Paglalarawan ng algorithm
Ang isang polynomial ay ibinigay:
.Hayaang kailanganin na kalkulahin ang halaga ng polynomial na ito para sa isang nakapirming halaga ng . Kinakatawan namin ang polynomial sa sumusunod na anyo:
.Tukuyin natin ang sumusunod na pagkakasunud-sunod:
… …Ang nais na halaga. Ipakita natin na ganito.
Palitan ang resultang notasyon at kalkulahin ang halaga ng expression, simula sa mga panloob na bracket. Upang gawin ito, papalitan namin ang mga subexpression sa pamamagitan ng:
Gamit ang pamamaraan ni Horner upang hatiin ang isang polynomial sa isang binomial
Kapag hinahati ang isang polynomial sa , makakakuha ka ng polynomial na may natitira.
Sa kasong ito, ang mga coefficient ng nagresultang polynomial ay nakakatugon sa mga paulit-ulit na relasyon:
, .Sa parehong paraan, matutukoy mo ang multiplicity ng mga ugat (gamitin ang scheme ni Horner para sa bagong polynomial). Ang scheme ay maaari ding gamitin upang mahanap ang mga coefficient sa pagpapalawak ng isang polynomial sa mga kapangyarihan:
Mga Tala
Tingnan din
Panitikan
- Ananiy V. Levitin Kabanata 6// Algorithms: Panimula sa Ang Disenyo at Pagsusuri ng Aigorithms. - M .: "Williams", 2006. - S. 284-291. - ISBN 0-201-74395-7
- Volkov E. A.§ 2. Pagkalkula ng mga halaga ng isang polynomial. Horner's scheme // Paraan ng numero. - Teksbuk. allowance para sa mga unibersidad. - 2nd ed., naitama. - M .: Nauka, 1987. - 248 p.
- S. B. Gashkov§14. Ang scheme at pagsasalin ni Horner mula sa isang positional system patungo sa isa pa // Number system at ang kanilang aplikasyon. - M .: MTSNMO, 2004. - S. 37-39. - (Library "Edukasyon sa Matematika"). - ISBN 5-94057-146-8
Mga link
- Pagkalkula ng multivariate polynomial - isang generalization ng Horner's scheme para sa kaso ng polynomial sa ilang variable.
Wikimedia Foundation. 2010 .
- Chlorhinaldol
- Shtilmark, Alexander Robertovich
Tingnan kung ano ang "Horner's Scheme" sa iba pang mga diksyunaryo:
HORNER SCHEME- isang pamamaraan para sa paghahanap ng hindi kumpletong quotient at ang natitira kapag hinahati ang isang polynomial sa isang binomial, kung saan ang lahat ng mga coefficient ay nasa isang tiyak na larangan, halimbawa, sa larangan ng mga kumplikadong numero. Anumang polynomial ay maaaring katawanin sa isang natatanging paraan sa anyo kung saan mayroong hindi kumpletong quotient, ... ... Mathematical Encyclopedia
Paraan ng Horner- Horner's scheme (o Horner's rule, Horner's method) ay isang algorithm para sa pagkalkula ng halaga ng isang polynomial, na isinulat bilang isang kabuuan ng monomials, para sa isang naibigay na halaga ng isang variable. Ang pamamaraan ni Horner ay nagpapahintulot sa iyo na mahanap ang mga ugat ng isang polynomial, pati na rin ang pagkalkula ng mga derivatives ... ... Wikipedia
polynomial na ugat- Ang terminong ito ay may iba pang kahulugan, tingnan ang Root (mga kahulugan). Ang ugat ng isang polynomial (hindi magkaparehong zero) sa ibabaw ng field k ay isang elemento na ang sumusunod na dalawang katumbas na kundisyon ay natutugunan: ang ibinigay na polynomial ay nahahati ng polynomial; ... ... Wikipedia
Dibisyon ng polynomial sa pamamagitan ng isang column- Sa algebra, ang paghahati ng polynomial sa pamamagitan ng column ay isang algorithm para sa paghahati ng polynomial sa polynomial na ang degree ay mas mababa sa o katumbas ng degree ng polynomial. Ang algorithm ay isang pangkalahatang paraan ng paghahati ng mga numero sa pamamagitan ng isang column, na madaling ipatupad nang manu-mano. Para sa ... ... Wikipedia
Horner, William George- William George Horner (1786, Bristol Setyembre 22, 1837) British mathematician. Ipinanganak noong 1786 sa Bristol, England. Nag-aral siya sa Kingstwood School sa Bristol. Sa edad na 14, naging assistant director siya sa ... ... Wikipedia
Brachial plexus- I Brachial plexus (plexus brachialis) plexus ng nerve fibers ng anterior branches ng 4 8 cervical at 1 2 thoracic spinal nerves sa ilang mga trunks at bundle, bilang isang resulta ng kasunod na paghihiwalay kung saan ang maikli at mahabang nerbiyos ay nabuo ... ... Medical Encyclopedia
RADICULITIS- (mula sa Latin radix root), mga sakit ng mga ugat ng mga ugat ng gulugod, isang termino na itinatag sa simula ng ika-20 siglo. salamat sa trabaho ni Dejerine at ng kanyang paaralan. Ang R. ay ang pundasyong nagpapasiklab na proseso ng degenerative sa mga ugat [tingnan. isang hiwalay na talahanayan (Artikulo 255 ... ...
THYROID- (gl. thyreoidea, syn. corpus thyreoideum), isa sa pinakamahalagang endocrine gland ng mga vertebrates. Sa pag-unlad ng embryonic Shch. arises mula sa epithelium ng mas mababang pader ng branchial bahagi ng bituka; sa larvae ng cyclostomes, mayroon din itong hitsura ng ... ... Malaking Medical Encyclopedia
Radiculitis- I Ang Radiculitis (radiculitis; lat. radicula root + itis) ay isang nagpapasiklab at compression lesion ng mga ugat ng spinal nerves. Ang pinagsamang sugat ng anterior at posterior na mga ugat sa antas ng kanilang koneksyon sa isang karaniwang kurdon (Fig.) ay dating itinalaga ... ... Medical Encyclopedia
sirkulasyon ng gulugod- (kasingkahulugan ng spinal circulation) Napag-alaman na ang ilang upper cervical segment ng spinal cord ay nagbibigay ng dugo sa anterior at posterior spinal arteries, na sumasanga mula sa vertebral arteries. Mga segment sa ibaba ng mga segment CIII CIV, ... ... Medical Encyclopedia
Bumalik pasulong
Pansin! Ang slide preview ay para sa mga layuning pang-impormasyon lamang at maaaring hindi kumakatawan sa buong lawak ng pagtatanghal. Kung interesado ka sa gawaing ito, mangyaring i-download ang buong bersyon.
Uri ng aralin: Isang aral sa asimilasyon at pagpapatatag ng pangunahing kaalaman.
Layunin ng aralin:
- Upang ipaalam sa mga mag-aaral ang konsepto ng mga ugat ng isang polynomial, upang turuan kung paano hanapin ang mga ito. Pagbutihin ang mga kasanayan sa paglalapat ng pamamaraan ni Horner para sa pagpapalawak ng isang polynomial sa mga kapangyarihan at paghahati ng isang polynomial sa isang binomial.
