من اخترع تاريخ الأعداد الكسرية. تاريخ الكسور المشتركة

ظهرت الكسور العشرية في القرن الثالث. قبل الميلاد. في الصين القديمة ، حيث تم استخدام نظام الأرقام العشري. عالم رياضيات صيني من القرن الثالث. أوصى ليو هوي باستخدام الكسور ذات المقام 10 و 100 وهكذا. عند الاستخراج الجذور التربيعية. كان يقصد الحكم

والتي تم استخدامها لاحقًا من قبل العديد من علماء الرياضيات العرب والأوروبيين. كانت هذه القاعدة ، إلى جانب بعض التقنيات الحسابية الأخرى ، هي التي ساهمت بشكل كبير في إدخال الكسور العشرية في العلوم.

في القرن الخامس عشر. تم تطوير النظرية الكاملة للكسور العشرية من قبل عالم الفلك سمرقند جمشيد الكاشي في أطروحة "مفتاح الحساب" (1427). قام بتفصيل قواعد التعامل مع الكسور العشرية. من المحتمل أن الكاشي لم يكن يعلم أن الكسور العشرية قد استخدمت في الصين. هو نفسه اعتبرهم اختراعه. لا شك أن الاستخدام المستمر للكسور العشرية ووصف قواعد التعامل معها هو ميزة مباشرة للعالم. لكن أطروحاته لم تكن معروفة للعلماء الأوروبيين. طوروا بشكل مستقل نظرية الكسور العشرية.

ظهرت فكرة بناء مثل هذا النظام من الكسور من وقت لآخر في الكتب المدرسية الحسابية في وقت مبكر من القرن الثالث عشر. كتب يوردانس نيموراريوس عن هذا في مقالته "الحساب ، المنصوص عليها في عشرة كتب".

نشر العالم الفرنسي فرانسوا فيت في عام 1579 في باريس عمله "Mathematical Canon" ، حيث استشهد بالجداول المثلثية التي استخدم فيها الكسور العشرية. عند كتابة الكسور العشرية ، لم يلتزم بأي طريقة معينة: في بعض الأحيان كان يفصل الجزء الصحيح عن الخط العمودي الكسري ، وأحيانًا يصور أرقام الجزء الصحيح بخط عريض ، وأحيانًا يكتب أرقام الجزء الكسري أصغر. لذلك ، بفضل فيتا ، بدأت الكسور العشرية في اختراق الحسابات العلمية ، لكنها لم تدخل في الممارسة اليومية.

يعتقد العالم الهولندي سيمون ستيفين أنه يجب استخدام الكسور العشرية في جميع الحسابات العملية. كرس عمله "العاشر" (1585) لهذا ، حيث قدم الكسور العشرية ، وطور قواعد العمليات الحسابية معهم ، واقترح نظامًا عشريًا للوحدات والمقاييس والأوزان النقدية.

سرعان ما أصبح "العاشر" مشهورًا في أوروبا. بعد نشر الكتاب عام 1585 بالفلمنكية ، ترجمه المؤلف إلى الفرنسية في نفس العام ، وفي عام 1601 نُشر بالإنجليزية.

كتب ستيفن الكسور بشكل مختلف عما هو عليه الآن. تم استخدام 0 محاط بدائرة للإشارة إلى الجزء الكسري. لأول مرة ، تم استخدام الفاصلة عند كتابة الكسور في عام 1592. في إنجلترا ، بدلاً من الفاصلة ، بدأوا في استخدام نقطة ، ولا تزال تستخدم في الولايات المتحدة. تم اقتراح استخدام الفاصلة كفاصل ، مثل الفترة ، في 1616-1617. عالم الرياضيات الإنجليزي الشهير جون نابير. استخدم أسترونوا يوهانس كيبلر العلامة العشرية في أعماله.

في روسيا ، شرح ل.ف. Magnitsky في كتابه "الحساب".

يتم وضع نص العمل بدون صور وصيغ.
النسخة الكاملةالعمل متاح في علامة التبويب "ملفات العمل" بتنسيق PDF

مقدمة

تملي الحياة نفسها دراسة الكسور. القدرة على إجراء عمليات حسابية وحسابات مختلفة ضرورية لكل شخص ، لأننا نواجه كسورًا في الحياة اليومية. أردت أن أعرف من أين جاء اسم هذه الأرقام ؛ من توصل إلى هذه الأرقام ، هو موضوع "الكسور" ، الذي ندرسه في المدرسة ، وهو أمر ضروري في حياتي.

موضوع الدراسة: تاريخ الكسور المشتركة.

موضوع الدراسة: الكسور العادية.

فرضية: إذا لم تكن هناك كسور ، فهل يمكن أن تتطور الرياضيات؟

الهدف من العمل: التصميم في فصل الرياضيات بموقف "الرياضيات من حولنا" حقائق مثيرة للاهتمامحول الكسور.

مهام:

لدراسة تاريخ ظهور الكسور في الرياضيات ؛

حدد الحقائق الأكثر إثارة للاهتمام حول الكسور التي يمكن استخدامها لتكوين أقسام من الحامل.

قم بإعداد كشك في فصل الرياضيات.

نعيش في بيئة من الكسور ، لا نلاحظها دائمًا بوضوح. ومع ذلك ، فإننا نواجهها كثيرًا: في المنزل ، في الشارع ، في المتجر. عند الاستيقاظ في الصباح ، ننظر إلى المنبه ونلتقي بالكسور. نستخدم الكسور عند وزن العناصر في المتجر. في القياسات ، عند تحديد حجم البضائع. الكسور تحيط بنا في كل مكان. بمساعدة الكسور ، يمكننا قياس الأطوال ، وتقسيم الكل إلى أجزاء. ولكن كيف تقيس ارتفاع الشخص أو المسافة بين الأشياء دون معرفة الكسور؟ في كل مكان - الكسور!

ملاءمة: حياة عصريةيجعل المسائل على الكسور ذات صلة ، حيث يتوسع نطاق التطبيق العملي للكسور.

طرق البحث:

1. ابحث عن معلومات حول الكسور في مصادر مختلفة: الإنترنت ، خياليالكتب المدرسية.

2. تحليل ومقارنة وتعميم وتنظيم المعلومات.

1. من تاريخ الكسور العادية

1.1 ظهور الكسور

منذ العصور القديمة ، من أجل حل القضايا العملية الحيوية ، كان على الناس عد الأشياء وقياس الكميات ، أي الإجابة على الأسئلة "كم عدد الأغنام؟": كم عدد الأغنام في القطيع ، وكم عدد مقاييس الحبوب التي يتم جمعها من الميدان ، كم ميلا من مركز المقاطعة ، وما إلى ذلك حتى ظهرت الأرقام. لم يكن من الممكن دائمًا التعبير عن نتيجة القياس أو قيمة البضائع عدد طبيعي. عندما احتاج الشخص إلى ابتكار أعداد كسرية جديدة ، ظهرت الكسور. في العصور القديمة ، تم التعامل مع الأعداد الصحيحة والأعداد الكسرية بشكل مختلف: كانت التفضيلات بجانب الأعداد الصحيحة. كتب أفلاطون ، مؤسس الأكاديمية الأثينية ، "إذا كنت تريد تقسيم الوحدة ، فسوف يسخر منك علماء الرياضيات ولن يسمحوا لك بفعل ذلك".

في جميع الحضارات ، نشأ مفهوم الكسر من عملية تقسيم الكل إلى أجزاء متساوية. المصطلح الروسي "كسر" ، مثل نظرائه في اللغات الأخرى ، يأتي من اللات. "fractura" ، والتي بدورها هي ترجمة للمصطلح العربي بنفس المعنى: الكسر ، السحق. لذلك ، من المحتمل أن الكسور الأولى في كل مكان كانت كسورًا من الصورة 1 / n. يسير التطوير الإضافي بشكل طبيعي في اتجاه اعتبار هذه الكسور كوحدات يمكن من خلالها تكوين الكسور m / n - أعداد منطقية. ومع ذلك ، لم يتم تمرير هذا المسار من قبل جميع الحضارات: على سبيل المثال ، لم يتم إدراكه مطلقًا في الرياضيات المصرية القديمة.

الجزء الأول الذي التقى به الناس كان النصف. على الرغم من أن أسماء جميع الكسور التالية مرتبطة بأسماء قواسمها (ثلاثة - "ثالث" ، وأربعة - "ربع" ، وما إلى ذلك) ، فإن هذا ليس هو الحال بالنسبة للنصف - لا يحتوي اسمه في جميع اللغات على أي شيء لتفعله بكلمة "اثنان".

نظام تسجيل الكسور ، اختلفت قواعد العمل معهم بشكل ملحوظ كما في شعوب مختلفةوفي أوقات مختلفة بين نفس الأشخاص. دور مهمكما تم استعارة العديد من الأفكار خلال الاتصالات الثقافية لمختلف الحضارات.

1.2 كسور في روس

في اللغة الروسية ، ظهرت كلمة "كسر" في القرن الثامن ، وهي مشتقة من فعل "سحق" - كسر ، تحطيم. نشأ التعيين الحديث للكسور في الهند القديمة: بدأ العرب أيضًا في استخدامه.

في الكتيبات القديمة نجد الأسماء التالية للكسور في روس:

تم استخدام الترقيم السلافي في روسيا حتى القرن السادس عشر ، ثم بدأ نظام الأرقام الموضعية العشري تدريجياً في اختراق البلاد. لقد حلت أخيرًا محل الترقيم السلافي تحت بيتر الأول.

تم استخدام مقياس الأرض في روسيا ربعًا وقياسًا أصغر - نصف ربع ، والذي كان يسمى الأخطبوط. كانت هذه كسورًا محددة ، ووحدات لقياس مساحة الأرض ، لكن الأخطبوط لم يستطع قياس الوقت أو السرعة ، وما إلى ذلك. قيمة. يمكن قراءة ما يلي حول استخدام الكسور في روسيا في القرن السابع عشر في كتاب V. Bellyustin "كيف وصل الناس تدريجيًا إلى الحساب الحقيقي": "في مخطوطة من القرن السابع عشر. تبدأ "المادة على جميع أسهم المرسوم" مباشرة بالتسمية المكتوبة للكسور وبإشارة البسط والمقام. عند نطق الكسور ، تكون الميزات التالية مثيرة للاهتمام: الجزء الرابع كان يسمى ربعًا ، بينما تم التعبير عن المشاركات ذات المقام من 5 إلى 11 بالكلمات التي تنتهي بـ "ina" ، لذا فإن 1/7 هي أسبوع ، 1/5 خمسة ، 1/10 عشور ؛ تم نطق الأسهم ذات المقامات الأكبر من 10 باستخدام الكلمات "المهور" ، على سبيل المثال 5/13 - خمسة عشر لوتات. تم استعارة ترقيم الكسور مباشرة من المصادر الغربية. كان البسط يسمى الرقم العلوي ، والمقام هو الرقم السفلي.

1.3 كسور في دول أخرى من العصور القديمة

جميع قواعد التهديف المصريون القدماءاستنادًا إلى القدرة على الجمع والطرح ، ومضاعفة الأعداد وتكميل الكسور في واحد. كانت هناك رموز خاصة للكسور. استخدم المصريون كسورًا من الشكل 1 / n ، حيث n هو عدد طبيعي. تسمى هذه الكسور قسامة. في بعض الأحيان ، بدلاً من قسمة m: n ، قاموا بضرب m ∙ n.

لهذا ، تم استخدام طاولات خاصة. يجب أن أقول إن الأفعال مع الكسور كانت سمة من سمات الحساب المصري ، حيث تحولت أبسط الحسابات أحيانًا إلى مشاكل معقدة. (الملحق 3)

ساعد هذا الجدول في إجراء حسابات حسابية معقدة وفقًا للشرائع المقبولة. يبدو أن الكتبة حفظوها عن ظهر قلب ، تمامًا كما يحفظ تلاميذ المدارس الآن جدول الضرب. بمساعدة هذا الجدول ، تم أيضًا تقسيم الأرقام. كما عرف المصريون كيفية ضرب الكسور وتقسيمها. لكن في حالة الضرب ، كان عليك ضرب الكسور في الكسور ، ثم ربما تستخدم الجدول مرة أخرى. كان التقسيم أكثر صعوبة.

عرف المصريون في العصور القديمة كيفية تقسيم تفاحتين إلى ثلاث تفاحات: لهذا العدد كان لديهم حتى شارة خاصة. بالمناسبة ، كان هذا هو الكسر الوحيد في الحياة اليومية للكتبة المصريين الذي لا يحتوي على وحدة في البسط - كل الكسور الأخرى تحتوي بالتأكيد على 1 (ما يسمى الكسور الأساسية) في البسط: 1/2 ، 1 / 3 ، 1/17 ، ... إلخ. كان هذا الموقف تجاه الكسور حاضرًا لفترة طويلة جدًا. لقد اندثرت حضارة مصر القديمة بالفعل ، وابتلعت رمال الصحراء الأرض الخضراء ، وتم وضع جميع الكسور في مجموع الأجزاء الرئيسية - حتى عصر النهضة!

في الصينتم إنشاء جميع العمليات الحسابية تقريبًا باستخدام الكسور العادية بحلول القرن الثاني قبل الميلاد. قبل الميلاد ه ؛ تم وصفها في المجموعة الأساسية للمعرفة الرياضية للصين القديمة - "الرياضيات في تسعة كتب" ، الطبعة الأخيرة منها تنتمي إلى Zhang Tsang. تعتمد الحوسبة على قاعدة مشابهة لخوارزمية إقليدس (الأكبر القاسم المشتركالبسط والمقام) ، اختصر علماء الرياضيات الصينيون الكسور. تم تقديم ضرب الكسور على أنه إيجاد مساحة قطعة أرض مستطيلة ، يتم التعبير عن طولها وعرضها بأرقام كسرية. تم النظر في التقسيم باستخدام فكرة التقسيم ، بينما لم يخجل علماء الرياضيات الصينيون من أن عدد المشاركين في التقسيم يمكن أن يكون كسريًا ، على سبيل المثال ، 3⅓ شخص.

في البداية ، استخدم الصينيون أبسط الكسور ، والتي تم تسميتها باستخدام الهيروغليفية البني:

باني ("النصف") -12 ؛

شاو بان ("نصف صغير") -13 ؛

تاي بان ("النصف الكبير") -23. من المثير للاهتمام أن البابليونفضل قاسمًا ثابتًا (يساوي 60 ، لأنه ، على ما يبدو ، كان نظام الأعداد الخاص بهم هو الستيني).

