Какие виды симметрии бывают окружающем мире. Исследовательская работа

Районная научно-исследовательская конференция «Юниор»

Исследовательская работа

Симметрия в окружающем мире

(секция точных наук)

Выполнила: Меризанова Анна,

ученица 8 класса,

Елисеенко Вера,

ученица 8 класса

Руководитель: Колесникова

Людмила Александровна,

учитель математики

Введение

В этом учебном году рассматривали данную тему на уроках математики. Нас заинтересовала тема «Симметрия». И мы решили создать проект по этой теме, т.к. в учебнике по геометрии мало уделено внимания на изучение темы «Симметрия», при этом ученики часто задают вопрос: зачем она нужна, где она встречается, зачем её вообще изучают.

А ведь симметрия встречается в природе, и в науке, и в искусстве – во всем обнаруживается единство и противоборство симметрии.

Симметрия, свойственна разным явлениям, лежащим в основе всех вещей, она описывает многие явления жизни и многих наук

В результате работы перед собой мы поставили вопросы:

Для чего надо знать симметрию, где в окружающем мире она встречается?

Мы поставили перед собой цель:

сформироватьпредставлений о симметрии, черезсистематизацию знаний о симметрии, а также через анализ явлений природы, человеческой деятельности.

Для раскрытия темы нашей исследовательской работы были поставлены следующие задачи:

Научиться распознавать симметричные фигуры среди других.

Познакомиться с использованием симметрии в природе, быту, искусстве, технике.

Продемонстрировать разнообразное применение математики в реальной жизни.

Осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы (показать возможности применения полученных знаний в своей будущей профессии художника, архитектора, биолога, инженера-строителя).

Для написание работы мной были использованы различные методы:

изучение и анализ научной литературы;

метод индуктивного обобщения, конкретизации;

использование компьютерного инвентаря.

Глава 1. Первые представления о симметрии

В данной главе нами описаны первые представления о симметрии, исторические сведения по данной теме; приведены некоторые примеры симметричных фигур; рассмотрены примеры исследовательского характера по теме:: «Симметрия».

Историческое развитие и осмысление понятия симметрии

В процессе исторического развития и осмысления симметрии особый этап симметрии как меры красоты и гармонии связани с работой выдающегося математика Германа Вейля «Симметрия» (1952). Г. Вейль под симметрией понимал неизмеримость (инвариантность) какого-либо объекта при преобразованиях: предмет является симметричным в том случае, когда его подвергнуть какой-нибудь операции, после которой он будет выглядеть так же, как и до преобразования.

Греческое слово «симметрия» означает «соразмерность», «пропорциональность», «одинаковость в расположении частей». Однако часто под словом «симметрия» понимают более широкое понятие: регулярность смены каких-либо явлений (времен года, дня и ночи и т.д.), уравновешенность левого и правого, равноправие природных явлений. Фактически мы имеем дело с симметрией везде, где наблюдается какая-либо упорядоченность. В психологии и морали широко использовалось понятие симметрии. Так, великий Аристотель считал, что симметрия имеет смысл некой средней меры, к которой должен стремиться в своих действиях добродетельной человек. Римский врач Гален (2в. н.э.) под симметрией понимал состояние духа, одинаково удаленное от обеих крайностей, например от горя и радости, апатии и возбуждения. Симметрия, понимаемая как покой, уравновешенность, противостоит хаосу и беспорядку. Об этом говорит гравюра Мариуса Эшера «Порядок и Хаос» (рис. 196), где, как писал сам художник, «звездчатый додекаэдр, символ красоты и порядка, окружен прозрачной сферой. В ней отражена бессмысленная коллекция бесполезных вещей».

Математическое представление о симметрии

Представления о симметрии, изложенные выше, носят общий характер и для математики не являются точными и строгими.

Определение 1. Симметрия – это соразмерность, одинаковость в расположении частей чего-нибудь по противоположным сторонам от точки, прямой или плоскости.

Математическое строгое определение симметрии сформировалось сравнительно недавно – в 19 в., когда были введены понятия зеркальной и поворотной симметрии.

Розетки, снежинки – это симметричные и очень красивые фигуры.

В планиметрии существует осевая (симметрия относительно прямой), центральная симметрии (симметрия относительна точки), а также поворотная, зеркальная, переносная.

Определение 2. Две точки A и A 1 называются симметричными относительно прямой а , если эта прямая проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к нему.

Каждая точка прямой а

Определение 2 . Фигура называется симметричной относительно прямой а , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят, фигура обладает осевой симметрией . Фигуры, которые имеют ось симметрии: прямоугольник, ромб, квадрат, равносторонний треугольник, равнобедренный треугольник, круг и т. д.

О
пределение 3. Две точки А и А 1 называются симметричными относительно точки О , если О – середина отрезка АА 1 . Точка О считается симметричной самой себе.

Определение 4. Фигура называется симметричной относительно точки О , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О , называется центром симметрии фигуры . Говорят, фигура обладает центральной симметрией . Примеры фигур, которые обладают центральной симметрией: круг, параллелограмм, треугольник и т. д.

Математика изучает немало фигур, которые обладают и осевой, и центральной симметрией (круг, квадрат и др.), только осевой симметрией (например, равнобедренный треугольник), только центральной симметрией (например, параллелограмм общего вида).

Чтобы разобраться в данной теме мы произвели ряд исследовательских заданий.

Исследовательские задания.

Задание 1. На прямой АВ найдите точку, сумма расстояний от которой до двух данных точек М и N была бы наименьшей.

Обсуждение. 1 случай. Пусть М и N лежат по разные стороны от , кратчайшее расстояние между ними есть
, следовательно, искомая точка Х лежит на пересечении и .

Всякая другая точка прямой АВ не обладает этим свойством, так как
.

2 случай . М и N лежат по одну сторону Строим М 1 , симметричную М относительно , после чего задача сводится к случаю 1. если

То искомая точка Х есть точка пересечения прямых М N и AB .

Задание 2. Даны прямые АВ и точки М и N . Найдите на такую точку, чтобы разность (по модулю её расстояния от точек М и N была наибольшей.

Обсуждение. 1 случай. Точки М и N лежат по одну сторону от прямой АВ (и притом на разных расстояниях от неё. Тогда точка Х прямой АВ, для которой разность расстояний от точек М и N наибольшая, есть точка пересечения прямой АВ с продолжением отрезка MN. Тогда
всякая другая точка Х 1 прямой АВ не обладает этим свойством, так как
(следствие аксиомы треугольника). Если М и N находится на одинаковом расстоянии от , задача не имеет решения.

2 случай. Точки М и N лежат по разные стороны от . Тогда искомая точка
, где
.

Если точки М и N находятся по разные стороны от и на одинаковом от неё расстоянии, то задача не имеет решений.

Задание 3 . Исследовать имеют ли центр симметрии: 1) отрезок; 2) луч; 3) квадрат.

Обсуждение. 1) да; 2)нет; 3 да

Задание 4. Исследовать какие из следующих точек латинского алфавита имеют центр симметрии: А, О, M, Х.

Обсуждение. О и Х

Обсуждение. 1) две; 2) «бесконечное множество»: любая прямая, перпендикулярная к данной, а также сама прямая; 3) одну.

Задание 6. Исследовать какие из следующих букв имеют ось симметрии: А, Б, г, Е, О в алфавите.

Обсуждение. А, Е, О

Вывод: Данные примеры нам показывают, что даже точки стоящие в алфавите имеют симметричное положение. Ось симметрии имеют различные геометрические фигуры.

Симметрия древнерусского орнамента

Для русского орнамента характерны как растительные и геометрические формы, так и изображения птиц, зверей и фантастических животных. Особенно ярко русский орнамент выражен в резьбе по дереву и вышивке. Наиболее часто использовались так называемые плетенки – переплетения лент, ремней, стеблей цветов. В 17 в. зодчий Степан Иванов создал свой знаменитый орнамент «Павлинье око».

