Ushbu materialda biz kasrlarni yangi maxrajga qanday to'g'ri keltirish kerakligini, qo'shimcha omil nima ekanligini va uni qanday topishni tahlil qilamiz. Shundan so'ng, biz kasrlarni yangi maxrajlarga kamaytirishning asosiy qoidasini tuzamiz va uni misollar bilan ko'rsatamiz.
Kasrni boshqa maxrajga kamaytirish tushunchasi
Kasrning asosiy xususiyatini eslang. Unga ko'ra, oddiy kasr a b (bu erda a va b har qanday sonlar) unga teng bo'lgan cheksiz sonli kasrlarga ega. Bunday kasrlarni pay va maxrajni bir xil m (tabiiy) songa ko'paytirish orqali olish mumkin. Boshqacha aytganda, hamma narsa oddiy kasrlar a · m b · m shaklidagi boshqalar bilan almashtirilishi mumkin. Bu asl qiymatni kerakli maxrajga ega kasrga kamaytirishdir.
Kasrni boshqa maxrajga uning soni va maxrajini istalgan songa ko'paytirish orqali keltirishingiz mumkin. natural son. Asosiy shart shundaki, ko'paytiruvchi kasrning ikkala qismi uchun bir xil bo'lishi kerak. Natijada asl qismga teng kasr olinadi.
Buni misol bilan tushuntirib beraylik.
1-misol
11 25 kasrni yangi maxrajga aylantiring.
Yechim
Ixtiyoriy natural son 4 ni oling va asl kasrning ikkala qismini unga ko'paytiring. Biz ko'rib chiqamiz: 11 4 \u003d 44 va 25 4 \u003d 100. Natijada 44,100 ning bir qismi.
Barcha hisob-kitoblarni quyidagi shaklda yozish mumkin: 11 25 \u003d 11 4 25 4 \u003d 44 100
Ma'lum bo'lishicha, har qanday kasrni juda ko'p turli xil maxrajlarga qisqartirish mumkin. To'rtta o'rniga biz boshqa natural sonni olib, asl qismga ekvivalent boshqa kasrni olishimiz mumkin.
Lekin hech qanday son yangi kasrning maxrajiga aylana olmaydi. Demak, a b uchun maxraj faqat b ning karrali b · m sonlarini o'z ichiga olishi mumkin. Bo'lishning asosiy tushunchalarini - ko'paytiruvchilar va bo'luvchilarni eslang. Agar son b ning karrali bo'lmasa, lekin u yangi kasrning bo'luvchisi bo'lolmasa. Keling, fikrimizni muammoni hal qilish misoli bilan tushuntiramiz.
2-misol
5 9 kasrni 54 va 21 maxrajlarga kamaytirish mumkinligini hisoblang.
Yechim
54 - to'qqizning ko'paytmasi, bu yangi kasrning maxraji (ya'ni 54 ni 9 ga bo'lish mumkin). Shunday qilib, bunday qisqartirish mumkin. Va biz 21 ni 9 ga bo'la olmaymiz, shuning uchun bu kasr uchun bunday harakatni bajarib bo'lmaydi.
Qo'shimcha multiplikator haqida tushuncha
Keling, qo'shimcha omil nima ekanligini aniqlaylik.
Ta'rif 1
Qo'shimcha multiplikator- bu kasrning har ikki qismi ko'paytirilib, uni yangi maxrajga keltiruvchi natural son.
Bular. bu amalni kasrda bajarganimizda, buning uchun qo'shimcha ko'paytuvchini olamiz. Misol uchun, 7 10 kasrni 21 30 ko'rinishiga kamaytirish uchun bizga qo'shimcha 3 omil kerak. Va 5 ko'paytmasi yordamida 3 8 dan 15 40 kasrni olishingiz mumkin.
Shunga ko'ra, kasrni kamaytirish kerak bo'lgan maxrajni bilsak, u uchun qo'shimcha koeffitsientni hisoblashimiz mumkin. Keling, buni qanday qilishni aniqlaylik.
Bizda a b kasr bor, uni qandaydir maxraj c ga keltirish mumkin; qo'shimcha omil m ni hisoblang. Asl kasrning maxrajini m ga ko'paytirishimiz kerak. Biz b · m ni olamiz va masalaning shartiga ko'ra b · m = c . Ko'paytirish va bo'lish qanday bog'liqligini eslang. Bu bog'lanish bizni quyidagi xulosaga olib keladi: qo'shimcha omil c ni b ga bo'lish qismidan boshqa narsa emas, boshqacha aytganda, m = c: b.