- Alamin kung paano hanapin ang mga ugat ng isang equation gamit ang scheme ni Horner.
- Bumuo ng abstract na pag-iisip.
- Linangin ang kultura ng computing.
- Pag-unlad ng mga interdisciplinary na koneksyon.
Sa panahon ng mga klase
1. Organisasyon sandali.
Ipaalam ang paksa ng aralin, bumalangkas ng mga layunin.
2. Pagsusuri ng takdang-aralin.
3. Pag-aaral ng bagong materyal.
Hayaan ang F n (x) = a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 - isang polynomial na may paggalang sa x ng degree n, kung saan ang isang 0 , a 1 ,...,a n ay binibigyan ng mga numero, at ang isang 0 ay hindi katumbas ng 0. Kung ang polynomial F n (x) ay hinati sa isang natitira ng binomial x-a, pagkatapos ang quotient (incomplete quotient) ay polynomial Q n-1 (x) ng degree n-1, ang natitirang R ay isang numero, at ang pagkakapantay-pantay F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R. Ang polynomial F n (x) ay ganap na mahahati ng binomial (x-a) lamang sa kaso ng R=0.
Ang theorem ni Bezout: Ang natitirang R mula sa paghahati ng polynomial F n (x) sa binomial (x-a) ay katumbas ng halaga ng polynomial F n (x) sa x=a, i.e. R= P n (a).
Medyo kasaysayan. Ang teorama ni Bezout, sa kabila ng panlabas na pagiging simple at pagiging malinaw nito, ay isa sa mga pangunahing teorema ng teorya ng polynomial. Sa theorem na ito, ang mga algebraic na katangian ng mga polynomial (na nagpapahintulot sa isa na magtrabaho sa mga polynomial bilang mga integer) ay nauugnay sa kanilang mga functional na katangian (na nagpapahintulot sa isa na isaalang-alang ang mga polynomial bilang mga function). Ang isa sa mga paraan upang malutas ang mga equation ng mas mataas na degree ay ang paraan ng pag-factor ng polynomial sa kaliwang bahagi ng equation. Ang pagkalkula ng mga coefficient ng polynomial at ang natitira ay nakasulat sa anyo ng isang talahanayan, na tinatawag na Horner's scheme.
Ang scheme ng Horner ay isang polynomial division algorithm na isinulat para sa espesyal na kaso kapag ang quotient ay katumbas ng binomial x-a.
Horner William George (1786 - 1837), Ingles na matematiko. Ang pangunahing pananaliksik ay may kinalaman sa teorya ng algebraic equation. Bumuo ng isang paraan para sa tinatayang solusyon ng mga equation ng anumang antas. Noong 1819, ipinakilala niya ang isang mahalagang para sa algebra na paraan ng paghahati ng polynomial sa isang binomial x - a (Horner's scheme).
Pinagmulan ng pangkalahatang pormula para sa pamamaraan ni Horner.
Ang paghahati ng isang polynomial na f(x) na may natitira sa pamamagitan ng isang binomial (x-c) ay nangangahulugan ng paghahanap ng isang polynomial q(x) at isang numero r na ang f(x)=(x-c)q(x)+r
Isulat natin ang equation na ito nang detalyado:
f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r
I-equate ang mga coefficient sa parehong kapangyarihan:
xn: f 0 = q 0 => q 0 = f 0 xn-1: f 1 \u003d q 1 - c q 0 => q 1 = f 1 + c q 0 xn-2: f 2 \u003d q 2 - c q 1 => q 2 = f 2 + c q 1 ... ... x0: f n = q n - c q n-1 => q n \u003d f n + c q n-1.
Pagpapakita ng pamamaraan ni Horner sa pamamagitan ng halimbawa.
Ehersisyo 1. Gamit ang scheme ng Horner, hinahati namin ang polynomial f (x) \u003d x 3 - 5x 2 + 8 kasama ang natitira sa binomial x-2.
| 1 | -5 | 0 | 8 | |
| 2 | 1 | 2*1+(-5)=-3 | 2*(-3)+0=-6 | 2*(-6)+8=-4 |
f(x) \u003d x 3 - 5x 2 + 8 \u003d (x-2) (x 2 -3x-6) -4, kung saan g (x) \u003d (x 2 -3x-6), r \u003d -4 na natitira.
Pagpapalawak ng isang polynomial sa mga kapangyarihan ng isang binomial.
Gamit ang scheme ni Horner, pinalawak namin ang polynomial f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 sa mga kapangyarihan ng binomial (x+2).
Bilang resulta, dapat tayong makakuha ng agnas f (x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1) )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2 ) 2 -2(x+2)+12
Ang scheme ni Horner ay kadalasang ginagamit kapag nilulutas ang mga equation ng ikatlo, ikaapat at mas mataas na digri, kapag ito ay maginhawa upang palawakin ang polynomial sa isang binomial x-a. Numero a tinawag polynomial na ugat F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n kung x=a ang halaga ng polynomial F n (x) ay katumbas ng zero: F n (a)=0, i.e. kung ang polynomial ay pantay na mahahati ng binomial x-a.
Halimbawa, ang numero 2 ay ang ugat ng polynomial F 3 (x)=3x 3 -2x-20, dahil F 3 (2)=0. ibig sabihin. Na ang factorization ng polynomial na ito ay naglalaman ng factor x-2.
F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10).
Anumang polynomial F n (x) ng degree n 1 ay hindi na maaaring magkaroon ng higit pa n tunay na ugat.
Anumang integer root ng isang equation na may integer coefficient ay isang divisor ng libreng termino nito.
Kung ang nangungunang koepisyent ng equation ay 1, kung gayon ang lahat ng mga makatwirang ugat ng equation, kung mayroon sila, ay integer.
Pagsasama-sama ng pinag-aralan na materyal.
Upang pagsama-samahin ang bagong materyal, inaanyayahan ang mga mag-aaral na kumpletuhin ang mga numero mula sa aklat-aralin 2.41 at 2.42 (p. 65).
(2 mag-aaral ang magpapasya sa pisara, at ang iba, kapag nagpasya, suriin ang mga gawain sa kuwaderno na may mga sagot sa pisara).
Pagbubuod.
Ang pagkakaroon ng naunawaan ang istraktura at prinsipyo ng pagpapatakbo ng Horner scheme, maaari din itong gamitin sa mga aralin sa computer science, kapag ang isyu ng pagsasalin ng mga integer mula decimal hanggang binary at vice versa ay isinasaalang-alang. Ang pagsasalin mula sa isang sistema ng numero patungo sa isa pa ay batay sa sumusunod na pangkalahatang teorama
Teorama. Upang isalin ang isang integer Ap mula sa p-ary number system hanggang base number system d kailangan Ap sunud-sunod na hatiin sa isang natitira sa isang numero d nakasulat sa parehong p-ary system, hanggang sa maging zero ang resultang quotient. Ang natitira sa dibisyon ay magiging d-mga digital na digit Ad simula sa mababang ayos hanggang sa mataas na ayos. Ang lahat ng mga aksyon ay dapat isagawa sa p-ary system ng numero. Para sa isang tao, ang panuntunang ito ay maginhawa lamang kapag p= 10, ibig sabihin. kapag nagsasalin mula sa sistemang desimal. Tulad ng para sa computer, sa kabaligtaran, ito ay "mas maginhawa" para dito na magsagawa ng mga kalkulasyon sa binary system. Samakatuwid, upang isalin ang "2 hanggang 10", ang sequential division sa pamamagitan ng sampu sa binary system ay ginagamit, at ang "10 hanggang 2" ay ang pagdaragdag ng mga kapangyarihan ng sampu. Upang i-optimize ang mga kalkulasyon ng "10 sa 2" na pamamaraan, ang computer ay gumagamit ng matipid na computational scheme ni Horner.