По мнению академика Б. А. Рыбакова, известного археолога и историка с мировым именем, в основу древнерусского орнамента вошли универсальные различные представления о мире. Сознание древнего славянина было обусловлено мифологическими восприятиями действительности. Всё это отражалось в мотивах, характерных для русского орнамента.

Мотив плетёнки , характерный для русальских браслетов, который Б. А. Рыбаков трактовали как знак воды и царства подземного владыки Переплута.

Мотив древней богини Мокоши как специфического воплощения представления о Великой Праматери, общего для всех народов на определённой стадии исторического существования. Мокоша (Макошь) – единственный женский образ в древнерусской мифологии. Её имя наводит на мысль о мокроте, влаге, воде. Мокошь покровительствовала всем женским занятиям, особенно прядению, и почитали её преимущественно женщины.

Мотив дерева жизни.

К числу традиционных узоров на протяжении столетий использовавшихся в русском декоративно-прикладном искусстве, относится узор, изображавший дерево жизни с симметрично расположенными на нём или около него птицами.

Древнерусский орнамент сочетал в себе воду, дождь, солнце и растительный мир в его надземной и подземной (корневой) части.

Водная стихия представлялась рядами точек и чёрточек, воспроизводящих дождевые капли, а также зигзагообразными линиями, что служит примером переносной симметрии.

Земля была представлена прямоугольником, разделённым диагоналями на четыре части с повторяющимися в них рисунком. Для такой конфигурации характерна осевая симметрия в сочетании с центральной. Эти виды симметрии преобладают в изображении растительного мира.

В русском орнаменте с древних времён сложилась особая система расположения символов, представляемых движение Солнца вокруг Земли. Встречается несколько типов солнечных знаков, для них характерна поворотная симметрия. Наиболее распространён круг, разделённый радиусами на разные секторы («Колесо Юпитера»), а также круг с крестом внутри.

Вывод: проанализировав литературу по данному вопросу мы пришли к выводу, что в древнерусском орнаменте часто встречаются симметричные символы. В традиционных национальных украшениях и предметах быта можно встретить все виды симметрии на плоскости: центральную, осевую, поворотную, переносную.

1.4. Симметрия сквозь века

В своих размышлениях над картиной мира человек с давних пор активно использовал идею симметрии. По преданию, термин «симметрия» придумал скульптор Пифагор Регийский, живший в г. Регул. Отклонение от симметрии он определил термином «асимметрия». Древние греки полагали, что Вселенная симметрична просто потому, что она прекрасна. Считая сферу наиболее симметричной и совершенной формой, они делали вывод о сферичности Земли и ее движения по сфере вокруг некоего «центрального огня», где двигались также 6 известных тогда планет вместе с луной, Солнцем, звездами.

Представители первой научной школы в истории человечества, последователи Пифагора Самооского, пытались связать симметрию с числом.

Широко используя идею гармонии и симметрии, ученые древности любили обращаться не только к сферическим формам, но и к правильным многогранникам, для построения которых они использовали «золотое отношение». У правильных многогранников грани – правильные многоугольники одного вида, а углы между гранями равны. Древние греки установили поразительный факт: существует всего пять правильных выпуклых многогранников, названия которых связаны с числом граней, - тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб, додекаэдр.

Глава 2. Симметрия вокруг нас

В данной главе описана теория в которой указывается различные представления симметрии в природе, в этой главе мы доказываем, что строения, созданные человеком также имеют симметричные фигуры.

2.1. Роль симметрии в познании природы

Симметрия кристаллов является следствием их внутреннего строения: их атомы и молекулы имеют упорядоченное взаимное расположение, образуя симметричную решетку из атомов – так называемую кристаллическую решетку.

Недостающие элементы симметрии определил академик Аксель Вильгельмович Гадолин (1828-1892). Известный профессор минералогии из немецкого города Марбурга Иоганн Гессель в 1830г. Опубликовал свой труд о симметрии кристаллов. Его труд по некоторым причинам остался незамеченным. Но в 1897г. Работу Гесселя переиздали, и с тех пор его имя вошло в историю науки.

Итак, симметрию кристаллов научились изучать и сравнивать. Существуют 9 элементов симметрии и только 32 различных набора элементов симметрии – групп симметрии, которые и определяют внешнюю форму кристаллов. Но коль скоро число элементов симметрии кристаллов, конечно, то конечно число их наборов – комбинации, описывающих симметрию внешней формы. Отсюда следует, что симметрия – строгий и всеобъемлющий закон, управляющий царством кристаллов. Она задаёт форму кристалла, число его граней и ребер, она же диктует и его внутреннее строение.

Симметрию можно обнаружить у обитателей моря, например у морской звезды, морского ежа и некоторых медуз.

Я
рко выраженной симметрией обладают листья, ветви, цветы и плоды растений. Для некоторых из них характерна только зеркальная симметрия, или только поворотная симметрия, скользящая.

Интересно, что среди растений одного вида существуют такие, у которых встречается как левая структура листьев, так и правая.

Живая природа характеризуется не только известными видами симметрии. Так, изогнутый стебель растения, закрученная форма моллюска не менее симметричны, чем кристалл. Но это другая симметрия – криволинейная, которая была обнаружена в 1926г.

А в 1960г. Академик А.В. Шубников ввел в рассмотрение симметрию подобия. Подобными фигурами считаются одной и той же формы. Симметрия подобия состоит из переноса (поворота) фигуры с одновременным уменьшением или увеличением ее размеров.

Симметрия в архитектурных сооружениях

Симметрия господствует не только в природе, но и в творчестве человека. Прекрасные образцы симметрии демонстрируют произведения архитектуры. Интересны древнерусские постройки, в частности деревянные церкви. Стройные и выразительные, рубленные восьмериком, т.е. с симметричными восьмигранными шатрами, они как нельзя лучше соответствовали понятию красоты в средневековой Руси.

Примером может служить храм Василия Блаженного на Красной площади в Москве. Храм состоит из десяти различных храмов, каждый из которых строго симметричен, но в целом он не обладает ни зеркальной, ни поворотной симметрией.

Можно привести много примеров использования симметрии и асимметрии в скульптуре. Например, скульптура пелопонесского мастера из школы Пифагора «Дельфийский возничий», которая изображает победителя на состязаниях конных колесниц. Фигура юноши в длинном хитоне в целом симметрична, но легкий поворот торса и головы нарушает зеркальную симметрию, что порождает иллюзию движения, и статуя кажется живой.

Луи Пастер считал, что именно асимметрия отличает живое от неживого, полагая, что симметрия – страж покоя, а асимметрия – двигатель жизни. Пример того, что парадокс симметрии служит не только для передачи движения, но и для усиления впечатления, - это изображение греческой вазы из пещеры Камарес на острове Крит.

Заключение

Симметрия – это нечто общее, свойственное разным явлениям, лежащее в основе всех вещей, а асимметрия выражает некие индивидуальные особенности вещей и явлений. И в природе, и в науке, и в искусстве – во всем обнаруживается единство и противоборство симметрии и асимметрии. Мир существует благодаря единству этих двух противоположностей.

Проанализировав работу, мы пришли к выводу, что симметрия часто встречается в искусстве, архитектуре, технике, быту. Так, фасады многих зданий обладают осевой симметрией. В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях. Симметричны многие детали механизмов, например зубчатые колёса.

В результате реализации проекта:

расширили знания о симметрии;

узнали, какие явления из жизни и

некоторых наук описывает симметрия;

новые практические приемы : работа с учебной, научно-познавательной литературой;

обобщили понятия, представления, знания, на получение которых нацелен результат проекта : рассмотрели, где в жизни встречается симметрия.

Библиографический список

Афанасьев А.Н, Мифология Древней Руси. – М.: Эксмо, 2006.

