Опытом , или испытанием , называют всякое осуществление определенного комплекса условий или действий, при которых происходит соответствующее явление. Возможный результат опыта называют событием . Например, опытом является подбрасывание монеты, а событиями "герб", "цифра на верхней ее стороне" (когда монета упадет). Опытами являются стрельба по мишени, извлечение шара из ящика и т.п. События будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита А, В, С, ...

Событие называется достоверным в данном опыте, если оно обязательно произойдет в этом опыте. Например, если в ящике находятся только голубые шары, то событие "из ящика извлечен голубой шар" является достоверным (в ящике нет шаров другого цвета).

Событие называется невозможным в данном опыте, если оно не может произойти в этом опыте. Так, если в ящике находятся только красные шары, то событие "из ящика извлечен голубой шар" является невозможным (таких шаров в ящике нет).

Событие называется случайным в данном опыте, если оно может произойти, а может и не произойти в этом опыте. Например, если в ящике находятся n голубых и m красных шаров, одинаковы по размеру и весу, то событие "из урны извлечен голубой шар" является случайным (оно может произойти, а может и не произойти, поскольку в урне имеются не только голубые, но и красные шары). Случайными событиями являются "герб" и "цифра на верхней стороне монеты при ее подбрасывании", "попадание и промах при стрельбе по мишени", "выигрыш по билету лотереи" и т.п.
З а м е ч а н и е. Приведенные примеры свидетельствуют о том, что одно и то же событие в некотором опыте может быть достоверным, в другом - невозможным, в третьем - случайным. Говоря о достоверности, невозможности, случайности события, имеют в виду его достоверность, невозможность, случайность по отношению к конкретному опыту, то есть к наличию определенного комплекса условий или действий.

Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает, появление другого в этом опыте. Так, при подбрасывании двух симметричных монет, события А - "герб на верхней стороне первой монеты" и В - "цифра на верхней стороне второй монеты" являются совместными.

Два события называются несовместными , если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании. Например, несовместными являются попадание и промах при одном выстреле. Несколько событий называются несовместными, если они попарно- несовместны.

Два события называются противоположными , если появление одного из них равносильно непоявлению другого. Так, противоположными являются события "герб" и "цифра" при одном подбрасывании симметричной монеты. Если одно из противоположных событий обозначено буквой А, то другое обозначают . Например, если А - "попадание", то - "промах" при одном выстреле по мишени.

Множество событий A 1 , А 2 , ... , А n называют полной группой событий , если они попарно-несовместны; появление одного и только одного из них является достоверным событием. Поясним понятие полной группы событий на следующем примере. Рассмотрим события, появляющиеся при подбрасывании игрального кубика (то есть кубика, на гранях которого записаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6 или изображены знаки, соответствующие этим цифрам). Когда кубик упадет, то верхней гранью окажется грань с одной из этих цифр. Событие: "верхней гранью оказалась грань с цифрой k" обозначим через A k (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6). События А 1 , А 2 , А 3 , А 4 , А 5 , А 6 образуют полную группу: они попарно-несовместны; появление одного и только одного из них является достоверным событием (когда кубик упадет, то только одна из граней окажется верхней, на ней написана только одна из цифр от 1 до 6).

События считают равновозможными , если нет оснований полагать, что одно событие является более возможным, чем другие. Например, при подбрасывании монеты событие А (появление цифры) и событие В (появление герба) равновозможны, так как предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму и наличие чеканки не влияет на то, какая сторона монеты (герб или цифра) окажется верхней. При подбрасывании игрального кубика события A 1 , А 2 , А 3 , А 4 , А 5 , А 6 являются равновозможными, поскольку предполагается, что кубик изготовлен из однородного материала, имеет правильную форму и наличие цифр (или очков) на гранях не влияет на то, какая из шести граней окажется верхней. Каждое событие, которое может наступить в итоге опыта, называется элементарным исходом (элементарным событием, или шансом).

Например, события A 1 , А 2 , А 3 , А 4 , А 5 , А 6 - элементарные исходы при подбрасывании кубика. Элементарные исходы, при которых данное событие наступает, называются благоприятствующими этому событию, или благоприятными шансами. Так, при подбрасывании игрального кубика элементарные исходы А 2 , А 4 , А 6 являются благоприятствующими событию "выпало четное число очков".