روميةتستخدم أيضًا مقامًا واحدًا فقط ، يساوي 12.

تم تحقيق مزيد من التطوير لمفهوم الكسر العادي في الهند. كان علماء الرياضيات في هذا البلد قادرين على الانتقال بسرعة من الكسور الوحدوية إلى الكسور ذات الشكل العام. لأول مرة تم العثور على هذه الكسور في "قواعد الحبل" من قبل Apastamba (القرنين السابع والخامس قبل الميلاد) ، والتي تحتوي على تركيبات هندسية ونتائج بعض الحسابات. في الهند ، تم استخدام نظام كتابة - من المحتمل أن يكون صينيًا ، وربما من أصل يوناني متأخر - حيث تم كتابة بسط الكسر فوق المقام - مثل نظامنا ، ولكن بدون سطر كسور ، ولكن تم وضع الكسر بأكمله في إطار مستطيل.

مسلية الكسور

"بدون معرفة الكسور ، لا يمكن التعرف على أحد على أنه يعرف الحساب!" (شيشرون)

عندما يستخدم الناس المال ، فإنهم دائمًا ما يواجهون كسورًا: في العصور الوسطى ، بنس إنجليزي واحد = 1/12 شلن ؛ حاليًا ، كوبك الروسي = 1/100 روبل.

تحمل أنظمة القياس الكسور: 1 سم \ u003d 1/10 ديسيمتر \ u003d 1/100 متر.

في أي وقت كانت الكسور في الموضة. نمط الأكمام ثلاثة أرباع مناسب دائمًا. والسراويل القصيرة 7/8 قطعة رائعة من الملابس.

يمكنك مقابلة الكسور في دروس مختلفة. على سبيل المثال ، في الجغرافيا: "خلال وجود الاتحاد السوفياتي ، احتلت روسيا سدس الأرض. الآن روسيا تحتل تاسع الأرض. في الفنون الجميلة- عند تصوير شخصية بشرية. في الموسيقى - الإيقاع ، حجم قطعة موسيقية.

يلتقي الرجل بكلمة "كسر" في الحياة:

كرات الرصاص الصغيرة لإطلاق النار من بندقية صيد - طلقة.

أصوات متقطعة ومتقطعة - قرع الطبول.

في البحرية ، أطلق الفريق "النار!" - وقف إطلاق النار.

ترقيم المنزل. يتم وضع الرقم من خلال الكسر في المنازل المرقمة على طول شارعين متقاطعين.

أطلق عليه الرصاص في الرقص. لا يمكن تخيل الرقص الشعبي الروسي بدون كسور وجري.

لضرب جزء صغير بأسنانك - لطرق أسنانك (يرتجف من البرد ، الخوف).

في الخيال. دينيسكا ، بطل قصة فيكتور دراغونسكي "يجب أن يكون لديك حس الفكاهة" ، سأل ذات مرة صديقه ميشكا مشكلة: كيف تقسم تفاحتين إلى ثلاث تفاحتين بالتساوي؟ وعندما استسلم ميشكا أخيرًا ، أعلن منتصر الإجابة: "كوك كومبوت!" لم يكن بير ودينيس قد خضعوا لقسمة الكسور بعد وعرفوا على وجه اليقين أن 2 في 3 غير قابلة للقسمة؟

بالمعنى الدقيق للكلمة ، "كوك كومبوت" هو أفعال مع الكسور. دعونا نقطع التفاح إلى قطع ونجمع ونطرح ونضرب ونقسم كميات هذه القطع - من سيوقفنا؟ .. من المهم فقط أن نتذكر عدد القطع الصغيرة التي تشكل تفاحة كاملة ...

لكن هذا ليس الحل الوحيد لهذه المشكلة! من الضروري تقسيم كل تفاحة إلى ثلاثة أجزاء وتوزيعها على الأجزاء الثلاثة.

لقرون عديدة ، في لغات الشعوب ، كان يُطلق على جزء صغير الرقم المكسور. على سبيل المثال ، تحتاج إلى مشاركة شيء ما بالتساوي ، على سبيل المثال ، حلوى ، تفاحة ، قطعة من السكر ، إلخ. للقيام بذلك ، يجب تقسيم قطعة من السكر أو تقسيمها إلى نصفين متساويين. إنه نفس الشيء مع الأرقام ، من أجل الحصول على النصف ، يجب على المرء أن يقسم أو "يكسر" وحدة واحدة إلى جزأين. ومن هنا جاء اسم الأرقام "المكسورة".

هناك ثلاثة أنواع من الكسور:

الفردي (القسمة) أو الكسور (مثل 1/2 ، 1/3 ، 1/4 ، إلخ).

منهجي ، أي الكسور التي يتم فيها التعبير عن المقام بواسطة قوة رقم (على سبيل المثال ، قوة 10 أو 60 ، إلخ).

منظر عام، يمكن أن يكون بسطها ومقامها أي رقم.

هناك كسور "خطأ" - غير صحيحة و "حقيقية" - صحيحة.

جزء في الرياضيات- شكل من أشكال تمثيل الكميات الرياضية باستخدام عملية القسمة ، يعكس في الأصل مفهوم الأعداد غير الصحيحة ، أو الكسور. في أبسط الحالات ، الكسر العددي هو نسبة رقمين.

م: ن = م/ن

في جزء م/ n (اقرأ: "em n") رقم مفوق الخط يسمى البسط ، والرقم n أسفل الخط يسمى المقام. يوضح المقام عدد الأجزاء المتساوية التي تم تقسيم الكل إليها ، ويوضح البسط عدد هذه الأجزاء التي تم أخذها. يمكن فهم خط الكسر على أنه علامة على القسمة.

أول عالم أوروبي بدأ في استخدام وتوزيع السجل الحديث للكسور كان تاجرًا ورحالة إيطاليًا ، ابن كاتب المدينة فيبوناتشي (ليوناردو بيزا).

في عام 1202 ، قدم كلمة "كسر".

تم تقديم بسط ومقام الأسماء في القرن الثالث عشر بواسطة راهب وعالم وعالم رياضيات يوناني مكسيم بلانود.

تم إنشاء النظام الحديث لكتابة الكسور في الهند. هناك فقط كتبوا المقام في الأعلى ، والبسط في الأسفل ، ولم يكتبوا خطًا كسريًا. واكتب الكسور كما بدأ العرب الآن. تعتبر الإجراءات على الكسور في العصور الوسطى أصعب منطقة في الرياضيات. حتى الآن ، يقول الألمان عن شخص في وضع صعب ، إنه "وقع في شقوق".

لعبت الكسور العادية دورًا في الموسيقى أيضًا. والآن ، في تدوين موسيقي معين ، يتم تقسيم النغمة الطويلة - الكل - إلى نصفين (نصف قصير) ، وأرباع ، وستة عشر وثلاثين ثانية. وبالتالي ، فإن النمط الإيقاعي لأي قطعة موسيقية ، بغض النظر عن مدى تعقيدها ، يتم تحديده بواسطة الكسور العادية. تبين أن الانسجام يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالكسور ، مما أكد الفكرة الرئيسية للأوروبيين: "الرقم يحكم العالم".

"الرجل مثل كسر: البسط هو نفسه ، والمقام هو ما يعتقده عن نفسه. كلما زاد المقام ، كان الكسر أصغر "(L.N. تولستوي).

النتائج الرئيسية للدراسة

اعتبرت عقيدة الكسور أصعب قسم في الرياضيات في جميع الأوقات وبين جميع الشعوب. أولئك الذين عرفوا الكسور كانوا موضع تقدير كبير. مؤلف مخطوطة سلافية قديمة من القرن الخامس عشر. يكتب: "ليس من المستغرب أن ... إجمالاً ، لكن من المحبذ أن يكون في الأسهم ...".

أثناء العمل ، تعلمت الكثير من الأشياء الجديدة والمثيرة للاهتمام. قرأت العديد من الكتب والأقسام من الموسوعات. تعرفت على الكسور الأولى التي عمل عليها الناس ، مع مفهوم الكسر الجزئي ، تعلمت أسماء جديدة لي من العلماء الذين ساهموا في تطوير عقيدة الكسور. أثناء القيام بالعمل ، تعلمت الكثير من الأشياء الجديدة ، وأعتقد أن هذه المعرفة ستكون مفيدة في دراستي.

خاتمة: نشأت الحاجة إلى الكسور في مرحلة مبكرة جدًا من التطور البشري. في الحياة ، كان على الشخص ليس فقط عد الأشياء ، ولكن أيضًا قياس الكميات. قام الناس بقياس الأطوال ، ومساحات الأرض ، والأحجام ، وكتل الجثث ، والوقت ، ودفعوا مدفوعات البضائع المشتراة أو المباعة. لم يكن من الممكن دائمًا التعبير عن نتيجة القياس أو تكلفة البضائع بالأرقام الطبيعية. هكذا ظهرت الكسور وقواعد التعامل معها.

الأهمية العملية للعمل:

أتقنت مهارات العمل في محرر نصوص وعملت مع موارد الإنترنت. اخترت مادة الزخرفة في فصل الرياضيات في جناح "الرياضيات من حولنا" مع حقائق مثيرة للاهتمام حول الكسور (الملحق 1). وصمم استاند (ملحق).

نتيجة الدراسة لقد أكدت الفرضية: لا يمكن للناس الاستغناء عن الكسور ، بدون الكسور - الرياضيات لا يمكن أن تتطور.

فهرس

رقم Anishchenko EA كمفهوم أساسي للرياضيات. ماريوبول ، 2002.

فيلينكين نيا ، جوخوف ف.إ. ، تشيسنوكوف أ.س. ، شفارتسبورد س. الرياضيات. الصف الخامس: كتاب مدرسي للمؤسسات التعليمية / - 26th ed.، Sr. - م: Mnemosyne ، 2009. - 280 ص.

جيسير جي. تاريخ الرياضيات في المدرسة. دليل للمعلمين. - م: التنوير ، 1981. - 239 ص.

الرياضيات. الصف الخامس: كتاب مدرسي للتعليم العام. المؤسسات. [سم. نيكولسكي ، إم كيه بوتابوف ، إن إن ريشيتنيكوف ، إيه. شيفكين]. - الطبعة الحادية عشرة ، المنقحة. - م: التعليم ، 2016. - 272 ص. - (جامعة ولاية ميشيغان - مدرسة).

قاموس موسوعي رياضي. - م ، 1988.

الوصول عن بعد للموارد الإلكترونية (الإنترنت)

3. مادة من ويكيبيديا - الموسوعة الحرة. وضع الوصول: http://ru.wikipedia.org/wiki

يقتبس. وضع الوصول: http://citaty.socratify.net/lev-tolstoi/25013.

التطبيقات

تقف "الرياضيات من حولنا"

جدول "تسجيل الكسور في مصر"

" شرط "". المقال عبارة عن إجابة لسؤال قرائنا: "طفلنا مهتم بالرياضيات. ما يمكن تقديمه حول موضوع "الكسور" ممتع ومفيد وغير عادي ومتطور. لا نحب قطع الكعك إلى قطع ".

إجابتنا هي التناظر البصري للكسور. بشكل عام ، الرياضيات علم. تم تطويره في الأصل كعلم في أعلى درجةملموسة وحقيقية. كانت موضوعاتها أشياء وأشياء وأشياء حقيقية. ولكن بعد ذلك ، بدءًا من فيثاغورس ومربعه الشهير ، بدأت الرياضيات في الخوض في الملخص. هذا لا علاقة له بواقع الحياة الواقعية.

بالطبع ، يمكن أن يكون هذا مفيدًا عند حساب العديد من الأشياء العليا. لكن عند تعلم الأساسياتمن الأفضل اللجوء إلى الرياضيات قدر الإمكان مادةأمثلة.

وهذا يعني ، الحد الأدنى من الإجراءات في العقل ، والحد الأقصى من الإجراءات مع الجماهير.

يعمل هذا حتى لو كان الطالب يبلغ من العمر 18 عامًا ويحتاج بشكل عاجل إلى تحسين الرياضيات. خذ بعض الوقت لإعطاء الكتلة ، والأهمية المادية للموضوع - وسيذهب التعلم بشكل أسرع.

من وجهة النظر هذه ، فإن الكعك هو أكثرها (باستثناء الأسنان قد لا تكون جيدة جدًا 🙂). لكن استخدام الفروع والعصي أسهل بكثير وأرخص بكثير. أي الأطفال يمكن أن يقسموا بشكل مستقل إلى الأجزاء الضرورية.

بالطبع ، في البداية سيكون مجرد فرشاة. لكن تدريجيًا ، تدريجيًا ، يمكنك الوصول إلى هذه النقطة. على سبيل المثال ، لتماثل الكسور.

لذلك ، بناءً على الأهمية النسبية ، ومع مراعاة السؤال ، نصف المواد التي لا يتم أخذها في الاعتبار في المدرسة.

التناظر البصري للكسور هو علم وجماليات وتطور.

القضايا المنهجية

تتبع الصور. بدون أدنى أسئلة ، يكون عرض الصور على الأطفال عمليًا بلا فائدة. في أحسن الأحوال ، سيقولون بأدب "واو ..." ويذهبون للعب الكمبيوتر.

بدلاً من الصور ، يجب أن تكون هناك أشياء صلبة حقيقية.. على سبيل المثال ، كسر الفروع من قبله إلى الأجزاء الضرورية. يرجى ملاحظة أنه منذ ذلك الحين كسور(من كلمة "سحق") ، إذًا لا يجب أن تعطي مطابقات ، إلخ. واطلب وضع منهم. يجب أن يكون شيئًا كاملًا مقسمًا إلى الأجزاء الضرورية.

إذا جلست الطفل ووضعت الفروع أمامه بالشكل المقترح أدناه ، فقد يكون مهتمًا أيضًا. ولكن ليس أكثر. وإذا طلبت منه أن يكرر ما رآه في خمسة أيام ، فلن يتمكن من ذلك. وهذا يعني أنه تفاجأ ببساطة ، حيث فوجئوا بالحقائق غير المجدية ، ولكن المسلية (مثل "إذا جمعت كل الأوعية الدمويةفي سطر واحد ، يمكنك بعد ذلك لف قطيع كامل من الأفيال في شرنقة كثيفة ").

إذا كنت تريد فوائد للطفل ، فهو إذن يجب أن تندلع SAM وتخططالقواعد المقترحة أدناه. بالطبع ، ليس عليك القيام بكل شيء مرة واحدة.

