Система автоматического управления имеет инерционности различной физической природы, которые замедляют процессы. Единичный скачок, который обычно рассматривается в качестве тестового сигнала САУ (рисунок 1), может быть разложен в ряд:
Рисунок 1. Типовая структура САУ
Наличие инерционностей
обуславливает сдвиг по фазе сигнала
обратной связи
относительно входного
,
причем фазовый сдвиг зависит как от
номера гармоники, так и от постоянных
времени. Так для апериодического звена
1-го порядка фазовый сдвиг определяется:
.
(2)
Рисунок 2. Фазовый сдвиг на выходе САУ
Поскольку на входе
САУ действует бесконечный спектр
гармонических составляющих, то среди
них найдется такая гармоника, фазовый
сдвиг которой равен
(рисунок
2), т.е. выходной сигнал будет в противофазе
с входным.
Так как обратная
связь отрицательная, то на входе системы
он действует в фазе с входным (пунктир
на рисунке 2), причем сигнал обратной
связи действует в тот момент, когда
.
Пусть амплитуда
гармонической составляющей, фазовый
сдвиг которой
,
равна 0.5, а коэффициент передачи системы
по этой гармонике больше единице,
например равен 2. Тогда на выходе сигнал
после первого периода
,
после второго периода
,
после третьего
и т.д., т.е. процесс расходящийся
(неустойчив) (рисунок 3).
Рисунок 3.
Переходный процесс для гармоники
при
k
>1.
Если коэффициент
передачи системы для гармоники, фазовый
сдвиг которой
,
меньше единицы, то процесс будет затухать
(система устойчива).
Таким образом,
замкнутая система будет устойчивой,
если коэффициент передачи её для
гармонической составляющей, фазовый
сдвиг, которой равен
,
меньше единицы.
Если коэффициент передачи для указанной гармоники равен единице, то система находится на границе устойчивости и выходная координата изменяется по гармоническому закону с постоянной амплитудой.
Для системы (рисунок 1) выходная координата определяется:
Причинами отклонения
САУ от положения равновесия являются
изменение входной величины
и возмущающих воздействий
.
Если
и
т.е. причины отклонения системы от
положения равновесия отсутствуют, то
.
Если при отсутствии
причин отклонения
,
знаменатель
,
то это означает, что выходная координата
может принимать любые отличные от нуля
значения, поскольку в этом случае имеем:
.
(4)
Следовательно, в системе возникает незатухающие колебания при условии:
.
(5)
Заметим, что это условие похоже на условие самовозбуждения усилителя с ООС Баркгаузена: самовозбуждение системы имеет место, когда усиливается столько напряжения или другой величины, сколько его (её) отводится по каналу обратной связи:
.
(6)
1.2 Определение устойчивости систем автоматического управления
Любая система автоматического управления (САУ) должна быть работоспособной, т.е. нормально функционировать при воздействий возмущений различного рода. Работоспособность САУ определяется ее устойчивостью, которая является одной из основных динамических характеристик системы.
Устойчивость - свойство системы возвращаться в исходное положение равновесия или близкий к нему режим после окончания действия возмущения, вызвавшего отклонение системы от положения равновесия. Неустойчивая работа может возникнуть в любой САУ с обратной связью, при этом, система удаляется от положения равновесия.
Если известна функция веса системы ω(t ) , то линейная система устойчива, если ω(t ) остается ограниченной при любых ограниченных по величине входных возмущениях:
,
(7)
где с - const .
Следовательно, об устойчивости системы можно судить по общему решению линеаризованного однородного дифференциального уравнения замкнутой САУ, поскольку устойчивость не зависит от вида описываемого возмущения. Система устойчива, если переходная составляющая затухает во времени:
.
(8)
Если
,
то САУ
неустойчива.
Если
не стремится ни к нулю, ни к бесконечности
то система находится на границе
устойчивости.
Поскольку общее решение дифференциального уравнения зависит от вида корней характеристического уравнения САУ, то определение устойчивости можно производить без непосредственного решения однородного дифференциального уравнения.
Если характеристическое уравнение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами САУ имеет вид
то его решение, следующее:
,
(10)
где c - постоянные интегрирования;
p t - корни характеристического уравнения.
Следовательно, САУ устойчива, если
(11)
Таким образом, для того, чтобы линейная САУ была устойчивая, необходимо и достаточно, чтобы вещественные части всех корней характеристического уравнения системы были отрицательны
R e p i < 0, (12)
а) для вещественных корней p i < 0,
,
(12.а)
для вещественных корней p i > 0;
;
(12.б)
б) для комплексных корней типа p i =α± jβ при α< 0
, (12.в)
для комплексных корней p i =α± jβ при α> 0
,
(12.г)
Следовательно, САУ устойчива, если все корни характеристического уравнения (9) располагаются в левой полуплоскости комплексной плоскости корней. Система находится на границе устойчивости, если хотя бы один вещественный корень или пара комплексных корней находятся на мнимой оси. Различают апериодическую и колебательную границы устойчивости.
Если хотя бы один корень характеристического уравнения САУ равен нулю, то система находится на апериодической границе устойчивости. Характеристическое уравнение в этом случае (a n = 0) имеет следующий вид:
Система в том случае устойчива по отношению к скорости изменения регулируемой величины, по отношению же к реализуемой величине система нейтральна (нейтрально устойчивая система).
Если в характеристическом уравнении САУ имеется хотя бы пара чисто мнимых корней, то система находится на границе колебательной устойчивости. В этом случае в системе имеют место незатухающие гармонические колебания.
Таким образом, для выяснения устойчивости САУ следует решить характеристическое уравнение, т.е. найти его корни. Отыскание корней характеристического уравнения возможно, поскольку W 3 (p ) обычно представляет собой отношение двух алгебраических полиномов. Однако такой прямой метод для определения устойчивости оказывается весьма трудоемким, особенно при n > 3. Кроме того, для определения устойчивости необходимо знать только знаки корней и необязательно знать их значение, т.е. непосредственное решение характеристического уравнения дает “лишнюю информацию”. Поэтому для определения устойчивости целесообразно иметь косвенные методы определения знаков корней характеристического уравнения, не решая его. Эти косвенные методы определения знаков корней характеристического уравнения без непосредственного его решения - критерии устойчивости.
Устойчивостью называют свойство системы самостоятельно возвращаться в состояние равновесия после того, как внешнее входное воздействия вывело ее из состояния равновесия. Равновесием называют состояние системы, когда управляемая величина y (t ) постоянна, и все ее производные равны нулю. Исследование устойчивости является одной из основных задач в теории автоматического управления.
Как уже отмечалось, процесс управления определяется переходным процессом: законом изменения y (t ) после изменения x (t ). Переходной процесс САУ можно получить решением дифференциального уравнения САУ (1). Это решение может быть представлено суммой двух составляющих, вынужденной у в (t ) и переходной y п (t ):
y (t ) = у в (t ) + y п (t ),
где y в (t ) определяется свойствами системы и видом входного воздействия. САУ будет устойчивой, если с течением времени переходная составляющая будет стремиться к нулю:
Однозначно судить об устойчивости системы можно по виду ее переходного процесса: затухающий переходной процесс (сходящийся к некоторой постоянной) соответствует устойчивой системе, расходящийся (стремящийся в бесконечность) – неустойчивой.
| ПРИМЕРЫ переходных процессов неустойчивых САУ. |  |
При исследовании устойчивости САУ решают следующие задачи:
Определение, является ли САУ устойчивой при заданных параметрах;
Определение допустимых изменений параметров САУ без нарушения устойчивости;
Поиск параметров и/или структуры САУ, при которых она может стать устойчивой.
Теорема Ляпунова
Необходимое и достаточное условие устойчивости линейных САУ формулируется в теореме Ляпунова :
Если характеристическое уравнение САУ имеет все корни с отрицательной действительной частью, то система устойчива;
Если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, то САУ неустойчива.
Характеристическое уравнение САУ записывается по виду дифференциального уравнения или передаточной функции системы. Так, из уравнения (1) после преобразования Лапласа мы имеем (см. вывод (2)):
Полином в левой части равенства вида:
называется характеристическим . Приравнивание нулю характеристического полинома дает характеристическое уравнение системы или звена:
Корни характеристического уравнения, количество которых соответствует порядку характеристического уравнения САУ, могут быть действительными, комплексными и чисто мнимыми. Их можно представить в виде точек на комплексной плоскости величины р . Согласно теореме, для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни лежали в левой полуплоскости. Примеродного из возможных распределений в комплексной плоскости корней характеристического уравнения устойчивой САУ 5-ого порядка показан на рис. 75.
