كيفية إيجاد ارتفاع المثلث مع معرفة كل الجوانب. أوجد أقصى ارتفاع لمثلث

كيف تجد أكبر أو أصغر ارتفاع للمثلث؟ كلما كان ارتفاع المثلث أصغر ، زاد الارتفاع المرسوم عليه. أي أن أكبر ارتفاعات المثلث هو الذي ينجذب إلى أصغر ضلعه. - الذي يتم رسمه على أضلاع المثلث الأكبر.

لإيجاد أقصى ارتفاع لمثلث ، يمكنك قسمة مساحة المثلث على طول الضلع الذي رسم عليه هذا الارتفاع (أي بطول أصغر أضلاع المثلث).

وعليه ، د للعثور على أصغر ارتفاع لمثلث اقسم مساحة المثلث على طول أطول ضلع فيه.

مهمة 1.

أوجد أصغر ارتفاع لمثلث طول ضلعه ٧ سم و ٨ سم و ٩ سم.

منح:

أس = 7 سم ، أب = 8 سم ، قبل الميلاد = 9 سم.

البحث: أصغر ارتفاع للمثلث.

حل:

أصغر ارتفاعات المثلث هو الذي يُرسم إلى أطول ضلعه. لذا ، فأنت بحاجة إلى إيجاد ارتفاع AF المرسوم على الضلع BC.

لتسهيل التدوين ، نقدم الترميز

BC = أ ، أس = ب ، أب = ج ، AF = هكتار.

ارتفاع المثلث يساوي ضعف مساحة المثلث مقسومة على الضلع المرسوم عليه هذا الارتفاع. يمكن إيجادها باستخدام صيغة هيرون. لهذا

نحسب:

إجابة:

المهمة 2.

أوجد أطول ضلع في المثلث بأضلاعه 1 سم و 25 سم و 30 سم.

منح:

AC = 25 سم ، AB = 11 سم ، BC = 30 سم.

يجد:

أعلى ارتفاع مثلث ABC.

حل:

يُرسم أكبر ارتفاع للمثلث إلى أضلاعه الأصغر.

إذن ، علينا إيجاد ارتفاع CD المرسوم على الضلع AB.

للراحة ، نشير

بادئ ذي بدء ، المثلث هو الشكل الهندسي، والتي تتكون من ثلاث نقاط لا تقع على خط مستقيم واحد ، وهي متصلة بثلاثة أجزاء. لمعرفة ارتفاع المثلث ، من الضروري أولاً تحديد نوعه. تختلف المثلثات في حجم الزوايا وعدد الزوايا المتساوية. وفقًا لحجم الزوايا ، يمكن أن يكون المثلث حاد الزاوية ومنفرجة الزاوية وقائم الزاوية. وفقًا لعدد الأضلاع المتساوية ، يتم تمييز المثلثات متساوية الساقين والمتساوية الأضلاع والمتدرجة. الارتفاع هو العمودي الذي يتم إنزاله إلى الجانب المقابل للمثلث من رأسه. كيف تجد ارتفاع المثلث؟

كيفية إيجاد ارتفاع مثلث متساوي الساقين

ل مثلث متساوي الساقينتعتبر المساواة بين الجوانب والزوايا في قاعدتها مميزة ، وبالتالي ، فإن ارتفاعات المثلث متساوي الساقين المرسوم على الجانبين دائمًا ما تكون متساوية مع بعضها البعض. كذلك ، فإن ارتفاع هذا المثلث هو متوسط ​​ومنصف. وفقًا لذلك ، يقسم الارتفاع القاعدة إلى نصفين. نأخذ في الاعتبار المثلث القائم الزاوية الناتج ونوجد الضلع ، أي ارتفاع المثلث متساوي الساقين ، باستخدام نظرية فيثاغورس. باستخدام الصيغة التالية ، نحسب الارتفاع: H \ u003d 1/2 * √4 * a 2 - b 2 ، حيث: أ - جانب هذا المثلث متساوي الساقين ، ب - قاعدة هذا المثلث متساوي الساقين.

كيفية إيجاد ارتفاع مثلث متساوي الأضلاع

يسمى المثلث المتساوي الأضلاع بمثلث متساوي الأضلاع. يُشتق ارتفاع هذا المثلث من صيغة ارتفاع المثلث متساوي الساقين. اتضح أن: H = √3 / 2 * a ، حيث a هو جانب المثلث متساوي الأضلاع المحدد.

كيفية إيجاد ارتفاع المثلث المتدرج

المثلث المتدرج هو مثلث لا يتساوى فيه ضلعان مع بعضهما البعض. في مثل هذا المثلث ، ستكون الارتفاعات الثلاثة مختلفة. يمكنك حساب أطوال الارتفاع باستخدام الصيغة: H \ u003d sin60 * a \ u003d a * (sgrt3) / 2 ، حيث a هو جانب المثلث ، أو قم أولاً بحساب مساحة مثلث معين باستخدام صيغة مالك الحزين ، والتي تبدو مثل: S \ u003d (p * (p-c) * (p-b) * (p-a)) ^ 1/2 ، حيث a ، b ، c هي جوانب مثلث Scene ، و p هو نصف محيطه . كل ارتفاع = 2 * منطقة / جانب

كيفية إيجاد ارتفاع مثلث قائم الزاوية

المثلث القائم الزاوية له زاوية قائمة واحدة. الارتفاع الذي يمر على إحدى الساقين هو في نفس الوقت ارتفاع الساق الثانية. لذلك ، للعثور على ارتفاعات ملقاة على الساقين ، تحتاج إلى استخدام صيغة فيثاغورس المعدلة: أ \ u003d √ (ج 2 - ب 2) ، حيث أ ، ب هي الأرجل (أ هي الساق التي يجب العثور عليها) ، ج هو طول الوتر. لإيجاد الارتفاع الثاني ، تحتاج إلى وضع القيمة الناتجة أ بدلاً من ب. لإيجاد الارتفاع الثالث داخل المثلث ، يتم استخدام الصيغة التالية: h \ u003d 2s / a ، حيث h هو الارتفاع مثلث قائم، s هي مساحتها ، و a طول الضلع الذي سيكون الارتفاع عموديًا عليه.

يسمى المثلث حاد إذا كانت جميع زواياه حادة. في هذه الحالة ، تقع جميع الارتفاعات الثلاثة داخل مثلث حاد. يسمى المثلث المنفرج إذا كانت له زاوية منفرجة واحدة. يقع ارتفاعان لمثلث منفرج خارج المثلث ويسقطان على امتداد الجانبين. الضلع الثالث داخل المثلث. يتم تحديد الارتفاع باستخدام نفس نظرية فيثاغورس.

الصيغ العامة مثل حساب ارتفاع المثلث

• صيغة إيجاد ارتفاع المثلث عبر الأضلاع: H = 2 / a √p * (p-c) * (p-b) * (p-b) ، حيث h هو الارتفاع المطلوب إيجاده ، a و b و c هي الأضلاع للمثلث المعطى ، p هو نصف محيطه ،.
• صيغة إيجاد ارتفاع المثلث بدلالة الزاوية والجانب: H ​​= b sin y = c sin ß
• صيغة إيجاد ارتفاع المثلث من حيث المساحة والجانب: h = 2S / a ، حيث a هو أحد ضلع المثلث ، و h هو الارتفاع المبني على الضلع a.
• صيغة إيجاد ارتفاع المثلث بدلالة نصف القطر والأضلاع: H = bc / 2R.

مثلثات.

مفاهيم أساسية.

مثلث- هذا شكل يتكون من ثلاثة أجزاء وثلاث نقاط لا تقع على خط مستقيم واحد.

يتم استدعاء الأجزاء حفلاتوالنقاط القمم.

مجموع الزواياالمثلث يساوي 180.

ارتفاع المثلث.

ارتفاع المثلثهو عمودي مرسوم من قمة إلى الجانب المقابل.

في المثلث ذي الزاوية الحادة ، يتم احتواء الارتفاع داخل المثلث (الشكل 1).

في المثلث القائم ، الأرجل هي ارتفاعات المثلث (الشكل 2).

في المثلث المنفرج ، يمر الارتفاع خارج المثلث (الشكل 3).

خصائص ارتفاع المثلث:

منصف المثلث.

منصف المثلث- هذا هو الجزء الذي يشطر زاوية الرأس ويربط الرأس بنقطة على الجانب المقابل (الشكل 5).

خصائص المنصف:

متوسط ​​المثلث.

متوسط ​​المثلث- هذا هو الجزء الذي يربط الرأس بمنتصف الضلع المقابل (الشكل 9 أ).

يمكن حساب طول الوسيط باستخدام الصيغة: 2ب 2 + 2ج 2 - أ 2 م أ 2 = —————— 4 أين م أ- الوسيط مرسوم على الجانب أ. في المثلث القائم ، الوسيط المرسوم على الوتر هو نصف الوتر: ج مولودية = — 2 أين مولوديةهو الوسيط المرسوم على الوتر ج(الشكل 9 ج) تتقاطع متوسطات المثلث عند نقطة واحدة (في مركز كتلة المثلث) ويتم تقسيمها على هذه النقطة بنسبة 2: 1 ، عد من الأعلى. أي أن القطعة من الرأس إلى المركز هي ضعف المقطع من المركز إلى الضلع في المثلث (الشكل 9 ج). المتوسطات الثلاثة للمثلث تقسمه إلى ستة مثلثات متساوية المساحة.

الخط الأوسط للمثلث.

الخط الأوسط للمثلث- هذا جزء يربط بين نقطتي المنتصف على جانبيها (الشكل 10).

خط الوسط في المثلث يوازي الضلع الثالث ويساوي نصفه.

الزاوية الخارجية للمثلث.

الزاوية الخارجيةالمثلث يساوي مجموع زاويتين داخليتين غير متجاورتين (الشكل 11).

الزاوية الخارجية للمثلث أكبر من أي زاوية غير مجاورة.

مثلث قائم.

مثلث قائم- هذا مثلث بزاوية قائمة (الشكل 12).

يسمى ضلع المثلث القائم المقابل للزاوية القائمة وتر.

يتم استدعاء الجانبين الآخرين أرجل.

مقاطع متناسبة في مثلث قائم الزاوية.

1) في المثلث القائم ، يشكل الارتفاع المرسوم من الزاوية اليمنى ثلاثة مثلثات متشابهة: ABC و ACH و HCB (الشكل 14 أ). وفقًا لذلك ، فإن الزوايا المكونة من الارتفاع تساوي الزاويتين A و B.

الشكل 14 أ

مثلث متساوي الساقين.

مثلث متساوي الساقين- هذا مثلث يتساوى ضلعه (الشكل 13).

تسمى هذه الجوانب المتساوية الجوانبوالثالث أساسمثلث.

في مثلث متساوي الساقين ، زوايا القاعدة متساوية. (في المثلث ، الزاوية أ تساوي الزاوية ج).

في مثلث متساوي الساقين ، يكون الوسيط المرسوم على القاعدة هو المنصف وارتفاع المثلث.

مثلث متساوي الاضلاع.

المثلث المتساوي الأضلاع هو مثلث تتساوى فيه جميع الأضلاع (الشكل 14).

خصائص مثلث متساوي الأضلاع:

الخصائص الرائعة للمثلثات.

للمثلثات خصائص أصلية ستساعدك في حل المشكلات المرتبطة بهذه الأشكال بنجاح. بعض هذه الخصائص موضحة أعلاه. لكننا نكررها مرة أخرى ، ونضيف إليها بعض الميزات الرائعة الأخرى:

1) في مثلث قائم الزاوية بزاوية 90 درجة و 30 درجة و 60 درجة ، تكون الساق ب، الكذب المقابل للزاوية 30º ، يساوي نصف الوتر. ساقأ المزيد من الساقب√3 مرات (الشكل 15 أ). على سبيل المثال ، إذا كانت ضلع b تساوي 5 ، فإن الوتر جبالضرورة يساوي 10 ، والساق أيساوي 5√3. 2) في مثلث متساوي الساقين قائم الزاوية بزاوية 90 درجة و 45 درجة و 45 درجة ، يكون الوتر يساوي 2 ضعف الساق (الشكل 15) ب). على سبيل المثال ، إذا كانت الأرجل 5 ، فإن الوتر هو 5√2. 3) الخط الأوسط للمثلث يساوي نصف الضلع الموازي (الشكل 15 مع). على سبيل المثال ، إذا كان ضلع المثلث يساوي 10 ، فإن خط الوسط الموازي له يساوي 5. 4) في المثلث القائم ، الوسيط المرسوم على الوتر يساوي نصف الوتر (الشكل 9 ج): مولودية= ج / 2. 5) متوسطات المثلث ، المتقاطعة عند نقطة واحدة ، مقسومة على هذه النقطة بنسبة 2: 1. أي أن الجزء من الرأس إلى نقطة تقاطع المتوسطات هو ضعف المقطع من نقطة تقاطع المتوسطات إلى جانب المثلث (الشكل 9 ج) 6) في المثلث الأيمن ، تكون نقطة المنتصف للوتر هي مركز الدائرة المُحددة (الشكل 15). د).

علامات المساواة بين المثلثات.

أول علامة على المساواة: إذا كان الضلعان والزاوية بينهما لمثلث واحد تساوي ضلعين وكانت الزاوية بينهما لمثلث آخر ، فإن هذه المثلثات متطابقة.

العلامة الثانية للمساواة: إذا كان الضلع والزوايا المجاورة لمثلث ما مساوية للضلع والزوايا المجاورة له لمثلث آخر ، فإن هذه المثلثات تكون متطابقة.

العلامة الثالثة للمساواة: إذا كانت ثلاثة أضلاع لمثلث واحد تساوي ثلاثة أضلاع لمثلث آخر ، فإن هذه المثلثات متطابقة.

مثلث عدم المساواة.

في أي مثلث ، يكون كل ضلع أقل من مجموع ضلعين آخرين.

نظرية فيثاغورس.

في المثلث القائم ، مربع الوتر يساوي مجموع مربعات الساقين:

ج 2 = أ 2 + ب 2 .

مساحة المثلث.

1) مساحة المثلث تساوي نصف حاصل ضرب جانبه والارتفاع المرسوم على هذا الجانب:

آه
س = ——
2

2) مساحة المثلث تساوي نصف حاصل ضرب أي ضلعين وجيب الزاوية بينهما:

1
س = — AB · تيار متردد · الخطيئة أ
2

مثلث محاط بدائرة.

تسمى الدائرة المنقوشة في مثلث إذا لامست جميع جوانبها (الشكل 16 أ).

مثلث منقوش في دائرة.

يسمى المثلث المنقوش في دائرة إذا كان يلامسها بجميع الرؤوس (الشكل 17 أ).

جيب ، جيب التمام ، الظل ، ظل التمام لزاوية حادة لمثلث قائم (الشكل 18).

التجويفزاوية حادة x عكسقسطرة في الوتر.
دلت على هذا النحو: الخطيئةx.

جيب التمامزاوية حادة xالمثلث الأيمن هو النسبة مجاورقسطرة في الوتر.
يشار إليه على النحو التالي: cos x.

الظلزاوية حادة xهي نسبة الساق المقابلة للساق المجاورة.
يشار إليه على هذا النحو: tgx.

ظل التمامزاوية حادة xهي نسبة الساق المجاورة إلى الساق المقابلة.
يشار إليه على هذا النحو: ctgx.

قواعد:

الزاوية المعاكسة للساق x, يساوي المنتجوتر على الخطيئة x:

ب = جالخطيئة x

الساق المجاورة للزاوية x، يساوي حاصل ضرب الوتر وجيب التمام x:

أ = جكوس x

الزاوية المعاكسة للساق x، يساوي حاصل ضرب الجزء الثاني و tg x:

ب = أ tg x

الساق المجاورة للزاوية x، يساوي حاصل ضرب الضلع الثاني و ctg x:

أ = ب ctg x.

لأي زاوية حادة x:

الخطيئة (90 درجة - x) = كوس x

كوس (90 درجة - x) = الخطيئة x

لحل العديد من المسائل الهندسية ، تحتاج إلى إيجاد ارتفاع شكل معين. هذه المهام ذات أهمية عملية. عند القيام بأعمال البناء ، يساعد تحديد الارتفاع في حساب الكمية المطلوبة من المواد ، وكذلك تحديد مدى دقة صنع المنحدرات والفتحات. في كثير من الأحيان ، لبناء أنماط ، يجب أن يكون لديك فكرة عن الخصائص

كثير من الناس ، على الرغم من الدرجات الجيدة في المدرسة ، عند إنشاء أشكال هندسية عادية ، فإن السؤال الذي يطرح نفسه هو كيفية العثور على ارتفاع المثلث أو متوازي الأضلاع. وهي الأصعب. هذا لأن المثلث يمكن أن يكون حادًا أو منفرجًا أو متساوي الساقين أو يمينًا. كل واحد منهم لديه قواعده الخاصة للبناء والحساب.

كيفية إيجاد ارتفاع المثلث الذي تكون فيه جميع زواياه حادة بيانياً

إذا كانت جميع زوايا المثلث حادة (كل زاوية في المثلث أقل من 90 درجة) ، إذن لإيجاد الارتفاع ، قم بما يلي.

1. وفقًا للمعايير المحددة ، نقوم ببناء مثلث.
2. دعونا نقدم التدوين. ستكون A و B و C هي رؤوس الشكل. الزوايا المقابلة لكل رأس هي α ، β ، γ. الأضلاع المقابلة لهذه الزوايا هي أ ، ب ، ج.
3. الارتفاع هو العمودي من رأس الزاوية إلى الضلع المقابل للمثلث. لإيجاد ارتفاعات المثلث ، نبني الخطوط العمودية: من رأس الزاوية α إلى الضلع a ، ومن رأس الزاوية β إلى الجانب b ، وهكذا.
4. سيتم الإشارة إلى نقطة تقاطع الارتفاع والجانب أ بواسطة H1 ، وسيكون الارتفاع نفسه h1. ستكون نقطة تقاطع الارتفاع والجانب ب H2 ، الارتفاع ، على التوالي ، h2. بالنسبة للجانب c ، سيكون الارتفاع h3 ونقطة التقاطع H3.

الارتفاع في مثلث بزاوية منفرجة

فكر الآن في كيفية إيجاد ارتفاع المثلث إذا كان واحدًا (أكبر من 90 درجة). في هذه الحالة ، سيكون الارتفاع المرسوم من زاوية منفرجة داخل المثلث. سيكون الارتفاعان المتبقيان خارج المثلث.

اجعل الزاويتين α و في المثلث حادتين ، والزاوية γ منفرجة. بعد ذلك ، لبناء الارتفاعات الخارجة من الزاويتين α و ، من الضروري مواصلة جانبي المثلث المقابل لهما لرسم خطوط متعامدة.

كيفية إيجاد ارتفاع مثلث متساوي الساقين

مثل هذا الشكل له جانبان متساويان وقاعدة ، بينما الزوايا الموجودة في القاعدة متساوية أيضًا. هذه المساواة في الجوانب والزوايا تسهل بناء المرتفعات وحسابها.

أولًا ، لنرسم المثلث نفسه. اجعل الجانبين ب وج ، وكذلك الزاويتين ، متساويين على التوالي.

لنرسم الآن ارتفاعًا من رأس الزاوية α ، ونشير إليه h1. لهذا الارتفاع سيكون كل من المنصف والوسيط.

يمكن عمل بناء واحد فقط للمؤسسة. على سبيل المثال ، ارسم وسيطًا - قطعة تربط رأس مثلث متساوي الساقين والجانب المقابل ، القاعدة ، لإيجاد الارتفاع والمنصف. ولحساب طول الضلعين الآخرين ، يمكنك بناء ارتفاع واحد فقط. وبالتالي ، من أجل تحديد كيفية حساب ارتفاع مثلث متساوي الساقين بيانياً ، يكفي إيجاد ارتفاعين من ثلاثة.

كيفية إيجاد ارتفاع مثلث قائم الزاوية

من الأسهل بكثير تحديد ارتفاعات المثلث الأيمن من غيرها. هذا لأن الأرجل نفسها تشكل زاوية قائمة ، مما يعني أنها ارتفاعات.

لبناء الارتفاع الثالث ، كالعادة ، يتم رسم عمودي يربط بين رأس الزاوية اليمنى والجانب المقابل. نتيجة لذلك ، من أجل عمل مثلث في هذه الحالة ، يلزم إنشاء واحد فقط.

عند حل أنواع مختلفة من المشكلات ، ذات الطبيعة الرياضية والتطبيقية البحتة (خاصة في البناء) ، غالبًا ما يكون من الضروري تحديد قيمة ارتفاع شكل هندسي معين. كيف تحسب قيمة معينة (ارتفاع) في مثلث؟

إذا قمنا بدمج 3 نقاط في أزواج غير موجودة على خط مستقيم واحد ، فسيكون الشكل الناتج مثلثًا. الارتفاع هو جزء من الخط من أي رأس من الشكل ، والذي يتقاطع مع الجانب المعاكستشكل زاوية 90 درجة.

أوجد الارتفاع في مثلث متدرج

دعونا نحدد قيمة ارتفاع المثلث في الحالة التي يكون فيها الشكل له زوايا وجوانب عشوائية.

صيغة هيرون

h (a) = (2√ (p (p-a) * (p-b) * (p-c))) / a ، حيث

ص - نصف محيط الشكل ، ح (أ) - جزء إلى جانب أ ، مرسوم بزاوية قائمة عليه ،

p = (a + b + c) / 2 - حساب نصف المحيط.

إذا كانت هناك مساحة من الشكل ، لتحديد ارتفاعها ، يمكنك استخدام النسبة h (a) = 2S / a.

الدوال المثلثية

لتحديد طول مقطع يصنع زاوية قائمة عند التقاطع مع الضلع أ ، يمكنك استخدام العلاقات التالية: إذا كان الضلع ب والزاوية γ أو الضلع ج والزاوية β معروفين ، فإن h (a) = b * sinγ أو h (a) = c * sinβ.
أين:
γ هي الزاوية بين الضلع ب و أ ،
β هي الزاوية الواقعة بين الضلع c و a.

العلاقة مع نصف القطر

إذا كان المثلث الأصلي مدرجًا في دائرة ، فيمكنك استخدام نصف قطر هذه الدائرة لتحديد الارتفاع. يقع مركزه عند النقطة التي تتقاطع فيها جميع الارتفاعات الثلاثة (من كل رأس) - المركز العمودي ، والمسافة منه إلى الرأس (أي) هي نصف القطر.

ثم h (a) = bc / 2R ، حيث:
ب ، ج - جانبان آخران من المثلث ،
R هو نصف قطر الدائرة التي تصف المثلث.

أوجد الارتفاع في مثلث قائم الزاوية

في هذا الشكل من الشكل الهندسي ، يشكل جانبان عند التقاطع زاوية قائمة - 90 درجة. لذلك ، إذا كان مطلوبًا تحديد قيمة الارتفاع فيه ، فمن الضروري حساب إما حجم أحد الأرجل ، أو قيمة المقطع الذي يتكون من 90 درجة مع الوتر. عند التعيين:
أ ، ب - أرجل ،
ج هو الوتر ،
ح (ج) هو عمودي على الوتر.
يمكنك إجراء الحسابات اللازمة باستخدام النسب التالية:

• نظرية فيثاغورس:

أ \ u003d √ (ج 2-ب 2) ،
ب \ u003d √ (ج 2-أ 2) ،
ح (ج) = 2S / ج S = ab / 2 ، ثم h (c) = ab / c.

• الدوال المثلثية:

أ = ج * الخطيئةβ ،
ب = ج * كوسβ ،
ح (ج) = أب / ج = с * sinβ * cosβ.

أوجد الارتفاع في مثلث متساوي الساقين

يتميز هذا الشكل الهندسي بوجود وجهين متساويين في الحجم والثالث - القاعدة. لتحديد الارتفاع المرسوم للجانب الثالث المختلف ، تأتي نظرية فيثاغورس للإنقاذ. مع التسميات
أ - الجانب ،
ج - قاعدة ،
h (c) هو مقطع إلى c بزاوية 90 درجة ، ثم h (c) = 1/2 √ (4a 2 -c 2).