Studieren des Themas "Prozent" in einer modernen Schule. Aufgaben für Zinsen Diskontierung und ihr Wesen

Viele Eltern, die ein Kind zur Schule schicken, befürchten, dass sie ihnen nicht helfen können, ein einfaches Problem zu lösen, und fallen dadurch in die Augen der Kinder. Davor brauchen Sie keine Angst zu haben, und um solche Situationen zu vermeiden, müssen Sie sich an das einmal erworbene Wissen erinnern und vielleicht auf neue Weise lernen. Wenn Sie die in den Grundschulklassen angebotenen Probleme immer noch lösen können, kann nicht jeder mit dem Programm der fünften Klasse fertig werden, und in diesem Stadium muss das Kind lernen, was Prozentsätze sind, und Sie müssen überlegen, wie Sie es erklären sollen Prozentsätze für das Kind in Mathematik. Beim Stöbern in Ihrem Gedächtnis werden viele eine Lösung für das Problem finden, aber wenn Sie vergessen haben, wie man Prozentsätze berechnet, müssen Sie sich für Lehrbücher hinsetzen.

Einem Kind beibringen, Prozentsätze zu berechnen

Ein Mathematiklehrer weiß genau, wie man einem Kind Prozentsätze in Mathematik erklärt, er wird auch andere Rechenoperationen beibringen, aber nicht alle Kinder sind mit der Fähigkeit ausgestattet, Informationen nach Gehör oder aus Büchern selbst wahrzunehmen. In diesem Fall wenden sie sich an ihre Eltern, die ihnen erklären müssen, wie sie den Prozentsatz von etwas berechnen. Wenn Sie nicht wissen, wie Sie einem Schüler Prozentsätze erklären sollen, versuchen Sie, die Lektion in ein spannendes Spiel zu verwandeln. Dafür musst du vielleicht 100 Formen zeichnen, aber es lohnt sich, denn so kannst du alles anschaulich erklären. Sie müssen sagen, dass alle hundert Figuren 100% sind, und wenn Sie 50 Figuren in einer beliebigen Farbe bemalen, bleibt genau die Hälfte der unbemalten Figuren übrig und die Hälfte sind 50%.

Höchstwahrscheinlich wird das Kind dieses Spiel mögen, während Sie Spielraum haben - Sie können eine beliebige Anzahl von Formen ausmalen und das Kind zum Zählen einladen. Hier ist schließlich alles einfach - 30 bemalte Figuren - 30% und so weiter. Sobald Ihr Kind durch Demonstrationen gesehen hat, was Prozente sind, können Sie entscheiden, wie ein Prozentsatz einer Menge berechnet wird. Wenn Sie nicht wissen, wie Sie einem Kind das Thema der Klasse 5,6 erklären sollen, laden Sie es zum Lösen ein eine einfache Aufgabe, wobei 50 Prozent einer beliebigen Anzahl von Personen berechnet werden. Dazu muss er nur 50 durch 100 teilen und mit der Gesamtzahl der Personen multiplizieren. Es gibt noch andere Möglichkeiten, aber man sollte die etwas vergessenen Proportionen nicht vergessen, die sich am besten für die Berechnung eines Prozentsatzes eignen.

Interesse am Leben anwenden

Damit das Kind Prozente besser beherrscht und Sie es noch nicht verstanden haben, dem Kind die Aufgaben für Prozente der Note 5,6 zu erklären, versuchen Sie zunächst zu erklären, warum es das grundsätzlich braucht. Dazu müssen Sie kreativ sein. Nehmen Sie zum Beispiel ein Kind mit zur Bank und versuchen Sie ihm am Beispiel des Zinssatzes für einen Kredit zu erklären, was Zinsen sind. Das Kind sollte daran interessiert sein, und es wird verstehen, dass es wichtig ist, Prozente zu kennen, und jetzt können Sie sicher anfangen, Prozente zu lernen. Sie können sich an Prozentsätze in anderen Lebenssituationen erinnern. Hauptsache, das Kind interessiert sich dafür, und es versteht, dass es viel verlieren wird, wenn es Prozentsätze nicht versteht.

Das erste, was ein Kind lernen muss, ist, dass ein Prozentsatz ein Hundertstel einer Zahl ist. Sie können Prozentsätze in Dezimalzahlen umwandeln, indem Sie die gewünschte Zahl durch 100 dividieren, und um Dezimalzahlen in Prozentzahlen umzuwandeln, müssen Sie das Gegenteil tun - multiplizieren eine Bruchzahl bis 100. Wenn das Kind daran interessiert ist, Prozentsätze zu lernen, fordern Sie es auf, sich eine Tabelle zu merken, die die Verhältnisse von Brüchen und Prozenten zeigt, was es einfacher macht, Informationen mit Hilfe interessanter Bilder aufzunehmen.

In der fünften Klasse werden die Schüler mit einer neuen Art mathematischer Probleme konfrontiert - Prozentaufgaben. Für viele von ihnen ist dieses Thema ziemlich schwierig. Wie ist der Prozentsatz zu erklären?

Anweisung

Das Kind versteht Primzahlprobleme meist schnell. Wenn zum Beispiel ein Rubel 100 Kopeken enthält, sind 50 Kopeken 50 Prozent. Es ist viel schwieriger zu erklären, dass Prozente von jedem Wert gefunden werden können. Nachdem Sie sich mit einfachen Größen befasst haben: Gramm und Kilogramm, Zentimeter und Meter, gehen Sie zu komplexeren Themen über.

1200 Anzüge - 100 %

X Anzüge - 30 %

X (1200 * 30) / 100.
Sie müssen nur die Zahlen kreuzweise multiplizieren und die resultierende Gleichung lösen. Machen Sie sich keine Sorgen, wenn Ihr Kind mechanisch zu denken scheint. Während er nicht tief über das Wesentliche nachdenken muss, ist das Wichtigste, dass er sich an den Algorithmus der Aktionen erinnert, dies reicht aus, um Schulprobleme zu lösen. Seien Sie geduldig, schreien Sie das Kind nicht an und werden Sie nicht wütend auf es. Schließlich erscheinen ihm diese Informationen sehr komplex, unverständlich und völlig unnötig. Versuchen Sie ihm praktische Aufgaben anzubieten, zum Beispiel für die Familienkasse.

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Anweisung

Erzählen Sie Ihrem Kind, wie das Wort Prozent entstanden ist. Es kommt vom lateinischen „pro centum“, was übersetzt „Hundertstel“ bedeutet. Später wurde im Lehrbuch der kaufmännischen Arithmetik von Mathieu de la Porte ein Tippfehler gemacht, aufgrund dessen das %-Zeichen erschien. Das Wichtigste ist also zu lernen, dass ein Prozentsatz ein Hundertstel einer beliebigen Zahl ist.