В случае, если среди корней характеристического уравнения имеется нулевой корень или пара сопряженных чисто мнимых корней, расположенных на мнимой оси, система оказывается на границе устойчивости. Примерывозможных распределений в комплексной плоскости корней характеристического уравнения САУ 5-ого порядка, находящейся на границе устойчивости , приведены на рис. 77.
Системы, у которых имеется одна пара мнимых корней, могут совершать незатухающие колебания (автоколебания). Такие системы практически неработоспособны .
| Рис. 77 |
Рассмотрим примеры оценки устойчивости по теореме Ляпунова и связь результатов оценки с переходной характеристикой САУ.
Пусть САУ 3-го порядка имеет характеристическое уравнение вида:
На рис. 78 показан результат решения этого уравнения, полученный с использованием математического пакета Mathcad. Множество корней уравнения представлено в круглых скобках. Как видно, один из корней уравнения оказался отрицательным действительным числом –3,55, а два других – комплексными сопряженными числами с отрицательной действительной частью –0,525: (–0,525 – 0,657j ) и (–0,525 + 0,657j ).
Аналогично рассмотрим другую САУ 3-го порядка, с характеристическим уравнением вида:
На рис. 80 показан результат решения этого уравнения, полученный с использованием математического пакета Mathcad. Множество корней уравнения представлено в круглых скобках. Как видно, один из корней уравнения оказался отрицательным действительным числом –7,2, а два других – комплексными сопряженными числами с положительной действительной частью 1,31: (1,31 + 4,64j ) и (1,31 – 4,64j ), т.е. распределение корней в комплексной плоскости свидетельствует по теореме Ляпунова о неустойчивости САУ.
Критерии устойчивости САУ
Для оценки устойчивости необходимо оценить расположение корней характеристического уравнения системы относительно координатных осей комплексной плоскости. Эту оценку можно осуществить непосредственным решением характеристического уравнения. Но для определения устойчивости не обязательно знать значения корней характеристического уравнения, достаточно проверить, являются ли действительные части всех корней отрицательными.
Правила, позволяющие исследовать устойчивость системы без непосредственного нахождения корней характеристического уравнения, называются критериями устойчивости .
На ранней стадии развития теории управления актуальной была задача определения устойчивости полинома без вычисления его корней, т.к. характеристические уравнения высоких порядков трудно было решать «в ручную». Сейчас легко найти корни характеристического полинома с помощью компьютерных программ, однако такой подход не позволяет исследовать устойчивость теоретически, например, определять границы областей устойчивости отдельных параметров САУ.
С помощью критериев устойчивости не только устанавливается факт устойчивости систем, но и оценивается влияние тех или иных параметров и структурных изменений в системе на устойчивость. Математически все формы критериев устойчивости эквивалентны, т.к. они определяют условия, при которых корни характеристического уравнения попадают в левую полуплоскость комплексной системы координат .
6.2.1. Критерий Гурвица
Критерий Гурвица относится к алгебраическим критериям устойчивости, которые позволяют установить устойчива ли САУ или нет по результатам алгебраических действий над коэффициентами характеристического уравнения.
Бóльшая часть реальных САУ являются замкнутыми, т.е. имеют общую единичную обратную связь и, соответственно, передаточную функцию вида:
,
где W раз (р ) – передаточная функция разомкнутой САУ (без учета общей обратной связи).
Рассмотрим вывод характеристического уравнения замкнутой САУ, если дана передаточная функция соответствующей ей разомкнутой САУ. Согласно (17) характеристическое уравнение САУ получается приравниванием к нулю знаменателя ее передаточной функции, следовательно, для замкнутой системы запишем:
Однако, передаточная функция разомкнутой системы, согласно (2), имеет вид:
следовательно, характеристическое уравнение замкнутой системы может быть записано как:
Дробь равна нулю когда ее числитель равен нулю, следовательно, характеристическое уравнение замкнутой системы можно записать как сумму полиномов числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой системы, прировняв полученное выражение к нулю:
| (18) |
Важно! Для применения критерия Гурвица используется специальная форма записи характеристического уравнения, отличающаяся от (16) обратной нумерацией коэффициентов полинома:
Критерий Гурвица использует матрицу коэффициентов характеристического уравнения размером n ´n , составленную следующим образом:
По главной диагонали выписываются все коэффициенты характеристического уравнения, начиная с a 1 и заканчивая a n ;
Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева на право так, чтобы чередовались строки с четными и нечетными индексами;
В случае отсутствия коэффициента, а также, если индекс меньше 0 или больше n , на его месте пишется 0.
В результате получается матрица, первая строка которой содержит коэффициенты уравнения (19) a 1 , a 3 , a 5 ,… (все с нечетными номерами) и нулями на месте отсутствующих элементов, вторая строка – коэффициенты a 0 , a 2 , a 4 ,… (все с четными номерами) и нулями на месте отсутствующих элементов. Третья строка получается сдвигом первой строки на одну позицию вправо, четвертая – сдвигом второй строки на одну позицию вправо и т.д. Например, для САУ 5-го порядка (n = 5) эта матрица имеет вид:
Критерий Гурвица определяет необходимое и достаточное условие устойчивости САУ следующим образом: все корни характеристического уравнения САУ имеют отрицательные действительные части, если при a 0 > 0 все n определителей Гурвица матрицы коэффициентов положительны .
Определители Гурвица вычисляются следующим образом:
При условии положительности всех коэффициентов характеристического уравнения достаточно проверить только n – 1первых определителей Гурвица, не вычисляя определитель для полной матрицы. При этом условии частные случаи критерия Гурвица для систем низких порядков получают, раскрывая определители матрицы коэффициентов. Так, в результате раскрытия определителей, для САУ первого и второго порядков необходимым и достаточным условием устойчивости является собственно положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. Для САУ 3-го порядка – положительность всех коэффициентов и условие вида:
Определим с помощью критерия Гурвица, при каких значениях коэффициента статического преобразования регулятора k рассматриваемая система будет устойчивой. Запишем передаточную функцию разомкнутой САУ:
С использованием (18) запишем характеристическое уравнение замкнутой САУ:
Для того уравнения, согласно форме (19), коэффициенты, соответственно равны:
При положительности всех коэффициентов этого уравнения 3-го порядка необходимым условием устойчивости также является выполнение условия (20):
a 1 ×a 2 – a 0 ×a 3 > 0,
Т.о., рассматриваемая САУ будет устойчива, если значение коэффициента статического преобразования k удовлетворяет условию :
Рассмотрим примеры оценки устойчивости по критерию Гурвица исследованных ранее по теореме Ляпунова систем 3-го порядка (см. рис. 78 и рис. 80). Матрица коэффициентов Гурвица для САУ 3-го порядка имеет общий вид:
,
т.е. матрицы Гурвица для рассматриваемых САУ равны, соответственно:
и 
.
Характеристические уравнения обеих САУ удовлетворяют критерию положительности всех коэффициентов, поэтому для оценки устойчивости по критерию Гурвица достаточно вычислить и проверить на положительность n – 1первых определителей Гурвица, т.е. для 3-го порядка – второй определитель. Результаты вычисления вторых определителей матрицы Гурвица для рассматриваемых систем (см. рис. 78 и рис. 80), полученные с использованием Mathcad, показаны на рис. 83–а и рис. 83–б соответственно. Как видно, результаты оценки устойчивости по Гурвицу совпадают с ранее полученными оценками по Ляпунову и результатами построения переходных характеристик рассматриваемых САУ (см. рис. 79 и рис. 81 соответственно) – положительный определитель соответствует устойчивой САУ, а отрицательный – неустойчивой.
Годограф по формуле (21) рассчитывают, изменяя частоту w от 0 до +¥, и строят в комплексной плоскости.
Критерий Михайлова определяет необходимое и достаточное условие устойчивости САУ следующим образом: САУ является устойчивой, если при изменении частоты от 0 до + ¥ годограф вектора Михайлова А(j w) начинается на положительной части действительной оси и, не обращаясь в ноль, поворачиваясь против часовой стрелки, проходит последовательно n квадрантов комплексной плоскости, где n – порядок характеристического полинома САУ.
У устойчивых систем годограф Михайлова имеет плавную спиралевидную форму и при w = 0 отсекает на действительной оси в положительном направлении отрезок, равный свободному члену характеристического уравнения а 0 .
