homogenous

Sa araling ito, titingnan natin ang tinatawag na homogenous differential equation ng unang order. Kasama ni mapaghihiwalay na variable equation At linear inhomogeneous equation ang ganitong uri ng kontrol ay matatagpuan sa halos anumang gawaing kontrol sa paksa ng diffuse. Kung ipinasok mo ang pahina mula sa isang search engine o hindi masyadong kumpiyansa sa mga differential equation, una kong mariing inirerekumenda na gumawa ka ng isang panimulang aralin sa paksa - Mga equation ng kaugalian ng unang order. Ang katotohanan ay ang maraming mga prinsipyo para sa paglutas ng mga homogenous na equation at ang mga diskarteng ginamit ay magiging eksaktong kapareho ng para sa pinakasimpleng mga equation na may mga mapaghihiwalay na variable.

Ano ang pagkakaiba sa pagitan ng homogenous differential equation at iba pang uri ng DE? Ito ay pinakamadaling ipaliwanag kaagad sa isang partikular na halimbawa.

Halimbawa 1

Solusyon:
Ano Una dapat suriin kapag nagpapasya anuman differential equation unang order? Una sa lahat, kinakailangan upang suriin kung posible na agad na paghiwalayin ang mga variable gamit ang mga aksyon na "paaralan"? Karaniwan ang gayong pagsusuri ay isinasagawa sa isip o sinusubukang paghiwalayin ang mga variable sa isang draft.

Sa halimbawang ito hindi maaaring paghiwalayin ang mga variable(maaari mong subukang i-flip ang mga termino mula sa bawat bahagi, alisin ang mga salik sa mga bracket, atbp.). Sa pamamagitan ng paraan, sa halimbawang ito, ang katotohanan na ang mga variable ay hindi mahahati ay medyo halata dahil sa pagkakaroon ng kadahilanan .

Ang tanong ay lumitaw - kung paano malutas ang diffur na ito?

Kailangang suriin at Ang equation ba na ito ay homogenous?? Ang pag-verify ay simple, at ang algorithm ng pag-verify mismo ay maaaring buuin tulad ng sumusunod:

Sa orihinal na equation:

sa halip na kapalit, sa halip na kapalit, huwag hawakan ang derivative:

Ang letrang lambda ay isang kondisyonal na parameter, at dito ito ay gumaganap ng sumusunod na papel: kung, bilang isang resulta ng mga pagbabagong-anyo, posible na "sirain" ang LAHAT ng lambda at makuha ang orihinal na equation, kung gayon ang differential equation na ito. ay homogenous.

Malinaw, agad na nagkansela ang mga lambda sa exponent:

Ngayon, sa kanang bahagi, inaalis namin ang lambda sa mga bracket:

at hatiin ang parehong bahagi sa parehong lambda na ito:

Ang resulta Lahat ang mga lambda ay naglahong parang panaginip, tulad ng ambon sa umaga, at nakuha namin ang orihinal na equation.

Konklusyon: Ang equation na ito ay homogenous

Paano malutas ang isang homogenous differential equation?

Mayroon akong napakagandang balita. Ganap na lahat ng homogenous na equation ay maaaring malutas sa isang solong (!) na karaniwang kapalit.

Ang function na "y" ay dapat palitan trabaho ilang function (depende rin sa "x") at "x":

Halos palaging sumulat ng maikli:

Nalaman namin kung ano ang magiging derivative sa ganoong kapalit, ginagamit namin ang panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng isang produkto. Kung , kung gayon:

Palitan sa orihinal na equation:

Ano ang ibibigay ng gayong kapalit? Matapos ang pagpapalit na ito at ang mga pagpapasimple na ginawa, kami garantisadong nakakakuha tayo ng equation na may mga separable variable. TANDAAN parang first love :) at, ayon dito, .

Pagkatapos ng pagpapalit, gumawa kami ng pinakamataas na pagpapasimple:

Dahil ay isang function na nakasalalay sa "x", kung gayon ang derivative nito ay maaaring isulat bilang isang karaniwang fraction: .
kaya:

Pinaghihiwalay namin ang mga variable, habang sa kaliwang bahagi kailangan mong kolektahin lamang ang "te", at sa kanang bahagi - "x" lamang:

Ang mga variable ay pinaghiwalay, isinasama namin:

Ayon sa aking unang tech tip mula sa artikulo Mga equation ng kaugalian ng unang order, isang pare-pareho sa maraming mga kaso ipinapayong "mabuo" sa anyo ng isang logarithm.

Matapos maisama ang equation, kailangan mong isagawa baligtad na pagpapalit, ito rin ay karaniwan at natatangi:
Kung , kung gayon
Sa kasong ito:

Sa 18-19 na mga kaso sa 20, ang solusyon ng homogenous na equation ay nakasulat bilang isang pangkalahatang integral.

Sagot: pangkalahatang integral:

Bakit halos palaging ibinibigay ang sagot sa isang homogenous na equation bilang pangkalahatang integral?
Sa karamihan ng mga kaso, imposibleng ipahayag ang "y" sa isang tahasang anyo (upang makakuha ng pangkalahatang solusyon), at kung posible, kadalasan ang pangkalahatang solusyon ay nagiging mahirap at malamya.

Kaya, halimbawa, sa isinasaalang-alang na halimbawa, ang pangkalahatang solusyon ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagbitin ng mga logarithms sa parehong bahagi ng pangkalahatang integral:

- well, okay pa rin. Bagaman, nakikita mo, ito ay baluktot pa rin.

Sa pamamagitan ng paraan, sa halimbawang ito, hindi ko masyadong "disente" na isulat ang pangkalahatang integral. Hindi ito isang pagkakamali, ngunit sa isang "magandang" estilo, ipinaaalala ko sa iyo, kaugalian na isulat ang pangkalahatang integral sa form . Upang gawin ito, kaagad pagkatapos isama ang equation, ang pare-pareho ay dapat na nakasulat nang walang anumang logarithm (Iyon ang pagbubukod sa panuntunan!):

At pagkatapos ng reverse replacement, kunin ang pangkalahatang integral sa "classical" na form:

Maaaring suriin ang natanggap na sagot. Upang gawin ito, kailangan mong pag-iba-ibahin ang pangkalahatang integral, iyon ay, hanapin derivative ng isang function na implicitly na tinukoy:

Alisin ang mga fraction sa pamamagitan ng pagpaparami sa bawat panig ng equation sa pamamagitan ng:

Ang orihinal na differential equation ay nakuha, na nangangahulugan na ang solusyon ay natagpuan nang tama.

Maipapayo na palaging suriin. Ngunit ang mga homogenous na equation ay hindi kasiya-siya dahil kadalasan ay mahirap suriin ang kanilang mga pangkalahatang integral - ito ay nangangailangan ng isang napaka, napaka disenteng pamamaraan ng pagkita ng kaibhan. Sa isinasaalang-alang na halimbawa, sa panahon ng pag-verify, kailangan nang maghanap ng hindi ang pinakasimpleng mga derivatives (bagaman ang halimbawa mismo ay medyo simple). Kung maaari mong suriin ito, tingnan ito!

Ang sumusunod na halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon ay para masanay ka sa mismong algorithm ng mga aksyon:

Halimbawa 2

Suriin ang equation para sa homogeneity at hanapin ang pangkalahatang integral nito.

Isulat ang sagot sa form , suriin.