Takdang aralin. May dalawang gawain na dapat tapusin.
1st. Gamit ang scheme ni Horner, hatiin ang polynomial f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 sa binomial (x-3).
ika-2. Hanapin ang integer roots ng polynomial f (x) \u003d x 4 -2x 3 + 2x 2 -x-6. (Given na ang anumang integer root ng isang equation na may integer coefficients ay isang divisor ng free term nito)
Panitikan.
- Kurosh A.G. "Kurso ng Mas Mataas na Algebra".
- Nikolsky S.M., Potapov M.K. atbp. Baitang 10 "Algebra at ang simula ng pagsusuri sa matematika".
- http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.
Layunin ng Aralin:
- turuan ang mga mag-aaral na lutasin ang mga equation ng mas mataas na antas gamit ang pamamaraan ni Horner;
- bumuo ng kakayahang magtrabaho nang pares;
- upang lumikha, kasama ang mga pangunahing seksyon ng kurso, isang batayan para sa pagbuo ng mga kakayahan ng mga mag-aaral;
- tulungan ang mag-aaral na masuri ang kanyang potensyal, bumuo ng interes sa matematika, ang kakayahang mag-isip, magsalita sa paksa.
Kagamitan: card para sa trabaho sa mga grupo, isang poster na may pamamaraan ni Horner.
Paraan ng Pagtuturo: panayam, kwento, paliwanag, pagganap ng mga pagsasanay sa pagsasanay.
Form ng kontrol: pagpapatunay ng mga problema ng independiyenteng solusyon, independiyenteng trabaho.
Sa panahon ng mga klase
1. Pansamahang sandali
2. Aktwalisasyon ng kaalaman ng mga mag-aaral
Anong theorem ang nagpapahintulot sa iyo na matukoy kung ang numero ay ang ugat ng isang ibinigay na equation (upang bumalangkas ng isang theorem)?
Ang teorama ni Bezout. Ang natitira sa paghahati ng polynomial P(x) sa binomial x-c ay katumbas ng P(c), ang bilang c ay tinatawag na ugat ng polynomial P(x) kung P(c)=0. Ang theorem ay nagbibigay-daan, nang hindi isinasagawa ang operasyon ng paghahati, upang matukoy kung ang isang ibinigay na numero ay isang ugat ng isang polynomial.
Aling mga pahayag ang nagpapadali sa paghahanap ng mga ugat?
a) Kung ang nangungunang koepisyent ng polynomial ay katumbas ng isa, kung gayon ang mga ugat ng polynomial ay dapat hanapin sa mga divisors ng libreng termino.
b) Kung ang kabuuan ng mga coefficient ng isang polynomial ay 0, kung gayon ang isa sa mga ugat ay 1.
c) Kung ang kabuuan ng mga coefficient sa kahit na mga lugar ay katumbas ng kabuuan ng mga coefficient sa mga kakaibang lugar, kung gayon ang isa sa mga ugat ay katumbas ng -1.
d) Kung ang lahat ng mga coefficient ay positibo, kung gayon ang mga ugat ng polynomial ay mga negatibong numero.
e) Ang isang polynomial ng kakaibang antas ay may hindi bababa sa isang tunay na ugat.
3. Pag-aaral ng bagong materyal
Kapag nilulutas ang buong algebraic equation, kailangan mong hanapin ang mga halaga ng mga ugat ng polynomial. Ang operasyong ito ay maaaring lubos na pinasimple kung ang mga kalkulasyon ay isinasagawa ayon sa isang espesyal na algorithm na tinatawag na Horner's scheme. Ang pamamaraang ito ay pinangalanan sa Ingles na siyentipiko na si William George Horner. Ang scheme ng Horner ay isang algorithm para sa pagkalkula ng quotient at natitira sa paghahati ng polynomial P(x) sa x-c. Sa madaling sabi, kung paano ito gumagana.
Hayaang maibigay ang isang arbitrary polynomial P(x)=a 0 x n + a 1 x n-1 + ...+ a n-1 x+ a n. Ang dibisyon ng polynomial na ito ng x-c ay ang representasyon nito sa anyong P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Pribadong g (x) \u003d sa 0 x n-1 + sa n x n-2 + ... + sa n-2 x + sa n-1, kung saan sa 0 \u003d a 0, sa n \u003d sv n- 1 + a n , n=1,2,3,…n-1. Natitirang r (x) \u003d St n-1 + a n. Ang pamamaraang ito ng pagkalkula ay tinatawag na Horner scheme. Ang salitang "scheme" sa pangalan ng algorithm ay dahil sa ang katunayan na kadalasan ang pagpapatupad nito ay pormal na tulad ng sumusunod. Unang draw table 2(n+2). Ang numero c ay nakasulat sa ibabang kaliwang cell, at ang mga coefficient ng polynomial P (x) ay nakasulat sa itaas na linya. Sa kasong ito, ang kaliwang itaas na cell ay naiwang walang laman.
sa 0 = a 0 |
sa 1 \u003d sv 1 + a 1 |
sa 2 \u003d sv 1 + A 2 |
sa n-1 \u003d sv n-2 +a n-1 |
r(x)=f(c)=sv n-1 +a n |
Ang numero, na pagkatapos ng pagpapatupad ng algorithm ay lumabas na nakasulat sa ibabang kanang cell, ay ang natitira sa paghahati ng polynomial P(x) sa x-c. Ang iba pang mga numero sa 0 , sa 1 , sa 2 ,… ng ibabang hilera ay ang mga coefficient ng quotient.
Halimbawa: Hatiin ang polynomial P (x) \u003d x 3 -2x + 3 sa x-2.
Nakukuha namin iyon x 3 -2x + 3 \u003d (x-2) (x 2 + 2x + 2) + 7.
4. Pagsasama-sama ng pinag-aralan na materyal
Halimbawa 1: I-factor ang polynomial P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 na may integer coefficients.
Naghahanap kami ng mga integer na ugat sa mga divisors ng libreng termino -1: 1; -1. Gumawa tayo ng talahanayan:
X \u003d -1 - ugat
P (x) \u003d (x + 1) (2x 3 -9x 2 + 6x -1)
Suriin natin ang 1/2.
X=1/2 - ugat |
Samakatuwid, ang polynomial P(x) ay maaaring katawanin bilang
P (x) \u003d (x + 1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) \u003d (x + 1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)
Halimbawa 2: Lutasin ang equation na 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0
Dahil ang kabuuan ng mga coefficient ng polynomial na nakasulat sa kaliwang bahagi ng equation ay katumbas ng zero, kung gayon ang isa sa mga ugat ay 1. Gamitin natin ang scheme ni Horner:
X=1 - ugat |
Nakukuha namin ang P (x) \u003d (x-1) (2x 3 -3x 2 \u003d 2x +2). Maghahanap tayo ng mga ugat sa mga divisors ng libreng termino 2.