Пример 1.

Подбрасываются два игральных кубика, подсчитываются суммы выпавших очков (суммы числа очков на верхних гранях обоих кубиков). Сумма выпавших очков на двух кубиках может меняться от 2 до 12. Записать полную группу событий в этом опыте.

Решение.

Полную группу событий образуют равновозможные элементарные исходы (k ; m ), k , m = 1, 2, 3, 4, 5, 6, представленные в таблице. Элементарный исход (k ; m ) означает, что на первом кубике выпало k очков, на втором m очков (k , m = 1,2,3,4,5,6). Например, (3; 4) - на первом кубике 3 очка, на втором - 4 очка.

(1;1)	(2;1)	(3;1)	(4;1)	(5;1)	(6;1)
(1;2)	(2;2)	(3;2)	(4;2)	(5;2)	(6;2)
(1;3)	(2;3)	(3;3)	(4;3)	(5;3)	(6;3)
(1;4)	(2;4)	(3;4)	(4;4)	(5;4)	(6;4)
(1;5)	(2;5)	(3;5)	(4;5)	(5;5)	(6;5)
(1;6)	(2;6)	(3;6)	(4;6)	(5;6)	(6;6)

Пример 2.

Сколько элементарных исходов благоприятствует событию "на обоих кубиках выпало одинаковое число очков" при подбрасывании двух игральных кубиков?

Решение.

Этому событию благоприятствуют 6 элементарных исходов (смотрите таблицу из примера 1): (1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6).

Пример 3.

Подбрасывается два игральных кубика. Какому событию благоприятствует больше элементарных исходов: "сумма выпавших очков равна 7", "сумма выпавших очков равна 8"?

Решение.

Событию "сумма выпавших очков равна 7" благоприятствуют 6 исходов (см. табл. примера 1): (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1). Событию "сумма выпавших очков равна 8" благоприятствуют 5 исходов: (2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2). Следовательно, первому событию благоприятствует больше элементарных исходов.

Пример 4.

Подбрасываются три игральных кубика, подсчитываются суммы очков, выпавших на них. Сколькими способами можно получить в сумме 5 очков, 6 очков?

Решение.

Получить в сумме 5 очков можно шестью способами: (1; 1; 3), (1; 3; 1), (3; 1; 1), (1; 2; 2), (2; 1; 2), (2; 2; 1). Получить в сумме 6 очков можно десятью способами: (1; 1; 4), (1; 4; 1), (4; 1; 1), (1; 2; 3), (1; 3; 2), (2; 1; 3), (2; 3; 1), (3; 1; 2), (3; 2; 1), (2; 2; 2).
З а м е ч а н и е. Запись (3; 2; 1) означает, что на первом кубике выпало 3 очка, на втором - 2 очка, на третьем - 1 очко.

Задачи

1. Являются ли несовместными следующие события:

б) опыт - два выстрела по мишени; события: А - "хотя бы одно попадание"; В - "хотя бы один промах".

2. Являются ли равновозможными следующие события:
а) опыт - подбрасывание симметричной монеты; события: А -"появление герба", В - "появление цифры";
б) опыт - подбрасывание погнутой монеты; события: А - "появление герба", В - "появление цифры";
в) опыт - выстрел по мишени; события: А - "попадание", В - "промах".

3. Образуют ли полную группу событий следующие события:
а) опыт - подбрасывание симметричной монеты; события: А - "герб", В - "цифра";
б) опыт - подбрасывание двух симметричных монет; события: А - "два герба", В - "две цифры".

4. Опыт - подбрасывание двух игральных кубиков. Сколько элементарных исходов благоприятствуют событию - выпало очков: 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,9,10,11,12?

5. Опыт - подбрасывание трех игральных кубиков. Сколько всего элементарных исходов? Сколько элементарных исходов благоприятствуют событию - на трех кубиках выпало очков: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12? Каково наибольшее значение суммы выпавших очков?

Ответы

1. а) да; б) нет. 2 . а) да; б) нет; в) в общем случае нет. 3 . а) да; б) нет. 4 . 1,2,3,4,5,6,5,4, 3, 2, 1. 5 . n=216; 1, 3, 6, 10, 15, 21, 25, 27, 27, 25; 18.