تدريجيًا ، التزم بالعصا ، الرسم النهائي.
الرجاء البحث عن الأنماط.
حان وقت "التفكير" - ربما في يوم واحد ، وربما أسبوع.
يرجى كتابة النمط الموجود.
يرجى التحقق من النمط في الممارسة.

بعد ذلك ، يمكنك الانتقال إلى المجموعة التالية من الأنماط.

في الواقع ، تناظر الكسور.

انتبه إلى الرسم.

هناك تناظر يتكون من الأجزاء الكسرية من الكل. يأتي التناظر في شكلين:

بصري ، مجازي
بصري ، رقمي.

لذلك ، اتضح أنه ليس مجرد منحنى سلس جميل. النمط العددي: أولاً ، في الجزء العلوي من الكسر - واحد ، وفي الأسفل ، يتناقص الرقم بمقدار واحد. وبعد 1/2 ، يوجد نمط آخر - كل من الرقمين العلوي والسفلي يزدادان بمقدار واحد.

في الواقع ، سؤال فلسفي: لماذا زيادة المقام (أو البسط والمقام) بمقدار واحد يعطي منحنىًا سلسًا جميلًا؟

ربما سيتمكن الأطفال من العثور على إجابة السؤال

خاصة إذا اتبعت الخطوات 1-5 من الإرشادات.

ننتقل الآن إلى لحظة أخرى من تماثل الكسور. نفس الرسم ولكن مع إضافة بسيطة:

كما ترى ، فإن النمط الذي تم التوصل إليه حول تغيير البسط والمقام بواحد هو متماثل معكوس.

الآن لحظة التناظر التالية. لنقطع المخطط إلى 4 أجزاء ونعكس الزاوية اليسرى العليا. تحصل على هذه الصورة:

موافق ، هناك المزيد من التناظر. لكن لا يزال لدينا مركز أبيض شاغر. إنها متناظرة ... ربما يوجد بها نمط ما؟ دعونا تحقق:

لذا نعم! يتم تقليل كل من البسط والمقام بمقدار واحد. لكن الفرق بين البسط والمقام مختلف - وحدتان.

حان الوقت الآن لتذكر أنه يمكن اختزال الكسور:

إنه أمر مثير للاهتمام ، ولكن هنا أيضًا التناظر - يتم تقليل البسط والمقام بمقدار واحد. أيضا ، الفرق بينهما واحد.

لكن لا يزال لدينا خلايا فارغة ... ربما تكون طبيعية أيضًا:

ومرة أخرى إلى النقطة! نفس النمط هو انخفاض بمقدار واحد والفرق واحد.

فيما يلي بعض الأشياء المثيرة للاهتمام حول تناظر الكسور. بعد أن تعلمت النمط ، يمكنك إيجاد التناظر من أي كسور بأي وسيلة.

تلميح للآباء (أو شيء من اللطيف أن يفهمه الطفل):

التغيير المنتظم يعطي نمطًا متماثلًا.

في حالتنا هذه ، فإن الكسور تتغير بشكل طبيعي. لكن هذا ينطبق أيضًا على أي ظواهر أخرى في العالم المحيط.

لا تصدق؟ تحقق من ذلك! 🙂

اكتب ملاحظاتك ونصائحك في التعليقات!

مؤسسة تعليمية الميزانية البلدية

المدرسة الثانوية №2

خلاصة

الانضباط: "الرياضيات"

حول هذا الموضوع: "الكسور العادية غير العادية"

إجراء:

طالب الصف الخامس

فرولوفا ناتاليا

مشرف:

دروشنكو إي.

مدرس رياضيات

Strezhevoy ، منطقة تومسك


	مقدمة
	من تاريخ الكسور العادية.
	ظهور الكسور.
	كسور في مصر القديمة.
	الكسور في بابل القديمة.
	كسور في روما القديمة.
	الكسور في اليونان القديمة.
	الكسور في روس.
	الكسور في الصين القديمة.
	كسور في دول أخرى في العصور القديمة والعصور الوسطى.
	استخدام الكسور العادية.
	كسور قسمة.
	بدلا من الأسهم الصغيرة ، الكبيرة منها.
	أقسام في ظل ظروف صعبة.
ثالثا.	مسلية الكسور.
	الدومينو.
	من أعماق القرون.
	خاتمة
	فهرس
	الملحق 1. المقياس الطبيعي.
	الملحق 2. المسائل القديمة باستخدام الكسور العادية.
	الملحق 3. مسائل مسلية مع الكسور العادية.
	الملحق 4. كسور دومينو

مقدمة

بدأنا هذا العام في دراسة الكسور العادية. أرقام غير عادية جدًا ، بدءًا من تدوينها غير المعتاد وتنتهي بـ قواعد معقدةالإجراءات معهم. على الرغم من أنه من التعارف الأول معهم ، كان من الواضح أنه لا يمكن الاستغناء عنها حتى في الحياة العادية ، حيث يتعين علينا كل يوم مواجهة مشكلة تقسيم الكل إلى أجزاء ، وحتى في لحظة معينة بدا لي أننا لم يعد محاطًا بالكل ، ولكن بأعداد كسرية. معهم ، أصبح العالم أكثر صعوبة ، ولكن في نفس الوقت أكثر إثارة للاهتمام. لدي بعض الاسئلة. هل الكسور ضرورية؟ هل هم مهمون؟ أردت أن أعرف من أين أتت الكسور ، ومن جاء بقواعد العمل معهم. على الرغم من أن الكلمة التي تم اختراعها ربما لا تكون مناسبة جدًا ، لأنه في الرياضيات يجب التحقق من كل شيء ، نظرًا لأن جميع العلوم والصناعات في حياتنا تستند إلى قوانين رياضية واضحة تنطبق في جميع أنحاء العالم. لا يمكن أن تتم إضافة الكسور في بلدنا وفقًا لقاعدة واحدة ، وفي مكان ما في إنجلترا بطريقة مختلفة.

أثناء العمل على الملخص ، كان علي أن أواجه بعض الصعوبات: مع المصطلحات والمفاهيم الجديدة ، كان علي أن أتحطم رأسي ، وحل المشكلات ، وتحليل الحل الذي اقترحه العلماء القدامى. أيضًا ، عند الكتابة ، واجهت أولاً الحاجة إلى طباعة الكسور والتعبيرات الكسرية.

الغرض من مقالتي: تتبع تاريخ تطور مفهوم الجزء العادي ، لإظهار ضرورة وأهمية استخدام الكسور العادية في حل المشكلات العملية. المهام التي حددتها لنفسي: جمع المواد حول موضوع المقال وتنظيمه ، ودراسة المشاكل القديمة ، وتلخيص المواد المعالجة ، وتصميم المادة المعممة ، وإعداد العرض التقديمي ، وتقديم الملخص.

يتكون عملي من ثلاثة فصول. لقد درست وعالجت مواد من 7 مصادر ، بما في ذلك المؤلفات التربوية والعلمية والموسوعية ، موقع الإنترنت. لقد صممت تطبيقًا يحتوي على مجموعة مختارة من المشكلات من المصادر القديمة ، وبعض المشكلات المسلية المتعلقة بالكسور العادية ، وعرضًا تقديميًا تم إجراؤه في محرر Power Point.

أنا. من تاريخ الكسور العادية

1.1 ظهور الكسور

تظهر العديد من الدراسات التاريخية والرياضية أن الأعداد الكسرية ظهرت بين الشعوب المختلفة في العصور القديمة بعد الأعداد الطبيعية بفترة وجيزة. يرتبط ظهور الكسور بالاحتياجات العملية: كانت المهام التي يكون من الضروري فيها التقسيم إلى أجزاء شائعة جدًا. بالإضافة إلى ذلك ، في الحياة ، كان على الشخص ليس فقط عد الأشياء ، ولكن أيضًا قياس الكميات. التقى الناس بقياسات أطوال ومساحات الأرض وأحجام وكتل الأجسام. في هذه الحالة ، حدث أن وحدة القياس لا تتناسب مع عدد صحيح من المرات في القيمة المقاسة. على سبيل المثال ، عند قياس طول مقطع في الدرجات ، واجه الشخص الظاهرة التالية: عشر خطوات تتناسب مع الطول ، والباقي أقل من خطوة واحدة. لذلك ، يجب اعتبار السبب الثاني المهم لظهور الأعداد الكسرية هو قياس الكميات باستخدام وحدة القياس المختارة.

وهكذا ، في جميع الحضارات ، نشأ مفهوم الكسر من عملية سحق الكل إلى أجزاء متساوية. المصطلح الروسي "كسر" ، مثل نظرائه في اللغات الأخرى ، يأتي من اللات. fractura ، والتي بدورها هي ترجمة للمصطلح العربي بنفس المعنى: كسر ، سحق. لذلك ، من المحتمل أن الكسور الأولى في كل مكان كانت كسورًا من الصورة 1 / n. يسير التطوير الإضافي بشكل طبيعي في اتجاه اعتبار هذه الكسور كوحدات يمكن من خلالها تكوين الكسور m / n - أعداد منطقية. ومع ذلك ، لم يتم تمرير هذا المسار من قبل جميع الحضارات: على سبيل المثال ، لم يتم إدراكه مطلقًا في الرياضيات المصرية القديمة.

نظام تسجيل الكسور ، قواعد العمل معهم اختلفت بشكل ملحوظ بين الشعوب المختلفة ، وفي أوقات مختلفة بين نفس الناس. كما لعبت الاقتراضات العديدة للأفكار خلال الاتصالات الثقافية بين الحضارات المختلفة دورًا مهمًا.

1.2 كسور في مصر القديمة

في مصر القديمة ، تم استخدام أبسط الكسور فقط ، حيث يساوي البسط واحدًا (تلك التي نسميها "مشاركات"). يطلق علماء الرياضيات على هذه الكسور قسامات (من قسامة لاتينية - عدة). يتم أيضًا استخدام اسم الكسور الأساسية أو كسور الوحدة.

مجموعة المصريين الهيروغليفية

(الجيش الشعبيأو "[واحد] من" أو يكرر، فم) فوق الرقم للإشارة إلى جزء من الوحدة في التدوين العادي ، وفي النصوص المقدسة استخدموا سطرًا. على سبيل المثال:

معظم العين

1/2 (أو 32/64)

1/8 (أو 8/64)

قطرة دموع (؟)

1/32 (أو ² / 64)

بالإضافة إلى ذلك ، استخدم المصريون أشكالًا من الكتابة على أساس الهيروغليفية عين حورس (أداة). يتميز القدماء بتشابك صورة الشمس والعين. في الأساطير المصرية ، غالبًا ما يُذكر الإله حورس ، مجسدًا الشمس المجنحة وكونه أحد الرموز المقدسة الأكثر شيوعًا. في المعركة مع أعداء الشمس ، المتجسد في شكل ست ، هزم حورس أولاً. سيث يمزق العين - العين المعجزة - ويمزقها إلى أشلاء. تحوت - إله التعلم والعقل والعدالة - قام مرة أخرى بطي أجزاء العين في عين واحدة ، وخلق "عين حورس الصحية". تم استخدام صور أجزاء من انقسام العين في الكتابة في مصر القديمة للإشارة إلى الكسور من 1/2 إلى 1/64.

مجموع الأحرف الستة المضمنة في الأداة ومختصر إلى القاسم المشترك: 32/64 + 16/64 + 8/64 + 4/64 + 2/64 + 1/64 = 63/64

تم استخدام هذه الكسور مع أشكال أخرى من الكسور المصرية للقسمة هيكات، المقياس الرئيسي للحجم في مصر القديمة. تم استخدام هذا الترميز المجمع أيضًا لقياس حجم الحبوب والخبز والبيرة. إذا كان هناك بعض البقايا المتبقية بعد تسجيل الكمية على شكل جزء من عين حورس ، فقد تم تسجيلها بالشكل المعتاد كمضاعف للرو ، وهي وحدة قياس تساوي 1/320 من الهكات.

على سبيل المثال ، مثل هذا:

في الوقت نفسه ، تم وضع "الفم" أمام كل الحروف الهيروغليفية.

حكاتالشعير: 1/2 + 1/4 + 1/32 (أي 25/32 إناء من الشعير).

حكاتكان حوالي 4.785 لتر.

يمثل المصريون كل جزء آخر كمجموع كسور القسمة ، على سبيل المثال 9/16 = 1/2 + 1/16 ؛ 7/8 = 1/2 + 1/4 + 1/8 وهكذا.

لقد كتب على هذا النحو: / 2/16 ؛ / 2/4/8.

في بعض الحالات ، يبدو هذا بسيطًا بدرجة كافية. على سبيل المثال ، 2/7 = 1/7 + 1/7. لكن هناك قاعدة أخرى للمصريين وهي عدم تكرار الأرقام في سلسلة من الكسور. أي 2/7 في رأيهم كانت 1/4 + 1/28.

الآن يسمى مجموع عدة كسور قسمة كسر مصري. بعبارة أخرى ، يحتوي كل كسر في المجموع على بسط يساوي واحدًا ومقامًا ، وهو عدد طبيعي.

كان إجراء حسابات مختلفة ، والتعبير عن جميع الكسور من خلال وحدة واحدة ، بالطبع صعبًا للغاية ويستغرق وقتًا طويلاً. لذلك حرص العلماء المصريون على تسهيل عمل الكاتب. قاموا بتجميع جداول خاصة لتوسيعات الكسور في جداول بسيطة. الوثائق الرياضية لمصر القديمة ليست أطروحات علمية في الرياضيات ، لكنها كتب مدرسية عملية بأمثلة مأخوذة من الحياة. من بين المهام التي كان على طالب مدرسة الكتبة حلها كانت حسابات سعة الحظائر وحجم السلة ومساحة الحقل وتقسيم الملكية بين الورثة ، و اخرين. كان على الناسخ أن يحفظ هذه الأنماط وأن يكون قادرًا على تطبيقها بسرعة لإجراء العمليات الحسابية.

واحدة من أقدم الإشارات المعروفة إلى الكسور المصرية هي بردية ريند الرياضية. ثلاثة نصوص قديمة تذكر كسورًا مصرية هي المخطوطة الجلدية الرياضية المصرية ، وبردية موسكو الرياضية ، ولوح أخميم الخشبي.

أقدم نصب للرياضيات المصرية ، ما يسمى ب "بردية موسكو" ، هو وثيقة من القرن التاسع عشر قبل الميلاد. تم الحصول عليها في عام 1893 من قبل Golenishchev ، جامع الكنوز القديمة ، وفي عام 1912 أصبح ملكًا لمتحف موسكو للفنون الجميلة. احتوت على 25 مهمة مختلفة.