По виду годографа Михайлова можно определить и граничное состояние устойчивости САУ: в случае границы устойчивости первого типа, т.е. наличия у характеристического уравнения САУ нулевого корня (см. рис. 77) отсутствует свободный член характеристического уравнения а 0 = 0 и годограф начинается из начала координат. При границе устойчивости второго типа, т.е. наличия у характеристического уравнения САУ пары чисто мнимых корней (см. рис. 77), годограф проходит через начало координат (обращается в ноль) при некотором ненулевом значении w, причем это значение и есть частота незатухающих колебаний системы .
Рассмотрим примеры оценки устойчивости по критерию Михайлова исследованных ранее по теореме Ляпунова систем 3-го порядка (см. рис. 78 и рис. 80). Формулы для расчета годографов Михайлова этих систем имеют вид, соответственно:
Годограф Михайлова для первой САУ показан на рис. 84. Как видно, его форма удовлетворяет всем условиям критерия:
Годограф начинается на положительной части действительной оси (отсекая при w = 0 на действительной оси отрезок, равный свободному члену характеристического уравнения а 0 = 3);
Не обращается в ноль;
С ростом значения частоты w, поворачиваясь против часовой стрелки, проходит последовательно первый, второй квадрант и в третьем квадранте, при w ® ¥, уходит в бесконечность.
Следует отметить, что для систем с высоким порядком характеристического уравнения (n = 5 и более) отсчет квадрантов при проверке условий критерия Михайлова после четвертого продолжается против часовой стрелки в том же порядке. Т.е., например, у устойчивой САУ 5-го порядка годограф должен последовательно проходить четыре квадранта, возвращаться в первый (для годографа – по порядку пятый) и в нем уходить в бесконечность. Пример годографа Михайлова для устойчивой САУ 5-го порядка с формулой для расчета годографа вида:
показан на рис. 86. Для удобства анализа начальный участок годографа, полученные при малых значениях частоты w, показан отдельным фрагментом. Видно, что годограф при w = 0 начинается на положительной части действительной оси и, последовательно, против часовой стрелки, проходя пять квадрантов, в пятом уходит в бесконечность.
Критерий Найквиста для амплитудно–фазовой характеристики (АФХ) формулируется следующим образом: замкнутая система будет устойчивой, если АФХ соответствующей разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до не охватывает точку с координатами [–1, j0].
Рассмотрим произвольную разомкнутую САУ, не содержащую интегрирующих звеньев. В этом случае значение АФХ для частоты w = 0 равно коэффициенту статического преобразования САУ:
W (j w) = W (j 0) = k .
При этом, если степень числителя передаточной функции меньше степени знаменателя, то график АФХ, начинаясь в точке с координатами (k , j 0) при изменения частоты от 0 до ¥ стремится к началу координат. На рис. 88–а показана АФХ устойчивой САУ – график не охватывает точку с координатами [–1, j 0], а на рис. 88–б – неустойчивой (график точку охватывает).
Если в составе САУ есть интегрирующие звенья, то АФХ при w = 0 обращается в бесконечность, т.е. график АФХ в этом случае начинается не на действительной оси, а приходит из бесконечности. В этом случае для оценки устойчивости по критерию Найквиста в контур включают не только кривую графика АФХ, но и часть окружности бесконечного радиуса, проводимой от действительной оси по часовой стрелке. Пример устойчивой САУ с АФХ такого вида показан на рис. 90–а , неустойчивой – на рис. 90–б .
| Рис. 90 |
| а) |
| б) |
Рассмотрим пример оценки устойчивости по критерию Найквиста для АФХ на примере замкнутой САУ, которой соответствует разомкнутая система с передаточной функцией вида:
Запишем по заданной W раз (p ) формулу расчета АФХ:
и, изменяя частоту w от 0 до +¥, построим график АФХ разомкнутой САУ с использованием математического пакета Mathcad (рис. 91). Для удобства анализа участок АФХ в области точки [–1, j 0], полученный для больших значений частоты w, показан на рис. 91 отдельным фрагментом. По фрагменту хорошо видно, что график охватывает точку [–1, j 0], следовательно замкнутая САУ является неустойчивой .
| Рис. 91 |
6.2.4. Критерий Найквиста для ЛАЧХ и ЛФЧХ
Критерий Найквиста для логарифмической амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик формулируется следующим образом: замкнутая система устойчива, если для характеристик соответствующей ей разомкнутой системы выполняются два условия:
- при частоте равной частоте среза САУ
w с модуль фазочастотной характеристики меньше 180 градусов: 
<
180°;
- при частоте равной w p значение ЛАЧХ меньше нуля: L (w p) < 0.
Как следует из формулировки критерия, для проверки его условий по характеристикам разомкнутой САУ первоначально необходимо определить две частоты: частоту среза w с и частоту w p . После этого для найденных значений частот следует проверить выполнимость обоих условий критерия.
Частотой среза САУ называется частота, при которой ЛАЧХ системы пересекает ось частот, то есть L (w с ) = 0. Эта частота также называется частотой единичного усиления САУ, так как сигнал этой частоты на выходе САУ имеет ту же амплитуду, что и на входе: А вых = А вх . Для этого случая справедливо:
Важно! Не путайте понятия частоты среза отдельных типовых звеньев САУ и всей системы в целом. Определение частот среза типовых звеньев рассмотрено в графе «Примечания» Приложения 1.
Частотой w p САУ называется частота, при которой ФЧХ САУ равняется 180° со знаком «плюс» или со знаком «минус». Если ФЧХ несколько раз пересекает ординату ±180, то выполнение условия проверяется для крайней правой точки.
Важно! Рассматриваемые характеристики – частоты среза w с и частота w p – имеются не у всякой САУ. Если ЛАЧХ системы вообще не пересекает ось частот, то есть L (w) ¹ 0 ни при каких значениях w, то у такой системы нет частоты среза. Аналогично, если ФЧХ системы ни при каких значениях частоты не принимает значение ±180°, то данная САУ не характеризуется параметром w p . В этих случаях для оценки устойчивости следует выбрать другие критерии.
На рис. 92–а показано, как по графикам ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой САУ определить частоты w с и w p .
| Рис. 92 |
| а) |
| б) |
| ПРИМЕРЫ: 1) ЛАЧХ САУ без частоты среза w с; 2) ЛФЧХ САУ без частоты w p . | |
Проверим выполнимость условий критерия Найквиста для характеристик разомкнутой САУ, показанных на рис. 92–а
. Определим графически величины L
(w p) и j(w с
) как показано на рис. 92–б.
Как видно, L
(w p) < 0, а <
180°, т.е. оба условия критерия Найквиста выполняются, следовательно, замкнутая САУ, соответствующая рассматриваемой разомкнутой, является устойчивой
. Из рис. 92–б
также можно сделать вывод о том, что для устойчивости САУ по критерию Найквиста достаточно, чтобы выполнялось условие w с
< w p .
Для характеристик разомкнутой САУ на рис. 93–а L
(w p) > 0, а >
180°, т.е. оба условия критерия Найквиста не выполняются, следовательно, замкнутая САУ, соответствующая рассматриваемой разомкнутой, является неустойчивой
. Из рис. 93–а
также можно сделать вывод о том, что для неустойчивости САУ по критерию Найквиста достаточно, чтобы выполнялось условие w с
> w p .
| Рис. 93 |
| а) |
| б) |
Для характеристик разомкнутой САУ, которой соответствует замкнутая система, находящаяся на границе устойчивости
, L
(w p) = 0 и =
180°, w с
= w p (см. рис. 93–б
). У такой системы для сигнала с частотой w с
, т.е. с частотой единичного усиления, фазовый сдвиг выходного сигнала относительно входного составляет –180°. Это говорит о том, что после прохождения САУ величина сигнала меняет знак, сохраняя абсолютную величину (энергию), то есть устанавливаются незатухающие колебания. АФХ такой САУ показана на рис. 89 .