Dito, masyadong, isang medyo simpleng tseke ang lumabas.

At ngayon ang ipinangakong mahalagang punto, na binanggit sa pinakasimula ng paksa,
sa matapang na itim na titik:

Kung sa kurso ng mga pagbabagong-anyo namin "i-reset" ang kadahilanan (hindi pare-pareho)sa denominator, pagkatapos ay RISK tayong mawalan ng mga solusyon!

At sa katunayan, nakatagpo namin ito sa pinakaunang halimbawa. panimulang aralin sa differential equation. Sa proseso ng paglutas ng equation, ang "y" ay lumabas na nasa denominator: , ngunit, malinaw naman, ay isang solusyon sa DE, at bilang isang resulta ng isang hindi katumbas na pagbabagong-anyo (dibisyon), mayroong bawat pagkakataon ng pagkawala nito! Ang isa pang bagay ay ipinasok nito ang pangkalahatang solusyon sa zero na halaga ng pare-pareho. Ang pag-reset ng "x" sa denominator ay maaari ding balewalain, dahil hindi nakakatugon sa orihinal na nagkakalat.

Ang isang katulad na kuwento na may ikatlong equation ng parehong aralin, sa panahon ng solusyon kung saan kami ay "bumagsak" sa denominator. Sa mahigpit na pagsasalita, dito ito ay kinakailangan upang suriin kung ang ibinigay na pagsasabog ay isang solusyon? Pagkatapos ng lahat, ito ay! Ngunit kahit dito "nagana ang lahat", dahil ang pagpapaandar na ito ay pumasok sa pangkalahatang integral sa .

At kung ito ay madalas na ang kaso sa "mapaghihiwalay" na mga equation;) ito ay "gumulong", pagkatapos ay may homogenous at ilang iba pang mga diffurs ito ay maaaring "hindi gumulong". Na may mataas na posibilidad.

Suriin natin ang mga problemang nalutas na sa araling ito: Mga halimbawa 1-2 Ang "pag-reset" ng X ay naging ligtas din, dahil mayroon at, at samakatuwid ay agad na malinaw na hindi ito maaaring maging solusyon. Bukod, sa Halimbawa 2 lumabas na nasa denominator, at dito namin nanganganib na mawala ang function , na, malinaw naman, natutugunan ang equation . Gayunpaman, kahit dito ito ay "swept through", dahil. ipinasok nito ang pangkalahatang integral sa zero na halaga ng pare-pareho.

Ngunit, siyempre, sinasadya kong inayos ang "masaya na mga kaso", at hindi isang katotohanan na makikita nila sa pagsasanay:

Halimbawa 3

Lutasin ang differential equation

Hindi ba ito isang simpleng halimbawa? ;-)

Solusyon: ang homogeneity ng equation na ito ay halata, ngunit pa rin - sa unang hakbang LAGING suriin kung ang mga variable ay maaaring paghiwalayin. Para sa equation ay homogenous din, ngunit ang mga variable sa loob nito ay tahimik na pinaghihiwalay. Oo, may ilan!

Pagkatapos suriin para sa "paghihiwalay", gumawa kami ng kapalit at pinasimple ang equation hangga't maaari:

Pinaghiwalay namin ang mga variable, sa kaliwa kinokolekta namin ang "te", sa kanan - "x":

At narito ang STOP. Kapag naghahati sa pamamagitan ng panganib na mawala ang dalawang function nang sabay-sabay. Since , then ito ang mga function:

Ang unang function ay malinaw na isang solusyon sa equation . Sinusuri namin ang pangalawa - pinapalitan namin ang derivative nito sa aming diffur:

- ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha, na nangangahulugan na ang function ay isa ring solusyon.

AT nanganganib tayong mawala ang mga desisyong ito.

Bilang karagdagan, ang denominator ay "x", at samakatuwid siguraduhing suriin, ay hindi isang solusyon sa orihinal na differential equation. Ang hindi ay hindi.

Pansinin natin ang lahat ng ito at magpatuloy:

Dapat sabihin na masuwerte tayo sa integral ng left-hand side, mas malala ang nangyayari.

Kinokolekta namin ang isang logarithm sa kanang bahagi, at i-reset ang mga kadena:

At ngayon lang ang reverse replacement:

I-multiply ang lahat ng termino sa:

Ngayon upang suriin - kung ang mga "mapanganib" na solusyon ay kasama sa pangkalahatang integral. Oo, ang parehong mga solusyon ay kasama sa pangkalahatang integral sa zero na halaga ng pare-pareho: , kaya hindi na kailangang ipahiwatig ang mga ito sa sagot:

pangkalahatang integral:

Pagsusulit. Hindi man pagsubok, kundi puro kasiyahan :)

Ang orihinal na differential equation ay nakuha, na nangangahulugan na ang solusyon ay natagpuan nang tama.

Para sa isang nakapag-iisang solusyon:

Halimbawa 4

Magsagawa ng homogeneity test at lutasin ang differential equation

Ang pangkalahatang integral ay maaaring suriin sa pamamagitan ng pagkita ng kaibhan.

Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Tingnan natin ang ilang mas karaniwang mga halimbawa:

Halimbawa 5

Lutasin ang differential equation

Solusyon Masasanay tayo na gawin itong mas compact. Una, sa pag-iisip o sa isang draft, tinitiyak namin na ang mga variable ay hindi maaaring hatiin dito, pagkatapos nito suriin namin para sa pagkakapareho - karaniwang hindi ito isinasagawa sa isang malinis na kopya (maliban kung partikular na kinakailangan). Kaya, halos palaging ang solusyon ay nagsisimula sa entry: " Ang equation na ito ay homogenous, gumawa tayo ng kapalit: ...».

Pagpapalit, at pumunta sa natalo:

Sa "x" lahat ay maayos, ngunit paano ang parisukat na trinomial? Dahil ito ay hindi nabubulok sa mga kadahilanan : , kung gayon tiyak na hindi tayo mawawalan ng mga solusyon. Laging ganito! Piliin ang buong parisukat sa kaliwang bahagi at isama:

Walang dapat pasimplehin dito, at samakatuwid ay baligtarin ang pagpapalit:

Sagot: pangkalahatang integral:

Ang sumusunod na halimbawa ay para sa isang nakapag-iisang solusyon:

Halimbawa 6

Lutasin ang differential equation

Mukhang magkatulad na mga equation, ngunit hindi - Malaking pagkakaiba;)

At ngayon magsisimula ang saya! Una, alamin natin kung ano ang gagawin kung ang isang homogenous na equation ay ibinigay na may mga yari na kaugalian:

Halimbawa 7

Lutasin ang differential equation

Ito ay isang napaka-kagiliw-giliw na halimbawa, isang buong thriller!

Solusyon: kung ang isang homogenous na equation ay naglalaman ng mga yari na kaugalian, maaari itong malutas sa pamamagitan ng isang binagong pagpapalit:

Ngunit hindi ko pinapayuhan ang paggamit ng gayong pagpapalit, dahil ito ay magiging Great Wall of China ng mga pagkakaiba-iba, kung saan kailangan mo ng mata at mata. Mula sa teknikal na pananaw, mas kapaki-pakinabang na lumipat sa "dashed" na pagtatalaga ng derivative; para dito, hinahati natin ang parehong bahagi ng equation sa pamamagitan ng:

At narito na tayo gumawa ng isang "mapanganib" na pagbabago! Ang zero differential ay tumutugma sa - isang pamilya ng mga linya parallel sa axis. Sila ba ang ugat ng ating DU? Palitan sa orihinal na equation:

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay totoo kung , iyon ay, kapag hinati sa pamamagitan ng panganib na mawala ang solusyon , at nawala kami- dahil ito hindi na nakakabusog ang resultang equation .