Вейль Г. Симметрия. – Изд. 2-е, стер. – М.: Единториал УРСС, 2003.

Гнеденго Б.В. Очерки по истории математики в России. – 2-е изд., испр. и дополн. – М.: КомКнига, 2005.

Изобразительные мотивы в русской народной вышивке. Музей народного искусства. – М.: Советская Россия,1990.

Климова Н. Т. Народный орнамент в композиции художественных изделий. – м.: Изобразительное искусство,1993.

Заседание математического кружка «Симметрия и окружающий нас мир»

На уроках геометрии в 8 классе мы узнали, что существуют следующие преобразования фигур: (слайд № 2)
Симметрия относительно точки
Симметрия относительно прямой
Параллельный перенос
Поворот

Однако ограничение времени на изучение той или иной темы, на уроках геометрии очень мало времени остаётся на то, чтобы выяснить какие знакомые геометрические законы, а в частности виды преобразований, то есть виды симметрии присутствуют в окружающей нас жизни.

Поэтому на занятиях математического кружка мы решили дать ответы на такие проблемные вопросы как: (слайд № 3)
Какие законы симметрии действуют в той области, которая нам интересна?
Почему природа создаёт симметрию? К чему она стремиться, создавая симметрию?
Во всём ли в жизни должна быть симметрия?

Для нахождения ответов на данные вопросы мы изучили на элективных курсах такие учебные вопросы: (слайд № 4)
Что такое «симметрия» в математике?
Какие существуют виды симметрии? Каковы их свойства?
Где, в окружающем нас мире, используются свойства симметричных и симметрично расположенных фигур?

Для того чтобы «показать» ответы на наши проблемные вопросы мы сейчас вместе повторим: Что такое «симметрия» в математике? Какие виды симметрии существуют?
А затем слово для своих отчётов получите, ребята, вы. (слайд № 5)

Нигметов Тимур и Сафаргалиев Ильдар по теме: «Какие виды симметрии встречаются в растительном мире
Белоусова Вика и Альбаева Юлия по теме: «Какие виды симметрии встречаются в животном мире
Валеев Ильдар и Чернов Андрей по теме: «Какие виды симметрии встречаются в технике»

Итак, начнём наше повторение: (слайд №6)

На слайде представлены три схематичных изображения лица. Какое из этих изображений красиво? Изображение под а) под б) или в)

А вот почему оно красиво? (слайд №7)

Потому что это изображение обладает осевой симметрией

Так что же такое симметрия? (слайд №8)
«Симметрия»-слово греческого происхождения.
«сим» - с, «метрон» - мера,
буквально – «соразмерность», а значит красота, гармония
(слайд №9)
Симметрия! Мы гимн тебе поём
Ты – в Эйфелевой башне, в малой мошке,
Ты – в ёлочке, что у лесной дорожки
Её подробно изучают дети,
Она у ромба и квадрата есть
Но всех фигур с симметрией на свете
Нам всё равно не перечесть

Давайте повторим, какие виды симметрии мы знаем:
(слайд №10) 1. Построим фигуру Ф и отметим точку О Ф
2. Отметим точку Х Ф
3. Построим луч ХО
4. Отложим отрезок ОУ=ОХ

(Речь идёт о центральной симметрии)

(слайд №11) 1. Построим фигуру Ф и прямую «с»
2. Отметим точку Х Ф
3. Построим луч ХМ перпендикулярный прямой с
4. Отложим отрезок МА=ХМ
О каком виде симметрии речь идёт в данном случае?
(Речь идёт об осевой симметрии)
Прямая с называется осью симметрии

В пространстве аналогом оси симметрии является плоскость симметрии. (слайд №12) Например, куб симметричен относительно плоскости, проходящей через его диагональ. Имея ввиду оба случая (ось симметрии и плоскость симметрии) как называют этот вид симметрии? (называют зеркальной.)

О какой симметрии будет речь идти в следующем случае, если говорят, что это такое преобразование, при котором каждая точка фигуры перемещается в одном и том же направлении и на одно тоже расстояние
(слайд №13) Переносная симметрия (трансляционная симметрия) – это такое преобразование, при котором каждая точка фигуры (тела) перемещается в одном и том же направлении и на одно и тоже расстояние

Прямая АВ называется осью переноса, а расстояние а элементом переноса или периодом[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Теперь вспомним, что
(слайд №14) Скользящая симметрия
– это такое преобразование, при котором последовательно выполняются осевая симметрия и параллельный перенос

(слайд №15) Поворотная симметрия
Говорят, что объект обладает поворотной симметрией, если он совмещается сам с собой при повороте вокруг некоторой оси
на угол, равный (n=2,3,4.). В этом случае говорят о поворотной симметрии, а указанную ось называют осью поворота n-ого порядка

Поворотную симметрию иначе могут называть радиальной или лучевой симметрией
(слайд №16)
Радиальная, или лучевая, симметрия означает, что фигура может быть самосовмещена при повороте вокруг некоторой оси.

(слайд №17) Винтовая симметрия
Винтовую симметрию демонстрируют фигуры «винт» и «пружина». К ним применимы операции трансляции с одновременным поворотом

Итак, мы вместе повторили: какие виды симметрии существуют в математике. Теперь, ребята, слово предоставляется вам. Вы изучили соответствующую литературу и можете показать нам: какие виды симметрии встречаются в природе и в технике, то есть
мы сейчас дадим ответ на наш первый проблемный вопрос: Какие виды симметрии действуют в той области, которая вам интересна?
О симметрии в растительном мире расскажут Нигметов Тимур и Сафаргалиев Ильдар (слайд №18) Симметрия в неживой природе
О симметрии в животном мире расскажут Белоусова Вика и Альбаева Юлия
(слайд №19) Симметрия в живой природе
О симметрии в технике расскажут Валиев Ильдар и Чернов Андрей

Товарищи гости, я попрошу, чтобы вы поставили оценку (в диапазоне от 3до 5 баллов) поочерёдно выступающей паре учащихся. Это будет оценка за их практическую часть, за подготовку отчёта о проделанной работе оценку поставлю я. В конце нашего урока один из вас объявит оценку каждой паре учащихся за презентацию (оценку можно прокомментировать).

Симметрия встречается не только в природе, технике, но и:
в прикладном искусстве (слайд №20)
в архитектуре (слайд №21)
в музыке
в поэзии
в живописи
в физике и т.д.
в орнаменте народов мира
то есть симметрия присутствует буквально везде.
Сегодня в нашем классе оформлена мини-выставка отдельных компонентов одежды башкирского и русского народа. В вышивке на атрибутах одежды присутствует орнамент: как геометрический
(является идеологией Жизни и блага, так и растительный).Однако что отличает башкирский орнамент от русского это полное отсутствие реалистических изображений животных, людей и пейзажей, что обусловлено влиянием мусульманской культуры – связано с запретом ислама изображать живое.
Ребята, когда я предложила вам, наряду с другими темами, взять на рассмотрение и такую тему как – орнамент башкирского и русского народа, то вы пошли по пути наименьшего сопротивления и данную сложную, интересную тему никто не взял для рассмотрения. Поэтому я предлагаю на данную тему написать исследовательскую работу. В чём эта исследовательская работа будет заключаться, из каких этапов она состоит. Все эти моменты я обскажу тем, кто этим вопросом заинтересуется.

