رتبة مصفوفة الهوية. تحديد رتبة المصفوفة

وأيضًا ضع في اعتبارك تطبيقًا عمليًا مهمًا للموضوع: دراسة نظام المعادلات الخطية للتوافق.

ما هي رتبة المصفوفة؟

يحتوي النص الفكاهي للمقال على قدر كبير من الحقيقة. عادة ما ترتبط كلمة "رتبة" نفسها بنوع من التسلسل الهرمي ، وغالبًا ما ترتبط بالسلّم الوظيفي. كلما زادت المعرفة والخبرة والقدرات والصلات وما إلى ذلك ، لدى الشخص. - كلما ارتفع مركزه وتنوع الفرص. في مصطلحات الشباب ، يشير الترتيب إلى الدرجة الكلية "المتانة".

ويعيش إخواننا في الرياضيات على نفس المبادئ. دعنا نأخذ في نزهة تعسفية قليلة مصفوفات صفرية:

لنفكر إذا كان في المصفوفة فقط الأصفارإذن ما هي الرتبة التي يمكن أن نتحدث عنها؟ الجميع على دراية بالتعبير غير الرسمي "الصفر الكلي". في مجتمع المصفوفة ، كل شيء هو نفسه تمامًا:

رتبة مصفوفة صفريةأي حجم هو صفر.

ملحوظة : المصفوفة الصفرية يُرمز إليها بالحرف اليوناني "ثيتا"

من أجل فهم رتبة المصفوفة بشكل أفضل ، سأستند فيما يلي إلى المواد الهندسة التحليلية. ضع في اعتبارك الصفر المتجهلفضائنا ثلاثي الأبعاد ، والذي لا يحدد اتجاهًا معينًا وغير مفيد للبناء أساس أفيني. من وجهة نظر جبرية ، تتم كتابة إحداثيات متجه معين مصفوفة"واحد تلو الآخر" ومنطقي (بالمعنى الهندسي المحدد)افترض أن رتبة هذه المصفوفة هي صفر.

الآن دعونا نلقي نظرة على القليل غير صفرية ناقلات العمودو نواقل الصف:


يحتوي كل مثيل على عنصر واحد على الأقل غير فارغ ، وهذا شيء!

رتبة أي متجه غير صفري (متجه العمود) تساوي واحدًا

وبصفة عامة - إذا كان في المصفوفة أحجام عشوائيةيحتوي على عنصر واحد على الأقل غير صفري ، ثم رتبته ليس أقلالوحدات.

متجهات الصفوف والأعمدة الجبرية مجردة إلى حد ما ، لذلك دعنا ننتقل مرة أخرى إلى الارتباط الهندسي. غير صفرية المتجهيحدد اتجاهًا محددًا جيدًا في الفضاء ومناسبًا للبناء أساس، لذلك يُفترض أن تكون رتبة المصفوفة مساوية لواحد.

المرجع النظري : الخامس الجبر الخطيالمتجه هو عنصر في فضاء متجه (محدد من خلال 8 بديهيات) ، والذي ، على وجه الخصوص ، يمكن أن يكون صفًا مرتبًا (أو عمودًا) من الأرقام الحقيقية مع عمليات الجمع والضرب في رقم حقيقي محدد لهم. لمزيد من المعلومات حول النواقل ، راجع المقالة التحولات الخطية.

تعتمد خطيا(معبراً عنها من خلال بعضها البعض). من وجهة نظر هندسية ، يحتوي السطر الثاني على إحداثيات المتجه الخطي التي لم تقدم الأمر في البناء ثلاثي الأبعاد، زائدة عن الحاجة بهذا المعنى. وبالتالي ، فإن رتبة هذه المصفوفة تساوي أيضًا واحدًا.

نعيد كتابة إحداثيات المتجهات في الأعمدة ( انقل المصفوفة):

ما الذي تغير من حيث الرتبة؟ لا شئ. الأعمدة متناسبة ، مما يعني أن المرتبة تساوي واحدًا. بالمناسبة ، لاحظ أن جميع الأسطر الثلاثة متناسبة أيضًا. يمكن التعرف عليها مع الإحداثيات ثلاثةالمتجهات الخطية للمستوى ، منها واحد فقطمفيد لبناء أساس "ثابت". وهذا يتفق تمامًا مع إحساسنا الهندسي بالرتبة.

يتبع بيان مهم من المثال أعلاه:

ترتيب المصفوفة بالصفوف يساوي الرتبةالمصفوفات بالأعمدة. لقد ذكرت هذا قليلاً بالفعل في الدرس الخاص بالفعالية طرق حساب المحدد.

ملحوظة : التبعية الخطية للصفوف تؤدي إلى تبعية خطية للأعمدة (والعكس صحيح). ولكن من أجل توفير الوقت ، وبدلاً من العادة ، سأتحدث دائمًا عن الاعتماد الخطي للأوتار.

دعونا نواصل تدريب حيواننا الأليف المحبوب. أضف إحداثيات متجه خطي آخر إلى المصفوفة في الصف الثالث :

هل ساعدنا في بناء قاعدة ثلاثية الأبعاد؟ بالطبع لا. تسير المتجهات الثلاثة ذهابًا وإيابًا على نفس المسار ، وتكون رتبة المصفوفة واحدة. يمكنك أن تأخذ العديد من المتجهات الخطية كما تريد ، لنقل 100 ، ضع إحداثياتها في مصفوفة 100 × 3 ، وسيظل ترتيب ناطحة سحاب مثل هذا واحدًا.

دعنا نتعرف على المصفوفة التي صفوفها مستقل خطيا. زوج من النواقل غير الخطية مناسب لبناء أساس ثلاثي الأبعاد. رتبة هذه المصفوفة اثنان.

ما هي رتبة المصفوفة؟ لا يبدو أن الخطوط متناسبة ... لذا ، من الناحية النظرية ، ثلاثة. ومع ذلك ، فإن رتبة هذه المصفوفة تساوي أيضًا اثنين. أضفت أول سطرين وكتبت النتيجة في الأسفل ، أي معبر عنها خطياالخط الثالث من خلال الأولين. هندسيًا ، تتوافق صفوف المصفوفة مع إحداثيات ثلاثة ناقلات متحد المستوى، ومن بين هذا الثلاثي هناك زوج من الرفاق غير المتصلين.

