Случайной величиной называется переменная, которая может принимать те или иные значения в зависимости от различных обстоятельств, и случайная величина называется непрерывной , если она может принимать любое значение из какого-либо ограниченного или неограниченного интервала. Для непрерывной случайной величины невозможно указать все возможные значения, поэтому обозначают интервалы этих значений, которые связаны с определёнными вероятностями.
Примерами непрерывных случайных величин могут служить: диаметр детали, обтачиваемой до заданного размера, рост человека, дальность полёта снаряда и др.
Так как для непрерывных случайных величин функция F (x ), в отличие от дискретных случайных величин , нигде не имеет скачков, то вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.
Это значит, что для непрерывной случайной величины бессмысленно говорить о распределении вероятностей между её значениями: каждое из них имеет нулевую вероятность. Однако в некотором смысле среди значений непрерывной случайной величины есть "более и менее вероятные". Например, вряд ли у кого-либо возникнет сомнение, что значение случайной величины - роста наугад встреченного человека - 170 см - более вероятно, чем 220 см, хотя и одно, и другое значение могут встретиться на практике.
Функция распределения непрерывной случайной величины и плотность вероятности
В качестве закона распределения, имеющего смысл только для непрерывных случайных величин, вводится понятие плотности распределения или плотности вероятности. Подойдём к нему путём сравнения смысла функции распределения для непрерывной случайной величины и для дискретной случайной величины.
Итак, функцией распределения случайной величины (как дискретной, так и непрерывной) или интегральной функцией называется функция , которая определяет вероятность, что значение случайной величины X меньше или равно граничному значению х .
Для дискретной случайной величины в точках её значений x 1 , x 2 , ..., x i ,... сосредоточены массы вероятностей p 1 , p 2 , ..., p i ,... , причём сумма всех масс равна 1. Перенесём эту интерпретацию на случай непрерывной случайной величины. Представим себе, что масса, равная 1, не сосредоточена в отдельных точках, а непрерывно "размазана" по оси абсцисс Оx с какой-то неравномерной плотностью. Вероятность попадания случайной величины на любой участок Δx будет интерпретироваться как масса, приходящаяся на этот участок, а средняя плотность на этом участке - как отношение массы к длине. Только что мы ввели важное понятие теории вероятностей: плотность распределения.
Плотностью вероятности f (x ) непрерывной случайной величины называется производная её функции распределения:
.
Зная функцию плотности, можно найти вероятность того, что значение непрерывной случайной величины принадлежит закрытому интервалу [a ; b ]:
вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала [a ; b ], равна определённому интегралу от её плотности вероятности в пределах от a до b :
.
При этом общая формула функции F (x ) распределения вероятностей непрерывной случайной величины, которой можно пользоваться, если известна функция плотности f (x ) :
.
График плотности вероятности непрерывной случайной величины называется её кривой распределения (рис. ниже).
Площадь фигуры (на рисунке заштрихована), ограниченной кривой, прямыми, проведёнными из точек a и b перпендикулярно оси абсцисс, и осью Ох , графически отображает вероятность того, что значение непрерывной случайной величины Х находится в пределах от a до b .
Свойства функции плотности вероятности непрерывной случайной величины
1. Вероятность того, что случайная величина примет какое-либо значение из интервала (и площадь фигуры, которую ограничивают график функции f (x ) и ось Ох ) равна единице:
2. Функция плотности вероятности не может принимать отрицательные значения:
а за пределами существования распределения её значение равно нулю
Плотность распределения f (x ), как и функция распределения F (x ), является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции распределения, она не универсальна: плотность распределения существует только для непрерывных случайных величин.
Упомянем о двух важнейших в практике видах распределения непрерывной случайной величины.
Если функция плотности распределения f (x ) непрерывной случайной величины в некотором конечном интервале [a ; b ] принимает постоянное значение C , а за пределами интервала принимает значение, равное нулю, то такое распределение называется равномерным .
