Изучение темы «Проценты» в современной школе. Задачи на проценты Дисконтирование и его сущность

Отправляя ребенка в школу, многие родители переживают за то, что они не смогут помочь им решить простую задачу , упав, тем самым, в глазах детей. Этого не надо бояться, а чтобы избежать подобных ситуаций , вам придется вспоминать некогда полученные знания, а может и учиться по-новому. Если задачи, предлагаемые в начальных классах, вы еще можете решать, то далеко не каждый может справиться с программой пятого класса, а именно на этом этапе ребенку предстоит узнать, что такое проценты, а вам придется думать, как объяснить ребенку проценты в математике. Покопавшись в своей памяти, многие найдут решение вопроса, но если вы забыли, как вычислять проценты, придется садиться за учебники.

Учим ребенка вычислять проценты

Учитель математики точно знает, как объяснить ребенку проценты по математике, научит он и другим арифметическим действиям, но не все дети наделены способностью воспринимать информацию на слух или из книг самостоятельно. В этом случае они обратятся к родителям, которые должны объяснить, как вычислить процентную долю чего-либо. Если вы не знаете, как объяснить проценты школьнику, постарайтесь перевести занятие в увлекательную игру . Возможно, для этого вам придется нарисовать 100 фигур, но это того стоит, ведь так вы сможете объяснить все наглядно. Вы должны рассказать, что все сто фигур это и есть 100%, а если раскрасить 50 фигур в какой-либо цвет, то нераскрашенных фигур останется ровно половина, а половина – это 50%.

Вероятнее всего, ребенку понравится такая игра, при этом у вас есть возможности для маневра – вы можете раскрасить любое количество фигур, предложив ребенку их посчитать. Ведь здесь все просто – 30 раскрашенных фигур – 30% и так далее. После того, как ребенок на наглядных примерах осознал, что такое проценты, вы можете решать, как вычислять процентную долю от количества. Если вы не знаете, как объяснить ребенку тему проценты 5,6 класс, предложите ему решить простую задачу, вычислив 50 процентов от какого-либо количества людей. Для этого ему достаточно разделить 50 на 100 и умножить на общее количество людей. Существуют и другие возможности, при этом не стоит забывать несколько забытые пропорции, которые для вычисления процентной доли подходят наилучшим образом.

Применяем проценты в жизни

Чтобы ребенок лучше осваивал проценты, и если вы еще не поняли, как объяснить ребенку задачи на проценты 5,6 класс, для начала постарайтесь объяснить, а для чего это ему нужно, в принципе. Для этого вам придется проявить изобретательность. Возьмите, к примеру, ребенка в банк и попытайтесь ему объяснить, что такое проценты на примере процентной ставки по кредиту. Ребенку это должно быть интересно, и он поймет, что знание процентов – это важно, и теперь вы можете спокойно приступать к изучению процентов. Вы можете применять вспоминать о процентах и в других жизненных ситуациях , главное, чтобы ребенку это было интересно, и он понимал, что если он не будет разбираться в процентах, многое потеряет.

Первое, что должен усвоить ребенок – это то, что процент представляет собой сотую часть числа. Вы можете перевести проценты в десятичную дробь, разделив необходимое число на 100, а чтобы перевести десятичную дробь в проценты, вам надо сделать все наоборот – умножить дробное число на 100. Если ребенок заинтересовался изучением процентов, предложите ему выучить наизусть таблицу, в которой указаны соотношения дробей и процентов, облегчив усвоение информации при помощи интересных картинок.

Перейдя в пятый класс, школьники сталкиваются с новым типом математических задач – задачами на проценты. Для многих из них эта тема бывает достаточно трудной. Как объяснить нахождение процентов?

Инструкция

Ребенок обычно быстро понимает задачи на простые числа . Например, если в одном рубле 100 копеек, 50 копеек – это 50 процентов. Гораздо труднее объяснить, что проценты можно найти от любой величины. Разобравшись с простыми величинами: граммами и килограммами, сантиметрами и метрами – переходите к более сложным вопросам.

1200 костюмов – 100%

Х костюмов – 30%

Х (1200 * 30)/100.
Нужно просто умножить числа крест-накрест и решить получившееся уравнение. Не волнуйтесь, если вам кажется, что ребенок решает механически. Пока ему и не нужно глубоко вдумываться в суть, самое главное, чтобы он запомнил алгоритм действий, этого хватит для решения школьных задач. Будьте терпеливы, не кричите на ребенка и не сердитесь на него. Ведь ему кажется, что эта информация очень сложная, непонятная и совсем не нужная. Попробуйте предложить ему практические задачи , например, для семейного бюджета .

Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как объяснять проценты" Как оформить портфолио ученика начальной школы Как оформить стенгазету о русском языке Как оформить титульный лист реферата школьника

Инструкция

Расскажите ребенку историю о том, как вообще появилось слово процент. Оно произошло от латинского “pro centum”, что переводится как «сотая доля». В дальнейшем в учебнике Матье де ла Порта по коммерческой арифметике была сделана опечатка, из-за которой и появился знак %. Таким образом, самое главное – усвоить, что процент – это одна сотая часть от любого числа.