Вопросы

1. Что называют опытом, или испытанием?
2. Что называют событием?
3. Какое событие называют достоверным в данном опыте?
4. Какое событие называют невозможным в данном опыте?
5. Какое событие называют случайным в данном опыте?
6. Какие события называют совместными в данном опыте?
7. Какие события называют несовместными в данном опыте?
8. Какие события называют противоположными?
9. Какие события считают равно возможными?
10. Что называют полной группой событий?
11. Что называют элементарным исходом?
12. Какие элементарные исходы называют благоприятствующими данному событию?
13. Что представляет собой полная группа событий при подбрасывании одной монеты?
14. Что представляет собой полная группа событий при подбрасывании двух монет?

Теория вероятностей изучает виды событий и вероятности их появления. Возникновение теории вероятностей относится к середине XVII века, когда математики заинтересовались задачами, поставленными азартными игроками и стали изучать такие события, как появление выигрыша. В процессе решения этих задач выкристаллизовались такие понятия, как вероятность и математическое ожидание. Ученые того времени – Гюйгенс (1629-1695), Паскаль (1623-1662), Ферма (1601-1665) и Бернулли (1654-1705) были убеждены, что на базе массовых случайных событий могут возникать четкие закономерности. При этом для исследований было достаточно элементарных арифметических и комбинаторных действий.

Итак, теория вероятностей объясняет и исследует различные закономерности, которым подчинены случайные события и случайные величины. Событием является любой факт, который можно констатировать в результате наблюдения или опыта. Наблюдением или опытом называют реализацию определенных условий, в которых событие может состояться.

Что нужно знать, чтобы определять вероятность появления события

Все события, за которыми люди наблюдают или сами создают их, делятся на:

• достоверные события;
• невозможные события;
• случайные события.

Достоверные события наступают всегда, когда создан определенный комплекс обстоятельств. Например, если работаем, то получаем за это вознаграждение, если сдали экзамены и выдержали конкурс, то достоверно можем рассчитывать на то, что включены в число студентов. Достоверные события можно наблюдать в физике и химии. В экономике достоверные события связаны с существующим общественным устройством и законодательством. Например, если мы вложили деньги в банк на депозит и выразили желание в определенный срок их получить, то деньги получим. На это можно рассчитывать как на достоверное событие.

Невозможные события определенно не наступают, если создался определенный комплекс условий. Например, вода не замерзает, если температура составляет плюс 15 градусов по Цельсию, производство не ведется без электроэнергии.

Случайные события при реализации определенного комплекса условий могут наступить и могут не наступить. Например, если мы один раз подбрасываем монету, герб может выпасть, а может не выпасть, по лотерейному билету можно выиграть, а можно не выиграть, произведенное изделие может быть годным, а может быть бракованным. Появление бракованного изделия является случайным событием, более редким, чем производство годных изделий.

Ожидаемая частота появления случайных событий тесно связана с понятием вероятности. Закономерности наступления и ненаступления случайных событий исследует теория вероятностей.

Если комплекс нужных условий реализован лишь один раз, то получаем недостаточно информации о случайном событии, поскольку оно может наступить, а может не наступить. Если комплекс условий реализован много раз, то появляются известные закономерности. Например, никогда невозможно узнать, какой кофейный аппарат в магазине потребует очередной покупатель, но если известны марки наиболее востребованных в течение длительного времени кофейных аппаратов, то на основе этих данных возможно организовать производство или поставки, чтобы удовлетворить спрос.

Знание закономерностей, которым подчинены массовые случайные события, позволяет прогнозировать, когда эти события наступят. Например, как уже ранее отмечено, заранее нельзя предусмотреть результат бросания монеты, но если монета брошена много раз, то можно предусмотреть выпадение герба. Ошибка может быть небольшой.

Методы теории вероятностей широко используются в различных отраслях естествознания, теоретической физике, геодезии, астрономии, теории автоматизированного управления, теории наблюдения ошибок, и во многих других теоретических и практических науках. Теория вероятностей широко используется в планировании и организации производства, анализе качества продукции, анализе технологических процессов, страховании, статистике населения, биологии, баллистике и других отраслях.