Das Kind versteht Aufgaben meist schnell Primzahlen. Wenn zum Beispiel ein Rubel 100 Kopeken enthält, sind 50 Kopeken 50 Prozent. Es ist viel schwieriger zu erklären, dass Prozente von jedem Wert gefunden werden können. Nachdem Sie sich mit einfachen Größen befasst haben: Gramm und Kilogramm, Zentimeter und Meter, gehen Sie zu komplexeren Themen über.

Wenn ein Kind die Essenz von Prozentsätzen nicht verstehen kann, bringen Sie ihm bei, Probleme mit einem Algorithmus zu lösen, und stellen Sie sicher, dass es keinen einzigen Schritt der Lösung überspringt. Zum Beispiel eine Aufgabe: Eine Bekleidungsfabrik produziert 1200 Anzüge in einem Jahr. Davon sind 30 % Kostüme von blauer Farbe. Wie viele blaue Anzüge hat die Fabrik produziert? Finden Sie zuerst heraus, wie viele Anzüge 1 % ausmachen. Teilen Sie dazu die Summe durch 100. 1200/100 = 12. Das heißt, alle 12 Farben sind 1 Prozent. Dann multipliziere 12 mit 30 % und erhalte die richtige Antwort.

Sie können die Proportionsmethode des alten "Großvaters" verwenden. Aus irgendeinem Grund wird es jetzt selten in Schulen gezeigt, aber es funktioniert einwandfrei. Aus derselben Ausgabe:

1200 Anzüge - 100 %
X Anzüge - 30 %
X (1200 * 30) / 100.

Sie müssen nur die Zahlen kreuzweise multiplizieren und die resultierende Gleichung lösen. Machen Sie sich keine Sorgen, wenn Ihr Kind mechanisch zu denken scheint. Während er nicht tief über das Wesentliche nachdenken muss, ist das Wichtigste, dass er sich an den Algorithmus der Aktionen erinnert, dies reicht aus, um Schulprobleme zu lösen. Seien Sie geduldig, schreien Sie das Kind nicht an und werden Sie nicht wütend auf es. Schließlich erscheinen ihm diese Informationen sehr komplex, unverständlich und völlig unnötig. Versuchen Sie ihm praktische Aufgaben anzubieten, zum Beispiel für die Familienkasse.

Wie einfach

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Ein Prozentsatz einer Zahl ist ein Hundertstel dieser Zahl, bezeichnet als 1 %. Einhundert Prozent (100 %) entsprechen der Zahl selbst, und 10 % der Zahl entsprechen einem Zehntel dieser Zahl. Mit dem Subtrahieren eines Prozentsatzes meinen wir, eine Zahl um einen Bruchteil zu reduzieren. Sie benötigen einen Taschenrechner, ein Blatt Papier, einen Stift und mentale Zählfähigkeiten. Sponsor

Ökonomen und Techniker müssen oft Prozentsätze einer Zahl berechnen. Buchhalter müssen Steuern korrekt berechnen, Banker - Einkommen (Zinsen) auf Einlagen, Ingenieure - zulässige Abweichungen von Parametern. In all diesen Fällen ist es notwendig, Prozentsätze mit einem bekannten Wert zu berechnen. Für dich

Alles ist relativ. Das Verhältnis einiger Mengen zueinander kann in Prozent ausgedrückt werden. Wenn Sie beispielsweise berechnen, wie viel Prozent Flüssigkeit aus der Masse in 1 kg Tomaten und Gurken enthalten sind, finden Sie heraus, was saftiger ist. Sie benötigen 1) Papier 2) Stift 3) Rechnerplatzierungssponsor

Ein Prozent einer Zahl wird Hundertstel dieser Zahl genannt und bezeichnet 1 %. Daher sind 100 % dieser Zahl gleich der Zahl selbst, genauso wie 20 % der Zahl gleich zwanzig Hundertsteln dieser Zahl sind. Sie benötigen einen Taschenrechner, elementare mathematische Kenntnisse. P&G Placement Sponsor Related Articles "So finden Sie den Prozentsatz

Das Wort "Prozent" bedeutet ein Hundertstel einer Zahl, und ein Bruch ist dementsprechend ein Teil von etwas. Um den Prozentsatz einer Zahl zu bestimmen, ist es daher notwendig, einen Bruchteil davon zu finden, da die ursprüngliche Zahl ein ganzes Hundert ist. Um diese Aktion auszuführen, müssen Sie in der Lage sein, Proportionen zu lösen. Sponsor

Eine Person ist ständig mit der Notwendigkeit konfrontiert, Zinsen zu berechnen, manchmal sogar ohne es zu merken. Und das nicht nur in der Mathe-Klausur, sondern zum Beispiel auch versuchen, herauszufinden, welcher Anteil des gesamten Familieneinkommens auf Stromrechnungen oder die Zahlung für den Kindergarten entfällt. Und viele

Nicht nur der Student hat interessante Aufgaben zu bewältigen. In der Regel muss in Schulaufgaben entweder ein numerischer Ausdruck für eine bestimmte Anzahl von Prozenten gefunden werden oder wie viele Prozente die eine oder andere Zahl ausmachen. Um solche Aufgaben erfolgreich bewältigen zu können, bedarf es

Aus Erfahrung weiß man mit Sicherheit, welche Angst bestimmte Themen bei Schulkindern auslösen, egal in welcher Klasse sie sind, und wie viel Wissen sie in ihren „Schatzkammern“ angesammelt haben.

Eines dieser Themen ist Interesse Studie. Warum versuchen die Schüler, sie zu vermeiden? Das ist auch verständlich, denn für sie ist das ein so „schrecklicher“ Begriff, dass sie sich, sobald sie diesen Begriff im Aufgabentext hören, fast unter den Schreibtisch kriechen.

Es gibt verschiedene Gründe.

Natürlich - Unkenntnis des Materials, das ist das erste. Zweitens…

Das hätte aufhören können. Denn schon der erste Grund reicht aus, um zu verstehen: Die Schüler haben kein RICHTIGES Verständnis davon, was „Prozent“ ist. Dies bedeutet, dass die Wahrnehmung von weiterem Material ihrem Wissen zu diesem Thema zuwiderlaufen wird.

Aber woher kommen Missverständnisse? Sehr einfach. Ich stelle mir eine Art logische Kette vor, die letztendlich zu einem Mangel an Motivation und Praxisbezug des in der Lektion über Prozente erklärten Themas führt.

Mit einem Wort, Interesse ist alles!

Es wird Interesse geben - es wird Aufmerksamkeit geben und daher einen Anreiz dazu Interesse Studie. Und von dort - der Wunsch zu verstehen und zu verstehen. Und das Auswendiglernen des Stoffes (falls nötig, da bin ich mir persönlich nicht sicher) kommt von alleine.