Ребенок обычно быстро понимает задачи на простые числа. Например, если в одном рубле 100 копеек, 50 копеек – это 50 процентов. Гораздо труднее объяснить, что проценты можно найти от любой величины. Разобравшись с простыми величинами: граммами и килограммами, сантиметрами и метрами – переходите к более сложным вопросам.

Если ребенок не может понять саму суть процентов, научите его решать задачи по алгоритму, следя, чтобы он не пропускал ни одной ступени решения. Например, задача: швейная фабрика выпустила за год 1200 костюмов. Из них 30% костюмы синего цвета. Сколько костюмов синего цвета выпустила фабрика? Сначала найдите, сколько костюмов составляют 1%. Для этого разделите общее количество на 100. 1200/100 = 12. То есть каждые 12 костюмов – это 1 процент. Затем умножьте 12 на 30% и получите нужный ответ.

Можно воспользоваться старым «дедушкиным» методом пропорции. В школах теперь его почему-то показывают редко, а работает он безотказно. Из той же самой задачи:

1200 костюмов – 100%
Х костюмов – 30%
Х (1200 * 30)/100.

Нужно просто умножить числа крест-накрест и решить получившееся уравнение. Не волнуйтесь, если вам кажется, что ребенок решает механически. Пока ему и не нужно глубоко вдумываться в суть, самое главное, чтобы он запомнил алгоритм действий, этого хватит для решения школьных задач. Будьте терпеливы, не кричите на ребенка и не сердитесь на него. Ведь ему кажется, что эта информация очень сложная, непонятная и совсем не нужная. Попробуйте предложить ему практические задачи, например, для семейного бюджета.

Как просто

Другие новости по теме:

Процент от числа - это сотая доля этого числа, обозначается 1%. Сто процентов (100%) равно самому числу, а 10% от числа равно десятой доли этого числа. Под вычитанием процентов понимают уменьшение числа на какую то долю. Вам понадобится Калькулятор, лист бумаги, ручка, навыки устного счета. Спонсор

Экономистам и техникам часто приходится высчитывать проценты от числа. Бухгалтерам нужно правильно посчитать налоги, банкирам – доходы (проценты) по вкладам, инженерам – допустимые отклонения параметров. Во всех подобных случаях необходимо считать проценты от какого-то известного значения . Вам

Всё познается в сравнении. Отношение некоторых величин друг к другу можно выразить в процентах. Например, посчитав, какой процент жидкости от основной массы содержится в 1 кг помидоров и огурцов, вы узнаете, что будет сочнее. Вам понадобится 1) Бумага 2) Ручка 3) Калькулятор Спонсор размещения

Одним процентом от числа называют сотую долю этого числа и обозначают 1%. Поэтому 100% этого числа равно самому числу, также как 20% числа равны двадцати сотым долям этого числа. Вам понадобится Калькулятор, элементарные знания по математике. Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как найти процент

Слово "процент" означает сотую доля числа, а доля - это, соответственно, часть чего-то. Следовательно, чтобы определить процент от числа, необходимо найти долю от него, учитывая что исходное число является целой сотней. Для произведения данного действия нужно уметь решать пропорции. Спонсор

С необходимостью высчитать проценты человек сталкивается постоянно, иной раз даже сам того не осознавая. И не только на экзамене по математике, но и, например, пытаясь определить, какую часть от совокупного дохода семьи составляют коммунальные платежи или оплата за детский сад . И многих

С задачами на проценты приходится сталкиваться не только школьнику. Как правило, в школьных заданиях требуется либо найти численное выражение определенного количества процентов, либо сколько процентов составляет то или иное число. Чтобы успешно справляться с подобными задачами, необходимо прежде

Со стажем, доподлинно известно, какой страх навевают некоторые темы у школьников, не зависимо, в каком они учатся классе, и сколько знаний сумели накопить в своих “сокровищницах”.

Одной из таких тем является изучение процентов . Почему пытаются обходить их стороной учащиеся? Тоже понятно Для них это тако-о-о-о-о-е “страшное” понятие, что, как только они слышат в тексте задачи этот термин, чуть ли не лезут под парты прятаться.

Причин несколько.

Естественно – незнание материала, это во-первых. Во-вторых…

На этом можно было бы и остановиться. Потому что уже и первой причины достаточно, чтобы понять: у учащихся не сформировано ПРАВИЛЬНОЕ понимание, что такое “процент”. А значит, и восприятие дальнейшего материала будет идти вразрез с их знаниями по этой теме.

Но откуда берется непонимание? Очень просто. Я представляю себе некую логическую цепочку, которая в конечном итоге приводит к отсутствию мотивации и практической направленности объясняемой на уроке темы о процентах.

Одним словом, интерес решает все!

Будет интерес – будет внимание, а значит и стимул на изучение процентов . А оттуда – желание разобраться и понять. А запоминание материала (если оно нужно; лично я в этом не уверена) придет само собой.

И в данной статье я хочу привести несколько житейских фактов, но с математическим уклоном по теме “Проценты”. Потому как считаю, что абсолютно каждый из нас повседневно сталкивается с этим понятием, но возможно, даже не догадывается об этом.

