من بين جميع المثلثات ، هناك نوعان خاصان: مثلثات قائمة ومثلثات متساوية الساقين. لماذا هذه الأنواع من المثلثات مميزة جدًا؟ حسنًا ، أولاً ، غالبًا ما تكون هذه المثلثات هي الجهات الفاعلة الرئيسية مهام الاستخدامالجزء الاول. وثانيًا ، حل المسائل المتعلقة بالمثلثات القائمة الزاوية والمثلثات متساوية الساقين أسهل بكثير من حل المشكلات الأخرى في الهندسة. تحتاج فقط إلى معرفة بعض القواعد والخصائص. تمت مناقشة كل الأشياء الأكثر إثارة للاهتمام في الموضوع المقابل ، والآن سننظر في مثلثات متساوية الساقين. وقبل كل شيء ، ما هو مثلث متساوي الساقين. أو ، كما يقول علماء الرياضيات ، ما هو التعريف مثلث متساوي الساقين?
انظر كيف تبدو:
مثل المثلث القائم ، المثلث متساوي الساقين له أسماء خاصة لأضلاعه. يتم استدعاء جانبين متساويين الجوانبوالطرف الثالث أساس.
ومرة أخرى ، انظر إلى الصورة:
يمكن بالطبع أن يكون مثل هذا:
لذا كن حذرا: الجانب الجانبي - أحد الجانبين المتساويفي مثلث متساوي الساقين ، و الأساس هو طرف ثالث.
لماذا يعتبر المثلث متساوي الساقين جيدًا جدًا؟ لفهم هذا ، دعنا نرسم ارتفاع القاعدة. هل تتذكر ما هو الارتفاع؟
ماذا حدث؟ من مثلث متساوي الساقين ، ظهر اثنان من الزاوية القائمة.
هذا جيد بالفعل ، لكن هذا سيحدث في أي مثلث "مائل".
ما هو الفرق بين صورة مثلث متساوي الساقين؟ انظر مرة أخرى:
حسنًا ، أولاً ، بالطبع ، لا يكفي أن يرى علماء الرياضيات الغريبون هؤلاء - بل يجب عليهم بالتأكيد إثبات ذلك. ثم فجأة اختلفت هذه المثلثات قليلاً ، وسنعتبرها متشابهة.
لكن لا تقلق: في هذه الحالة ، يكون الإثبات سهلاً تقريبًا مثل الرؤية.
هل نبدأ؟ انظر بعناية ، لدينا:
وبالتالي ،! لماذا؟ نعم ، وجدنا فقط و ، ومن نظرية فيثاغورس (نتذكر في نفس الوقت ذلك)
هل أنت متأكد؟ حسنًا ، لدينا الآن
وعلى الجوانب الثلاثة - أسهل علامة (الثالثة) على مساواة المثلثات.
حسنًا ، مثلث متساوي الساقين مقسم إلى مستطلين متطابقين.
انظر كيف مثيرة للاهتمام؟ اتضح أن:
كيف من المعتاد أن يتحدث علماء الرياضيات عن هذا؟ دعنا نذهب بالترتيب:
(نتذكر هنا أن الوسيط هو خط مرسوم من الرأس الذي يشطر الضلع ، والمنصف هو الزاوية).
حسنًا ، ناقشنا هنا ما يمكن رؤيته جيدًا إذا أعطيت مثلث متساوي الساقين. استنتجنا أنه في مثلث متساوي الساقين ، تكون زوايا القاعدة متساوية ، والارتفاع والمنصف والوسيط المرسوم على القاعدة متساويان.
والآن يطرح سؤال آخر: كيف نتعرف على مثلث متساوي الساقين؟ هذا ، كما يقول علماء الرياضيات ، ما هو علامات مثلث متساوي الساقين؟
واتضح أنك تحتاج فقط إلى "قلب" كل البيانات على العكس من ذلك. هذا بالطبع لا يحدث دائمًا ، لكن المثلث متساوي الساقين لا يزال شيئًا رائعًا! ماذا يحدث بعد "الانعكاس"؟
حسنًا ، انظر هنا:
إذا كان الطول والوسيط متماثلين ، فعندئذٍ:
إذا كان الارتفاع والمنصف متماثلين ، فعندئذٍ: 
إذا كان المنصف والوسيط متماثلين ، فعندئذٍ:
حسنًا ، لا تنسى واستخدم:
- إذا تم إعطاء مثلث متساوي الساقين ، فلا تتردد في رسم ارتفاع ، والحصول على مثلثين قائم الزاوية وحل المشكلة الموجودة بالفعل حول مثلث قائم الزاوية.
- إذا أعطيت ذلك زاويتان متساويتان، ثم المثلث بالضبطمتساوي الساقين ويمكنك رسم ارتفاع و .... (المنزل الذي بناه جاك ...).
- إذا اتضح أن الارتفاع مقسم إلى النصف على الجانب ، يكون المثلث متساوي الساقين مع كل المكافآت اللاحقة.
- إذا اتضح أن الارتفاع يقسم الزاوية إلى الأرض - أيضًا متساوي الساقين!
- إذا قسم المنصف الجانب إلى نصفين أو الوسيط - الزاوية ، فسيحدث هذا أيضًا فقطفي مثلث متساوي الساقين
دعونا نرى كيف تبدو في المهام.
مهمة 1(الابسط)
في المثلث ، الأضلاع ومتساوية ، أ. يجد.
نحن نقرر:
أولا رسم.
ما هو الأساس هنا؟ بالتأكيد، .
نتذكر أنه إذا ، ثم و.
الرسم المحدث:
دعونا نخصص ل. ما مجموع زوايا المثلث؟ ؟
نحن نستخدم:
هذا إجابة: .
الحق سهلة؟ لم يكن علي حتى أن أرتفع.
المهمة 2(ليس صعبًا أيضًا ، لكن عليك تكرار المظهر)
في مثلث يجد.
نحن نقرر:
المثلث متساوي الساقين! نرسم الارتفاع (هذا هو التركيز ، وبمساعدة كل شيء سيتم تحديده الآن).
الآن "نحذف من الحياة" ، سننظر فقط.
لذلك ، لدينا في:
نتذكر القيم الجدولية لجيب التمام (حسنًا ، أو ننظر إلى ورقة الغش ...)
يبقى أن نجد:.
إجابة: .
لاحظ أننا هنا جداًالمعرفة المطلوبة بخصوص المثلث الأيمن والجيب وجيب التمام "الجدولي". يحدث هذا غالبًا: الموضوعات ، "مثلث متساوي الساقين" وفي الألغاز يتم تجميعها في مجموعات ، ولكنها ليست ودية للغاية مع الموضوعات الأخرى.
مثلث متساوي الساقين. مستوى متوسط.
هؤلاء وجهان متساويانمُسَمًّى الجوانب، أ الضلع الثالث هو قاعدة مثلث متساوي الساقين.
انظر إلى الصورة: و - الجوانب - قاعدة مثلث متساوي الساقين.
دعونا نرى في صورة واحدة سبب ذلك. ارسم ارتفاعًا من نقطة.
هذا يعني أن جميع العناصر المقابلة متساوية.
الجميع! بضربة واحدة (ارتفاع) تم إثبات جميع البيانات دفعة واحدة.
وتذكر: لحل مسألة المثلث متساوي الساقين ، غالبًا ما يكون من المفيد جدًا خفض ارتفاع قاعدة المثلث متساوي الساقين وتقسيمه إلى مثلثين متساويين قائم الزاوية.
علامات مثلث متساوي الساقين
العبارات المعاكسة صحيحة أيضًا:
يمكن إثبات كل هذه التصريحات تقريبًا مرة أخرى "بضربة واحدة".
1. لذا ، فلنتحول إلى أن تكون متساوية و.
لنأخذ الارتفاع. ثم
2. أ) الآن دع بعض المثلث نفس الارتفاع والمنصف.
2. ب) وإذا كان الارتفاع والوسيط واحدًا؟ كل شيء هو نفسه تقريبا ، لا شيء أكثر تعقيدا!
 |
- على قدمين |
2. ج) ولكن إذا لم يكن هناك ارتفاع، والتي تم تخفيضها إلى قاعدة مثلث متساوي الساقين ، فلا يوجد إذن أولي مثلثات قائمة. بشكل سيئ!
ولكن هناك طريقة للخروج - اقرأها في المستوى التالي من النظرية ، لأن الدليل أكثر تعقيدًا هنا ، ولكن تذكر الآن أنه إذا تزامن الوسيط والمنصف ، فسيكون المثلث أيضًا متساوي الساقين ، والارتفاع سيكون لا يزال يتطابق مع هذين المنصف والمتوسط.
كي تختصر:
- إذا كان المثلث متساوي الساقين ، فإن زوايا القاعدة متساوية ، والارتفاع والمنصف والمتوسط المرسوم على القاعدة هو نفسه.
- إذا كانت هناك زاويتان متساويتان في بعض المثلثات ، أو تطابق خطان من الخطوط الثلاثة (منصف ، متوسط ، ارتفاع) ، فإن هذا المثلث يكون متساوي الساقين.
مثلث متساوي الساقين. وصف موجز والصيغ الأساسية
المثلث متساوي الساقين هو مثلث له ضلعان متساويان.
علامات مثلث متساوي الساقين:
- إذا كان للمثلث زاويتان متساويتان ، فهذا يعني أنه متساوي الساقين.
- إذا تزامن في بعض المثلث:
أ) الارتفاع والمنصفأو
ب) الطول والمتوسطأو
الخامس) الوسيط والمنصف,
مرسومًا على جانب واحد ، يكون هذا المثلث متساوي الساقين.
المواد المتبقية 2/3 متاحة فقط للطلاب!
كن طالبًا في YouClever ،
استعد لـ OGE أو الاستخدام في الرياضيات بسعر "فنجان قهوة شهريًا" ،
واحصل أيضًا على وصول غير محدود إلى كتاب "YouClever" ، برنامج التحضير لـ "100gia" (rechebnik) ، غير محدود امتحان تجريبيو OGE ، 6000 مهمة مع تحليل الحلول وخدمات YouClever و 100gia الأخرى.
يذكر المؤرخون الأوائل لحضارتنا - الإغريق القدماء - مصر على أنها مهد الهندسة. من الصعب الاختلاف معهم ، مع العلم بأية دقة مدهشة أقيمت مقابر الفراعنة العملاقة. الترتيب المتبادل لمستويات الأهرامات ، ونسبها ، والتوجه إلى النقاط الأساسية - سيكون من غير المعقول تحقيق مثل هذا الكمال دون معرفة أساسيات الهندسة.
يمكن ترجمة كلمة "الهندسة" ذاتها إلى "قياس الأرض". علاوة على ذلك ، فإن كلمة "الأرض" لا تعمل ككوكب - جزء النظام الشمسي، ولكن كطائرة. إن تعليم مناطق الزراعة ، على الأرجح ، هو الأساس الأصلي للغاية لعلم الأشكال الهندسية وأنواعها وخصائصها.
المثلث هو أبسط شكل مكاني للقياس ، يحتوي على ثلاث نقاط فقط - الرؤوس (لا يوجد أقل). ربما يكون أساس الأسس هو سبب وجود شيء غامض وقديم فيه. إن العين التي ترى كل شيء داخل المثلث هي واحدة من أقدم العلامات الغامضة المعروفة ، كما أن جغرافية توزيعها وإطارها الزمني مذهلة بكل بساطة. من الحضارات المصرية القديمة والسومرية والأزتيك وغيرها من الحضارات إلى مجتمعات أكثر حداثة من عشاق السحر والتنجيم المنتشرة في جميع أنحاء العالم.
ما هي المثلثات
مثلث سكالين عادي مغلق الشكل الهندسي، تتكون من ثلاثة أجزاء بأطوال مختلفة وثلاث زوايا ، وليس أي منها مستقيماً. بالإضافة إلى ذلك ، هناك عدة أنواع خاصة.
المثلث الحاد جميع زواياه أقل من 90 درجة. بمعنى آخر ، كل زوايا مثل هذا المثلث حادة.
المثلث القائم الزاوية ، والذي بكى عليه تلاميذ المدارس في جميع الأوقات بسبب كثرة النظريات ، له زاوية واحدة بقيمة 90 درجة ، أو كما يطلق عليه أيضًا الزاوية اليمنى.
يتميز المثلث المنفرج بحقيقة أن إحدى زواياه منفرجة ، أي أن قيمتها تزيد عن 90 درجة.
مثلث متساوي الأضلاع له ثلاثة أضلاع بنفس الطول. في مثل هذا الشكل ، جميع الزوايا متساوية أيضًا.
وأخيرًا ، في مثلث متساوي الساقين من ثلاثة أضلاع ، اثنان متساويان.
السمات المميزة
تحدد خصائص مثلث متساوي الساقين أيضًا اختلافه الرئيسي - المساواة بين الجانبين. عادة ما تسمى هذه الجوانب المتساوية الوركين (أو في كثير من الأحيان ، الجانبين) ، ولكن يسمى الجانب الثالث "القاعدة".
في الشكل قيد النظر ، أ = ب.
العلامة الثانية لمثلث متساوي الساقين تتبع نظرية الجيب. نظرًا لأن الجانبين a و b متساويان ، فإن جيوب الزاويتين المتقابلتين متساويتان أيضًا:
أ / الخطيئة γ = ب / الخطيئة α ، ومن أين لدينا: الخطيئة γ = الخطيئة α.
من مساواة الجيب يتبع المساواة بين الزوايا: γ = α.
إذن ، العلامة الثانية لمثلث متساوي الساقين هي تساوي زاويتين متجاورتين للقاعدة.
العلامة الثالثة. في المثلث ، يتم تمييز عناصر مثل الارتفاع والمنصف والمتوسط.
إذا اتضح أثناء عملية حل المشكلة أنه في المثلث قيد الدراسة ، يتطابق أي عنصر من هذه العناصر: الارتفاع مع المنصف ؛ منصف مع وسيط متوسط مع ارتفاع - يمكننا بالتأكيد أن نستنتج أن المثلث متساوي الساقين.
الخصائص الهندسية للشكل
1. خصائص مثلث متساوي الساقين. من الصفات المميزة للشكل تساوي الزوايا المجاورة للقاعدة:
<ВАС = <ВСА.
2. خاصية أخرى تمت مناقشتها أعلاه: الوسيط والمنصف والارتفاع في المثلث متساوي الساقين هي نفسها إذا تم بناؤها من القمة إلى القاعدة.
3 - مساواة المنصفات المستمدة من الرؤوس عند القاعدة:
إذا كان AE هو منصف الزاوية BAC وكان CD هو منصف الزاوية BCA ، فإن: AE = DC.
4. توفر خصائص المثلث متساوي الساقين أيضًا المساواة في الارتفاعات المرسومة من الرؤوس عند القاعدة.
إذا قمنا ببناء ارتفاعات المثلث ABC (حيث AB = BC) من القمم A و C ، فإن المقطعين الناتج CD و AE سيكونان متساويين.
5. سوف يتضح أيضًا أن المتوسطات المرسومة من الزوايا عند القاعدة متساوية.
لذلك ، إذا كان AE و DC متوسطين ، أي AD = DB ، و BE = EC ، ثم AE = DC.
ارتفاع مثلث متساوي الساقين
تقدم المساواة بين الجوانب والزوايا عليها بعض الميزات في حساب أطوال عناصر الشكل المعني.
الارتفاع في المثلث متساوي الساقين يقسم الشكل إلى مثلثين متماثلين بزاوية قائمة ، الوتر ضلعان. يتم تحديد الارتفاع في هذه الحالة وفقًا لنظرية فيثاغورس ، كساق.
يمكن أن يكون للمثلث الأضلاع الثلاثة متساوية ، ثم يسمى متساوي الأضلاع. يتم تحديد الارتفاع في مثلث متساوي الأضلاع بطريقة مماثلة ، فقط للحسابات ، يكفي معرفة قيمة واحدة فقط - طول ضلع هذا المثلث.
يمكنك تحديد الارتفاع بطريقة أخرى ، على سبيل المثال معرفة القاعدة والزاوية المجاورة لها.
متوسط مثلث متساوي الساقين
يتم حل نوع المثلث قيد الدراسة ، بسبب السمات الهندسية ، بكل بساطة عن طريق الحد الأدنى من مجموعة البيانات الأولية. نظرًا لأن الوسيط في مثلث متساوي الساقين يساوي ارتفاعه ومنصفه ، فإن خوارزمية تحديده لا تختلف عن الترتيب الذي تُحسب به هذه العناصر.
على سبيل المثال ، يمكنك تحديد طول الوسيط من خلال الضلع الجانبي المعروف وقيمة الزاوية في الرأس.
كيفية تحديد المحيط
نظرًا لأن الشكل المسطح قيد النظر له جانبان دائمًا متساويان ، لتحديد المحيط ، يكفي معرفة طول القاعدة وطول أحد الجانبين.
ضع في اعتبارك مثالًا عندما تحتاج إلى تحديد محيط المثلث وفقًا للقاعدة والارتفاع المعروفين.
المحيط يساوي مجموع القاعدة ومرتين طول الضلع. يتم تحديد الضلع الجانبي بدوره باستخدام نظرية فيثاغورس كوتر للمثلث القائم. طوله يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربع الارتفاع ومربع نصف القاعدة.
مساحة مثلث متساوي الساقين
لا تسبب ، كقاعدة عامة ، صعوبات وحساب مساحة مثلث متساوي الساقين. القاعدة العامة لتحديد مساحة المثلث كنصف حاصل ضرب القاعدة وارتفاعها قابلة للتطبيق بالطبع في حالتنا. ومع ذلك ، فإن خصائص مثلث متساوي الساقين تجعل المهمة أسهل مرة أخرى.
لنفترض أننا نعرف الارتفاع والزاوية المجاورة للقاعدة. تحتاج إلى تحديد مساحة الشكل. يمكنك أن تفعل ذلك بهذه الطريقة.
نظرًا لأن مجموع زوايا أي مثلث هو 180 درجة ، فليس من الصعب تحديد حجم الزاوية. علاوة على ذلك ، باستخدام النسبة المرسومة وفقًا لنظرية الجيب ، يتم تحديد طول قاعدة المثلث. كل شيء ، القاعدة والارتفاع - بيانات كافية لتحديد المنطقة - متوفرة.
خصائص أخرى لمثلث متساوي الساقين
يعتمد موضع مركز الدائرة المحصورة حول مثلث متساوي الساقين على زاوية الرأس. لذا ، إذا كان المثلث متساوي الساقين حاد الزاوية ، فإن مركز الدائرة يقع داخل الشكل.
يقع مركز الدائرة المحاطة بمثلث منفرج متساوي الساقين خارجها. وأخيرًا ، إذا كانت الزاوية عند الرأس 90 درجة ، فإن المركز يقع بالضبط في منتصف القاعدة ، وقطر الدائرة يمر عبر القاعدة نفسها.
لتحديد نصف قطر دائرة حول مثلث متساوي الساقين ، يكفي قسمة طول الضلع الجانبي على ضعف جيب تمام نصف الزاوية في الرأس.
تعبر خصائص مثلث متساوي الساقين عن النظريات التالية.
النظرية 1. في مثلث متساوي الساقين ، تكون زوايا القاعدة متساوية.
نظرية 2. في مثلث متساوي الساقين ، المنصف المرسوم إلى القاعدة هو الوسيط والارتفاع.
نظرية 3. في مثلث متساوي الساقين ، الوسيط المرسوم على القاعدة هو المنصف والارتفاع.
نظرية 4. في مثلث متساوي الساقين ، يكون الارتفاع المرسوم على القاعدة هو المنصف والوسيط.
دعونا نثبت إحداها ، على سبيل المثال ، Theorem 2.5.