Если график функции плотности распределения симметричен относительно центра, средние значения сосредоточены вблизи центра, а при отдалении от центра собираются более отличающиеся от средних (график функции напоминает разрез колокола), то такое распределение называется нормальным .
Пример 1. Известна функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины:
Найти функцию f (x ) плотности вероятности непрерывной случайной величины. Построить графики обеих функций. Найти вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-либо значение в интервале от 4 до 8: .
Решение. Функцию плотности вероятности получаем, находя производную функции распределения вероятностей:
График функции F (x ) - парабола:
График функции f (x ) - прямая:
Найдём вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое либо значение в интервале от 4 до 8:
Пример 2. Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины дана в виде:
Вычислить коэффициент C . Найти функцию F (x ) распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Построить графики обеих функций. Найти вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-либо значение в интервале от 0 до 5: .
Решение. Коэффициент C найдём, пользуясь свойством 1 функции плотности вероятности:
Таким образом, функция плотности вероятности непрерывной случайной величины:
Интегрируя, найдём функцию F (x ) распределения вероятностей. Если x < 0 , то F (x ) = 0 . Если 0 < x < 10 , то
.
x > 10 , то F (x ) = 1 .
Таким образом, полная запись функции распределения вероятностей:
График функции f (x ) :
График функции F (x ) :
Найдём вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое либо значение в интервале от 0 до 5:
Пример 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины X задана равенством , при этом . Найти коэффициент А , вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала ]0, 5[, функцию распределения непрерывной случайной величины X .
Решение. По условию приходим к равенству
Следовательно, , откуда . Итак,
.
Теперь находим вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала ]0, 5[:
Теперь получим функцию распределения данной случайной величины:
Пример 4.
Найти плотность вероятности непрерывной
случайной величины X
, которая принимает только неотрицательные значения, а
её функция распределения 
.
Пусть непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения f(x) . Допустим, что все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a,b ].
Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку , называется определенный интеграл
Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле:
При этом, конечно, предполагается, что несобственный интеграл сходится.
Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения.
По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула:
Определение. Средним квадратичным отклонением называется квадратный корень из дисперсии.
Определение. Модой М 0 дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Для непрерывной случайной величины мода – такое значение случайной величины, при которой плотность распределения имеет максимум.
Если многоугольник распределения для дискретной случайной величины или кривая распределения для непрерывной случайной величины имеет два или несколько максимумов, то такое распределение называется двухмодальным или многомодальным . Если распределение имеет минимум, но не имеет максимума, то оно называется антимодальным .
Определение. Медианой M D случайной величины Х называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины.
Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам. Отметим, что если распределение одномодальное, то мода и медиана совпадают с математическим ожиданием.
Определение. Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины Х k .
Начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию.
Определение. Центральным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины
Для дискретной случайной величины: .
Для непрерывной случайной величины: .
Центральный момент первого порядка всегда равен нулю, а центральный момент второго порядка равен дисперсии. Центральный момент третьего порядка характеризует асимметрию распределения.
Определение. Отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению в третьей степени называется коэффициентом асимметрии .
Определение. Для характеристики островершинности и плосковершинности распределения используется величина, называемая эксцессом .
Кроме рассмотренных величин используются также так называемые абсолютные моменты:
Абсолютный начальный момент: . Абсолютный центральный момент: . Абсолютный центральный момент первого порядка называется средним арифметическим отклонением .
Пример. Для рассмотренного выше примера определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.
Пример. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из нее пять раз подряд извлекают шар, причем каждый раз вынутый шар возвращают обратно и шары перемешивают. Приняв за случайную величину Х число извлеченных белых шаров, составить закон распределения этой величины, определить ее математическое ожидание и дисперсию.
Т.к. шары в каждом опыте возвращаются обратно и перемешиваются, то испытания можно считать независимыми (результат предыдущего опыта не влияет на вероятность появления или непоявления события в другом опыте).