Где же мы можем “обнаружить” проценты ? АБСОЛЮТНО везде. Убедитесь сами.

1) Из пшеницы получают 80%муки.

2) Молоко дает 25% сметаны, а сметана – 20% масла.

3) Сахарная свекла содержит 20% сахара.

4) Грибы при сушке теряют 79% влаги.

5) Пчела за один раз несет 60% от 1 грамма нектара.

6) Человек имеет 7,5% крови от общей массы тела.

7) Сосна каждый год вырастает на 15%.

8) Латунь – это сплав цинка и меди в отношении 40% и 60% соответственно.

9) 1 куб.м. пшеницы весит 70% от 1 тоны, снег – 14,3% от 1 тонны, а воздух – 0,13% от тонны.

10) Скорость полета вороны составляет 68% от скорости полета грача.

Надеюсь, приведенные факты – хоть как-то дали вам представление убедиться, что с процентами мы встречаемся на каждом шагу.

Мы даже все чаще в разговорной речи употребляем этот термин.

«Работать за проценты» - работать за вознаграждение, исчисляемое в зависимости от прибыли или оборота.
« Ручаюсь на все сто процентов» - надежный во всех отношениях; можно полностью доверять.
«В банк под проценты» - положить деньги на депозит с перспективой получить прирост от вложенных денег.

Вопрос теперь в другом: как понять, что обозначают эти данные. Так сказать,

Разберемся пока с теорией.

Процент - (лат.«pro centum» ) одна сотая доля. Обозначается знаком «%». Используется для обозначения доли чего-либо по отношению к целому. Например, 17 % от 500 кг означает 17 частей по 5 кг каждая, то есть 85 кг.

Т.е. если целое разделить на 100 равных частей , то 1 часть и будет обозначать 1%. 1%=1/100

Отсюда, легко понять, что:

Понятно, что на этом не заканчивается изучение процентов . Наоборот, оно только начинается. Существуют различные типы задач на эту тему. И в следующих статьях мы обязательно разберем их. А в завершение данной статьи я еще раз предлагаю окунуться в мир , где “главным действующим лицом ” являются проценты.

Знаете ли вы, что еще в XV-XVI веках индейцы культуры Чонос (Эквадор) выплавляли медь с содержанием 99,5 %.

Примерно 10 процентов американских домохозяек одевают своих домашних питомцев в праздничные костюмы на Хелловин (Hellowin) , а 99 процентов тыкв, продающихся в США служат единственной цели – декорации на этот праздник.

14% едят арбуз вместе с семечками.

Язык хамелеона на 200% длиннее его тела.

Только 1% бактерий вызывает недуги у человека.

Медуза на 95 процентов состоит из воды.

Только 55% американцев знают, что Солнце – это звезда.

10 процентов мужчин и 8 процентов женщин на Земле – левши.

Главные опасения жителей стран ЕС: Атомная война – 49%, климатические катастрофы – 43%, загрязнение среды – 36%, аварии на ядерных реакторах – 35%, клонирование людей – 28%, опасность утечки смертоносных бактерии из генных лабораторий – 26%, исчезновение лесов – 20%, исчезновение животных и растительных видов – 17%, истощение запасов нефти – 7%, избыток информации – 5%, падение метеоритов – 3%, вторжение инопланетян – 1 %.

И наконец, еще один удивительный факт : зрачок человека увеличивается на 45 процентов, когда человек смотрит на что-нибудь приятное.

Надеюсь, и вам, уважаемый читатель, приятно было оказаться на статье, посвященной изучению процентов, и познать для себя что-то новое и полезное.

Конкретные задачи на проценты будут рассмотрены в отдельной статье.

Оставьте, пожалуйста, свой комментарий по этому вопросу ниже.

Ученица 9Б класса

Руководитель: Дробкова Ольга Сергеевна, учитель математики

ВВЕДЕНИЕ

Проценты - это одна из сложнейших тем математики, и очень многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать задачи на проценты. А понимание процентов и умение производить процентные расчёты необходимы для каждого человека. Я считаю, что эта тема актуальна в наше время. Ведь почти во всех областях человеческой деятельности встречаются проценты. Без понятия «процент» нельзя обойтись ни в бухгалтерии, ни в финансовом деле , ни в статистике. Чтобы начислить зарплату работнику, нужно знать процент налоговых отчислений ; чтобы открыть счёт в сбербанке или взять кредит, наши родители интересуются размером процентных начислений на сумму вклада и процентом по кредиту; чтобы знать приблизительный рост цен в будущем году, мы интересуемся процентом инфляции. В торговле понятие «процент» используется наиболее часто. Мы очень часто можем слышать о скидках, наценках, уценках, прибыли, кредитах, и т.д. - всё это проценты. Современному человеку необходимо хорошо ориентироваться в большом потоке информации, принимать правильные решения в разных жизненных ситуациях. Для этого необходимо хорошо производить процентные расчёты.

Таким образом, изучая данную тему, мы выясним, какое значение проценты имеют в нашей жизни.

Цель исследования: показать широту применения процентных вычислений в реальной жизни .

