В предыдущем разделе рассказывалось о возможностях символьного процессора Mathcad, позволяющего осуществить аналитическое преобразование Фурье функции, заданной формулой. Между тем огромный пласт задач вычислительной математики связан с расчетом интегралов Фурье для функций, либо заданных таблично (например, представляющих собой результаты какого-либо эксперимента), либо функций, проинтегрировать которые аналитически не удается. В данном случае вместо символьных преобразований приходится применять численные методы интегрирования, связанные с дискретизацией подынтегральной функции и называемые потому дискретным Фурье-преобразованием.
В численном процессоре Mathcad дискретное преобразование Фурье реализовано при помощи популярнейшего алгоритма быстрого преобразования Фурье (сокращенно БПФ). Этот алгоритм реализован в нескольких встроенных функциях Mathcad, различающихся только нормировками:
- fft(y) - вектор прямого преобразования Фурье;
- FFT (у) - вектор прямого преобразования Фурье в другой нормировке;
- ifft (w) - вектор обратного преобразования Фурье;
- IFFT (w) - вектор обратного преобразования Фурье в другой нормировке:
- у - вектор действительных данных, взятых через равные промежутки значений аргумента;
- w - вектор действительных данных Фурье-спектра, взятых через равные промежутки значений частоты.
Внимание!
Аргумент прямого Фурье-преобразования, т. е. вектор у, должен иметь ровно 2 n элементов (n - целое число). Результатом является вектор с 1+2 n-1 элементами. И наоборот, аргумент обратного Фурье-преобразования должен иметь 1+2 n-1 элементов, а его результатом будет вектор из 2 n элементов. Если число данных не совпадает со степенью 2, то необходимо дополнить недостающие элементы нулями
.
В листинге 4.14 показан пример расчета Фурье-спектра для модельной функции f (x), представляющей собой сумму двух синусоид разной амплитуды (верхний график на рис. 4.10). Расчет проводится по N=128 точкам, причем предполагается, что интервал дискретизации данных у i равен h. В предпоследней строке листинга корректно определяются соответствующие значения частот W, а в последней применяется встроенная функция FFT. Полученный график Фурье-спектра показан на рис. 4.10 (снизу). Обратите внимание, что результаты расчета представляются в виде его модуля, поскольку сам спектр, как уже отмечалось, является комплексным. Очень полезно сравнить полученные амплитуды и местоположение пиков спектра с определением синусоид в начале листинга.
Примечание
Более подробную информацию о свойствах и практике применения Фурье-преобразования вы найдете в главе 14
.
Листинг 4.14 . Дискретное преобразование Фурье (алгоритм БПФ) модельного сигнала:
Рис. 4.10
. Модельная функция и ее преобразование Фурье (продолжение листинга 4.14)
Математический смысл преобразования Фурье состоит в представлении сигнала у(х) в виде бесконечной суммы синусоид вида F(v)sin(vx). Функция F(v) называется преобразованием Фурье или интегралом Фурье, или Фурье-спектром сигнала. Ее аргумент v имеет смысл частоты соответствующей составляющей сигнала. Обратное преобразование Фурье переводит спектр F(V) в исходный сигнал у(х). Согласно определению,
Как видно, преобразование Фурье является существенно комплексной величиной, даже если сигнал действительный.
Преобразование Фурье действительных данных
Преобразование Фурье имеет огромное значение для различных математических приложений, и для него разработан очень эффективный алгоритм, называемый БПФ (быстрым преобразованием Фурье). Этот алгоритм реализован в нескольких встроенных функциях Mathcad, различающихся нормировками.
- fft(y) - вектор прямого преобразования Фурье;
- FFT(Y) - вектор прямого преобразования Фурье в другой нормировке;
- ifft(v) - вектор обратного преобразования Фурье;
- IFFT(V) - вектор обратного преобразования Фурье в другой нормировке;
- у - вектор действительных данных, взятых через равные промежутки значений аргумента;
- v - вектор действительных данных Фурье-спектра, взятых через равные промежутки значений частоты.