كما ترون الاعتماد الخطيفي المصفوفة المدروسة ليست واضحة ، واليوم سنتعلم فقط كيفية إحضارها "لتنظيف المياه".

أعتقد أن الكثير من الناس يخمنون ما هي رتبة المصفوفة!

النظر في المصفوفة التي صفوفها مستقل خطيا. شكل النواقل أساس أفيني، ورتبة هذه المصفوفة ثلاثة.

كما تعلم ، أي متجه رابع أو خامس أو عاشر للفضاء ثلاثي الأبعاد سيتم التعبير عنه خطيًا من حيث المتجهات الأساسية. لذلك ، إذا تمت إضافة أي عدد من الصفوف إلى المصفوفة ، ثم رتبتها سيظل ثلاثة.

يمكن إجراء تفكير مماثل لمصفوفات ذات أحجام أكبر (بوضوح ، بالفعل بدون معنى هندسي).

تعريف : رتبة المصفوفة هي الحد الأقصى لعدد الصفوف المستقلة خطيًا. أو: رتبة المصفوفة هي الحد الأقصى لعدد الأعمدة المستقلة خطيًا. نعم ، يتطابقون دائمًا.

يتبع دليل عملي مهم مما ورد أعلاه: لا تتجاوز رتبة المصفوفة الحد الأدنى من أبعادها. على سبيل المثال ، في المصفوفة أربعة صفوف وخمسة أعمدة. البعد الأدنى هو أربعة ، وبالتالي ، فإن رتبة هذه المصفوفة لن تتجاوز بالتأكيد 4.

الرموز: في النظرية والتطبيق العالميين ، لا يوجد معيار مقبول بشكل عام لتحديد رتبة المصفوفة ، ويمكن العثور على أكثرها شيوعًا: - كما يقولون ، يكتب رجل إنجليزي شيئًا ، وآخر ألمانيًا. لذلك ، بناءً على الحكاية المعروفة عن الجحيم الأمريكي والروسي ، دعنا نحدد رتبة المصفوفة بكلمة أصلية. على سبيل المثال: . وإذا كانت المصفوفة "بدون اسم" ، والتي يوجد الكثير منها ، فيمكنك ببساطة الكتابة.

كيف تجد رتبة مصفوفة باستخدام القاصرين؟

إذا كان لجدتنا عمود خامس في المصفوفة ، فيجب حساب قاصر آخر من الرتبة الرابعة ("أزرق" ، "توت العليق" + العمود الخامس).

خاتمة: الحد الأقصى لترتيب قاصر غير صفري هو ثلاثة ، لذلك.

ربما لم يستوعب الجميع هذه العبارة تمامًا: الدرجة الرابعة للقاصر تساوي صفرًا ، ولكن بين القاصرين من الدرجة الثالثة كان هناك واحد غير صفري - لذلك ، الحد الأقصى للترتيب غير صفريةطفيفة ويساوي ثلاثة.

السؤال الذي يطرح نفسه ، لماذا لا نحسب المحدد على الفور؟ حسنًا ، أولاً ، في معظم المهام لا تكون المصفوفة مربعة ، وثانيًا ، حتى إذا حصلت على قيمة غير صفرية ، فسيتم رفض المهمة باحتمالية عالية ، نظرًا لأنها تتضمن عادةً "من أسفل إلى أعلى" حل. وفي المثال المدروس ، يسمح لنا المحدد الصفري من الرتبة الرابعة بالتأكيد على أن رتبة المصفوفة أقل من أربعة فقط.

يجب أن أعترف بأنني توصلت بنفسي إلى المشكلة التي تم تحليلها من أجل شرح أفضل لطريقة تجاور القاصرين. في الممارسة الواقعية ، كل شيء أبسط:

مثال 2

أوجد مرتبة المصفوفة بطريقة تهديب القاصرين

الحل والجواب في نهاية الدرس.

متى يتم تشغيل الخوارزمية بشكل أسرع؟ لنعد إلى نفس مصفوفة أربعة في أربعة . من الواضح أن الحل سيكون الأقصر في حالة "الخير" ركن القصر:

وإذا ، إذن ، خلاف ذلك -.

التفكير ليس افتراضيًا على الإطلاق - هناك العديد من الأمثلة حيث يقتصر الأمر برمته على القصر الزاوي فقط.

ومع ذلك ، في بعض الحالات ، هناك طريقة أخرى أكثر فعالية وأفضل:

كيف تجد رتبة المصفوفة باستخدام طريقة غاوس؟

هذا القسم مخصص للقراء الذين هم على دراية بالفعل طريقة جاوسوشيئًا فشيئًا وضعوا أيديهم عليها.

من الناحية الفنية ، الطريقة ليست جديدة:

1) باستخدام التحولات الأولية ، نأتي بالمصفوفة إلى شكل تدريجي ؛

2) رتبة المصفوفة تساوي عدد الصفوف.

من الواضح أن استخدام طريقة غاوس لا يغير رتبة المصفوفة، والجوهر هنا بسيط للغاية: وفقًا للخوارزمية ، في سياق التحولات الأولية ، يتم تحديد وإزالة جميع الخطوط المتناسبة غير الضرورية (المعتمدة خطيًا) ، ونتيجة لذلك تبقى "البقايا الجافة" - الحد الأقصى لعدد خطوط مستقلة خطيًا.

لنحول المصفوفة القديمة المألوفة بإحداثيات ثلاثة متجهات خطية:

(1) تمت إضافة الصف الأول إلى الصف الثاني ، مضروبًا في -2. تمت إضافة السطر الأول إلى السطر الثالث.

(2) تم حذف الأسطر الصفرية.

إذن هناك سطر واحد متبقي ، إذن. وغني عن القول ، أن هذا أسرع بكثير من حساب تسعة صفر قاصرين من الدرجة الثانية وبعد ذلك فقط استخلاص نتيجة.