Задачи: изучить литературу по данной теме; рассмотреть необходимость использования процентов; исследовать сферы деятельности человека, в которых используются проценты.

ПОНЯТИЕ ПРОЦЕНТА

Процент - это одна сотая часть от числа. Процент записывается с помощью знака %.

Чтобы перевести проценты в дробь, нужно убрать знак % и разделить число на 100.

Чтобы перевести десятичную дробь в проценты, нужно дробь умножить на 100 и добавить знак %.

Чтобы перевести обыкновенную дробь в проценты, нужно сначала превратить её в десятичную дробь, а потом умножить на 100 и добавить знак %.

Как вы поняли, проценты тесно связаны с обыкновенными и десятичными дробями. Поэтому стоит запомнить несколько простых равенств. В повседневной жизни нужно знать о числовой связи дробей и процентов. Так, половина - 50%, четверть - 25%, три четверти - 75%, одна пятая - 20%, а три пятых - 60%.

Знание наизусть соотношений из таблицы внизу облегчит вам решение многих задач.



Проценты

2. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ЗАДАЧ НА ПРОЦЕНТЫ

Основными задачами на проценты являются следующие:

Пример 1. В школе 940 учеников. Из них 15 % занимаются в музыкальной школе. Сколько учащихся посещает музыкальную школу?

Решение : т.к 15%=0,15, то для решения задачи надо умножить 940 на 0,15. Получим,

Значит, музыкальную школу посещают 141 ученик.

Ответ: 141 ученик.

Нахождение числа по процентам
Пример 2. В школьной библиотеке 2100 учебников, что составляет 40 % от всех книг. Сколько книг в библиотечном фонде школы?

Решение: Обозначим общее количество книг через x- это 100%. По условию 40% составляют учебники, их 2100 штук. Составим пропорцию:Значит,

Ответ: 5250 книг находится в школьной библиотеке.

Пример 3. В школе 800 учащихся, 16 из них являются отличниками. Сколько процентов учащихся школы учится на «5»?

Решение: Всего в школе 800 учащихся - это 100%. Процент учащихся, обучающихся на «5», обозначим за х. Составим пропорцию . Значит,

Ответ: 2% обучающихся являются отличниками.

3 . ИССЛЕДОВАНИЕ ПО ТЕМЕ «ПРОЦЕНТЫ»

Для того чтобы выяснить, какое место в нашей жизни занимают проценты, мы решили выяснить, где мы можем встретить проценты:

1. В магазинах во время праздников появляются скидки, которые выражаются в процентах, например, в магазине одежды при покупке 2 вещей скидка 10% и т.д.

Задача . На сезонной распродаже магазин верхней одежды снизил цены на шубы сначала на 20%, а потом еще на 10%. Сколько рублей можно сэкономить при покупке шубы, если до снижения цен они стоили 18000 р.?

Решение:

1 способ решения:

Стоимость шубы 18000 рублей - это 100%. Найдем сколько рублей составит 20% скидка: , Значит, руб. Таким образом, цена на шубу составит 18000-3600=14400 руб. После второй уценки новая цена шуб снизилась еще 10% , что составит 1440рублей. В итоге шубы подешевели на 5040 рублей;

2 способ решения:

18000-18000●0,2=14400 (руб) - цена на шубу после 20% скидки

14400-14400●0,1=12960 (руб) - цена на шубу после второй 10% скидки

18000-12960=5040 (руб) - сэкономит покупатель.

2. В процентах указывают состав ткани, например, при покупке костюма, в котором 60% cotton (хлопка) и 40% синтетика и т.д.;

3. В процентах выражены различные статистические данные по населению, по выпуску определенной продукции и т.д.;

4. При покупке какого-либо изделия в кредит необходимо уметь высчитывать проценты;

5. В школе в процентах вычисляют успеваемость и качество знаний учащихся;

6.Бухгалтерами при начислении заработной платы. Например, у нас, в селе Шира, идет доплата 30% северных и 30% сельских.

Задача . При приёме на работу директор предприятия предлагает Вам оклад 14 000 рублей. Какую сумму получите Вы после доплат: 30% северных и 30% сельских, и удержания налога на доходы физических лиц ?

Решение:

1 способ решения:

В сего доплаты составляют 60 %, т.е. . Значит, рублей составляют надбавки. Таким образом, начисление с доплатами будет равно 14000+8400= 22400 (14000*1,6=22400). Теперь посчитаем, сколько Вы получите на руки после удержания налога на доходы физических лиц (этот налог составляет 13%) :

руб. - составляет налог

22400-2912=19488 рублей.

2 способ решения:

в бухгалтерии,

в повседневной жизни и т.д.

Трудно назвать область, где бы ни использовались проценты. Применение в жизни процентных расчетов полностью рассмотреть очень сложно, так как проценты применяются во всех сферах жизнедеятельности человека.

В своей работе я показала применение понятия процента при решении различных задач, рассмотрела основные типы задач на проценты.

