Тема урока: «Признак перпендикулярности двух плоскостей»
Тип урока: Урок изучения нового материала
Формируемые результаты:
Предметные: ввести понятие угла между плоскостями, познакомить учащихся с определением перпендикулярных плоскостей, признаком перпендикулярности двух плоскостей, формировать умение применять его при решении задач.
Личностные: развивать познавательный интерес к геометрии, формировать умение представлять результат своей деятельности.
Метапредметные: формировать умение ставить и формулировать для себя новые задачи в учебе и познавательной деятельности.
Планируемые результаты: учащийся научится применять новую теорему при решении несложных задач.
Оборудование: доска, готовые рисунки (слайд-фильм), модели, изготовленные учащимися и учителем, текст задачи на печатной основе.
Cлова Пойа Д.:
Подробнее во вложении
Скачать:
Предварительный просмотр:
Урок геометрии в 10 классе.
Тема урока: «Признак перпендикулярности двух плоскостей»
Тип урока: Урок изучения нового материала
Формируемые результаты:
Предметные: ввести понятие угла между плоскостями, познакомить учащихся с определением перпендикулярных плоскостей, признаком перпендикулярности двух плоскостей, формировать умение применять его при решении задач.
Личностные: развивать познавательный интерес к геометрии, формировать умение представлять результат своей деятельности.
Метапредметные: формировать умение ставить и формулировать для себя новые задачи в учебе и познавательной деятельности.
Планируемые результаты: учащийся научится применять новую теорему при решении несложных задач.
Оборудование: доска, готовые рисунки (слайд-фильм), модели, изготовленные учащимися и учителем, текст задачи на печатной основе.
Cлова Пойа Д.: «Нужно всеми средствами обучать искусству доказывать, не забывая при этом и об искусстве догадываться».
1. Оргмомент.
2. Проверка домашнего задания.
1)Ученик с моделью двугранного угла рассказывает, как образуется его линейный угол; дает определение градусной меры двугранного угла.
2) Задача №1. (Слайд 2) – по рисунку.
3) Задача №2. (Слайд 3) – по рисунку.
К этим задачам вернемся позже перед доказательством признака.
3. Актуализация знаний.
1) Рассказ ученика о пересекающихся плоскостях (используется модель).
2) Определение перпендикулярных плоскостей (использует модель), примеры.
Вернемся к домашним задачам. Было установлено, что в обоих случаях двугранные углы равны 90°, т.е. являются прямыми. Посмотрим, какие символы нужно вставить вместо точек и сделаем вывод о взаимном расположении плоскостей (слайд 4).
(AFC) FO (ADC)
(AFC) (ADC).
Выясним, можно ли без нахождения двугранного угла сделать вывод о перпендикулярности плоскостей?
Обратите внимание на связь (слайд 5):
(DCC₁) DD₁ (ABC) (DCC₁) (ABC) и
(AFC) FO (ADC) (AFC) (ADC)
Формулирование предположения учащимися.
4. Изучение нового материала.
1). Сообщение темы урока: «Признак перпендикулярности двух плоскостей».
2). Формулировка теоремы (учебник): «Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны» ; показ на модели.
3). Доказательство проводится по заранее заготовленному чертежу (рис.62).
Дано: α, β – плоскости; α АВ β; АВ ∩ β = А
Доказать: α β.
Доказательство: 1) α ∩ β = АС
2) АВ АС (?)
3) Построим АD β; АD АС
4) L BAD - ……….. , L BAD = …. ° (?)
5) L (α, β) = 90°, т.е. α β.
5. Первичное закрепление (ПЗ).
1). Решение задачи 1 на готовом чертеже (слайд 6).
Дано: DА
Доказать: (DАС)
2). Решение задачи 2 на готовом чертеже + у каждого заготовленный вырезанный ромб (слайд 7).
Дано: АВСД – ромб;
Перегибаем по диагонали:
ВО
Докажи: (АВС)
3). Задача 3. «Слепой» текст на печатной основе (слайды 8-9).
Дано: рисунок; двугранный угол ВАСД – прямой.
Найди: ВД
Самостоятельно. Проверка.
6. Итоги урока. Информация о домашнем задании.
Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, и не принадлежащими одной плоскости.
Определение. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера любого из его линейных углов.
Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 o .
Признак перпендикулярности двух плоскостей.
Свойства.
- В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней представляют собой прямоугольники.
- Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда являются прямыми
- Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.
Задачи и тесты по теме "Тема 7. "Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей"."
- Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей
- Перпендикулярность прямой и плоскости - Перпендикулярность прямых и плоскостей 10 класс
Уроков: 1 Заданий: 10 Тестов: 1
- Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью - Перпендикулярность прямых и плоскостей 10 класс
Уроков: 2 Заданий: 10 Тестов: 1
- Параллельность плоскостей - Параллельность прямых и плоскостей 10 класс
Уроков: 1 Заданий: 8 Тестов: 1
- Перпендикулярные прямые - Начальные геометрические сведения 7 класс
Уроков: 1 Заданий: 17 Тестов: 1
Материал темы обобщает и систематизирует известные Вам из планиметрии сведения о перпендикулярности прямых. Изучение теорем о взаимосвязи параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве, а также материал о перпендикуляре и наклонных целесообразно сочетать с систематическим повторением соответствующего материала из планиметрии.