Таким образом, вероятность появления белого шара в каждом опыте постоянна и равна
Таким образом, в результате пяти последовательных испытаний белый шар может не появиться вовсе, появиться один раз, два, три, четыре или пять раз. Для составления закона распределения надо найти вероятности каждого из этих событий.
1) Белый шар не появился вовсе:
2) Белый шар появился один раз:
3) Белый шар появиться два раза: .
Функция распределения в этом случае согласно (5.7), примет вид:
где: m – математическое ожидание, s– среднеквадратическое отклонение.
Нормальное распределение называют еще гауссовским по имени немецкого математика Гаусса . Тот факт, что случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами: m,, обозначают так: N (m,s), где: m =a =M ;
Достаточно часто в формулах математическое ожидание обозначают через а . Если случайная величина распределена по закону N(0,1), то она называется нормированной или стандартизированной нормальной величиной. Функция распределения для нее имеет вид:
|
|
.График плотности нормального распределения, который называют нормальной кривой или кривой Гаусса, изображен на рис.5.4.
Рис. 5.4. Плотность нормального распределения
Определение числовых характеристик случайной величины по её плотности рассматривается на примере.
Пример 6 .
Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения:
.
Определить вид распределения, найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X).
Сравнивая заданную плотность распределения с (5.16) можно сделать вывод, что задан нормальный закон распределения с m =4. Следовательно, математическое ожидание M(X)=4, дисперсия D(X)=9.
Среднее квадратическое отклонение s=3.
Функция Лапласа, имеющая вид:
|
|
,связана с функцией нормального распределения (5.17), cоотношением:
F 0 (x) = Ф(х) + 0,5.
Функции Лапласа нечётная.
Ф(-x )=-Ф(x ).
Значения функции Лапласа Ф(х) табулированы и берутся из таблицы по значению х (см. Приложение 1).
Нормальное распределение непрерывной случайной величины играет важную роль в теории вероятностей и при описании реальности, имеет очень широкое распространение в случайных явлениях природы. На практике очень часто встречаются случайные величины, образующиеся именно в результате суммирования многих случайных слагаемых. В частности, анализ ошибок измерения показывает, что они являются суммой разного рода ошибок. Практика показывает, что распределение вероятностей ошибок измерения близко к нормальному закону.
С помощью функции Лапласа можно решать задачи вычисления вероятности попадания в заданный интервал и заданного отклонения нормальной случайной величины.
Понятия математического ожидания М (Х ) и дисперсии D (X ), введенные ранее для дискретной случайной величины, можно распространить на непрерывные случайные величины.
· Математическое ожидание М (Х ) непрерывной случайной величины Х определяется равенством:
при условии, что этот интеграл сходится.
· Дисперсия D (X ) непрерывной случайной величины Х определяется равенством:
· Среднее квадратическое отклонение σ(Х ) непрерывной случайной величины определяется равенством:
Все свойства математического ожидания и дисперсии, рассмотренные ранее для дискретных случайных величин, справедливы и для непрерывных.
Задача 5.3. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией f (x ):
Найти M (X ), D (X ), σ(Х ), а также P (1 < х < 5).
Решение:
M (X )= =
+ = 8/9 0+9/6 4/6=31/18,
D (X )=
= = /
P 1 =
Задачи
5.1. Х
f (x ), а также
Р (‒1/2 < Х < 1/2).
5.2. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения:
Найти дифференциальную функцию распределения f (x ), а также
Р (2π /9 < Х < π /2).
5.3. Непрерывная случайная величина Х
Найти: а) число с ; б) М (Х ), D (X ).
5.4. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения:
Найти: а) число с ; б) М (Х ), D (X ).
5.5. Х :
Найти: а) F (х ) и построить ее график; б) M (X ), D (X ), σ(Х ); в) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях величина Х примет ровно 2 раза значение, принадлежащее интервалу (1;4).
5.6. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х :
Найти: а) F (х ) и построить ее график; б) M (X ), D (X ), σ(Х ); в) вероятность того, что в трех независимых испытаниях величина Х примет ровно 2 раза значение, принадлежащее отрезку .