أذكرك بهذا في حد ذاته مصفوفة جبريةلا شيء يمكن تغييره ، والتحولات تتم فقط لغرض معرفة الرتبة! بالمناسبة ، دعنا نتناول السؤال مرة أخرى ، لماذا لا؟ مصفوفة المصدر يحمل معلومات تختلف اختلافًا جوهريًا عن معلومات المصفوفة والصف. في بعض النماذج الرياضية (بدون مبالغة) ، يمكن أن يكون الاختلاف في رقم واحد مسألة حياة أو موت. ... تذكرت معلمي المدارسعلماء الرياضيات في الصفوف الابتدائية والثانوية ، الذين قطعوا الدرجة بمقدار 1-2 نقطة لأدنى درجة من عدم الدقة أو الانحراف عن الخوارزمية. وكان الأمر مخيباً للآمال بشكل رهيب عندما تبين أنه "جيد" أو أسوأ من ذلك ، بدلاً من "الخمسة" التي تبدو مضمونة على ما يبدو. جاء التفاهم بعد ذلك بكثير - وإلا فكيف نعهد إلى شخص ما بالأقمار الصناعية والرؤوس الحربية النووية ومحطات الطاقة؟ لكن لا تقلق ، فأنا لا أعمل في هذه المجالات =)

دعنا ننتقل إلى مهام أكثر أهمية ، حيث ، من بين أمور أخرى ، سوف نتعرف على تقنيات حسابية مهمة طريقة جاوس:

مثال 3

أوجد مرتبة المصفوفة باستخدام التحولات الأولية

حل: بمصفوفة أربعة في خمسة ، مما يعني أن رتبتها بالتأكيد لا تزيد عن 4.

في العمود الأول ، لا يوجد 1 أو -1 ، لذلك هناك حاجة إلى خطوات إضافية للحصول على وحدة واحدة على الأقل. طوال فترة وجود الموقع ، سئلني مرارًا وتكرارًا السؤال التالي: "هل من الممكن إعادة ترتيب الأعمدة أثناء التحولات الأولية؟". هنا - أعيد ترتيب العمود الأول أو الثاني ، وكل شيء على ما يرام! في معظم المهام حيث طريقة جاوس، يمكن إعادة ترتيب الأعمدة حقًا. لكن لا تفعل. والنقطة ليست حتى خلطًا محتملًا مع المتغيرات ، فالنقطة هي أنه في الدورة الكلاسيكية لتدريس الرياضيات العليا ، لا يُنظر إلى هذا الإجراء تقليديًا ، لذلك ، سيتم النظر إلى مثل هذا الانحناء بشكل ملتوي للغاية (أو حتى يُجبر على إعادة كل شيء) .

النقطة الثانية تتعلق بالأرقام. في سياق القرار ، من المفيد الاسترشاد بالقاعدة الأساسية التالية: يجب أن تقلل التحويلات الأولية ، إذا أمكن ، من أعداد المصفوفة. في الواقع ، من الأسهل بكثير العمل مع واحد - اثنان - ثلاثة من ، على سبيل المثال ، مع 23 و 45 و 97. والإجراء الأول لا يهدف فقط إلى الحصول على وحدة في العمود الأول ، ولكن أيضًا للقضاء على الأرقام 7 و 11.

في البدايه الحل الكامل، ثم التعليقات:

(1) تمت إضافة الصف الأول إلى الصف الثاني ، مضروبًا في -2. تمت إضافة السطر الأول إلى السطر الثالث ، مضروبًا في -3. وإلى الكومة: تمت إضافة السطر الأول ، مضروبًا في -1 ، إلى السطر الرابع.

(2) الأسطر الثلاثة الأخيرة متناسبة. تم حذف الخطين الثالث والرابع ، وتم نقل السطر الثاني إلى المركز الأول.

(3) تم إضافة الصف الأول إلى الصف الثاني ، مضروبًا في -3.

المصفوفة التي تم تقليلها إلى شكل متدرج تتكون من صفين.

إجابة:

الآن حان دورك لتعذيب مصفوفة أربعة في أربعة:

مثال 4

أوجد مرتبة مصفوفة باستخدام طريقة جاوس

أذكرك بذلك طريقة جاوسلا يعني صلابة لا لبس فيها ، ومن المرجح أن يكون حلك مختلفًا عن الحل الذي قدمته. عينة موجزة من المهمة في نهاية الدرس.

ما هي الطريقة التي يجب استخدامها لإيجاد رتبة المصفوفة؟

في الممارسة العملية ، غالبًا ما لا يُقال على الإطلاق الطريقة التي يجب استخدامها للعثور على الرتبة. في مثل هذه الحالة ، يجب على المرء أن يحلل الشرط - بالنسبة لبعض المصفوفات ، من المنطقي تنفيذ الحل من خلال قاصرين ، بينما بالنسبة للآخرين ، يكون تطبيق التحولات الأولية أكثر ربحية:

مثال 5

أوجد مرتبة المصفوفة

حل: الطريقة الأولى تختفي على الفور بطريقة أو بأخرى =)

أعلى قليلاً ، نصحت بعدم لمس أعمدة المصفوفة ، ولكن عندما يكون هناك عمود صفري ، أو أعمدة متناسبة / متطابقة ، فلا يزال الأمر يستحق البتر:

(1) العمود الخامس هو صفر ، نقوم بإزالته من المصفوفة. وبالتالي ، فإن رتبة المصفوفة هي أربعة على الأكثر. يتم ضرب الصف الأول في -1. هذه ميزة توقيع أخرى للطريقة الغاوسية ، مما يجعل الإجراء التالي نزهة ممتعة:

(2) تم إضافة السطر الأول إلى جميع الأسطر ، بدءًا من السطر الثاني.

(3) تم ضرب الصف الأول في -1 ، وتم تقسيم الصف الثالث على 2 ، وتم تقسيم الصف الرابع على 3. تمت إضافة الصف الثاني مضروبًا في -1 إلى الصف الخامس.

(4) تم إضافة السطر الثالث إلى السطر الخامس ، مضروبًا في -2.

(5) السطران الأخيران متناسبان ، نحذف السطر الخامس.

والنتيجة هي 4 صفوف.

إجابة:

مبنى قياسي من خمسة طوابق لاستكشاف الذات:

مثال 6

أوجد مرتبة المصفوفة

حل قصير والإجابة في نهاية الدرس.