Dapat pansinin na kung tayo orihinal ibinigay ang equation , kung gayon ang ugat ay mawawala sa tanong. Ngunit mayroon kami nito, at "nahuli" namin ito sa oras.

Ipinagpapatuloy namin ang solusyon na may karaniwang pagpapalit:
:

Pagkatapos ng pagpapalit, pinapasimple namin ang equation hangga't maaari:

Paghihiwalay ng mga variable:

At dito muli STOP: kapag naghahati sa pamamagitan ng panganib na mawala ang dalawang function. Since , then ito ang mga function:

Malinaw, ang unang function ay isang solusyon sa equation . Sinusuri namin ang pangalawa - pinapalitan namin at ang hinango nito:

– natanggap tunay na pagkakapantay-pantay, kaya ang function ay isa ring solusyon ng differential equation.

At kapag naghahati sa pamamagitan ng panganib na mawala ang mga solusyong ito. Gayunpaman, maaari silang pumasok sa isang karaniwang integral. Pero baka hindi sila pumasok.

Pansinin natin ito at pagsamahin ang parehong bahagi:

Ang integral ng kaliwang bahagi ay karaniwang nalutas gamit pagpili ng isang buong parisukat, ngunit sa mga diffuser ay mas maginhawang gamitin paraan ng hindi tiyak na coefficients:

Gamit ang paraan ng mga hindi tiyak na koepisyent, pinalawak namin ang integrand sa kabuuan ng mga elementarya na fraction:

kaya:

Nakahanap kami ng mga integral:

- dahil ang mga logarithm lamang ang iginuhit namin, itinutulak din namin ang pare-pareho sa ilalim ng logarithm.

Bago palitan pasimplehin muli ang lahat ng bagay na maaaring gawing simple:

Pagbaba ng mga kadena:

At ang reverse substitution:

Ngayon naaalala natin ang "pagkalugi": ang solusyon ay pumasok sa pangkalahatang integral sa , ngunit - "lumipad lampas sa cash register", dahil lumitaw sa denominator. Samakatuwid, sa sagot, ito ay iginawad ng isang hiwalay na parirala, at oo - huwag kalimutan ang tungkol sa nawalang desisyon, na, sa pamamagitan ng paraan, ay lumabas din na nasa ibaba.

Sagot: pangkalahatang integral: . Higit pang mga solusyon:

Hindi napakahirap na ipahayag ang pangkalahatang solusyon dito:
, pero show-off na ito.

Maginhawa, gayunpaman, para sa pagsubok. Hanapin natin ang derivative:

at kapalit sa kaliwang bahagi ng equation:

– bilang resulta, nakuha ang kanang bahagi ng equation, na kinakailangang suriin.

Ngayon ang pakikipagsapalaran sa mga ugat, ito rin ay isang pangkaraniwan at napaka-insidious na kaso:

Halimbawa 8

Lutasin ang differential equation

Solusyon: pasalita siguraduhin na ang equation ay homogenous at palitan ang unang pag-ibig sa orihinal na equation:

At ang panganib ay naghihintay na sa atin dito. Ang katotohanan ay iyon, at ang katotohanang ito ay napakadaling mawala sa paningin:

Matagumpay na promosyon!

Mga solusyon at sagot:

Halimbawa 2: Solusyon: suriin ang equation para sa homogeneity, para dito, sa orihinal na equation sa halip na ilagay natin , at sa halip na palitan natin:

Bilang resulta, ang orihinal na equation ay nakuha, na nangangahulugan na ang DE na ito ay homogenous.

Mga handa na sagot sa mga halimbawa para sa homogenous na differential equation Maraming mga mag-aaral ang naghahanap ng unang pagkakasunud-sunod (mga DE ng 1st order ang pinakakaraniwan sa pagsasanay), pagkatapos ay maaari mong pag-aralan ang mga ito nang detalyado. Ngunit bago magpatuloy sa pagsasaalang-alang ng mga halimbawa, inirerekumenda namin na maingat mong basahin ang isang maikling teoretikal na materyal.
Ang mga equation ng form na P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, kung saan ang mga function na P(x,y) at Q(x,y) ay mga homogenous na function ng parehong pagkakasunod-sunod, ay tinatawag homogenous differential equation(ODR).

Scheme para sa paglutas ng isang homogenous na differential equation

1. Una kailangan mong ilapat ang pagpapalit y=z*x , kung saan ang z=z(x) ay isang bagong hindi kilalang function (kaya ang orihinal na equation ay nabawasan sa isang differential equation na may mga separable variable.
2. Ang derivative ng produkto ay y"=(z*x)"=z"*x+z*x"=z"*x+z o sa differentials dy=d(zx)=z*dx+x* dz.
3. Susunod, pinapalitan natin ang bagong function na y at ang derivative nito na y "(o dy) sa DE na may mga separable variable may kinalaman sa x at z .
4. Nang malutas ang differential equation na may mga separable variable, gagawa tayo ng kabaligtaran na kapalit na y=z*x, samakatuwid z= y/x, at makukuha natin pangkalahatang solusyon (pangkalahatang integral) ng isang differential equation.
5. Kung ang paunang kundisyon y(x 0)=y 0 ay ibinigay, pagkatapos ay makakahanap tayo ng partikular na solusyon sa problemang Cauchy. Sa teorya, ang lahat ay mukhang madali, ngunit sa pagsasagawa, hindi lahat ay napakasaya upang malutas ang mga equation ng kaugalian. Samakatuwid, upang mapalalim ang kaalaman, isaalang-alang ang mga karaniwang halimbawa. Sa madaling gawain, walang gaanong maituturo sa iyo, kaya't agad kaming lilipat sa mga mas kumplikado.

Mga kalkulasyon ng homogenous differential equation ng unang pagkakasunud-sunod

Halimbawa 1

Solusyon: Hatiin ang kanang bahagi ng equation sa variable na malapit sa derivative. Bilang resulta, nakarating kami sa homogenous differential equation ng order 0

At dito naging kawili-wili sa marami, paano matukoy ang pagkakasunud-sunod ng isang function ng isang homogenous equation?
Ang tanong ay sapat na may kaugnayan, at ang sagot dito ay ang mga sumusunod:
sa kanang bahagi, pinapalitan namin ang halagang t*x, t*y sa halip na ang function at ang argumento. Kapag pinasimple, ang parameter na "t" ay nakuha sa isang tiyak na antas k, at ito ay tinatawag na pagkakasunud-sunod ng equation. Sa aming kaso, ang "t" ay mababawasan, na katumbas ng 0th degree o zero order ng homogenous equation.
Dagdag pa sa kanang bahagi maaari tayong magpatuloy sa bagong variable na y=zx; z=y/x .
Kasabay nito, huwag kalimutang ipahayag ang derivative ng "y" sa pamamagitan ng derivative ng bagong variable. Sa pamamagitan ng panuntunan ng mga bahagi, nakita namin

Mga Equation sa Differentials kukuha ng form

Binabawasan namin ang magkasanib na termino sa kanan at kaliwang gilid at pumasa sa differential equation na may mga pinaghiwalay na variable.