Shunday qilib, qo'shimcha omilni topish uchun biz kerakli maxrajni asl koeffitsientga bo'lishimiz kerak.
3-misol
17 4 kasrni maxraj 124 ga keltirgan qo'shimcha ko'rsatkichni toping.
Yechim
Yuqoridagi qoidadan foydalanib, biz oddiygina 124 ni dastlabki kasrning maxrajiga, to'rtga bo'lamiz.
Biz ko'rib chiqamiz: 124: 4 \u003d 31.
Bunday hisoblash ko'pincha kasrlarni umumiy maxrajga qisqartirishda talab qilinadi.
Kasrlarni belgilangan maxrajga qisqartirish qoidasi
Keling, asosiy qoidaning ta'rifiga o'tamiz, uning yordamida siz ko'rsatilgan maxrajga kasrlarni olib kelishingiz mumkin. Shunday qilib,
Ta'rif 2
Kasrni ko'rsatilgan maxrajga olib kelish uchun sizga kerak bo'ladi:
- qo'shimcha multiplikatorni aniqlang;
- unga asl kasrning payini ham, maxrajini ham ko'paytiring.
Ushbu qoidani amalda qanday qo'llash mumkin? Keling, muammoni hal qilish uchun misol keltiraylik.
4-misol
7 16 kasrni maxraj 336 ga qisqartirishni bajaring.
Yechim
Keling, qo'shimcha multiplikatorni hisoblashdan boshlaylik. Ajratish: 336: 16 = 21.
Qabul qilingan javobni asl kasrning ikkala qismiga ko'paytiramiz: 7 16 \u003d 7 21 16 21 \u003d 147 336. Shunday qilib, biz asl kasrni kerakli maxraj 336 ga keltirdik.
Javob: 7 16 = 147 336.
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing
Men dastlab umumiy maxraj usullarini "Kesrlarni qo'shish va ayirish" bandiga kiritmoqchi edim. Ammo ma'lumotlar juda ko'p edi va uning ahamiyati shunchalik kattaki (axir, nafaqat sonli kasrlar umumiy maxrajlarga ega), bu masalani alohida o'rganish yaxshiroqdir.
Deylik, maxrajlari har xil bo‘lgan ikkita kasr bor. Va biz maxrajlar bir xil bo'lishiga ishonch hosil qilishni xohlaymiz. Kasrning asosiy xususiyati yordamga keladi, sizga eslatib o'taman, bu shunday eshitiladi:
Kasr, agar uning soni va maxraji bir xil nolga teng bo'lmagan songa ko'paytirilsa, o'zgarmaydi.
Shunday qilib, omillarni to'g'ri tanlasangiz, kasrlarning maxrajlari teng bo'ladi - bu jarayon umumiy maxrajga qisqartirish deb ataladi. Va kerakli raqamlar, denominatorlarni "tekislash" qo'shimcha omillar deb ataladi.
Nima uchun kasrlarni umumiy maxrajga keltirish kerak? Mana bir nechta sabablar:
- Turli xil maxrajli kasrlarni qo'shish va ayirish. Ushbu operatsiyani bajarishning boshqa usuli yo'q;
- Kasrlarni taqqoslash. Ba'zan umumiy maxrajga qisqartirish bu vazifani juda osonlashtiradi;
- Aksiyalar va foizlar bo'yicha masalalar yechish. Foizlar, aslida, kasrlarni o'z ichiga olgan oddiy iboralardir.
Ko'paytirilganda maxrajlarni tenglashtiradigan raqamlarni topishning ko'plab usullari mavjud. Biz ulardan faqat uchtasini ko'rib chiqamiz - murakkablik va ma'lum ma'noda samaradorlikni oshirish tartibida.
"Criss-cross" ko'paytirish
Maxrajlarni tenglashtirish kafolatlangan eng oddiy va ishonchli usul. Biz "oldinda" harakat qilamiz: biz birinchi kasrni ikkinchi kasrning maxrajiga, ikkinchisini esa birinchi kasrning maxrajiga ko'paytiramiz. Natijada ikkala kasrning maxrajlari bo'ladi mahsulotga teng asl maxrajlar. Qarab qo'ymoq:
Qo'shimcha omillar sifatida qo'shni kasrlarning maxrajlarini ko'rib chiqing. Biz olamiz:
Ha, bu juda oddiy. Agar siz kasrlarni endigina o'rganishni boshlayotgan bo'lsangiz, bu usul bilan ishlash yaxshiroqdir - bu bilan siz o'zingizni ko'plab xatolardan sug'urta qilasiz va natijaga erishishingiz kafolatlanadi.
Bu usulning yagona kamchiligi shundaki, siz ko'p hisoblashingiz kerak, chunki denominatorlar "oldinga" ko'paytiriladi va buning natijasida juda katta raqamlarni olish mumkin. Bu ishonchlilikning narxi.
Umumiy bo'linish usuli
Ushbu uslub hisob-kitoblarni sezilarli darajada kamaytirishga yordam beradi, ammo, afsuski, u kamdan-kam qo'llaniladi. Usul quyidagicha:
- "Tru" (ya'ni, "o'zaro faoliyat") o'tishdan oldin denominatorlarga qarang. Ehtimol, ulardan biri (kattaroq) ikkinchisiga bo'linadi.
- Bunday bo'linish natijasida hosil bo'lgan raqam kichikroq maxrajga ega bo'lgan kasr uchun qo'shimcha omil bo'ladi.
- Shu bilan birga, katta maxrajga ega bo'lgan kasrni umuman hech narsaga ko'paytirish kerak emas - bu tejash. Shu bilan birga, xatolik ehtimoli keskin kamayadi.
Vazifa. Ifoda qiymatlarini toping:
E'tibor bering, 84: 21 = 4; 72:12 = 6. Ikkala holatda ham bir maxraj ikkinchisiga qoldiqsiz bo'linishi sababli, biz umumiy omillar usulidan foydalanamiz. Bizda ... bor:
E'tibor bering, ikkinchi kasr umuman hech narsaga ko'paytirilmagan. Aslida, biz hisob-kitoblar miqdorini yarmiga qisqartirdik!
Aytgancha, men bu misoldagi kasrlarni bir sababga ko'ra oldim. Agar sizni qiziqtirsa, ularni o'zaro faoliyat usuli yordamida sanab ko'ring. Qisqartirilgandan keyin javoblar bir xil bo'ladi, lekin ko'proq ish bo'ladi.
Bu umumiy bo'luvchilar usulining kuchi, lekin, yana, u faqat maxrajlardan biri boshqasiga qoldiqsiz bo'linganda qo'llanilishi mumkin. Bu juda kamdan-kam hollarda sodir bo'ladi.
Eng kam tarqalgan ko'p usul
Kasrlarni umumiy maxrajga keltirganimizda, biz har bir maxrajga bo'linadigan sonni topishga harakat qilamiz. Keyin ikkala kasrning maxrajlarini shu songa keltiramiz.
Bunday raqamlar juda ko'p va ularning eng kichigi "o'zaro donolik" usulida taxmin qilinganidek, dastlabki kasrlarning maxrajlarining to'g'ridan-to'g'ri ko'paytmasiga teng bo'lishi shart emas.
Masalan, 8 va 12 maxrajlar uchun 24 raqami juda mos keladi, chunki 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Bu raqam 8 12 = 96 mahsulotidan ancha kam.
Maxrajlarning har biriga bo'linadigan eng kichik son ularning eng kichik umumiy ko'pligi (LCM) deb ataladi.
Belgilash: a va b ning eng kichik umumiy karrali LCM(a ; b ) bilan belgilanadi. Masalan, LCM(16; 24) = 48 ; LCM(8; 12) = 24 .
Agar siz bunday raqamni topishga muvaffaq bo'lsangiz, hisob-kitoblarning umumiy miqdori minimal bo'ladi. Misollarga qarang:
Vazifa. Ifoda qiymatlarini toping:
E'tibor bering, 234 = 117 2; 351 = 117 3 . 2 va 3 koeffitsientlar o'zaro tubdir (1 dan tashqari umumiy bo'luvchilar yo'q), 117 omil esa umumiydir. Shuning uchun LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.