وتجدر الإشارة إلى أن عبارة "رتبة المصفوفة" ليست شائعة في الممارسة ، وفي معظم المشاكل يمكنك الاستغناء عنها. ولكن هناك مهمة واحدة يكون فيها المفهوم قيد النظر هو الشخصية الرئيسية ، وفي ختام المقال سننظر في هذا التطبيق العملي:

كيف تتحقق من نظام المعادلات الخطية من أجل التوافق؟

في كثير من الأحيان ، بالإضافة إلى حل أنظمة المعادلات الخطيةوفقًا للشرط ، يجب أولاً فحصه للتأكد من توافقه ، أي لإثبات وجود أي حل على الإطلاق. يتم لعب دور رئيسي في هذا التحقق نظرية كرونيكر كابيليوالتي سأقوم بصياغتها بالشكل المطلوب:

إذا كانت مرتبة مصفوفات النظاميساوي الرتبة نظام المصفوفة المعزز، إذن يكون النظام متسقًا ، وإذا تطابق الرقم المحدد مع عدد المجهولين ، فإن الحل يكون فريدًا.

وبالتالي ، لدراسة نظام التوافق ، من الضروري التحقق من المساواة ، أين - مصفوفة النظام(تذكر المصطلحات من الدرس طريقة جاوس)، أ - نظام المصفوفة المعزز(أي مصفوفة ذات معاملات عند المتغيرات + عمود المصطلحات الحرة).

صفوف الأعمدة). تسمى عدة صفوف (أعمدة) مستقلة خطيًا إذا لم يكن من الممكن التعبير عن أي منها خطيًا من حيث الصفوف الأخرى. دائمًا ما تساوي رتبة نظام الصف مرتبة نظام الأعمدة ، ويسمى هذا الرقم رتبة المصفوفة.

رتبة المصفوفة هي الأعلى من بين جميع القاصرين غير الصفريين المحتملين لهذه المصفوفة. رتبة مصفوفة فارغة بأي حجم هي صفر. إذا كان كل الصغار من الدرجة الثانية يساوي صفرًا ، فإن المرتبة تساوي واحدًا ، وهكذا.

رتبة المصفوفة - أبعاد الصورة خافت ⁡ (im ⁡ (A)) (displaystyle dim (operatorname (im) (A)))عامل تشغيل خطي ، والذي يتوافق مع المصفوفة.

عادة رتبة المصفوفة أ (displaystyle A)يعني الرتبة ⁡ A (displaystyle operatorname (rang) A), r ⁡ أ (displaystyle operatorname (r) A), rg ⁡ A (displaystyle operatorname (rg) A)أو الرتبة ⁡ A (displaystyle operatorname (رتبة) A). الخيار الأخير هو باللغة الإنجليزية، في حين أن اللغتين الأولى والثانية مخصصة للألمانية والفرنسية وعدد من اللغات الأخرى.

موسوعي يوتيوب

• 1 / 5

  اسمحوا أن تكون مصفوفة مستطيلة.

  ثم ، حسب التعريف ، رتبة المصفوفة أ (displaystyle A)يكون:

  نظرية (حول صحة تعريف الرتب).دعونا جميع القاصرين مصفوفة أ م × n (displaystyle A_ (m times n))طلب ك (displaystyle k)تساوي الصفر ( م ل = 0 (displaystyle M_ (k) = 0)). ثم ∀ M ل + 1 = 0 (displaystyle forall M_ (k + 1) = 0)إذا كانوا موجودين.

  التعريفات ذات الصلة

  ملكيات

  • نظرية (على أساس ثانوي):يترك r = رن ⁡ A، M r (\ displaystyle r = \ operatorname (Rang) A، M_ (r))- الأساس الصغرى للمصفوفة أ (displaystyle A)، ثم:
  • عواقب:
  • نظرية (ثبات الرتبة في ظل التحولات الأولية):دعونا نقدم ترميزًا للمصفوفات التي تم الحصول عليها من بعضها البعض من خلال التحويلات الأولية. ثم يكون البيان صحيحًا: إذا أ ∼ ب (displaystyle A sim B)ثم رتبهم متساوية.
  • نظرية كرونيكر - كابيلي:يكون نظام المعادلات الجبرية الخطية متسقًا إذا وفقط إذا كانت مرتبة المصفوفة الرئيسية مساوية لمصفوفة المصفوفة الممتدة. بخاصة:
    • عدد المتغيرات الرئيسية للنظام يساوي رتبة النظام.
    • سيتم تحديد نظام ثابت (حله فريد) إذا كانت رتبة النظام مساوية لعدد جميع متغيراته.
  • عدم المساواة سيلفستر:لو أو بمصفوفات الحجم م × نو ن × ك، الذي - التي
  رن ⁡ أ ب ≥ رانج ⁡ أ + رانج ⁡ ب - n (displaystyle operatorname (rang) AB geq operatorname (rang) A + operatorname (rang) B-n)

  هذه حالة خاصة من عدم المساواة التالية.

  • عدم المساواة فروبينيوس:إذا تم تعريف AB ، BC ، ABC جيدًا ، إذن
  رن ⁡ أ ب ج ≥ رانج ⁡ أ ب + رن ⁡ ب ج - رن ⁡ ب (displaystyle operatorname (rang) ABC geq operatorname (rang) AB + operatorname (rang) BC- operatorname (rang) B)

  التحويل الخطي ورتبة المصفوفة

  يترك أ (displaystyle A)- مصفوفة الحجم م × n (displaystyle m times n)فوق الميدان ج (displaystyle C)(أو ص (displaystyle R)). يترك T (displaystyle T)هو تحويل خطي يقابل أ (displaystyle A)في الأساس القياسي هذا يعني انه T (x) = A x (\ displaystyle T (x) = Ax). رتبة المصفوفة أ (displaystyle A) هو بُعد نطاق التحويل T (displaystyle T).

  طُرق

  توجد عدة طرق لإيجاد رتبة المصفوفة:

  • طريقة التحولات الأولية
  رتبة المصفوفة تساوي عدد الصفوف غير الصفرية في المصفوفة بعد أن تم تصغيرها إلى شكل متدرج باستخدام تحويلات أولية على صفوف المصفوفة.
  • طريقة التهذيب الصغرى
  دع المصفوفة أ (displaystyle A)تم العثور على قاصر غير صفري ك (displaystyle k)الترتيب م (displaystyle M). ضع في اعتبارك جميع القاصرين (ك + 1) (displaystyle (k + 1))النظام ، بما في ذلك القاصر (المحيط) م (displaystyle M)؛ إذا كانت جميعها تساوي صفرًا ، فإن رتبة المصفوفة هي ك (displaystyle k). خلاف ذلك ، بين القاصرين المجاورين هناك واحد غير صفري ، ويتكرر الإجراء بأكمله.

  أي مصفوفة أطلب م × نيمكن اعتبارها مجموعة مناقلات الصف أو نناقلات العمود.

  رتبةالمصفوفات أطلب م × نهو الحد الأقصى لعدد متجهات العمود المستقلة خطيًا أو متجهات الصف.

  إذا كانت رتبة المصفوفة أيساوي صثم يكتب:

  إيجاد مرتبة المصفوفة

  يترك أمصفوفة أمر تعسفي م× ن. لإيجاد مرتبة المصفوفة أتطبيق طريقة القضاء Gaussian عليه.

  لاحظ أنه إذا تبين ، في مرحلة ما من الحذف ، أن العنصر الرئيسي يساوي صفرًا ، فإننا نستبدل هذه السلسلة بسلسلة يكون فيها العنصر البادئ مختلفًا عن الصفر. إذا اتضح أنه لا يوجد مثل هذا الصف ، فإننا ننتقل إلى العمود التالي ، وهكذا.

  بعد التحرك الأمامي للتخلص من Gaussian ، نحصل على مصفوفة تساوي عناصرها تحت القطر الرئيسي صفرًا. بالإضافة إلى ذلك ، قد يكون هناك متجهات صف فارغة.

  سيكون عدد متجهات الصف غير الصفرية هو رتبة المصفوفة أ.

  دعونا نلقي نظرة على كل هذا بأمثلة بسيطة.

  مثال 1

  ضرب الصف الأول في 4 وإضافة الصف الثاني وضرب الصف الأول في 2 وإضافة الصف الثالث لدينا:

  

  اضرب الصف الثاني في -1 وأضفه إلى الصف الثالث:

  

  حصلنا على صفين غير صفريين ، وبالتالي فإن رتبة المصفوفة هي 2.

  مثال 2

  ابحث عن رتبة المصفوفة التالية:

  

  اضرب الصف الأول في -2 وأضف الصف الثاني. وبالمثل ، اضبط عناصر الصفين الثالث والرابع من العمود الأول على صفر:

  

  دعنا نعيد ضبط عناصر الصفين الثالث والرابع من العمود الثاني عن طريق إضافة الصفوف المقابلة إلى الصف الثاني مضروبًا في الرقم -1.

  ستناقش هذه المقالة مفهومًا مثل رتبة المصفوفة والمفاهيم الإضافية الضرورية. سنقدم أمثلة وإثباتات لإيجاد رتبة مصفوفة ، ونخبرك أيضًا ما هي مصفوفة ثانوية وسبب أهميتها.

  مصفوفة ثانوية

  لفهم ما هي رتبة المصفوفة ، من الضروري فهم مفهوم مثل مصفوفة ثانوية.

  التعريف 1

  صغيركمصفوفة الترتيب - محدد المصفوفة المربعة بالترتيب k × k ، والذي يتكون من عناصر المصفوفة A ، الموجودة في صفوف k وأعمدة k محددة مسبقًا ، مع الحفاظ على موضع عناصر المصفوفة A.

  ببساطة ، إذا قمنا في المصفوفة A بحذف الصفوف (p-k) والأعمدة (n-k) ، ومن العناصر المتبقية ، نصنع مصفوفة ، مع الاحتفاظ بترتيب عناصر المصفوفة A ، ثم محدد المصفوفة الناتجة هو القاصر من أجل ك من المصفوفة أ.

  ويترتب على المثال أن العناصر الثانوية من الدرجة الأولى للمصفوفة A هي عناصر المصفوفة نفسها.

  يمكننا إعطاء عدة أمثلة للقصر من الدرجة الثانية. دعنا نختار صفين وعمودين. على سبيل المثال ، الصف الأول والثاني ، العمود الثالث والرابع.

  مع اختيار العناصر هذا ، سيكون الترتيب الثانوي من الدرجة الثانية - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

  ثانوية أخرى من الرتبة الثانية للمصفوفة A هي 0 0 1 1 = 0

  دعونا نقدم الرسوم التوضيحية لبناء القصر من الدرجة الثانية من المصفوفة أ:

  يتم الحصول على الرتبة الثالثة من خلال حذف العمود الثالث من المصفوفة أ:

  0 0 3 1 1 2-1-4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

  توضيح لكيفية الحصول على الرتبة الثالثة من المصفوفة أ:

  بالنسبة لمصفوفة معينة ، لا يوجد قاصر أعلى من الترتيب الثالث ، لأن

  ك ≤ م أنا ن (ص ، ن) = م أنا ن (3 ، 4) = 3

  كم عدد الصغرى من المرتبة k للمصفوفة A من الرتبة p × n؟

  يتم حساب عدد القاصرين باستخدام الصيغة التالية:

  C p k × C n k، g e C p k = p! ك! (ع - ك)! و C nk = n! ك! (ن - ك)! - عدد التوليفات من p إلى k ، من n إلى k ، على التوالي.

  بعد أن قررنا ما هي صغرى المصفوفة A ، يمكننا المضي قدمًا في تحديد رتبة المصفوفة A.

  رتبة المصفوفة: طرق البحث

  التعريف 2

  رتبة المصفوفة - أعلى ترتيب للمصفوفة ، بخلاف الصفر.

  التعيين 1

  رتبة (أ) ، Rg (A) ، Rang (A).

  من تعريف رتبة المصفوفة والصغرى للمصفوفة ، يتضح أن رتبة المصفوفة الصفرية تساوي الصفر ، وأن رتبة المصفوفة غير الصفرية تختلف عن الصفر.

  إيجاد مرتبة المصفوفة بالتعريف

  التعريف 3

  طريقة العد الصغرى - طريقة تعتمد على تحديد رتبة المصفوفة.