Und in diesem Artikel möchte ich ein paar alltägliche Fakten geben, aber mit einem mathematischen Vorurteil zum Thema „Zinsen“. Denn ich denke, dass absolut jeder von uns täglich mit diesem Begriff konfrontiert wird, sich dessen aber vielleicht nicht einmal bewusst ist.

Wo können wir finden Interesse? ABSOLUT überall. Überzeugen Sie sich selbst.

1) Mehl wird zu 80 % aus Weizen gewonnen.

2) Milch ergibt 25 % Sauerrahm und Sauerrahm ergibt 20 % Butter.

3) Zuckerrüben enthalten 20 % Zucker.

4) Pilze verlieren beim Trocknen 79 % an Feuchtigkeit.

5) Eine Biene trägt 60 % von 1 Gramm Nektar auf einmal.

6) Eine Person hat 7,5 % des Blutes des gesamten Körpergewichts.

7) Kiefer wächst jedes Jahr um 15 %.

8) Messing ist eine Legierung aus Zink und Kupfer im Verhältnis von 40 % bzw. 60 %.

9) 1 Kubikmeter Weizen wiegt 70 % von 1 Tonne, Schnee – 14,3 % von 1 Tonne und Luft – 0,13 % von einer Tonne.

10) Die Fluggeschwindigkeit einer Krähe beträgt 68 % der Fluggeschwindigkeit eines Turms.

Ich hoffe, die obigen Fakten haben Ihnen zumindest irgendwie eine Idee gegeben, um sicherzustellen, dass wir uns bei jedem Schritt an Prozentsätze halten.

Wir verwenden diesen Begriff sogar immer häufiger in der Umgangssprache.

"Arbeit für Interesse" - Arbeit gegen Entgelt, berechnet nach Gewinn oder Umsatz.
„Ich bürge zu 100 Prozent“ – zuverlässig in allen Belangen; kann man sich voll und ganz anvertrauen.
„Zur Bank mit Zinsen“ - Geld auf eine Einlage legen mit der Aussicht, eine Erhöhung des investierten Geldes zu erhalten.

Die Frage ist jetzt anders: Wie kann man verstehen, was diese Daten bedeuten? Sozusagen,

Beschäftigen wir uns erst einmal mit der Theorie.

Prozent - (lat. "Prozent") ein Hundertstel. Gekennzeichnet durch das Zeichen „%“. Wird verwendet, um den Anteil von etwas im Verhältnis zum Ganzen anzugeben. Beispielsweise bedeuten 17 % von 500 kg 17 Stück à 5 kg, also 85 kg.

Diese. Wenn das Ganze in 100 gleiche Teile geteilt wird, dann bedeutet 1 Teil 1 %. 1% = 1/100

Von hier aus ist es leicht zu verstehen:

Offensichtlich endet es nicht dort. Interesse Studie. Im Gegenteil, es fängt gerade erst an. Es gibt verschiedene Arten von Problemen zu diesem Thema. Und in den folgenden Artikeln werden wir sie definitiv analysieren. Und am Ende dieses Artikels schlage ich noch einmal vor, in die Welt einzutauchen, in der der „Protagonist“ interessiert ist.

Weißt du was noch drin ist XV-XVI Jahrhundert Chonos-Indianer (Ecuador) erschmolzen Kupfer mit einem Gehalt von 99,5 %.

Ungefähr 10 Prozent der amerikanischen Hausfrauen verkleiden ihre Haustiere in Feiertagskostümen für Halloween und99 Prozent der in den Vereinigten Staaten verkauften Kürbisse dienen ausschließlich der Dekoration dieses Feiertags.

14 % essen Wassermelonen zusammen mit Samen.

Die Zunge eines Chamäleons ist 200 % länger als sein Körper.

Nur 1 % der Bakterien verursachen beim Menschen Krankheiten.

Quallen bestehen zu 95 Prozent aus Wasser.

Nur 55 % der Amerikaner wissen, dass die Sonne ein Stern ist.

10 Prozent der Männer und 8 Prozent der Frauen auf der Erde sind Linkshänder.

Die Hauptängste der Einwohner der EU-Länder: Atomkrieg – 49 %, Klimakatastrophen – 43 %, Umweltverschmutzung – 36 %, Unfälle in Kernreaktoren – 35 %, Klonen von Menschen – 28 %, die Gefahr des Austretens tödlicher Bakterien aus Genlabors – 26 %, Verschwinden von Wäldern – 20 %, Aussterben von Tier- und Pflanzenarten – 17 %, Erschöpfung der Ölreserven – 7 %, Überschussinformationen – 5 %, Meteoriteneinschlag – 3 %, Invasion von Außerirdischen – 1 %.

Und zum Schluss noch eine erstaunliche Tatsache: Die Pupille einer Person nimmt um 45 Prozent zu, wenn eine Person etwas Angenehmes ansieht.

Ich hoffe, Sie, lieber Leser, haben sich gefreut, einen Artikel über das Studium von Prozentsätzen gefunden zu haben und etwas Neues und Nützliches für sich selbst zu lernen.

Spezifische Aufgaben für Interesse werden in einem separaten Artikel besprochen.

Bitte hinterlassen Sie unten Ihren Kommentar zu diesem Thema.

Schüler der Klasse 9B

Leitung: Drobkova Olga Sergeevna, Mathematiklehrerin

EINFÜHRUNG

Prozentsätze sind eines der schwierigsten Themen in der Mathematik, und viele Schüler finden es schwierig oder überhaupt nicht in der Lage, Prozentaufgaben zu lösen. Und das Verständnis von Prozenten und die Fähigkeit, Prozentrechnungen anzustellen, sind für jeden Menschen notwendig. Ich glaube, dass dieses Thema in unserer Zeit relevant ist. Schließlich gibt es in fast allen Bereichen der menschlichen Tätigkeit Prozentsätze. Auf den Begriff „Prozent“ kann weder im Rechnungswesen noch im Finanzwesen oder in der Statistik verzichtet werden. Um das Gehalt eines Mitarbeiters zu berechnen, müssen Sie den Prozentsatz der Steuerabzüge kennen; um ein Konto bei einer Sparkasse zu eröffnen oder einen Kredit aufzunehmen, interessieren sich unsere Eltern für die Höhe der Zinsen auf die Höhe der Einlage und die Zinsen für den Kredit; Um den ungefähren Preisanstieg im kommenden Jahr zu kennen, interessiert uns der Prozentsatz der Inflation. Im Handel wird am häufigsten der Begriff „Prozent“ verwendet. Wir hören oft von Rabatten, Aufschlägen, Abschlägen, Gewinnen, Gutschriften und so weiter. All dies sind Prozentangaben. Ein moderner Mensch muss sich in einer großen Informationsflut auskennen, um in unterschiedlichen Lebenssituationen die richtigen Entscheidungen treffen zu können. Dazu müssen Sie gute Prozentrechnungen anstellen.