Nalaman namin na wala nang buong ugat. Suriin natin ang 1/2; -1/2.
X \u003d -1/2 - ugat |
Sagot: 1; -1/2.
Halimbawa 3: Lutasin ang equation na 5x 4 - 3x 3 - 4x 2 -3x + 5 = 0.
Hahanapin natin ang mga ugat ng equation na ito sa mga divisors ng free term 5: 1; -1; 5; -5. Ang x=1 ay ang ugat ng equation, dahil ang kabuuan ng mga coefficient ay zero. Gamitin natin ang scheme ni Horner:
kinakatawan namin ang equation bilang isang produkto ng tatlong mga kadahilanan: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) \u003d 0. Ang paglutas ng quadratic equation 5x 2 -7x+5=0, nakuha namin ang D=49-100=-51, walang mga ugat.
Card 1
- I-factor ang polynomial: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
- Lutasin ang equation: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0
Card 2
- I-factor ang polynomial: x 4 -x 3 -7x 2 + 13x-6
- Lutasin ang equation: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0
Card 3
- I-factorize: 2x 3 -21x 2 + 37x + 24
- Lutasin ang equation: x 3 -2x 2 +4x-8=0
Card 4
- I-factorize: 5x 3 -46x 2 + 79x-14
- Lutasin ang equation: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0
5. Pagbubuod
Isinasagawa sa aralin ang pagsubok ng kaalaman kapag nagso-solve nang pares sa pamamagitan ng pagkilala sa paraan ng pagkilos at pangalan ng sagot.
Takdang aralin:
Lutasin ang mga equation:
a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x + 1 \u003d 0
b) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0
c) x 4 + x 3 + x + 1 \u003d 4 x 2
d) x 4 + 2x 3 -x-2 \u003d 0
Panitikan
- N.Ya. Vilenkin et al., Algebra and the Beginnings of Analysis Grade 10 (in-depth study of mathematics): Enlightenment, 2005.
- U.I. Sakarchuk, L.S. Sagatelova, Solusyon ng mga equation ng mas mataas na antas: Volgograd, 2007.
- S.B. GashkovNumber system at ang kanilang aplikasyon.
slide 3
Si Gorner Williams George (1786-22 Setyembre 1837) ay isang Ingles na matematiko. Ipinanganak sa Bristol. Nag-aral siya at nagtrabaho doon, pagkatapos ay sa mga paaralan ng Bath. Mga pangunahing gawain sa algebra. Noong 1819 naglathala ng isang paraan para sa tinatayang pagkalkula ng mga tunay na ugat ng isang polynomial, na ngayon ay tinatawag na Ruffini-Horner method (ang paraang ito ay kilala sa mga Intsik noon pang ika-13 siglo). ay ipinangalan kay Horner.
slide 4
HORNER SCHEME
Isang paraan para sa paghahati ng polynomial ng nth degree sa pamamagitan ng linear binomial - a, batay sa katotohanan na ang mga coefficient ng hindi kumpletong quotient at ang natitirang r ay nauugnay sa mga coefficient ng divisible polynomial at sa a ng mga formula:
slide 5
Ang mga kalkulasyon ayon sa pamamaraan ng Horner ay inilalagay sa isang talahanayan:
Halimbawa 1 Divide Ang incomplete quotient ay x3-x2+3x - 13 at ang natitira ay 42=f(-3).
slide 6
Ang pangunahing bentahe ng pamamaraang ito ay ang pagiging compact ng notasyon at ang kakayahang mabilis na hatiin ang isang polynomial sa isang binomial. Sa katunayan, ang pamamaraan ng Horner ay isa pang anyo ng pagtatala ng paraan ng pagpapangkat, bagaman, hindi katulad ng huli, ito ay ganap na hindi naglalarawan. Ang sagot (factorization) dito ay lumalabas sa kanyang sarili, at hindi natin nakikita ang mismong proseso ng pagkuha nito. Hindi namin haharapin ang isang mahigpit na katwiran ng pamamaraan ni Horner, ngunit ipakita lamang kung paano ito gumagana.
Slide 7
Halimbawa2.
Pinatutunayan namin na ang polynomial P(x)=x4-6x3+7x-392 ay nahahati sa x-7, at hanapin ang quotient. Solusyon. Gamit ang scheme ni Horner, nakita namin ang Р(7): Kaya nakuha namin ang Р(7)=0, i.e. ang natitira kapag hinahati ang polynomial sa x-7 ay zero at, samakatuwid, ang polynomial P (x) ay isang multiple ng (x-7). Sa kasong ito, ang mga numero sa ikalawang hanay ng talahanayan ay ang mga coefficient ng paghahati ng P (x) sa pamamagitan ng (x-7), samakatuwid P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56).
Slide 8
I-factor ang polynomial x3 - 5x2 - 2x + 16.
Ang polynomial na ito ay may mga integer coefficient. Kung ang isang integer ay ang ugat ng polynomial na ito, kung gayon ito ay isang divisor ng 16. Kaya, kung ang binigay na polynomial ay may mga integer na ugat, ang mga ito ay maaari lamang maging mga numero ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Sa pamamagitan ng direktang pag-verify, tinitiyak namin na ang numero 2 ang ugat ng polynomial na ito, iyon ay, x3 - 5x2 - 2x + 16 = (x - 2)Q(x), kung saan ang Q(x) ay isang polynomial ng pangalawa degree
Slide 9
Ang mga resultang numero 1, −3, −8 ay ang mga coefficient ng polynomial, na nakukuha sa pamamagitan ng paghahati ng orihinal na polynomial sa x - 2. Kaya, ang resulta ng paghahati ay: 1 x2 + (-3)x + (- 8) = x2 - 3x - 8. Ang antas ng polynomial na nakuha bilang resulta ng paghahati ay palaging 1 mas mababa kaysa sa antas ng orihinal. Kaya: x3 - 5x2 - 2x + 16 = (x - 2)(x2 - 3x - 8).
atbp. ay isang pangkalahatang pang-edukasyon na kalikasan at ito ay may malaking kahalagahan para sa pag-aaral ng BUONG kurso ng mas mataas na matematika. Ngayon ay uulitin natin ang mga equation ng "paaralan", ngunit hindi lamang ang mga "paaralan" - ngunit ang mga ito na matatagpuan sa lahat ng dako sa iba't ibang mga gawain ng vyshmat. Gaya ng dati, ang kuwento ay pupunta sa isang inilapat na paraan, i.e. Hindi ako magtutuon ng pansin sa mga kahulugan, klasipikasyon, ngunit ibabahagi ko sa inyo ang aking personal na karanasan sa paglutas. Ang impormasyon ay pangunahing inilaan para sa mga nagsisimula, ngunit ang mas handa na mga mambabasa ay makakahanap din ng maraming kawili-wiling mga punto para sa kanilang sarili. At, siyempre, magkakaroon ng bagong materyal na lalampas sa high school.