Isama natin ang parehong bahagi ng DE

Para sa kaginhawahan ng karagdagang mga pagbabagong-anyo, agad naming ipinakilala ang pare-pareho sa ilalim ng logarithm

Sa pamamagitan ng mga katangian ng logarithms, ang resultang logarithmic equation ay katumbas ng mga sumusunod

Ang entry na ito ay hindi pa isang solusyon (sagot), kailangan mong bumalik sa pagbabago ng mga variable na ginawa

Kaya nahanap nila pangkalahatang solusyon ng mga differential equation. Kung maingat mong basahin ang mga nakaraang aralin, sinabi namin na dapat mong mailapat ang scheme para sa pagkalkula ng mga equation na may mga pinaghiwalay na variable nang malaya at ang mga naturang equation ay kailangang kalkulahin para sa mas kumplikadong mga uri ng remote control.

Halimbawa 2 Hanapin ang integral ng isang differential equation

Solusyon: Ang scheme para sa pagkalkula ng homogenous at summary DEs ay pamilyar na sa iyo. Inilipat namin ang variable sa kanang bahagi ng equation, at gayundin sa numerator at denominator ay kinuha namin ang x 2 bilang isang karaniwang kadahilanan

Kaya, nakakakuha kami ng isang homogenous na zero-order na DE.
Ang susunod na hakbang ay ipakilala ang pagbabago ng mga variable z=y/x, y=z*x , na palagi naming ipapaalala sa iyo na isaulo

Pagkatapos nito, isinusulat namin ang DE sa mga kaugalian

Susunod, binabago namin ang pagtitiwala sa differential equation na may mga pinaghiwalay na variable

at lutasin ito sa pamamagitan ng pagsasama.

Ang mga integral ay simple, ang natitirang mga pagbabago ay batay sa mga katangian ng logarithm. Ang huling aksyon ay nagsasangkot ng paglalantad ng logarithm. Sa wakas, bumalik kami sa orihinal na kapalit at sumulat sa form

Ang palaging "C" ay tumatagal ng anumang halaga. Ang lahat ng mga nag-aaral sa absentia ay may mga problema sa mga pagsusulit na may ganitong uri ng mga equation, kaya mangyaring maingat na tingnan at tandaan ang pamamaraan ng pagkalkula.

Halimbawa 3 Lutasin ang differential equation

Solusyon: Tulad ng sumusunod mula sa pamamaraan sa itaas, ang mga differential equation ng ganitong uri ay malulutas sa pamamagitan ng pagpapakilala ng bagong variable. Isulat muli natin ang dependence upang ang derivative ay walang variable

Dagdag pa, sa pamamagitan ng pagsusuri sa kanang bahagi, makikita natin na ang bahagi -ee ay naroroon sa lahat ng dako at tinutukoy ng bagong hindi kilalang
z=y/x, y=z*x .
Paghahanap ng derivative ng y

Isinasaalang-alang ang kapalit, muling isinusulat namin ang orihinal na DE sa form

Pasimplehin ang parehong mga termino, at bawasan ang lahat ng natanggap na tuntunin sa DE na may hiwalay na mga variable

Sa pamamagitan ng pagsasama ng magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay

dumating tayo sa solusyon sa anyo ng logarithms

Sa pamamagitan ng paglalantad ng mga dependency na nakikita namin pangkalahatang solusyon ng isang differential equation

na, pagkatapos palitan ang paunang pagbabago ng mga variable dito, ay kinuha ang form

Narito ang C ay isang pare-pareho, na maaaring pahabain mula sa kondisyon ng Cauchy. Kung ang problemang Cauchy ay hindi ibinigay, kung gayon ito ay nagiging isang di-makatwirang tunay na halaga.
Iyon lang ang karunungan sa calculus ng homogenous differential equation.

Sa kasalukuyan, ayon sa pangunahing antas ng pag-aaral ng matematika, 4 na oras lamang ang ibinibigay para sa pag-aaral ng matematika sa mataas na paaralan (2 oras ng algebra, 2 oras ng geometry). Sa mga maliliit na paaralan sa kanayunan, sinisikap nilang dagdagan ang bilang ng mga oras sa gastos ng bahagi ng paaralan. Ngunit kung ang klase ay humanitarian, kung gayon ang bahagi ng paaralan ay idinagdag sa pag-aaral ng mga asignaturang humanitarian. Sa isang maliit na nayon, kadalasan ang isang mag-aaral ay hindi kailangang pumili, siya ay nag-aaral sa klase na iyon; kung ano ang magagamit sa paaralan. Hindi siya magiging abogado, mananalaysay o mamamahayag (may mga ganitong kaso), ngunit gusto niyang maging isang inhinyero o ekonomista, kaya ang pagsusulit sa matematika ay dapat pumasa sa matataas na marka. Sa ilalim ng gayong mga kalagayan, ang guro ng matematika ay kailangang makahanap ng kanyang sariling paraan sa sitwasyong ito, bukod pa, ayon sa aklat-aralin ni Kolmogorov, ang pag-aaral ng paksang "homogeneous equation" ay hindi ibinigay. Sa mga nakaraang taon, upang ipakilala ang paksang ito at mapalakas ito, kailangan ko ng dalawang dobleng aralin. Sa kasamaang palad, ipinagbawal ng pagsusuri sa pangangasiwa ng edukasyon ang mga dobleng aralin sa paaralan, kaya ang bilang ng mga pagsasanay ay kailangang bawasan sa 45 minuto, at, nang naaayon, ang antas ng kahirapan ng mga pagsasanay ay ibinaba sa katamtaman. Dinadala ko sa iyong pansin ang isang plano ng aralin sa paksang ito sa ika-10 baitang na may pangunahing antas ng matematika sa isang rural na paaralan na hindi maganda ang kagamitan.

Uri ng aralin: tradisyonal.

Target: matutong lutasin ang mga tipikal na homogenous na equation.

Mga gawain:

nagbibigay-malay:

Pang-edukasyon:

Edukasyon ng kasipagan sa pamamagitan ng matiyagang pagganap ng mga gawain, isang pakiramdam ng pakikipagkaibigan sa pamamagitan ng trabaho sa mga pares at grupo.

Sa panahon ng mga klase

ako. Pang-organisasyon yugto(3 min.)

II. Pagsusuri sa kaalamang kailangan para ma-assimilate ang bagong materyal (10 min.)

Tukuyin ang mga pangunahing paghihirap sa karagdagang pagsusuri ng mga gawaing isinagawa. Ang mga bata ay may 3 pagpipiliang mapagpipilian. Ang mga gawain ay naiiba sa antas ng pagiging kumplikado at antas ng kahandaan ng mga bata, na sinusundan ng paliwanag sa pisara.

1 antas. Lutasin ang mga equation:

3(x+4)=12,
2(x-15)=2x-30
5(2-x)=-3x-2(x+5)
x 2 -10x+21=0 Mga sagot: 7;3

2 antas. Lutasin ang pinakasimpleng trigonometric equation at ang biquadratic equation:

mga sagot:

b) x 4 -13x 3 +36=0 Mga sagot: -2; 2; -3; 3

ika-3 antas. Paglutas ng mga equation sa pamamagitan ng paraan ng pagbabago ng mga variable:

b) x 6 -9x 3 +8=0 Mga Sagot:

III. Mga paksa ng mensahe, pagtatakda ng mga layunin at layunin.

Paksa: Mga homogenous na equation

Target: matutong lutasin ang mga tipikal na homogenous na equation

Mga gawain:

nagbibigay-malay:

kilalanin ang mga homogenous na equation, alamin kung paano lutasin ang mga pinakakaraniwang uri ng naturang mga equation.