على سبيل المثال ، تعتبر مشكلة قسمة 37 على الرقم المعطى كـ (1 + 1/3 + 1/2 + 1/7). من خلال مضاعفة هذا العدد الكسري على التوالي والتعبير عن الفرق بين 37 وما حدث ، بالإضافة إلى استخدام إجراء مماثل بشكل أساسي لإيجاد قاسم مشترك ، يتم الحصول على الإجابة: حاصل القسمة هو 16 + 1/56 + 1/679 + 1 / 776.

تم العثور على أكبر وثيقة رياضية - دليل ورق البردي لحسابات الكاتب أحمس - في عام 1858 من قبل جامع اللغة الإنجليزية Rhind. تم تجميع ورق البردي في القرن السابع عشر قبل الميلاد. يبلغ طولها 20 مترا وعرضها 30 سم. يحتوي على 84 مسألة حسابية وحلولها وإجاباتها مكتوبة على شكل كسور مصرية.

تبدأ بردية أحمس بجدول يتم فيه كتابة جميع الكسور بالشكل 2 \ n من 2/5 إلى 2/99 كمجموع من الكسور القسمة. كما عرف المصريون كيفية ضرب الكسور وتقسيمها. لكن في حالة الضرب ، كان عليك ضرب الكسور في الكسور ، ثم ربما تستخدم الجدول مرة أخرى. كان التقسيم أكثر صعوبة. على سبيل المثال ، كيف تم قسمة 5 على 21:

مشكلة شائعة من بردية أحمس: ليقال لكم اقسموا عشرة اكيال شعير على عشرة اشخاص. الفرق بين كل شخص وجاره هو 1/8 مقياس. متوسط الحصة هو مقياس واحد. اطرح واحدًا من 10 ؛ الباقي 9. تعويض نصف الفرق. إنه 1/16. خذها 9 مرات. ضعه على الإيقاع الأوسط ؛ اطرح 1/8 من القياس لكل وجه حتى تصل إلى النهاية ".

مشكلة أخرى من بردية أحمس توضح استخدام الكسور القسمة: "لتقسيم 7 أرغفة على 8 أشخاص".
إذا قمت بتقطيع كل خبز إلى 8 قطع ، فسيتعين عليك عمل 49 قطعة.
وفي مصر تم حل هذه المشكلة على هذا النحو. تمت كتابة الكسر 7/8 على هيئة أسهم: 1/2 + 1/4 + 1/8. وهذا يعني أنه يجب إعطاء كل شخص نصف رغيف وربع رغيف وثامن رغيف ؛ لذلك ، قمنا بتقطيع أربعة أرغفة إلى نصفين ، ورغيفين - إلى 4 أجزاء ورغيف واحد - إلى 8 حصص ، وبعد ذلك نعطي كل جزء منها.

تعد جداول الكسور المصرية والجداول البابلية المختلفة أقدم الوسائل التي نعرفها لتسهيل العمليات الحسابية.

استمر استخدام الكسور المصرية في اليونان القديمة ومن ثم من قبل علماء الرياضيات في جميع أنحاء العالم حتى العصور الوسطى ، على الرغم من ملاحظات علماء الرياضيات القدماء عليها. على سبيل المثال ، تحدث كلوديوس بطليموس عن إزعاج استخدام الكسور المصرية مقارنة بالنظام البابلي (نظام الأرقام الموضعية). قام عالم الرياضيات فيبوناتشي من القرن الثالث عشر بعمل مهم في دراسة الكسور المصرية في عمله "Liber Abaci" - وهي حسابات تستخدم الكسور العشرية والعادية ، والتي حلت في النهاية محل الكسور المصرية. استخدم فيبوناتشي تدوينًا معقدًا للكسور ، بما في ذلك تدوين الأرقام ذات الأساس المختلط والترميز كمجموعات الكسور ، وغالبًا ما يتم استخدام الكسور المصرية. كما تم تزويد الكتاب بخوارزميات للتحويل من الكسور العادية إلى الكسور المصرية.

1.3 الكسور في بابل القديمة.

من المعروف أنهم في بابل القديمة استخدموا نظام الأعداد الستيني. يعزو العلماء هذه الحقيقة إلى حقيقة أن الوحدات النقدية والوزن البابلية تم تقسيمها إلى أجزاء فرعية بسبب الظروف التاريخية إلى 60 جزءًا متساويًا: 1 موهبة = 60 دقيقة ؛ 1 مينا = 60 شيكل. الستينيات كانت شائعة في حياة البابليين. لهذا السبب استخدموا الكسور الستينية ، والتي لها دائمًا الرقم 60 أو قوتها كمقام: 60 2 \ u003d 3600 ، 60 3 \ u003d 216000 ، إلخ. هذه هي الكسور المنهجية الأولى في العالم ، أي الكسور التي تكون مقاماتها قوى من نفس العدد. باستخدام هذه الكسور ، كان على البابليين تصوير العديد من الكسور تقريبًا. هذا هو العيب وفي نفس الوقت ميزة هذه الكسور. أصبحت هذه الكسور أداة ثابتة للحسابات العلمية من قبل العلماء اليونانيين ، ثم الناطقين بالعربية والعلماء الأوروبيين في العصور الوسطى حتى القرن الخامس عشر ، حتى أفسحوا المجال للكسور العشرية. ولكن تم استخدام الكسور الستينية في علم الفلك من قبل العلماء من جميع الشعوب حتى القرن السابع عشر ، واصفين إياهم بالكسور الفلكية.

حدد نظام الأرقام الستين دورًا كبيرًا في رياضيات بابل من جداول مختلفة. يجب أن يحتوي جدول الضرب البابلي الكامل على منتجات من 1 × 1 إلى 59 × 59 ، أي 1770 رقمًا ، وليس 45 كجدول الضرب. يكاد يكون من المستحيل حفظ مثل هذا الجدول. حتى في الشكل المكتوب ، سيكون الأمر مرهقًا للغاية. لذلك ، كانت هناك مجموعة كبيرة من الجداول المختلفة لعمليات الضرب والقسمة. يمكن أن تسمى عملية القسمة في الرياضيات البابلية "المشكلة رقم واحد". تم تقليل قسمة العدد م على الرقم ن من قبل البابليين إلى ضرب العدد م بالكسر 1 \ ن ، ولم يكن لديهم حتى مصطلح "قسمة". على سبيل المثال ، عند حساب ما نكتبه كـ x = m: n ، فهم دائمًا ما يفسرون مثل هذا: خذ مقلوب n ، ستجد 1 \ n ، اضرب m في 1 \ n ، وسترى x. بالطبع ، بدلاً من رسائلنا ، دعا سكان بابل أرقامًا محددة. وهكذا ، فإن الدور الأكثر أهمية في الرياضيات البابلية كان يلعبه العديد من جداول المعاملة بالمثل.

بالإضافة إلى ذلك ، بالنسبة للحسابات مع الكسور ، قام البابليون بتجميع الجداول الأكثر شمولاً ، معبرة عن الكسور الأساسية في الكسور الستينية. على سبيل المثال:

1\16 = 3\60 + 45\60 2 , 1\54 = 1\60 + 6\60 2 + 40\60 3 .

تم إجراء جمع وطرح الكسور من قبل البابليين بشكل مشابه للعمليات المقابلة على الأعداد الصحيحة والكسور العشرية في نظام الأعداد الموضعية. ولكن كيف تم ضرب الكسر في كسر؟ يشير التطور العالي إلى حد ما في هندسة القياس (المسح ، مناطق القياس) إلى أن البابليين تغلبوا على هذه الصعوبات بمساعدة الهندسة: التغيير في المقياس الخطي بمقدار 60 مرة يعطي تغييرًا في مقياس المنطقة بمقدار 60 × 60 مرة. وتجدر الإشارة إلى أنه في بابل لم يتم أخيرًا توسيع مجال الأعداد الطبيعية إلى عالم الأعداد المنطقية الموجبة ، حيث اعتبر البابليون فقط الكسور الستينية المحدودة ، التي لا يكون تقسيمها دائمًا ممكنًا. بالإضافة إلى ذلك ، استخدم البابليون الكسور 1 \ 2،1 \ 3،2 \ 3،1 \ 4،1 \ 5،1 \ 6،5 \ 6 ، والتي كانت لها علامات فردية.

لقد نجت آثار نظام الأعداد الستيني البابلي في العلم الحديث في قياس الوقت والزوايا. إن تقسيم ساعة إلى 60 دقيقة ، ودقيقة إلى 60 ثانية ، ودائرة إلى 360 درجة ، ودرجة إلى 60 دقيقة ، ودقيقة إلى 60 ثانية ، قد نجا حتى يومنا هذا.

(جزء صغير).

1.4 كسور في روما القديمة.

استخدم الرومان ، بشكل رئيسي ، الكسور الخرسانية فقط ، والتي استبدلت الأجزاء المجردة بتقسيمات فرعية من المقاييس المستخدمة. استند نظام الكسور هذا إلى التقسيم إلى 12 جزءًا من وحدة الوزن ، والتي كانت تسمى الحمار. هكذا نشأت الكسور الرومانية الاثنا عشرية ، أي الكسور التي يكون مقامها دائمًا 12. كان يطلق على الثاني عشر من الآس أونصة. بدلاً من 1/12 ، قال الرومان "أونصة واحدة" ، 5/12 - "خمس أونصات" ، إلخ. ثلاث أوقيات كانت تسمى ربعًا ، وأربع أوقيات وثالثًا ، وست أوقيات ونصف.

والطريقة والوقت والكميات الأخرى تمت مقارنتها مع الشيء المرئي - الوزن. على سبيل المثال ، يمكن للروماني أن يقول إنه سار سبع أونصات من الطريق أو يقرأ خمسة أونصات من كتاب. في الوقت نفسه ، بالطبع ، لم يكن الأمر يتعلق بوزن المسار أو الكتاب. هذا يعني أنه تم تغطية 7/12 من الطريق أو تمت قراءة 5/12 من الكتاب. وبالنسبة للكسور التي تم الحصول عليها عن طريق اختزال الكسور ذات المقام 12 أو تقسيم الأثنا عشر إلى أجزاء أصغر ، كانت هناك أسماء خاصة. في المجموع ، تم استخدام 18 اسمًا مختلفًا للكسور. على سبيل المثال ، كانت الأسماء التالية قيد الاستخدام:

"سكروبولوس" - 1/288 آسا ،

"semis" - نصف الحمار ،

"sextans" - نصيبها السادس ،

"سبعة أوقية" - نصف أوقية ، أي 1/24 الحمار ، إلخ.

للعمل مع هذه الكسور ، كان من الضروري تذكر جدول الجمع وجدول الضرب لهذه الكسور. لذلك ، عرف التجار الرومان تمامًا أنه عند إضافة ثلاثيات (1/3 حمار) و sextans ، يتم الحصول على semis ، وعندما يتم ضرب الشيطان (2/3 حمار) بواسطة sescution (2/3 أوقية ، أي 1/8 الحمار) ، يتم الحصول على أونصة. لتسهيل العمل ، تم تجميع طاولات خاصة ، وصل بعضها إلينا.

تم الإشارة إلى الأونصة بشرطة - نصف آسا (6 أونصات) - بالحرف S (الأول في الكلمة اللاتينية Semis هو نصف). خدمت هاتان العلامتان في كتابة أي كسر عشري ، لكل منها اسمها الخاص. على سبيل المثال ، تمت كتابة 7 \ 12 على النحو التالي: S-.

حتى في القرن الأول قبل الميلاد ، قال الخطيب والكاتب الروماني البارز شيشرون: "بدون معرفة الكسور ، لا يمكن التعرف على أحد على أنه يعرف الحساب!"

ما يميزه هو المقتطف التالي من أعمال الشاعر الروماني الشهير هوراس في القرن الأول قبل الميلاد ، حول محادثة بين مدرس وطالب في إحدى المدارس الرومانية في ذلك العصر:

المعلم: دع ابن ألبين يقول كم سيتبقى إذا تم أخذ أونصة واحدة من خمس أونصات!

الطالب: الثلث.

المعلم: هذا صحيح ، أنت تعرف الكسور جيدًا وستتمكن من حفظ ممتلكاتك.

1.5 الكسور في اليونان القديمة.

في اليونان القديمة ، كان الحساب هو دراسة الخصائص العامةأرقام - مفصولة عن الخدمات اللوجستية - فن حساب التفاضل والتكامل. اعتقد الإغريق أنه لا يمكن استخدام الكسور إلا في الخدمات اللوجستية. عمل اليونانيون بحرية مع جميع العمليات الحسابية مع الكسور ، لكنهم لم يتعرفوا عليها كأرقام. لم تكن هناك كسور في الكتابات اليونانية عن الرياضيات. يعتقد العلماء اليونانيون أن الرياضيات يجب أن تتعامل فقط مع الأعداد الصحيحة. لقد زودوا التجار والحرفيين وعلماء الفلك والمساحين والميكانيكيين وغيرهم من "السود" بكسور. كتب مؤسس الأكاديمية الأثينية ، أفلاطون: "إذا كنت تريد تقسيم الوحدة ، فسوف يسخر منك علماء الرياضيات ولن يسمحوا لك بفعل ذلك".

لكن لم يتفق جميع علماء الرياضيات اليونانيين القدماء مع أفلاطون. لذلك في أطروحة "حول قياس الدائرة" يستخدم أرخميدس الكسور. كان مالك الحزين الإسكندري حراً في التعامل مع الكسور. هو ، مثل المصريين ، يقسم الكسر إلى مجموع الكسور الأساسية. بدلاً من 12 \ 13 ، كتب 1 \ 2 + 1 \ 3 + 1 \ 13 + 1 \ 78 ، بدلاً من 5 \ 12 ، كتب 1 \ 3 + 1 \ 12 ، إلخ. حتى فيثاغورس ، الذي عالج الأعداد الطبيعية برهبة مقدسة ، عند إنشاء نظرية السلم الموسيقي ، ربط الفواصل الموسيقية الرئيسية بالكسور. صحيح أن فيثاغورس وطلابه لم يستخدموا مفهوم الكسر ذاته. سمحوا لأنفسهم بالتحدث فقط عن العلاقات بين الأعداد الصحيحة.