Kaya ang equation... Naaalala ng maraming tao ang salitang ito nang may panginginig. Ano ang mga "fancy" equation na may mga ugat... ...kalimutan ang tungkol sa kanila! Dahil higit pa ay matutugunan mo ang pinaka hindi nakakapinsalang "mga kinatawan" ng species na ito. O boring trigonometric equation na may dose-dosenang mga pamamaraan para sa paglutas. Sa totoo lang, hindi ko rin sila nagustuhan... Walang panic! - pagkatapos ay inaasahan ka pangunahin sa pamamagitan ng "dandelions" na may malinaw na solusyon sa 1-2 hakbang. Kahit na ang "burdock", siyempre, kumapit - dito kailangan mong maging layunin.
Kakatwa, sa mas mataas na matematika ay mas karaniwan ang pakikitungo sa napaka-primitive na mga equation tulad ng linear mga equation.
Ano ang ibig sabihin ng paglutas ng equation na ito? Nangangahulugan ito - upang mahanap ang GANITONG halaga ng "x" (ugat), na nagiging isang tunay na pagkakapantay-pantay. I-flip natin ang "troika" sa kanan na may pagbabago ng sign:
at i-drop ang "dalawa" sa kanang bahagi (o, ang parehong bagay - i-multiply ang parehong bahagi sa)
:
Upang suriin, pinapalitan namin ang napanalunang tropeo sa orihinal na equation: 
Nakuha ang tamang pagkakapantay-pantay, na nangangahulugan na ang nahanap na halaga ay talagang ugat ng equation na ito. O, tulad ng sinasabi nila, natutugunan ang equation na ito.
Tandaan na ang ugat ay maaari ding isulat bilang isang decimal fraction:
At subukang huwag manatili sa pangit na istilong ito! Inulit ko ang dahilan ng maraming beses, sa partikular, sa pinakaunang aralin sa mas mataas na algebra.
Sa pamamagitan ng paraan, ang equation ay maaari ding malutas "sa Arabic":
At kung ano ang pinaka-kawili-wili - ang rekord na ito ay ganap na legal! Ngunit kung hindi ka isang guro, kung gayon mas mahusay na huwag gawin ito, dahil ang pagka-orihinal ay may parusa dito =)
At ngayon ng kaunti tungkol sa
graphical na paraan ng solusyon
Ang equation ay may anyo at ang ugat nito ay "x" coordinate mga intersection point linear function graph may linear function graph (abscissa axis):
Mukhang ang halimbawa ay napaka-elementarya na wala nang dapat pag-aralan dito, ngunit ang isa pang hindi inaasahang nuance ay maaaring "masira" mula dito: kinakatawan namin ang parehong equation sa form at i-plot ang mga function graph: 
kung saan, pakiusap wag mong guluhin yung dalawa: ang isang equation ay isang equation, at function ay isang function! Mga pag-andar tulong lang hanapin ang mga ugat ng equation. Kung saan maaaring dalawa, tatlo, apat, at kahit na walang hanggan marami. Ang pinakamalapit na halimbawa sa ganitong kahulugan ay alam ng lahat quadratic equation, na ang algorithm ng solusyon ay ginawaran ng isang hiwalay na item "mainit" na mga formula ng paaralan. At hindi ito aksidente! Kung maaari mong malutas ang isang quadratic equation at alam ang Pythagorean theorem, pagkatapos, maaaring sabihin ng isa, "ang sahig ng mas mataas na matematika ay nasa iyong bulsa" =) Exaggerated, siyempre, ngunit hindi napakalayo sa katotohanan!
At samakatuwid, hindi kami masyadong tamad at lutasin ang ilang quadratic equation ayon sa karaniwang algorithm:
, kaya ang equation ay may dalawang magkaibang wasto ugat: 
Madaling i-verify na ang parehong mga nahanap na halaga ay talagang nakakatugon sa equation na ito: 
Ano ang gagawin kung bigla mong nakalimutan ang algorithm ng solusyon, at walang mga tool / pagtulong sa kamay? Ang ganitong sitwasyon ay maaaring lumitaw, halimbawa, sa isang pagsusulit o pagsusulit. Ginagamit namin ang graphic na pamamaraan! At mayroong dalawang paraan: magagawa mo pointwise build parabola 
, sa gayo'y nalaman kung saan ito nagsa-intersect sa axis (kung ito ay tumawid sa lahat). Ngunit mas mahusay na kumilos nang mas tuso: ipinakita namin ang equation sa anyo, gumuhit ng mga graph ng mas simpleng pag-andar - at "x" na mga coordinate ang kanilang mga punto ng intersection, sa isang sulyap! 
Kung lumalabas na ang linya ay humipo sa parabola, kung gayon ang equation ay may dalawang magkatugma (maraming) ugat. Kung ito ay lumabas na ang linya ay hindi bumalandra sa parabola, kung gayon walang mga tunay na ugat.
Upang gawin ito, siyempre, kailangan mong makapagtayo mga graph ng elementarya function, ngunit sa kabilang banda, ang mga kasanayang ito ay nasa kapangyarihan ng kahit isang batang mag-aaral.
At muli - ang isang equation ay isang equation, at ang mga function , ay mga function na nakatulong lang lutasin ang equation!
At dito, sa pamamagitan ng paraan, magiging angkop na tandaan ang isa pang bagay: kung ang lahat ng mga coefficient ng equation ay pinarami ng isang di-zero na numero, kung gayon ang mga ugat nito ay hindi magbabago.
Kaya, halimbawa, ang equation 
ay may parehong mga ugat. Bilang pinakasimpleng "patunay", aalisin ko ang pare-pareho sa mga bracket: 
at walang sakit na alisin ito (Hatiin ko ang parehong bahagi sa "minus dalawa"):
PERO! Kung isasaalang-alang natin ang pag-andar 
, pagkatapos dito imposibleng mapupuksa ang pare-pareho! Posible lamang na alisin ang multiplier sa mga bracket: 
.
Maraming minamaliit ang paraan ng graphical na solusyon, na isinasaalang-alang na ito ay isang bagay na "hindi marangal", at ang ilan ay ganap na nakakalimutan ang tungkol sa posibilidad na ito. At ito ay sa panimula ay mali, dahil ang pag-plot minsan ay nakakatipid lamang ng araw!
Isa pang halimbawa: ipagpalagay na hindi mo naaalala ang mga ugat ng pinakasimpleng trigonometric equation:. Ang pangkalahatang pormula ay nasa mga aklat-aralin sa paaralan, sa lahat ng mga sangguniang aklat sa elementarya, ngunit hindi ito magagamit sa iyo. Gayunpaman, ang paglutas ng equation ay kritikal (kung hindi man ay "dalawa"). May labasan! - bumuo kami ng mga graph ng mga function: 
pagkatapos nito ay mahinahon naming isulat ang "x" na mga coordinate ng kanilang mga intersection point: 
Mayroong walang katapusang maraming mga ugat, at ang kanilang nakatiklop na notasyon ay tinatanggap sa algebra:
, Saan ( – hanay ng mga integer)
.
At, nang hindi "umalis mula sa cash desk", ilang mga salita tungkol sa graphical na paraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa isang variable. Ang prinsipyo ay pareho. Kaya, halimbawa, ang anumang "x" ay ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay, dahil ang sinusoid ay halos lahat ay nasa ilalim ng tuwid na linya. Ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay ang hanay ng mga agwat kung saan ang mga piraso ng sinusoid ay nasa itaas ng tuwid na linya. (abscissa):
o, sa madaling salita:
At narito ang hanay ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay - walang laman, dahil walang punto ng sinusoid ang nasa itaas ng tuwid na linya.