Теперь нам ещё осталось дать ответ на последний проблемный вопрос: Во всём ли в жизни должна быть симметрия?
Все мы с вами живем в симметричном мире, который обусловлен условиями жизни на планете Земля, прежде всего существующей здесь гравитацией. И, скорее всего, подсознательно человек понимает, что симметрия это форма устойчивости, а значит существования на нашей планете. Поэтому в рукотворных вещах он интуитивно стремится к симметрии.
Симметрия воспринимается человеком как проявление закономерности, а значит внутреннего порядка. Внешне этот внутренний порядок воспринимается как красота.
Симметрия не только радует глаз и вдохновляет поэтов всех времён и народов, а позволяет живым организмам лучше приспособиться к среде обитания и просто выжить (слайд №22)

Антисимметрия – это противоположность симметрии, её отсутствие. Примером антисимметрии в архитектуре является Собор Василия блаженного в Москве, где симметрия отсутствует полностью в сооружении в целом. Однако, удивительно, что отдельные части этого собора симметричны и создают его гармонию.
Диссимметрия – это частичное отсутствие симметрии, расстройство симметрии, выраженное в наличии одних симметричных свойств и отсутствии других. Примером диссимметрии в архитектурном сооружении может служить Екатерининский дворец в Царском Селе под Санкт-Петербургом.
Наличие Дворцовой церкви расстраивает симметрию здания в целом. Если же не принимать во внимание эту церковь, то дворец становится симметричным.

Так во всём ли в жизни, ребята, должна быть симметрия? Как вы считаете и почему?
Подведём итог нашей работы:
Оценочный лист.
Выполнили ли вы, что задумали?
Достаточными ли знаниями и умениями вы обладали или пришлось чему-то научиться?
Что было выполнить легко, а в чём вы испытывали трудности?

МОУ «ООШ с.КУЧУМБЕТОВО ПЕРЕЛЮБСКОГО РАЙОНА САРАТОВСКОЙ ОБЛАСТИ»

ОТКРЫТЫЙ УРОК ПО ПРОЕКТУ «СИММЕТРИЯ И ОКРУЖАЮЩИЙ НАС МИР»

УРОК ПОДГОТОВИЛА И
ПРОВЕЛА УЧИТЕЛЬ
МАТЕМАТИКИ
КОРСИКОВА С.А.

2008-2009 УЧЕБНЫЙ ГОД

Рисунок 1gђЗаголовок 1gђЗаголовок 2gђЗаголовок 3gђЗаголовок 4gђЗаголовок 5gђЗаголовок 6gђЗаголовок 7gђЗаголовок 8gђЗаголовок 915

Симметрия в природе является объективным свойством, одним из основных в современном естествознании. Это универсальная и общая характеристика нашего материального мира.

Симметрия в природе - это понятие, которое отражает существующий в мире порядок, соразмерность и пропорциональность между элементами различных систем или объектов природы, равновесие системы, упорядоченность, устойчивость, то есть определенный

Симметрия и асимметрия - понятия противоположные. Последнее отражает разупорядочение системы, отсутствие равновесия.

Формы симметрий

Современное естествознание определяет ряд симметрий, отражающих свойства иерархии отдельных уровней организации материального мира. Известны различные виды или формы симметрий:

пространственно-временные;
калибровочные;
изотопические;
зеркальные;
перестановочные.

Все перечисленные виды симметрий можно подразделить на внешние и внутренние.

Внешняя симметрия в природе (пространственная или геометрическая) представлена огромным многообразием. Это относится к кристаллам, живым организмам, молекулам.

Внутренняя симметрия скрыта от наших глаз. Она проявляется в законах и математических уравнениях. Например, уравнение Максвелла, определяющее взаимосвязь магнитных и электрических явлений, или свойство гравитации Эйнштейна, связывающее пространство, время и тяготение.

Для чего нужна симметрия в жизни?

Симметрия в живых организмах была сформирована в процессе эволюции. Самые первые организмы, зародившиеся в океане, имели идеальную сферическую форму. Для того чтобы внедриться в иную среду, им приходилось адаптироваться к новым условиям.

Одним из способов подобной адаптации является симметрия в природе на уровне физических форм. Симметричным расположением частей тела обеспечивается равновесие при движении, жизнестойкость и адаптация. Внешние формы человека и крупных животных имеют довольно симметричный вид. В растительном мире тоже присутствует симметрия. Например, конусообразная форма кроны ели имеет симметричную ось. Это вертикальный ствол, для устойчивости утолщенный книзу. Также симметрично по отношению к нему расположены отдельные ветви, а форма конуса позволяет рационально использовать кроной солнечной энергии. Внешняя симметрия животных помогает им сохранять равновесие при движении, обогащаться энергией из окружающей среды, используя ее рационально.

В химических и физических системах симметрия присутствует тоже. Так, наиболее устойчивыми являются молекулы, которые обладают высокой симметрией. Кристаллы - это высокосимметричные тела, в их структуре периодически повторяются три измерения элементарного атома.

Асимметрия

Иногда внутреннее расположение органов в живом организме бывает асимметричным. Например, сердце располагается у человека слева, печень - справа.

Растения в процессе жизнедеятельности из почвы поглощают химические минеральные соединения из молекул симметричной формы и в своем организме преобразуют их в асимметричные вещества: белки, крахмал, глюкозу.

Асимметрия и симметрия в природе - это две противоположные характеристики. Это категории, которые всегда находятся в борьбе и единстве. Разные уровни развития материи могут носить свойства то симметрии, то асимметрии.

Если предположить, что равновесие является состоянием покоя и симметрии, а движение и неравновесное вызвано асимметрией, то можно сказать, что понятие равновесия в биологии не менее важно, чем в физике. Биологическая характеризуется принципом устойчивости термодинамического равновесия Именно асимметрию, которая является устойчивым динамическим равновесием, можно считать ключевым принципом при решении проблемы зарождения жизни.

Изучить тему «Симметрия»
Исследовать вопрос «Симметрия в окружающем нас мире»
Рассмотреть различные виды симметрии в природных объектах

Зачем человеку нужно знать о симметрии?

1. Раскрыть смысл основных понятий симметрии.
2.Показать, что природа – это мир симметрии.

изучение литературы;
сопоставление существенных признаков;
анализ, сравнение, обобщение.

О симметрия!
Гимн тебе пою!
Тебя повсюду в мире узнаю.
Ты в Эйфелевой башне, в малой мошке,
Ты в елочке, что у лесной дорожки.
С тобою в дружбе и тюльпан, и роза,
И снежный рой – творение мороза!

Тема моей научно – исследовательской работы «Многоликая симметрия».
Эту тему я выбрала потому, что с симметрией мы встречаемся везде – в природе, архитектуре, искусстве, науке. Мне хочется глубже познакомиться с симметрией в математике и биологии, технике и архитектуре так как понятие симметрии широко используют все направления современной науки.

Что же такое симметрия ?
Какой глубокий смысл заложен в этом понятии?
Почему симметрия буквально пронизывает весь окружающий нас мир?

Симметрия (от греческого symmetria - "соразмерность") - понятие, означающее сохраняемость, повторяемость, "инвариантность" каких-либо особенностей структуры изучаемого объекта при проведении с ним определенных преобразований .

Симметрия – это уравновешенность,

упорядоченность,

красота,

совершенство.

а) симметрия относительно точки (центральная симметрия); б) симметрия относительно прямой (осевая симметрия);
в) симметрия относительно плоскости (зеркальная симметрия);
г) Симметрия вращения (поворот)
д)Скользящая симметрия

ОА 1 = ОА

Определение

Точки A и A 1 называются симметричными относительно точки О , если О – середина отрезка AA 1 .

Определение

Фигура называется симметричной относительно центра

Симметричность точек относительно прямой

Определение

Две точки А и А 1 называются симметричными относительно прямой а , если эта прямая проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к нему.

Симметричность фигуры относительно прямой

Определение

Фигура называется симметричной относительно прямой , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка также принадлежит этой фигуре. Прямая l называется осью симметрии фигуры.

Преобразование, при котором каждая точка А фигуры (тела) поворачивается на один и тот же угол α вокруг заданного центра О, называется вращением или поворотом плоскости. Точка О называется центром вращения, а угол α - углом вращения. Точка О является неподвижной точкой этого преобразования.

Центральная симметрия есть поворот фигуры на 180°.