Рассмотрим пример оценки устойчивости по критерию Найквиста для ЛАЧХ и ЛФЧХ на примере замкнутой САУ, которой соответствует разомкнутая система с передаточной функцией вида:
Графики ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой САУ, построенные с использованием математического пакета Mathcad по формулам (11) и (12), приведены на рис. 94. Как видно по рисунку, ЛАЧХ равна нулю при w с
» 13,5 с -1 . ЛФЧХ на частоте w p » 5,7 с -1 меняет знак – после того, как j(w) достигает значения –180° (радиус-вектор, поворачиваясь по часовой стрелки, переходит в верхнюю полуплоскость) отсчет фазового сдвига продолжается в области положительных значений. При этом из двух условий критерия Найквиста формально нарушается только второе: значение ЛАЧХ на частоте среза не является отрицательным (L
(w p) » 18 > 0). Первое условие ( <
180°) формально выполняется: » 130° <
180°. Однако следует понимать, что опережение по фазе в 130° соответствует, при отсчете по часовой стрелке без смены знака, отставанию на величину:
j(w с ) = –360° + 130° = –230°,
следовательно, замкнутая САУ неустойчива. К такому же выводу можно придти, сравнив величины w с и w p: w с > w p . Оценка устойчивости этой САУ по критерию Найквиста для АФХ, выполненная в конце раздела 6.2.3, также показала отсутствие устойчивости.
Выполним проверку оценки устойчивости по критериям Найквиста с использованием теоремы Ляпунова. По заданной 
запишем с использованием формулы (18) характеристическое уравнение замкнутой САУ:
Решение характеристического уравнения замкнутой САУ, полученное с использованием математического пакета Mathcad, имеет вид:
Множество корней уравнения представлено в круглых скобках. Как видно, один из корней уравнения оказался отрицательным действительным числом –17,74, а два других – комплексными сопряженными числами с положительной действительной частью 3,657. Эти корни равны, соответственно, (3,657+ 12,22j ) и (3,657– 12,22j ). Т.о. по теореме Ляпунова замкнутая САУ неустойчива , что согласуется с результатами оценки устойчивости, полученными с применением обоих критериев Найквиста.
| Рис. 94 |
Запасы устойчивости САУ
Технические характеристики устройств, входящих в состав САУ, меняются в процессе эксплуатации, и, следовательно, со временем изменяются и постоянные передаточной функции САУ. Следователь, недостаточно спроектировать просто устойчивую систему, нужно, чтобы она сохраняла устойчивость при некоторых изменениях параметров САУ в сравнении с расчетными, т.е. обладала запасами устойчивости . Запас определяет удаление системы от границы устойчивости.
Запасом устойчивости по амплитуде DL называется величина в децибелах, на которую нужно сместить вверх ЛАЧХ разомкнутой САУ так, чтобы привести соответствующую ей устойчивую замкнутую систему к границе устойчивости. На рис. 95 показано смещение вверх ЛАЧХ устойчивой САУ, исходные характеристики которой были рассмотрены в примере оценки устойчивости по критерию Найквиста (см. рис. 92–б ).
где А(w p) < 1 – модуль АФХ на частоте w p .
Зная DL , можно определить величину коэффициента статического преобразования разомкнутой САУ, при которой соответствующая ей замкнутая система окажется на границе устойчивости:
;
 ,
| (23) |
где k
Рассмотрим пример определения граничного значения коэффициента статического преобразования для разомкнутой САУ с передаточной функцией вида:
ЛАЧХ и ЛФЧХ этой САУ показаны на рис. 96. По графикам характеристик видно, что частота среза САУ составляет w с
» 50 с -1 , а ЛФЧХ достигает значения –180° на частоте w p » 100 с -1 и после этого меняет знак. Запас устойчивости по амплитуде для этой САУ равен 
, следовательно, по формуле (23):
.
При изменении коэффициента статического преобразования САУ до значения, равного k гр , ЛФЧХ САУ не изменится, а ЛАЧХ сместится вверх (см. рис. 96). Как видно, при найденном значении k гр = 425,975 частота среза разомкнутой САУ w с 1 становиться равной 100 с -1 , т.е. w с 1 = w p . А значит, в соответствии с критерием Найквиста для ЛАЧХ и ЛФЧХ, соответствующая рассматриваемой разомкнутой САУ замкнутая система действительно окажется на границе устойчивости.
На рис. 97 показано смещение вниз ЛФЧХ разомкнутой САУ, исходные характеристики которой были рассмотрены в примере оценки устойчивости по критерию Найквиста (см. рис. 92–б ). Как видно, смещение исходной ЛФЧХ параллельно самой себе вниз на величину Dj(w с ) приводит к смещению частоты w p разомкнутой САУ влево : для новой ЛФЧХ, показанной пунктиром, значение этой частоты w p1 = w с , что, по критерию Найквиста для ЛАЧХ и ЛФЧХ, свидетельствует о нахождении замкнутой системы на границе устойчивости. Из рис. 97 следует, что величину Dj(w с ) можно определить как:
Напомним, что w с это частота единичного усиления: сигнал с такой частотой на выходе САУ имеет ту же величину амплитуды, что и на входе. Следовательно, длина радиус-вектора, проведенного в точку АФХ, которая соответствует w с , равна 1. Эту точку можно найти на графике АФХ по пересечению с окружностью единичного радиуса (см. рис. 98).
Из рис. 98 хорошо видно, что если график АФХ разомкнутой САУ повернуть на величину угла, равную Dj(w с ), то график будет проходить через точку [–1, j 0], что приведет замкнутую систему к границе устойчивости по критерию Найквиста для АФХ.
Для той же АФХ рассмотрим определение запаса устойчивости по амплитуде. Частоте w p соответствует фазовый сдвиг ±180°, следовательно, точку АФХ, соответствующую этой частоте, можно найти по пересечению графика с действительной осью (рис. 99). Модуль АФХ, определяющий коэффициент ослабления амплитуды сигнала с такой частотой на выходе САУ, равен длине радиус-вектора, проведенного из начала координат в соответствующую точку АФХ. Для АФХ на рис. 99 эта величина равна А(w p), и по ней с использованием формулы (22) можно рассчитать DL .
где k – коэффициент статического преобразования исходной разомкнутой САУ .
Рассмотрим пример определения граничного значения коэффициента статического преобразования по АФХ разомкнутой САУ, для которой ранее расчет k гр был выполнен по логарифмическим характеристикам (см. начиная с формулы (23) и до рис. 96). АФХ этой САУ с исходным значением k = 107 показана на рис. 100. Для удобства анализа графика в области точки [–1, j 0] его фрагмент показан отдельно. Как видно, у САУ с исходным значением k модуль АФХ А(w p) » 0,25, следовательно, по формуле (25):
Найденное значение k гр = 428 с удовлетворительной точностью совпадает с результатом расчета по ЛАЧХ (k гр = 425,975). Погрешности в расчетах обусловлены приближенным определением по графикам DL и А(w p).
| Рис. 100 |
Как видно из рис. 100, при изменении коэффициента статического преобразования САУ до значения, равного k гр = 428, АФХ САУ пройдет через точку с координатами [–1, j 0], а значит, в соответствии с критерием Найквиста для АФХ, соответствующая рассматриваемой разомкнутой САУ замкнутая система действительно окажется на границе устойчивости.
Запасы устойчивости САУ по амплитуде DL и фазе Dj(w с ), наряду с показателями, определяемыми по переходной характеристике (см. раздел 2.3.2.), являются основными показателями качества управления.
Литература
1. Анхимюк, В.Л. Теория автоматического управления. / В.Л. Анхимюк, О.Ф. Опейко, Н.Н. Михеев; под ред. В.Л. Анхимюк. – Мн.: Дизайн ПРО, 2000. – 352 с.
2. Бесекерский, В.А. Теория систем автоматического регулирования / В.А. Бесекерский, В.П. Попов. – М.: Наука, 1975. – 766с.
3. Андрющенко, В.А. Теория систем автоматического управления / В.А. Андрющенко. – Л.: ЛГУ, 1990. – 256 с.
4. Клюев, А.С. Проектирование систем автоматизации технологических процессов: справочное пособие / А.С. Клюев, Б.В. Глазов и др. – М.: Энергоатомиздат, 1990. – 464 с.
5. Клюев, А.С. Техника чтения схем автоматического управления и технологического контроля / А.С. Клюев, Б.В. Глазов и др. – М.: Энергоатомиздат, 1991. – 432 с.
6. Федоров, Ю.Н. Справочник инженера по АСУ ТП: проектирование и разработка: учеб.-практ. пособие / Ю.Н. Федоров. – М.: Инфра-Инженерия, 2008. – 928 с.
7. Поляков, К.Ю. Теория автоматического управления для «чайников». К.Ю. Поляков // Преподавание, наука и жизнь [Электронный ресурс]. – 2009. – Режим доступа: http://kpolyakov.narod.ru/uni/teapot.htm. – Дата доступа: 01.06.2011.
8. Тихонов, А.И. Теория автоматического управления: курс лекций / А.И. Тихонов. – Иваново: ИГЭУ, 2002. – 188 с.
