.
- Gleichzeitig muss ein Bruch mit großem Nenner überhaupt nicht mit irgendetwas multipliziert werden – das ist die Ersparnis. Gleichzeitig wird die Fehlerwahrscheinlichkeit deutlich reduziert.
Aufgabe. Ausdruckswerte finden:
Beachten Sie, dass 84: 21 = 4; 72:12 = 6. Da in beiden Fällen ein Nenner ohne Rest durch den anderen teilbar ist, verwenden wir die Methode der gemeinsamen Faktoren. Wir haben:
Beachten Sie, dass der zweite Bruch überhaupt nicht mit irgendetwas multipliziert wurde. Tatsächlich haben wir den Rechenaufwand halbiert!
Übrigens habe ich die Brüche in diesem Beispiel aus einem bestimmten Grund verwendet. Wenn Sie interessiert sind, versuchen Sie, sie mit der Kreuzmethode zu zählen. Nach der Reduzierung werden die Antworten dieselben sein, aber es wird viel mehr Arbeit geben.
Dies ist die Stärke der Methode der gemeinsamen Teiler, aber auch hier kann sie nur angewendet werden, wenn einer der Nenner ohne Rest durch den anderen geteilt wird. Was recht selten vorkommt.
Methode des kleinsten gemeinsamen Vielfachen
Wenn wir Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren, versuchen wir im Wesentlichen, eine Zahl zu finden, die durch jeden der Nenner teilbar ist. Dann bringen wir die Nenner beider Brüche auf diese Zahl.
Es gibt viele solcher Zahlen, und die kleinste von ihnen entspricht nicht unbedingt dem direkten Produkt der Nenner der ursprünglichen Brüche, wie bei der „Kreuz“-Methode angenommen wird.
Für die Nenner 8 und 12 ist beispielsweise die Zahl 24 durchaus geeignet, da 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Diese Zahl ist viel kleiner als das Produkt 8 12 = 96 .
Die kleinste Zahl, die durch jeden Nenner teilbar ist, wird als kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM) bezeichnet.
Notation: Das kleinste gemeinsame Vielfache von a und b wird mit LCM(a ; b ) bezeichnet. Zum Beispiel: LCM(16; 24) = 48 ; LCM(8; 12) = 24 .
Wenn es Ihnen gelingt, eine solche Zahl zu finden, ist der Gesamtaufwand an Berechnungen minimal. Schau dir die Beispiele an:
Aufgabe. Ausdruckswerte finden:
Beachten Sie, dass 234 = 117 2; 351 = 117 3 . Die Faktoren 2 und 3 sind teilerfremd (haben außer 1 keinen gemeinsamen Teiler) und Faktor 117 ist gemeinsam. Daher ist LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.
Ebenso 15 = 5 3; 20 = 5 4 . Die Faktoren 3 und 4 sind relativ erstklassig und Faktor 5 ist häufig. Daher ist LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.
Nun bringen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner:
Beachten Sie, wie nützlich sich die Faktorisierung der ursprünglichen Nenner erwies:
- Nachdem wir die gleichen Faktoren gefunden hatten, kamen wir sofort zum kleinsten gemeinsamen Vielfachen, was im Allgemeinen ein nicht triviales Problem ist;
- Aus der resultierenden Erweiterung können Sie herausfinden, welche Faktoren für jeden der Brüche „fehlen“. Zum Beispiel ist 234 3 \u003d 702, daher beträgt der zusätzliche Faktor für den ersten Bruch 3.
Um abzuschätzen, welchen Gewinn die Methode des kleinsten gemeinsamen Vielfachen bringt, versuchen Sie, dieselben Beispiele mit der Kreuzmethode zu berechnen. Natürlich ohne Taschenrechner. Ich denke, danach werden Kommentare überflüssig sein.
Denken Sie nicht, dass solche komplexen Brüche in realen Beispielen nicht vorkommen. Sie treffen sich ständig und die oben genannten Aufgaben sind nicht die Grenze!
Das einzige Problem besteht darin, dieses NOC zu finden. Manchmal ist alles in wenigen Sekunden buchstäblich „mit dem Auge“ gefunden, aber im Allgemeinen handelt es sich um ein komplexes Rechenproblem, das einer gesonderten Betrachtung bedarf. Hierauf werden wir nicht näher eingehen.
Wie bringt man algebraische (rationale) Brüche auf einen gemeinsamen Nenner?
1) Wenn die Nenner der Brüche Polynome sind, müssen Sie eine der bekannten Methoden ausprobieren.
2) Der kleinste gemeinsame Nenner (LCD) besteht aus alle Multiplikatoren berücksichtigt größte Grad.
Der kleinste gemeinsame Nenner für Zahlen wird verbal gesucht als die kleinste Zahl, die durch den Rest der Zahlen teilbar ist.
3) Um für jeden Bruch einen zusätzlichen Faktor zu finden, müssen Sie den neuen Nenner durch den alten dividieren.
4) Zähler und Nenner des ursprünglichen Bruchs werden mit einem zusätzlichen Faktor multipliziert.
Betrachten Sie Beispiele für die Reduzierung algebraischer Brüche auf einen gemeinsamen Nenner.
Um einen gemeinsamen Nenner für Zahlen zu finden, wählen Sie die größere Zahl und prüfen Sie, ob sie durch die kleinere teilbar ist. 15 ist nicht durch 9 teilbar. Wir multiplizieren 15 mit 2 und prüfen, ob die resultierende Zahl durch 9 teilbar ist. 30 ist nicht durch 9 teilbar. Wir multiplizieren 15 mit 3 und prüfen, ob die resultierende Zahl durch 9 teilbar ist. 45 ist durch 9 teilbar, was bedeutet, dass der gemeinsame Nenner der Zahlen 45 ist.