Скользящей симметрией называется такое преобразование, при котором последовательно выполняются осевая симметрия и параллельный перенос.

отрезок переходит в равный ему отрезок;
угол переходит в равный ему угол;
окружность переходит в равную ей окружность;
любой многоугольник переходит в равный ему многоугольник и т. д.
параллельные прямые переходят в параллельные, перпендикулярные в перпендикулярные.

Итак, на плоскости мы имеем четыре вида движений, переводящих фигуру F в равную фигуру F 1 :

параллельный перенос;
осевая симметрия (отражение от прямой);
поворот вокруг точки (частичный случай – центральная симметрия);
«скользящее» отражение.

РАДИА́ЛЬНАЯ СИММЕ́ТРИЯ

(лучевая симметрия) - симметрия по отношению к любым плоскостям, проходящим через продольную ось тела животного.

Билатера́льная симме́трия (двусторонняя симметрия) - симметрия зеркального отражения, при которой объект имеет одну плоскость симметрии, относительно которой две его половины зеркально симметричны.

Симметрия многолика.

Она связана с упорядоченностью, пропорциональностью и соразмерностью частей, красотой и гармонией, с целесообразностью и полезностью.

Работая над проектом, я прикоснулась к загадочной математической красоте. Математика - это язык, язык природы. Не зная языка, вы не можете понять красоту окружающего мира.

Но несомненно одно: Мир симметричен!

1.Этот удивительно симметричный мир» – Л. Тарасов
2. «Толковый словарь» - В.Даля
«Геометрия 7-9 класс» - Л. Атанасян
Малахов В.В. // Журн. общ. биологии. 1977. Т.38.
И.Г.Зенкевич “Эстетика урока математики”.
http://900igr.net/fotografii/geometrija/Simmetrija/O-simmetrii.html

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа с.Сторожевка»

Татищевского района Саратовской области

Проектно-исследовательская работа

по теме:

Выполнили: учащиеся 11 класса

«МОУ СОШ с.Сторожевка»

Давыдова Катерина Олеговна,

Орешенкова Дарья Олеговна.

Руководитель: учитель математики

Жогаль Марина Александровна

2011г.

Содержание

I. Краткая аннотация…………………………………………………..3

II. Введение ……………………………………………………………4

III. Этот удивительно симметричный мир……………………….......5

1.Что такое симметрия? Место симметрии в окружающем мире…..5

2.Виды симметрии……………………………………………………..8

3.Симметрия в физике и технике …………………………………….10

4.Симметрия в природе ……………………………………………….14

В растительном мире-

В животном мире

5.Симметрия в творчестве…………………………………………….18

В архитектуре

В литературе

В изобразительном искусстве

В музыке и в танце

6.Симметрия рядом ……………………………………………………22

Симметрия в одежде

Симметрия в быту (дома, в школе)

Симметрия посёлка Сторожевка и города Саратова

IV. Заключение………………………………………………………….24

V.Литература…………………………………………………………….25

VI.Приложение…………………………………………………………..26

Краткая аннотация проекта

Данный проект расчитан на учащихся 9-11 классов. Он охватывает изучение учебных тем: «Симметрия» по геометрии, «Города и страны», "Транспорт", "Архитектура" по географии, «Особенности строения растительных и животных организмов» по биологии, литературе, «законы сохранения» по физике. Данный проект формирует осознание того, что нужно жить в мире и согласии с природой, развивает наблюдательность, творческие способности.

При проведении проекта учитель помогает ученикам в развитии их навыков критического мышления, умения находить и обрабатывать большое количество информации, формировании коммуникативных навыков, организует самостоятельные исследования по учебной теме.

Введение

Математика неисчерпаема и многозначна.

Ни один математик, даже самый, самый, самый, уже не в состоянии изучить всю математику, а выбирает лишь какую-нибудь ветвь. Вот и мы сегодня выбираем маленькую ветвь симметрии.

Математики и биологи, кристаллографы и искусствоведы, инженеры и философы, астрономы и селекционеры, физики и врачи пытаются сообща справиться с загадками симметрии.

В школьном курсе математики теме «Симметрия» отведено всего несколько часов. В 8 классе учащиеся знакомятся с осевой и центральной симметрией, в 10 классе вводится понятие зеркальной симметрии. У ребят возникает вопрос: зачем нужна эта тема и где она применяется?

Проект «Этот удивительно симметричный мир» призван расширить познания учащихся по теме «Симметрия» в разных областях науки, техники, живой и неживой природы, в окружающем нас мире.

Основополагающий вопрос:

Как проявляется симметрия в окружающем нас мире?

Цель: изучение понятия симметрии, проведение исследовательской работы по изучению явлений симметрии в природе, архитектуре, технике, в окружающей нас повседневной действительности, приобретение навыков самостоятельной работы с большим объёмом информации.

Задачи:

Углубить и расширить знания по теме «Симметрия»;

Узнать о видах симметрии и уметь отличать один вид от другого;

Получить наглядное представление о проявлении симметрии в природе, различных областях науки и человеческой деятельности;

Развить навыки работы в команде и навыки принятия решений

III. Этот удивительно симметричный мир

§1. Что такое симметрия? Место симметрии в окружающем мире.

«Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство».

Г. Вейль.

С симметрией мы встречаемся всюду - в природе, технике, искусстве, науке, например, симметрия форм автомобиля и самолета, симметрия в ритмическом построении стихотворения и музыкальной фразы, симметрия орнаментов и бордюров, симметрия атомной структуры молекул и кристаллов. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания; его широко используют все без исключения направления современной науки. Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке.

Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своем многообразии картиной явлений, в свою очередь, подчиняются принципам симметрии.

Что же такое симметрия? Почему симметрия буквально пронизывает весь окружающий нас мир? А какая бывает симметрия? Какие виды симметрии вы уже знаете (осевая и центральная, зеркальная). Симметрия делится на две группы.

К первой группе относится симметрия положений, форм, структур. Это та симметрия, которую можно непосредственно видеть. Она может быть названа геометрической симметрией.

Вторая группа характеризует симметрию физических явлений и законов природы. Эта симметрия лежит в самой основе естественнонаучной картины мира: ее можно назвать физической симметрией. На протяжении тысячелетий в ходе общественной практики и познания законов объективной действительности человечество накопило многочисленные данные, свидетельствующие о наличии в окружающем мире двух тенденций: с одной стороны, к строгой упорядоченности, гармонии, а с другой - к их нарушению.

Для этого обратимся к определению симметрии. Термин “симметрия” по–гречески означает соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей.

Согласно Вейлю, симметричным называется такой предмет, с которым можно проделать какую-то операцию, получив в итоге первоначальное состояние. Люди давно обратили внимание на правильность формы кристаллов, цветов, пчелиных сот и других естественных объектов и воспроизводили эту пропорциональность в произведениях искусства, в создаваемых ими предметах, через понятие симметрии. «Симметрия, - пишет известный ученый Дж. Ньюмен, - устанавливает забавное и удивительное родство между предметами, явлениями и теориями, внешне, казалось бы, ничем не связанными: земным магнетизмом, женской вуалью, поляризованным светом, естественным отбором, теорией групп, инвариантами и преобразованиями, рабочими привычками пчел в улье, строением пространства, рисунками ваз, квантовой физикой, лепестками цветов, интерференционной картиной рентгеновских лучей, делением клеток морских ежей, равновесными конфигурациями кристаллов, романскими соборами, снежинками, музыкой, теорией относительности...".

Слово «симметрия» имеет два значения.