May hindi malinaw? Agad na pag-aralan ang mga aralin tungkol sa set At mga function graph!
Warm up:
Ehersisyo 1
Lutasin nang grapiko ang mga sumusunod na trigonometric equation:
Mga sagot sa pagtatapos ng aralin
Tulad ng nakikita mo, upang pag-aralan ang eksaktong mga agham, hindi kinakailangan na magsiksik ng mga formula at sanggunian na mga libro! Bukod dito, ito ay isang panimula na mabisyo na diskarte.
Dahil tiniyak ko na sa iyo sa simula pa lamang ng aralin, ang mga kumplikadong trigonometric equation sa karaniwang kurso ng mas mataas na matematika ay kailangang malutas nang napakadalang. Ang lahat ng pagiging kumplikado, bilang panuntunan, ay nagtatapos sa mga equation tulad ng , ang solusyon kung saan ay dalawang grupo ng mga ugat, na nagmula sa pinakasimpleng mga equation at 
. Huwag masyadong mag-alala tungkol sa solusyon ng huli - tumingin sa isang libro o hanapin ito sa Internet =)
Ang graphical na paraan ng paglutas ay maaari ding makatulong sa mga hindi gaanong maliit na kaso. Isaalang-alang, halimbawa, ang sumusunod na "motley" equation:
Ang mga prospect para sa solusyon nito ay tumingin ... hindi nila tinitingnan ang lahat, ngunit ang isa ay dapat lamang ipakita ang equation sa form , construct mga function graph at ang lahat ay magiging hindi kapani-paniwalang simple. Ang guhit ay nasa gitna ng artikulo tungkol sa infinitesimal function (magbubukas sa susunod na tab).
Gamit ang parehong graphical na pamamaraan, maaari mong malaman na ang equation ay mayroon nang dalawang ugat, at ang isa sa mga ito ay katumbas ng zero, at ang isa, tila, hindi makatwiran at kabilang sa segment . Ang ugat na ito ay maaaring kalkulahin nang humigit-kumulang, halimbawa, padaplis na paraan. Sa pamamagitan ng paraan, sa ilang mga gawain, nangyayari na ito ay kinakailangan hindi upang mahanap ang mga ugat, ngunit upang malaman mayroon ba silang lahat. At dito, masyadong, ang isang pagguhit ay makakatulong - kung ang mga graph ay hindi magsalubong, kung gayon walang mga ugat.
Rational roots ng polynomials na may integer coefficients.
pakana ni Horner
At ngayon iminumungkahi kong ibaling mo ang iyong mga mata sa Middle Ages at damhin ang kakaibang kapaligiran ng classical algebra. Para sa isang mas mahusay na pag-unawa sa materyal, inirerekumenda ko ang hindi bababa sa isang maliit na pamilyar sa kumplikadong mga numero.
Sila ang pinaka. Mga polynomial.
Ang object ng aming interes ay ang pinakakaraniwang polynomials ng form na may buo coefficients . Ang natural na numero ay tinatawag polynomial degree, numero - koepisyent sa pinakamataas na antas (o ang pinakamataas na koepisyent lamang), at ang koepisyent ay libreng miyembro.
Ipapakita ko itong polynomial na nakatiklop ng .
Mga ugat na polynomial tinatawag na mga ugat ng equation
Gustung-gusto ko ang iron logic =)
Para sa mga halimbawa, pumunta kami sa pinakasimula ng artikulo: 
Walang mga problema sa paghahanap ng mga ugat ng polynomials ng 1st at 2nd degrees, ngunit habang pinapataas mo ang gawaing ito ay nagiging mas at mas mahirap. Ngunit sa kabilang banda, ang lahat ay mas kawili-wili! At ito ang ilalaan sa ikalawang bahagi ng aralin.
Una, literal na kalahating screen ng teorya:
1) Ayon sa corollary pangunahing teorama ng algebra, eksakto ang degree na polynomial pinagsama-sama mga ugat. Ang ilang mga ugat (o kahit lahat) ay maaaring maging partikular wasto. Bukod dito, sa mga tunay na ugat ay maaaring magkaroon ng magkapareho (maraming) ugat (minimum na dalawa, maximum na piraso).
Kung ang ilang kumplikadong numero ay isang ugat ng isang polynomial, kung gayon conjugate ang bilang nito ay kinakailangang ugat din ng polynomial na ito (ang conjugate complex roots ay may anyo).
Ang pinakasimpleng halimbawa ay ang quadratic equation, na unang nakita noong 8 (gaya ng) klase, at sa wakas ay "natapos" namin sa paksa kumplikadong mga numero. Ipinaaalala ko sa iyo: ang isang quadratic equation ay may alinman sa dalawang magkaibang tunay na ugat, o maramihang ugat, o conjugate complex roots.
2) Mula sa Mga teorema ni Bezout ito ay sumusunod na kung ang numero ay ang ugat ng equation, kung gayon ang katumbas na polynomial ay maaaring i-factorize:
, kung saan ay isang polynomial ng degree .
At muli, ang ating lumang halimbawa: since is the root of the equation , then . Pagkatapos nito, madaling makuha ang kilalang "paaralan" na agnas .
Ang kinahinatnan ng teorama ni Bezout ay may malaking praktikal na halaga: kung alam natin ang ugat ng 3rd degree na equation, maaari natin itong katawanin sa anyo 
at mula sa quadratic equation ay madaling malaman ang natitirang mga ugat. Kung alam natin ang ugat ng 4th degree equation, posible na palawakin ang kaliwang bahagi sa isang produkto, atbp.
At mayroong dalawang katanungan dito:
Tanong isa. Paano mahahanap ang ugat na ito? Una sa lahat, tukuyin natin ang likas na katangian nito: sa maraming mga problema ng mas mataas na matematika kinakailangan upang mahanap makatwiran, sa partikular buo ang mga ugat ng polynomials, at sa bagay na ito, higit pa tayong magiging interesado sa kanila .... …napakagaling nila, napakalambot, na gusto mo lang silang hanapin! =)
Ang unang bagay na nagmumungkahi mismo ay ang paraan ng pagpili. Isaalang-alang, halimbawa, ang equation . Ang catch dito ay nasa libreng termino - kung ito ay katumbas ng zero, kung gayon ang lahat ay nasa openwork - inilalagay namin ang "x" sa mga bracket at ang mga ugat mismo ay "nahuhulog" sa ibabaw: 
Ngunit ang aming libreng termino ay katumbas ng "tatlo", at samakatuwid ay sinimulan naming palitan ang iba't ibang mga numero sa equation na nagsasabing tinatawag na "ugat". Una sa lahat, ang pagpapalit ng mga solong halaga ay nagmumungkahi ng sarili nito. Kapalit: 
Natanggap hindi tama pagkakapantay-pantay, kaya, ang yunit ay "hindi magkasya." Okay, ilagay natin ito sa: 
Natanggap tama pagkakapantay-pantay! Iyon ay, ang halaga ay ang ugat ng equation na ito.
Upang mahanap ang mga ugat ng isang polynomial ng 3rd degree, mayroong isang analytical na pamamaraan (ang tinatawag na mga Cardano formula), ngunit ngayon kami ay interesado sa isang bahagyang naiibang problema.