نظرًا لأن الإغريق تعاملوا فقط مع الكسور بشكل متقطع ، فقد استخدموا رموزًا مختلفة. كتب هيرون وديوفانتوس الكسور في شكل أبجدي ، مع البسط تحت المقام. تم استخدام تسميات منفصلة لبعض الكسور ، على سبيل المثال ، من أجل 1 \ 2 - L ′ ′ ، ولكن بشكل عام ، جعل ترقيمهم الأبجدي بالكاد من الممكن تعيين الكسور.

بالنسبة لكسور الوحدة ، تم استخدام تدوين خاص: مقام الكسر كان مصحوبًا بضربة على اليمين ، ولم يتم كتابة البسط. على سبيل المثال،
في النظام الأبجدي ، كان يعني 32 ، و "- الكسر 1 \ 32. هناك سجلات من الكسور العادية حيث يتم كتابة البسط بضربة والمقام مرتين بضربتين جنبًا إلى جنب في سطر واحد. هنا هو كيف ، على سبيل المثال ، كتب مالك الحزين الإسكندري الكسر 3 \ 4:
.

ترجع أوجه القصور في التدوين اليوناني للأعداد الكسرية إلى حقيقة أن الإغريق فهموا كلمة "رقم" كمجموعة من الوحدات ، وبالتالي ، فإن ما نعتبره الآن رقمًا منطقيًا واحدًا - جزء - فهم الإغريق على أنه النسبة من عددين صحيحين. وهذا يفسر سبب ندرة الكسور الشائعة في الحساب اليوناني. أعطيت الأفضلية للكسور ذات البسط الفردي أو الكسور الستينية. كانت المنطقة التي احتاجت فيها الحسابات العملية إلى أجزاء دقيقة هي علم الفلك ، وهنا كان التقليد البابلي قويًا لدرجة أنه استخدم من قبل جميع الشعوب ، بما في ذلك اليونان.

1.6 كسور في روس

أول عالم رياضيات روسي ، معروف لنا بالاسم ، راهب دير نوفغورود كيريك تعامل مع قضايا التسلسل الزمني والتقويم. في كتابه المكتوب بخط اليد "تعليمه أن يعرف الإنسان أعداد كل السنين" (1136) ، أي تطبق "تعليمات حول كيفية معرفة الشخص لعدد السنوات" تقسيم الساعة إلى أخماس وعشرين أخماسًا ، إلخ. الكسور التي سماها "كسور الساعات" أو "الساعات". يأتي إلى الجزء السابع من الساعات ، والتي يوجد منها 937500 ساعة في اليوم أو الليل ، ويقول إنه لا يتم الحصول على أي شيء من الجزء السابع من الساعات.

في الكتب المدرسية الأولى للرياضيات (القرن السابع) ، كانت تسمى الكسور الكسور ، فيما بعد "الأعداد المكسورة". في اللغة الروسية ، ظهرت كلمة الكسر في القرن الثامن ، وهي مشتقة من فعل "سحق" - لكسر ، تحطيم. عند كتابة رقم ، تم استخدام خط أفقي.

في الكتيبات القديمة ، توجد الأسماء التالية للكسور في روس:

1/2 - نصف ونصف

1/3 - الثالث

1/4 - أربعة

1/6 - نصف الثلث

1/8 - نصف الساعة الماضية

1/12 - نصف الثلث

1/16 - نصف الماضي

1/24 - نصف نصف الثلث (الثلث الصغير)

1/32 - نصف ونصف ونصف (ربع صغير)

1/5 - خمسة

1/7 - أسبوع

1/10 - العشور.

تم استخدام ربع مساحة الأرض وأصغر في روسيا -

نصف ربع الذي كان يسمى الأخطبوط. كانت هذه كسورًا محددة ، ووحدات لقياس مساحة الأرض ، لكن الأخطبوط لم يستطع قياس الوقت أو السرعة ، وما إلى ذلك. قيمة.

يمكنك أن تقرأ عن استخدام الكسور في روسيا في القرن السابع عشر في كتاب ف. بيلوستين "كيف توصل الناس تدريجيًا إلى الحساب الحقيقي" التالي: "في مخطوطة القرن السابع عشر. "المادة العددية على جميع الأسهم ، المرسوم" يبدأ مباشرة بالتسمية المكتوبة للكسور وبإشارة البسط والمقام. عند نطق الكسور ، تكون الميزات التالية مثيرة للاهتمام: الجزء الرابع كان يسمى ربعًا ، بينما تم التعبير عن المشاركات ذات المقام من 5 إلى 11 بالكلمات التي تنتهي بـ "ina" ، لذا فإن 1/7 هي أسبوع ، 1/5 خمسة ، 1/10 عشور ؛ تم نطق الأسهم ذات المقامات الأكبر من 10 باستخدام الكلمات "المهور" ، على سبيل المثال 5/13 - خمسة عشر لوتات. تم استعارة ترقيم الكسور مباشرة من المصادر الغربية ... سُمي البسط بالرقم العلوي والمقام بالجزء السفلي ".

منذ القرن السادس عشر ، كان الحساب الخشبي شائعًا جدًا في روسيا - الحسابات باستخدام أداة كانت النموذج الأولي للحسابات الروسية. جعل من الممكن إجراء عمليات حسابية معقدة بسرعة وسهولة. كان الحساب الخشبي منتشرًا جدًا بين التجار وموظفي أوامر موسكو و "القيّمين" - مساحو الأراضي ، مدبرات المنازل الرهبانية ، إلخ.

في شكله الأصلي ، تم تكييف عدد اللوحة خصيصًا لاحتياجات الحساب المتقدم. هذا هو نظام الضرائب في روسيا في القرنين الخامس عشر والسابع عشر ، حيث كان من الضروري ، جنبًا إلى جنب مع الجمع والطرح والضرب وتقسيم الأعداد الصحيحة ، إجراء نفس العمليات مع الكسور ، لأن الوحدة الشرطية للضرائب - المحراث ، تم تقسيمها إلى أجزاء.

يتكون الحساب الخشبي من صندوقين قابلين للطي. تم تقسيم كل صندوق إلى قسمين (لاحقًا في الأسفل فقط) ؛ المربع الثاني كان ضروريًا بسبب خصوصيات حساب المال. داخل الصندوق ، كانت العظام معلقة على أسلاك أو أسلاك مشدودة. وفقًا لنظام الأرقام العشرية ، تحتوي صفوف الأعداد الصحيحة على 9 أو 10 عظام ؛ تم إجراء العمليات مع الكسور على صفوف غير مكتملة: صف من ثلاثة عظام مكونة من ثلاثة أثلاث ، صف من أربعة عظام - أربعة أرباع (شيتي). يوجد أدناه صفوف تحتوي على عظم واحد: كل عظم يمثل نصف الكسر الذي كان يقع تحته (على سبيل المثال ، كان العظم الموجود أسفل صف من ثلاثة عظام نصف الثلث ، والعظم الذي تحته كان نصف النصف من الثلث ، وما إلى ذلك). تعطي إضافة كسرين متطابقين "متشابهين" كسرًا من أقرب فئة أعلى ، على سبيل المثال ، 1/12 + 1/12 = 1/6 ، إلخ. في الحسابات ، تتوافق إضافة كسرين من هذا القبيل مع الانتقال إلى أقرب مفصل أعلى.

تم جمع الكسور بدون اختزال إلى قاسم مشترك ، على سبيل المثال ، "ربع ونصف ونصف" (1/4 + 1/6 + 1/16). في بعض الأحيان يتم تنفيذ العمليات مع الكسور كما هو الحال مع الأعداد الصحيحة من خلال مساواة الكل (المحراث) بمبلغ معين من المال. على سبيل المثال ، إذا كانت sokha = 48 وحدة نقدية ، فسيكون الكسر أعلاه 12 + 8 + 3 = 23 وحدة نقدية.

في حساب سوش ، كان على المرء أن يتعامل مع الكسور الأصغر. تقدم بعض المخطوطات رسومات وأوصاف "مربعات حسابية" مماثلة لتلك التي تم النظر فيها للتو ، ولكن مع عدد كبير من الصفوف ذات عظم واحد ، بحيث يمكن وضع الكسور حتى 1/128 و 1/96 عليها. مما لا شك فيه ، تم صنع الأجهزة المقابلة أيضًا. لسهولة استخدام الآلات الحاسبة ، تم تقديم العديد من قواعد "قانون العظام الصغيرة" ، أي إضافة الكسور المستخدمة في حساب سوش ، مثل: ثلاثة أرباع المحراث ونصف المحراث ونصف المحراث ، إلخ. ما يصل إلى نصف - نصف - نصف - نصف - محراث بدون نصف - نصف - نصف - نصف ربع ، أي 3/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 +1/64 + 1/128 = 1 - 1/128 إلخ.

ولكن من بين الكسور ، تم اعتبار 1/2 و 1/3 فقط ، بالإضافة إلى تلك التي تم الحصول عليها من خلال القسمة المتتالية على 2. بالنسبة للعمليات التي تحتوي على كسور من السلاسل الأخرى ، لم يتم تعديل "عدد اللوحة". عند العمل معهم ، كان من الضروري الإشارة إلى جداول خاصة تم فيها إعطاء نتائج مجموعات مختلفة من الكسور.

في 1703 تم نشر أول كتاب مدرسي روسي مطبوع عن الرياضيات "الحساب". المؤلف Magnitsky Leonty Filippovich. في الجزء الثاني من هذا الكتاب ، "حول عدد الخطوط المقطوعة أو التي تحتوي على أجزاء" ، تم وصف عقيدة الكسور بالتفصيل.

في Magnitsky لها طابع حديث تقريبًا. يسهب Magnitsky في حساب المشاركات بمزيد من التفصيل عن الكتب المدرسية الحديثة. يعتبر Magnitsky الكسور كأرقام مسماة (ليس فقط 1/2 ، ولكن 1/2 روبل ، pood ، إلخ) ، وهو يدرس الإجراءات مع الكسور في عملية حل المشكلات. يجيب ماغنيتسكي بأن هناك رقمًا مكسورًا: "الرقم المكسور ليس شيئًا آخر ، فقط جزء من الشيء المعلن برقم ، أي نصف روبل مكتوب ، لكنه مكتوب بالروبل ، أو الروبل ، أو روبل ، أو الخمسين وجميع أنواع الأشياء ، يتم الإعلان عن جزء منها كرقم ، أي رقم مكسور. يعطي Magnitsky أسماء جميع الكسور المناسبة ذات القواسم من 2 إلى 10. على سبيل المثال ، الكسور ذات المقام 6: واحد ستة عشر ، اثنان ستة عشر ، ثلاثة ستة عشر ، أربعة ستة عشر ، خمسة ستة عشر.

يستخدم Magnitsky الاسم البسط ، والمقام ، ويعتبر الكسور غير الصحيحة ، والأرقام المختلطة ، بالإضافة إلى جميع الإجراءات ، ويفرد الجزء بالكامل من الكسر غير الصحيح.

ظلت عقيدة الكسور دائمًا هي أصعب فرع في الحساب ، ولكن في نفس الوقت ، في أي من العصور السابقة ، أدرك الناس أهمية دراسة الكسور ، وحاول المعلمون في الشعر والنثر إسعاد طلابهم. ماغنيتسكي كتب:

لكن لا يوجد حساب

Ijo في المتهم كله ،

وفي هذه الأسهم لا يوجد شيء ،

يمكنك الإجابة.

كل عنك ابتهج ،

تكون قادرة على في أجزاء.

1.7 كسور في الصين القديمة

في الصين ، تم إنشاء جميع العمليات الحسابية تقريبًا باستخدام الكسور العادية بحلول القرن الثاني قبل الميلاد. قبل الميلاد ه ؛ تم وصفها في المجموعة الأساسية للمعرفة الرياضية للصين القديمة - "الرياضيات في تسعة كتب" ، الطبعة الأخيرة منها تنتمي إلى Zhang Cang. بالحساب بناءً على قاعدة مشابهة لخوارزمية إقليدس (أكبر قاسم مشترك للبسط والمقام) ، اختصر علماء الرياضيات الصينيون الكسور. تم تقديم ضرب الكسور على أنه إيجاد مساحة قطعة أرض مستطيلة ، يتم التعبير عن طولها وعرضها بأرقام كسرية. تم النظر في التقسيم باستخدام فكرة التقسيم ، بينما لم يخجل علماء الرياضيات الصينيون من أن عدد المشاركين في التقسيم يمكن أن يكون كسريًا ، على سبيل المثال ، 3⅓ شخص.

في البداية ، استخدم الصينيون أبسط الكسور ، والتي تم تسميتها باستخدام الهيروغليفية البني:

الحمامات ("نصف") -1 \ 2 ؛

شاو بان ("نصف صغير") -1 \ 3 ؛

تاي بان ("النصف الكبير") -2 \ 3.

كانت الخطوة التالية هي تطوير فكرة عامة عن الكسور وتشكيل قواعد للعمل معها. إذا تم استخدام الكسور فقط في مصر القديمة ، فعندئذٍ في الصين ، يُنظر إليها ، باعتبارها كسورًا ، كأحد أنواع الكسور ، وليست الوحيدة الممكنة. تعاملت الرياضيات الصينية مع الأعداد المختلطة منذ العصور القديمة. أقدم النصوص الرياضية ، Zhou Bi Suan Jing (قانون حساب Zhou Gnomon / رسالة رياضية في Gnomon) ، تحتوي على حسابات يتم فيها رفع أرقام مثل 247933/1460 إلى قوة.

في "Ju zhang suan shu" ("قواعد العد في تسعة أقسام") ، يعتبر الكسر جزءًا من الكل ، والذي يتم التعبير عنه في العدد التاسع من الكسور - fen - m (n

في القسم الأول من "Ju Zhang Suan Shu" ، مكرس بشكل عام لقياس الحقول ، وقواعد الاختزال والجمع والطرح والقسمة والضرب ، وكذلك المقارنة و "التعادل" ، أي مثل هذه المقارنة بين ثلاثة كسور ، حيث من الضروري إيجاد الوسط الحسابي لها (لم يتم ذكر قاعدة أبسط لحساب المتوسط الحسابي لرقمين في الكتاب).