9. Яковлев, А.В. Система стабилизации частоты вращения электродвигателя: лабораторная работа по курсу «Технические средства САУ» /А.В. Яковлев. – М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. – 24 с.
10. Зайцев, Г.Ф. Теория автоматического управления и регулирования / Г.Ф. Зайцев. – К.: Выща шк., 1989. – 431 с.
11. Туманов, М.П. Теория управления. Теория линейных систем автоматического управления: учебное пособие / М.П. Туманов. – М.: МГИЭМ, 2005. – 82 с.
12. Кузьменко, Н.В. Конспект лекций по дисциплине «Автоматизация технологических процессов и производств»: учеб. пособие / Н.В. Кузьменко. – Ангарск: АГТА, 2005. – 77 с.
13. Беспалов, А.В. Динамический звенья. Временные характеристики. Учеб. пособие / А.В. Беспалов, Н.И. Харитонов и др. – М.: РХТУ им. Д.И. Менделеева, 2001. – 80 с.
14. Савин, М.М. Теория автоматического управления: учеб. пособие / М.М. Савин, В.С. Елсуков, О.Н. Пятина. – Ростов на Дону: Феникс, 2007. – 469 с.
15. Филлипс, Ч. Системы управления с обратной связью / Ч. Филлипс, Р. Харбор. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. – 616 с.
6.1. Понятие устойчивости систем автоматического управления
Динамика САУ характеризуется переходным процессом, возникающим в ней под действием какого-либо возмущения (управляющего воздействия, помехи, изменения нагрузки и др.). Вид переходного процесса в САУ зависит как от свойств самой САУ, так и от вида действующего на неё возмущения. В зависимости от вида переходного процесса в САУ различают следующие их разновидности.
Устойчивая САУ – система, которая при установившихся значениях возмущающих воздействий спустя некоторый промежуток времени возвращается к установившемуся состоянию равновесия.
Неустойчивая САУ – система, которая при установившихся значениях возмущающих воздействий не возвращается к установившемуся состоянию равновесия. Отклонение системы от состояния равновесия будет либо всё время увеличиваться, либо непрерывно изменяться в форме незатухающих постоянных колебаний.
Графики кривых переходных процессов, характерные для устойчивых и неустойчивых САУ, представлены на рис. 6.1. Очевидно, что работоспособная САУ должна быть устойчивой.
| а) | Примеры устойчивости и неустойчивости некоторой системы можно также иллюстрировать на следующих примерах (рис. 6.2). На рис. 6.2а приведён пример неустойчивой системы – при малейшем отклонении шара от начального устойчивого положения он скатывается по склону поверхности и в исходное положение не возвращается; рис. 6.2б иллюстрирует пример устойчивой системы, поскольку при любом отклонении шар обязательно возвратится к первоначальному положению; рис. 6.2в показывает систему, устойчивую при некоторых малых возмущающих воздействиях. Как только возмущающее воздействие превышает некоторую величину, система теряет устойчивость. Такие системы называют устойчивыми в малом и неустойчивыми в большом, поскольку устойчивость связана с величиной начального возмущающего воздействия. |
| б) | |
| Рис. 6.1. Виды кривых переходного процесса в устойчивой (а) и в неустойчивой (б) САУ: 1 – апериодический переходный процесс; 2 – колебательный переходный процесс |
Анализ работоспособности или устойчивости линейной САУ можно провести с использованием её математической модели. Как было показано ранее, линейная САУ может быть описана дифференциальным уравнением (2.1). Решение данного дифференциального уравнения в общем случае имеет вид (2.3)
где – свободная составляющая решения уравнения (2.1), которая определяется начальными условиями и свойствами рассматриваемой САУ;
– вынужденная составляющая решения уравнения (2.1), определяемая возмущаемыми воздействиями и свойствами рассматриваемой САУ.
Устойчивость САУ характеризуется процессами, происходящими внутри самой САУ. Эти процессы определяются видом свободной составляющей решения уравнения (2.1). Следовательно, для того чтобы САУ была устойчива, необходимо выполнение следующего условия:
В свою очередь, в общем виде может быть представлена как
где – корни, получаемые при решении характеристического уравнения (2.7). В табл. 6.1 приводятся некоторые разновидности переходных процессов в САУ, в зависимости от вида корней характеристического уравнения (2.7).
Таблица 6.1
Разновидности переходных процессов в САУ в зависимости от вида корней
характеристического уравнения (2.7)
Окончание табл. 6.1
| m – комплексных сопряжённых корней, действительная часть которых отрицательная: | колебательный затухающий | устойчивая | ||
| корни действительные, положительные, при этом | апериодический расходящийся | неустойчивая | ||
| среди корней (п.1) присутствует m – комплексных сопряжённых корней, действительная часть которых положительная: | колебательный расходящийся | неустойчивая | ||
| среди корней (п.1) присутствует пара комплексных корней, действительная часть которых равна нулю: | незатухающие колебания | система на грани устойчивости (чисто теоретический случай) |
Для выполнения условия (6.1) необходимо, чтобы каждое слагаемое выражение (6.2) при t®¥ стремилось бы к нулю. Как следует из анализа приводимых в табл. 6.1 примеров переходных процессов в САУ, для этого необходимо, чтобы все корни характеристического уравнения (2.7) были отрицательные вещественные или комплексные с отрицательной действительной частью. Если среди корней характеристического уравнения (2.7) будет хотя бы один положительный вещественный корень или пара сопряжённых комплексных корней с положительной действительной частью, тогда рассматриваемая САУ будет неустойчива, поскольку слагаемое уравнения (6.2), соответствующее данному корню, при t®¥ будет неограниченно увеличиваться.
На рис. 6.3 и 6.4 приведены примеры расположения корней характеристического уравнения САУ на комплексной плоскости, соответствующие устойчивой и неустойчивой САУ. Как следует из этих примеров, для того чтобы САУ была устойчива, необходимо, чтобы все корни характеристического уравнения САУ находились слева от мнимой оси.
Для анализа устойчивости САУ по виду корней её характеристического уравнения требуется найти аналитическое решение дифференциального уравнения (2.1), что является достаточно трудоёмкой задачей, а в некоторых случаях – невозможной. Поэтому на практике широкое распространение получили критерии устойчивости, под которыми понимается следующее.
Критерий устойчивости – совокупность признаков, позволяющих иметь представление о знаках корней характеристического уравнения без решения самого уравнения. Существуют следующие разновидности критериев устойчивости:
− алгебраические критерии устойчивости (критерии Вышнеградского, Рауса, Гурвица). Для анализа устойчивости САУ в данном случае используются коэффициенты характеристического уравнения системы;
− частотные критерии устойчивости (критерии Найквиста, Михайлова). Данные критерии устойчивости предполагают применение частотных характеристик системы.
Применение того или иного критерия устойчивости позволяет судить об устойчивости САУ более просто и эффективно, чем при решении описывающего её дифференциального уравнения (2.1). Кроме этого, некоторые критерии устойчивости позволяют установить причину неустойчивости САУ и наметить пути по достижению устойчивости системы.
6.2. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица
Данный вид алгебраического критерия является наиболее распространённым на практике для исследования устойчивости САУ. Исходными данными для исследования устойчивости в данном случае является характеристическое уравнение замкнутой САУ
Из коэффициентов характеристического уравнения (6.3) составляется матрица (6.4), размерность которой равна порядку характеристического уравнения (6.3). Матрица (6.4) составляется по следующему правилу: по главной диагонали выписываются последовательно коэффициенты характеристического уравнения, начиная с C 1 . Столбцы таблицы, начиная с главной диагонали, заполняются вверх по возрастающим индексам, вниз – по убывающим. Все коэффициенты с индексами ниже нуля и выше степени порядка характеристического уравнения n заменяются нулями.
Условия устойчивости по Гурвицу: для устойчивости САУ, имеющей характеристическое уравнение (6.3), необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения (6.3) были положительны, а также были положительны n определители, составленные из коэффициентов уравнения (6.3) на основе матрицы (6.4). Для составления определителя 1,2, …, n -го порядка берутся 1,2, …, n столбцов и строк. Приводимые ниже примеры иллюстрируют это правило.
Пример 1 . Для САУ, имеющей характеристическое уравнение 2–го порядка:
матрица (6.4) запишется как
Определители D 1 , D 2 , составленные на основе (6.6), имеют вид
C 0 , C 1 , C 2 будут больше нуля, а также будут положительны определители (6.7) и (6.8).