Pang-edukasyon:

Pag-unlad ng analitikal na pag-iisip.
Pag-unlad ng mga kasanayan sa matematika: matutong i-highlight ang mga pangunahing tampok kung saan ang mga homogenous na equation ay naiiba mula sa iba pang mga equation, magagawang maitaguyod ang pagkakapareho ng mga homogenous na equation sa kanilang iba't ibang mga manifestations.

IV. Asimilation ng bagong kaalaman (15 min.)

1. Sandali ng lecture.

Kahulugan 1(Isulat sa kuwaderno). Ang isang equation ng anyong P(x;y)=0 ay tinatawag na homogenous kung ang P(x;y) ay isang homogenous polynomial.

Ang polynomial sa dalawang variable na x at y ay tinatawag na homogenous kung ang antas ng bawat termino nito ay katumbas ng parehong bilang na k.

Kahulugan 2(Introduction lang). Mga equation ng form

ay tinatawag na homogenous na equation ng degree n na may kinalaman sa u(x) at v(x). Sa pamamagitan ng paghahati sa magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng (v(x))n, maaari nating gamitin ang substitution upang makuha ang equation

Pinapasimple nito ang orihinal na equation. Ang case v(x)=0 ay dapat isaalang-alang nang hiwalay, dahil imposibleng hatiin sa 0.

2. Mga halimbawa ng homogenous na equation:

Ipaliwanag kung bakit sila ay homogenous, magbigay ng iyong sariling mga halimbawa ng mga naturang equation.

3. Gawain para sa kahulugan ng mga homogenous na equation:

Sa mga ibinigay na equation, tukuyin ang mga homogenous na equation at ipaliwanag ang iyong pinili:

Pagkatapos ipaliwanag ang iyong pinili sa isa sa mga halimbawa, magpakita ng paraan upang malutas ang isang homogenous na equation:

4. Magpasya sa iyong sarili:

Sagot:

b) 2sin x - 3 cos x \u003d 0

Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng cos x, nakukuha natin ang 2 tg x -3=0, tg x=⅔ , x=arctg⅔ +

5. Ipakita ang Brochure Example Solution“P.V. Chulkov. Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay sa kursong paaralan ng matematika. Moscow Pedagogical University "Una ng Setyembre" 2006 p.22. Bilang isa sa mga posibleng halimbawa ng antas ng USE C.

V. Lutasin upang pagsamahin ayon sa aklat-aralin ni Bashmakov

p. 183 No. 59 (1.5) o ayon sa textbook na inedit ni Kolmogorov: p. 81 No. 169 (a, c)

mga sagot:

VI. Pagsusuri, malayang gawain (7 min.)

1 opsyon	Opsyon 2
Lutasin ang mga Equation:
a) sin 2 x-5sinxcosx + 6cos 2 x \u003d 0	a) 3sin 2 x+2sin x cos x-2cos 2 x=0
b) cos 2 -3sin 2 \u003d 0	b)

Mga sagot sa mga gawain:

Pagpipilian 1 a) Sagot: arctg2+πn,n € Z; b) Sagot: ±π/2+ 3πn,n € Z; V)

Pagpipilian 2 a) Sagot: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; b) Sagot: -arctg3+πn, 0.25π+πk, ; c) (-5; -2); (5;2)

VII. Takdang aralin

No. 169 ayon kay Kolmogorov, No. 59 ayon kay Bashmakov.

Bilang karagdagan, lutasin ang sistema ng mga equation:

Sagot: arctg(-1±√3) +πn ,

Mga sanggunian:

P.V. Chulkov. Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay sa kursong paaralan ng matematika. - M .: Pedagogical University "Una ng Setyembre", 2006. p. 22
A. Merzlyak, V. Polonsky, E. Rabinovich, M. Yakir. Trigonometry. - M .: "AST-PRESS", 1998, p. 389
Algebra para sa grade 8, inedit ni N.Ya. Vilenkin. - M .: "Enlightenment", 1997.
Algebra para sa grade 9, inedit ni N.Ya. Vilenkin. Moscow "Enlightenment", 2001.
M.I. Bashmakov. Algebra at ang simula ng pagsusuri. Para sa mga baitang 10-11 - M .: "Enlightenment" 1993
Kolmogorov, Abramov, Dudnitsyn. Algebra at ang simula ng pagsusuri. Para sa 10-11 baitang. - M .: "Enlightenment", 1990.
A.G. Mordkovich. Algebra at ang simula ng pagsusuri. Bahagi 1 Teksbuk 10-11 baitang. - M .: "Mnemosyne", 2004.

Sa tingin ko, dapat tayong magsimula sa kasaysayan ng isang maluwalhating kasangkapang pangmatematika bilang mga equation ng kaugalian. Tulad ng lahat ng differential at integral calculus, ang mga equation na ito ay naimbento ni Newton sa pagtatapos ng ika-17 siglo. Itinuring niya ang napakaimportanteng pagtuklas na ito sa kanya kaya na-encrypt pa niya ang mensahe, na ngayon ay maaaring isalin ng ganito: "Ang lahat ng mga batas ng kalikasan ay inilarawan sa pamamagitan ng mga differential equation." Ito ay maaaring mukhang isang pagmamalabis, ngunit ito ay totoo. Anumang batas ng pisika, kimika, biology ay maaaring ilarawan ng mga equation na ito.

Isang malaking kontribusyon sa pag-unlad at paglikha ng teorya ng differential equation ang ginawa ng mga mathematician na sina Euler at Lagrange. Nasa ika-18 siglo na, natuklasan at binuo nila ang kanilang pinag-aaralan ngayon sa mga matataas na kurso ng mga unibersidad.

Nagsimula ang isang bagong milestone sa pag-aaral ng mga differential equation salamat kay Henri Poincare. Lumikha siya ng isang "kuwalitatibong teorya ng mga equation ng kaugalian", na, kasama ang teorya ng mga pag-andar ng isang kumplikadong variable, ay gumawa ng isang makabuluhang kontribusyon sa pundasyon ng topology - ang agham ng espasyo at mga katangian nito.

Ano ang mga differential equation?

Maraming tao ang natatakot sa isang parirala.Gayunpaman, sa artikulong ito ay idedetalye natin ang buong kakanyahan ng napaka-kapaki-pakinabang na kagamitang pangmatematika na ito, na sa totoo lang ay hindi kasing kumplikado ng tila mula sa pangalan. Upang simulan ang pag-uusap tungkol sa mga first-order differential equation, dapat mo munang makilala ang mga pangunahing konsepto na likas na nauugnay sa kahulugang ito. Magsimula tayo sa kaugalian.