Dahil - ang ugat ng ating polynomial, kung gayon ang polynomial ay maaaring katawanin sa anyo at bumangon Pangalawang tanong: paano hanapin ang "nakababatang kapatid"?
Ang pinakasimpleng pagsasaalang-alang sa algebraic ay nagmumungkahi na para dito kailangan mong hatiin sa pamamagitan ng. Paano hatiin ang isang polynomial sa isang polynomial? Ang parehong paraan ng paaralan na naghahati sa mga ordinaryong numero - isang "haligi"! Tinalakay ko nang detalyado ang pamamaraang ito sa mga unang halimbawa ng aralin. Kumplikadong Limitasyon, at ngayon ay isasaalang-alang natin ang isa pang pamamaraan, na tinatawag pakana ni Horner.
Una, isinulat namin ang "senior" polynomial kasama ang iba
, kabilang ang mga zero coefficient:
, pagkatapos ay ipinasok namin ang mga coefficient na ito (mahigpit na pagkakasunud-sunod) sa tuktok na hilera ng talahanayan:
Sa kaliwa isinulat namin ang ugat:
Agad akong magpapareserba na gagana rin ang scheme ni Horner kung ang "pula" na numero Hindi ay ang ugat ng polynomial. Gayunpaman, huwag nating madaliin ang mga bagay.
Ibinababa namin ang senior coefficient mula sa itaas:
Ang proseso ng pagpuno sa mas mababang mga cell ay medyo nakapagpapaalaala sa pagbuburda, kung saan ang "minus one" ay isang uri ng "karayom" na tumatagos sa mga kasunod na hakbang. I-multiply namin ang "na-demolish" na numero sa (-1) at idinaragdag ang numero mula sa tuktok na cell sa produkto:
Pina-multiply namin ang nahanap na halaga sa "pulang karayom" at idinagdag ang sumusunod na koepisyent ng equation sa produkto:
At, sa wakas, ang resultang halaga ay muling "naproseso" gamit ang isang "karayom" at isang itaas na koepisyent:
Zero sa huling cell ay nagsasabi sa amin na ang polynomial ay nahahati sa walang bakas (gaya ng nararapat), habang ang mga expansion coefficient ay direktang "tinatanggal" mula sa ibabang hilera ng talahanayan:
Kaya, lumipat kami mula sa equation patungo sa isang katumbas na equation, at ang lahat ay malinaw sa dalawang natitirang mga ugat. (sa kasong ito, ang conjugate complex roots ay nakuha).
Ang equation, sa pamamagitan ng paraan, ay maaari ding malutas sa graphically: build "siper" 
at makita na ang graph ay tumatawid sa x-axis ()
sa puntong . O ang parehong "tuso" na lansihin - muli naming isinusulat ang equation sa anyo , gumuhit ng mga elementary graph at nakita ang "x" coordinate ng kanilang intersection point.
Sa pamamagitan ng paraan, ang graph ng anumang polynomial function ng 3rd degree ay tumatawid sa axis ng hindi bababa sa isang beses, na nangangahulugan na ang kaukulang equation ay may kahit na isa wasto ugat. Ang katotohanang ito ay totoo para sa anumang polynomial function ng kakaibang antas.
At dito ko rin nais na huminto sa mahalagang punto tungkol sa terminolohiya: polinomyal At polynomial function – hindi ito pareho! Ngunit sa pagsasagawa, madalas silang nagsasalita, halimbawa, tungkol sa "polynomial graph", na, siyempre, ay pabaya.
Ngunit bumalik tayo sa pakana ni Horner. Tulad ng nabanggit ko kamakailan, ang pamamaraan na ito ay gumagana para sa iba pang mga numero, ngunit kung ang numero Hindi ay ang ugat ng equation, pagkatapos ay lumilitaw ang isang non-zero additive (natitira) sa aming formula:
"I-drive" natin ang "hindi matagumpay" na halaga ayon sa pamamaraan ni Horner. Kasabay nito, maginhawang gamitin ang parehong talahanayan - nagsusulat kami ng isang bagong "karayom" sa kaliwa, sinisira namin ang pinakamataas na koepisyent mula sa itaas (kaliwang berdeng arrow), at umalis na kami: 
Upang suriin, binubuksan namin ang mga bracket at nagbibigay ng mga katulad na termino:
, OK.
Madaling makita na ang natitira (“anim”) ay eksaktong halaga ng polynomial sa . At sa katunayan - ano ito: 
, at mas maganda pa - ganito:
Mula sa mga kalkulasyon sa itaas, madaling maunawaan na ang pamamaraan ni Horner ay nagbibigay-daan hindi lamang sa pagsasaliksik ng polynomial, kundi pati na rin upang magsagawa ng isang "sibilisadong" pagpili ng ugat. Iminumungkahi ko na independyente mong ayusin ang algorithm ng pagkalkula na may maliit na gawain:
Gawain 2
Gamit ang scheme ni Horner, hanapin ang buong ugat ng equation at i-factor ang katumbas na polynomial
Sa madaling salita, dito kailangan mong sunud-sunod na suriin ang mga numero 1, -1, 2, -2, ... - hanggang sa isang zero na natitira ay "iguguhit" sa huling hanay. Nangangahulugan ito na ang "karayom" ng linyang ito ay ang ugat ng polynomial
Ang mga kalkulasyon ay maginhawang nakaayos sa isang talahanayan. Detalyadong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.
Ang paraan ng pagpili ng mga ugat ay mabuti para sa medyo simpleng mga kaso, ngunit kung ang mga coefficient at / o ang antas ng polynomial ay malaki, kung gayon ang proseso ay maaaring maantala. O marahil ilang mga halaga mula sa parehong listahan 1, -1, 2, -2 at walang saysay na isaalang-alang? At, bukod pa, ang mga ugat ay maaaring maging fractional, na hahantong sa isang ganap na hindi pang-agham na suntok.
Sa kabutihang palad, mayroong dalawang makapangyarihang theorems na maaaring makabuluhang bawasan ang enumeration ng mga halaga ng "kandidato" para sa mga makatwirang ugat:
Teorama 1 Isipin mo hindi mababawasan fraction , kung saan . Kung ang numero ay ang ugat ng equation, kung gayon ang libreng termino ay nahahati sa at ang nangungunang koepisyent ay nahahati ng.
Sa partikular, kung ang nangungunang koepisyent ay , kung gayon ang makatwirang ugat na ito ay integer:
At sinimulan nating samantalahin ang teorama mula lamang sa masarap na partikular na ito:
Balik tayo sa equation. Dahil ang nangungunang koepisyent nito ay , kung gayon ang hypothetical na rational na mga ugat ay maaaring eksklusibong integer, at ang libreng termino ay dapat na hinati sa mga ugat na ito nang walang nalalabi. At ang "tatlo" ay mahahati lamang sa 1, -1, 3 at -3. Ibig sabihin, mayroon lamang tayong 4 na "kandidato para sa mga ugat." At, ayon sa Teorama 1, ang ibang mga rational na numero ay hindi maaaring maging ugat ng equation na ito SA PRINSIPYO.
Mayroong kaunti pang "mga aplikante" sa equation: ang libreng termino ay nahahati sa 1, -1, 2, -2, 4 at -4.