على سبيل المثال ، للحصول على مجموع الكسور في هذا المقال ، يتم تقديم التعليمات التالية: "اضرب (hu cheng) البسط بالمقام بالتناوب. اجمع - هذا هو العائد (شي). اضرب القواسم - هذا هو القاسم (fa). اجمع المقسوم مع المقسوم عليه في واحد (و). إذا كان هناك الباقي ، فقم بربطه بالمقسوم عليه. تعني هذه التعليمات أنه إذا تمت إضافة عدة كسور ، فيجب ضرب بسط كل كسر في مقامات جميع الكسور الأخرى. عند "دمج" المقسوم (كمجموع نتائج هذا الضرب) مع المقسوم عليه (حاصل ضرب جميع القواسم) ، يتم الحصول على كسر ، يجب تقليله إذا لزم الأمر والذي يجب فصل الجزء كله عنه بالقسمة ، ثم "الباقي" هو البسط ، والمقسوم عليه المختزل هو المقام. مجموع مجموعة الكسور هو نتيجة هذا التقسيم ، ويتألف من عدد صحيح زائد كسر. تعليمات "ضرب القواسم" تعني ، في الواقع ، جعل الكسور في المقام المشترك الأعلى.

تحتوي قاعدة تقليل الكسر في Jiu Zhang Xuan Shu على خوارزمية لإيجاد القاسم المشترك الأكبر للبسط والمقام ، وهو نفس ما يسمى بخوارزمية إقليدس لإيجاد القاسم المشترك الأكبر لرقمين. ولكن إذا تم تقديم الأخير ، كما هو معروف ، في "المبادئ" بصيغة هندسية ، فإن الخوارزمية الصينية تقدم بطريقة حسابية بحتة. الخوارزمية الصينية لإيجاد القاسم المشترك الأكبر ، والتي تسمى den shu ("نفس العدد") ، مبنية كطرح متتالي لرقم أصغر من رقم أكبر. هذا هو رقم den shu ومن الضروري تقليل الكسر. على سبيل المثال ، يُقترح تقليل الكسر 49 \ 91. نقوم بعملية الطرح المتسلسل: 91-49 \ u003d 42 ؛ 49-42 = 7 ؛ 42 - 7 - 7 - 7 - 7 - 7 - 7 \ u003d 0. دينغ شو = 7. نقوم بتقليل الكسر بهذا الرقم. نحصل على: 7 \ 13.

يختلف تقسيم الكسور في "Ju Zhang Xuan Shu" عن المقبول اليوم. تنص القاعدة "ching fen" ("ترتيب التقسيم") على أنه قبل قسمة الكسور ، يجب اختزالها إلى قاسم مشترك. وبالتالي ، فإن إجراء قسمة الكسور له خطوة غير ضرورية: a / b: c / d = ad / bd: cb / bd = ad / cb. فقط في القرن الخامس تخلص Zhang Qiu-jian في عمله "Zhang Qiu-jian suan jing" ("عد قانون Zhang Qiu-jian") منه بقسمة الكسور وفقًا للقاعدة المعتادة: a / b: c / d = ad / cb .

ربما كان الالتزام الطويل لعلماء الرياضيات الصينيين بخوارزمية متطورة لتقسيم الكسور يرجع إلى الرغبة في الحفاظ على عالميتها واستخدام لوحة العد. في الواقع ، يتمثل في تقليل قسمة الكسور إلى قسمة الأعداد الصحيحة. هذه الخوارزمية صالحة إذا كان العدد الصحيح يقبل القسمة على عدد مختلط. عند القسمة ، على سبيل المثال ، 2922 على 182 5/8 ، تم ضرب كلا الرقمين أولاً في 8 ، مما سمح بتقسيم الأعداد الصحيحة بشكل أكبر: 23376: 1461 = 16

1.8 كسور في دول أخرى في العصور القديمة والعصور الوسطى.

تم تحقيق مزيد من التطوير لمفهوم الجزء المشترك في الهند. كان علماء الرياضيات في هذا البلد قادرين على الانتقال بسرعة من الكسور الوحدوية إلى الكسور ذات الشكل العام. لأول مرة تم العثور على هذه الكسور في "قواعد الحبل" من قبل Apastamba (القرنين السابع والخامس قبل الميلاد) ، والتي تحتوي على تركيبات هندسية ونتائج بعض الحسابات. في الهند ، تم استخدام نظام كتابة - ربما يكون من أصل صيني وربما من أصل يوناني متأخر - حيث تم كتابة بسط الكسر فوق المقام - مثل نظامنا ، ولكن بدون سطر كسور ، ولكن تم وضع الكسر بأكمله في إطار مستطيل. في بعض الأحيان تم استخدام تعبير "من ثلاثة طوابق" مع ثلاثة أرقام في إطار واحد ؛ اعتمادًا على السياق ، قد يعني هذا كسرًا غير لائق (أ + ب / ج) أو تقسيم عدد صحيح أ على كسر ب / ج.

على سبيل المثال ، الكسر مسجلة باسم

لم تختلف قواعد الإجراءات مع الكسور ، التي وضعها العالم الهندي براماغوبتا (القرن الثامن) ، كثيرًا عن القواعد الحديثة. كما هو الحال في الصين ، في الهند ، من أجل الاختزال إلى قاسم مشترك ، تضاعفت قواسم جميع المصطلحات لفترة طويلة ، ولكن من القرن التاسع. استخدم المضاعف المشترك الأصغر.

استخدم عرب العصور الوسطى ثلاثة أنظمة لكتابة الكسور. أولاً ، بالطريقة الهندية ، اكتب المقام تحت البسط ؛ ظهر خط كسري في نهاية الثاني عشر - الثالث عشر في وقت مبكرالخامس. ثانيًا ، استخدم المسؤولون ومساحو الأراضي والتجار حساب الكسور القسمة ، على غرار الكسور المصرية ، في حين تم استخدام الكسور ذات القواسم التي لا تزيد عن 10 (اللغة العربية لها مصطلحات خاصة فقط لهذه الكسور) ؛ غالبًا ما يتم استخدام القيم التقريبية ؛ عمل العلماء العرب على تحسين هذا الحساب. ثالثًا ، ورث العلماء العرب النظام السداسي البابلي اليوناني ، حيث استخدموا ، مثل الإغريق ، تدوينًا أبجديًا ، وتمديده إلى أجزاء كاملة.

تم استيعاب التصنيف الهندي للكسور وقواعد العمل معهم في القرن التاسع. في بلاد المسلمين بفضل محمد الخوارزمي. في الممارسات التجارية في بلاد الإسلام ، تم استخدام الكسور المفردة على نطاق واسع ، وفي العلم استخدموا الكسور الستينية ، وبدرجة أقل ، الكسور العادية. قدم الكراجي (القرنان الحادي عشر والحادي عشر) ، والخصر (القرن الثاني عشر) ، والكلاسادي (القرن الخامس عشر) وغيرهم من العلماء في أعمالهم قواعد تمثيل الكسور العادية كمجموع ومنتجات لكسور الوحدات. تم نقل المعلومات حول الكسور إلى أوروبا الغربية من قبل التاجر والعالم الإيطالي ليوناردو فيبوناتشي من بيزا (القرن الثالث عشر). قدم كلمة كسر ، وبدأ في استخدام سمة الكسر (1202) ، وقدم صيغًا للتقسيم المنهجي للكسور إلى كسور أساسية. تم تقديم بسط ومقام الأسماء في القرن الثالث عشر بواسطة راهب وعالم وعالم رياضيات يوناني مكسيم بلانود. طريقة اختزال الكسور إلى قاسم مشترك تم اقتراحها عام 1556 بواسطة N. Tartaglia. تم العثور على المخطط الحديث لإضافة الكسور العادية في عام 1629. في A. Girard.

ثانيًا. استخدام الكسور العادية

2.1 الكسور القسمة

تشكل مشاكل استخدام الكسور فئة واسعة من المشاكل غير القياسية ، بما في ذلك تلك التي جاءت من العصور القديمة. تُستخدم الكسور القسمة عندما يلزم تقسيم شيء ما إلى عدة أجزاء بأقل عدد من الخطوات لذلك. يتم تنظيم تحلل الكسور بالشكل 2 / n و 2 / (2n + 1) إلى جزأين مقسمتين في شكل صيغ

التحلل إلى ثلاثة ، أربعة ، خمسة ، إلخ. يمكن إنتاج الكسور المتقسمة عن طريق تحليل أحد المصطلحات إلى كسرين ، المصطلح التالي إلى كسرين أكثر قسمة ، إلخ.

لتمثيل أي رقم كمجموع الكسور القسمة ، عليك أحيانًا إظهار براعة غير عادية. لنفترض أن الرقم 2/43 تم التعبير عنه على النحو التالي: 2/43 = 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301. من غير الملائم إجراء عمليات حسابية على الأرقام ، وتقسيمها إلى مجموع كسور واحد. لذلك ، في عملية حل مشاكل توسيع الكسور القسمة كمجموع الكسور الصغيرة ، نشأت فكرة لتنظيم توسيع الكسور في شكل معادلة. هذه الصيغة صالحة إذا كان توسيع كسر القسمة إلى جزأين مقسمتين مطلوبًا.

تبدو الصيغة كما يلي:

1 / ن = 1 / (ن + 1) + 1 / ن (ن + 1)

أمثلة على توسع الكسور:

1/3 = 1 / (3 + 1) +1/3 (3 + 1) = 1/4 +1/12 ؛

1/5 = 1 / (5 + 1) +1/5 (5 + 1) = 1/6 +1/30 ؛

1/8 = 1 / (8 + 1) +1/8 (8 + 1) = 1/9 + 1/72.

يمكن تحويل هذه الصيغة والحصول على المساواة المفيدة التالية: 1 / n (n + 1) = 1 / n -1 / (n + 1)

على سبيل المثال ، 1/6 = 1 / (2 3) = 1/2 -1/3

أي أنه يمكن تمثيل كسر القسمة بالاختلاف بين جزأين مقسمتين ، أو الاختلاف بين كسرين مقسمتين ، مقاماتهما أرقام متتالية تساوي حاصل ضربهما.

مثال.قم بتمثيل الرقم 1 كمجموع من الكسور القسمة المختلفة

أ) ثلاثة فصول 1 = 1/2 + 1/2 = 1/2 + (1/3 + 1/6) = 1/2 + 1/3 + 1/6

ب) أربعة فصول

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)= 1/2+1/3+1/7+1/42

ج) خمسة فصول

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=1/2+1/3+1/7+1/42=1/2+(1/4+ +1/12) +1/7+1/42=1/2+1/4+1/12 +1/7+1/42

2.2 بدلاً من الأسهم الصغيرة والكبيرة

هناك مهنة مثيرة للغاية في مصانع بناء الآلات ، يطلق عليها اسم الخطاط. يقوم الخطاط بتمييز الخطوط الموجودة على قطعة العمل التي يجب معالجة قطعة العمل على طولها من أجل إعطائها الشكل المطلوب.

يجب على الخطاط حل مسائل هندسية مثيرة للاهتمام وصعبة في بعض الأحيان ، وإجراء حسابات حسابية ، وما إلى ذلك.
"كان من الضروري بطريقة ما توزيع 7 لوحات مستطيلة متطابقة في حصص متساوية بين 12 جزءًا. أحضروا هذه اللوحات السبعة إلى قلم التحديد وطلبوا منه ، إن أمكن ، وضع علامة على اللوحات حتى لا يتم سحق أي منها إلى أجزاء صغيرة جدًا لذلك ، فإن أبسط حل هو تقطيع كل سجل إلى 12 جزء متساوٍ لم يكن جيدًا ، لأن هذا نتج عنه العديد من الأجزاء الصغيرة.
هل من الممكن تقسيم هذه السجلات إلى أجزاء أكبر؟ يعتقد القشارة ، أنه أجرى بعض الحسابات الحسابية باستخدام الكسور ، ومع ذلك وجد الطريقة الأكثر اقتصادا لتقسيم هذه الصفائح.
بعد ذلك ، تمكن بسهولة من سحق 5 لوحات لتوزيعها في حصص متساوية بين ستة أجزاء ، 13 لوحة لـ 12 جزءًا ، 13 لوحة لـ 36 جزءًا ، 26 قطعة لـ 21 ، إلخ.

اتضح أن العلامة تمثل الكسر 7 \ 12 كمجموع كسور الوحدة 1 \ 3 + 1 \ 4. لذلك ، إذا تم تقطيع 4 من 7 لوحات معطاة إلى ثلاثة أجزاء متساوية ، فسنحصل على 12 ثلثًا ، أي ثلث لكل جزء. قمنا بتقطيع اللوحات الثلاث المتبقية إلى 4 أجزاء متساوية لكل منها ، ونحصل على 12 ربعًا ، أي ربعًا لكل جزء. وبالمثل ، باستخدام تمثيل الكسور كمجموع لكسور الوحدة 5 \ 6 = 1 \ 2 + 1 \ 3 ؛ 13 \ 121 \ 3 + 3 \ 4 ؛ 13 \ 36 = 1 \ 4 + 1 \ 9.

2.3 أقسام في ظروف صعبة

هناك مثل شرقي معروف أن الأب ترك لأبنائه 17 من الإبل وأمرهم بالتقسيم فيما بينهم: النصف الأكبر ، النصف الأوسط - الثالث ، الأصغر - التاسع. لكن 17 لا تقبل القسمة على 2 أو 3 أو 9. تحول الأبناء إلى الحكيم. كان الحكيم على دراية بالكسور وكان قادرًا على المساعدة في هذا الموقف الصعب.

ذهب لخدعة. أضاف الحكيم جمله إلى القطيع لفترة ثم كان هناك 18 منهم بقسمة هذا الرقم كما ورد في الوصية أعاد الحكيم البعير. السر هو أن الأجزاء التي ، حسب الوصية ، من المفترض أن يقسم الأبناء القطيع إليها ، لا تضيف ما يصل إلى 1. في الواقع ، 1 \ 2 + 1 \ 3 + 1 \ 9 = 17 \ 18.

هناك العديد من هذه المهام. على سبيل المثال ، مهمة من كتاب مدرسي روسي حول 4 أصدقاء عثروا على محفظة بها 8 أوراق ائتمان: واحد مقابل واحد ، وثلاثة ، وخمسة روبل ، والباقي مقابل عشرة روبلات. بالاتفاق المتبادل ، أراد المرء الجزء الثالث ، الربع الثاني ، الثالث الخامس ، الرابع السادس. ومع ذلك ، لم يتمكنوا من القيام بذلك بمفردهم: ساعد أحد المارة ، بعد إضافة الروبل الخاص به. لحل هذه الصعوبة ، أضاف المارة كسور الوحدة 1 \ 3 + 1 \ 4 + 1 \ 5 + 1 \ 6 = 57 \ 60 ، لتلبية طلبات الأصدقاء وكسب 2 روبل لنفسه.