Аргумент прямого Фурье-преобразования, т. е. вектор у, должен иметь ровно 2 n элементов (n - целое число). Результатом является вектор с 1+2 n-1 элементами. И наоборот, аргумент обратного Фурье-преобразования должен иметь 1+2 n-1 элементов, а его результатом будет вектор из 2 n элементов. Если число данных не совпадает со степенью 2, то необходимо дополнить недостающие элементы нулями.
Рис. 15.24. Исходные данные и обратное преобразование Фурье (листинг 15.20)
Пример расчета Фурье-спектра для суммы трех синусоидальных сигналов разной амплитуды (показанных в виде сплошной кривой на рис. 15.24), приведен в листинге 15.20. Расчет проводится по N=128 точкам, причем предполагается, что интервал дискретизации данных ух равен А. В предпоследней строке листинга применяется встроенная функция if ft, а в последней корректно определяются соответствующие значения частот Qx. Обратите внимание, что результаты расчета представляются в виде модуля Фурье-спектра (рис. 15.25), поскольку сам спектр является комплексным. Очень полезно сравнить полученные амплитуды и местоположение пиков спектра с определением синусоид в листинге 15.20.
Листинг 15.20. Быстрое преобразование Фурье
Рис. 15.25. Преобразование Фурье (листинг 15.20)
Результат обратного,преобразования Фурье показан в виде кружков на том же рис. 15.24, что и исходные данные. Видно, что в рассматриваемом случае сигнал у(х) восстановлен с большой точностью, что характерно для плавного изменения сигнала.
Преобразование Фурье комплексных данных
Алгоритм быстрого преобразования Фурье для комплексных данных встроен в соответствующие функции, в имя которых входит литера "с".
- cfft(y) - вектор прямого комплексного преобразования Фурье;
- CFFT(y) - вектор прямого комплексного преобразования Фурье в другой нормировке;
- icfft(y) -вектор обратного комплексного преобразования Фурье;
- ICFFT(V) - вектор обратного комплексного преобразования Фурье в другой нормировке;
- у - вектор данных, взятых через равные промежутки значений аргумента;
- v - вектор данных Фурье-спектра, взятых через равные промежутки значений частоты.
Функции действительного преобразования Фурье используют тот факт, что в случае действительных данных спектр получается симметричным относительно нуля, и выводят только его половину (см. выше разд. "Преобразование Фурье действительных данных" этой главы). Поэтому, в частности, по 128 действительным данным получалось всего 65 точек спектра Фурье. Если к тем же данным применить функцию комплексного преобразования Фурье (рис. 15.26), то получится вектор из 128 элементов. Сравнивая рис. 15.25 и 15.26, можно уяснить соответствие между результатами действительного и комплексного Фурье-преобразования.
Рис. 15.26. Комплексное преобразование Фурье (продолжение листинга 15.20)
Двумерное преобразование Фурье
В Mathcad имеется возможность применять встроенные функции комплексного преобразования Фурье не только к одномерным, но и к двумерным массивам, т. е. матрицам. Соответствующий пример приведен в листинге 15.21 и на рис. 15.27 в виде графика линий уровня исходных данных и рассчитанного Фурье-спектра.
Листинг 15.21. Двумерное преобразование Фурье
Рис. 15.27. Данные (слева) и их Фурье-спектр (справа) (листинг 15.21)
15.4.1. Преобразование Фурье
Математический смысл преобразования Фурье состоит в представлении сигнала у(х) в виде бесконечной суммы синусоид вида F(v)sin(vx). Функция F(v) называется преобразованием Фурье или интегралом Фурье, или Фурье-спектром сигнала. Ее аргумент v имеет смысл частоты соответствующей составляющей сигнала. Обратное преобразование Фурье переводит спектр F(V) в исходный сигнал у(х). Согласно определению,
Как видно, преобразование Фурье является существенно комплексной величиной, даже если сигнал действительный.