В одном смысле симметричное означает нечто весьма пропорциональное, сбалансированное; симметрия показывает тот способ согласования многих частей, с помощью которого они объединяются в целое. Второй смысл этого слова - равновесие. Еще Аристотель говорил о симметрии как о таком состоянии, которое характеризуется соотношением крайностей. Из этого высказывания следует, что Аристотель, пожалуй, был ближе всех к открытию одной из самых фундаментальных закономерностей Природы - закономерности о двойственности. Пристальное внимание уделяли симметрии Пифагор и его ученики. Исходя из учения о числе, пифагорейцы дали первую математическую трактовку гармонии, симметрии, которая не потеряла своего значения и в наши дни.

К наиболее интересным результатам наука приходила именно тогда, когда устанавливались факты нарушения симметрии. Следствия, вытекающие из принципа симметрии, интенсивно разрабатывались физиками в прошлом веке и привели к ряду важных результатов. Такими следствиями законов симметрии являются, прежде всего, законы сохранения классической физики.

Симметричны животные, довольно симметричны растения, совсем симметричны кристаллы, почти идеально симметрична наша шарообразная планета, близка к симметрии ее траектория. После сказанного, может быть, покажется не столь уж фантастичным утверждение, что все законы природы определяются симметрией мира. (приложение рис 1)

Итак, мы живем в довольно симметричном мире. Не удивительно, что сами мы симметричны и склонны считать красивым все симметричное.

§2.Виды симметрии

Виды симметрии:

ПОВОРОТНАЯ СИММЕТРИЯ. Говорят, что объект обладает поворотной симметрией, если он совмещается сам с собой при повороте на угол 2π /n, где n=2,3,4, и т.д. ось симметрии называется осью симметрии n-го порядка.(рис 2)

ПЕРЕНОСНАЯ (ТРАНСЛЯЦИОННАЯ) СИММЕТРИЯ. О такой симметрии говорят тогда, когда при переносе фигуры вдоль прямой на какое-то расстояние a, либо расстояние, кратное этой величине, она совмещается сама с собой. Прямая, вдоль которой производится перенос, называется осью переноса, расстояние a – элементарным переносом или периодом.

С данным видом симметрии связано понятие периодических структур или решеток, которые могут быть и плоскими и пространственными.(рис 3)

ЗЕРКАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ. Зеркально симметричным считается объект, состоящий из двух половин, которые являются двойниками по отношению друг к другу. Трехмерный объект преобразуется сам в себя при отражении в зеркальной плоскости, которую называют плоскостью симметрии. (рис 4)

Форма всех объектов, которые двигаются по поверхности Земли или возле – шагают, плывут, летят, катятся – обладают плоскостью симметрии.

Все то, что развивается или движется лишь в вертикальном направлении, характеризуется симметрией конуса, то есть имеет множество плоскостей симметрии, пересекающихся вдоль вертикальной оси. И то и другое объясняется действием силы земного тяготения.

СИММЕТРИИ ПОДОБИЯ представляют собой своеобразные аналоги предыдущих симметрий с той лишь разницей, что они связаны с одновременным уменьшением или увеличением подобных частей фигуры и расстояний между ними.

Простейшим примером такой симметрии являются матрешки.(рис 5)

ПЕРЕСТАНОВОЧНАЯ СИММЕТРИЯ, которая состоит в том, что если тождественные частицы поменять местами, то никаких изменений не происходит.

НАСЛЕДСТВЕННОСТЬ – это тоже определенная симметрия.(рис 7)

КАЛИБРОВОЧНЫЕ СИММЕТРИИ связаны с изменением масштаба.

Макет является уменьшенной копией оригинала (рис 8)

КОНФОРМНАЯ симметрия(круговая) симметрия - преобразование относительно сферы с центром в т.О радиуса R, которое любую точку Р переводит в точку, лежащую на продолжении радиуса, проходящего через т.Р на расстоянии от центра = R2/ОР. Конформная симметрия обладает большой общностью. Зеркальные отражения, повороты, параллельные сдвиги представляют собой лишь частные случаи конформной симметрии.

(рис 9а,б)

§3.Симметрия в физике и технике.

В физике.

Существует старинная притча о буридановом осле. У одного философа, по имени Буридан, был осел. Однажды, уезжая надолго, философ положил перед ослом две совершенно одинаковые охапки сена – одну слева, а другую справа. Осел не смог решить с какой охапки ему начать, и умер с голоду… Левое и правое на столько одинаковы, что нельзя отдать предпочтение ни тому, ни другому. Иными словами, в обоих случаях мы имеем дело с симметрией, проявляющейся в полном равноправии, уравновешенности левого и правого.

В самом деле, если шарик неподвижен на столе, значит стол ровный и слева наклон тот же самый, что и справа. Если ток не идет по проводу, значит нет разности потенциалов. Если тучка застыла на небе, значит давление вокруг одинаково и стих ветер. Было бы странным, если бы все происходило наоборот. Природа никогда не отдает предпочтения при равенстве.

Симметрия - это и есть равенство в широком смысле этого слова. Например, зеркальная симметрия означает, что правая часть в точности равна левой. Значит, если имеет место симметрия, то чего-то не произойдет и, значит, что-то обязательно останется неизменным, сохранится.

В природе, как и у людей, существует два типа законов. Один тип говорит, что должно происходить при определенных обстоятельствах. Например, закон Ома утверждает, что при таком-то напряжении и таком-то сопротивлении проводника сила идущего по нему электрического тока будет равна частному от деления первого на второе. Ответ единственный. Второй тип законов - так называемые законы сохранения. Они описывают, чего не должно быть. Например, закон сохранения материи и энергии утверждает, что при любом процессе эти величины должны сохраниться.

В 1915 году немецкий математик Эми Нётер чисто математически доказала, что все законы сохранения связаны с симметриями природы. На равноправии места (однородность пространства) покоится закон сохранения импульса. На равноправии направлений (изотропность пространства) - законы сохранения момента количества движения. На равноправии времени - закон сохранения материи и энергии. Это было выдающееся открытие.

В физике существует огромное количество законов и все они пронизаны несколькими общими принципами, которые содержатся в каждом законе. Примерами таких принципов могут служить некоторые свойства симметрии. Одно из важнейших свойств симметрии физических законов – постоянство во времени, сформулированный Ньютоном закон всемирного тяготения описывает не меняющийся во времени факт взаимного притяжения тел. Это притяжение существовало до Ньютона, оно будет существовать и в последующие века. Закон идеального газа широко используется в современной науке и технике. Если бы физические законы изменялись со временем, то каждое физическое исследование имело бы “сиюминутное” значение. Важным законом сохранения в физике является закон сохранения импульса замкнутой системы.

Все симметричное в природе считают отражением фундаментальных качеств мира, а несимметричное - игрой случая.

Говоря о симметрии в неживой природе, возникает точка зрения, что симметрия в неживой природе - отнюдь не частый гость. Например, нагромождение камней, неправильная линия холмов на горизонте. Конечно груда камней это беспорядок, но каждый камень состоит из кристаллов. А кристаллы вносят в мир неживой природы очарование симметрии. Кристаллы какого-либо вещества могут иметь самый разный вид, но углы между гранями всегда постоянны. Для каждого данного вещества существует своя, присущая только ему идеальная форма его кристалла. Симметрия внешней формы кристалла является следствием его внутренней симметрии – упорядоченного взаимного расположения в пространстве атомов(молекул)

Вспомните снежинки. Это маленькие кристаллы замерзшей воды. Они обладают симметрией поворотной и зеркальной (осевой, центральной). Почему снежинки шестиугольные. Почему не бывает пятиугольных снежинок; (пчелиные соты, зернышки граната).

Каждая снежинка – это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают симметрией (рис 2)

Все твердые тела состоят из кристаллов.

В технике

Симметрию можно наблюдать и в технике, и в быту, и в нашей окружающей жизни. Зачем используется симметрия в технике?

Технические объекты – самолёты, автомашины, ракеты, молотки, гайки – практически все они от мала до велика обладают той или иной симметрией. Случайно ли это? В технике красота, соразмерность механизмов часто бывает связана с их надёжностью, устойчивостью в работе (рис 10 а,б,в)

Симметричная форма дирижабля, самолёта, подводной лодки, автомобиля и т.д. обеспечивает хорошую обтекаемость воздухом или водой, а значит, и минимальное сопротивление движению.