ثالثا.مسلية الكسور

3.1 الدومينو

الدومينو هي لعبة لوحية يتم لعبها في جميع أنحاء العالم. غالبًا ما تتكون لعبة الدومينو من 28 قطعة نرد مستطيلة. الدومينو عبارة عن بلاطة مستطيلة ، ينقسم جانبها الأمامي بخط إلى جزأين مربعين. يحتوي كل جزء من صفر إلى ست نقاط. إذا أزلنا النرد الذي لا يحتوي على نقاط على نصف واحد على الأقل (فارغ) ، فيمكن اعتبار النرد المتبقي كسور. العظام ، وكلا نصفيها يحتويان على نفس العدد من النقاط (الزوجي) ، هي كسور غير صحيحة تساوي واحدًا. إذا قمت بإزالة المزيد من هذه العظام ، فسيتبقى 15 عظمة. يمكن وضعها بطرق مختلفة والحصول على نتائج مثيرة للاهتمام.

1. ترتيب في 3 صفوف ، مجموع الكسور في كل منها 2.

;
;

2. ترتيب كل 15 قطعة في ثلاثة صفوف من 5 قطع لكل منها ، باستخدام بعض قطع الدومينو ككسور غير صحيحة ، مثل 4/3 ، 6/1 ، 3/2 ، إلخ ، بحيث يكون مجموع الكسور في كل منها كان الصف يساوي 10.

1\3+6\1+3\4+5\3+5\4=10

2\1+5\1+2\6+6\3+4\6=10

4\1+2\3+4\2+5\2+5\6=10

3. الترتيب في صفوف الكسور ، سيكون مجموعها عددًا صحيحًا (لكن يختلف في صفوف مختلفة).

3.2 منذ العصور السحيقة.

"لقد درس هذه المسألة بدقة". هذا يعني أن القضية قد تمت دراستها حتى النهاية ، ولم يبق حتى أدنى غموض. والكلمة الغريبة "بدقة" تأتي من الاسم الروماني 1/288 آسا - "سكروبولوس".

"احصل على الكسور." هذا التعبير يعني الدخول في موقف صعب.

"الحمار" - وحدة الكتلة في علم الأدوية (جنيه الصيدلي).

"أونصة" - وحدة كتلة في نظام القياسات الإنجليزي ، وحدة كتلة في علم العقاقير والكيمياء.

رابعا. خاتمة.

استنتجت أن تاريخ الكسور المشتركة هو طريق متعرج به العديد من العقبات والصعوبات. أثناء عملي على المقال ، تعلمت الكثير من الأشياء الجديدة والمثيرة للاهتمام. قرأت العديد من الكتب والأقسام من الموسوعات. تعرفت على الكسور الأولى التي عمل عليها الناس ، مع مفهوم الكسر الجزئي ، تعلمت أسماء جديدة لي من العلماء الذين ساهموا في تطوير عقيدة الكسور. لقد حاولت بنفسها حل المشكلات الأولمبية والمسلية ، وأمثلة مختارة بشكل مستقل لتحليل الكسور العادية إلى كسور قسمة ، وحللت حل الأمثلة والمشكلات الواردة في النصوص. إجابة السؤال الذي طرحته على نفسي قبل بدء العمل على المقال: الكسور العادية ضرورية ، إنها مهمة. كان من المثير للاهتمام إعداد عرض تقديمي ، كان علي أن أتوجه إلى المعلم وزملائي للحصول على المساعدة. أيضًا ، عند الكتابة ، واجهت أولاً الحاجة إلى طباعة الكسور والتعبيرات الكسرية. لقد قدمت الملخص في مؤتمر مدرسي. كما أنها غنت أمام زملائها في الفصل. لقد استمعوا باهتمام شديد ، وفي رأيي ، كانوا مهتمين.

المهام التي حددتها قبل البدء في العمل على الملخص ، على ما أعتقد ، قد تم إنجازها بواسطتي.

الأدب.

1. بورودين أ. من تاريخ الحساب. دار النشر الرائدة "مدرسة فيششا" K.، 1986

2. Glazer G. I. تاريخ الرياضيات في المدرسة: IV-VI class. دليل للمعلمين. - م: التنوير ، 1981.

3 - إغناتيف إي. في عالم الإبداع. الطبعة الرئيسية للأدب الفيزيائي والرياضي لدار النشر "نوكا" ، م ، 1978.

4. Kordemskoy GA البراعة الرياضية. - الطبعة العاشرة ، منقحة. وإضافي - م: يونسام ، MDS ، 1994.

5. Stroyk D.Ya. مخطط موجز لتاريخ الرياضيات. موسكو: Nauka ، 1990.

6. موسوعة للأطفال. المجلد 11. الرياضيات. موسكو ، "Avanta +" ، 1998.

7. / ويكي مادة من ويكيبيديا - الموسوعة الحرة.

المرفق 1.

مقياس طبيعي

يعلم الجميع أن فيثاغورس كان عالما ، وعلى وجه الخصوص ، مؤلف النظرية الشهيرة. وحقيقة أنه كان أيضًا موسيقيًا لامعًا غير معروفة على نطاق واسع. سمح له الجمع بين هذه المواهب بأن يكون أول من يخمن وجود مقياس طبيعي. لا يزال يتعين علينا إثبات ذلك. صمم فيثاغورس لتجاربه شبه أداة - شبه جهاز - "أحادي". كان صندوقًا مستطيلًا به خيط ممتد فوقه. تحت الخيط ، على الغطاء العلوي للصندوق ، رسم فيثاغورس مقياسًا لتسهيل تقسيم السلسلة بصريًا إلى أجزاء. تم إجراء العديد من التجارب بواسطة فيثاغورس باستخدام أحادي الحب ، وفي النهاية ، وصف بطريقة رياضية سلوك سلسلة السبر. شكل عمل فيثاغورس أساس العلم الذي نسميه الآن الصوتيات الموسيقية. اتضح أن سبعة أصوات في الأوكتاف طبيعية للموسيقى مثل عشرة أصابع في الحساب. لقد أعطى وتر القوس الأول ، المتأرجح بعد اللقطة ، مجموعة الأصوات الموسيقية التي ما زلنا نستخدمها دون تغيير تقريبًا.

من وجهة نظر الفيزياء ، الوتر والخيط هما نفس الشيء. نعم ، وصنع الرجل خيطًا ، مع مراعاة خصائص الوتر. لا تتذبذب سلسلة السبر ككل فحسب ، بل تتأرجح في نفس الوقت في أنصاف ، وأثلاث ، وأرباع ، وما إلى ذلك. دعونا الآن نقترب من هذه الظاهرة من الناحية الحسابية. يهتز النصفان مرتين مثل الوتر بأكمله ، والأثلاث - ثلاث مرات ، والأرباع - أربع مرات. باختصار ، كم مرة يكون الجزء المهتز من الوتر أصغر ، يكون تردد اهتزازاته هو نفس عدد المرات الأكبر. لنفترض أن الوتر بأكمله يهتز بتردد 24 هرتز. بحساب تقلبات الأسهم حتى ستة عشر ، نحصل على سلسلة من الأرقام الموضحة في الجدول. هذا التسلسل من الترددات يسمى طبيعي ، أي طبيعي ، سليم.

الملحق 2

المسائل القديمة باستخدام الكسور العادية.

في المخطوطات القديمة والكتب المدرسية القديمة للحساب من بلدان مختلفة ، هناك العديد من المهام المثيرة للاهتمام على الكسور. يتطلب حل كل من هذه المشكلات قدرًا كبيرًا من البراعة والإبداع والقدرة على التفكير.

1. يأتي الراعي ومعه 70 ثورًا. يُسأل:

كم تخرج من قطيعك الكثيرة؟

يجيب الراعي:

أحضر ثلثي الماشية. عد كم عدد الثيران في القطيع؟

بردية أحمس (مصر ، حوالي 2000 قبل الميلاد).

2. شخص ما أخذ 1/13 من الخزينة. من المتبقي أخذ آخر 1/17. لقد ترك 192 في الخزانة .. نريد أن نعرف كم كان في الخزانة في البداية

بردية أكميم (السادس ج.)

3. المسافر! هنا دفن ديوفانتوس الرماد. ويمكن للأرقام أن تخبرنا ، يا معجزة ، كم كان عمر حياته.

الجزء السادس منه كان طفولة رائعة.

مر الجزء الثاني عشر من حياة أخرى - ثم غُطيت الذقن بالزغب.
عقد ديوفانتوس السابع في زواج بدون أطفال.

خمس سنوات مرت. لقد أنعم على ولادة الابن البكر الجميل.
الذي لم يمنحه القدر سوى نصف حياة جميلة ومشرقة على الأرض مقارنةً بوالده.

وفي حزن عميق ، قبل الرجل العجوز المصير النهاية ، بعد أن عاش أربع سنوات منذ أن فقد ابنه.

أخبرني ، كم سنة من الحياة ، بعد أن وصلت ، هل قبل ديوفانتوس الموت؟

4. ورث شخص يحتضر: إذا كان لزوجتي ولد فليكن له ثلثا التركة ، وسائر الزوجة. إذا ولدت البنت فهي الثلث والزوجة 2/3. ولد توأمان - ابن وابنة. كيف تقسم التركة؟

مهمة رومانية قديمة (القرن الثاني)

أوجد ثلاثة أعداد بحيث يتجاوز الأكبر المتوسط بجزء معين من الأصغر ، بحيث يتجاوز المتوسط الأصغر بكسر معين من الأكبر ، وبذلك يتجاوز الأصغر 10 بجزء معين من المتوسط.

ديوفانتوس الإسكندري أطروحة "الحساب" (القرنين الثاني والثالث بعد الميلاد)

5. بطة برية من البحر الجنوبييطير 7 أيام إلى بحر الشمال. تطير الأوز البري من المنجم الشمالي إلى البحر الجنوبي لمدة 9 أيام. الآن البطة والأوزة تطير في نفس الوقت. في كم يوم سوف يجتمعون؟

الصين (القرن الثاني الميلادي)

6. "مر تاجر واحد بثلاث مدن ، فجمعوا منه الرسوم في المدينة الأولى بنصف وثلث العقار ، وفي المدينة الثانية مقابل نصف وثلث باقي الممتلكات ، وفي المدينة الثالثة مقابل نصف وثلث الممتلكات المتبقية. وعندما وصل إلى المنزل ، كان لديه 11 نقودًا متبقية. اكتشف مقدار المال الذي حصل عليه التاجر في البداية.

عناني شيراتسي. جمع "أسئلة وأجوبة" (سابعاالقرن الميلادي).

هناك زهرة كادامبا ،

بتلة واحدة

لقد سقط خمس النحل.

تنمو بجانبه

كل ما في بلوم Simengda ،

وعليه تناسب الجزء الثالث.

تجد اختلافهم

اطوها ثلاث مرات

ووضع هؤلاء النحل على kutai.

لم يتم العثور على اثنين فقط.

مكانك ليس في أي مكان

طار الجميع ذهابًا وإيابًا وفي كل مكان

استمتعت برائحة الزهور.

اتصل بي الآن

العد في ذهني

كم عدد النحل في المجموع؟

المهمة الهندية القديمة (القرن الحادي عشر).

8. "ابحث عن رقم ، مع العلم أنك إذا طرحت ثلثًا وربعًا منه ، فستحصل على 10."

محمد بن موسى الخورزمي "حسابي" (القرن التاسع)

9. ذهبت امرأة إلى الحديقة لقطف التفاح. لمغادرة الحديقة ، كان عليها أن تمر عبر أربعة أبواب ، لكل منها حارس. أعطت المرأة نصف حبات التفاح التي قطعتها للحارس عند الباب الأول. وبعد أن وصلت إلى الحارس الثاني أعطته المرأة نصف الباقي. فعلت الشيء نفسه مع الحارس الثالث ، وعندما تقاسمت التفاح مع الحارس الرابع ، كان لديها 10 تفاحات متبقية. كم عدد التفاحات التي قطفتها في الحديقة؟

"1001 Nights"

10. فقط "ذلك" و "ذلك" ، ونصف "ذاك" و "ذاك" - كم ستكون النسبة المئوية لثلاثة أرباع "ذاك" و "ذاك".

كوديكس القديمة روس(القرنين الحادي عشر والحادي عشر)

11. أتى ثلاثة قوزاق إلى الراعي لشراء خيول.

قال الراعي: "حسنًا ، سأبيع لك خيولًا ، سأبيع نصف قطيع ونصف حصان آخر للأول ، ونصف الخيول المتبقية ونصف حصان آخر للثاني ، والثالث كما تحصل على نصف الخيول المتبقية مع نصف حصان.

سأترك لنفسي 5 خيول فقط ".

فوجئ القوزاق بكيفية تقسيم الراعي للخيول إلى أجزاء. لكن بعد بعض التفكير ، هدأوا ، وتمت الصفقة.

كم عدد الخيول التي باعها الراعي لكل من القوزاق؟

12. سأل أحدهم المعلم: "أخبرني ، كم عدد الطلاب لديك في صفك ، لأنني أريد أن أعطيك ابني للتدريس." أجاب المعلم: "إذا جاء عدد أكبر من الطلاب ، ونصف العدد ، ورابع ، وابنك ، فعندئذ سيكون لدي 100 طالب". السؤال هو ، كم عدد الطلاب لدى المعلم؟

L. F. Magnitsky "حسابي" (1703)

13. سأله المسافر وهو يلحق بآخر: "هل المسافة بعيدة عن القرية؟" أجاب مسافر آخر: المسافة من القرية التي تنطلق منها تساوي ثلث المسافة الكلية بين القريتين. وإذا مشيت ميلين آخرين ، فستكون بالضبط في المنتصف بين القرى. كم ميلا متبقي للذهاب للمسافر الأول؟

L. F. Magnitsky "حسابي" (1703)

14. كانت فلاحة تبيع البيض في السوق. اشترت الزبون الأول منها نصف بيضة ونصف بيضة أخرى ، والنصف الثاني من الباقي ونصف بيضة ، والثالث آخر 10 بيضات.

كم بيضة جلبتها الفلاحة إلى السوق؟

L. F. Magnitsky "حسابي" (1703)

15. أخذ الزوج والزوجة نقوداً من نفس الصندوق ولم يبق منه شيء. أخذ الزوج 7/10 من كل الأموال ، والزوجة 690 روبل. كم كان كل هذا المال؟

L.N.Tolstoy "حسابي"

16. ثُمن عدد

مع الأخذ ، تضيف إليها أي شيء

نصف ثلاثمائة

وسوف يتفوق الثمانية

ليس قليلا - خمسون

ثلاثة أرباع. سأكون ممتنا،

إذا كان الشخص الذي يعرف النتيجة

سيخبرني برقم.