Wenn wir uns also mit diesem Thema befassen, werden wir herausfinden, welche Bedeutung das Interesse in unserem Leben hat.

Zweck der Studie: zeigen die Anwendungsbreite von Prozentrechnungen im realen Leben.

Aufgaben:Literatur zum Thema studieren; berücksichtigen Sie die Notwendigkeit, Zinsen zu verwenden; erkunden Sie Bereiche menschlicher Aktivität, in denen Interesse verwendet wird.

DAS KONZEPT VON PROZENT

Ein Prozentsatz ist ein Hundertstel einer Zahl. Der Prozentsatz wird mit dem %-Zeichen geschrieben.

Um einen Prozentsatz in einen Bruch umzuwandeln, entfernen Sie das %-Zeichen und teilen Sie die Zahl durch 100.

Um eine Dezimalzahl in Prozent umzuwandeln, multipliziere den Bruch mit 100 und füge das %-Zeichen hinzu.

Um einen Bruch in einen Prozentsatz umzuwandeln, musst du ihn zuerst in eine Dezimalzahl umwandeln, dann mit 100 multiplizieren und das %-Zeichen hinzufügen.

Wie Sie wissen, sind Prozentsätze eng mit gewöhnlichen Brüchen und Dezimalbrüchen verbunden. Daher lohnt es sich, sich an einige einfache Gleichungen zu erinnern. Im Alltag muss man sich mit dem Zahlenverhältnis von Brüchen und Prozenten auskennen. Also die Hälfte – 50 %, ein Viertel – 25 %, drei Viertel – 75 %, ein Fünftel – 20 % und drei Fünftel – 60 %.

Wenn Sie die Verhältnisse aus der folgenden Tabelle auswendig kennen, können Sie viele Probleme leichter lösen.



Interesse

2. HAUPTARTEN VON INTERESSENAUFGABEN

Die Hauptaufgaben für das Interesse sind die folgenden:

Beispiel 1 Die Schule hat 940 Schüler. Davon sind 15 % in einer Musikschule engagiert. Wie viele Schüler besuchen die Musikschule?

Lösung : seit 15% \u003d 0,15, dann müssen Sie 940 mit 0,15 multiplizieren, um das Problem zu lösen. Wir bekommen

Damit besuchen 141 Schüler die Musikschule.

Antwort: 141 Studierende.

Eine Zahl nach Prozent finden
Beispiel 2 Die Schulbibliothek verfügt über 2100 Lehrbücher, das sind 40 % aller Bücher. Wie viele Bücher sind in der Schulbibliothek?

Lösung: Bezeichnen wir die Gesamtzahl der Bücher als x – das sind 100 %. Laut Bedingung sind 40 % Lehrbücher, davon gibt es 2100. Machen wir eine Proportion: Also,

Antwort: Es gibt 5250 Bücher in der Schulbibliothek.

Beispiel 3 Die Schule hat 800 Schüler, 16 von ihnen sind hervorragende Schüler. Wie viele Prozent der Schüler in der Schule studieren bei "5"?

Lösung: Insgesamt gibt es 800 Schüler in der Schule - das sind 100%. Der Prozentsatz der Studenten, die in "5" eingeschrieben sind, gekennzeichnet durch x. Machen wir eine Proportion. Bedeutet,

Antwort: 2 % der Studierenden sind hervorragende Studierende.

3 . INTERESSE FORSCHUNG

Um herauszufinden, welchen Platz Prozentsätze in unserem Leben einnehmen, haben wir uns entschieden, herauszufinden, wo wir Prozentsätze treffen können:

1. Während der Feiertage erscheinen in Geschäften Rabatte, die als Prozentsatz ausgedrückt werden, z. B. in einem Bekleidungsgeschäft, beim Kauf von 2 Artikeln 10% Rabatt usw.

Aufgabe . Beim Saisonverkauf reduzierte das Oberbekleidungsgeschäft die Preise für Pelzmäntel zunächst um 20 % und dann um weitere 10 %. Wie viele Rubel können beim Kauf eines Pelzmantels gespart werden, wenn sie vor der Preissenkung 18.000 Rubel kosten?

Lösung:

1 Lösungsweg:

Die Kosten für einen Pelzmantel betragen 18.000 Rubel - das sind 100%. Lassen Sie uns herausfinden, wie viele Rubel ein Rabatt von 20% sind: Also, reiben. Somit beträgt der Preis für einen Pelzmantel 18000-3600=14400 Rubel.Nach dem zweiten Abschlag sank der Neupreis für Pelzmäntel um weitere 10%, was 1440 Rubel betragen wird. Infolgedessen fielen Pelzmäntel um 5040 Rubel im Preis;

2 Wege zu lösen:

18000-18000●0,2=14400 (reiben) - der Preis eines Pelzmantels nach 20% Rabatt

14400-14400●0,1=12960 (reiben) - der Preis eines Pelzmantels nach dem zweiten Rabatt von 10%

18000-12960=5040 (reiben) - der Käufer spart.

2. Geben Sie in Prozent die Zusammensetzung des Stoffes an, z. B. beim Kauf eines Anzugs, bei dem 60% Baumwolle (Baumwolle) und 40% Synthetik usw .;

3. Verschiedene statistische Daten über die Bevölkerung, über die Freisetzung bestimmter Produkte usw. werden in Prozent ausgedrückt;

4. Beim Kauf eines Produkts auf Kredit müssen Sie Zinsen berechnen können;

5. Die Schule berechnet den Fortschritt und die Qualität des Wissens der Schüler in Prozent;

6. Buchhalter in der Gehaltsabrechnung. Zum Beispiel gibt es in unserem Dorf Shira eine zusätzliche Zahlung von 30 % für nördliche und 30 % für ländliche Gebiete.

Aufgabe . Bei der Einstellung bietet Ihnen der Direktor des Unternehmens ein Gehalt von 14.000 Rubel an. Welchen Betrag erhalten Sie nach zusätzlichen Zahlungen: 30 % nördliche und 30 % ländliche Einkommenssteuer?

Lösung:

1 Lösungsweg:

IN dieses Zuschlags beträgt 60 %, d.h.. Bedeutet, Rubel sind Zulagen. Somit beträgt die Abgrenzung mit Zuschlägen 14000 + 8400 = 22400 (14000 * 1,6 = 22400). Lassen Sie uns nun berechnen, wie viel Sie nach Abzug der Einkommenssteuer erhalten (diese Steuer beträgt 13 %). :

reiben. - macht eine Steuer

22400-2912=19488 Rubel.

2 Wege zu lösen:

in der Buchhaltung,

im Alltag usw.

Es ist schwierig, einen Bereich zu nennen, in dem keine Prozentsätze verwendet werden. Es ist sehr schwierig, die Verwendung von Zinsberechnungen im Leben vollständig zu berücksichtigen, da Zinsen in allen Bereichen des menschlichen Lebens verwendet werden.