На заре развития авиации наши знаменитые учёные Н. Е. Жуковский и С. А. Чаплыгин исследовали полёт птиц, чтобы сделать выводы относительно наивыгоднейшей формы крыла и условий его полёта.(прил.рис 11а,б)

Большую роль в этом сыграла, конечно, симметрия.

Глядя на транспортные средства, возникает вопрос: Чем объясняется частое присутствие симметрии в технике? Изучив необходимую литературу, понимаешь, что симметрия, прежде всего, определяется целесообразностью. Никому не нужен кривой автомобиль или самолёт с крыльями разной длины. Кроме того, симметричные объекты красивы.

Виды симметрии в технике:

-Осевая

-Центральная

-Поворотная

-Зеркальная

§4.Симметрия в природе

Симметрия пронизывает весь окружающий нас мир.

В настоящее время в естествознании преобладают определения категорий симметрии и асимметрии на основании перечисления определенных признаков. Например, симметрия определяется как совокупность свойств: порядка, однородности, соразмерности, гармоничности. Все признаки симметрии во многих ее определениях рассматриваются равноправными, одинаково существенными, и в отдельных конкретных случаях, при установлении симметрии какого-то явления, можно пользоваться любым из них. Так, в одних случаях симметрия - это однородность, в других - соразмерность и т. д.

С вопросами зеркальной симметрии – асимметрии тесно связана проблема возникновение жизни на Земле– ведь живая материя возникла в свое время из неживой. Это обусловлено нарушением существовавшей до этого зеркальной симметрии, образованием чистых молекул, т.е. зеркально симметричных. Современная наука пришла к выводу, что переход от мира зеркального – симметричных соединений к чистому миру произошел не в процессе длительной эволюции, а скачком в виде своеобразного большого биологического взрыва.

Итак, нашей жизни на Земле мы обязаны нарушению зеркальной симметрии и образованию асимметричных молекул.

С симметрией мы встречается повсюду в живой природе.(рис 12)

Симметрия проявляется и в явлениях природы:

Времен года;

В цветении растений;

В появлении снега относительно смещения во времени на 12 месяцев,

Симметрия присутствует в регулярности смены дня и ночи;

Раскаты грома повторяются через определенный интервал времени.

В растительном мире .

«На Земле жизнь зародилась в сферически симметричных формах, а потом стала развиваться по двум главным линиям: образовался мир растений, обладающих симметрией конуса, и мир животных с билатеральной симметрией»

М. Гарднер

Термин «зеркальная» используется в геометрии и физике, а «билатеральная»- в биологии.

Для цветов характерна поворотная симметрия.

Поворотной симметрией обладают: веточка боярышника, цветок зверобоя, веточка акации, лапчатка гусиная. (рис.13 а,б,в)

Веточка акации имеет зеркальную и поворотную симметрию.(рис.14) Веточка боярышника обладает скользящей осью симметрии. Гусиная лапчатка имеет поворотную симметрию и зеркальную.

Присмотревшись к растениям можно обнаружить многочисленные проявления винтовой симметрии в расположении листьев на стебле, веток на стволе, в строении шишек. Ярко выраженными винтами являются вьющиеся растения.(рис 15а,б,в)

В мире цветов встречаются поворотные оси симметрии разных порядков. Наиболее распространенная поворотная симметрия 5-го порядка.

«Пятерная ось является своеобразным инструментом борьбы за существование, страховкой против окаменения, против кристаллизации…»

(Н. В. Белов)

Поворотная симметрия 5-го порядка встречается: у колокольчика, луговой герани, незабудки, зверобоя, вишни, груши, рябины, боярышника, шиповника.(рис.16 а,б,в)

Симметрия конуса видна на примере фактически любого дерева. Дерево при помощи корневой системы поглощает влагу и питательные вещества из почвы, то есть снизу а, остальные жизненно важные функции выполняются кроной, то есть сверху. (рис.17а,б)

Лучевая симметрия. Присмотритесь внимательно и вы увидите, что лепестки многих цветов расходятся во все стороны, как лучи от источника света. В математике - это симметрия относительно точки, в биологии –лучевая симметрия. (рис.18а,б)

Человек передает свои наследственные признаки из поколения в поколение. Также растения переходя от одного поколения к другому, наблюдается сохранение определенных свойств. Так из семечка вырастает новый подсолнух (подсолнечник) с таким же огромным соцветием- корзинкой, также исправно поворачивается к Солнцу. Это тоже есть симметрия, ее обычно называют наследственностью.

В растительном мире встречается билатеральная (зеркальная), лучевая, поворотная, симметрия конуса, осевая, центральная, наследственная симметрия, винтовая симметрия.

Симметрия в животном мире .

«Что может быть больше похоже на мою руку или ухо, чем их собственные отражения в зеркале? И же руку, которую я вижу в зеркале, нельзя поставить на место настоящей руки…»

И. Кант

Если мысленно провести вертикальную линию, разделяющую пополам человеческую фигуру, то левая и правая стороны тоже превратятся в части симметричной «композиции».(Рис 19а,б)

Форма всех объектов, которые двигаются по земной поверхности или возле – шагают, плывут, летят, катятся,- обладает, как правило, одной более или менее хорошо выраженной плоскостью симметрии.

Еще одним интересным проявлением симметрии жизненных процессов являются биологические ритмы , циклические колебания биологических процессов и их характеристик (сокращения сердца, дыхание, колебания интенсивности деления клеток, обмена веществ, двигательной активности, численности растений и животных), зачастую связанные с приспособлением организмов к геофизическим циклам.

Вопрос о красоте, связанной с симметрией, очевиден. Рассматривая соразмерные, взаимно уравновешенные, закономерно повторяющиеся части симметричного объекта мы ощущаем покой, порядок, стабильность. И в результате объект воспринимаем как красивый. И напротив, случайное отклонение от симметрии (обрушивающийся угол здания, оторванный кусочек буквы, необычно рано выпавший снег), воспринимается отрицательно, как неожиданный эффект, угрожающий нашей уверенности.

Попытаемся вообразить себе мир, который устроен полностью симметрией. Такой мир должен был бы совмещаться сам с собой при любом повороте, при отражении в зеркале. Это было бы что-то однородное, неизменное. Такой мир невозможен. Мир существует благодаря единству симметрии и асимметрии.

§5.Симметрия в творчестве.

Замечательным примером использования симметрии является человеческая деятельность, а именно – творческая.

В архитектуре.

Прекрасные образцы симметрии демонстрируют произведения архитектуры.

Можно сказать, что как искусство архитектура начинается именно тогда, когда удаётся отыскать изящное, гармоничное и оригинальное соотношение между симметрией и асимметрией.

На примере архитектуры хорошо видно диалектическое единство симметрии и асимметрии.

Многие архитектурные объекты окружающего мира имеют ось симметрии или центр симметрии.

А какой симметрией обладает Египетская пирамида? (поворотной, если повернуть на 90 градусов вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину пирамиды), зеркальной (совмещается сама с собой при отражении (мысленной) в любой из 4-х вертикальных плоскостей, проходящих через вершину перпендикулярно основанию). (рис20)

Большинство зданий зеркальной симметрии. Общие планы построек, фасады, орнаменты, карнизы, колонны обнаруживают соразмерность, гармонию. Много примеров использования симметрии даёт старая русская архитектура: колокольни, внутренние опорные столбы. Все церковные храмы построены на симметрии, которые имеют оси и центры симметрии.

Примеры симметрии можно увидеть в архитектуре Саратова:

Храм «утоли моя печали», цирк, ЦУМ, дом книги, консерватория, старинные здания в центре города и др.(рис.21а,б,в,г, рис 25а,б)

Пропорция, которая присутствует в симметрии, вносит красоту в архитектуру. Значит симметрия – душа гармонии.