Differential

Alam ng maraming tao ang konseptong ito mula sa paaralan. Gayunpaman, tingnan natin ito nang mas malapitan. Isipin ang isang graph ng isang function. Maaari nating dagdagan ito sa isang lawak na ang alinman sa mga segment nito ay magiging isang tuwid na linya. Dito kukuha kami ng dalawang puntos na walang katapusan na malapit sa isa't isa. Ang pagkakaiba sa pagitan ng kanilang mga coordinate (x o y) ay magiging isang infinitesimal na halaga. Tinatawag itong differential at tinutukoy ng mga sign na dy (differential mula sa y) at dx (differential mula sa x). Napakahalagang maunawaan na ang pagkakaiba ay hindi isang may hangganang halaga, at ito ang kahulugan at pangunahing tungkulin nito.

At ngayon ay kinakailangang isaalang-alang ang sumusunod na elemento, na magiging kapaki-pakinabang sa atin sa pagpapaliwanag ng konsepto ng isang differential equation. Ito ay isang derivative.

Derivative

Malamang narinig nating lahat ang konseptong ito sa paaralan. Ang derivative ay sinasabing ang rate ng paglago o pagbaba ng isang function. Gayunpaman, ang karamihan sa kahulugan na ito ay nagiging hindi maintindihan. Subukan nating ipaliwanag ang derivative sa mga tuntunin ng mga pagkakaiba. Bumalik tayo sa isang infinitesimal na segment ng isang function na may dalawang puntos na nasa pinakamababang distansya sa isa't isa. Ngunit kahit na para sa distansya na ito, ang function ay namamahala sa pagbabago ng ilang halaga. At upang ilarawan ang pagbabagong ito, nakabuo sila ng isang derivative, na kung hindi man ay maaaring isulat bilang isang ratio ng mga kaugalian: f (x) "=df / dx.

Ngayon ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang sa mga pangunahing katangian ng derivative. Tatlo lang sila:

Ang derivative ng kabuuan o pagkakaiba ay maaaring katawanin bilang kabuuan o pagkakaiba ng mga derivatives: (a+b)"=a"+b" at (a-b)"=a"-b".
Ang pangalawang pag-aari ay nauugnay sa pagpaparami. Ang derivative ng isang produkto ay ang kabuuan ng mga produkto ng isang function at ang derivative ng isa pa: (a*b)"=a"*b+a*b".
Ang derivative ng pagkakaiba ay maaaring isulat bilang sumusunod na pagkakapantay-pantay: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Ang lahat ng mga katangiang ito ay magiging kapaki-pakinabang sa amin para sa paghahanap ng mga solusyon sa mga first-order na differential equation.

Mayroon ding mga partial derivatives. Sabihin nating mayroon tayong function na z na nakasalalay sa mga variable na x at y. Upang kalkulahin ang partial derivative ng function na ito, sabihin, na may paggalang sa x, kailangan nating kunin ang variable na y bilang isang pare-pareho at simpleng pagkakaiba.

integral

Ang isa pang mahalagang konsepto ay ang integral. Sa katunayan, ito ang direktang kabaligtaran ng derivative. Mayroong ilang mga uri ng integrals, ngunit upang malutas ang pinakasimpleng differential equation, kailangan namin ang pinaka-walang halaga

Kaya, Sabihin nating mayroon tayong ilang dependency ng f sa x. Kinukuha namin ang integral mula dito at nakuha ang function na F (x) (kadalasang tinatawag na antiderivative), ang derivative nito ay katumbas ng orihinal na function. Kaya F(x)"=f(x). Kasunod din nito na ang integral ng derivative ay katumbas ng orihinal na function.

Kapag nilulutas ang mga differential equation, napakahalagang maunawaan ang kahulugan at pag-andar ng integral, dahil kailangan mong dalhin ang mga ito nang madalas upang makahanap ng solusyon.

Ang mga equation ay naiiba depende sa kanilang kalikasan. Sa susunod na seksyon, isasaalang-alang natin ang mga uri ng first-order differential equation, at pagkatapos ay matututuhan natin kung paano lutasin ang mga ito.

Mga klase ng differential equation

Ang "Diffura" ay nahahati ayon sa pagkakasunud-sunod ng mga derivatives na kasangkot sa kanila. Kaya, mayroong una, pangalawa, pangatlo at higit pang pagkakasunud-sunod. Maaari din silang hatiin sa ilang mga klase: ordinaryong at bahagyang derivatives.

Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang mga ordinaryong differential equation ng unang pagkakasunud-sunod. Tatalakayin din natin ang mga halimbawa at paraan upang malutas ang mga ito sa mga sumusunod na seksyon. Isasaalang-alang lamang namin ang mga ODE, dahil ito ang mga pinakakaraniwang uri ng mga equation. Ang mga ordinaryong ay nahahati sa mga subspecies: na may mga separable variable, homogenous at heterogenous. Susunod, malalaman mo kung paano sila naiiba sa isa't isa, at matutunan kung paano lutasin ang mga ito.

Bilang karagdagan, ang mga equation na ito ay maaaring pagsamahin, upang pagkatapos na makuha namin ang isang sistema ng mga differential equation ng unang pagkakasunud-sunod. Isasaalang-alang din namin ang mga naturang sistema at matutunan kung paano lutasin ang mga ito.

Bakit namin isinasaalang-alang lamang ang unang order? Dahil kailangan mong magsimula sa isang simple, at imposibleng ilarawan ang lahat ng bagay na nauugnay sa mga differential equation sa isang artikulo.

Nahihiwalay na Variable Equation

Ito marahil ang pinakasimpleng first-order differential equation. Kabilang dito ang mga halimbawa na maaaring isulat tulad nito: y "=f (x) * f (y). Upang malutas ang equation na ito, kailangan namin ng formula para sa pagre-represent sa derivative bilang ratio ng mga differentials: y" = dy / dx. Gamit ito, nakukuha natin ang sumusunod na equation: dy/dx=f(x)*f(y). Ngayon ay maaari nating buksan ang pamamaraan para sa paglutas ng mga karaniwang halimbawa: hahatiin natin ang mga variable sa mga bahagi, iyon ay, ililipat natin ang lahat ng may variable na y sa bahagi kung saan matatagpuan ang dy, at gagawin natin ang parehong sa x variable. Nakukuha namin ang isang equation ng anyo: dy/f(y)=f(x)dx, na nalulutas sa pamamagitan ng pagkuha ng mga integral ng parehong bahagi. Huwag kalimutan ang tungkol sa pare-pareho, na dapat itakda pagkatapos kunin ang integral.

Ang solusyon ng anumang "diffurance" ay isang function ng dependence ng x sa y (sa aming kaso) o, kung mayroong isang numerical na kondisyon, kung gayon ang sagot ay nasa anyo ng isang numero. Tingnan natin ang buong solusyon gamit ang isang partikular na halimbawa:

Naglilipat kami ng mga variable sa iba't ibang direksyon:

Ngayon kumukuha kami ng mga integral. Ang lahat ng mga ito ay matatagpuan sa isang espesyal na talahanayan ng mga integral. At nakukuha namin:

log(y) = -2*cos(x) + C

Kung kinakailangan, maaari naming ipahayag ang "y" bilang isang function ng "x". Ngayon ay masasabi natin na ang ating differential equation ay malulutas kung walang ibinigay na kondisyon. Maaaring magbigay ng kundisyon, halimbawa, y(n/2)=e. Pagkatapos ay pinapalitan lang natin ang halaga ng mga variable na ito sa solusyon at hanapin ang halaga ng pare-pareho. Sa aming halimbawa, ito ay katumbas ng 1.