In meiner Arbeit habe ich die Anwendung des Konzepts des Interesses bei der Lösung verschiedener Probleme gezeigt, wobei ich die wichtigsten Arten von Problemen für das Interesse betrachtete.

Dieses Thema lässt ein weites Feld für weitere Forschung offen. Interessensprobleme sind von großer praktischer Bedeutung und das erworbene Wissen wird mir hoffentlich in meinem späteren Leben helfen. Ich beabsichtige, das von mir begonnene Thema weiter auszubauen, um das Interesse im Bankensektor näher zu betrachten. Um ein moderner Mensch zu sein, muss man die möglichen Raten bei einem Kredit selbst kalkulieren können, oder zumindest ungefähr wissen, ob sich eine Kreditaufnahme oder ein Kredit lohnt.

REFERENZLISTE

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Zubareva I.I. Mathematik. Klasse 5: Lehrbuch. für allgemeinbildende Schülerinnen und Schüler. Institutionen / I.I. Zubareva, A.G. Mordkowitsch. - 12. Auflage, rev. und zusätzlich - M.: Mnemosyne, 2012. - 270 S.;
Petrova I. N. Zinsen für alle Fälle / I.N. Petrow. - M., Bildung, 2006;
Tumasheva O.V. Mathematikunterricht in den Klassen 5-6: Lehrmittel / O.V. Tumaschew; Krasnojar. Zustand. Päd. Universität. V.P. Astafjew. - Krasnojarsk, 2007 - 104 p.

, eine Reihe von Artikeln über persönliche Finanzen.

Lassen Sie uns heute über Prozentsätze sprechen.

Es ist unmöglich zu investieren, ohne zu verstehen, was Zinsen sind und wie die Rentabilität berechnet wird.

In der Regel gibt es keine Probleme mit einfachen Zinsen, jeder, der jemals Geld auf einer Einlage bei einer Bank aufbewahrt hat, versteht, dass beispielsweise ein Zinssatz von 10% pro Jahr für eine Einlage von 50.000 Rubel gilt. wird 5000 Einkommen pro Jahr geben.

Die Wirkung des Zinseszinses ist schwieriger zu verstehen, aber sehr wichtig bei der langfristigen Anlage, d.h. wenn Investitionen mit dem Ziel getätigt werden, finanzielle Freiheit zu sichern.

Tatsächlich werden beim Zinseszins die Zinserträge reinvestiert, wodurch sich die Höhe des Beitrags erhöht. Hier ist ein Beispiel, sagen wir, Sie haben 100.000 Rubel. und darauf erhalten Sie 10% des Einkommens, d.h. 10 000 Rubel. Im Jahr.

Im ersten Jahr haben Sie 10.000 Rubel erhalten. und Ihr Beitrag hat sich um diese 10.000 erhöht und beträgt 110.000 Rubel.

Im zweiten Jahr beträgt Ihr Einkommen bereits 10% von 110.000 Rubel, d.h. 11.000 Rubel, die Sie auch der Kaution hinzufügen, die bereits 110.000 + 11.000 = 121.000 Rubel ergibt.

Drittes Jahr: Ihre 121.000 Rubel bringen wieder 10%, das sind 12.100 Rubel in Rubel, und Ihr Beitrag am Ende des dritten Jahres beträgt 121.000 + 12.100 = 133.100 Rubel.

Usw.

Formalisiert wird Zinseszins wie folgt geschrieben:

FV=PV(1+r)^n

Wo FV– der zukünftige Wert der Investition;PV- die anfänglichen Kosten der Einzahlung;R– Rendite (Rendite);Nist die Anzahl der Perioden.

Nun, überprüfen Sie die Formel an unserem Beispiel FV = 10000 (1 + 0,1) ^ 3 = 133.100 Rubel. Wie man sieht, hat alles gepasst 🙂

Wenn Sie langfristig investieren, steigt der Wert des Zinseszinses sehr stark an.

Stellen Sie sich dieses Beispiel vor: Wenn Milch jährlich um 10 % teurer wird, wie viel wird sie in 20 Jahren kosten? Wenn Milch heute 30 Rubel pro Liter kostet, dann kostet Milch in 20 Jahren unter der Annahme einer Erhöhung der Milchkosten um 10% pro Jahr FV = 30 (1 + 0,1) ^ 20 = 201 Rubel 82 Kopeken!

Dieses Beispiel zeigt übrigens sehr gut die Notwendigkeit zu investieren, um sein Kapital zu schonen, da es ja auch nach der Zinseszinsformel abwertet.

Diese Formel wird auch als „Rothschild-Formel“, „Teufelsformel“ und im Englischen und in Finanzkreisen als „Compounding“ bezeichnet.

Alles auf der Erde verändert sich nach der Formel des Zinseszinses: Inflation, Wachstum des Öl- oder Weizenverbrauchs, die Erdbevölkerung verändert sich usw.

Wenn Sie investieren, arbeiten Zinsen für Sie, hier ist ein BeispielFrüher habe ich über Renten zitiert:

Wie viel Geld kann der durchschnittliche Russe sparen, wenn er jeweils 3.000 Rubel investiert? pro Monat für 30 Jahre? Angenommen, das Wachstum seiner Investition beträgt 5 % pro Jahr und die Kapitalrendite 17 % pro Jahr.

In 30 Jahren werden 32.022.812 Rubel angesammelt. So funktioniert der Zinseszins für Sie und fungiert als solcher Hebel, der Ihren Beitrag erhöht.

Es wirkt aber auch dagegen, wenn Sie zum Beispiel Kredite aufnehmen.

Grundsätzlich gibt es Programme, mit denen Sie Zinseszinsen und die damit verbundenen Rentenformeln berechnen können (eine Rente ist eine Reihe von Zahlungen, die gleich sind (oder sich nach Mustern ändern) und für denselben Zeitraum voneinander getrennt sind). Zeit, ein Beispiel mit einer Akkumulation von 3000 Rubel im oben genannten Monat und monatlicher gleicher Zahlung des Darlehens im Laufe der Zeit).

Sie können es selbst versuchen, ich benutzeHier ist ein solches Programm für das iPad , es ist kostenlos, sie haben auch Optionen für Android.

Die Abbildung zeigt ein Beispiel für die Berechnung der Höhe der Zahlungen für ein Darlehen mit diesem Programm.

Dort können Sie auch andere Finanzberechnungen ausprobieren, zum Beispiel Zinseszinsen und Annuitäten berechnen.

Probieren Sie es aus, die Hauptsache ist, das Prinzip selbst zu verstehen.