Преобразование Фурье действительных данных
Преобразование Фурье имеет огромное значение для различных математических приложений, и для него разработан очень эффективный алгоритм, называемый БПФ (быстрым преобразованием Фурье). Этот алгоритм реализован в нескольких встроенных функциях Mathcad, различающихся нормировками.
- fft(y) - вектор прямого преобразования Фурье;
- FFT(Y) - вектор прямого преобразования Фурье в другой нормировке;
- ifft(v) - вектор обратного преобразования Фурье;
- IFFT(V) - вектор обратного преобразования Фурье в другой нормировке;
- у - вектор действительных данных, взятых через равные промежутки значений аргумента;
- v - вектор действительных данных Фурье-спектра, взятых через равные промежутки значений частоты.
Аргумент прямого Фурье-преобразования, т. е. вектор у, должен иметь ровно 2 n элементов (n - целое число). Результатом является вектор с 1+2 n-1 элементами. И наоборот, аргумент обратного Фурье-преобразования должен иметь 1+2 n-1 элементов, а его результатом будет вектор из 2 n элементов. Если число данных не совпадает со степенью 2, то необходимо дополнить недостающие элементы нулями.
Рис. 15.24. Исходные данные и обратное преобразование Фурье (листинг 15.20)
Пример расчета Фурье-спектра для суммы трех синусоидальных сигналов разной амплитуды (показанных в виде сплошной кривой на рис. 15.24), приведен в листинге 15.20. Расчет проводится по N=128 точкам, причем предполагается, что интервал дискретизации данных ух равен А. В предпоследней строке листинга применяется встроенная функция if ft, а в последней корректно определяются соответствующие значения частот Qx. Обратите внимание, что результаты расчета представляются в виде модуля Фурье-спектра (рис. 15.25), поскольку сам спектр является комплексным. Очень полезно сравнить полученные амплитуды и местоположение пиков спектра с определением синусоид в листинге 15.20.
Листинг 15.20. Быстрое преобразование Фурье
Рис. 15.25. Преобразование Фурье (листинг 15.20)
Результат обратного,преобразования Фурье показан в виде кружков на том же рис. 15.24, что и исходные данные. Видно, что в рассматриваемом случае сигнал у(х) восстановлен с большой точностью, что характерно для плавного изменения сигнала.
Преобразование Фурье комплексных данных
Алгоритм быстрого преобразования Фурье для комплексных данных встроен в соответствующие функции, в имя которых входит литера "с".
- cfft(y) - вектор прямого комплексного преобразования Фурье;
- CFFT(y) - вектор прямого комплексного преобразования Фурье в другой нормировке;
- icfft(y) -вектор обратного комплексного преобразования Фурье;
- ICFFT(V) - вектор обратного комплексного преобразования Фурье в другой нормировке;
- у - вектор данных, взятых через равные промежутки значений аргумента;
- v - вектор данных Фурье-спектра, взятых через равные промежутки значений частоты.
Функции действительного преобразования Фурье используют тот факт, что в случае действительных данных спектр получается симметричным относительно нуля, и выводят только его половину (см. выше разд. "Преобразование Фурье действительных данных" этой главы). Поэтому, в частности, по 128 действительным данным получалось всего 65 точек спектра Фурье. Если к тем же данным применить функцию комплексного преобразования Фурье (рис. 15.26), то получится вектор из 128 элементов. Сравнивая рис. 15.25 и 15.26, можно уяснить соответствие между результатами действительного и комплексного Фурье-преобразования.
Рис. 15.26. Комплексное преобразование Фурье (продолжение листинга 15.20)
Двумерное преобразование Фурье
В Mathcad имеется возможность применять встроенные функции комплексного преобразования Фурье не только к одномерным, но и к двумерным массивам, т. е. матрицам. Соответствующий пример приведен в листинге 15.21 и на рис. 15.27 в виде графика линий уровня исходных данных и рассчитанного Фурье-спектра.