Xuddi shunday, 15 = 5 3; 20 = 5 4. 3 va 4 faktorlar nisbatan asosiy, 5 omil esa keng tarqalgan. Shuning uchun LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.
Endi kasrlarni umumiy maxrajlarga keltiramiz:
Asl maxrajlarni faktorizatsiya qilish qanchalik foydali bo'lganiga e'tibor bering:
- Xuddi shu omillarni topib, biz darhol eng kam umumiy ko'paytmaga erishdik, bu umuman olganda, ahamiyatsiz muammodir;
- Olingan kengayishdan siz har bir fraksiya uchun qaysi omillar "etishmayotgan"ligini bilib olishingiz mumkin. Masalan, 234 3 \u003d 702, shuning uchun birinchi kasr uchun qo'shimcha omil 3 ga teng.
Eng kam umumiy ko'p usul qanchalik g'alaba qozonishini tushunish uchun o'zaro faoliyat usuli yordamida bir xil misollarni hisoblab ko'ring. Albatta, kalkulyatorsiz. O'ylaymanki, bundan keyin izohlar ortiqcha bo'ladi.
Bunday murakkab kasrlar haqiqiy misollarda bo'lmaydi deb o'ylamang. Ular doimo uchrashadilar va yuqoridagi vazifalar chegara emas!
Yagona muammo bu NOCni qanday topishdir. Ba'zida hamma narsa bir necha soniya ichida topiladi, tom ma'noda "ko'z bilan", lekin umuman olganda, bu alohida ko'rib chiqishni talab qiladigan murakkab hisoblash muammosi. Bu erda biz bunga tegmaymiz.
Algebraik (ratsional) kasrlarni umumiy maxrajga qanday keltirish mumkin?
1) Agar kasrlarning maxrajlari polinom bo'lsa, ma'lum usullardan birini sinab ko'rishingiz kerak.
2) Eng kichik umumiy maxraj (LCD) dan iborat hammasi multiplikatorlar olinadi eng buyuk daraja.
Raqamlar uchun eng kichik umumiy maxraj og'zaki ravishda qolgan raqamlarga bo'linadigan eng kichik son sifatida qidiriladi.
3) Har bir kasr uchun qo'shimcha koeffitsientni topish uchun yangi maxrajni eskisiga bo'lish kerak.
4) Asl kasrning soni va maxraji qo‘shimcha ko‘paytmaga ko‘paytiriladi.
Algebraik kasrlarni umumiy maxrajga keltirish misollarini ko'rib chiqing.
Raqamlar uchun umumiy maxrajni topish uchun kattaroq sonni tanlang va uning kichikroq bo‘linishini tekshiring. 15 soni 9 ga bo'linmaydi. Biz 15 ni 2 ga ko'paytiramiz va natijada olingan son 9 ga bo'linishini tekshiramiz. 30 9 ga bo'linmaydi. Biz 15 ni 3 ga ko'paytiramiz va natijada olingan son 9 ga bo'linishini tekshiramiz. 45 9 ga bo'linadi, ya'ni raqamlarning umumiy maxraji 45 ga teng.
Eng kichik umumiy maxraj eng yuqori quvvatga olingan barcha omillarning yig'indisidir. Shunday qilib, bu kasrlarning umumiy maxraji miloddan avvalgi 45 (harflar odatda alifbo tartibida yoziladi).
Har bir kasr uchun qo'shimcha omilni topish uchun siz yangi maxrajni eskisiga bo'lishingiz kerak. 45bc:(15b)=3c, 45bc:(9c)=5b. Har bir kasrning soni va maxrajini qo'shimcha koeffitsientga ko'paytiramiz:
Birinchidan, sonlar uchun umumiy maxrajni qidiramiz: 8 6 ga bo‘linmaydi, 8∙2=16 6 ga bo‘linmaydi, 8∙3=24 esa 6 ga bo‘linmaydi. O'zgaruvchilarning har biri umumiy maxrajga bir marta kiritilishi kerak. Darajalardan biz darajani katta ko'rsatkich bilan olamiz.
Shunday qilib, bu kasrlarning umumiy maxraji 24a³bc.
Har bir kasr uchun qo'shimcha omilni topish uchun siz yangi maxrajni eskisiga bo'lishingiz kerak: 24a³bc:(6a³c)=4b, 24a³bc:(8a²bc)=3a.