Der kleinste gemeinsame Nenner ist die Summe aller Faktoren hochgerechnet. Somit ist der gemeinsame Nenner dieser Brüche 45 v. Chr. (Buchstaben werden normalerweise in alphabetischer Reihenfolge geschrieben).
Um für jeden Bruch einen zusätzlichen Faktor zu finden, müssen Sie den neuen Nenner durch den alten dividieren. 45bc:(15b)=3c, 45bc:(9c)=5b. Wir multiplizieren Zähler und Nenner jedes Bruchs mit einem zusätzlichen Faktor:
Zunächst suchen wir nach einem gemeinsamen Nenner für Zahlen: 8 ist nicht durch 6 teilbar, 8∙2=16 ist nicht durch 6 teilbar, 8∙3=24 ist durch 6 teilbar. Jede der Variablen muss einmal im gemeinsamen Nenner enthalten sein. Von den Graden nehmen wir den Grad mit großem Exponenten.
Somit ist der gemeinsame Nenner dieser Brüche 24a³bc.
Um für jeden Bruch einen zusätzlichen Faktor zu finden, müssen Sie den neuen Nenner durch den alten dividieren: 24a³bc:(6a³c)=4b, 24a³bc:(8a²bc)=3a.
Wir multiplizieren den zusätzlichen Faktor mit Zähler und Nenner:
Benötigt werden die Polynome in den Nennern dieser Brüche. Der Nenner des ersten Bruchs ist das volle Quadrat der Differenz: x²-18x+81=(x-9)²; im Nenner der Sekunde - die Differenz der Quadrate: x²-81=(x-9)(x+9):
Der gemeinsame Nenner besteht im größten Maße aus allen Faktoren, d. h. er ist gleich (x-9)²(x+9). Wir finden zusätzliche Faktoren und multiplizieren sie mit dem Zähler und Nenner jedes Bruchs:
Schema der Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner
- Es ist notwendig, das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner von Brüchen zu bestimmen. Wenn es sich um eine gemischte oder ganze Zahl handelt, müssen Sie diese zunächst in einen Bruch umwandeln und erst dann das kleinste gemeinsame Vielfache bestimmen. Um eine ganze Zahl in einen Bruch umzuwandeln, müssen Sie die Zahl selbst in den Zähler und eine in den Nenner schreiben. Die Zahl 5 als Bruch würde beispielsweise so aussehen: 5/1. Um eine gemischte Zahl in einen Bruch umzuwandeln, müssen Sie die ganze Zahl mit dem Nenner multiplizieren und den Zähler dazu addieren. Beispiel: 8 ganze Zahlen und 3/5 als Bruch = 8x5+3/5 = 43/5.
- Danach muss ein zusätzlicher Faktor gefunden werden, der durch Division der NOZ durch den Nenner jedes Bruchs bestimmt wird.
- Der letzte Schritt besteht darin, den Bruch mit einem zusätzlichen Faktor zu multiplizieren.
Es ist wichtig zu bedenken, dass die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner nicht nur für die Addition oder Subtraktion erforderlich ist. Um mehrere Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu vergleichen, ist es außerdem notwendig, sie zunächst jeweils auf einen gemeinsamen Nenner zu reduzieren.
Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen
Um zu verstehen, wie man einen Bruch auf einen gemeinsamen Nenner reduziert, ist es notwendig, einige Eigenschaften von Brüchen zu verstehen. Eine wichtige Eigenschaft zur Reduktion auf NOZ ist also die Gleichheit der Brüche. Mit anderen Worten: Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs mit einer Zahl multipliziert werden, ist das Ergebnis ein Bruch, der dem vorherigen entspricht. Nehmen wir als Beispiel das folgende Beispiel. Um die Brüche 5/9 und 5/6 auf den kleinsten gemeinsamen Nenner zu reduzieren, müssen Sie Folgendes tun:
- Ermitteln Sie zunächst das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner. In diesem Fall beträgt der NOC für die Nummern 9 und 6 18.
- Für jeden der Brüche ermitteln wir zusätzliche Faktoren. Dies geschieht auf folgende Weise. Wir dividieren das LCM durch den Nenner jedes der Brüche, als Ergebnis erhalten wir 18: 9 = 2 und 18: 6 = 3. Diese Zahlen sind zusätzliche Faktoren.
- Wir bringen zwei Fraktionen zu NOZ. Wenn Sie einen Bruch mit einer Zahl multiplizieren, müssen Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner multiplizieren. Der Bruch 5/9 kann mit dem zusätzlichen Faktor 2 multipliziert werden, was einen Bruch ergibt, der dem angegebenen Bruchteil 10/18 entspricht. Das Gleiche machen wir mit dem zweiten Bruch: Multiplizieren Sie 5/6 mit 3, was 15/18 ergibt.
Wie Sie dem obigen Beispiel entnehmen können, wurden beide Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner reduziert. Um endlich zu verstehen, wie man einen gemeinsamen Nenner findet, müssen Sie eine weitere Eigenschaft von Brüchen beherrschen. Es liegt darin, dass Zähler und Nenner eines Bruchs um dieselbe Zahl reduziert werden können, die als gemeinsamer Teiler bezeichnet wird. Beispielsweise kann der Bruch 12/30 auf 2/5 reduziert werden, wenn er durch geteilt wird gemeinsamer Teiler- Nummer 6.