Geld ist so fest in unserem Leben verankert, dass wir uns alle, unabhängig von Alter, Geschlecht und Einkommensmethode, von Zeit zu Zeit in Situationen befinden, in denen wir gezwungen sind, Entscheidungen zu treffen, die finanzielle Berechnungen erfordern. Und dann hängt unsere Fähigkeit, mit bestimmten Finanzkategorien zu operieren, davon ab, wie profitabel die von uns gewählte Option sein wird. In diesem Artikel betrachten wir die Hauptkategorien der Finanzmathematik und zeigen, wie man sie nutzt, um in den unterschiedlichsten Situationen die richtigen Entscheidungen zu treffen.

Interesse. Zinseszins. Zinskapitalisierung (Compaunding)

Zinsen beziehen sich auf Einnahmen, die als Zahlung für das Verleihen von Geld in irgendeiner Form erhalten werden. Prozentsätze können in absoluter und relativer Form ausgedrückt werden. Die absolute Form ist ein bestimmter Betrag für einen bestimmten Zeitraum. Relativ - in Form eines Zinssatzes, der an einen bestimmten Zeitraum (Jahr, Monat oder Tag) gebunden ist. Um den kumulierten Betrag (S) zu berechnen, d. h. den Kapitalbetrag zuzüglich aufgelaufener Zinsen, müssen Sie die folgende Formel verwenden:

(1) S = P * (1 + i * n),
wobei P der Betrag ist, auf den Zinsen anfallen, i der Zinssatz ist, N die Anzahl der Zinsperioden ist.

Beispiel
Sie haben einem Freund einen Kredit über 10.000 $ für 3 Monate gegeben, wonach er Ihnen 2 % pro Monat zu zahlen verspricht. Es ist notwendig, den Betrag zu berechnen, den Sie am Ende der Kreditlaufzeit erhalten. Wir erhalten 10.000 * (1 + 2 % * 3) = 10.600 $.

Oftmals kann es vorkommen, dass Zinsen nicht gezahlt, sondern zum investierten Betrag hinzugefügt werden und ab dem neuen Zeitraum bereits eine Abgrenzung des Betrags unter Berücksichtigung der zuvor anfallenden Zinsen erfolgt. Solche Zinsen werden Zinseszinsen genannt, und der Prozess der Berechnung von Zinsen auf Zinsen wird Zinskapitalisierung genannt. Beim Zinseszins wird der aufgelaufene Betrag anders berechnet:

(2) S = P * (1 + i) ^ n,
wobei die Bedeutung der Buchstaben dieselbe wie in der obigen Formel ist und das Zeichen „^“ Potenzierung bedeutet.

Was ist der Unterschied zwischen zusammengesetzten und einfachen Zinsen? Wenn das Wachstum des einfachen Zinses linear erfolgt (in jeder Periode um den gleichen Betrag), dann wächst der Zinseszins exponentiell (in jeder folgenden Periode ist der Zinsbetrag größer als in der vorherigen). Aufgrund dieses Effekts übersteigt der Zinseszinsanlagebetrag für lange Zeit das Wachstum des einfach verzinsten Anlagebetrags um ein Vielfaches. Nachfolgend sind die Ergebnisse des Einlagenwachstums (6 % pro Jahr) mit einfachen und Zinseszinsen aufgeführt. Bleibt die Differenz zunächst gering, so erreicht man später einen kritischen Wert. Für das Jahr 80 wird eine Einlage mit einfachen Zinsen also 58.000 $ erreichen, während eine Einlage mit komplexen Zinsen 1.057.960 $ erreichen wird.

In der Praxis gibt es oft eine Praxis, bei der der Zinsberechnungszeitraum von einer ganzen Zahl abweicht. In einer solchen Situation sieht die Formel zur Berechnung des aufgelaufenen Betrags mit einfachen Zinsen folgendermaßen aus:

(3) S = P * (1 + i * d / 365),
wobei d der in Tagen ausgedrückte Zinsberechnungszeitraum ist.

Es gibt auch Situationen, in denen der Zinssatz auf Jahresbasis ausgedrückt wird, die Zinsen jedoch monatlich berechnet werden. In solchen Fällen sieht die Formel zur Berechnung des aufgelaufenen Betrags (in der Regel werden in diesem Fall Zinseszinsen verwendet) wie folgt aus:

(4) S = P * (1 + i/m) ^ (n*m),
wobei m die Anzahl der Zinsperioden innerhalb einer Periode ist (normalerweise wird 12 für die Anzahl der Monate in einem Jahr verwendet).

Und schließlich sollten wir darauf achten, dass unabhängig von der Art der Zinsen alle Formeln zur Berechnung des angesammelten Betrags reduziert werden können Gesamtansicht:

(5) S = P * k,
wobei k der Akkumulationsfaktor ist, der berechnet wird verschiedene Wege abhängig von der Art der verwendeten Zinsen. Diese Schlussfolgerung wird unser Verständnis nachfolgender mathematischer Operationen erheblich erleichtern.

Diskontierung und ihr Wesen

Das oben diskutierte Zinskonzept spiegelt den Zeitwert des Geldes wider. Mit anderen Worten, aufgrund der Tatsache, dass das Geld, das wir heute besitzen, uns morgen aufgrund ihrer Platzierung zu einem bestimmten Prozentsatz Einnahmen bringen kann, haben zukünftige Bareinnahmen einen niedrigeren Barwert. Dieses Prinzip basiert auf einer mathematischen Operation, die als Diskontierung bezeichnet wird. Diskontieren bedeutet, künftige Zahlungen auf den aktuellen Wert zu bringen und ist dem Sinn nach eine Operation, die der Zinserhöhung entgegengesetzt ist. Das heißt, die Diskontierung betrachtet zukünftige Zahlungen als aufgelaufenen Betrag (S) und die Aufgabe des Anlegers besteht darin, ihren aktuellen Wert (P) auf der Grundlage des ihm zur Verfügung stehenden Zinssatzes zu berechnen (i). Je nach Art der Zinsen sieht die Rabattformel so aus: oder

(6) P = S / (1 + i * n)

(7) P = S / (1 + ich)^n

Die Aufgabe der Diskontierung besteht darin, uns aufzuzeigen, wie viel das Geld, das wir in Zukunft erhalten, heute wert ist, um zukünftige Zahlungen im Hinblick auf die uns zur Verfügung stehende Anlagealternative nicht zu überbezahlen. Werfen wir einen Blick auf einige gängige Transaktionen, bei denen Rabatte verwendet werden.

Erwerb eines Stroms zukünftiger Zahlungen (Buchhaltungstransaktionen)
Zum Kauf angeboten wird eine Anleihe im Nennwert von 1.000 $ mit einem Zinssatz von 6 % pa, die vierteljährlich verzinst wird und zum Jahresende zurückgezahlt wird. Die Aufgabe besteht darin, den Barwert der Verbindlichkeit basierend auf dem Abzinsungssatz 15 zu berechnen% pro Jahr.