  خوارزمية الإجراءات عن طريق تعداد القصر :

  من الضروري إيجاد رتبة المصفوفة أ من الترتيب ص× ن. إذا كان هناك عنصر واحد غير صفري على الأقل ، فإن رتبة المصفوفة تساوي واحدًا على الأقل ( لأن هو قاصر من الدرجة الأولى لا يساوي صفرًا).

  ثم يلي ذلك تعداد القصر من الدرجة الثانية. إذا كان كل الصغار من الدرجة الثانية يساوي صفرًا ، فإن الرتبة تساوي واحدًا. إذا كان هناك قاصر واحد على الأقل ليس صفريًا من الترتيب الثاني ، فمن الضروري الذهاب إلى تعداد القصر من الدرجة الثالثة ، وستكون رتبة المصفوفة ، في هذه الحالة ، اثنين على الأقل.

  لنفعل الشيء نفسه مع المرتبة الثالثة: إذا كانت جميع العناصر الثانوية في المصفوفة تساوي صفرًا ، فستكون الرتبة مساوية لاثنين. إذا كان هناك واحد على الأقل من الرتبة الثالثة غير صفرية ، فإن رتبة المصفوفة هي ثلاثة على الأقل. وهكذا ، عن طريق القياس.

  مثال 2

  أوجد رتبة المصفوفة:

  أ \ u003d - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

  نظرًا لأن المصفوفة ليست صفرية ، فإن رتبتها تساوي واحدًا على الأقل.

  الدرجة الثانية الثانوية - 1 1 2 2 = (- 1) × 2-1 × 2 = 4 ليست صفرية. هذا يعني أن رتبة المصفوفة A لا تقل عن اثنين.

  نقوم بالفرز من خلال القاصرين من الترتيب الثالث: C 3 3 × C 5 3 \ u003d 1 5! 3! (5 - 3)! = 10 قطع.

  1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (-1) × 6 × 3 = 0

  1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

  1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (-1) × 0 × 3 = 0

  1 - 1 0 2 6-4 4 11-7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

  1 - 1 0 2 6 - 4 3 11-7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

  1 - 2 0 2 0 - 4 3 1-7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

  1 - 2 0 6 0-4 11 1-7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

  الدرجة الثالثة الصغرى هي صفر ، لذا فإن رتبة المصفوفة هي اثنان.

  إجابة : المرتبة (أ) = 2.

  إيجاد مرتبة المصفوفة بطريقة تهديب القصر

  التعريف 3

  طريقة التهذيب الصغرى - طريقة تسمح لك بالحصول على نتيجة بعمل حسابي أقل.

  هدب قاصر - M o k (k + 1) - الترتيب الثالث للمصفوفة A ، الذي يحد M الصغرى من الرتبة k من المصفوفة A ، إذا كانت المصفوفة التي تتوافق مع القاصر M o k "تحتوي على" المصفوفة التي تتوافق مع القاصر م.

  ببساطة ، يتم الحصول على المصفوفة المقابلة لحدود M الصغيرة من المصفوفة المقابلة للصغرى الحدودية M o k عن طريق حذف عناصر صف واحد وعمود واحد.

  مثال 3

  أوجد رتبة المصفوفة:

  أ = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

  لإيجاد الرتبة ، نأخذ المرتبة الثانية الثانوية M = 2 - 1 4 1

  نكتب جميع القاصرين المجاورين:

  1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

  لإثبات طريقة تجاور القاصرين ، نقدم نظرية لا تتطلب صياغتها أساس إثبات.

  نظرية 1

  إذا كان كل القاصرين الذين يحدون من الرتبة k-th من المصفوفة A من الرتبة p في n يساوي صفرًا ، فإن كل العناصر الثانوية (k + 1) للمصفوفة A تساوي صفرًا.

  خوارزمية العمل :

  للعثور على مرتبة المصفوفة ، ليس من الضروري المرور عبر كل القصر ، فقط انظر إلى الحدود.

  إذا كانت الحدود الصغرى تساوي صفرًا ، فإن رتبة المصفوفة تساوي صفرًا. إذا كان هناك قاصر واحد على الأقل لا يساوي صفرًا ، فإننا نعتبر قاصرين متجاورين.

  إذا كانت جميعها صفراً ، فإن الرتبة (أ) هي اثنان. إذا كان هناك قاصر واحد على الأقل ليس صفراً على الحدود ، فإننا ننتقل إلى اعتبار القاصرين المجاورين له. وهكذا ، بطريقة مماثلة.

  مثال 4

  أوجد مرتبة المصفوفة بطريقة تهديب القاصرين

  أ = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

  كيف تقرر؟

  نظرًا لأن العنصر a 11 في المصفوفة A لا يساوي صفرًا ، فإننا نأخذ العنصر الأصغر من الترتيب الأول. لنبدأ في البحث عن حد أدنى غير الصفر:

  2 1 4 2 = 2 × 2-1 × 4 = 0 2 0 4 1 = 2 × 1 - 0 × 4 = 2

  لقد وجدنا قاصرًا حدوديًا من الرتبة الثانية لا يساوي صفرًا 2 0 4 1.

  لنعد القاصرين المجاورين - (هناك (4 - 2) × (5 - 2) = 6 قطع).

  2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

  إجابة : المرتبة (أ) = 2.

  إيجاد رتبة مصفوفة بطريقة غاوس (باستخدام التحولات الأولية)

  تذكر ما هي التحولات الأولية.

  التحولات الأولية:

  • عن طريق إعادة ترتيب صفوف (أعمدة) المصفوفة ؛
  • بضرب جميع عناصر أي صف (عمود) من المصفوفة بعدد تعسفي غير صفري ك ؛

  عن طريق إضافة عناصر أي صف (عمود) تتوافق مع صف آخر (عمود) من المصفوفة ، والتي يتم ضربها برقم تعسفي ك.

  التعريف 5

  إيجاد رتبة مصفوفة باستخدام طريقة غاوس - طريقة تعتمد على نظرية تكافؤ المصفوفة: إذا تم الحصول على المصفوفة B من المصفوفة A باستخدام عدد محدود من التحويلات الأولية ، فإن الرتبة (A) = الرتبة (B).

  صحة هذا البيان يتبع من تعريف المصفوفة:

  • في حالة تبديل صفوف أو أعمدة المصفوفة ، علامة التغييرات المحددة لها. إذا كانت تساوي صفرًا ، فعند تبديل الصفوف أو الأعمدة تظل مساوية للصفر ؛
  • في حالة ضرب جميع عناصر أي صف (عمود) من المصفوفة برقم تعسفي ك ، والذي لا يساوي الصفر ، فإن محدد المصفوفة الناتجة يساوي محدد المصفوفة الأصلية ، والذي يتم ضربه بواسطة k ؛

  في حالة إضافة عناصر صف أو عمود معين من المصفوفة ، فإن العناصر المقابلة لصف أو عمود آخر ، والتي يتم ضربها بالرقم k ، لا تغير محددها.

  جوهر طريقة التحولات الأولية : اختزل المصفوفة ، التي يمكن إيجاد رتبتها ، إلى شبه منحرف باستخدام التحولات الأولية.

  لماذا؟

  من السهل جدًا العثور على ترتيب المصفوفات من هذا النوع. إنه يساوي عدد الصفوف التي تحتوي على عنصر واحد غير فارغ على الأقل. وبما أن الرتبة لا تتغير أثناء التحولات الأولية ، فستكون هذه هي رتبة المصفوفة.

  دعنا نوضح هذه العملية:

  • بالنسبة للمصفوفات المستطيلة A بالترتيب p في n ، يكون عدد صفوفها أكبر من عدد الأعمدة:

  أ ~ 1 ب 12 ب 13 ⋯ ب 1 ن - 1 ب 1 ن 0 1 ب 23 ⋯ ب 2 ن - 2 ب 2 ن ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 ب ن - 1 ن 0 0 0 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 0، R a n k (A) = n

  أ ~ 1 ب 12 ب 13 ⋯ ب 1 ك ب 1 ك + 1 ⋯ ب 1 ن 0 1 ب 23 ⋯ ب 2 ك ب 2 ك + 1 ب 2 ن ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 1 ب ك ك + 1 ⋯ ب ك ن 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ، R a n k (A) = k

  • للمصفوفات المستطيلة A بالترتيب p في n ، وعدد صفوفها أقل من عدد الأعمدة:

  A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 p b 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 p b 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 1 b p p + 1 ⋯ ب ف ن ، ر أ ن ك (أ) = ص

  أ ~ 1 ب 12 ب 13 ⋯ ب 1 ك ب 1 ك + 1 ⋯ ب 1 ن 0 1 ب 23 ⋯ ب 2 ك ب 2 ك + 1 ب 2 ن ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 1 ب ك ك + 1 ⋯ ب ك ن 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 0

  • للمصفوفات المربعة A من أجل n بواسطة n:

  أ ~ 1 ب 12 ب 13 ⋯ ب 1 ن - 1 ب 1 ن 0 1 ب 23 ⋯ ب 2 ن - 1 ب 2 ن ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 1 ب ن - 1 ن 0 0 0 0 1 ، R a n k (A) = n

  أ ~ 1 ب 12 ب 13 ⋯ ب 1 ك ب 1 ك + 1 ⋯ ب 1 ن 0 1 ب 23 ⋯ ب 2 ك ب 2 ك + 1 ب 2 ن ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 1 ب ك ك + 1 ⋯ ب ك ن 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0، R a n k (A) = k، k< n

  مثال 5

  أوجد رتبة المصفوفة أ باستخدام التحولات الأولية:

  أ = ٢ ١ - ٢ ٦ ٣ ٠ ٠ - ١ ١ - ١ ٢ - ٧ ٥ - ٢ ٤ - ١٥ ٧ ٢ - ٤ ١١

  كيف تقرر؟

  نظرًا لأن العنصر a 11 غير صفري ، فمن الضروري مضاعفة عناصر الصف الأول من المصفوفة A في 1 a 11 \ u003d 1 2:

  أ = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

  نضيف إلى عناصر الصف الثاني العناصر المقابلة للصف الأول ، والتي يتم ضربها في (-3). إلى عناصر الصف الثالث نضيف عناصر الصف الأول ، والتي يتم ضربها ب (-1):

  ~ A (1) \ u003d 1 1 2-1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2-7 5-2 4-15 7 2-4 11 ~ A (2) \ u003d \ u003d 1 1 2-1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5) ) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

  1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

  العنصر a 22 (2) ليس صفريًا ، لذلك نضرب عناصر الصف الثاني من المصفوفة A في A (2) في a 1 a 22 (2) = - 2 3:

  أ (3) \ u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0-9 2 9-30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) \ u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2-30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

  • إلى عناصر الصف الثالث من المصفوفة الناتجة ، نضيف العناصر المقابلة للصف الثاني ، والتي يتم ضربها في 3 2 ؛
  • إلى عناصر الصف الرابع - عناصر الصف الثاني ، والتي يتم ضربها في 9 2 ؛
  • لعناصر الصف الخامس - عناصر الصف الثاني ، والتي يتم ضربها في 3 2.

  جميع عناصر الصف صفر. وهكذا ، بمساعدة التحولات الأولية ، قمنا بتقليل المصفوفة إلى شكل شبه منحرف ، يمكن من خلاله ملاحظة أن R a n k (A (4)) = 2. ويترتب على ذلك أن مرتبة المصفوفة الأصلية تساوي أيضًا اثنين.

  تعليق

  إذا قمت بإجراء تحويلات أولية ، فلن يُسمح بالقيم التقريبية!

  إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

  سابقا لمصفوفة مربعة الترتيب عشر ، تم تقديم فكرة القاصر
  عنصر . تذكر أن هذا هو اسم محدد الأمر
  ، تم الحصول عليها من المحدد
  الإضراب -الخط و العمود.

  دعنا نقدم الآن المفهوم العامصغير. دعونا نفكر في البعض ليس بالضرورة مربعمصفوفة . دعنا نختار البعض أرقام الأسطر
  و أرقام الأعمدة
  .

  تعريف. أمر بسيط المصفوفات (المقابلة للصفوف والأعمدة المحددة) يسمى محدد الترتيب ، مكونة من عناصر تقف عند تقاطع الصفوف والأعمدة المختارة ، أي رقم

  .

  تحتوي كل مصفوفة على العديد من القاصرين بترتيب معين كم عدد الطرق التي يمكن بها اختيار أرقام الصفوف؟
  والأعمدة
  .