Данная тема оставляет широкое поле для дальнейших исследований. Задачи на проценты имеют большое практическое значение и приобретенные знания, я надеюсь, помогут мне в дальнейшей жизни. Я планирую развивать начатую тему, рассмотреть более подробно проценты в банковской сфере. Чтобы быть современным человеком , необходимо иметь возможность самому вычислять возможные выплаты по кредиту или хотя бы примерно знать, стоит ли брать кредит или ссуду.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Боровских А. Что такое процент? / А. Боровских, Н. Розов // Математика.- 2012.- №1.- стр.23-25;
Валиева Ю. Проценты в прошлом и настоящем / Ю. Валиева // Математика.- 2012.- №9.- стр.13-15;
Дятлов В. Технологии решения задач. Лекция 15. Текстовые задачи с участием процентов и долевого содержания / В. Дятлов // Математика.- 2013.- №11.- стр.44-49;
Зубарева И.И. Математика. 5 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. - 12-е издание, испр. и доп. - М.: Мнемозина, 2012. - 270 с.;
Петрова И.Н. Проценты на все случаи жизни / И.Н. Петрова. - М., Просвещение, 2006;
Тумашева О.В. Урок математики в 5-6 классах: учебно-методическое пособие / О.В. Тумашева; Краснояр. Гос. Пед. Университет им. В.П. Астафьева. - Красноярск, 2007 - 104 с.

, цикл статей про личные финансы.

Сегодня поговорим про проценты.

Невозможно инвестировать не понимая, что такое процент и как считается доходность.

С простыми процентами как правило проблем не бывает, каждый кто хоть раз держал деньги на депозите в банке понимает, что, например, ставка процента 10% годовых на вклад 50 000 руб. даст 5000 дохода за год.

Сложнее понять действие сложного процента, а он очень важен именно в долгосрочном инвестировании, т.е. когда инвестиции делаются с целью обеспечения финансовой свободы.

По сути при сложном проценте процентный доход вновь инвестируется, увеличивая размер вклада. Вот пример, допустим у вас есть 100 000 руб. и на них Вы получаете 10% дохода, т.е. 10 000 руб. в год.

В первый год Вы получили 10000 руб. и Ваш вклад увеличился на эти 10 000 составив 110 000 руб.

Во второй год Ваш доход уже составит 10% от 110 000 руб., т.е. 11000 руб., которые Вы также добавляете к вкладу, который становится уже 110 000 + 11 000 = 121 000 руб.

Третий год: Ваша 121 тысяча рублей приносит опять 10%, что в рублях 12100 руб., а Ваш вклад в конце третьего года составит 121 000 + 12100=133 100 руб.

И т.д.

В формализованном виде сложные проценты записываются так:

FV = PV (1 + r) ^ n

где FV – будущая стоимость вклада; PV – начальная стоимость вклада; r – ставка дохода (доходность); n – число периодов.

Ну проверьте формулу на нашем примере FV = 10000 (1 + 0,1)^3 = 133 100 руб. Как видите все сошлось 🙂

Когда Вы инвестируете на долгие сроки, тогда значение сложных процентов возрастает очень сильно.

Представьте себе такой пример, если молоко будет дорожать на 10% в год, сколько оно будет стоить через 20 лет? Если сегодня молоко стоит 30 рублей за литр, то допуская рост стоимости молока на 10% в год, через 20 лет молоко будет стоить FV = 30 (1+0,1)^20 = 201 рубль 82 копейки!

Этот пример кстати говоря очень хорошо показывает необходимость инвестирования, сохранения своих капиталов, так как они обесцениваются так же по формуле сложных процентов.

Эту формулу еще называют “формула Ротшильда”, “формула дьявола”, а на английском и в финансовых кругах это называется “компаундинг”.

Все на земле меняется по формуле сложных процентов: инфляция, рост потребления нефти или пшеницы, меняется население земли и т.д.

Когда Вы инвестируете процент работает за Вас, вот пример я раньше приводил по поводу пенсий :

Какую же сумму удастся накопить среднестатистическому россиянину, если он будет инвестировать по 3000 руб. в месяц в течение 30 лет? Предположим, что рост его инвестиций составит 5% в год, а доходность инвестиций будет равна 17% годовых.

Через 30 лет накопится 32 022 812 руб. Так сложный процент работает на Вас, выступая таким рычагом, увеличивающим ваш вклад.

Но он работает и против, когда Вы берете кредиты, например.

В принципе существуют программы, которые позволяют считать сложные проценты и связанные с ними формулы аннуитетов (аннуитетом считается ряд платежей, которые одинаковы (или меняются по закономерности) и отстоят друг от друга на одинаковый период времени, аннуитетом считается и пример с накоплением 3000 руб. в месяц выше и ежемесячная равная выплата по кредиту в течении времени).

Вы сами можете попробовать, я пользуюсь вот такой программой для iPad , она бесплатная, там у них есть варианты и для Android.

На рисунке показан пример расчета размера выплат по кредиту с использованием данной программы.

Там же можно будет попробовать и другие финансовые расчеты провести, например, подсчитать сложные проценты и аннуитеты.

Пробуйте, главное понять сам принцип.

Деньги настолько прочно вошли в нашу жизнь, что все мы — вне зависимости от возраста, пола и способа получения дохода время от времени попадаем в ситуации, когда мы вынуждены принимать решения, требующие финансовых расчетов. И тогда от нашей способности оперировать конкретными финансовыми категориями зависит, насколько выгодным будет выбранный нами вариант. В данной статье мы рассмотрим основные категории финансовой математики и покажем, как с их помощью принимать верные решения в самых различных ситуациях.

Проценты. Сложные проценты. Капитализация процентов (Compaunding)

Процентами называют доход, полученный в качестве платы за предоставление денег в долг в любой форме. Проценты могут выражаться в абсолютной и относительной форме. Абсолютная форма — это конкретная сумма за определенный период. Относительная — в виде процентной ставки, привязанной к оговоренному периоду (год, месяц или день). Чтобы рассчитать наращенную сумму (S), под которой мы будем понимать основную сумму плюс накопленные проценты, необходимо воспользоваться следующей формулой:

(1) S = P * (1 + i * n),
где P — сумма, на которую начисляется процент, i — процентная ставка, N — количество периодов начисления.

Пример
Вы предоставили знакомому заем в размере 10,000$ на 3 месяца, по условиям которого он обещает выплачивать вам 2% в месяц. Необходимо рассчитать сумму, которую вы получите в конце срока пользования займом. Получаем 10,000 * (1 + 2% * 3) = 10,600$.

Часто можно встретить ситуацию, когда проценты не выплачиваются, а присоединяются к вложенной сумме и с нового периода начисление производится уже на сумму с учетом присоединенных ранее процентов. Такой процент называется сложным, а процесс начисления процентов на процент — капитализацией процентов. В случае сложного процента наращенная сумма рассчитывается по-другому:

(2) S = P * (1 + i) ^ n,
где значение букв то же, что и в формуле выше, а знак «^» означает возведение в степень.

В чем отличие сложных и простых процентов? Если рост простых процентов происходит линейно (на одинаковую сумму каждый период), то сложные проценты растут экспоненциально (каждый последующий период сумма процентов больше, чем в предыдущий). Благодаря данному эффекту сумма, размещенная под сложный процент на длительный срок, многократно превосходит рост суммы, размещенной под простой процент. Ниже приведены результаты роста депозита (6% годовых) при простом и сложном проценте. Если в первое время разница остается небольшой, то в последствии одна достигает критического значения. Так, на 80 год на депозит с простым процентом достигнет 58,000$, в то время как депозит со сложным — 1,057,960$.

В практике часто встречается практика, при которой период начисления процентов отличается от целого числа. В такой ситуации, формула расчета наращенной суммы при простом проценте приобретает вид:

(3) S = P * (1 + i * d / 365),
где d — период начисления процентов, выраженный в днях.

Также встречаются ситуации, когда процентная ставка выражается в годовых, но начисление процента происходит ежемесячно. В таких случаях формула расчета наращенной суммы (как правило, в данном случае используются сложные проценты) будет иметь вид:

(4) S = P * (1 + i/m) ^ (n*m),
где m — количество периодов начисления процентов в рамках периода (обычно используется 12 по числу месяцев в году).

И напоследок обратим внимание, что вне зависимости от вида процента, все формулы по расчету наращенной суммы можно привести к общему виду:

(5) S = P * k,
где k — коэффициент наращения, который рассчитывается различными способами в зависимости от применяемого вида процента. Этот вывод существенно облегчит нам понимание последующих математических операций.

Дисконтирование и его сущность

Концепция процентов, которую мы рассмотрели выше, отражает временную стоимость денег. Иными словами, в силу того, что деньги, которыми мы владеем сегодня, завтра могут принести нам доход в результате их размещения под определенный процент, будущие денежные поступления имеют меньшую текущую стоимость. На этом принципе основывается математическая операция, которая получила название дисконтирование. Дисконтирование означает приведение будущих платежей к текущей стоимости и по смыслу является операцией, обратной наращению процентов. То есть дисконтирование рассматривает будущие платежи как наращенную сумму (S) и задача инвестора рассчитать их текущую стоимость (P) из расчета доступной ему процентной ставки (i). В зависимости от вида процента, формула дисконтирования будет иметь следующий вид: или

(6) P = S / (1 + i * n)

(7) P = S / (1 + i) ^ n

Задача дисконтирования показать нам, сколько деньги, которые мы получим в будущем, стоят сегодня, чтобы не переплатить за будущие платежи с точки зрения доступной нам инвестиционной альтернативы. Рассмотрим несколько распространенных операций, в которых применяется дисконтирование.

Приобретение потока будущих платежей (учетные операции)
К приобретению предлагается облигация номинальной стоимостью 1000$ с процентной ставкой 6% годовых, выплата процентов по которой производится ежеквартально, а погашение — в конце года. Задача — рассчитать текущую стоимость обязательства из расчета учетной ставки 15 % годовых.

Решение
Рассчитаем ежеквартальный процентный доход и построим в программе Excel таблицу денежных потоков. Найдем значение текущей стоимости с помощью встроенной формулы ЧПС. Таким образом, при учетной ставке в 15% годовых, текущая стоимость данного финансового обязательства равно 916,22$

Примечание

2) В формуле ЧПС на место процентной ставки ставим годовой процент, деленный на 12

Финансовая эквивалентность
Стороны согласовывают условия по оплате офисного помещения. Цена помещения — 24,000$. Продавец согласен на рассрочку платежа на следующих условиях: 8,000 $ сразу, остальное равными частями в течение 4 месяцев. Однако он готов рассмотреть и больший срок рассрочки, если продавец предложит ему большую сумму за продаваемое помещение.

Решение
Отразим первоначальные условия рассрочки в виде таблицы в программе Excel. Смоделируем в этой же таблице предложение с нарастающими ежемесячными платежами, по итогу которых цена помещения возрастет до 24,400$. Рассчитаем текущую стоимость каждого варианта для сопоставления их эквивалентности из расчета процентной ставки, равной 10% годовых. Из расчета видно, что второй вариант даже при условии более высокой цены покупки более выгоден для покупателя, чем первый

Консолидация платежей
Консолидацией платежей называют операцию по объединению нескольких платежных обязательств в один платеж (S0) в определенный срок (Т0). Особенность данной операции заключается в том, что все платежи, поступление которых ожидается раньше данного срока, рассчитываются наращением, а те, которые ожидаются после него — дисконтированием. В зависимости от вида используемого процента формула консолидации имеет следующий вид:

(8) S = ∑ Pn * (1 + i * (Т0 — Тn))

(9) S = ∑ Pn* (1 + i) ^ (Т0 — Тa))

Пример
Вы открыли банковский вклад 10,000$ на 12 месяцев под 10% годовых. Сколько денег вам необходимо положить на счет на 14 месяц, чтобы через 3 года у вас было на счету 15,000$.

Решение
Представим задачу в виде консолидации платежей, где существующий вклад будет выражен в виде положительного числа, а ожидаемая в будущем сумма — отрицательного. Учитывая, что процент начисляется по ставке сложного процента, получим следующий расчет 10,000 * (1 + 10% / 12) ^ (14-0) — 15,000 * (1 + 10% / 12) ^ (14-36) = 11,232 — 12,496 = -1,264$.

Определение внутренней ставки доходности

В бизнесе и инвестировании часто встречаются ситуации, когда инвестору известны будущие платежи и сумма вложений, и ему необходимо рассчитать коэффициент наращения, при котором сумма будущих платежей, приведенных к текущей стоимости, будет численно равна сумме вложений. Коэффициент наращения, для которого выполняется данное условие, называется внутренней ставкой доходности (ВСД, в англ. — IRR, internal return of return). Для расчета внутренней ставки доходности применяется встроенная функция программы Excel — ВСД.

Пример
Инвестор рассматривает инвестиционное предложение, которое представляет собой долевое участие в открытие пиццерии (см. здесь). Нам известны: а) сумма запрашиваемых инвестиций; б) финансовый план (прогноз денежных потоков); в) схема по распределению денежных потоков. Резюме инвестиционного предложения (см. таблицу) содержит 6 вариантов доходности. Необходимо определить общую доходность инвестиционного предложения для сравнения с иными вариантами инвестиций.

Решение
Построим в программе Excel таблицу денежных потоков, которые получит инвестор согласно финансового плана (см. таблицу). Рассчитаем внутреннюю ставку доходности с помощью встроенной формулы ВСД, где в качестве диапазона значений указываем все значения платежей, включая первоначальные инвестиции. Полученное значение внутренней ставки доходности (ВСД) = 38,47%. Таким образом, общая ожидаемая доходность рассматриваемого инвестиционного предложения составляет 38,47% годовых.

Примечание
1) В периоды, когда платежи отсутствует, ставим «0″.
2) Для получения годовой ставки ВСД полученное значение умножаем на 12.

Аннуитет (финансовая рента)
Поток платежей, все составляющие которого положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют аннуитетом или финансовой рентой. Например, аннуитетом является последовательность получения процентов по облигации, платежи по потребительскому кредиту, регулярные взносы по договорам накопительного страхования, выплата пенсий. Аннуитеты характеризуются следующими параметрами: 1) величиной каждого отдельного платежа; 2) интервалом между платежами; 3) продолжительностью платежей (бывают вечные аннуитеты); 4) процентной ставкой. В силу сложности расчетной формулы, для расчета различных составляющих аннуитета лучше всего использовать встроенные формулы программы Excel. Рассмотрим основные из них.

При расчете кредита используются формулы ПЛТ (рассчитывает сумму ежемесячного платежа), ОСПЛТ (рассчитывает сумму погашения основного долга в составе конкретного ежемесячного платежа), ПРПЛТ (рассчитывает сумму процентов в составе конкретного ежемесячного платежа).

Пример
Необходимо рассчитать ежемесячный платеж и составить график платежей по кредиту, сумма 10,000$, процентная ставка 20%, срок — 20 месяцев.

Решение
Для расчета платежа используем формулу ПЛТ. На место процентной ставки подставляем ежемесячное значение (годовое значение, деленное на 12), в качестве приведенной стоимости указываем сумму кредита, будущая стоимость — указываем 0. Те же значения используем для формул ОСПЛТ и ПРПЛТ, в которых меняется только порядковый номер периода. Полученные значения представим в виде таблицы:

Та же формула ПЛТ может использоваться для расчета ежемесячных взносов для накопления суммы к заданному моменту времени. Для этого на место приведенной стоимости ставим сумму первоначального взноса, а на место будущей стоимости — необходимую сумму.

Пример
Вам 25 лет. Вы открыли пенсионный накопительный счет с процентной ставкой в размере 6% годовых и положили на него ваши накопления в размере 10,000$. Рассчитаем размер ежемесячного платежа, который вам необходимо откладывать на счет, чтобы к 45 годам получить сумму в размере 100,000$.

Решение
Используем функцию ПЛТ. В качестве процентной ставки указываем 6% / 12, количество периодов — 20 * 12, приведенная стоимость — 10,000$, будущая стоимость — 100,000$. В данном случае заполненная формула будет выглядеть так =ПЛТ(6%/12;20*12;10000;100,000). Получаем сумму ежемесячного взноса в размере 288$.

Как вы заметили, в вышеуказанных примерах мы рассчитывали сумму ежемесячного платежа, иные параметры аннуитета нам были известны. Excel позволяет нам рассчитать и иные параметры аннуитета — приведенную стоимость, будущую стоимость, количество периодических платежей. Разберем на примерах как работают эти формулы.

Пример расчета приведенной стоимости
К 10-летию сына вы решили открыть накопительный счет, чтобы его 18-летию накопить на нем 10,000$. Какой первоначальный взнос вам необходимо внести на данный счет, если планируемые ежемесячные взносы составляют 50$?

Решение
Используем функцию ПС. В качестве процентной ставки указываем 6% / 12, количество платежей 8 * 12, периодический платеж — 50$, будущая стоимость — минус 10,000$. В данном случае заполненная формула будет выглядеть так =ПС(6%/12;8*12;50;-10000). Полученное значение первоначального взноса — 2390$.

Примечание
Отрицательное значение в формулах ПС и БС означает «я получу», положительное — «я плачу».

Пример расчета будущей стоимости и количества платежей
Два друга решили обеспечить себе дополнительную пенсию. Для этого каждый из них открыл накопительный счет с доходностью 6% годовых, один внес на него первоначальный взнос в размере 3,000$ , а второй — 5,000$. Первому 25 лет, второму 30, оба хотят выйти на пенсию к 45 годам. Оба готовы отчислять по 50$ ежемесячно. Необходимо рассчитать сумму их пенсионных накоплений и количество месяцев начисления пенсии за счет накопленных средств, если пенсионные выплаты планируются в размере 150$.

Решение
Вначале рассчитаем сумму пенсионных накоплений. Для этого используем формулу БС. В первом случае количество платежей будет равно 20 * 12, во втором — 15 * 12, приведенная стоимость в первом случае 3000$, во втором — 5000$, процентная ставка в обоих случаях будет равна 6% / 12, а периодический платеж — 50$. Собранная формула в первом случае будет выглядеть = БС(6%/12;20*12;50;3000), во втором = БС(6%/12;15*12;50;5000). В первом случае пенсионные накопления составят 33,032$, во втором — 26,811$. Теперь рассчитаем срок, в течение которой накопленная сумма может обеспечить указанные выше пенсионные выплаты. Для этого воспользуемся функцией КПЕР, где в качестве процентной ставки указываем 6%/12, в качестве суммы платежа ставим 150$, в качестве приведенной стоимости подставляем полученные значения. Получаем сумму в месяцах — 149 для первого и 128 для второго.

Примечание
Отрицательное значение в формуле показывает, что мы получаем платежи, в случае, если формула применяется для расчета платежей, которые необходимо оплатить, полученное значение будет положительным.

Вечная рента (перпетуитет) и модель Гордона

Частным случаем аннуитета является последовательность платежей, продолжительность которого условно не определена, в связи с чем данный аннуитет считается вечным. Примером вечного аннутитета могут быть консоли — разновидность ценных бумаг (облигаций), по которым проценты начисляются бессрочно, но возврат номинальной стоимости не производится. На практике, такие ценные бумаги встречаются достаточно редко. Более распространенным примером вечного аннуитета являются дивидендные платежи, которые длительное время выплачиваются некоторыми компаниями своим акционерам. Для расчета стоимости вечного аннуитета используется модель Гордона:

(10) S = P * (1+g) / (r — g) , где S — стоимость аннуитета, P — текущий платеж, g — темп роста текущего платежа, r — норма доходности.

Вышеуказанные формулы является основным перечнем инструментов для вычислений различного рода и позволяют произвести расчеты в отношении любой ситуации. В комментариях к данной статье вы можете описывать ситуации, требующие финансовых расчетов, а я постараюсь показать, как вышеуказанный математический аппарат поможет вам в их решении.

При подготовке статьи использовались материалы из учебного пособия «Финансовая математика» Ширшова Е.В., Н.И. Петрика, Тутыгина А.Г., Меньшикова Т.В., Москва, изд. «Кнорус», 2010 г.