Lösung
Berechnen Sie die vierteljährlichen Zinserträge und zeichnen Sie diese aufin einem Programmübertreffen Cashflow-Tabelle. Lassen Sie uns den Wert des Barwerts mithilfe der integrierten NPV-Formel ermitteln. Bei einem Abzinsungssatz von 15 % pro Jahr beträgt der Barwert dieser finanziellen Verbindlichkeit somit 916,22 $

Notiz

2) In die NPV-Formel setzen wir anstelle des Zinssatzes den jährlichen Prozentsatz dividiert durch 12 ein

finanzielle Äquivalenz
Die Parteien vereinbaren die Zahlungsbedingungen für Büroräume. Der Preis für die Räumlichkeiten beträgt 24.000 US-Dollar. Der Verkäufer stimmt einer Ratenzahlung zu folgenden Konditionen zu: 8.000$ sofort, der Rest zu gleichen Teilen innerhalb von 4 Monaten. Er ist jedoch bereit, eine längere Ratenlaufzeit in Betracht zu ziehen, wenn ihm der Verkäufer einen größeren Betrag für die zum Verkauf stehenden Räumlichkeiten anbietet.

Lösung
Lassen Sie uns die Erstratenkonditionen in Form einer Tabelle im Excel-Programm wiedergeben. Lassen Sie uns in derselben Tabelle ein Angebot mit steigenden monatlichen Zahlungen simulieren, wodurch der Preis der Räumlichkeiten auf 24.400 $ steigen wird. Lassen Sie uns die aktuellen Kosten jeder Option berechnen, um ihre Äquivalenz basierend auf dem Zinssatz von 10 % pro Jahr zu vergleichen. Die Berechnung zeigt, dass die zweite Variante auch bei höherem Kaufpreis für den Käufer rentabler ist als die erste.

Konsolidierung von Zahlungen
Zahlungskonsolidierung ist die Zusammenfassung mehrerer Zahlungsverpflichtungen zu einer Zahlung (S0) zu einem bestimmten Zeitpunkt (T0). Die Besonderheit dieser Operation besteht darin, dass alle Zahlungen, deren Eingang vor dem angegebenen Datum erwartet wird, durch Zuwachs und die danach erwarteten durch Diskontierung berechnet werden. Abhängig von der verwendeten Zinsart hat die Konsolidierungsformel folgende Form:

(8) S = ∑ Pn * (1 + i * (T0 - Tn))

(9) S = ∑ Pn* (1 + i) ^ (T0 - Ta))

Beispiel
Sie haben eine Bankeinlage von 10.000 $ für 12 Monate zu 10 % pro Jahr eröffnet. Wie viel Geld müssen Sie für 14 Monate auf das Konto einzahlen, damit Sie nach 3 Jahren 15.000 $ auf Ihrem Konto haben?

Lösung
Stellen wir uns das Problem als Konsolidierung von Zahlungen vor, bei der der bestehende Beitrag als positive Zahl ausgedrückt wird und der in der Zukunft erwartete Betrag negativ ist. Wenn man bedenkt, dass die Zinsen zum Zinseszinssatz berechnet werden, erhalten wir die folgende Berechnung = -1.264 $.

Bestimmung des internen Zinsfußes

In der Wirtschaft und bei Investitionen gibt es oft Situationen, in denen ein Investor zukünftige Zahlungen und die Höhe der Investitionen kennt und den Akkumulationsfaktor berechnen muss, bei dem die Höhe der zukünftigen Zahlungen, reduziert auf den aktuellen Wert, numerisch gleich der Höhe der Investitionen ist . Der Abgrenzungskoeffizient, für den diese Bedingung erfüllt ist, wird als interner Zinsfuß (IRR, auf Englisch - IRR, internal return of return) bezeichnet. Zur Berechnung des internen Zinsfußes wird die eingebaute Excel-Funktion IRR verwendet.

Beispiel
Der Investor erwägt einen Investitionsvorschlag, bei dem es sich um eine Kapitalbeteiligung an der Eröffnung einer Pizzeria handelt (siehe hier). Wir kennen: a) die Höhe der angeforderten Investition; b) Finanzplan (Cash-Flow-Prognose); c) ein Schema für die Verteilung von Cashflows. Die Zusammenfassung des Anlagevorschlags (siehe Tabelle) enthält 6 Renditeoptionen. Es ist notwendig, die Gesamtrentabilität des Investitionsvorschlags zu bestimmenVergleiche mit anderen Anlagemöglichkeiten.

Lösung
Lassen Sie uns im Excel-Programm eine Tabelle mit Cashflows erstellen, die der Investor gemäß dem Finanzplan erhalten wird (siehe Tabelle). Wir berechnen die interne Rendite anhand der integrierten IRR-Formel, wobei wir alle Zahlungswerte, einschließlich der Anfangsinvestition, als Wertebereich angeben. Der resultierende Wert des internen Zinsfußes (IRR) = 38,47 %. Somit beträgt die erwartete Gesamtrentabilität des betrachteten Investitionsvorschlags 38,47 % pro Jahr.

Notiz
1) In Zeiten ohne Zahlungen setzen wir "0".
2) Um die jährliche IRR-Rate zu erhalten, multiplizieren wir den erhaltenen Wert mit 12.

Rente (finanzielle Miete)
Der Zahlungsfluss, bei dem alle Komponenten positive Werte sind und die Zeitintervalle zwischen den Zahlungen gleich sind, wird als Annuität oder finanzielle Rente bezeichnet. Beispielsweise ist eine Annuität eine Abfolge von Zinsen für eine Anleihe, Zahlungen für ein Verbraucherdarlehen, regelmäßigen Beiträgen im Rahmen von Kapitallebensversicherungsverträgen und Rentenzahlungen. Annuitäten sind durch folgende Parameter gekennzeichnet: 1) der Wert jeder einzelnen Zahlung; 2) das Intervall zwischen Zahlungen; 3) Zahlungsdauer (es gibt ewige Renten); 4) Zinssatz. Aufgrund der Komplexität der Berechnungsformel verwenden Sie am besten die eingebauten Formeln des Excel-Programms, um die verschiedenen Komponenten der Rente zu berechnen. Betrachten wir die wichtigsten.

Bei der Berechnung des Darlehens werden die folgenden Formeln verwendet: PMT (berechnet die Höhe einer monatlichen Zahlung), OSPLT (berechnet die Höhe der Rückzahlung der Hauptschuld als Teil einer bestimmten monatlichen Zahlung), IPMT (berechnet die Höhe der Zinsen als Teil einer bestimmten monatlichen Zahlung).

Beispiel
Es ist notwendig, die monatliche Zahlung zu berechnen und einen Zahlungsplan für das Darlehen zu erstellen, der Betrag beträgt 10.000 USD, der Zinssatz beträgt 20%, die Laufzeit beträgt 20 Monate.