Пример 2. Для САУ, имеющей характеристическое уравнение 3-го порядка:
матрица (6.4) запишется как
Определители D 1 – D 3 , составленные на основе (6.10), имеют вид
Согласно критерию устойчивости Гурвица данная система будет устойчивой при условии, что коэффициенты C 0 – C 3 будут больше нуля, а также будет положительным определитель (6.12).
Пример 3. Для САУ, имеющей характеристическое уравнение 4-го порядка:
матрица (6.4) запишется как
Определители D 1 – D 4 , составленные на основе (6.15), имеют вид
Согласно критерию устойчивости Гурвица данная система будет устойчивой при условии, что коэффициенты C 0 – C 4 будут больше нуля, а также будут положительны определители (6.16)–(6.19).
Алгебраический критерий Гурвица позволяет наглядно оценить влияние того или иного параметра на устойчивость САУ в целом. Предположим, что для рассматриваемой САУ, математическая модель которой имеет характеристическое уравнение (6.3), необходимо исследовать влияние значения параметра С n на устойчивость. Для этого, придавая ряд допустимых значений для С n , вычисляем n определителей, составленных из коэффициентов уравнения (6.3) на основе матрицы (6.4). Каждый из определителей D i где i=0,..,n будет представлять собой функцию, зависящую от параметра С n , которую можно представить в виде графика (рис. 6.5). Изобразив на одном графике функции D i (С n) , где i=0,.., n , определяем на оси абсцисс отрезок изменения С n , на протяжении которого все n определителей будут положительные (на рис. 6.5 этот отрезок выделен жирной линией). Следовательно, согласно критерию Гурвица при значениях С n , которые принадлежат выделенному отрезку, система будет устойчивой. Если после построения графиков функции D i (С n) , где i=0,.., n , на оси абсцисс невозможно выделить отрезок изменения С n , на протяжении которого все n определителей будут положительные (рис. 6.6), это говорит о том, что изменением значения С n привести САУ к состоянию устойчивости невозможно.
Применение алгебраического критерия устойчивости Гурвица предполагает, что дифференциальное уравнение, описывающее САУ (6.3), известно и достаточно точно известны его коэффициенты. В некоторых случаях на практике выполнить данные условия невозможно. Кроме этого, с увеличением порядка характеристического уравнения САУ (6.3) увеличивается сложность вычисления определителей, составляемых на основе матрицы (6.4). Поэтому на практике получили распространение также частотные критерии устойчивости, которые позволяют оценить устойчивость системы, даже если дифференциальное уравнение (2.1) неизвестно, а в наличии имеются экспериментальные частотные характеристики рассматриваемой САУ.
6.3. Частотный критерий оценки устойчивости Найквиста
Частотные критерии устойчивости в настоящее время получили широкое признание. Один из таких критериев – критерий Найквиста или частотный амплитудно-фазовый критерий. Данный вид критерия является следствием теоремы Коши. Доказательство справедливости критерия Найквиста приводится в . Рассматриваемый критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой САУ посредством исследования АФЧХ этой САУ в разомкнутом состоянии, поскольку данное исследование выполнить проще.
Исходными данными для исследования устойчивости САУ с помощью критерия Найквиста является её АФЧХ, которая может быть получена либо экспериментально, либо с использованием известного выражения для передаточной функции разомкнутой САУ (3.6) путём замены p=jw .
Условия устойчивости по Найквисту:
1) если САУ устойчива в разомкнутом состоянии, то амплитудно-фазовая характеристика данной САУ, получаемая при изменении w от –¥ до +¥ j 0);
2) если система неустойчива в разомкнутом состоянии и имеет k корней в правой полуплоскости, то АФЧХ САУ при изменении w от –¥ до +¥ должна охватывать k раз точку на комплексной плоскости с координатами (–1, j 0). Угол поворота вектора W(jw) должен составлять при этом 2p k .
Замкнутая САУ будет устойчива, если при изменении w от 0 до +¥ разность между числом положительных и отрицательных переходов годографа АФЧХ разомкнутой системы через отрезок вещественной оси (–¥ , –1) будет равна k/2 , где k – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы. За отрицательный переход годографа вектора W(jw) считается его переход из нижней полуплоскости в верхнюю при возрастании w . За положительный переход годографа вектора W(jw) принимается его переход из верхней полуплоскости в нижнюю при той же последовательности изменения частоты.
При отрицательном знаке у комплексной частотной характеристики указанные выше положения определяются точкой (+1, j 0).
Критерий Найквиста справедлив также для случая, когда полином С(p) в (3.6) САУ имеет нулевой корень, что соответствует значению АФЧХ, равному бесконечности. Для исследования устойчивости таких САУ необходимо мысленно дополнить годограф АФЧХ окружностью бесконечного радиуса и замкнуть годограф с вещественной полуосью в кратчайшем направлении. Далее проверить соблюдение условий устойчивости по Найквисту и сделать выводы.
Примеры АФЧХ устойчивых и неустойчивых САУ приведены на рис. 6.7, 6.8.
6.4. Логарифмический критерий устойчивости
Данный критерий устойчивости есть интерпретация частотного критерия устойчивости Найквиста в логарифмической форме. Рассмотрим две АФЧХ (рис. 6.9), соответствующие разомкнутой САУ, при этом АФЧХ (1) соответствует САУ, неустойчивой в разомкнутом состоянии, АФЧХ (2) – САУ, устойчивой в разомкнутом состоянии. Введём характерные точки рассматриваемых АФЧХ: w 1с , w 2с – точки, соответствующие частотам, при которых амплитуды векторов W(jw) соответственно систем (1) и (2) становятся равными единице. Данная частота носит название частоты среза. На комплексной плоскости эта точка соответствует точке пересечения АФЧХ с окружностью единичного радиуса, центр которой находится в начале координат (на рис. 6.9 эта окружность изображена пунктирной линией). Эта же точка соответствует точке пересечения ЛАЧХ с осью абсцисс (рис. 6.10); w 1 p , w 2 p – точки, соответствующие частотам, при которых фазы векторов W(jw) соответственно систем (1) и (2) становятся равными –180 О. На комплексной плоскости эта точка соответствует точке пересечения АФЧХ с вещественной отрицательной полуосью. Эта же точка соответствует точке пересечения ЛФЧХ с осью абсцисс при условии, что ЛАЧХ и ЛФЧХ изображаются на одном графике в форме, представленной на рис. 6.10.
| Рис. 6.9. АФЧХ САУ: 1 – неустойчивой в разомкнутом состоянии; 2 – устойчивой в разомкнутом состоянии | Рис. 6.10. ЛАЧХ и ЛФЧХ неустойчивой (1) и устойчивой (2) САУ |
Согласно критерию устойчивости Найквиста, если САУ устойчива в разомкнутом состоянии, то амплитудно-фазовая характеристика данной САУ, получаемая при изменении w
от –¥
до +¥
, не должна охватывать точку на комплексной плоскости с координатами (–1, j
0). Другими словами, как следует из рис. 6.9, система будет устойчива, если w p >w с
, в противном случае (w p
Если число точек пересечения АФЧХ и отрицательной вещественной полуоси на отрезке (–¥ , –1) при изменении w от 0 до +¥ больше одной (рис. 6.11), тогда, для того чтобы САУ была устойчива в замкнутом состоянии, необходимо, чтобы количество таких точек на отрезке (–¥ , –1) было чётным. При этом ЛФЧХ должна пересечь чётное количество раз ось абсцисс на отрезке от 0 до частоты среза w с (рис. 6.12).
Для устойчивости САУ в замкнутом состоянии, которые в разомкнутом состоянии неустойчивы и имеют k -корней, лежащих справа от мнимой оси, логарифмический критерий устойчивости может быть сформулирован следующим образом: подобные САУ будут устойчивы, если разность чисел положительных и отрицательных переходов ЛФЧХ и отрицательных переходов ЛФЧХ через значение –180°, лежащих на отрезке от 0 до w С , будет равна k/2 . Напомним, что за положительный переход характеристики принимается её переход из верхней полуплоскости в нижнюю при возрастании w . За отрицательный переход характеристики принимается её переход из нижней полуплоскости в верхнюю при той же последовательности изменения частоты. Частотные характеристики САУ, неустойчивой в разомкнутом состоянии и устойчивой в замкнутом состоянии, у которой k=1 , приведены на рис. 6.13, 6.14.