Решения практически всех задач на вычисление сводятся к применению теоремы Пифагора и следствий из нее. Во многих задачах возможность применения теоремы Пифагора или следствий из нее обосновывается теоремой о трех перпендикулярах или свойствами параллельности и перпендикулярности плоскостей.
Определение. Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. Приведем без доказательства теоремы стереометрии, полезные для решения последующих метрических задач.
1. Признак перпендикулярности двух плоскостей: если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
2. Если две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости, пересекаются, то
прямая их пересечения перпендикулярна третьей плоскости.
3. Для наклонной прямой, не являющейся перпендикуляром к плоскости, имеет место утверждение: через наклонную проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной плоскости.
Последнее утверждение позволяет предложить следующий алгоритм построения плоскости, проходящей через наклонную АВ и перпендикулярную заданной плоскости Σ:
1) на АВ выбирается произвольная точка Е;
2) строится прямая t таким образом, что t " Е, t ^ h , t ^ f , где h Ì Σ, f Ì Σ
(рис. 7.10), т.е. t ^ Σ.
Плоскость (АВ,t) будет единственной плоскостью, перпендикулярной плоскости Σ. Заметим, что через прямую t ^ Σ проходит не одна плоскость, перпендикулярная Σ.
Задача. Дана плоскость Σ(CD, MN), где CD // MN и прямая АВ (рис. 7.11).
Построить на КЧ плоскость, проходящую через АВ и перпендикулярную плоскости Σ.
Алгоритм проекционного решения задачи:
1) строятся линии уровня h(h 1 ,h 2) и f(f 1 ,f 2) в плоскости Σ, при этом h 2 // х, f 1 // х;
2) строятся проекции t 1 и t 2 прямой t таким образом, что t 2 " E 2 , t 2 ^ f 2 ; t 1 " E 1 , t 1 ^ h 1 , где Е Î АВ – произвольная точка. Плоскость (АВ, t) – решение задачи.
Задача. Даны плоскости Σ(АВ, DC) и Δ(KL, PT), где
AB Ç DC, KL // PT, а также точка Е. Построить плоскость, проходящую через точку Е и перпендикулярную обеим плоскостям Σ и Δ (рис. 9.9).
Одно из возможных решений данной задачи состоит в следующем. Вначале строится линия пересечения заданных плоскостей t = Σ Ç Δ. Затем, на основании приведенных теорем стереометрии, строится плоскость, проходящая через точку Е и перпендикулярная линии t. Будучи единственной, эта плоскость представляет собой решение задачи.
Возможен другой алгоритм решения данной задачи (см. рис. 9.8):
1) из данной точки Е опускается перпендикуляр а на плоскость Σ;
2) из точки Е опускает перпендикуляр b на плоскость Δ.
Плоскость (a, b), где a Ç b = E, есть решение задачи. Рассмотрим реализацию этого алгоритма на КЧ (см. рис. 9.9).
1. В плоскости Σ построим линии уровня h 1 (h 1 1 , h 1 2) и f 1 (f 1 1 , f 1 2) . При этом
h 1 2 // x; f 1 1 // x.
2. В плоскости Δ построим линии уровня h 2 (h 2 1 , h 2 2) и f 2 (f 2 1 , f 2 2) . При этом
h 2 2 // х; f 2 1 //х.
3. Из точки Е опускаются два перпендикуляра: а ^ Σ, b ^ Δ. При этом
а 2 ^ f 1 2 , а 1 ^h 1 1 ; b 2 ^ f 2 2 , b 1 ^ h 2 1 .
Две прямые а и b, пересекающиеся в точке Е, определяют искомую плоскость, т.е. плоскость, перпендикулярную заданным плоскостям Σ и Δ.
Перпендикулярность плоскостей
Определение.
Две плоскости называются перпендикулярными,
если линейный угол при ребре двугранного угла между этими плоскостями - прямой.
Признак перпендикулярности
плоскостей.
Если плоскость проходит через прямую,
перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости
перпендикулярны.
Доказательство. Пусть a
и
?
- две пересекающиеся плоскости, с
- прямая
их пересечения и а
- прямая
перпендикулярная
плоскости
?
и лежащая в
плоскости
a
. А - точка пересечения прямых
a
и с.
В
плоскости
?
из точки А
восстановим
перпендикуляр,
и пусть это будет прямая
b
. Прямая
а
перпендикулярна
плоскости ?
,
а значит она перпендикулярна и любой прямой в этой плоскости, то есть прямые b
и
с
перпендикулярны.
Угол между прямыми а
и Ь -
линейный плоскостями
a
и
?
и
равен он 90°, так
как прямая
а
перпендикулярна прямой
b
(подоказанному).Поопределениюплоскости
a
и
?
перпендикулярны.
Теорема 1 .