Lösung
Wir verwenden die PMT-Formel, um die Zahlung zu berechnen. Wir ersetzen den Zinssatz durch den Monatswert (Jahreswert geteilt durch 12), geben den Kreditbetrag als Barwert an, geben als zukünftigen Wert 0 an. Wir verwenden die gleichen Werte für die OSPL- und HPMT-Formeln, in wobei sich nur die Seriennummer des Zeitraums ändert. Wir stellen die erhaltenen Werte in Form einer Tabelle dar:

Die gleiche PMT-Formel kann verwendet werden, um monatliche Raten zu berechnen, um einen Betrag bis zu einem bestimmten Zeitpunkt zu akkumulieren. Dabei setzen wir an die Stelle des Barwertes die Höhe der Anzahlung und an die Stelle des Zukunftswertes den geforderten Betrag.

Beispiel
Du bist 25 Jahre alt. Sie haben ein Altersvorsorgekonto mit einem Zinssatz von 6 % pro Jahr eröffnet und 10.000 $ Ihrer Ersparnisse darauf eingezahlt. Lassen Sie uns den Betrag der monatlichen Zahlung berechnen, den Sie zurücklegen müssen, um bis zum Alter von 45 Jahren den Betrag von 100.000 US-Dollar zu erhalten.

Lösung
Wir verwenden die PMT-Funktion. Als Zinssatz geben wir 6 % / 12 an, die Anzahl der Perioden beträgt 20 * 12, der Barwert beträgt 10.000 $, der zukünftige Wert beträgt 100.000 $. In diesem Fall sieht die fertige Formel so aus = PMT (6% / 12; 20 * 12; 10000; 100.000). Wir erhalten die Höhe der monatlichen Gebühr in Höhe von 288 $.

Wie Sie bemerkt haben, haben wir in den obigen Beispielen die Höhe der monatlichen Zahlung berechnet, wir kannten andere Parameter der Rente. Excel ermöglicht uns, andere Annuitätsparameter zu berechnen - Barwert, zukünftiger Wert, Anzahl der periodischen Zahlungen. Schauen wir uns Beispiele an, wie diese Formeln funktionieren.

Beispiel für die Barwertberechnung
Am 10. Geburtstag Ihres Sohnes beschließen Sie, ein Sparkonto zu eröffnen, damit Sie an seinem 18. Geburtstag 10.000 Dollar sparen können. Welche Ersteinzahlung müssen Sie auf dieses Konto tätigen, wenn die geplanten monatlichen Raten 50 US-Dollar betragen?

Lösung
Wir verwenden die PS-Funktion. Als Zinssatz geben wir 6 % / 12 an, die Anzahl der Zahlungen beträgt 8 * 12, die regelmäßige Zahlung beträgt 50 USD, der zukünftige Wert beträgt minus 10.000 USD. In diesem Fall sieht die fertige Formel so aus = PS (6% / 12; 8 * 12; 50; -10000). Der resultierende Wert der Anzahlung beträgt 2390 $.

Notiz
Ein negativer Wert in den PS- und BS-Formeln bedeutet „Ich werde erhalten“, ein positiver Wert bedeutet „Ich bezahle“.

Ein Beispiel für die Berechnung des zukünftigen Werts und der Anzahl der Zahlungen
Zwei Freunde beschlossen, sich eine Zusatzrente zu sichern. Zu diesem Zweck eröffnete jeder von ihnen ein Sparkonto mit einer Rendite von 6% pro Jahr, einer leistete einen anfänglichen Beitrag von 3.000 USD und der zweite 5.000 USD. Der eine ist 25 Jahre alt, der zweite 30, beide wollen mit 45 in Rente gehen. Beide sind bereit, 50 $ pro Monat abzuziehen. Es ist notwendig, die Höhe ihrer Rentenersparnisse und die Anzahl der Monate des Rentenaufbaus aus den angesammelten Mitteln zu berechnen, wenn Rentenzahlungen in Höhe von 150 USD geplant sind.

Lösung
Zuerst berechnen wir die Höhe des Rentensparens. Dazu verwenden wir die BS-Formel. Im ersten Fall beträgt die Anzahl der Zahlungen 20 * 12, im zweiten - 15 * 12, der Barwert im ersten Fall beträgt 3.000 USD, im zweiten - 5.000 USD, der Zinssatz beträgt in beiden Fällen 6% / 12, und die regelmäßige Zahlung beträgt 50 $. Die zusammengesetzte Formel sieht im ersten Fall so aus = BS (6% / 12; 20 * 12; 50; 3000), im zweiten = BS (6% / 12; 15 * 12; 50; 5000). Im ersten Fall belaufen sich die Rentenersparnisse auf 33.032 USD, im zweiten auf 26.811 USD. Lassen Sie uns nun den Zeitraum berechnen, in dem der angesammelte Betrag die oben genannten Rentenzahlungen leisten kann. Dazu verwenden wir die NPER-Funktion, bei der wir als Zinssatz 6% / 12 angeben, als Zahlungsbetrag 150 $ festlegen und die erhaltenen Werte als Barwert einsetzen. Wir erhalten den Betrag in Monaten - 149 für den ersten und 128 für den zweiten.

Notiz
Ein negativer Wert in der Formel zeigt an, dass wir Zahlungen erhalten. Falls die Formel zur Berechnung von zu zahlenden Zahlungen verwendet wird, ist der resultierende Wert positiv.

Ewige Rente (ewige Rente) und das Gordon-Modell

Ein Sonderfall einer Rente ist eine Folge von Zahlungen, deren Dauer nicht bedingt bestimmt ist, in deren Zusammenhang diese Rente als ewig gilt. Ein Beispiel für eine ewige Rente können Konsolen sein - eine Art von Wertpapieren (Anleihen), für die Zinsen auf unbestimmte Zeit anfallen, aber die Rückgabe des Nennwerts nicht erfolgt. In der Praxis sind solche Wertpapiere eher selten. Ein häufigeres Beispiel für eine ewige Rente sind die langfristigen Dividendenzahlungen, die einige Unternehmen an ihre Aktionäre leisten. Zur Berechnung der Kosten einer ewigen Rente wird das Gordon-Modell verwendet:

(10) S = P * (1+g) / (r - g) , wobei S die Kosten der Annuität sind, P die laufende Zahlung ist, g die Wachstumsrate der laufenden Zahlung ist, r die Rendite ist.

Die obigen Formeln sind die Hauptliste von Werkzeugen für Berechnungen verschiedener Art und ermöglichen es Ihnen, Berechnungen in Bezug auf jede Situation durchzuführen. In den Kommentaren zu diesem Artikel können Sie Situationen beschreiben, die finanzielle Berechnungen erfordern, und ich werde versuchen zu zeigen, wie Ihnen der obige mathematische Apparat bei der Lösung helfen wird.

Bei der Vorbereitung des Artikels werden Materialien aus Studienführer"Finanzmathematik" Shirshova E.V., N.I. Petrik, Tutygina A.G., Menshikova T.V., Moskau, hrsg. "Knorus", 2010