5.7. Функция f (х ) задана в виде:
с Х ; б) функцию распределения F (x ).
5.8. Функция f (x ) задана в виде:
Найти: а) значение постоянной с , при которой функция будет плотностью вероятности некоторой случайной величины Х ; б) функцию распределения F (x ).
5.9. Случайная величина Х , сосредоточенная на интервале (3;7), задана функцией распределения F (х )= Х примет значение: а) меньше 5, б) не меньше 7.
5.10. Случайная величина Х , сосредоточенная на интервале (-1;4), задана функцией распределения F (х )= . Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение: а) меньше 2, б) меньше 4.
5.11.
Найти: а) число с ; б) М (Х ); в) вероятность Р (Х > М (Х )).
5.12. Случайная величина задана дифференциальной функцией распределения:
Найти: а) М (Х ); б) вероятность Р (Х ≤ М (Х )).
5.13. Распределение Ремя задается плотностью вероятности:
Доказать, что f (x ) действительно является плотностью распределения вероятностей.
5.14. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х :
Найти число с .
5.15. Случайная величина Х распределена по закону Симпсона (равнобедренного треугольника) на отрезке [-2;2] (рис. 5.4). Найти аналитическое выражение для плотности вероятности f (x ) на всей числовой оси.
Рис. 5.4 Рис. 5.5
5.16. Случайная величина Х распределена по закону "прямоугольного треугольника" в интервале (0;4) (рис. 5.5). Найти аналитическое выражение для плотности вероятности f (x ) на всей числовой оси.
Ответы
P (-1/2<X <1/2)=2/3.
P (2π /9<Х < π /2)=1/2.
5.3. а) с =1/6, б) М (Х )=3 , в) D (X )=26/81.
5.4. а) с =3/2, б) М (Х )=3/5, в) D (X )=12/175.
б) M (X )= 3 , D (X )= 2/9, σ(Х )= /3.
б) M (X )=2 , D (X )= 3 , σ(Х )= 1,893.
5.7. а) с = ; б)
5.8. а) с =1/2; б)
5.9. а)1/4; б) 0.
5.10. а)3/5; б) 1.
5.11. а) с = 2; б) М (Х )= 2; в) 1-ln 2 2 ≈ 0,5185.
5.12. а) М (Х )= π /2 ; б) 1/2
Функцией распределения
случайной
величиныХ
называется функцияF
(х
),
выражающая для каждогох
вероятность
того, что случайная величинаХ
примет
значение, меньшеех
:
.
Функцию F (х ) иногда называют интегральной функцией распределения, или интегральным законом распределения .
Случайная величина Х называется непрерывной , если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.
Примеры непрерывных случайных величин: диаметр детали, которую токарь обтачивает до заданного размера, рост человека, дальность полета снаряда и др.
Теорема. Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равна нулю
.
Следствие.
Если Х
-
непрерывная случайная величина, то
вероятность попадания случайной величины
в интервал 
не зависит от того, является этот интервал
открытым или закрытым, т.е.
Если
непрерывная случайная величина Х
может принимать только значения в
границах от а
до b
(где а
и b
-
некоторые постоянные), то функция
распределения ее равна нулю для всех
значений 
и единице для значений 
.
Для непрерывной случайной величины
Все свойства функций распределения дискретных случайных величин выполняются и для функций распределения непрерывных случайных величин.
Задание непрерывной случайной величины с помощью функции распределения не является единственным.
Плотностью вероятности (плотностью распределения или плотностью ) р (х ) непрерывной случайной величины Х называется производная ее функции распределения
.
Плотность вероятности р (х ), как и функция распределенияF (х ), является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции распределения она существует только длянепрерывных случайных величин.
Плотность вероятности иногда называют дифференциальной функцией, или дифференциальным законом распределения .
График плотности вероятности называется кривой распределения.
Свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины:
Рис. 8.1
Рис. 8.2
4.
.
Геометрически свойства плотности вероятности означают, что ее график - кривая распределения - лежит не ниже оси абсцисс, и полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.
Пример 8.1. Минутная стрелка электрических часов передвигается скачками поминутно. Вы бросили взгляд на часы. Они показывают а минут. Тогда для вас истинное время в данный момент будет случайной величиной. Найти ее функцию распределения.
Решение.
Очевидно, что функция распределения
истинного времени равна 0 для всех
и единице для
.
Время течет равномерно. Поэтому
вероятность того, что истинное время
меньше а
+
0,5 мин, равна 0,5, так как одинаково
вероятно, прошло ли после а
менее или более полминуты. Вероятность
того, что истинное время меньше а
+ 0,25 мин, равна 0,25 (вероятность этого
времени втрое меньше вероятности того,
что истинное время больше а
+ 0,25 мин, а сумма их равна единице, как
сумма вероятностей противоположных
событий). Аналогично рассуждая, найдем,
что вероятность того, что истинное время
меньше а
+ 0,6 мин, равна 0,6. В общем случае вероятность
того, что истинное время меньше а
+ + α
мин
,
равна α
.
Следовательно, функция распределения
истинного времени имеет следующее
выражение:
О
на
непрерывна всюду, а производная ее
непрерывна во всех точках, за исключением
двух:х = а
их = а
+ 1.
График этой функции имеет вид
(рис. 8.3):
Рис. 8.3
Пример 8.2. Является ли функцией распределения некоторой случайной величины функция
Решение.
Все
значения этой функции принадлежат
отрезку
,
т.е.
.
Функция F
(х
)
является неубывающей: в промежутке
она постоянна, равна нулю, в промежутке
возрастает, в промежутке
также постоянна, равна единице (см.
рис. 8.4). Функция непрерывна в каждой
точке х
0
области ее определения - промежутка
,
поэтому непрерывна слева, т.е. выполняется
равенство
,
.
Выполняются и равенства:
,
.
Следовательно,
функция
удовлетворяет всем свойствам, характерным
для функции распределения. Значит данная
функция
является функцией распределения
некоторой случайной величиныХ
.
Пример 8.3. Является ли функцией распределения некоторой случайной величины функция
Решение. Данная функция не является функцией распределения случайной величины, так как напромежутке она убывает и не является непрерывной. График функции изображен на рис. 8.5.
Рис. 8.5
Пример 8.4. Случайная величина Х задана функцией распределения
Найти
коэффициент а
и плотность вероятности случайной
величины Х
.
Определить вероятность неравенства 
.
Решение. Плотность распределения равна первой производной от функции распределения
Коэффициент а определяем с помощью равенства
,
.
Тот
же результат можно было получить,
используя непрерывность функции
в точке
,
.
Следовательно,
.
Поэтому плотность вероятности имеет вид
Вероятность
попадания
случайной величины Х
в заданный промежуток вычисляется по
формуле
Пример 8.5. Случайная величина Х имеет плотность вероятности (закон Коши)
.
Найти
коэффициент а
и вероятность того, что случайная
величина Х
примет какое-нибудь значение из интервала
.
Найти функцию распределения этой
случайной величины.
Решение. Найдем коэффициент а из равенства
,
Следовательно,
.
Итак,
.
Вероятность того, что случайная величина
Х
примет какое-нибудь значение из
интервала
,
равна
Найдем функцию распределения данной случайной величины
П
ример
8.6.
График плотности вероятности
случайной величиныХ
изображен на
рис. 8.6 (закон Симпсона). Написать
выражение плотности вероятности ифункцию
распределения этой случайной величины.
Рис. 8.6
Решение. Пользуясь графиком, записываем аналитическое выражение плотности распределения вероятностей данной случайной величины
Найдем функцию распределения.
Если
,
то
.
Если
,
то
.
Если
,
то
Если
,
то
Следовательно, функция распределения имеет вид