Еслииз точки,принадлежащейодной из двух перпендикулярных
плоскостей,провести
перпендикуляр к другой плоскости, то это перпендикуляр
полностью лежит в первой плоскости.
Доказательство. Пусть a
и ?
-
перпендикулярные плоскости и с -
прямая их пересечения, А - точка
лежащаявплоскостиa
и не принадлежащая прямой с.
Пустьперпендикуляр к плоскости ?
проведенный из точки А
, не лежит в плоскости a
,
тогда точка С – основание этого перпендикуляра лежит в
плоскости ?
и
не принадлежит прямой с.
Из точки А
опустим перпендикуляр АВ
напрямую с.
Прямая АВ перпендикулярна
плоскости (использую теорему 2).
Через прямую АВ и точку С
проведем плоскость ?
(прямая и точка определяют плоскость, причем только одну). Мы видим, что в
плоскости
?
из одной точки А
на прямуюВС проведено два перпендикуляра, чего быть не
может, значит прямая АС
совпадает с
прямой АВ, а прямая АВ в
свою очередь полностью лежит в плоскости a
.
Теорема 2 .
Если в одной из двух перпендикулярных плоскостей провести перпендикуляр
к их линии
пересечения, то этот
перпендикуляр будет перпендикулярен второй плоскости.
Доказательство. Пусть a
и ?
- две
перпендикулярные плоскости, с -
прямая их пересечения и а -
прямая
перпендикулярная прямой с
и лежащая в
плоскости
a
. А - точка пересечения прямых а
и с.
В
плоскости
?
из точки А
восстановим перпендикуляр,
и пусть это будет прямая
b
.
Угол
между прямыми
а
и
b
- линейный
угол при ребре двугранного угла между
плоскостями
a
и
?
и
равен он 90°, так как плоскости
a
и
?
перпендикулярны. Прямая
а
перпендикулярна
прямой
b
(по доказанному) и прямой с
по условию.
Значит
прямая
а
перпендикулярна плоскости?
(
ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:
Представление о плоскости в пространстве позволяет получить, к примеру, поверхность стола или стены. Однако, стол или стена имеют конечные размеры, а плоскость простирается за их границы в бесконечность.
Рассмотрим две пересекающиеся плоскости. При пересечении они образуют четыре двугранных угла с общим ребром.
Вспомним, что из себя представляет двугранный угол.
В реальности мы встречаемся с предметами, которые имеют форму двугранного угла: например, приоткрытая дверь или полураскрытая папка.
При пересечении двух плоскостей альфа и бета получим четыре двугранных угла. Пусть один из двугранных углов равен (фи), тогда второй равен (1800 -), третий, четвертый (1800-).
Рассмотрим случай, когда один из двугранных углов равен 900.
Тогда, все двугранные углы в этом случае равны по 900.
Введем определение перпендикулярных плоскостей:
Две плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90°.
Угол между плоскостями сигма и эпсилон равен 90 градусов, значит плоскости перпендикулярны
Приведем примеры перпендикулярных плоскостей.
Стена и потолок.
Боковая стенка и крышка стола.
Сформулируем признак перпендикулярности двух плоскостей:
ТЕОРЕМА: Если одна их двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Докажем этот признак.
По условию известно что прямая АМ лежит в плоскости α, прямая АМ перпендикулярна плоскости β,
Доказать: плоскости α и β перпендикулярны.
Доказательство:
1) Плоскости α и β пересекаются по прямой АР, при этом АМ АР, так как АМ β по условию, то есть АМ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости β.
2) Проведем в плоскости β прямую AТ перпендикулярную AР.
Получим угол ТAМ - линейный угол двугранного угла. Но угол ТAМ = 90°, так как МА β. Значит, α β.
Что и требовалось доказать.
Из признака перпендикулярности двух плоскостей имеем важное следствие:
СЛЕДСТВИЕ: Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.
То есть: если α∩β=с и γ с, то γ α и γ β.
Докажем это следствие: если плоскость гамма перпендикулрна к прямой с то по признаку параллельностидвух плоскостей гамма перпендикулярна к альфа. Аналогично и гамма перпендикулярна бета
Указанное следствие переформулируем для двугранного угла:
Плоскость, проходящая через линейный угол двугранного угла перпендикулярна ребру и граням этого двугранного угла. Другими словами, если мы построили линейный угол двугранного угла, то проходящая через него плоскость перпендикулярна ребру и граням этого двугранного угла.
Дано: ΔАВС, С = 90°, АС лежит в плоскости α, угол между плоскостями α и ABC = 60°, АС = 5 см, АВ = 13 см.
Найти: расстояние от точки В до плоскости α.
1) Построим ВК α. Тогда КС - проекция ВС на эту плоскость.
2) ВС АС (по условию), значит, по теореме о трех перпендикулярах (ТТП), КС АС. Следовательно, ВСК - линейный угол двугранного угла между плоскостью α и плоскостью треугольника АВС. То есть ВСК = 60°.
3) Из ΔВСА по теореме Пифагора:
Ответ ВК равно 6 корней из трех см
Практическое использование (прикладной характер) перпендикулярности двух плоскостей.