Mga homogenous na differential equation ng unang order

Ngayon ay lumipat tayo sa mas mahirap na bahagi. Ang mga homogenous na differential equation ng unang pagkakasunud-sunod ay maaaring isulat sa pangkalahatang anyo tulad ng sumusunod: y "= z (x, y). Dapat tandaan na ang kanang-kamay na function ng dalawang variable ay homogenous, at hindi ito maaaring hatiin sa dalawang dependencies : z sa x at z sa y. Suriin kung ang equation ay homogenous o hindi ay medyo simple: ginagawa namin ang pagpapalit ng x=k*x at y=k*y. Ngayon ay kanselahin namin ang lahat ng k. Kung ang lahat ng mga titik na ito ay nabawasan , kung gayon ang equation ay homogenous at maaari mong ligtas na magpatuloy upang malutas ito. Sa hinaharap , sabihin nating: ang prinsipyo ng paglutas ng mga halimbawang ito ay napakasimple din.

Kailangan nating gumawa ng kapalit: y=t(x)*x, kung saan ang t ay ilang function na nakasalalay din sa x. Pagkatapos ay maaari nating ipahayag ang derivative: y"=t"(x)*x+t. Ang pagpapalit ng lahat ng ito sa aming orihinal na equation at pinasimple ito, nakakakuha kami ng isang halimbawa na may mga separable variable na t at x. Malutas namin ito at makuha ang dependence t(x). Kapag nakuha namin ito, pinapalitan lang namin ang y=t(x)*x sa dati naming kapalit. Pagkatapos makuha namin ang pagtitiwala ng y sa x.

Upang gawing mas malinaw, tingnan natin ang isang halimbawa: x*y"=y-x*e y/x .

Kapag nagsuri sa isang kapalit, ang lahat ay nabawasan. So homogenous talaga ang equation. Ngayon gumawa kami ng isa pang kapalit na aming napag-usapan: y=t(x)*x at y"=t"(x)*x+t(x). Pagkatapos ng pagpapagaan, nakukuha namin ang sumusunod na equation: t "(x) * x \u003d -e t. Nilulutas namin ang nagresultang halimbawa na may mga pinaghiwalay na variable at nakuha ang: e -t \u003dln (C * x). Kailangan lang naming palitan ang t na may y / x (dahil kung y \u003d t * x, pagkatapos t \u003d y / x), at makuha namin ang sagot: e -y / x \u003d ln (x * C).

Mga linear differential equation ng unang order

Panahon na upang isaalang-alang ang isa pang malawak na paksa. Susuriin namin ang hindi magkakatulad na mga equation ng kaugalian ng unang pagkakasunud-sunod. Paano sila naiiba sa naunang dalawa? Alamin natin ito. Ang mga linear differential equation ng unang pagkakasunud-sunod sa pangkalahatang anyo ay maaaring isulat tulad ng sumusunod: y " + g (x) * y \u003d z (x). Ito ay nagkakahalaga ng paglilinaw na ang z (x) at g (x) ay maaaring maging pare-pareho ang mga halaga .

At ngayon isang halimbawa: y" - y*x=x 2 .

Mayroong dalawang mga paraan upang malutas, at susuriin namin ang pareho sa pagkakasunud-sunod. Ang una ay ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary constants.

Upang malutas ang equation sa ganitong paraan, kailangan mo munang ipantay ang kanang bahagi sa zero at lutasin ang resultang equation, na, pagkatapos ilipat ang mga bahagi, ay kukuha ng anyo:

ln|y|=x 2 /2 + C;

y \u003d e x2 / 2 * y C \u003d C 1 * e x2 / 2.

Ngayon kailangan nating palitan ang pare-parehong C 1 ng function na v(x), na kailangan nating hanapin.

Baguhin natin ang derivative:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

I-substitute natin ang mga expression na ito sa orihinal na equation:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Makikita na ang dalawang termino ay kinansela sa kaliwang bahagi. Kung sa ilang halimbawa ay hindi ito nangyari, may ginawa kang mali. Ituloy natin:

v"*e x2/2 = x 2 .

Ngayon lutasin natin ang karaniwang equation kung saan kailangan nating paghiwalayin ang mga variable:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Upang kunin ang integral, kailangan nating ilapat ang pagsasama ayon sa mga bahagi dito. Gayunpaman, hindi ito ang paksa ng aming artikulo. Kung interesado ka, maaari mong matutunan kung paano gawin ang mga naturang aksyon sa iyong sarili. Hindi ito mahirap, at may sapat na kasanayan at pangangalaga, hindi ito tumatagal ng maraming oras.

Bumaling tayo sa pangalawang paraan para sa paglutas ng mga hindi magkakatulad na equation: ang Bernoulli method. Aling diskarte ang mas mabilis at mas madali ay nasa iyo.

Kaya, kapag nilulutas ang equation sa paraang ito, kailangan nating gumawa ng kapalit: y=k*n. Narito ang k at n ay ilang mga function na umaasa sa x. Pagkatapos ay magiging ganito ang derivative: y"=k"*n+k*n". Pinapalitan namin ang parehong mga kapalit sa equation:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Pagpapangkat:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Ngayon kailangan nating i-equate sa zero kung ano ang nasa bracket. Ngayon, kung pagsasamahin natin ang dalawang resultang equation, makakakuha tayo ng sistema ng mga first-order differential equation na kailangang lutasin:

Nilulutas namin ang unang pagkakapantay-pantay bilang isang ordinaryong equation. Upang gawin ito, kailangan mong paghiwalayin ang mga variable:

Kinukuha namin ang integral at makuha ang: ln(n)=x 2 /2. Pagkatapos, kung ipahayag natin ang n:

Ngayon ay pinapalitan namin ang nagresultang pagkakapantay-pantay sa pangalawang equation ng system:

k "*e x2/2 \u003d x 2.

At sa pagbabago, nakakakuha tayo ng parehong pagkakapantay-pantay tulad ng sa unang paraan:

dk=x 2 /e x2/2 .

Hindi rin namin susuriin ang mga karagdagang aksyon. Ito ay nagkakahalaga ng pagsasabi na sa una ang solusyon ng mga first-order differential equation ay nagdudulot ng mga makabuluhang paghihirap. Gayunpaman, sa isang mas malalim na pagsasawsaw sa paksa, nagsisimula itong maging mas mahusay at mas mahusay.

Saan ginagamit ang mga differential equation?

Ang mga differential equation ay aktibong ginagamit sa physics, dahil halos lahat ng mga pangunahing batas ay nakasulat sa differential form, at ang mga formula na nakikita natin ay ang solusyon ng mga equation na ito. Sa kimika, ginagamit ang mga ito para sa parehong dahilan: ang mga pangunahing batas ay nagmula sa kanila. Sa biology, ginagamit ang mga differential equation upang imodelo ang pag-uugali ng mga system, tulad ng predator-prey. Maaari din silang magamit upang lumikha ng mga modelo ng pagpaparami ng, halimbawa, isang kolonya ng mga mikroorganismo.

Paano makakatulong ang mga differential equation sa buhay?

