Geometrik figuralar. To'rtburchak

"A olish" video kursi muvaffaqiyat uchun zarur bo'lgan barcha mavzularni o'z ichiga oladi imtihondan o'tish matematikadan 60-65 ball. 1-13-sonli barcha topshiriqlarni bajaring profil imtihoni matematika. Matematikada asosiy USE ni topshirish uchun ham javob beradi. Imtihonni 90-100 ball bilan topshirmoqchi bo'lsangiz, 1-qismni 30 daqiqada va xatosiz hal qilishingiz kerak!

10-11-sinflar uchun, shuningdek, o'qituvchilar uchun imtihonga tayyorgarlik kursi. Matematika bo'yicha imtihonning 1-qismini (birinchi 12 ta masala) va 13-masalani (trigonometriya) hal qilish uchun kerak bo'lgan hamma narsa. Va bu Yagona davlat imtihonida 70 balldan oshadi va na yuz ball talaba, na gumanist ularsiz qila olmaydi.

Barcha kerakli nazariya. Tezkor usullar imtihonning yechimlari, tuzoqlari va sirlari. FIPI Bankining vazifalaridan 1-qismning barcha tegishli vazifalari tahlil qilindi. Kurs USE-2018 talablariga to‘liq javob beradi.

Kurs har biri 2,5 soatdan iborat 5 ta katta mavzuni o'z ichiga oladi. Har bir mavzu noldan sodda va tushunarli tarzda berilgan.

Yuzlab imtihon topshiriqlari. Matnli masalalar va ehtimollar nazariyasi. Muammoni hal qilishning oddiy va esda qoladigan algoritmlari. Geometriya. Nazariya, ma'lumotnoma, USE vazifalarining barcha turlarini tahlil qilish. Stereometriya. Yechish uchun hiyla-nayranglar, foydali varaqlar, fazoviy tasavvurni rivojlantirish. Trigonometriya noldan - 13-topshiriqga. Tikish o'rniga tushunish. Murakkab tushunchalarni vizual tushuntirish. Algebra. Ildizlar, darajalar va logarifmlar, funksiya va hosila. Imtihonning 2-qismining murakkab masalalarini yechish uchun asos.

To'rtburchak. To'rtburchak ikkita simmetriya o'qiga ega bo'lganligi sababli, uning og'irlik markazi simmetriya o'qlari kesishmasida joylashgan, ya'ni. to'rtburchakning diagonallarining kesishish nuqtasida.

Uchburchak. Og'irlik markazi uning medianalarining kesishish nuqtasida yotadi. Geometriyadan ma'lumki, uchburchakning medianalari bir nuqtada kesishadi va asosdan 1:2 nisbatda bo'linadi.

Doira. Doira ikkita simmetriya o'qiga ega bo'lgani uchun uning og'irlik markazi simmetriya o'qlari kesishmasida joylashgan.

Yarim doira. Yarim doira bitta simmetriya o'qiga ega, keyin og'irlik markazi shu o'qda yotadi. Og'irlik markazining boshqa koordinatasi quyidagi formula bilan hisoblanadi: .

Ko'pgina strukturaviy elementlar standart haddelenmiş mahsulotlardan - burchaklar, I-nurlar, kanallar va boshqalardan tayyorlanadi. Barcha o'lchamlar, shuningdek, rulonli profillarning geometrik xususiyatlari, standart assortiment jadvallarida (GOST 8239-89, GOST 8240-89) mos yozuvlar adabiyotida topish mumkin bo'lgan jadval ma'lumotlaridir.

1-misol Rasmda ko'rsatilgan figuraning og'irlik markazining o'rnini aniqlang.

Yechim:

    Biz koordinata o'qlarini shunday tanlaymizki, Ox o'qi o'ta pastki umumiy o'lcham bo'ylab, Oy o'qi esa - o'ta chap umumiy o'lcham bo'ylab o'tadi.

    Murakkab figurani qismlarga ajratish minimal miqdor oddiy raqamlar:

    to'rtburchaklar 20x10;

    uchburchak 15x10;

    doira R=3 sm.

    Biz har bir oddiy figuraning maydonini, uning og'irlik markazining koordinatalarini hisoblaymiz. Hisoblash natijalari jadvalga kiritilgan

Shakl raqami.

A rasmining maydoni

Og'irlik markazi koordinatalari

Javob: C(14,5; 4,5)

2-misol . Plitalar va rulonli profillardan tashkil topgan kompozit qismning og'irlik markazining koordinatalarini aniqlang.

Yechim.

    Rasmda ko'rsatilganidek, koordinata o'qlarini tanlaymiz.

    Biz raqamlarni raqamlar bilan belgilaymiz va jadvaldan kerakli ma'lumotlarni yozamiz:

Shakl raqami.

A rasmining maydoni

Og'irlik markazi koordinatalari

    Shaklning og'irlik markazining koordinatalarini formulalar yordamida hisoblaymiz:

Javob: C(0; 10)

1-sonli laboratoriya ishi “Kompozit yassi figuralarning og‘irlik markazini aniqlash”.

Maqsad: Berilgan yassi kompleks figuraning og‘irlik markazini eksperimental va analitik usullar bilan aniqlang va ularning natijalarini taqqoslang.

Ish tartibi

    Koordinata o'qlarini ko'rsatgan holda o'lchamdagi tekis shaklingizni daftarlarga chizing.

    Og'irlik markazini analitik tarzda aniqlang.

    1. Shaklni eng kam sonli raqamlarga ajrating, ularning og'irlik markazlari qanday aniqlashni bilamiz.

      Har bir figuraning maydonlari sonini va og'irlik markazining koordinatalarini ko'rsating.

      Har bir figuraning og'irlik markazining koordinatalarini hisoblang.

      Har bir raqamning maydonini hisoblang.

      Formulalar yordamida butun figuraning og'irlik markazining koordinatalarini hisoblang (gravitatsiya markazining o'rnini rasm chizmasida qo'ying):

Og'irlik markazining koordinatalarini suspenziya bilan eksperimental aniqlash uchun o'rnatish vertikal rafdan iborat. 1 (rasmga qarang) igna bog'langan 2 . tekis shakl 3 Teshikni teshish oson bo'lgan kartondan qilingan. teshiklar A Va IN tasodifiy joylashgan nuqtalarda teshilgan (tercihen bir-biridan eng uzoq masofada). Yassi shakl igna ustiga, birinchi navbatda, bir nuqtada osilgan A , keyin esa nuqtada IN . Plumb yordamida 4 , xuddi shu igna ustiga o'rnatilgan, chizilgan chiziqqa mos keladigan qalam bilan rasmga vertikal chiziq chizilgan. Og'irlik markazi BILAN figurani nuqtalarga osib qo'yishda chizilgan vertikal chiziqlar kesishmasida joylashgan bo'ladi A Va IN .

4. Kvadrat diagonali orqali to‘g‘ri to‘rtburchak haqida tasvirlangan aylana radiusi formulasi:

5. Doira diametri orqali to'rtburchak yaqinida tasvirlangan aylana radiusi formulasi (cheklangan):

6. To‘g‘ri to‘rtburchak yaqinida diagonalga tutashgan burchak sinusi va shu burchakka qarama-qarshi tomonning uzunligi orqali tasvirlangan aylana radiusi formulasi:

7. To‘g‘ri to‘rtburchak to‘g‘risida diagonalga tutashgan burchakning kosinusu va shu burchakdagi tomoni uzunligi bo‘yicha tasvirlangan aylana radiusi formulasi:

8. To'rtburchak yaqinida diagonallar va to'rtburchak maydoni orasidagi o'tkir burchak sinusi orqali tasvirlangan doira radiusi formulasi:

To'rtburchakning yon tomoni va diagonali orasidagi burchak.

To'rtburchakning yon tomoni va diagonali orasidagi burchakni aniqlash uchun formulalar:

1. To‘g‘ri to‘rtburchakning yon tomoni va diagonali orasidagi burchakni diagonali va yon tomoni orqali aniqlash formulasi:

2. To‘g‘ri to‘rtburchakning yon tomoni va diagonali orasidagi burchakni diagonallar orasidagi burchak orqali aniqlash formulasi:

To'rtburchakning diagonallari orasidagi burchak.