Qo'shimcha koeffitsientni son va maxrajga ko'paytiramiz:
Bu kasrlarning maxrajlarida ko'p nomlar kerak. Birinchi kasrning maxraji ayirmaning to‘liq kvadrati: x²-18x+81=(x-9)²; ikkinchisining maxrajida - kvadratlar ayirmasi: x²-81=(x-9)(x+9):
Umumiy maxraj eng katta darajada olingan barcha omillardan iborat, ya'ni (x-9)²(x+9) ga teng. Biz qo'shimcha omillarni topamiz va ularni har bir kasrning soni va maxrajiga ko'paytiramiz:
Umumiy maxrajga qisqartirish sxemasi
- Kasrlarning maxrajlari uchun eng kichik umumiy karrali nima bo'lishini aniqlash kerak. Agar siz aralash yoki butun son bilan ishlayotgan bo'lsangiz, avval uni kasrga aylantirishingiz kerak va shundan keyingina eng kichik umumiy ko'paytmani aniqlang. Butun sonni kasrga aylantirish uchun sonning o'zini paylagichga, bittasini esa maxrajga yozish kerak. Masalan, kasrdagi 5 raqami quyidagicha ko'rinadi: 5/1. Aralash sonni kasrga aylantirish uchun butun sonni maxrajga ko'paytirish va unga hisoblagichni qo'shish kerak. Misol: 8 ta butun son va kasr sifatida 3/5 = 8x5+3/5 = 43/5.
- Shundan so'ng, NOZni har bir kasrning maxrajiga bo'lish yo'li bilan aniqlanadigan qo'shimcha omilni topish kerak.
- Oxirgi qadam kasrni qo'shimcha omil bilan ko'paytirishdir.
Shuni yodda tutish kerakki, umumiy maxrajga qisqartirish nafaqat qo'shish yoki ayirish uchun kerak. Har xil maxrajli bir nechta kasrlarni solishtirish uchun avvalo ularning har birini umumiy maxrajga keltirish kerak.
Kasrlarni umumiy maxrajga keltirish
Kasrni umumiy maxrajga kamaytirishni tushunish uchun kasrlarning ba'zi xususiyatlarini tushunish kerak. Demak, NOZ ga kamaytirish uchun foydalaniladigan muhim xususiyat bu kasrlar tengligidir. Boshqacha qilib aytganda, agar kasrning soni va maxraji songa ko'paytirilsa, natijada oldingisiga teng kasr hosil bo'ladi. Misol tariqasida quyidagi misolni olaylik. 5/9 va 5/6 kasrlarni eng kichik umumiy maxrajga kamaytirish uchun siz quyidagilarni bajarishingiz kerak:
- Birinchidan, maxrajlarning eng kichik umumiy karrasini toping. Bunday holda, 9 va 6 raqamlari uchun MOQ 18 bo'ladi.
- Fraksiyalarning har biri uchun qo'shimcha omillarni aniqlaymiz. Bu quyidagi tarzda amalga oshiriladi. Biz LCMni har bir kasrning maxrajiga ajratamiz, natijada biz 18: 9 \u003d 2 va 18: 6 \u003d 3 ni olamiz. Bu raqamlar qo'shimcha omillar bo'ladi.
- NOZ ga ikkita kasr keltiramiz. Kasrni raqamga ko'paytirishda siz ham hisoblagichni, ham maxrajni ko'paytirishingiz kerak. 5/9 kasrni qo'shimcha 2 koeffitsientiga ko'paytirish mumkin, natijada berilgan kasrga teng - 10/18. Ikkinchi kasr bilan ham xuddi shunday qilamiz: 5/6 ni 3 ga ko'paytiramiz, natijada 15/18 hosil bo'ladi.
Yuqoridagi misoldan ko'rinib turibdiki, ikkala kasr ham eng kichik umumiy maxrajga qisqartirilgan. Nihoyat, umumiy maxrajni qanday topishni tushunish uchun kasrlarning yana bir xususiyatini o'zlashtirishingiz kerak. Bu kasrning soni va maxrajini umumiy bo'luvchi deb ataladigan bir xil songa kamaytirish mumkinligida yotadi. Misol uchun, 12/30 kasr ga bo'lingan holda 2/5 ga kamayishi mumkin umumiy bo'luvchi- 6 raqami.