6.5. Частотный критерий оценки устойчивости Михайлова
Исходными данными для исследования устойчивости САУ с помощью критерия Михайлова является АФЧХ замкнутой системы, которая может быть получена с помощью характеристического полинома замкнутой САУ (3.35), имеющего порядок n :
Условия устойчивости по Михайлову: если вектор , характеризующий замкнутую САУ, при изменении w от –¥ до +¥ описывает в положительном направлении (не изменяя направления) угол, равный np (где n – степень характеристического полинома (6.20)), то такая САУ будет устойчивой. В противном случае САУ будет неустойчивой. Доказательство данного утверждения приводится в .
Поскольку годограф кривой вектора передаточной функции замкнутой САУ симметричен, допускается ограничиться рассмотрением лишь его части, соответствующей изменениям w от 0 до +¥ . При этом угол, описываемый вектором , при изменении w от 0 до +¥ уменьшится вдвое.
На рис. 6.15, 6.16 приведены примеры годографов вектора , соответствующие устойчивой, неустойчивой и нейтральной САУ (системы, находящейся на грани устойчивости).
6.6. Построение областей устойчивости САУ
Рассмотренные выше критерии устойчивости позволяют определить, устойчива рассматриваемая САУ при заданных параметрах или нет. Если САУ неустойчива, часто приходится искать ответ на вопрос: в чём причина неустойчивости, и определить пути её устранения. Кроме оценки устойчивости, на практике часто возникает необходимость определения путей повышения динамических показателей САУ. Перечисленные задачи могут быть решены с помощью существующих критериев устойчивости САУ, однако наиболее эффективно они решаются путём построения областей устойчивости и неустойчивости САУ.
Предположим, что рассматриваемая САУ неустойчива и при этом она может быть представлена линейным дифференциальным уравнением (2.1), характеристическое уравнение которого будет иметь следующий вид (6.3):
Далее предположим, что коэффициенты С 0 –С n -1 данного характеристического уравнения заданы, а коэффициент С n может изменяться в диапазоне С n (min) –С n (max) . Задавая ряд значений для С n из указанного диапазона, находим в пределах этого диапазона отрезки, на протяжении которых С n имеет такие значения, при которых САУ будет устойчивой (рис. 6.17), т.е. все корни характеристического уравнения (6.21) будут лежать на комплексной плоскости слева от мнимой оси. Граничные точки «отрезков устойчивости» соответствуют значениям С n , при которых САУ находится на грани устойчивости.
В уравнении (6.21) могут изменяться два и более коэффициентов. Если в нём изменяются два коэффициента (предположим, что это С 0 и С n ), тогда проводится исследование зависимости устойчивости САУ от значений коэффици-
ентов С 0 и С n путем задания ряда значений этим коэффициентам из некоторых допустимых диапазонов и проверка устойчивости САУ при выбранных значениях С 0 и С n . В этом случае области устойчивости будут представлять собой некоторые участки на плоскости координат изменяемых коэффициентов С 0 и С n (рис. 6.18). Границей устойчивости системы в данном случае будет кривая, ограничивающая области устойчивости.
Если в характеристическом уравнении изменяются в некоторых допустимых пределах три параметра (например, С 0 , С 1 и С n ), тогда при исследовании зависимости устойчивости САУ от значений С 0 , С 1 и С n будет найдена область устойчивости САУ, которая будет представлять собой часть пространства, ограниченную некоторой сложной поверхностью (рис. 6.19). Эта сложная поверхность в данном случае будет границей устойчивости САУ.
Рис. 6.19. Область устойчивости САУ при изменении трёх параметров
(С 0
, С 1
и С n
)
В общем случае, если предположить, что в характеристическом уравнении (6.21) все входящие в него коэффициенты С 0 -С n могут изменяться в некоторых допустимых пределах, тогда устойчивость САУ можно рассматривать как логическую функцию, определённую в некотором многомерном пространстве. В одних точках этого многомерного пространства эта функция будет принимать значение «Истина» (САУ устойчива), в других – «Ложь» (САУ неустойчива). Каждой точке такого пространства (пространства коэффициентов) будут соответствовать определённые значения С 0 -С n , которые являются его координатами. Гиперповерхность, ограничивающая область устойчивости САУ, будет являться границей области устойчивости в рассматриваемом пространстве коэффициентов.
При определении областей устойчивости САУ может быть выделена одна область устойчивости, может быть выделено несколько областей устойчивости, а может быть не выделено ни одной.
Следящая система (рис. 1.14, а) находится в состоянии равновесия, когда ее ошибка Это состояние может быть устойчивым или неустойчивым. Если после некоторого изменения задающего воздействия (поворота ведущего вала на угол система в результате затухающего переходного процесса (рис. 2.1, а, б) снова приходит в состояние равновесия то это состояние равновесия является устойчивым и система называется устойчивой. Когда после незначительного изменения задающего воздействия (отклонения системы от равновесного состояния) система не стремится в первоначальное состояние равновесия, а в ней возникают незатухающие колебания управляемой величины (рис. 2.1, в, г) или же изменение будет независимым от то состояние равновесия в данной системе является неустойчивым и система называется неустойчивой.
Наглядное представление об устойчивом и неустойчивом равновесных состояниях дает рассмотрение системы шар - поверхность. Шар, помещенный во впадине (рис. 3.1, а), находится в устойчивом равновесном состоянии, так как после его отклонения под влиянием внешнего воздействия он возвратится в свое первоначальное состояние. Система шар - поверхность является устойчивой. Шар, расположенный на верхней точке возвышенности (рис. , находится в неустойчивом равновесном положении: достаточно незначительного отклонения от
Рис. 3.1. К понятию устойчивости равновесных состояний системы шар-поверхность: а - устойчивое состояние; б - неустойчивое состояние; в - состояние, устойчивое при малых и неустойчивое при больших отклонениях.
этого состояния, и шар скатится по склону поверхности и не возвратится в исходное положение. Рассматриваемая система неустойчива.
Таким образом, под устойчивостью понимается свойство системы возвращаться в прежнее состояние равновесия после вывода ее из этого состояния и прекращения изменения задающего или влияния возмущающего воздействия.
Только устойчивая система является работоспособной. Поэтому одной из основных задач теории автоматического управления является исследование устойчивости САУ. Основы строгой теории устойчивости динамических систем были разработаны акад. А. М. Ляпуновым в работе «Общая задача об устойчивости движения» (1892 г.). Понятия об устойчивости, вытекающие из этой работы, заключаются в следующем.
Если система описывается линейным дифференциальным уравнением, то ее устойчивость не зависит от величины возмущения. Линейная система, устойчивая при малых возмущениях, будет устойчива и при больших. Нелинейные же системы могут быть устойчивы при малых возмущениях и неустойчивы при больших. Примером такой нелинейной системы являются стенные часы. Если неподвижному маятнику сообщить слабый толчок, то маятник, совершив несколько качаний, остановится, т. е. система устойчива при малых возмущениях. Если же маятнику сообщить более сильный толчок, то последний у заведенных часов начинает совершать незатухающие колебания. Следовательно, система неустойчива при больших возмущениях. Наглядное представление о нелинейных системах, устойчивых при малых и неустойчивых при больших возмущениях, дает рассмотрение шара, помещенного во впадине, расположенной на вершине выпуклого тела (рис. 3.1, в). При малых отклонениях, не превышающих края впадины, шар возвращается в исходное положение, т. е. система шар-поверхность устойчива. При отклонениях за край впадины шар не возвращается в исходное положение - система неустойчива. Поэтому для нелинейных систем устойчивость исследуется отдельно для случая малых возмущений, т. е. устойчивость в малом, и устойчивость при больших возмущениях, т. е. устойчивость в большом.
Согласно теореме Ляпунова, об устойчивости нелинейных систем при малых возмущениях можно судить по их линеаризированным уравнениям, достаточно точно описывающим поведение систем при малых отклонениях от состояния равновесия. Для определения устойчивости нелинейных систем при больших возмущениях необходимо пользоваться исходными нелинейными уравнениями динамики. В большинстве практических случаев системы, устойчивые при малых отклонениях, оказываются устойчивыми и при достаточно больших отклонениях, возможных в процессе эксплуатации, и поэтому вопрос об устойчивости этих систем может быть решен на основании исследования линеаризованных уравнений.
Проблема устойчивости обычно возникает в замкнутых САУ из-за влияния обратной связи. Поэтому в дальнейшем устойчивость исследуется на примерах замкнутых систем, хотя методы исследования устойчивости универсальны.
Устойчивость САУ, общие понятия устойчивости
| Наименование параметра | Значение |
| Тема статьи: | Устойчивость САУ, общие понятия устойчивости |
| Рубрика (тематическая категория) | Математика |
Устойчивость системы автоматического управления является одной из важнейших характеристик системы, т.к. от нее зависит работоспособность системы. Система, у которой отсутствует устойчивость, не может качественно решать задачу управления. Отсутствие устойчивости также может привести к разрушению самой системы в процессе управления или разрушению объекта управления, в связи с этим использование неустойчивых систем нецелесообразно.
Устойчивость системы автоматического управления - это свойство системы воз-
вращаться в исходное состояние равновесия после прекращения воздействия, выведшего систему состояния первоначального равновесия.
Примером устойчивых и неустойчивых систем могут служить системы из шарика, расположенного на вогнутой и выпуклой поверхности, представленные на рисунке 60.
Рис.60. Примеры систем: а) устойчивой; б) неустойчивой
На рисунке 60а шарик, расположенный на вогнутой поверхности и смещенный в сторону определенным усилием, после окончания внешнего воздействия возвратится в положение первоначального равновесия. При отсутствии трения о поверхность или его минимальном значении шарик будет совершать непродолжительные колебания около положения равновесия до возвращения в первоначальное положение равновесия (кривая 1- затухающий колебательный процесс). При большом трении шарик возвратится в положение первоначального равновесия без колебаний (кривая 2 - апериодический процесс). При очень большом значении трения шарик может не вернуться в положение первоначального равновесия (кривая 3), но возвратится в область, близкую к положению равновесия. В рассмотренном случае налицо наличие устойчивой системы. В устойчивых САУ возникают подобные переходные процессы (затухающие колебательные и апериодические).
На рисунке 60б шарик, расположенный на выпуклой поверхности и смещенный в сторону определенным усилием, не возвратится в положение первоначального равновесия (кривая 4), в связи с этим система является неустойчивой. В неустойчивых системах возникают переходные процессы виде расходящихся колебаний (кривая 5) или апериодические (кривая 4).
Неустойчивость САУ, как правило, возникает из-за очень сильного действия обратной связи. Причинами динамической неустойчивости обычно являются значительные инерционные характеристики звеньев замкнутой системы, из-за которых сигнал обратной связи в режиме колебаний так отстает от входного сигнала, что оказывается с ним в фазе. Получается, что характер действия отрицательной обратной связи приобретает характер
положительной.
Составим математическое описание устойчивости и неустойчивости. Так как устойчивость системы зависит только от характера ее свободного движения, то данное свободное движение системы можно описать однородным дифференциальным уравнением:
характеристическое уравнение, которого будет представлено следующим выражением:
Общее решение однородного дифференциального уравнения (2.19.) представим в следующем виде:
где C k – постоянные, зависящие от начальных условий, p k – корни характеристического уравнения.
Корни характеристического уравнения бывают комплексными (p k = α k ± jβ k ), действительными (p k = α k ) или мнимыми (p k = jβ k ). Комплексные корни всегда попарно сопряжены между собой, ᴛ.ᴇ. если имеется корень уравнения с положительной мнимой частью, то обязательно будет существовать корень с такой же по модулю, но отрицательной мнимой частью. y(t) при t → ∞ из (2.21.) будет стремиться к нулю лишь тогда, когда каждое слагаемое С к е p k t → 0. Характер данной функции будет зависеть от вида корня. Возможные случаи расположения корней p k на комплексной плоскости и соответствующие им функции y(t) = С к е p k t представлены на рисунке 61. Вид функций показан внутри эллипсов.
Рис.61. Влияние расположения корней характеристического уравнения на
составляющие свободного движения системы
На рисунке 61 видно, что если каждому действительному корню p k = α k для выражения (2.21.) будет соответствовать слагаемое:
y к (t) = С к е α k t (2.22.)
тогда приα к < 0 (корень p 1) функция при t → ∞ будет стремиться к нулю, при α к > 0 (корень p 3 ) функция будет неограниченно возрастать, а при α к = 0 (корень p 2)функция будет оставаться постоянной.
В случае если характеристическое уравнение будет иметь комплексные корни, то каждой паре сопряженных комплексных корней p k, k+1 = α k ± jβ k , будут соответствовать два слагаемых, которые можно объединить и представить в виде следующего выражения:
Данная функция представляет собой синусоиду с изменяющейся по экспоненте амплитудой и частотой β k . При отрицательной действительной части двух комплексных корней α к, к+1 < 0 , (корни p 4 и p 5 )колебательная составляющая функции будет затухать, а при положительной действительной части α к, к+1 > 0 , (корни p 8 и p 9 ) амплитуда колебаний будет увеличиваться неограниченно. При отсутствии действительной части комплексных корней α к, к+1 = 0 (корни p 6 и p 7 ), ᴛ.ᴇ. наличии только мнимых корней, функция будет представлять собой незатухающую синусоиду с частотой β k .
Исходя из определения устойчивости, в случае если первоначальное положение равновесия принимается за ноль, то у устойчивых систем величина выходного параметра с течением времени должна стремиться к нулю, ᴛ.ᴇ. система сама возвратится в положение равновесия. Необходимым и достаточным условием этого является, чтобы все слагаемые решения дифференциального уравнения (2.21.) с течением времени стремились к нулю, что должна быть достигнуто при отрицательных действительных корнях уравнения, а комплексные корни должны иметь отрицательную действительную часть. Существование хотя бы одного положительного действительного корня или пары комплексных корней с положительной действительной частью приведет к тому, что величина выходного параметра системы не возвратится к первоначальному значению, ᴛ.ᴇ. система будет неустойчивой.
Анализируя местоположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости, представленное на рисунке 62, можно заметить, что САУ является устойчивой, в случае если все корни характеристического уравнения находятся в левой полуплоскости и все они являются действительными отрицательными или комплексными с отрицательной действительной частью. Наличие хотя бы одного корня в правой полуплоскости будет характеризовать неустойчивость системы.
Устойчивость системы является внутренним свойством системы, зависящим только от вида корней характеристического уравнения, описывающего свойства системы, и не зависящим от внешнего воздействия. Необходимым и достаточным условием устойчивости системы является положение всех корней уравнения в левой (отрицательной) полуплоскости.
Положительную и отрицательную полуплоскости, в которых находятся положительные или отрицательные корни характеристического уравнения, обеспечивающие устойчивость или неустойчивость системы, разделяет мнимая ось ± jβ . Данная ось является границей устойчивости, в связи с этим если у характеристического уравнения есть одна пара чисто мнимых корней p k, k+1 =± jβ k , а другие корни находятсяв отрицательной полуплоскости, то система характеризуется наличием незатухающих колебаний с частотой ω = β к. Принято считать, что в таком случае система находится на колебательной границе устойчивости .
Точка β = 0 на мнимой оси соответствует нулевому корню. Считается, что уравнение, имеющее один нулевой корень, находится на апериодической границе устойчивости , а при наличии двух нулевых корней система неустойчива.
Рис.62. Расположение корней характеристического уравнения устойчивой системы на
комплексной плоскости
Не стоит забывать, что уравнения почти всех реальных САУ не являются линейными, а приведены к линейным уравнениям с помощью линеаризации, в связи с этим допущения, сделанные при линеаризации, могут повлиять на правильность определения устойчивости системы.
А. М. Ляпунов в 1892 ᴦ. в своей работе ʼʼОбщая задача об устойчивости движенияʼʼ привел доказательство теоремы, в которой были сделаны следующие выводы для линеаризованных уравнений:
1. В случае если все действительные корни характеристического уравнения системы являются отрицательными, то система считается устойчивой.
2. В случае если хотя бы один действительный корень характеристического уравнения системы положительный, то система считается неустойчивой.
3. В случае если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы один нулевой корень или одну пару мнимых корней, то нельзя судить об устойчивости реальной системы по линеаризованному уравнению.
Следовательно, вывод об устойчивости реальных систем крайне важно делать на базе анализа исходного нелинейного уравнения и для определения неустойчивости или устойчивости системы будет достаточно выявить положительность (отрицательность) действительных корней характеристического уравнения.
Критериями устойчивости называют определенные правила, по которым в теории автоматического управления определяют знаки корней характеристического уравнения, не решая его. Различают алгебраические и частотные критерии устойчивости.
Алгебраическими критериями устойчивости системыназывают крайне важно е и достаточное условие отрицательности корней при определенных значениях коэффициентов в характеристическом уравнении.
Частотными критериями устойчивости системы установлена зависимость устойчивости системы от формы частотных характеристик системы.
Устойчивость САУ, общие понятия устойчивости - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Устойчивость САУ, общие понятия устойчивости" 2017, 2018.