كيفية إيجاد قاعدة المضاعف الإضافية. كيفية جمع الكسور ذات القواسم المختلفة

في هذه المادة ، سنحلل كيفية تحويل الكسور بشكل صحيح إلى مقام جديد ، وما هو العامل الإضافي وكيفية العثور عليه. بعد ذلك ، نصوغ القاعدة الأساسية لاختزال الكسور إلى قواسم جديدة ونوضحها بأمثلة من المسائل.

مفهوم اختزال الكسر إلى مقام مختلف

تذكر الخاصية الأساسية للكسر. ووفقًا له ، فإن الكسر العادي أ ب (حيث يكون أ وب أي أرقام) يحتوي على عدد لا نهائي من الكسور التي تساويها. يمكن الحصول على هذه الكسور بضرب البسط والمقام في نفس العدد م (طبيعي). بعبارة أخرى ، كل شيء الكسور المشتركةيمكن الاستعاضة عنها بآخرين من شكل a · m b · m. هذا هو تخفيض القيمة الأصلية إلى كسر بالمقام المطلوب.

يمكنك إحضار كسر إلى مقام مختلف بضرب البسط والمقام في أي منهما عدد طبيعي. الشرط الرئيسي هو أن المضاعف يجب أن يكون هو نفسه لكلا الجزأين من الكسر. النتيجة هي كسر يساوي الأصل.

دعنا نوضح هذا بمثال.

مثال 1

حوّل الكسر 11 25 إلى مقام جديد.

حل

خذ رقمًا طبيعيًا تعسفيًا 4 واضرب كلا جزئي الكسر الأصلي به. نحن نعتبر: 11 4 \ u003d 44 و 25 4 \ u003d 100. والنتيجة هي كسر 44100.

يمكن كتابة جميع الحسابات بهذا الشكل: 11 25 \ u003d 11 4 25 4 \ u003d 44100

اتضح أن أي كسر يمكن اختزاله إلى عدد كبير من القواسم المختلفة. بدلاً من أربعة ، يمكننا أخذ عدد طبيعي آخر والحصول على كسر آخر مكافئ للعدد الأصلي.

لكن لا يمكن لأي رقم أن يصبح مقامًا لكسر جديد. لذلك ، بالنسبة لـ a b ، لا يمكن أن يحتوي المقام إلا على أعداد b · m التي تعد من مضاعفات b. أذكر المفاهيم الأساسية للقسمة - المضاعفات والمقسومات. إذا لم يكن الرقم من مضاعفات b ، لكنه لا يمكن أن يكون مقسومًا على كسر جديد. دعونا نشرح فكرتنا بمثال لحل المشكلة.

مثال 2

احسب ما إذا كان من الممكن اختزال الكسر 5 9 إلى المقام 54 و 21.

حل

54 هو مضاعف تسعة وهو مقام الكسر الجديد (أي 54 يمكن قسمة 9). ومن ثم ، فإن مثل هذا التخفيض ممكن. ولا يمكننا قسمة 21 على 9 ، لذلك لا يمكن تنفيذ مثل هذا الإجراء على هذا الكسر.

مفهوم مضاعف إضافي

دعونا نصيغ ما هو عامل إضافي.

التعريف 1

مضاعف إضافيهو رقم طبيعي يُضرب به كلا الجزأين من الكسر ليصبح مقامًا جديدًا.

أولئك. عندما ننفذ هذا الإجراء على كسر ، فإننا نأخذ مضاعفًا إضافيًا له. على سبيل المثال ، لتقليل الكسر 7 10 إلى الصورة 21 30 ، نحتاج إلى عامل إضافي 3. ويمكنك الحصول على كسر 15 40 من 3 8 باستخدام مضاعف 5.

وفقًا لذلك ، إذا عرفنا المقام الذي يجب اختزال الكسر إليه ، فيمكننا حساب عامل إضافي له. دعنا نتعرف على كيفية القيام بذلك.

لدينا كسر أ ب يمكن اختزاله إلى مقام ج ؛ احسب العامل الإضافي م. علينا ضرب مقام الكسر الأصلي في م. نحصل على b · m ، ووفقًا لحالة المشكلة b · m = c. تذكر كيف يرتبط الضرب والقسمة. سيقودنا هذا الارتباط إلى الاستنتاج التالي: العامل الإضافي ليس سوى حاصل قسمة c على b ، بمعنى آخر ، m = c: b.

وبالتالي ، لإيجاد عامل إضافي ، نحتاج إلى قسمة المقام المطلوب على العامل الأصلي.

مثال 3

أوجد العامل الإضافي الذي بواسطته يصل الكسر 17 4 إلى المقام 124.

حل

باستخدام القاعدة أعلاه ، نقسم 124 على مقام الكسر الأصلي ، أربعة.

نحن نعتبر: 124: 4 \ u003d 31.

غالبًا ما يكون هذا النوع من الحسابات مطلوبًا عند اختزال الكسور إلى قاسم مشترك.

قاعدة اختزال الكسور إلى مقام محدد

دعنا ننتقل إلى تعريف القاعدة الأساسية ، والتي من خلالها يمكنك إحضار الكسور إلى المقام المحدد. لذا،

التعريف 2

لإحضار كسر إلى المقام المحدد ، تحتاج إلى:

1. تحديد مضاعف إضافي ؛
2. اضرب به كلًا من بسط الكسر الأصلي ومقامه.

كيف تطبق هذه القاعدة في الممارسة؟ دعونا نعطي مثالا على حل المشكلة.

مثال 4

نفذ اختزال الكسر 7 16 للمقام 336.

حل

لنبدأ بحساب المضاعف الإضافي. قسّم: 336: 16 = 21.

نضرب الإجابة المستلمة في كلا الجزأين من الكسر الأصلي: 7 16 \ u003d 7 21 16 21 \ u003d 147336. لذا أوصلنا الكسر الأصلي إلى المقام المطلوب 336.

الجواب: ٧١٦ = ١٤٧٣٣٦.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

أردت أصلاً تضمين طرق المقام المشترك في فقرة "إضافة الكسور وطرحها". لكن كان هناك الكثير من المعلومات ، وأهميتها كبيرة جدًا (بعد كل شيء ، ليس فقط الكسور الرقمية لها قواسم مشتركة) ، لذا من الأفضل دراسة هذه المسألة بشكل منفصل.

لنفترض إذن أن لدينا كسرين لهما مقامات مختلفة. ونريد التأكد من أن المقامات ستصبح كما هي. تأتي الخاصية الرئيسية للكسر في عملية الإنقاذ ، والتي ، اسمحوا لي أن أذكركم ، تبدو كالتالي:

لا يتغير الكسر إذا تم ضرب البسط والمقام في نفس العدد غير الصفري.

وبالتالي ، إذا اخترت العوامل بشكل صحيح ، فإن مقامات الكسور ستكون متساوية - وتسمى هذه العملية الاختزال إلى قاسم مشترك. والأرقام المرغوبة ، "تسوية" المقامات ، تسمى عوامل إضافية.

لماذا تحتاج إلى تقريب الكسور إلى قاسم مشترك؟ فيما يلي بعض الأسباب:

1. جمع وطرح الكسور ذات القواسم المختلفة. لا توجد طريقة أخرى لإجراء هذه العملية ؛
2. مقارنة الكسور. في بعض الأحيان يؤدي الاختزال إلى قاسم مشترك إلى تبسيط هذه المهمة إلى حد كبير ؛
3. حل مشاكل الأسهم والنسب المئوية. النسب المئوية هي في الواقع تعبيرات عادية تحتوي على كسور.

توجد طرق عديدة لإيجاد الأعداد التي تجعل المقامات متساوية عند ضربها. سننظر في ثلاثة منها فقط - من أجل زيادة التعقيد ، وإلى حد ما ، الكفاءة.

الضرب "متقاطع"

الطريقة الأبسط والأكثر موثوقية ، والتي تضمن معادلة القواسم. سنعمل "أمامنا": نضرب الكسر الأول في مقام الكسر الثاني ، والثاني في مقام الكسر الأول. نتيجة لذلك ، ستصبح مقامات كلا الكسرين يساوي المنتجالقواسم الأصلية. إلق نظرة:

كعوامل إضافية ، ضع في اعتبارك مقامات الكسور المجاورة. نحن نحصل:

نعم ، الأمر بهذه البساطة. إذا كنت قد بدأت للتو في تعلم الكسور ، فمن الأفضل العمل بهذه الطريقة - وبهذه الطريقة ستؤمن نفسك ضد العديد من الأخطاء وتضمن الحصول على النتيجة.

العيب الوحيد في هذه الطريقة هو أنه يجب عليك العد كثيرًا ، لأن القواسم تتضاعف "مقدمًا" ، ونتيجة لذلك يمكن الحصول على أعداد كبيرة جدًا. هذا هو ثمن الموثوقية.

طريقة القاسم المشترك

تساعد هذه التقنية في تقليل الحسابات بشكل كبير ، ولكن للأسف ، نادرًا ما يتم استخدامها. هذه الطريقة على النحو التالي:

1. انظر إلى المقامات قبل الانتقال إلى "الظهور" (أي "متقاطع"). ولعل أحدهما (الأكبر) يقبل القسمة على الآخر.
2. سيكون الرقم الناتج عن هذا التقسيم عاملاً إضافيًا لكسر مقامه أصغر.
3. في الوقت نفسه ، لا يحتاج الكسر ذو المقام الكبير إلى الضرب بأي شيء على الإطلاق - هذه هي المدخرات. في الوقت نفسه ، يتم تقليل احتمالية الخطأ بشكل حاد.

مهمة. البحث عن قيم التعبير:

لاحظ أن 84: 21 = 4 ؛ 72:12 = 6. نظرًا لأنه في كلتا الحالتين يمكن قسمة أحد المقامات دون باقي المقام على الآخر ، فإننا نستخدم طريقة العوامل المشتركة. لدينا:

لاحظ أن الكسر الثاني لم يضرب بأي شيء على الإطلاق. في الواقع ، لقد خفضنا كمية الحسابات إلى النصف!

بالمناسبة ، أخذت الكسور في هذا المثال لسبب ما. إذا كنت مهتمًا ، فحاول عدها باستخدام طريقة التقاطع. بعد التخفيض ، ستكون الإجابات هي نفسها ، ولكن سيكون هناك الكثير من العمل.

هذه هي قوة طريقة القواسم المشتركة ، ولكن ، مرة أخرى ، لا يمكن تطبيقها إلا عند قسمة أحد المقامات على الآخر دون باقي. وهو أمر نادر الحدوث.

الطريقة المتعددة الأقل شيوعًا

عندما نختصر الكسور إلى مقام مشترك ، فإننا نحاول بشكل أساسي إيجاد رقم يقبل القسمة على كل مقام. ثم نحضر مقامات كلا الكسرين إلى هذا العدد.

يوجد الكثير من هذه الأرقام ، ولن يكون أصغرها بالضرورة مساويًا للناتج المباشر لمقام الكسور الأصلية ، كما هو مفترض في طريقة "التقاطع".

على سبيل المثال ، بالنسبة للمقامرين 8 و 12 ، فإن الرقم 24 مناسب تمامًا ، حيث أن 24: 8 = 3 ؛ 24:12 = 2. هذا الرقم أقل بكثير من حاصل الضرب 8 12 = 96.

يُطلق على أصغر رقم يقبل القسمة على كل مقامات اسم المضاعف المشترك الأصغر (المضاعف المشترك الأصغر).

تدوين: المضاعف المشترك الأصغر لكل من a و b يُرمز إليه بـ LCM (أ ؛ ب). على سبيل المثال ، LCM (16 ؛ 24) = 48 ؛ المضاعف المشترك الأصغر (8 ؛ 12) = 24.

إذا تمكنت من العثور على مثل هذا الرقم ، فسيكون المبلغ الإجمالي للحسابات ضئيلاً. انظر إلى الامثله:

مهمة. البحث عن قيم التعبير:

لاحظ أن 234 = 117 2 ؛ 351 = 117 3. العاملان 2 و 3 هما جريمة مشتركة (ليس لهما قواسم مشتركة باستثناء 1) ، والعامل 117 شائع. لذلك LCM (234 ؛ 351) = 117 2 3 = 702.