Случайные события обычно обозначают большими буквами латинского алфавита A, B, C и т.д.

Случайные события могут быть:

• несовместными;
• совместными.

События A, B, C … называют несовместными , если в результате одного испытания может наступить одно из этих событий, но невозможно наступление двух или более событий.

Если наступление одного случайного события не исключает наступление другого события, то такие события называют совместными . Например, если с ленты конвейера снимают очередную деталь и событие А означает «деталь соответствует стандарту», а событие B означает «деталь не соответствует стандарту», то A и B – несовместные события. Если событие C означает «взята деталь II сорта», то это событие совместно с событием A, но несовместно с событием B.

Если в каждом наблюдении (испытании) должно произойти одно и только одно из несовместных случайных событий, то эти события составляют полное множество (систему) событий .

Достоверным событием является наступление хотя бы одного события из полного множества событий.

Если события, образующие полное множество событий, попарно несовместны , то в результате наблюдения может наступить только одно из этих событий. Например, студент должен решить две задачи контрольной работы. Определенно произойдет одно и только одно из следующих событий:

• будет решена первая задача и не будет решена вторая задача;
• будет решена вторая задача и не будет решена первая задача;
• будут решены обе задачи;
• не будет решена ни одна из задач.

Эти события образуют полное множество несовместных событий .

Если полное множество событий состоит только из двух несовместных событий, то их называют взаимно противоположными или альтернативными событиями.

Событие, противоположное событию , обозначают . Например, в случае одного подбрасывания монеты может выпасть номинал () или герб ().

События называют равновозможными , если ни у одного из них нет объективных преимуществ. Такие события также составляют полное множество событий. Это значит, что в результате наблюдения или испытания определенно должно наступить по меньшей мере одно из равновозможных событий.

Например, полную группу событий образуют выпадение номинала и герба при одном подбрасывании монеты, наличие на одной печатной странице текста 0, 1, 2, 3 и более 3 ошибок.

Классическая и статистическая вероятности. Формулы вероятностей: классической и статистической

Классическое определение вероятности. Возможностью или благоприятным случаем называют случай, когда при реализации определённого комплекса обстоятельств события А происходят. Классическое определение вероятности предполагает напрямую вычислить число благоприятных случаев или возможностей.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятных этому событию возможностей к числу всех равновозможных несовместных событий N , которые могут произойти в результате одного испытания или наблюдения. Формула вероятности события А :

Если совершенно понятно, о вероятности какого события идёт речь, то тогда вероятность обозначают маленькой буквой p , не указывая обозначения события.

Чтобы вычислить вероятность по классическому определению, необходимо найти число всех равновозможных несовместных событий и определить, сколько из них благоприятны определению события А .

Пример 1. Найти вероятность выпадения числа 5 в результате бросания игральной кости.

Решение. Известно, что у всех шести граней одинаковая возможность оказаться наверху. Число 5 отмечено только на одной грани. Число всех равновозможных несовместных событий насчитывается 6, из них только одна благоприятная возможность выпадения числа 5 (М = 1). Это означает, что искомая вероятность выпадения числа 5

Пример 2. В ящике находятся 3 красных и 12 белых одинаковых по размеру мячиков. Не глядя взят один мячик. Найти вероятность, что взят красный мячик.

Решение. Искомая вероятность

Найти вероятности самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 3. Бросается игральная кость. Событие B - выпадение чётного числа. Вычислить вероятность этого события.

Пример 5. В урне 5 белых и 7 чёрных шаров. Случайно вытаскивается 1 шар. Событие A - вытянут белый шар. Событие B - вытянут чёрный шар. Вычислить вероятности этих событий.

Классическую вероятность называют также априорной вероятностью, так как её рассчитывают перед началом испытания или наблюдения. Из априорного характера классической вероятности вытекает её главный недостаток: только в редких случаях уже перед началом наблюдения можно вычислить все равновозможные несовместные события и в том числе благоприятные события. Такие возможности обычно возникают в ситуациях, родственных играм.

Сочетания. Если последовательность событий не важна, число возможных событий вычисляют как число сочетаний:

Пример 6. В группе 30 студентов. Трём студентам следует направиться на кафедру информатики, чтобы взять и принести компьютер и проектор. Вычислить вероятность того, что это сделают три определённых студента.