Русский язык и литературное творчество

Обсудим симметрию букв А,В,Д,Е,Ж,З,К,Л,М,Н,П,С,Т,Ф,Х,Ш,Э,Ю,-

это есть пример зеркальной симметрии. Буквы О,Ж, Н,Ф,Х обладают центральной (поворотной) и зеркальной симметрией.

В литературных произведениях красота, связана с симметрией, противопоставляется уродству, обусловленному асимметрией. Так, в Пушкинской «Сказке о царе Салтане» это прекрасная Царевна – Лебедь и окривевшие злодейки ткачихи с поварихой. В литературных произведениях существует целый ряд забавных словесных конструкций, основанных на свойствах зеркальной симметрии. Например слова «топот», «казак», «шалаш» в литературе такой тип слов называют палиндромами.

Вся поэзия- симметрия. Симметрия в творчестве А. А. Фета представлена достаточно широко, как и в творчестве любого русского поэта. Это и кольцевая композиция, и равномерное чередование ударных и безударных слогов: размер

Тихая звёздная ночь…

Трепетно светит луна

Сладки уста красоты

В тихую звёздную ночь.

Дактиль: абсолютно точно повторяются ударные и безударные слоги, создаётся напевность.

Симметричны рефрены: повторение строк через определённый промежуток.

Тихо вечер догорает,

Горы золотя;

Знойный воздух холодает

Спи дитя

Соловьи давно запели,

Сумрак возвестя;

Струны робко зазвенели –

Спи дитя.

Выводы:

Симметрия играет определяющую роль не только в процессе научного познания мира, но также и в процессе его чувственного эмоционального восприятия.

Симметрия – источник эстетического удовлетворения и художественного восприятия.

Симметрия в изобразительном искусстве

Многие художники обращали пристальное внимание на симметрию и пропорции человеческого тела. Леонардо да Винчи открыл, что тело вписывается в круг и в квадрат. Все мы симметричны! Некоторые художники в своих произведениях особенно подчеркивают эту симметрию.

РАФАЭЛЬ. Сикстинская мадонна (рис22а)

Художники разных эпох использовали симметричное построение картины. Симметричными были многие древние мозаики. В симметричной композиции люди или предметы расположены почти зеркально по отношению к центральной оси картины. Такое построение позволяет достигнуть впечатления покоя, величественности, особой торжественности и значимости событий.

Ф. ХОДЛЕР. Озеро Тан (рис 22б)

Симметрия в искусстве основана на реальной действительности. Например, симметрично устроены фигура человека, бабочка, снежинка и многое другое. Симметричные композиции - статичные (устойчивые), левая и правая половины уравновешены.

В. ВАСНЕЦОВ. Богатыри (рис 22в)

Бордюры.

«Математик, так же как художник или поэт, создаёт узоры». Г. Харди.

Периодически повторяющийся рисунок на длинной ленте называют бордюром. Это может быть настенная роспись, украшающая стены зданий, галереи, лестничные переходы. Это может быть чугунное литьё, используемое в оградах парков, решётках мостов и набережных. Это могут быть гипсовые барельефы или керамика. Бордюры обладают зеркальной и переносной симметрией. (рис23-25)

Орнаменты.

Удивительные рисунки, часто встречающиеся в декоративном художественном творчестве называют орнаментами. В них можно обнаружить затейливое сочетание переносной, зеркальной и поворотной симметрии. В зависимости от того, из каких элементов состоит орнамент, его относят к тому или иному типу.) 1геометрический орнамент (чёткое чередование геометрических элементов). 2) растительный орнамент.

3) каллиграфический (может состоять или из отдельных букв, или из целых предложений, высказываний, пословиц, лозунгов).

Геометрический орнамент: чёткое чередование геометрических элементов. Растительный орнамент: растительный мотив. Каллиграфический орнамент: чередование отдельных букв, предложений, пословиц. Фантастический орнамент: изображения мифических существ. Животный орнамент: изображения птиц и зверей. Геральдический орнамент: гербы, атрибуты войны, музыкальное и театральное искусство. (рис 26)

Украшения (рис.27)

Симметрия существует в музыке и хореографии (в танце). Она зависит от чередования тактов. Оказывается, многие народные песни и танцы построены симметрично.(рис.28а,б)

§6. Симметрия рядом.

В одежде

В одежде человек тоже, старается поддерживать впечатление симметричности: правый рукав соответствует левому, правая штанина – левой. Пуговицы на куртке и на рубашке сидят ровно посередине, а если и отступают от нее, то на симметричные расстояния.

Но на фоне этой общей симметрии в мелких деталях мы умышленно допускаем ассиметрию. Например, помещая на костюме ассиметричный кармашек на груди.

Полная безукоризненная симметрия выглядела бы нестерпимо скучно. Именно небольшое отклонение от нее и придает характерные, индивидуальные черты. И вместе с тем порой человек старается подчеркнуть, усилить различие между левым и правым. В средние века мужчины одно время щеголяли в панталонах со штанинами разных цветов. В не столь отдаленные дни были популярны джинсы с яркими заплатами или цветными разводами. Но подобная мода всегда недолговечна. Лишь тактичные, скромные отклонения от симметрии остаются на долгие времена.

Деловая одежда всегда строго симметрична.(рис 29-30) Праздничный наряд можно сделать ассиметричным, чтобы внести индивидуальность образа. Но при этом правый рукав (или штанина) не будет короче левого. Кроят правую и левую часть одежды чаще всего по одной и той же выкройке, накладывая на согнутый вдвое материал выкройку половины изделия.(рис 31)

Обувь всегда строго симметрична.

В быту.

«Изучение археологических памятников показывает, что человечество на заре своей культуры уже имело представление о симметрии и осуществляло в рисунке и в предметах быта.

…Применение симметрии в первобытном производстве определялось не только эстетическими мотивами, но в известной мере и уверенностью человека в большей пригодности для практики правильных форм».

А.В.Шубников

Игрокам в бильярд знакомо действие отражения. Их зеркала – это борта игрового поля, а роль луча исполняют траектории шаров.

Симметричны бытовая техника и мебель, посуда и столовые приборы, одеяла и ковры, портьеры, салфетки, вазочки и т.д.(Рис.40-45)

Симметрия поселка Сторожевка и Саратова

Много примеров симметрии можно увидитесь в архитектуре города Саратова и своего посёлка. (рис 21,25, рис 32-39)

IV. Заключение.

Рассматривая некоторые аспекты использования симметрии в физике, искусстве, технике, биологии, литературе, можно заметить важный аспект – это философский аспект симметрии, или точнее говоря, диалектика симметрии и асимметрии. Она лежит в основе любой научной классификации. Именно она определяет степень красоты, содержащейся в том или ином произведении искусства, зодчества. Если симметрия связана с сохранением, общим, необходимым. То асимметрия связана с изменением, частным, различным, случайным. Мир не мог бы быть абсолютно симметричным (ничто бы не изменялось, не было бы никаких различий, в таком мире ничего не наблюдалось – никаких явлений, объектов). Не мог бы существовать абсолютно асимметричный мир. Это был бы мир, без каких – либо законов, где ничто не сохраняется, где нет каких-либо причинных связей.

V. Использованная литература:

Погорелов Геометрия 7-11, Москва: Просвещение, 1992.

Л. Тарасов, Этот удивительно симметричный мир, Москва: Просвещение,1982

М. Гарднер, Этот правый, левый мир.

Вейль Г.Симметрия. М.: Едиториал УРСС,2003.

Зенкевич И.Г.,Эстетика урока математики: Пособие для учителей. – М.: Просвещение,1981.

Журнал «Вокруг света»

Ресурсы ИНТЕРНЕТ: