Подставив φ(x)=π /4 ,f(x)=1/(b-a)
D[π /4]=( /720) ).
№319 Ребро куба x измерено приближенно, причем a . Рассматривая ребро куба как случайную величину X,распределенную равномерно в интервале (a,b),найти математическое ожидание и дисперсию объема куба.
1.Найдем математическое ожидание площади круга – случайной величины Y=φ(K)= - по формуле
M[φ(X)]=
Поставив φ(x)= ,f(x)=1/(b-a) и выполнив интегрирование, получим
M( )=
.
2.Найдём дисперсию площади круга по формуле
D [φ(X)]=
-
.
Подставив φ(x)= ,f(x)=1/(b-a) и выполнив интегрирование, получим
D
=
.
№320 Случайные величины X и Y независимы и распределены равномерно: X-в интервале (a,b),Y-в интервале (c,d).Найти математическое ожидание произведения XY.
Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е.
M(XY)=
№321 Случайные величины X и Y независимы и распределены равномерно: X- в интервале (a,b), Y – в интервале (c,d). Найти дисперсию произведения XY.
Воспользуемся формулой
D(XY)=M[
Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, поэтому
Найдем M по формуле
M[φ(X)]=
Подставляя φ(x)= ,f(x)=1/(b-a) и выполняя интегрирование,получим
M (**)
Аналогично найдем
M (***)
Подставив M(X)=(a+b)/2, M(Y)=(c+d)/2 ,а так же (***) и (**) в (*),окончательно получим
D(XY)=
-[
.
№322 Математическое ожидание нормально распределённой случайной величины X равно a=3 и среднее квадратическое отклонение σ=2.Написать плотность вероятности X.
Воспользуемся формулой:
f(x)=
.
Подставляя имеющиеся значения получим:
f(x)=
= f(x)=
.
№323 Написать плотность вероятности нормально распределенной случайной величины X, зная, что M(X)=3, D(X)=16.
Воспользуемся формулой:
f(x)=
.
Для того, чтобы найти значение σ воспользуемся свойством, что среднее квадратическое отклонение случайной величины X равно квадратному корню из ее дисперсии. Следовательно σ=4, M(X)=a=3. Подставляя в формулу получим
f(x)=
=
.
№324 Нормально распределенная случайная величина X задана плотностью
f(x)=
.
Найти математическое ожидание и дисперсию X.
Воспользуемся формулой
f(x)=
,
где a -математическое ожидание, σ -среднее квадратическое отклонение X. Из этой формулы следует, что a=M(X)=1 . Для нахождения дисперсии воспользуемся свойством, что среднее квадратическое отклонение случайной величины X равно квадратному корню из ее дисперсии. Следовательно D(X)= =
Ответ: математическое ожидание равно 1; дисперсия равна 25.
Бондарчук Родион
Дана функция распределения нормированного нормального закона 
. Найти плотность распределения f(x).
Зная, что 
, находим f(x).
Ответ: 
Доказать, что функция Лапласа 
. нечетна: 
.
Произведем замену
Делаем обратную замену и получаем:
= 
=
Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике. Главная особенность, выделяющая его среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.
Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса ) с параметрами а и σ 2 , если ее плотность вероятности f (x ) имеет вид :
| . | (6.19) |
Кривую нормального закона распределения называют нормальной или гауссовой кривой . На рис. 6.5 а), б) показана нормальная кривая с параметрами а и σ 2 и график функции распределения.
Обратим внимание на то, что нормальная кривая симметрична относительно прямой х
= а
, имеет максимум в точке х
= а
, равный , и две точки перегиба х
= а
σ
с ординатами .
Можно заметить, что в выражении плотности нормального закона параметры распределения обозначены буквами а и σ 2 , которыми мы обозначали математическое ожидание и дисперсию. Такое совпадение не случайно. Рассмотрим теорему, которая устанавливает теоретико-вероятностный смысл параметров нормального закона.
Теорема. Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, равно параметру a этого распределения , т.е.
| М (Х ) = а , | (6.20) |
а ее дисперсия – параметру σ 2 , т.е.
| D (X ) = σ 2 . | (6.21) |
Выясним, как будет меняться нормальная кривая при изменении параметров а и σ .
Если σ = const, и меняется параметр a (а 1 < а 2 < а 3), т.е. центр симметрии распределения, то нормальная кривая будет смещаться вдоль оси абсцисс, не меняя формы (рис. 6.6).
Рис. 6.6
Рис. 6.7
Если а = const и меняется параметр σ , то меняется ордината максимума кривой f max (a ) = . При увеличении σ ордината максимума уменьшается, но так как площадь под любой кривой распределения должна оставаться равной единице, то кривая становится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс. При уменьшении σ , напротив, нормальная кривая вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков (рис. 6.7).
Таким образом, параметр a характеризует положение, а параметр σ – форму нормальной кривой.
Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами a = 0 и σ = 1 называется стандартным или нормированным , а соответствующая нормальная кривая – стандартной или нормированной .
Сложность непосредственного нахождения функции распределения случайной величины, распределенной по нормальному закону, связана с тем, что интеграл от функции нормального распределения не выражается через элементарные функции. Однако его можно вычислить через специальную функцию, выражающую определенный интеграл от выражения или . Такую функцию называют функцией Лапласа , для нее составлены таблицы. Существует много разновидностей такой функции, например:
, 
.
Мы будем использовать функцию
Рассмотрим свойства случайной величины, распределенной по нормальному закону.
1. Вероятность попадания случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, в интервал [α , β ] равна
Вычислим по этой формуле вероятности при различных значениях δ (используя таблицу значений функции Лапласа):
при δ = σ = 2Ф(1) = 0,6827;
при δ = 2σ = 2Ф(2) = 0,9545;
при δ = 3σ = 2Ф(3) = 0,9973.
Отсюда вытекает так называемое «правило трех сигм »:
Если случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами a и σ, то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале (a – 3σ ; a + 3σ ).
Пример 6.3. Полагая, что рост мужчин определенной возрастной группы есть нормально распределенная случайная величина Х с параметрами а = 173 и σ 2 = 36, найти:
1. Выражение плотности вероятности и функции распределения случайной величины Х ;
2. Долю костюмов 4-го роста (176 – 183 см) и долю костюмов 3-го роста (170 – 176 см), которые нужно предусмотреть в общем объеме производства для данной возрастной группы;
3. Сформулировать «правило трех сигм» для случайной величины Х .
1. Находим плотность вероятности
и функцию распределения случайной величины Х
= .
2. Долю костюмов 4-го роста (176 – 182 см) находим как вероятность
Р
(176 ≤ Х
≤ 182) = 
= Ф(1,5) – Ф(0,5).
По таблице значений функции Лапласа (Приложение 2 ) находим:
Ф(1,5) = 0,4332, Ф(0,5) = 0,1915.
Окончательно получаем
Р (176 ≤ Х ≤ 182) = 0,4332 – 0,1915 = 0,2417.
Долю костюмов 3-го роста (170 – 176 см) можно найти аналогично. Однако проще это сделать, если учесть, что данный интервал симметричен относительно математического ожидания а = 173, т.е. неравенство 170 ≤ Х ≤ 176 равносильно неравенству │Х – 173│≤ 3. Тогда
Р (170 ≤Х ≤176) = Р (│Х – 173│≤ 3) = 2Ф(3/6) = 2Ф(0,5) = 2·0,1915 = 0,3830.
3. Сформулируем «правило трех сигм» для случайной величины Х:
Практически достоверно, что рост мужчин данной возрастной группы заключен в границах от а – 3σ = 173 – 3·6 = 155 до а + 3σ = 173 + 3·6 = 191, т.е. 155 ≤ Х ≤ 191. ◄
7. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Как уже говорилось при изучении случайных величин, невозможно заранее предсказать, какое значение примет случайная величина в результате единичного испытания – это зависит от многих причин, учесть которые невозможно.
Однако при многократном повторении испытаний характер поведения суммы случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным. Наличие закономерностей связано именно с массовостью явлений, порождающих в своей совокупности случайную величину, подчиненную вполне определенному закону. Суть устойчивости массовых явлений сводится к следующему: конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате массы таких явлений; случайные отклонения от среднего, неизбежные в каждом отдельном явлении, в массе взаимно погашаются, нивелируются, выравниваются.
Именно эта устойчивость средних и представляет собой физическое содержание «закона больших чисел», понимаемого в широком смысле слова: при очень большом числе случайных явлений их результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.
В узком смысле слова под «законом больших чисел» в теории вероятностей понимается ряд математических теорем, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа опытов к некоторым определенным постоянным.
Закон больших чисел играет важную роль в практических применениях теории вероятностей. Свойство случайных величин при определенных условиях вести себя практически как не случайные позволяет уверенно оперировать этими величинами, предсказывать результаты массовых случайных явлений почти с полной определенностью.
Возможности таких предсказаний в области массовых случайных явлений еще больше расширяются наличием другой группы предельных теорем, касающихся уже не предельных значений случайных величин, а предельных законов распределения. Речь идет о группе теорем, известных под названием «центральной предельной теоремы». Различные формы центральной предельной теоремы различаются между собой теми условиями, для которых устанавливается это предельное свойство суммы случайных величин.
Различные формы закона больших чисел с различными формами центральной предельной теоремы образуют совокупность так называемых предельных теорем теории вероятностей. Предельные теоремы дают возможность не только осуществлять научные прогнозы в области случайных явлений, но и оценивать точность этих прогнозов.
В различных отраслях науки и техники, а также метрологической практике закон нормального распределения (или просто нормальный закон) нашел наибольшее применение. Этому закону подчиняются многие случайные непрерывные величины. Широкое применение закона нормального распределения объясняется центральной предельной теоремой. Из этой теоремы следует, что если случайная величина X представляет собой сумму взаимно независимых случайных величин х р х 2 , ..., х, влияние каждой из которых на всю сумму незначительно, то независимо оттого, каким законам распределения подчиняется каждое из слагаемы х п, сама величина X будет иметь распределение вероятностей, близкое к нормальному, и тем точнее, чем больше число слагаемых.
Дифференциальная функция распределения или плотность распределения вероятности случайной непрерывной величины, подчиняющейся нормальному закону, имеет вид:
где х - переменная случайная величина (результат наблюдений); о х, а д - среднее квадратическое отклонение результатов наблюдений случайной составляющей их погрешности; т х - математическое
ожидание; в - основание натуральных логарифмов, е = 2, 71828.
Следует помнить, что о х = а д.
Дифференциальная функция нормального распределения графически выражается в виде колоколообразной кривой (кривая Гаусса), представленной на рис. 5.8.
Функция Ф(А) нормированного нормального распределения (интеграл Гаусса) в табличном виде представлена в приложении А.
Как видно на рис. 5.8, кривая нормального распределения случайной величины х результатов измерений симметрична относительно математического ожидания.
Если х - результаты многократных наблюдений одной и той же детерминированной физической величины, то указанная выше кривая симметрична относительно математического ожидания результатов этих наблюдений.
Как уже говорилось ранее, если в качестве случайной величины принята случайная погрешность А со средним квадратическим отклонением а д, эта кривая симметрична относительно оси ординат (рис. 5.9).
Положение кривой Р х (х) =/(х) относительно начала координат определяется значением математического ожидания. Причем обычно на практике берется не математическое ожидание, а среднее арифметическое результатов многократных наблюдений X.
Форма кривой нормального распределения определяется параметром а. Как было показано ранее, чем меньше а, тем более островершинной становится кривая, а ее ветви сближаются (см. рис. 5.4).
Вероятность попадания результата наблюдения в заданный интервал [х р х 2 ] равна площади под кривой нормального распределения, ограниченной нижней Xj и верхней х 7 границами доверительного интервала (рис. 5.10).
Выразим это математически:
Производя замену переменных и их подстановку, получим
В теории вероятностей и метрологии для определения вероятности попадания результата наблюдений в некоторый интервал применяется так называемая нормированная функция Лапласа Ф(Z) =
=
которая табулирована. Условия нормирования
заключаются в том, что значение среднего арифметического результатов измерений X принимается равным нулю, а среднее квадратическое отклонение о = 1. В этом случае параметром является величина
Значения функции Лапласа приведены в приложении Б. Используя функцию Лапласа, можно следующим образом определить вероятность попадания результата наблюдения X в интервал (х, х 2):
Приведенное выражение говорит о том, что вероятность попадания результата наблюдения в заданный интервал [х р х-,] равна разнице значений функции Лапласа в точках верхней и нижней границ доверительного интервала.
При рассмотрении этой формулы следует иметь в виду, что O(-Z) = = -0(Z).
Моменты функции распределения случайной погрешности А, распределенной по нормальному закону:
Интегральная функция нормального распределения, представленная на рис. 5.11, выражается через дифференциальную следующим образом:
Правило трех сигм. На практике достаточно часто требуется оценить вероятность того, что отклонение нормально распределенной величины X по абсолютному значению не превышает определенный размер, который обычно принимается равным положительному числу 8.
Другими словами, требуется найти вероятность того, что осуществляется неравенство Х-а 5.
Это неравенство равносильно следующему: - Ь или (а-Ъ) +5).
Используя правило, что вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал равна разнице значений функции Лапласа на границах этого интервала, т.е. Р(а (3) =
=
", получим
При а = 0 получим
Если положить, что 5 = За, получим
Таким образом, вероятность отклонения истинного значения случайной величины X по абсолютному значению будет меньше утроенного значения среднего квадратического отклонения. Это и есть правило трех сигм.
Формулируется оно следующим образом: если случайная величина распределена нормально, то абсолютное значение максимального отклонения результата измерения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.
Это правило применимо и следующим образом: если распределение случайной величины неизвестно, но условие, указанное в правиле трех сигм, соблюдается, то есть основание предполагать, что изучаемая случайная величина распределена нормально, в противном случае - нет.
Контрольные вопросы
- 1. Дифференциальная функция распределения результатов измерений и случайной погрешности, подчиняющаяся нормальному закону. Аналитическая зависимость, графический вид, начальный и центральные моменты.
- 2. Интегральная функция, соответствующая нормальному закону распределения.
- 3. Правило трех сигм.
Закон нормального распределения вероятностей непрерывной случайной величины занимает особое место среди различных теоретических законов, т. к. является основным во многих практических исследованиях. Им описывается большинство случайных явлений, связанных с производственными процессами.
К случайным явлениям, подчиняющимся нормальному закону распределения, относятся ошибки измерений производственных параметров, распределение технологических погрешностей изготовления, рост и вес большинства биологических объектов и др.
Нормальным называют закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины, который описывается дифференциальной функцией
a - математическое ожидание случайной величины;
Среднее квадратичное отклонение нормального распределения.
График дифференциальной функции нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса) (рис.7).
Рис. 7 Кривая Гаусса
Свойства нормальной кривой (кривой Гаусса):
1. кривая симметрична относительно прямой x = a;
2. нормальная кривая расположена над осью X, т. е. при всех значениях X функция f(x) всегда положительна;
3. ось ox является горизонтальной асимптотой графика, т. к.
4. при x = a функция f(x) имеет максимум равный
,
в точках A и B при и кривая имеет точки перегиба, ординаты которых равны.
При этом, вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины, распределенной нормально, от ее математического ожидания не превысит среднего квадратичного отклонения , равна 0,6826.
в точках E и G, при и , значение функции f(x) равно
а вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины, распределенной нормально, от ее математического ожидания не превысит удвоенного среднего квадратичного отклонения, равна 0,9544.
Асимптотически приближаясь к оси абсцисс, кривая Гаусса в точках C и D, при и , очень близко подходит к оси абсцисс. В этих точках значение функции f(x) очень мало
а вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины, распределенной нормально, от ее математического ожидания не превысит утроенного среднего квадратичного отклонения, равна 0,9973. Это свойство кривой Гаусса называется "правило трех сигм ".
Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.
Изменение величины параметра a (математического ожидания случайной величины) не изменяет форму нормальной кривой, а приводит лишь к ее смещению вдоль оси X: вправо, если a возрастает, и влево, если a убывает.
При a=0 нормальная кривая симметрична относительно оси ординат.
Изменение величины параметра (среднего квадратичного отклонения) изменяет форму нормальной кривой: с возрастанием ординаты нормальной кривой убывают, кривая растягивается вдоль оси X и прижимается к ней. При убывании ординаты нормальной кривой увеличиваются, кривая сжимается вдоль оси X и становится более "островершинной".
При этом, при любых значениях и площадь ограниченная нормальной кривой и осью X, остается равной единице (т. е. вероятность того, что случайная величина, распределенная нормально, примет значение ограниченное на оси X нормальной кривой, равна 1).
Нормальное распределение с произвольными параметрами и , т. е. описываемое дифференциальной функцией
называется общим нормальным распределением .
Нормальное распределение с параметрами и называется нормированным распределением (рис. 8). В нормированном распределении дифференциальная функция распределения равна:
Рис. 8 Нормированная кривая
Интегральная функция общего нормального распределения имеет вид:
Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону в интервале (c, d). Тогда вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (c, d) равна
Пример. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины равны a=30 и . Найти вероятность того, что X примет значение в интервале (10, 50).
По условию: . Тогда
Пользуясь готовыми таблицами Лапласа (см. приложение 3), имеем.
На практике большинство случайных величин, на которых воздействует большое количество случайных факторов, подчиняются нормальному закону распределения вероятностей. Поэтому в различных приложениях теории вероятностей этот закон имеет особое значение.
Случайная величина $X$ подчиняется нормальному закону распределения вероятностей, если ее плотность распределения вероятностей имеет следующий вид
$$f\left(x\right)={{1}\over {\sigma \sqrt{2\pi }}}e^{-{{{\left(x-a\right)}^2}\over {2{\sigma }^2}}}$$
Схематически график функции $f\left(x\right)$ представлен на рисунке и имеет название «Гауссова кривая». Справа от этого графика изображена банкнота в 10 марок ФРГ, которая использовалась еще до появления евро. Если хорошо приглядеться, то на этой банкноте можно заметить гауссову кривую и ее первооткрывателя величайшего математика Карла Фридриха Гаусса.
Вернемся к нашей функции плотности $f\left(x\right)$ и дадим кое-какие пояснения относительно параметров распределения $a,\ {\sigma }^2$. Параметр $a$ характеризует центр рассеивания значений случайной величины, то есть имеет смысл математического ожидания. При изменении параметра $a$ и неизмененном параметре ${\sigma }^2$ мы можем наблюдать смещение графика функции $f\left(x\right)$ вдоль оси абсцисс, при этом сам график плотности не меняет своей формы.
Параметр ${\sigma }^2$ является дисперсией и характеризует форму кривой графика плотности $f\left(x\right)$. При изменении параметра ${\sigma }^2$ при неизмененном параметре $a$ мы можем наблюдать, как график плотности меняет свою форму, сжимаясь или растягиваясь, при этом не сдвигаясь вдоль оси абсцисс.
Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал
Как известно, вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ можно вычислять $P\left(\alpha < X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:
$$P\left(\alpha < X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$
Здесь функция $\Phi \left(x\right)={{1}\over {\sqrt{2\pi }}}\int^x_0{e^{-t^2/2}dt}$ - функция Лапласа. Значения этой функции берутся из . Можно отметить следующие свойства функции $\Phi \left(x\right)$.
1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, то есть функция $\Phi \left(x\right)$ является нечетной.
2 . $\Phi \left(x\right)$ - монотонно возрастающая функция.
3 . ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } \Phi \left(x\right)\ }=0,5$, ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } \Phi \left(x\right)\ }=-0,5$.
Для вычисления значений функции $\Phi \left(x\right)$ можно также воспользоваться мастером функция $f_x$ пакета Excel: $\Phi \left(x\right)=НОРМРАСП\left(x;0;1;1\right)-0,5$. Например, вычислим значений функции $\Phi \left(x\right)$ при $x=2$.
Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины $X\in N\left(a;\ {\sigma }^2\right)$ в интервал, симметричный относительно математического ожидания $a$, может быть вычислена по формуле
$$P\left(\left|X-a\right| < \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$
Правило трех сигм . Практически достоверно, что нормально распределенная случайная величина $X$ попадет в интервал $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$.
Пример 1 . Случайная величина $X$ подчинена нормальному закону распределения вероятностей с параметрами $a=2,\ \sigma =3$. Найти вероятность попадания $X$ в интервал $\left(0,5;1\right)$ и вероятность выполнения неравенства $\left|X-a\right| < 0,2$.
Используя формулу
$$P\left(\alpha < X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$
находим $P\left(0,5;1\right)=\Phi \left({{1-2}\over {3}}\right)-\Phi \left({{0,5-2}\over {3}}\right)=\Phi \left(-0,33\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,5\right)-\Phi \left(0,33\right)=0,191-0,129=0,062$.
$$P\left(\left|X-a\right| < 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$
Пример 2 . Предположим, что в течение года цена на акции некоторой компании есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 50 условным денежным единицам, и стандартным отклонением, равным 10. Чему равна вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена за акцию будет:
а) более 70 условных денежных единиц?
б) ниже 50 за акцию?
в) между 45 и 58 условными денежными единицами за акцию?
Пусть случайная величина $X$ - цена на акции некоторой компании. По условию $X$ подчинена нормальному закону распределению с параметрами $a=50$ - математическое ожидание, $\sigma =10$ - стандартное отклонение. Вероятность $P\left(\alpha < X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:
$$P\left(\alpha < X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$
$$а)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left({{\infty -50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{70-50}\over {10}}\right)=0,5-\Phi \left(2\right)=0,5-0,4772=0,0228.$$
$$б)\ P\left(X < 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$
$$в)\ P\left(45 < X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$