Решение. Число возможных событий рассчитываем, используя формулу (2):

Вероятность того, что на кафедру отправятся три определённых студента:

Пример 7. Продаются 10 мобильных телефонов. Их них у 3 есть дефекты. Покупатель выбрал 2 телефона. Вычислить вероятность того, что оба выбранных телефона будут с дефектами.

Решение. Число всех равновозможных событий находим по формуле (2):

По той же формуле находим число благоприятных событию возможностей:

Искомая вероятность того, что оба выбранных телефона будут с дефектами:

Найти вероятность самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 8. В экзаменационных билетах 40 вопросов, которые не повторяются. Студент подготовил ответы на 30 из них. В каждом билете 2 вопроса. Какова вероятность того, что студент знает ответы на оба вопроса в билете?

Понятие события Событие: всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти Классификация событий: достоверные невозможные вероятные равновозможные события несовместные события и полная группа несовместных событий независимые события противоположное событие

Модельные объекты в теории вероятностей: - монета (два равновозможных события) - игральная кость (шесть равновозможных событий - игральные карты (36 или 52 равновозможных событий) - шары разного цвета в урне (число равновозможных событий зависит от числа шаров разного цвета и общего числа шаров) Полная группа несовместных событий: - орел и решка у монеты - цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6 у игральной кости

Комбинаторное определение вероятности Вероятность = отношению числа благоприятных событий к общему числу равновозможных событий n – общее число равновозможных событий m – число благоприятных событий Вероятность Область значений Р: Достоверное событие Р = 1Невозможное событие Р = 0

Задачи Задача 1: в урне находится 2 белых и 3 красных шара. Из урны наугад вытаскивается один шар. Какова вероятность того, что этот шар будет белым? Задача 2: подбрасывается монета. Какова вероятность выпадения орла? Вероятность выпадения решки? Задача 3: монета подбрасывается дважды. Какова вероятность выпадения двух орлов? Задача 4. Одновременно кидаются две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма очков составит 3? Задача 5. Монета бросается 125 раз. Каковая вероятность, что она упадет орлом 16 раз?

Операции с событиями Сумма событий А и В: событие С, которое состоит в появлении хотя бы одного из событий А и В. С = А + В Произведение событий А и В: событие С, которое состоит в совместном появлении событий А и В. С = АВ Задача 6: Бросается кость. Записать событие, состоящее в том, что выпало четное число очков Задача 7: в одной урне 2 белых и 1 черный шар; в другой урне: 1 белый и 1 черный шар. Записать событие, которое состоит в том, что из урн выбраны 2 белых шара

Чтобы рассчитать статистическую вероятность необходимо после проведения испытаний подсчитать: общее число всех проведенных испытаний (n) число испытаний, в которых появилось событие А (m) рассчитать относительную частоту W(A) Пример: При обследовании 250 студентов у 25 человек был обнаружен бронхит. Какова вероятность заболевания у студентов? Решение: 1.общее число всех проведенных испытаний=250 2.число испытаний, в которых появилось событие А=25 Относительная частота:

Комбинаторика Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число возможных перестановок рассчитывается по формуле: P n = n!, n!= 123…n, причем 0!=1, 1!=1 Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов в каждом, которые отличаются либо элементами, либо их порядком. Число возможных размещений

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов в каждом, которые отличаются хотя бы одним элементом Пример: Приема у врача ожидают 3 мужчин и 5 женщин. Врач вызывает двоих. Какова вероятность того, что зайдут один мужчина и одна женщина? Решение: 1) Число общих исходов (способы, которые позволяют вызвать 1 мужчину и 1 женщину из 8 человек) 2) Число благоприятных исходов для мужчин -, для женщин Вероятность

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА: Основная литература: Ганичева А.В., Козлов В.П. Математика для психологов. М.: Аспект-пресс, 2005, с Павлушков И.В. Основы высшей математики и математической статистики. М., ГЭОТАР-Медиа, Журбенко Л. Математика в примерах и задачах. М.: Инфра-М, 2009.

Предмет теории вероятностей. Случайные события и их классификация. Классическое определение вероятности. Общие принципы комбинаторики.

Вероятность относится к числу таких понятий, которыми мы охотно пользуемся в повседневной жизни, совсем не задумываясь об этом. Например, даже наша речь носит отпечаток стихийно-вероятностного подхода к окружающей нас действительности. Мы часто употребляем слова "вероятно ", "маловероятно ", "невероят­но" . Уже в этих словах имеется попытка оценить возможность появления того или иного события, т.е. попытка дать количественную оценку этой возможности. Идея выражать числами степень возможности появления тех или иных событий возникла после того, как люди попытались обобщить достаточно большое число наблюдений за явлениями, в которых проявляется свойство устойчивости, т.е. способность повторяться довольно часто.

Например, нельзя заранее определить результат одного подбрасывания монеты. Но если подбрасывать монету достаточно большое число раз, то почти наверняка можно утверждать, что примерно половину раз она упадет на "орла", а половину на "решку". Число подобных примеров, в которых интуитивное представление о численном значении вероятности того или иного события, можно привести очень много. Однако все подобные примеры сопровождаются неопределенными понятиями типа "честное" подбрасывание, "правильная" монета и т.п. Теория вероятностей стала наукой лишь тогда, когда были выявлены основные понятия теории вероятностей, четко сформулировано само понятие вероятности, построена вероятностная аксиоматическая модель.

Любая наука, развивающая общую теорию какого-либо круга явлений, содержит ряд основных понятий, на которых она базируется. Таковы, например, в геометрии понятия точки, прямой, плоскости, линии, поверхности; в математическом анализе – функции, предела, дифференциала, интеграла; в механике – силы, массы, скорости, ускорения. Естественно, что такие понятия есть и в теории вероятностей. Одним из таких основных понятий является понятие случайного события .

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ИХ ВЕРОЯТНОСТИ

Случайные события и их классификация

Под событием будем понимать любое явление, которое происходит в результате осуществления определенного комплекса условий. Осуществление этого комплекса условий называют экспериментом (опытом, испытанием ). Заметим, что в проведении опыта необязательно должен участвовать сам исследователь. Опыт можно поставить мысленно, или он может протекать независимо от него; в последнем случае исследователь выступает в качестве наблюдателя.

Событие называется достоверным , если оно непременно должно произойти при выполнении определенных условий. Так, достоверным является выпадение не более шести очков при бросании обычной игральной кости; утверждение, что вода является находится в жидком состоянии при +20 0 С в нормальных условиях, и т.п. Событие называется невозможным , если оно заведомо не наступит при выполнении определенных условий. Так, невозможным событием является утверждение, что можно извлечь более четырех тузов из обычной колоды карт; или утверждение Мюнхгаузена, что он мог поднять себя за волосы, и т.п. Событие называется случайным, если оно может либо произойти, либо не произойти при выполнении определенных условий. Например, выпадение «орла» при бросании монеты; попадание в цель при одном выстреле по мишени и т.п.

В теории вероятностей любое событие рассматривается как результат некоторого эксперимента. Поэтому события часто называют исходами . При этом исход того или иного эксперимента должен зависеть от ряда случайных факторов, т.е. любой исход должен являться случайным событием; в противном случае, такими событиями должны заниматься другие науки. Особо следует отметить, что в теории вероятностей рассматриваются только такие эксперименты, которые можно повторить (воспроизвести) при неизменном комплексе условий произвольное число раз (по крайней мере теоретически). То есть, теория вероятностей изучает лишь такие события, в отношении которых имеет смысл не только утверждение об их случайности, но и возможна объективная оценка доли случаев их появления. В связи с этим, подчеркнем, что теория вероятностей не занимается изучением уникальных событий, как бы они ни были интересными сами по себе. Например, утверждение, что в данном месте в данное время произойдет землетрясение, относится к числу случайных событий. Однако подобные события уникальны, поскольку их нельзя воспроизвести.

Другой пример, событие, состоящее в том, что данный механизм проработает больше года, является случайным, но уникальным. Конечно, каждый механизм индивидуален по своим качествам, но этих механизмов может изготовляться очень много, причем изготовленных в одних и тех же условиях. Испытания многих сходных объектов дает ту информацию, которая позволяет оценить долю числа появления рассматриваемого случайного события. Таким образом, в теории вероятностей имеют дело с повторением испытаний двух типов : 1) повторение испытаний для одного и того же объекта ; 2) испытание многих сходных объектов .