وبالمثل ، 15 = 5 3 ؛ 20 = 5 4. العاملان 3 و 4 أوليان نسبيًا والعامل 5 شائع. لذلك المضاعف المشترك الأصغر (15 ؛ 20) = 5 3 4 = 60.

لنجلب الكسور إلى قواسم مشتركة:

لاحظ مدى فائدة تحليل العوامل الأصلية:

1. بعد أن وجدنا نفس العوامل ، توصلنا على الفور إلى المضاعف المشترك الأصغر ، والذي يعتبر ، بشكل عام ، مشكلة غير تافهة ؛
2. من التوسع الناتج ، يمكنك معرفة العوامل "المفقودة" لكل كسر من الكسور. على سبيل المثال ، 234 3 \ u003d 702 ، لذلك ، بالنسبة للكسر الأول ، فإن العامل الإضافي هو 3.

لتقدير مقدار الربح الذي تحققه الطريقة المتعددة الأقل شيوعًا ، حاول حساب نفس الأمثلة باستخدام طريقة التقاطع المتقاطع. بالطبع بدون آلة حاسبة. أعتقد بعد ذلك التعليقات ستكون زائدة عن الحاجة.

لا تعتقد أن مثل هذه الكسور المعقدة لن تكون في أمثلة حقيقية. إنهم يجتمعون طوال الوقت ، والمهام المذكورة أعلاه ليست الحد الأقصى!

المشكلة الوحيدة هي كيفية العثور على شهادة عدم الممانعة هذه. أحيانًا يتم العثور على كل شيء في بضع ثوانٍ ، حرفياً "بالعين" ، ولكن بشكل عام هذه مشكلة حسابية معقدة تتطلب دراسة منفصلة. هنا لن نتطرق إلى هذا.

كيفية تحويل الكسور الجبرية (المنطقية) إلى قاسم مشترك؟

1) إذا كانت مقامات الكسور متعددة الحدود ، فأنت بحاجة إلى تجربة إحدى الطرق المعروفة.

2) يتكون القاسم المشترك الأصغر (LCD) من الجميع المضاعفات المأخوذة أعظم درجة.

يتم البحث شفهيًا عن القاسم المشترك الأصغر للأرقام باعتباره أصغر رقم يقبل القسمة على باقي الأرقام.

3) لإيجاد عامل إضافي لكل كسر ، عليك قسمة المقام الجديد على القديم.

4) يتم ضرب بسط الكسر الأصلي ومقامه في عامل إضافي.

ضع في اعتبارك أمثلة على اختزال الكسور الجبرية إلى قاسم مشترك.

للعثور على مقام مشترك للأرقام ، اختر الرقم الأكبر وتحقق مما إذا كان يقبل القسمة على الرقم الأصغر. ١٥ لا يقبل القسمة على ٩. نضرب 15 في 2 ونتحقق مما إذا كان الرقم الناتج يقبل القسمة على 9. 30 لا يقبل القسمة على 9. نضرب 15 في 3 ونتحقق مما إذا كان الرقم الناتج يقبل القسمة على 9. 45 يقبل القسمة على 9 ، مما يعني أن المقام المشترك للأرقام هو 45.

القاسم المشترك الأصغر هو مجموع كل العوامل المأخوذة إلى أعلى قوة. وبالتالي ، فإن القاسم المشترك لهذه الكسور هو 45 ق.م (تُكتب الأحرف عادةً بترتيب أبجدي).

لإيجاد عامل إضافي لكل كسر ، عليك قسمة المقام الجديد على القديم. 45 ق.م: (15 ب) = 3 ج ، 45 ق.م: (9 ج) = 5 ب. نضرب بسط كل كسر ومقامه في عامل إضافي:

أولًا ، نبحث عن مقام مشترك للأرقام: 8 لا تقبل القسمة على 6 ، 8 ∙ 2 = 16 غير قابلة للقسمة على 6 ، 8 ∙ 3 = 24 قابلة للقسمة على 6. يجب تضمين كل متغير في المقام المشترك مرة واحدة. من الدرجات نأخذ الدرجة بأس كبير.

وبالتالي ، فإن المقام المشترك لهذه الكسور هو 24a³bc.