Pakitandaan na ang mga numero 1, -1 ay "mga regular" ng listahan ng mga posibleng ugat (isang malinaw na kinahinatnan ng teorama) at ang pinakamahusay na pagpipilian para sa unang inspeksyon.
Lumipat tayo sa mas makabuluhang mga halimbawa:
Gawain 3
Solusyon: dahil ang nangungunang koepisyent , kung gayon ang hypothetical na rational na mga ugat ay maaari lamang maging mga integer, habang dapat silang maging mga divisors ng libreng termino. Ang "Minus forty" ay nahahati sa mga sumusunod na pares ng mga numero:
- kabuuang 16 na "kandidato".
At narito ang isang mapang-akit na pag-iisip ay agad na lumitaw: posible bang alisin ang lahat ng negatibo o lahat ng positibong ugat? Sa ilang mga kaso maaari mo! Gagawa ako ng dalawang palatandaan:
1) Kung Lahat Kung ang mga coefficient ng isang polynomial ay hindi negatibo, hindi ito maaaring magkaroon ng mga positibong ugat. Sa kasamaang palad, hindi ito ang aming kaso (Ngayon, kung bibigyan kami ng isang equation - pagkatapos ay oo, kapag ang pagpapalit ng anumang halaga ng polynomial ay mahigpit na positibo, na nangangahulugan na ang lahat ng mga positibong numero (at hindi makatwiran din) hindi maaaring maging ugat ng equation.
2) Kung ang mga coefficient para sa mga kakaibang kapangyarihan ay hindi negatibo, at para sa lahat ng kahit na kapangyarihan (kabilang ang libreng miyembro) ay negatibo, kung gayon ang polynomial ay hindi maaaring magkaroon ng negatibong mga ugat. Ito ang kaso natin! Kung titingnang mabuti, makikita mo na kapag ang anumang negatibong "x" ay pinalitan sa equation, ang kaliwang bahagi ay magiging mahigpit na negatibo, na nangangahulugang mawawala ang mga negatibong ugat.
Kaya, 8 numero ang natitira para sa pananaliksik:
Patuloy na "sisingilin" ang mga ito ayon sa pamamaraan ng Horner. Umaasa ako na pinagkadalubhasaan mo na ang mga kalkulasyon ng kaisipan: 
Naghihintay sa amin ang suwerte nang subukan ang "deuce". Kaya, ay ang ugat ng equation na isinasaalang-alang, at
Ito ay nananatiling siyasatin ang equation 
. Madaling gawin ito sa pamamagitan ng discriminant, ngunit magsasagawa ako ng exponential test sa parehong paraan. Una, tandaan na ang libreng termino ay katumbas ng 20, na nangangahulugang ayon sa Teorama 1 ang mga numero 8 at 40 ay bumaba sa listahan ng mga posibleng ugat, at ang mga halaga ay nananatili para sa pananaliksik (ang isa ay inalis ayon sa pamamaraan ng Horner).
Isinulat namin ang mga coefficient ng trinomial sa tuktok na hilera ng bagong talahanayan at nagsisimula kaming magsuri gamit ang parehong "dalawa". Bakit? At dahil ang mga ugat ay maaaring multiple, mangyaring: - ang equation na ito ay may 10 magkaparehong ugat. Ngunit huwag tayong lumihis: 
At dito, siyempre, ako ay medyo tuso, alam na ang mga ugat ay makatuwiran. Pagkatapos ng lahat, kung sila ay hindi makatwiran o kumplikado, magkakaroon ako ng hindi matagumpay na pagsusuri sa lahat ng natitirang mga numero. Samakatuwid, sa pagsasagawa, gabayan ng discriminant.
Sagot: makatwirang mga ugat: 2, 4, 5
Sa nasuri na problema, kami ay mapalad, dahil: a) ang mga negatibong halaga ay bumagsak kaagad, at b) nahanap namin ang ugat nang napakabilis (at sa teoryang maaari naming suriin ang buong listahan).
Ngunit sa katotohanan ang sitwasyon ay mas malala. Inaanyayahan ko kayong manood ng isang kapana-panabik na laro na tinatawag na "The Last Hero":
Gawain 4
Maghanap ng mga makatwirang ugat ng isang equation
Solusyon: Sa pamamagitan ng Teorama 1 Ang mga numerator ng hypothetical rational roots ay dapat matugunan ang kondisyon (basahin ang "labindalawa ay nahahati ng ale"), at ang mga denominador sa kundisyon . Batay dito, nakakakuha kami ng dalawang listahan:
"listahan ng el":
at "list em": (sa kabutihang palad, dito ang mga numero ay natural).
Ngayon ay gumawa tayo ng isang listahan ng lahat ng posibleng mga ugat. Una, hinati namin ang "listahan ng ale" sa . Malinaw na ang parehong mga numero ay lalabas. Para sa kaginhawahan, ilagay natin ang mga ito sa isang talahanayan:
Maraming mga fraction ang nabawasan, na nagreresulta sa mga halaga na nasa "listahan ng mga bayani". "Mga bagong dating" lang ang idinadagdag namin: 
Katulad nito, hinahati namin ang parehong "listahan ng ale" sa pamamagitan ng: 
at sa wakas sa
Kaya, ang pangkat ng mga kalahok sa aming laro ay may tauhan ng: 
Sa kasamaang palad, ang polynomial ng problemang ito ay hindi nakakatugon sa "positibo" o "negatibong" criterion, at samakatuwid ay hindi namin maaaring itapon ang itaas o ibabang hilera. Kailangan mong magtrabaho sa lahat ng mga numero.
Kumusta ang iyong kalooban? Halika, itaas ang iyong ilong - mayroong isa pang theorem na maaaring matalinghagang tinatawag na "killer theorem" .... ... "mga kandidato", siyempre =)
Ngunit kailangan mo munang mag-scroll sa diagram ni Horner nang hindi bababa sa isa ang kabuuan numero. Ayon sa kaugalian, kumukuha kami ng isa. Sa itaas na linya isinulat namin ang mga coefficient ng polynomial at lahat ay gaya ng dati:
Dahil ang apat ay malinaw na hindi zero, ang halaga ay hindi ang ugat ng polynomial na pinag-uusapan. Pero malaki ang maitutulong niya sa atin.
Teorama 2 Kung para sa ilan sa pangkalahatan ang halaga ng polynomial ay nonzero: , pagkatapos ang mga makatwirang ugat nito (kung sila ay) masiyahan ang kondisyon
Sa aming kaso at samakatuwid ang lahat ng posibleng mga ugat ay dapat masiyahan ang kondisyon (tawagin natin itong Kondisyon #1). Ang apat na ito ang magiging "killer" ng maraming "kandidato". Bilang isang pagpapakita, titingnan ko ang ilang mga pagsusuri:
Suriin natin ang kandidato. Upang gawin ito, artipisyal naming kinakatawan ito bilang isang fraction , kung saan malinaw na nakikita na . Kalkulahin natin ang pagkakaiba ng tseke: . Ang apat ay hinati ng "minus two": na nangangahulugan na ang posibleng ugat ay nakapasa sa pagsubok.
Suriin natin ang halaga. Dito, ang pagkakaiba sa pagsubok ay: 
. Siyempre, at samakatuwid ang pangalawang "paksa ng pagsubok" ay nananatili rin sa listahan.