يوهان هيملينج مدرس الرياضيات. (1800)

17. فاز ثلاثة ببعض المال. استحوذت حصة الأول على ربع هذا المبلغ ، وحصة الثانية - 1/7 ، وحصة الثالثة - 17 فلورين. ما هو حجم كل المكاسب؟

آدم ريزي (ألمانيا ، القرن السادس عشر) 18. قرر شخص ما أن يقسم كل مدخراته بالتساوي بين جميع أبنائه ، وصية. "يجب أن يحصل أكبر أبنائي على 1000 روبل وثمن الباقي ؛ التالي - 2000 روبل وثمن الرصيد الجديد ؛ الابن الثالث - 3000 روبل وثمن الرصيد التالي ، إلخ. " تحديد عدد الأبناء وحجم المدخرات الموروثة.

ليونارد أويلر (1780)

19. ثلاثة أشخاص يريدون شراء منزل بـ 24000 ليفر. واتفقوا على أن الأول يعطي النصف ، والثاني على الثلث ، والثالث الباقي. كم من المال سيعطي الثالث؟

الكسور "،" عادي كسور". لعبة "حول ما يمكنهم ... للعد الذهني." المهام الخاصة بالموضوع " عادي كسوروالأفعال عليها "1. ش .. فيلسوف ، كاتب. كان باء باسكال بشكل غير عاديموهوب ومتعدد الاستخدامات ، كانت حياته ...

بافليكوفا إي. (، مدرسة MAOU Dyatkovskaya الثانوية رقم 5)

1. Anishchenko E. A. الرقم كمفهوم أساسي للرياضيات. ماريوبول ، 2002.

2. Vilenkin N.Ya.، Zhokhov V.I.، Chesnokov A.S.، Shvartsburd S.I. الرياضيات. الصف الخامس: كتاب مدرسي للمؤسسات التعليمية. - الطبعة 26 ، الأب. - م: Mnemosyne ، 2009. - 280 ص.

3. Geyser G.I. تاريخ الرياضيات في المدرسة. دليل للمعلمين. - م: التنوير ، 1981. - 239 ص.

4. الرياضيات. الصف الخامس: كتاب مدرسي للتعليم العام. المؤسسات / S.M. نيكولسكي ، م. بوتابوف ، ن. ريشيتنيكوف ، أ.ف. شيفكين. الطبعة الحادية عشرة ، المنقحة. - م: التنوير ، 2016. - 272 ص. - (جامعة ولاية ميشيغان - مدرسة).

5. القاموس الموسوعي الرياضي. - م ، 1988.

6. Dragunsky V. على المرء أن يتمتع بروح الدعابة. - وضع الوصول: http://peskarlib.ru/lib.phpid_sst=248.

7. من تاريخ الكسور. وضع الوصول: http://schools.keldysh.ru/sch1905/drobi/history.htm.

8. مادة من ويكيبيديا - الموسوعة الحرة. وضع الوصول: http://ru.wikipedia.org/wiki.

9. الاقتباسات. وضع الوصول: http://citaty.socratify.net/lev-tolstoi/25013.

موضوع الدراسة:تاريخ الكسور المشتركة.

موضوع الدراسة:الكسور العادية.

فرضية: إذا لم تكن هناك كسور ، فهل يمكن أن تتطور الرياضيات؟

الهدف من العمل: زخرفة استاند "الرياضيات حولنا" في فصل الرياضيات بحقائق شيقة عن الكسور.

مهام:

1. دراسة تاريخ ظهور الكسور في الرياضيات.

2. حدد الحقائق الأكثر إثارة للاهتمام حول الكسور التي يمكن استخدامها لتكوين أقسام من الحامل.

3. تصميم جناح في حجرة تدريس الرياضيات.

ملاءمة: تجعل الحياة الحديثة المسائل المتعلقة بالكسور ذات صلة ، حيث يتوسع نطاق التطبيق العملي للكسور.

طرق البحث:

1. ابحث عن معلومات حول الكسور في مصادر مختلفة: الإنترنت ، والخيال ، والكتب المدرسية.

2. تحليل ومقارنة وتعميم وتنظيم المعلومات.

من تاريخ الكسور العادية

ظهور الكسور

منذ العصور القديمة ، من أجل حل القضايا العملية الحيوية ، كان على الناس عد الأشياء وقياس الكميات ، أي الإجابة على الأسئلة "كم عدد الأغنام؟": كم عدد الأغنام في القطيع ، وكم عدد مقاييس الحبوب التي يتم جمعها من الميدان ، كم ميلا من مركز المقاطعة ، وما إلى ذلك حتى ظهرت الأرقام. لم يكن من الممكن دائمًا التعبير عن نتيجة القياس أو تكلفة البضائع بالأرقام الطبيعية. عندما احتاج الشخص إلى ابتكار أعداد كسرية جديدة ، ظهرت الكسور. في العصور القديمة ، تم التعامل مع الأعداد الصحيحة والأعداد الكسرية بشكل مختلف: كانت التفضيلات بجانب الأعداد الصحيحة. كتب أفلاطون ، مؤسس الأكاديمية الأثينية ، "إذا كنت تريد تقسيم الوحدة ، فسوف يسخر منك علماء الرياضيات ولن يسمحوا لك بفعل ذلك".

كسور في روس

في الكتيبات القديمة نجد الأسماء التالية للكسور في روس:

كسور في دول أخرى من العصور القديمة

استندت جميع قواعد العد عند قدماء المصريين إلى القدرة على الجمع والطرح ، ومضاعفة الأعداد وتكميل الكسور في واحد. كانت هناك رموز خاصة للكسور. استخدم المصريون كسورًا من الشكل 1 / n ، حيث n هو عدد طبيعي. تسمى هذه الكسور القسمة. في بعض الأحيان ، بدلاً من قسمة m: n ، قاموا بضرب m. ن.

لهذا ، تم استخدام طاولات خاصة. يجب أن أقول إن الأفعال مع الكسور كانت سمة من سمات الحساب المصري ، حيث تحولت أبسط الحسابات أحيانًا إلى مشاكل معقدة. (طلب).

طلب

تقف "الرياضيات من حولنا"

جدول "تسجيل الكسور في مصر"

في الصين ، تم إنشاء جميع العمليات الحسابية تقريبًا باستخدام الكسور العادية بحلول القرن الثاني قبل الميلاد. قبل الميلاد ه ؛ تم وصفها في المجموعة الأساسية للمعرفة الرياضية للصين القديمة - "الرياضيات في تسعة كتب" ، الطبعة الأخيرة منها تنتمي إلى Zhang Tsang. بالحساب بناءً على قاعدة مشابهة لخوارزمية إقليدس (أكبر قاسم مشترك للبسط والمقام) ، اختصر علماء الرياضيات الصينيون الكسور. تم تقديم ضرب الكسور على أنه إيجاد مساحة قطعة أرض مستطيلة ، يتم التعبير عن طولها وعرضها بأرقام كسرية. تم النظر في التقسيم باستخدام فكرة التقسيم ، بينما لم يشعر علماء الرياضيات الصينيون بالحرج من أن عدد المشاركين في التقسيم يمكن أن يكون كسريًا ، على سبيل المثال ، 3 1/2 شخص.

في البداية ، استخدم الصينيون أبسط الكسور ، والتي تم تسميتها باستخدام الهيروغليفية البني:

حظر ("نصف") -1 \ 2 ؛

شاو بان ("نصف صغير") -1 \ 3 ؛

تاي بان ("النصف الكبير") - 2 \ 3.

ومن المثير للاهتمام أن البابليين فضلوا قاسمًا ثابتًا (يساوي 60 ، على ما يبدو لأن نظامهم العددي كان ستينيًا).

استخدم الرومان أيضًا قاسمًا واحدًا فقط ، وهو 12.

تم تحقيق مزيد من التطوير لمفهوم الجزء المشترك في الهند. كان علماء الرياضيات في هذا البلد قادرين على الانتقال بسرعة من الكسور الوحدوية إلى الكسور ذات الشكل العام. لأول مرة تم العثور على هذه الكسور في "قواعد الحبل" من قبل Apastamba (القرنين السابع والخامس قبل الميلاد) ، والتي تحتوي على تركيبات هندسية ونتائج بعض الحسابات. في الهند ، تم استخدام نظام كتابة - من المحتمل أن يكون صينيًا ، وربما من أصل يوناني متأخر - حيث تم كتابة بسط الكسر فوق المقام - مثل نظامنا ، ولكن بدون سطر كسور ، ولكن تم وضع الكسر بأكمله في إطار مستطيل.

مسلية الكسور

"بدون معرفة الكسور ، لا يمكن التعرف على أحد على أنه يعرف الحساب!"

تحمل أنظمة القياس الكسور: 1 سم \ u003d 1/10 ديسيمتر \ u003d 1/100 متر.

يمكنك مقابلة الكسور في دروس مختلفة. على سبيل المثال ، في الجغرافيا: "خلال وجود الاتحاد السوفياتي ، احتلت روسيا سدس الأرض. الآن روسيا تحتل تاسع الأرض. في الفنون البصرية - عند تصوير شخصية بشرية. في الموسيقى - الإيقاع ، حجم قطعة موسيقية.

يلتقي الإنسان بكلمة "كسر" في الحياة:

كرات الرصاص الصغيرة لإطلاق النار من بندقية صيد - طلقة.

أصوات متقطعة ومتقطعة - قرع الطبول.

في البحرية ، أطلق الفريق "النار!" - وقف إطلاق النار.

ترقيم المنزل. يتم وضع الرقم من خلال الكسر في المنازل المرقمة على طول شارعين متقاطعين.

أطلق عليه الرصاص في الرقص. لا يمكن تخيل الرقص الشعبي الروسي بدون كسور وجري.

لضرب جزء صغير بأسنانك - لطرق أسنانك (يرتجف من البرد ، الخوف).

في الخيال. دينيسكا ، بطل قصة فيكتور دراغونسكي "يجب أن يكون لديك حس الفكاهة" ، سأل ذات مرة صديقه ميشكا مشكلة: كيف تقسم تفاحتين إلى ثلاث تفاحتين بالتساوي؟ وعندما استسلم ميشكا أخيرًا ، أعلن منتصر الإجابة: "كوك كومبوت!" لم يكن بير ودينيس قد خضعوا لقسمة الكسور بعد وعرفوا على وجه اليقين أن 2 في 3 غير قابلة للقسمة؟

لكن هذا ليس الحل الوحيد لهذه المشكلة! من الضروري تقسيم كل تفاحة إلى ثلاثة أجزاء وتوزيعها على الأجزاء الثلاثة.

هناك ثلاثة أنواع من الكسور:

1. مفرد (قسامات) أو كسور (على سبيل المثال ، 1/2 ، 1/3 ، 1/4 ، إلخ).

2. منهجي ، أي الكسور التي يتم فيها التعبير عن المقام بواسطة قوة رقم (على سبيل المثال ، قوة 10 أو 60 ، إلخ).

3. الشكل العام ، حيث يمكن أن يكون البسط والمقام بأي رقم.

هناك كسور "خطأ" - غير صحيحة و "حقيقية" - صحيحة.

الكسر في الرياضيات هو شكل من أشكال تمثيل الكميات الرياضية باستخدام عملية القسمة ، والتي تعكس في الأصل مفهوم الأعداد غير الصحيحة أو الكسور. في أبسط الحالات - الكسر العددي - نسبة رقمين

في الكسر م / ن (اقرأ: "م نث") ، الرقم م فوق الخط يسمى البسط ، والرقم ن أسفل السطر يسمى المقام. يوضح المقام عدد الأجزاء المتساوية التي تم تقسيم الكل إليها ، ويوضح البسط عدد هذه الأجزاء التي تم أخذها. يمكن فهم خط الكسر على أنه علامة على القسمة.

في عام 1202 ، قدم كلمة "كسر".

تم تقديم بسط ومقام الأسماء في القرن الثالث عشر بواسطة راهب وعالم وعالم رياضيات يوناني مكسيم بلانود.

لعبت الكسور العادية دورًا في الموسيقى أيضًا. والآن في تدوين موسيقي معين ، يتم تقسيم النغمة الطويلة - الكل - إلى نصفين (ضعف المدة القصيرة) ، والأرباع ، والسادس عشر ، والثلاثين ثانية. وبالتالي ، فإن النمط الإيقاعي لأي قطعة موسيقية ، بغض النظر عن مدى تعقيدها ، يتم تحديده بواسطة الكسور العادية. تبين أن الانسجام يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالكسور ، مما أكد الفكرة الرئيسية للأوروبيين: "الرقم يحكم العالم".

"الرجل مثل كسر: البسط هو نفسه ، والمقام هو ما يعتقده عن نفسه. كلما زاد المقام ، كان الكسر أصغر "(L.N. تولستوي).

النتائج الرئيسية للدراسة

الخلاصة: نشأت الحاجة إلى الكسور في مرحلة مبكرة جدًا من التطور البشري. في الحياة ، كان على الشخص ليس فقط عد الأشياء ، ولكن أيضًا قياس الكميات. قام الناس بقياس الأطوال ، ومساحات الأرض ، والأحجام ، وكتل الجثث ، والوقت ، ودفعوا مدفوعات البضائع المشتراة أو المباعة. لم يكن من الممكن دائمًا التعبير عن نتيجة القياس أو تكلفة البضائع بالأرقام الطبيعية. هكذا ظهرت الكسور وقواعد التعامل معها.

الأهمية العملية للعمل

أتقنت مهارات العمل في محرر نصوص وعملت مع موارد الإنترنت. اخترت مادة لتصميم منصة "الرياضيات من حولنا" في فصل الرياضيات مع حقائق مثيرة للاهتمام حول الكسور (الملحق). وصمم استاند (ملحق).

كنتيجة للدراسة ، أكدت الفرضية: لا يمكن للناس الاستغناء عن الكسور ، بدون الكسور - الرياضيات لا يمكن أن تتطور.

رابط ببليوغرافي

Balbutskaya A.A. الاهتمام بالكسور // ابدأ في العلم. - 2017. - رقم 5-2. - ص 265-268 ؛
URL: http://science-start.ru/ru/article/view؟id=874 (تاريخ الوصول: 29.08.2019).