لإيجاد عامل إضافي لكل كسر ، تحتاج إلى قسمة المقام الجديد على المقام القديم: 24a³bc: (6a³c) = 4b ، 24a³bc: (8a²bc) = 3a.

نضرب العامل الإضافي في البسط والمقام:

هناك حاجة إلى كثيرات الحدود في قواسم هذه الكسور. مقام الكسر الأول هو المربع الكامل للفرق: x²-18x + 81 = (x-9) ²؛ في المقام الثاني - فرق المربعات: x²-81 = (x-9) (x + 9):

يتكون المقام المشترك من جميع العوامل المأخوذة إلى أقصى حد ، أي أنها تساوي (x-9) ² (x + 9). نجد عوامل إضافية ونضربها في البسط والمقام لكل كسر:

مخطط الاختزال إلى قاسم مشترك

1. من الضروري تحديد المضاعف المشترك الأصغر لمقام الكسور. إذا كنت تتعامل مع رقم مختلط أو عدد صحيح ، فيجب عليك أولاً تحويله إلى كسر ، وبعد ذلك فقط تحديد المضاعف المشترك الأصغر. لتحويل عدد صحيح إلى كسر ، عليك كتابة الرقم نفسه في البسط ، والآخر في المقام. على سبيل المثال ، الرقم 5 في صورة كسر سيبدو كما يلي: 5/1. لتحويل عدد كسري إلى كسر ، عليك ضرب العدد الصحيح في المقام وإضافة البسط إليه. مثال: 8 أعداد صحيحة و 3/5 في صورة كسر = 8 × 5 + 3/5 = 43/5.
2. بعد ذلك ، من الضروري إيجاد عامل إضافي يتم تحديده بقسمة NOZ على مقام كل كسر.
3. الخطوة الأخيرة هي ضرب الكسر في عامل إضافي.

من المهم أن تتذكر أن الاختزال إلى قاسم مشترك ضروري ليس فقط للجمع أو الطرح. لمقارنة عدة كسور بمقامات مختلفة ، من الضروري أيضًا أولاً اختزال كل منها إلى قاسم مشترك.

تحويل الكسور إلى قاسم مشترك

لفهم كيفية اختزال الكسر إلى قاسم مشترك ، من الضروري فهم بعض خصائص الكسور. لذا ، فإن الخاصية المهمة المستخدمة للتقليل إلى NOZ هي تساوي الكسور. بمعنى آخر ، إذا تم ضرب بسط ومقام الكسر في رقم ، فإن النتيجة تكون كسرًا مساويًا للكسر السابق. لنأخذ المثال التالي كمثال. لتقليل الكسور 5/9 و 5/6 إلى القاسم المشترك الأصغر ، عليك القيام بما يلي:

1. أولاً ، أوجد المضاعف المشترك الأصغر للمقام. في هذه الحالة ، بالنسبة للرقمين 9 و 6 ، ستكون شهادة عدم الممانعة 18.
2. نحدد عوامل إضافية لكل كسر. ويتم ذلك بالطريقة التالية. نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام كل كسر ، ونتيجة لذلك نحصل على 18: 9 \ u003d 2 و 18: 6 \ u003d 3. ستكون هذه الأرقام عوامل إضافية.
3. نحضر كسرين إلى NOZ. عند ضرب كسر في رقم ، يجب أن تضرب كلًا من البسط والمقام. يمكن ضرب الكسر 5/9 بعامل إضافي 2 ، مما ينتج عنه كسر يساوي العدد المعطى - 10/18. نفعل الشيء نفسه مع الكسر الثاني: اضرب 5/6 في 3 لتحصل على 15/18.

كما ترى من المثال أعلاه ، تم تقليل كلا الكسرين إلى القاسم المشترك الأصغر. لفهم كيفية العثور أخيرًا على قاسم مشترك ، تحتاج إلى إتقان خاصية أخرى للكسور. يكمن في حقيقة أن بسط الكسر ومقامه يمكن اختزالهما بنفس الرقم ، وهو ما يسمى القاسم المشترك. على سبيل المثال ، يمكن اختزال الكسر 12/30 إلى 2/5 إذا قسمته القاسم المشترك- رقم 6.