В дальнейшем для краткости слово «случайный» будем опускать. События будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C и т.д.

События A и B называются несовместными , если наступление одного из них исключает возможность появления другого. Например, при подбрасывании монеты могут наступить два события: выпадет "орел" или "решка". Однако, одновременно эти события, при одном подбрасывании, появится не могут. Если в результате испытания возможно одновременное появление событий A и B, то такие события называются совместными . Например, выпадение четного числа очков при подбрасывании игральной кости (событие А) и числа очков, кратного трем (событие В) будут совместными, ибо выпадение шести очков означает наступление и события А, и события В.

вероятность событие комбинаторика статистика

Теория вероятностей - это раздел математики, изучающий модели случайных явлений. Случайными явлениями называются явления с неопределенным исходом, происходящие при неоднократном воспроизведении определенного комплекса условий. Становление и развитие теории вероятностей связано с именами таких великих ученых, как: Кардано, Паскаль, Ферма, Бернулли, Гаусса, Чебышева, Калмогорова и многих других. Закономерности случайных явлений впервые были обнаружены в16 - 17 вв. на примере азартных игр, подобных игре в кости. Очень давно известны так же закономерности рождения и смерти. Например, известно, что вероятность новорожденному быть мальчиком? 0,515. В 19-20 вв. было открыто большое число закономерностей в физике, химии, биологии и т. д. В настоящее время методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях естествознания и техники: в теории надежности, теории массового обслуживания, в теоретической физике, геодезии, астрономии, теории стрельбы, теории ошибок наблюдений, теории автоматического управления, общей теории связи и во многих других теоретических и прикладных науках. Теория вероятностей служит также для обоснования математической и прикладной статистики, которая в свою очередь используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов, предупредительном и приемочном контроле качества продукции и для многих других целей. В последние годы методы теории вероятностей все шире и шире проникают в различные области науки и техники, способствуя их прогрессу.

Испытание. Событие. Классификация событий

Испытание - это многократное воспроизведение одного и того же комплекса условий, при котором производится наблюдение. Качественный результат испытания - событие. Пример 1: В урне имеются цветные шары. Из урны на удачу берут один шар. Испытание - извлечение шара из урны; Событие - появление шара определенного цвета. О. 2: Множество взаимоисключающих исходов одного испытания называется множеством элементарных событий или элементарных исходов. Пример 2: Игральная кость подбрасывается один раз. Испытание - подбрасывание кости; Событие - выпадение определенного числа очков. Множество элементарных исходов - {1,2,3,4,5,6}. События обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: А 1, А 2 ,…,А,В,С,… Наблюдаемые события (явления) можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные, случайные. О. 3: Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно произойдет. О. 4: Событие называется невозможным, если в результате испытания оно никогда не произойдет. О. 5: Событие называется случайным, если в результате испытания оно может либо произойти, либо не произойти. Пример 3: Испытание - мяч подбрасывается вверх. Событие A ={мяч упадет} - достоверное; Событие B={мяч зависнет в воздухе} - невозможное; Событие C={мяч упадет на голову бросавшему} - случайное. Случайные события (явления) можно подразделить на следующие виды: совместные, несовместные, противоположные, равновозможные. О. 6: Два события называются совместными, если при одном испытании, появление одного из них не исключает появление другого. О. 7: Два события называются несовместными, если при одном испытании, появление одного из них исключает появление другого. Пример 4: Монета подбрасывается два раза. Событие A - {Первый раз выпал герб}; Событие B - {Второй раз выпал герб}; Событие C - {Первый раз выпал орел}. События A и B - совместные, A и C - несовместные. О. 8: Несколько событий образуют полную группу в данном испытании, если они попарно несовместны и в результате испытания одно из этих событий обязательно появится. Пример 5: Мальчик бросает монетку в игральный автомат. Событие A ={мальчик выиграет}; Событие B={мальчик не выиграет}; A и B - образуют полную группу событий. О. 9: Два несовместных события, образующих полную группу называются противоположными. Событие противоположное событию A обозначается. Пример 6. Делается один выстрел по мишени. Событие A - попадание; Событие - промах.