دليل. ضع في اعتبارك مثلث متساوي الساقين ABC مع قاعدته BC وأثبت أن ∠ B = ∠ C. لنفترض أن AD هو منصف المثلث ABC (الشكل 1). المثلثان ABD و ACD متساويان وفقًا للإشارة الأولى للمساواة بين المثلثات (AB = AC حسب الشرط ، AD هو الجانب المشترك ، ∠ 1 = ∠ 2 ، نظرًا لأن AD هو المنصف). ويترتب على مساواة هذه المثلثات أن ∠ B = ∠ C. تم إثبات النظرية.
باستخدام النظرية 1 ، قمنا بتأسيس النظرية التالية.
نظرية 5. المعيار الثالث لتساوي المثلثات. إذا كانت ثلاثة أضلاع لمثلث واحد تساوي على التوالي ثلاثة جوانب لمثلث آخر ، فإن هذه المثلثات تكون متساوية (الشكل 2).
تعليق. تعبر الجمل الموجودة في المثالين 1 و 2 عن خصائص المنصف العمودي على المقطع. ويترتب على هذه المقترحات أن تتقاطع المنصفات العمودية لأضلاع المثلث عند نقطة واحدة.
مثال 1إثبات أن نقطة المستوى متساوية البعد من نهايات المقطع تقع على المنصف العمودي لهذا المقطع.
حل. دع النقطة M تكون على مسافة متساوية من نهايات المقطع AB (الشكل 3) ، أي AM = VM.
ثم ΔAMV هو متساوي الساقين. دعنا نرسم خطًا p يمر بالنقطة M ونقطة المنتصف O للمقطع AB. من خلال البناء ، يكون الجزء MO هو وسيط المثلث متساوي الساقين AMB ، وبالتالي (النظرية 3) ، والارتفاع ، أي الخط المستقيم MO ، هو المنصف العمودي للمقطع AB.
مثال 2إثبات أن كل نقطة من المنصف العمودي لقطعة ما هي على مسافة متساوية من نهاياتها.
حل. لنفترض أن p هي المنصف العمودي للقطعة AB وتكون النقطة O هي نقطة المنتصف للجزء AB (انظر الشكل 3).
ضع في اعتبارك نقطة تعسفية M ملقاة على الخط ص. دعنا نرسم المقاطع AM و VM. المثلثات AOM و VOM متساويتان ، لأن زاويتهما عند الرأس O مستقيمة ، والساق OM شائعة ، والساق OA تساوي الساق OB حسب الشرط. من المساواة بين المثلثات AOM و BOM يتبع ذلك AM = BM.
مثال 3في المثلث ABC (انظر الشكل 4) AB = 10 سم ، BC = 9 سم ، AC = 7 سم ؛ في مثلث DEF DE = 7 سم ، EF = 10 سم ، FD = 9 سم.
قارن بين المثلثين ABC و DEF. أوجد زوايا متساوية في المقابل.
حل. هذه المثلثات متساوية في المعيار الثالث. وفقًا لذلك ، الزوايا المتساوية: A و E (تقعان مقابل الأضلاع المتساوية BC و FD) و B و F (تقعان مقابل الأضلاع المتساوية AC و DE) و C و D (تقعان مقابل الأضلاع المتساوية AB و EF).
مثال 4في الشكل 5 AB = DC ، BC = AD ، ∠B = 100 °.
أوجد الزاوية د.
حل. ضع في اعتبارك المثلثات ABC و ADC. إنها متساوية في السمة الثالثة (AB = DC ، BC = AD حسب الحالة والجانب AC شائع). من مساواة هذه المثلثات ، يترتب على ذلك ∠ B = ∠ D ، لكن الزاوية B تساوي 100 درجة ، ومن ثم تكون الزاوية D 100 درجة.
مثال 5في مثلث متساوي الساقين ABC مع قاعدته AC ، تكون الزاوية الخارجية عند الرأس C هي 123 درجة. أوجد الزاوية ABC. أعط إجابتك بالدرجات.
حل الفيديو.