To'rtburchakning diagonallari orasidagi burchakni aniqlash uchun formulalar:

1. To‘g‘ri to‘rtburchakning diagonallari orasidagi burchakni yon tomoni va diagonali orasidagi burchak orqali aniqlash formulasi:

b = 2a

2. To‘g‘ri to‘rtburchakning diagonallari orasidagi burchakni maydoni va diagonali orqali aniqlash formulasi.

To'rtburchak har bir burchagi to'g'ri burchak bo'lgan to'rtburchakdir.

Isbot

Xususiyat parallelogrammaning 3-xususiyatining harakati bilan izohlanadi (ya'ni \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )

2. Qarama-qarshi tomonlar teng.

AB = CD, \ bo'shliq BC = AD

3. Qarama-qarshi tomonlar parallel.

AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD

4. Qo'shni tomonlar bir-biriga perpendikulyar.

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD ​​\perp AB

5. To‘rtburchakning diagonallari teng.

AC = BD

Isbot

Ga binoan mulk 1 to'rtburchak parallelogramm bo'lib, AB = CD degan ma'noni anglatadi.

Shuning uchun, \triangle ABD = \triangle DCA ikki oyoq bo'ylab (AB = CD va AD - bo'g'in).

Agar ikkala raqam - ABC va DCA bir xil bo'lsa, ularning gipotenuzalari BD va AC ham bir xil bo'ladi.

Shunday qilib, AC = BD.

Barcha raqamlarning faqat to'rtburchaklari (faqat parallelogramlardan!) Teng diagonallarga ega.

Keling, buni ham isbotlaylik.

ABCD parallelogrammdir \Rightarrow AB = CD , AC = BD sharti bo'yicha. \Rightarrow \triangle ABD = \triangle DCA allaqachon uch tomondan.

Aniqlanishicha, \angle A = \angle D (paralelogramma burchaklari kabi). Va \ burchak A = \ burchak C , \ burchak B = \ burchak D .

Biz buni xulosa qilamiz \ burchak A = \ burchak B = \ burchak C = \ burchak D. Ularning barchasi 90^(\circ) . Jami 360^(\circ) .

Tasdiqlangan!

6. Diagonalning kvadrati uning ikki qo‘shni tomoni kvadratlari yig‘indisiga teng.

Bu xususiyat Pifagor teoremasi tufayli o'rinlidir.

AC^2=AD^2+CD^2

7. Diagonal to‘rtburchakni ikkita bir xil to‘g‘ri burchakli uchburchakka ajratadi.

\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD

8. Diagonallarning kesishish nuqtasi ularni ikkiga bo'ladi.

AO=BO=CO=DO

9. Diagonallarning kesishish nuqtasi to'rtburchak va aylananing markazidir.

10. Barcha burchaklarning yig'indisi 360 gradus.

\ burchak ABC + \ burchak BCD + \ burchak CDA + \ burchak DAB = 360 ^ (\ aylana)

11. To'rtburchakning barcha burchaklari to'g'ri.

\ burchak ABC = \ burchak BCD = \ burchak CDA = \ burchak DAB = 90 ^ (\ aylana)

12. To'g'ri to'rtburchak atrofida aylananing diametri to'rtburchakning diagonaliga teng.

13. To'rtburchak atrofida aylana har doim tasvirlanishi mumkin.

Bu xususiyat toʻrtburchakning qarama-qarshi burchaklarining yigʻindisi 180^(\circ) boʻlganligi sababli amal qiladi.

\ burchak ABC = \ burchak CDA = 180 ^ (\ aylana), \ bo'shliq \ burchak BCD = \ burchak DAB = 180 ^ (\ aylana)

14. To'g'ri to'rtburchakda ichkariga chizilgan doira bo'lishi mumkin va faqat bitta tomon uzunligi bir xil bo'lsa (bu kvadrat).