Листинг 15.21. Двумерное преобразование Фурье
Рис. 15.27. Данные (слева) и их Фурье-спектр (справа) (листинг 15.21)
Тригонометрические ряды Фурье с помощью Mathcad.
Цель работы
Научиться раскладывать периодические функции в тригонометрические ряды Фурье с помощью Mathcad и строить графики частичных сумм ряды Фурье.
Оборудование
Пакет программ MathCAD.
Ход работы
Вариант
1) Разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье
2) Разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье по косинусам
3) Разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье по синусам
Допуск к работе
3.2.1 Тригонометрическим рядом Фурье функции называют функциональный ряд вида
3.2.4 Для функции f(x) вычислены коэффициенты Фурье (при разложении её по косинусам)
a 1 = 5, a 2 = 6, a 3 = 7
Запишите тригонометрический ряд Фурье
3.2.5 Функцию f(x) раскладывают в ряд Фурье по синусам (нечётным образом), тогда
| Лист |
| № докум.№ |
| Подпись |
| Лист |
| № докум. |
| Подпись |
| Дата |
| Лист |
3.1.2. Найти числовые характеристики случайной величины x (x – выигрыш владельца одного лотерейного билета).
В лотерее разыгрываются ____ билетов.
Из них выигрывают по ____ рублей
Из них выигрывают по ____ рублей.
3.1.3. Найти числовые характеристики случайной величины «х»
а). 0,15 б) -0,35 в) 0,35 г) 0,25 д) не определить.
3.2.3 В лотерее 200 билетов. Выигрышных билетов 30. Какова вероятность того, что билет не выигрышный?
а). 1,7 б) 0,7 в) 0,17 г) 0,85 д) 0,15
3.2.4 Запишите формулу для вычисления дисперсии дискретной случайной величины.
3.2.5 Запишите формулу для вычисления среднего квадратического отклонения дискретной случайной величины.
________________________________________________________________________________
3.2.6. Д (у) = 25. Чему равно среднее квадратическое отклонение?
а). ± 5 б) 5 в) -5 г) не определить.
3.2.7 Как в MathCAD можно решить уравнение
______________________________________________________________________________
К работе допускается ______________
Результаты работы
4.1. М(х) = ____________ Д(х) = ____________ σ (х) = ___________
| Лист |
| № докум. |
| Подпись |
| Дата |
| Лист |
| ПР.140448.00.00 |
Нахождение точечных и интервальных оценок
неизвестных параметров распределения в Excel
1. Цель работы
По данной выборке научиться определять числовые характеристики выборки и оценивать неизвестные параметры генеральной совокупности, оценивать с данной доверительной вероятностью математическое ожидание генеральной совокупности.
2.Оборудование:
IBM PC, программная оболочка Microsoft Excel.
Ход работы
3. 1 Вариант
Оценить с заданной доверительной вероятностью γ= математическое ожидание генеральной совокупности по данной выборке
_____________________________________________________________________________________
3. 2 Допуск к работе
1. Как вычисляется среднее выборочное?
2. Как вычисляется выборочная дисперсия?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3. Как вычисляется среднее квадратичное отклонение?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4. Как вычисляется исправленная выборочная дисперсия?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
5. Чем точечная оценка неизвестного параметра распределения отличается от интервальной?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
6. Как вычисляется интервал для оценки математического ожидания генеральной совокупности?
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
7. Как обозначается коэффициент Стьюдента?
| Изм. |
| Лист |
| № докум. |
| Подпись |
| Дата |
| Лист |
| ПР.140448.00.00 |
8. От чего зависит величина коэффициента Стьюдента?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
К работе допускается:______________________________________________
Результаты работы
σ в = S в = t γ =
Вывод
В ходе выполнения данной работы применил формулы точечных и интервальных оценок____________________________________________________________
_________________________________________________________________
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||