Ang sagot sa tanong na ito ay simple: hindi. Kung hindi ka isang scientist o engineer, malamang na hindi sila magiging kapaki-pakinabang sa iyo. Gayunpaman, para sa pangkalahatang pag-unlad, hindi masakit na malaman kung ano ang isang kaugalian na equation at kung paano ito malulutas. At pagkatapos ay ang tanong ng isang anak na lalaki o babae "ano ang isang kaugalian equation?" hindi ka malito. Buweno, kung ikaw ay isang siyentipiko o isang inhinyero, kung gayon naiintindihan mo mismo ang kahalagahan ng paksang ito sa anumang agham. Ngunit ang pinakamahalagang bagay ay ngayon ang tanong na "kung paano malutas ang isang first-order differential equation?" lagi kang makakasagot. Sumang-ayon, ito ay palaging maganda kapag naiintindihan mo kung ano ang mga tao kahit na natatakot na maunawaan.

Mga pangunahing problema sa pag-aaral

Ang pangunahing problema sa pag-unawa sa paksang ito ay ang mahinang kasanayan sa pagsasama-sama at pagkakaiba-iba ng mga function. Kung hindi ka mahusay sa pagkuha ng mga derivatives at integrals, kung gayon marahil ay nagkakahalaga ng pag-aaral nang higit pa, pag-master ng iba't ibang mga pamamaraan ng pagsasama at pagkita ng kaibhan, at pagkatapos ay magpatuloy lamang sa pag-aaral ng materyal na inilarawan sa artikulo.

May mga taong nagulat kapag nalaman nila na ang dx ay maaaring ilipat, dahil kanina (sa paaralan) ay nakasaad na ang fraction dy / dx ay hindi nahahati. Dito kailangan mong basahin ang literatura sa derivative at maunawaan na ito ay ang ratio ng mga infinitesimal na dami na maaaring manipulahin kapag nilulutas ang mga equation.

Hindi agad napagtanto ng marami na ang solusyon ng mga first-order differential equation ay kadalasang isang function o isang integral na hindi maaaring makuha, at ang maling akala na ito ay nagbibigay sa kanila ng maraming problema.

Ano pa ang maaaring pag-aralan para sa mas mahusay na pag-unawa?

Pinakamainam na simulan ang karagdagang paglulubog sa mundo ng differential calculus na may mga espesyal na aklat-aralin, halimbawa, sa calculus para sa mga mag-aaral ng mga non-mathematical specialty. Pagkatapos ay maaari kang magpatuloy sa mas espesyal na panitikan.

Ito ay nagkakahalaga ng pagsasabi na, bilang karagdagan sa mga differential equation, mayroon ding mga integral na equation, kaya palagi kang mayroong isang bagay na pagsusumikapan at isang bagay na pag-aaralan.

Konklusyon

Inaasahan namin na pagkatapos basahin ang artikulong ito ay mayroon kang ideya kung ano ang mga differential equation at kung paano malutas ang mga ito nang tama.

Sa anumang kaso, ang matematika ay kahit papaano ay kapaki-pakinabang sa atin sa buhay. Nagbubuo ito ng lohika at atensyon, kung wala ang bawat tao ay parang walang mga kamay.

Homogeneous differential equation ng unang order ay isang equation ng form
, kung saan ang f ay isang function.

Paano tukuyin ang isang homogenous na differential equation

Upang matukoy kung homogenous ang isang first-order na differential equation, dapat ipakilala ng isa ang isang pare-parehong t at palitan ang y ng ty at x ng tx : y → ty , x → tx . Kung ang t ay nabawasan, kung gayon ito homogenous differential equation. Ang derivative y′ ay hindi nagbabago sa ilalim ng naturang pagbabago.
.

Halimbawa

Tukuyin kung ang ibinigay na equation ay homogenous

Solusyon

Ginagawa namin ang pagbabago y → ty , x → tx .

Hatiin sa t 2 .

.
Ang equation ay hindi naglalaman ng t . Samakatuwid, ito ay isang homogenous na equation.

Paraan para sa paglutas ng isang homogenous na differential equation

Ang isang homogenous na first-order differential equation ay binabawasan sa isang equation na may mga separable variable gamit ang substitution na y = ux . Ipakita natin. Isaalang-alang ang equation:
(i)
Gumagawa kami ng pagpapalit:
y=ux
kung saan ang u ay isang function ng x . Magkaiba nang may kinalaman sa x:
y' =
Pinapalitan namin ang orihinal na equation (i).
,
,
(ii) .
Paghiwalayin ang mga variable. I-multiply sa dx at hatiin sa x ( f(u) - u ).

Para sa f (u) - u ≠ 0 at x ≠ 0 makuha namin:

Pinagsasama namin:

Kaya, nakuha namin ang pangkalahatang integral ng equation (i) sa mga parisukat:

Pinapalitan namin ang integration constant C ng log C, Pagkatapos

Inalis namin ang tanda ng modulus, dahil ang nais na pag-sign ay natutukoy sa pamamagitan ng pagpili ng tanda ng pare-parehong C . Pagkatapos ang pangkalahatang integral ay kukuha ng anyo:

Susunod, isaalang-alang ang kaso f (u) - u = 0.
Kung ang equation na ito ay may mga ugat, kung gayon ang mga ito ay isang solusyon sa equation (ii). Mula noong equation (ii) ay hindi tumutugma sa orihinal na equation, pagkatapos ay dapat mong tiyakin na ang mga karagdagang solusyon ay nakakatugon sa orihinal na equation (i).

Sa tuwing, sa proseso ng mga pagbabago, hinahati namin ang anumang equation sa ilang function, na tinutukoy namin bilang g (x, y), kung gayon ang mga karagdagang pagbabago ay wasto para sa g (x, y) ≠ 0. Samakatuwid, ang kaso g (x, y) = 0.

Isang halimbawa ng paglutas ng isang first-order homogeneous differential equation

lutasin ang equation

Solusyon

Suriin natin kung homogenous ang equation na ito. Ginagawa namin ang pagbabago y → ty , x → tx . Sa kasong ito, y′ → y′ .
,
,
.
Binabawasan namin ng t.

Ang pare-parehong t ay nabawasan. Samakatuwid, ang equation ay homogenous.

Gumagawa kami ng pagpapalit y = ux , kung saan ang u ay isang function ng x .
y' = (ux) ′ = u′ x + u (x) ′ = u′ x + u
Palitan sa orihinal na equation.
,
,
,
.
Para sa x ≥ 0 , |x| =x. Para sa x ≤ 0 , |x| = - x . Sinusulat namin ang |x| = x ibig sabihin na ang itaas na tanda ay tumutukoy sa mga halaga x ≥ 0 , at ang mas mababang isa - sa mga halaga x ≤ 0 .
,
Multiply sa dx at hatiin sa .

Para sayo 2 - 1 ≠ 0 meron kami:

Pinagsasama namin:

Mga integral ng talahanayan,
.

Ilapat natin ang formula:
(a + b)(a - b) = a 2 - b 2.
Hayaan ang a = u , .
.
Kunin ang parehong bahagi ng modulo at logarithm,
.
Mula rito
.

Kaya mayroon kaming:
,
.
Inalis namin ang tanda ng modulus, dahil ang kinakailangang tanda ay ibinibigay sa pamamagitan ng pagpili ng tanda ng pare-parehong C .

I-multiply sa x at palitan ang ux = y .
,
.
I-square natin ito.
,
,
.

Ngayon isaalang-alang ang kaso, u 2 - 1 = 0 .
Ang mga ugat ng equation na ito
.
Madaling makita na ang mga function na y = x ay nakakatugon sa orihinal na equation.

Sagot

,
,
.

Mga sanggunian:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Koleksyon ng mga problema sa mas mataas na matematika, Lan, 2003.