  تعريف. في المصفوفة الأحجام
  طلب قاصر مُسَمًّى أساسي، إذا كان مختلفًا عن الصفر ، وجميع الأطفال الصغار
  هم صفر أو قاصرون من النظام
  في المصفوفة بالطبع لا.

  من الواضح أنه يمكن أن يكون هناك عدة قاصرين مختلفين في المصفوفة ، لكن جميع القاصرين الأساسيين لديهم نفس الترتيب. في الواقع ، إذا كان كل القصر من أجل
  تساوي صفرًا ، فهي تساوي صفرًا وجميع العناصر الثانوية
  ، وبالتالي ، من جميع الرتب العليا.

  تعريف. رتبة المصفوفةيسمى ترتيب الأساس الثانوي ، أو بعبارة أخرى ، الترتيب الأكبر الذي يوجد من أجله قاصر غير صفري. إذا كانت جميع عناصر المصفوفة تساوي صفرًا ، فإن رتبة هذه المصفوفة ، بحكم التعريف ، تعتبر صفرًا.

  رتبة المصفوفة سيتم الإشارة إليه بالرمز
  . ويترتب على تعريف الرتبة أن المصفوفة الأحجام
  نسبة عادلة.

  طريقتان لحساب رتبة المصفوفة

  أ) طريقة التهذيب الصغرى

  دع القاصر موجود في المصفوفة
  الترتيب ، يختلف عن الصفر. ضع في اعتبارك فقط هؤلاء القصر
  - الترتيب الذي يحتوي على طفيفة (تحيط)
  : إذا كانت كلها صفراً ، فإن مرتبة المصفوفة هي . خلاف ذلك ، بين القاصرين المجاورين هناك قاصر غير صفري
  الترتيب ، ويتكرر الإجراء بأكمله.

  المثال 9 . أوجد مرتبة المصفوفة بطريقة القاصرين المجاورة.

  

  نختار قاصرًا من الدرجة الثانية
  . لا يوجد سوى قاصر واحد من الرتبة الثالثة ، على حدود القاصر المختار
  . دعونا نحسبها.

  

  طفيفة جدا
  أساسي ، ورتبة المصفوفة تساوي ترتيبها ، أي
  

  من الواضح أن الفرز بين القاصرين بهذه الطريقة بحثًا عن أساس واحد هو مهمة مرتبطة بحسابات كبيرة ، إذا لم تكن أبعاد المصفوفة صغيرة جدًا. ومع ذلك ، هناك طريقة أسهل للعثور على مرتبة المصفوفة - باستخدام التحويلات الأولية.

  ب) طريقة التحولات الأولية

  تعريف. تحولات المصفوفة الأوليةتسمى التحولات التالية:

  ضرب سلسلة بعدد غير صفري ؛

  إضافة سطر آخر إلى سطر واحد ؛

  تبديل الخط

  نفس تحويلات العمود.

  يتم إجراء التحويلين 1 و 2 عنصرًا عنصرًا.

  من خلال الجمع بين التحويلات من النوع الأول والثاني ، يمكننا إضافة مجموعة خطية من الأسطر المتبقية إلى أي سطر.

  نظرية. التحولات الأولية لا تغير مرتبة المصفوفة.

  (لا إثبات)

  فكرة طريقة عملية لحساب رتبة المصفوفة

  

  يكمن في حقيقة أنه بمساعدة التحولات الأولية المصفوفة المعطاة يؤدي إلى العرض

  , (5)

  فيها العناصر "القطرية"
  تختلف عن الصفر ، والعناصر الموجودة أسفل العناصر "المائلة" تساوي صفرًا. دعونا نسمي المصفوفة هذا النوع من المثلثات (خلاف ذلك ، يُطلق عليه اسم قطري أو شبه منحرف أو درج). بعد إحضار المصفوفة إلى شكل مثلث ، يمكننا كتابة ذلك على الفور
  .

  بالفعل،
  (لأن التحولات الأولية لا تغير الترتيب). لكن المصفوفة هناك أمر ثانوي غير صفري :

  ,

  وأي قاصر في الأمر
  يحتوي على سلسلة فارغة وبالتالي فهو فارغ.

  دعونا الآن صياغة عملية قاعدة حساب الترتيبالمصفوفات باستخدام التحولات الأولية: لإيجاد رتبة المصفوفة يجب إحضارها إلى شكل مثلث بمساعدة التحولات الأولية . ثم رتبة المصفوفة سيكون مساويًا لعدد الصفوف غير الصفرية في المصفوفة الناتجة .

  المثال 10 أوجد مرتبة المصفوفة طريقة التحولات الأولية

  

  حل.

  لنقم بتبديل الصفين الأول والثاني (لأن العنصر الأول في الصف الثاني هو 1 وسيكون مناسبًا لإجراء تحويلات معه). نتيجة لذلك ، نحصل على مصفوفة مكافئة للمصفوفة المعطاة.

  
  

  دل - الصف الثالث من المصفوفة - . علينا إحضار المصفوفة الأصلية إلى شكل مثلث. سوف نعتبر الخط الأول هو الخط الرائد ، وسوف يشارك في جميع التحولات ، لكنه يبقى نفسه دون تغيير.

  في المرحلة الأولى ، نقوم بإجراء تحويلات تسمح لنا بالحصول على الأصفار في العمود الأول ، باستثناء العنصر الأول. للقيام بذلك ، من الصف الثاني ، اطرح الأول مضروبًا في 2
  ، أضف السطر الأول إلى السطر الثالث
  ومن الثالث نطرح الأول مضروبًا في 3
  نحصل على مصفوفة يتطابق مرتبتها مع رتبة المصفوفة المعطاة. دعنا نشير إليها بنفس الحرف :

  .

  نظرًا لأننا نحتاج إلى إحضار المصفوفة إلى الصورة (5) ، فإننا نطرح الثانية من الصف الرابع. عند القيام بذلك ، لدينا:

  .

  يتم الحصول على مصفوفة مثلثة ، ويمكن استنتاج ذلك
  ، أي عدد الصفوف غير الصفرية. باختصار ، يمكن كتابة حل المشكلة على النحو التالي: