Patuloy naming sinusuri ang mga handa na sagot sa teorya ng mga limitasyon at ngayon ay tututuon lamang kami sa kaso kapag ang isang variable sa isang function o isang numero sa isang sequence ay may posibilidad na infinity. Ang mga tagubilin para sa pagkalkula ng limitasyon na may variable na tending to infinity ay ibinigay nang mas maaga, dito ay tatalakayin lamang natin ang mga indibidwal na kaso na hindi halata at simple sa lahat.
Halimbawa 35. Mayroon tayong sequence sa anyo ng isang fraction, kung saan ang numerator at denominator ay root function.
Kailangan nating hanapin ang limitasyon dahil ang bilang ay may posibilidad na infinity.
Dito hindi kinakailangan na ibunyag ang irrationality sa numerator, ngunit maingat lamang na pag-aralan ang mga ugat at hanapin kung saan nakapaloob ang mas mataas na antas ng numero.
Sa una, mayroon kaming mga ugat ng numerator na may isang kadahilanan n ^ 4, iyon ay, ang n ^ 2 ay maaaring alisin sa mga bracket.
Gayon din ang gagawin natin sa denominator.
Susunod, tinatantya namin ang halaga ng mga radikal na expression sa sipi sa limitasyon.
Nakakuha kami ng dibisyon ng zero, na mali sa isang kurso sa paaralan, ngunit sa limitasyon ng paglipat ito ay pinahihintulutan.
Sa pamamagitan lamang ng isang susog, "upang suriin kung saan ang pag-andar."
Samakatuwid, hindi lahat ng guro ay maaaring bigyang-kahulugan ang entry sa itaas bilang tama, bagama't naiintindihan nila na ang resultang limitasyon ay hindi magbabago mula rito.
Tingnan natin ang sagot, pinagsama-sama ayon sa mga kinakailangan ng mga guro ayon sa teorya.
Upang gawing simple, susuriin lamang namin ang mga pangunahing karagdagan sa ilalim ng ugat 
Dagdag pa, ang degree sa numerator ay 2, sa denominator na 2/3, samakatuwid ang numerator ay lumalaki nang mas mabilis, na nangangahulugang ang limitasyon ay may posibilidad na infinity.
Ang tanda nito ay nakasalalay sa mga kadahilanan sa n^2, n^(2/3) , kaya ito ay positibo.
Halimbawa 36. Isaalang-alang natin ang isang halimbawa ng limitasyon sa paghahati ng mga exponential function. Mayroong ilang mga praktikal na halimbawa, kaya hindi lahat ng mga mag-aaral ay madaling makita kung paano ibunyag ang mga kawalang-katiyakan na lumitaw.
Ang maximum na multiplier para sa numerator at denominator ay 8^n , at gawing simple ito 
Susunod, tinatantya namin ang kontribusyon ng bawat termino
Ang mga terminong 3/8 ay napupunta sa zero habang ang variable ay napupunta sa infinity, mula noong 3/8<1
(свойство степенно-показательной функции).
Halimbawa 37. Ang limitasyon ng isang sequence na may mga factorial ay ipinahayag sa pamamagitan ng muling pagsulat ng factorial sa pinakamalaking common factor para sa numerator at denominator.
Susunod, binabawasan namin ito at sinusuri ang limitasyon sa pamamagitan ng halaga ng mga tagapagpahiwatig ng numero sa numerator at denominator.
Sa aming halimbawa, ang denominator ay lumalaki nang mas mabilis, kaya ang limitasyon ay zero. 
Ang sumusunod ay ginagamit dito
factorial na ari-arian.
Halimbawa 38. Nang hindi inilalapat ang panuntunan ng L'Hopital, inihahambing namin ang pinakamataas na halaga ng variable sa numerator at denominator ng isang fraction.
Dahil ang denominator ay naglalaman ng pinakamataas na index ng variable na 4>2, kung gayon mas mabilis itong lumaki.
Mula dito napagpasyahan namin na ang limitasyon ng function ay may posibilidad na zero.
Halimbawa 39. Ibinubunyag namin ang isang katangian ng anyong infinity na hinati sa infinity sa pamamagitan ng pagkuha ng x ^ 4 mula sa numerator at denominator ng fraction.
Bilang resulta ng pagpasa sa limitasyon, nakakakuha tayo ng infinity.
Halimbawa 40
Ang pinakamataas na antas ng variable sa numerator at denominator ay 3, na nangangahulugan na ang hangganan ay umiiral at katumbas ng bakal.
Inalis namin ang x^3 at isagawa ang pagpasa sa limitasyon
Halimbawa 41. Mayroon tayong singularity ng uri ng isa sa kapangyarihan ng infinity.
At nangangahulugan ito na ang expression sa mga bracket at ang tagapagpahiwatig mismo ay dapat na bawasan sa pangalawang mahalagang hangganan.
Isulat natin ang numerator upang i-highlight dito ang isang expression na kapareho ng denominator.
Susunod, pumasa kami sa isang expression na naglalaman ng isang yunit kasama ang isang termino.
Sa antas, kailangan mong piliin ang multiplier 1 / (term).
Kaya, nakukuha namin ang exponent sa kapangyarihan ng limitasyon ng isang fractional function. 
Upang ipakita ang singularity, ginamit ang pangalawang limitasyon: 
Halimbawa 42. Mayroon tayong singularity ng type one sa kapangyarihan ng infinity.
Upang ipakita ito, ang function ay dapat na bawasan sa pangalawang kapansin-pansin na limitasyon.
Kung paano ito gagawin ay ipinapakita nang detalyado sa formula sa ibaba. 
Makakahanap ka ng maraming katulad na problema. Ang kanilang kakanyahan ay upang makuha ang nais na antas sa tagapagpahiwatig, at ito ay katumbas ng kapalit ng termino sa mga bracket sa mga yunit.
Sa ganitong paraan nakukuha natin ang exponent. Ang karagdagang pagkalkula ay binabawasan sa pagkalkula ng limitasyon ng antas ng exponent.
Dito ang exponential function ay may posibilidad na infinity dahil ang value ay mas malaki sa isang e=2.72>1.
Halimbawa 43 Sa denominator ng isang fraction, mayroon tayong kawalan ng katiyakan ng uri ng infinity minus infinity, na aktwal na katumbas ng dibisyon ng zero.
Upang mapupuksa ang ugat, i-multiply namin ang conjugate expression, at pagkatapos, gamit ang pagkakaiba ng formula ng mga parisukat, muling isinulat namin ang denominator.
Nakukuha namin ang kawalan ng katiyakan ng infinity na hinati sa infinity, kaya tinatanggal namin ang variable sa pinakamaraming lawak at binabawasan ito nito.
Susunod, tinatantya namin ang kontribusyon ng bawat termino at hanapin ang limitasyon ng function sa infinity 
Ang teorya ng mga limitasyon ay isa sa mga sangay ng mathematical analysis. Ang tanong ng paglutas ng mga limitasyon ay medyo malawak, dahil mayroong dose-dosenang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga limitasyon ng iba't ibang uri. Mayroong dose-dosenang mga nuances at trick na nagbibigay-daan sa iyo upang malutas ang isa o isa pang limitasyon. Gayunpaman, susubukan pa rin naming maunawaan ang mga pangunahing uri ng mga limitasyon na madalas na nakatagpo sa pagsasanay.
Magsimula tayo sa mismong konsepto ng limitasyon. Ngunit una, isang maikling makasaysayang background. Noong unang panahon mayroong isang Pranses na si Augustin Louis Cauchy noong ika-19 na siglo, na nagbigay ng mahigpit na mga kahulugan sa maraming mga konsepto ng matan at inilatag ang mga pundasyon nito. Dapat kong sabihin na ang iginagalang na mathematician na ito ay nanaginip, nanaginip at mangangarap sa mga bangungot ng lahat ng mga mag-aaral ng physics at mathematics faculties, dahil pinatunayan niya ang isang malaking bilang ng mga theorems ng mathematical analysis, at ang isang theorem ay mas mamamatay kaysa sa isa. Para sa kadahilanang ito, hindi namin isasaalang-alang pagpapasiya ng limitasyon ng Cauchy, ngunit subukan nating gawin ang dalawang bagay:
1. Unawain kung ano ang limitasyon.
2. Matutong lutasin ang mga pangunahing uri ng mga limitasyon.
Humihingi ako ng paumanhin para sa ilang mga hindi siyentipikong paliwanag, mahalaga na ang materyal ay naiintindihan kahit sa isang tsarera, na, sa katunayan, ay ang gawain ng proyekto.
Kaya ano ang limitasyon?
At agad-agad ang isang halimbawa ng kung bakit sa shag iyong lola ....
Ang anumang limitasyon ay binubuo ng tatlong bahagi:
1) Ang kilalang icon ng limitasyon.
2) Mga entry sa ilalim ng icon ng limitasyon, sa kasong ito . May nakasulat na "x tends to unity." Kadalasan - eksakto, bagaman sa halip na "x" sa pagsasanay ay may iba pang mga variable. Sa mga praktikal na gawain, sa halip ng isang yunit, maaaring mayroong ganap na anumang numero, pati na rin ang infinity ().
3) Mga function sa ilalim ng limit sign, sa kasong ito .
Ang rekord mismo 
ganito ang mababasa: "ang limitasyon ng function kapag ang x ay may kaugaliang pagkakaisa."
Suriin natin ang susunod na mahalagang tanong - ano ang ibig sabihin ng expression na "x naghahanap sa pagkakaisa? At ano ang "pagsusumikap" pa rin?
Ang konsepto ng limitasyon ay isang konsepto, kumbaga, pabago-bago. Bumuo tayo ng isang pagkakasunod-sunod: una , pagkatapos , , …, 
, ….
Iyon ay, ang expression na "x naghahanap sa isa" ay dapat na maunawaan bilang mga sumusunod - "x" ay patuloy na kumukuha ng mga halaga na walang katapusan na malapit sa pagkakaisa at halos kasabay nito.
Paano malutas ang halimbawa sa itaas? Batay sa itaas, kailangan mo lamang palitan ang yunit sa function sa ilalim ng limit sign:
Kaya ang unang panuntunan ay: Kapag binigyan ng anumang limitasyon, subukan lang munang isaksak ang numero sa function.
Isinasaalang-alang namin ang pinakasimpleng limitasyon, ngunit ang mga ganoon ay matatagpuan din sa pagsasanay, at hindi bihira!
Halimbawa ng Infinity:
Pag-unawa kung ano ito? Ito ang kaso kapag tumataas ito nang walang katiyakan, iyon ay: una, pagkatapos, pagkatapos, pagkatapos, at iba pa ad infinitum.
At ano ang mangyayari sa function sa oras na ito?
, , 
, …
Kaya: kung , kung gayon ang function ay may posibilidad na minus infinity:
Sa halos pagsasalita, ayon sa aming unang panuntunan, pinapalitan namin ang infinity sa function sa halip na "x" at makuha ang sagot .
Isa pang halimbawa na may infinity:
Muli, nagsisimula kaming tumaas sa infinity at tingnan ang pag-uugali ng function: 
Konklusyon: para sa , ang pag-andar ay tumataas nang walang katiyakan:
At isa pang serye ng mga halimbawa:
Pakisubukang pag-aralan ang mga sumusunod para sa iyong sarili at tandaan ang pinakasimpleng uri ng mga limitasyon:
, , , , 
, , , , 
,
Kung mayroong anumang pagdududa sa isang lugar, maaari kang pumili ng isang calculator at magsanay ng kaunti.
Kung sakaling , subukang buuin ang sequence , , . Kung , kung gayon , , .
! Tandaan: mahigpit na pagsasalita, ang gayong diskarte sa pagbuo ng mga pagkakasunud-sunod ng ilang mga numero ay hindi tama, ngunit ito ay lubos na angkop para sa pag-unawa sa pinakasimpleng mga halimbawa.
Bigyang-pansin din ang sumusunod na bagay. Kahit na ang isang limitasyon ay ibinigay na may malaking numero sa itaas, o hindi bababa sa isang milyon: , pagkatapos ay pareho 
, dahil maaga o huli ang "x" ay magsisimulang kumuha ng napakalaking halaga na ang isang milyon kumpara sa kanila ay magiging isang tunay na mikrobyo.
Ano ang dapat tandaan at unawain mula sa itaas?
1) Kapag binigyan ng anumang limitasyon, susubukan lang muna naming palitan ang isang numero sa function.
2) Dapat mong maunawaan at agad na lutasin ang pinakasimpleng mga limitasyon, tulad ng 
, , atbp.
Bukod dito, ang limitasyon ay may napakagandang geometric na kahulugan. Para sa isang mas mahusay na pag-unawa sa paksa, inirerekumenda ko na pamilyar ka sa metodolohikal na materyal Mga graph at katangian ng elementarya na pag-andar. Matapos basahin ang artikulong ito, hindi mo lamang mauunawaan sa wakas kung ano ang limitasyon, ngunit makikilala mo rin ang mga kagiliw-giliw na mga kaso kapag ang limitasyon ng isang function ay karaniwang ay wala!
Sa pagsasagawa, sa kasamaang-palad, kakaunti ang mga regalo. At kaya bumaling tayo sa pagsasaalang-alang ng mas kumplikadong mga limitasyon. Sa pamamagitan ng paraan, sa paksang ito ay mayroon masinsinang kurso sa pdf format, na kung saan ay lalong kapaki-pakinabang kung mayroon kang napakakaunting oras upang maghanda. Ngunit ang mga materyales ng site, siyempre, ay hindi mas masahol pa:
Ngayon ay isasaalang-alang natin ang pangkat ng mga limitasyon, kapag , at ang function ay isang fraction, sa numerator at denominator na kung saan ay polynomials
Halimbawa:
Kalkulahin ang Limitasyon 
Ayon sa aming panuntunan, susubukan naming palitan ang infinity sa isang function. Ano ang makukuha natin sa tuktok? Infinity. At ano ang nangyayari sa ibaba? Pati infinity. Kaya, mayroon tayong tinatawag na indeterminacy of the form. Maaaring isipin ng isa na , at ang sagot ay handa na, ngunit sa pangkalahatang kaso hindi ito ang kaso, at ang ilang solusyon ay dapat ilapat, na isasaalang-alang natin ngayon.
Paano malutas ang mga limitasyon ng ganitong uri?
Una, tingnan natin ang numerator at hanapin ang pinakamataas na kapangyarihan: 
Ang pinakamataas na kapangyarihan sa numerator ay dalawa.
Ngayon ay tinitingnan natin ang denominator at hanapin din ang pinakamataas na antas: 
Ang pinakamataas na kapangyarihan ng denominator ay dalawa.
Pagkatapos ay pipiliin natin ang pinakamataas na kapangyarihan ng numerator at denominator: sa halimbawang ito, pareho sila at katumbas ng dalawa.
Kaya, ang paraan ng solusyon ay ang mga sumusunod: upang maihayag ang kawalan ng katiyakan, kinakailangan na hatiin ang numerator at denominator sa pinakamataas na antas.
Narito ito, ang sagot, at hindi infinity sa lahat.
Ano ang mahalaga sa paggawa ng desisyon?
Una, ipinapahiwatig namin ang kawalan ng katiyakan, kung mayroon man.
Pangalawa, ito ay kanais-nais na matakpan ang solusyon para sa mga intermediate na paliwanag. Karaniwan kong ginagamit ang tanda, hindi ito nagdadala ng anumang kahulugan sa matematika, ngunit nangangahulugan na ang solusyon ay nagambala para sa isang intermediate na paliwanag.
Pangatlo, sa limitasyon ito ay kanais-nais na markahan kung ano at kung saan ito ay may gawi. Kapag ang gawain ay iginuhit sa pamamagitan ng kamay, mas maginhawang gawin ito tulad nito: 
Para sa mga tala, mas mainam na gumamit ng isang simpleng lapis.
Siyempre, wala kang magagawa dito, ngunit pagkatapos, marahil, mapapansin ng guro ang mga pagkukulang sa solusyon o magsimulang magtanong ng mga karagdagang katanungan sa takdang-aralin. At kailangan mo ba ito?
Halimbawa 2
Hanapin ang limitasyon 
Muli sa numerator at denominator ay makikita natin sa pinakamataas na antas: 
Pinakamataas na degree sa numerator: 3
Pinakamataas na antas sa denominator: 4
Pumili pinakadakila halaga, sa kasong ito apat.
Ayon sa aming algorithm, upang ipakita ang kawalan ng katiyakan, hinahati namin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng .
Maaaring ganito ang hitsura ng isang kumpletong takdang-aralin:
Hatiin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng
Halimbawa 3
Hanapin ang limitasyon 
Ang pinakamataas na antas ng "x" sa numerator: 2
Ang pinakamataas na kapangyarihan ng "x" sa denominator: 1 (maaaring isulat bilang)
Upang ipakita ang kawalan ng katiyakan, kinakailangang hatiin ang numerator at denominator sa . Ang isang malinis na solusyon ay maaaring magmukhang ganito:
Hatiin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng
Ang rekord ay hindi nangangahulugang paghahati sa zero (imposibleng hatiin sa zero), ngunit paghahati sa isang walang katapusang maliit na bilang.
Kaya, kapag isiwalat ang kawalan ng katiyakan ng form, maaari naming makuha may hangganang bilang, zero o infinity.
Mga limitasyon sa uri ng kawalan ng katiyakan at isang paraan para sa kanilang solusyon
Ang susunod na pangkat ng mga limitasyon ay medyo katulad ng mga limitasyon na isinasaalang-alang lamang: may mga polynomial sa numerator at denominator, ngunit ang "x" ay hindi na may posibilidad na infinity, ngunit sa huling numero.
Halimbawa 4
Lutasin ang limitasyon 
Una, subukan nating palitan ang -1 sa isang fraction: 
Sa kasong ito, ang tinatawag na kawalan ng katiyakan ay nakuha.
Pangkalahatang tuntunin: kung mayroong mga polynomial sa numerator at denominator, at mayroong kawalan ng katiyakan sa anyo , kung gayon para sa pagsisiwalat nito i-factor ang numerator at denominator.
Upang gawin ito, kadalasan kailangan mong lutasin ang isang quadratic equation at (o) gumamit ng mga pinaikling formula ng multiplikasyon. Kung ang mga bagay na ito ay nakalimutan, pagkatapos ay bisitahin ang pahina Mga formula at talahanayan ng matematika at maging pamilyar sa metodolohikal na materyal Mga Formula sa Hot School Mathematics. Sa pamamagitan ng paraan, ito ay pinakamahusay na i-print ito, ito ay kinakailangan nang madalas, at ang impormasyon mula sa papel ay mas mahusay na hinihigop.
Kaya lutasin natin ang ating limitasyon 
Factoring ang numerator at denominator
Upang ma-factorize ang numerator, kailangan mong lutasin ang quadratic equation: 
Una ay nakita natin ang discriminant:
At ang square root nito: .
Kung malaki ang discriminant, halimbawa 361, gumagamit kami ng calculator, ang square root function ay nasa pinakasimpleng calculator.
! Kung ang ugat ay hindi na-extract nang buo (isang fractional na numero na may kuwit ang nakuha), malamang na mali ang pagkalkula ng discriminant o may typo sa gawain.
Susunod, nakita namin ang mga ugat: 
kaya:
Lahat. Naka-factor ang numerator.
Denominator. Ang denominator ay ang pinakasimpleng kadahilanan, at walang paraan upang pasimplehin ito.
Malinaw, maaari itong paikliin sa:
Ngayon pinapalitan namin ang -1 sa expression na nananatili sa ilalim ng limit sign:
Naturally, sa isang pagsubok, sa isang pagsubok, isang pagsusulit, ang solusyon ay hindi kailanman pininturahan sa ganoong detalye. Sa huling bersyon, ang disenyo ay dapat magmukhang ganito:
I-factorize natin ang numerator. 
Halimbawa 5
Kalkulahin ang Limitasyon 
Una, isang "malinis" na solusyon
I-factorize natin ang numerator at denominator.
Numerator:
Denominator: 
, 
Ano ang mahalaga sa halimbawang ito?
Una, dapat mong maunawaan nang mabuti kung paano ipinahayag ang numerator, una naming nilagyan ng bracket ang 2, at pagkatapos ay ginamit ang pagkakaiba ng formula ng mga parisukat. Ito ang formula na kailangan mong malaman at makita.
Rekomendasyon: Kung sa limitasyon (ng halos anumang uri) posible na kunin ang isang numero mula sa bracket, pagkatapos ay palagi naming ginagawa ito.
Bukod dito, ipinapayong kunin ang mga naturang numero na lampas sa limit sign. Para saan? Para lang hindi sila makasagabal. Ang pangunahing bagay ay hindi mawala ang mga numerong ito sa kurso ng desisyon.
Pakitandaan na sa huling yugto ng solusyon, kumuha ako ng deuce para sa icon ng limitasyon, at pagkatapos ay isang minus.
! Mahalaga
Sa kurso ng solusyon, madalas na nangyayari ang isang uri ng fragment. Bawasan ang fraction na itoito ay ipinagbabawal
. Una kailangan mong baguhin ang sign ng numerator o denominator (ilagay ang -1 sa mga bracket).
, iyon ay, lumilitaw ang isang minus sign, na isinasaalang-alang kapag kinakalkula ang limitasyon at hindi na kailangang mawala ito.
Sa pangkalahatan, napansin ko na kadalasan sa paghahanap ng mga limitasyon ng ganitong uri ay kinakailangan upang malutas ang dalawang quadratic equation, iyon ay, kapwa sa numerator at sa denominator ay may mga square trinomials.
Ang paraan ng pagpaparami ng numerator at denominator sa magkadugtong na expression
Patuloy naming isinasaalang-alang ang kawalan ng katiyakan ng form
Ang susunod na uri ng mga limitasyon ay katulad ng naunang uri. Ang tanging bagay, bilang karagdagan sa mga polynomial, magdaragdag kami ng mga ugat.
Halimbawa 6
Hanapin ang limitasyon 
Magsisimula kaming magdesisyon.
Una, sinusubukan naming palitan ang 3 sa expression sa ilalim ng limit sign
Muli kong inuulit - ito ang unang bagay na dapat gawin para sa ANUMANG limitasyon. Ang aksyon na ito ay karaniwang isinasagawa sa isip o sa isang draft.
Ang isang kawalan ng katiyakan ng form , na kailangang alisin, ay nakuha. 
Tulad ng napansin mo, mayroon tayong pagkakaiba ng mga ugat sa numerator. At kaugalian na alisin ang mga ugat sa matematika, kung maaari. Para saan? At mas madali ang buhay kung wala sila.
Ang kawalan ng katiyakan sa uri at anyo ay ang mga pinakakaraniwang kawalan ng katiyakan na kailangang tugunan kapag nilulutas ang mga limitasyon.
Karamihan sa mga gawain sa mga limitasyon na dumarating sa mga mag-aaral ay nagdadala lamang ng mga kawalan ng katiyakan. Upang ipakita ang mga ito, o, mas tiyak, maiwasan ang mga kalabuan, mayroong ilang mga artipisyal na pamamaraan para sa pagbabago ng anyo ng isang expression sa ilalim ng sign ng limitasyon. Ang mga pamamaraan na ito ay ang mga sumusunod: term-by-term division ng numerator at denominator sa pamamagitan ng pinakamataas na kapangyarihan ng variable, multiplication sa conjugate expression at factorization para sa kasunod na pagbabawas gamit ang mga solusyon ng quadratic equation at abbreviated multiplication formula.
Kawalang-katiyakan ng mga species
Halimbawa 1
n ay katumbas ng 2. Samakatuwid, hinahati natin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng termino sa pamamagitan ng:
.
Magkomento sa kanang bahagi ng ekspresyon. Ang mga arrow at numero ay nagpapahiwatig kung ano ang posibilidad ng mga fraction pagkatapos ng pagpapalit sa halip na n mga halaga ng infinity. Dito, tulad ng sa halimbawa 2, ang degree n mayroong higit sa denominator kaysa sa numerator, bilang isang resulta kung saan ang buong fraction ay may posibilidad na isang infinitesimal na halaga o "sobrang maliit na numero".
Nakukuha namin ang sagot: ang limitasyon ng function na ito na may variable na tending to infinity ay .
Halimbawa 2 .
Solusyon. Dito ang pinakamataas na kapangyarihan ng variable x ay katumbas ng 1. Samakatuwid, hinahati natin ang numerator at denominator term sa pamamagitan ng term sa x:
.
Komentaryo sa kurso ng solusyon. Sa numerator, hinihimok namin ang "x" sa ilalim ng ugat ng ikatlong antas, at upang ang paunang antas nito (1) ay mananatiling hindi nagbabago, itinalaga namin ito sa parehong antas ng ugat, iyon ay, 3. Walang mga arrow at karagdagang mga numero sa entry na ito, kaya subukan sa isip, ngunit sa pamamagitan ng pagkakatulad sa nakaraang halimbawa, alamin kung ano ang posibilidad ng mga expression sa numerator at denominator pagkatapos palitan ang infinity para sa "x".
Nakuha namin ang sagot: ang limitasyon ng function na ito na may variable na tending to infinity ay katumbas ng zero.
Kawalang-katiyakan ng mga species
Halimbawa 3 Tuklasin ang kawalan ng katiyakan at hanapin ang limitasyon.
Solusyon. Ang numerator ay ang pagkakaiba ng mga cube. I-factorize natin ito gamit ang pinaikling pormula ng multiplikasyon mula sa kursong matematika ng paaralan:
Ang denominator ay isang parisukat na trinomial, na ating isinasaliksik sa pamamagitan ng paglutas ng isang parisukat na equation (muli ay isang sanggunian sa paglutas ng mga quadratic equation):
Isulat natin ang expression na nakuha bilang resulta ng mga pagbabagong-anyo at hanapin ang limitasyon ng function:
Halimbawa 4 Tuklasin ang kawalan ng katiyakan at hanapin ang limitasyon
Solusyon. Ang quotient limit theorem ay hindi nalalapat dito, dahil
Samakatuwid, binabago natin ang fraction nang magkapareho: sa pamamagitan ng pagpaparami ng numerator at denominator sa binomial conjugate sa denominator, at bawasan ng x+1. Ayon sa corollary ng Theorem 1, nakakakuha kami ng isang expression, paglutas kung saan nakita namin ang nais na limitasyon:
Halimbawa 5 Tuklasin ang kawalan ng katiyakan at hanapin ang limitasyon
Solusyon. Direktang pagpapalit ng halaga x= 0 sa isang naibigay na function ay humahantong sa isang indeterminacy ng form na 0/0. Upang maihayag ito, nagsasagawa kami ng magkaparehong mga pagbabagong-anyo at, bilang resulta, nakukuha namin ang ninanais na limitasyon: 
Halimbawa 6 Kalkulahin 
Solusyon: gamitin ang limit theorems
Sagot: 11
Halimbawa 7 Kalkulahin 
Solusyon: sa halimbawang ito, ang mga limitasyon ng numerator at denominator sa ay 0:
; 
. Nakuha namin, samakatuwid, ang quotient limit theorem ay hindi mailalapat.
Isinasaalang-alang namin ang numerator at denominator upang bawasan ang fraction sa pamamagitan ng isang karaniwang salik na nagiging zero at, samakatuwid, ginagawang posible na ilapat ang Theorem 3.
Pinapalawak namin ang square trinomial sa numerator sa pamamagitan ng formula, kung saan ang x 1 at x 2 ay ang mga ugat ng trinomial. Factoring at denominator, bawasan ang fraction ng (x-2), pagkatapos ay ilapat ang Theorem 3.
Sagot:
Halimbawa 8 Kalkulahin
Solusyon: Para sa , ang numerator at denominator ay may posibilidad na infinity, kaya kapag direktang inilalapat ang Theorem 3, nakukuha natin ang expression , na kumakatawan sa kawalan ng katiyakan. Upang maalis ang ganitong uri ng kawalan ng katiyakan, hatiin ang numerator at denominator sa pinakamataas na kapangyarihan ng argumento. Sa halimbawang ito, kailangan mong hatiin sa pamamagitan ng X:
Sagot:
Halimbawa 9 Kalkulahin 
Solusyon: x 3:
Sagot: 2
Halimbawa 10 Kalkulahin 
Solusyon: Ang numerator at denominator ay may posibilidad na infinity. Hinahati namin ang numerator at denominator sa pinakamataas na kapangyarihan ng argumento, i.e. x 5:
= 
Ang numerator ng isang fraction ay may posibilidad na 1, ang denominator sa 0, kaya ang fraction ay may posibilidad na infinity.
Sagot:
Halimbawa 11. Kalkulahin
Solusyon: Ang numerator at denominator ay may posibilidad na infinity. Hinahati namin ang numerator at denominator sa pinakamataas na kapangyarihan ng argumento, i.e. x 7:
Sagot: 0
Derivative.
Ang derivative ng function na y = f(x) na may kinalaman sa argumentong x ang limitasyon ng ratio ng pagdaragdag nito y sa pagtaas ng x ng argumentong x ay tinatawag kapag ang pagtaas ng argumento ay may posibilidad na zero: . Kung ang limitasyon na ito ay may hangganan, pagkatapos ay ang function y = f(x) ay tinatawag na differentiable sa puntong x. Kung ang limitasyon na ito ay umiiral, pagkatapos ay sinasabi namin na ang function y = f(x) ay may walang katapusang derivative sa x.
Mga derivative ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya:
1. (const)=0 9. 
3. 11. 
4. 
12. 
5. 13. 
6. 
14. 
Mga panuntunan sa pagkakaiba-iba:
a) 
V) 
Halimbawa 1 Hanapin ang derivative ng isang function 
Solusyon: Kung nakita natin ang derivative ng pangalawang termino sa pamamagitan ng panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang fraction, kung gayon ang unang termino ay isang kumplikadong function, ang derivative nito ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
, Saan 
, Pagkatapos
Sa paglutas, ginamit ang mga sumusunod na formula: 1,2,10, a, c, d.
Sagot:
Halimbawa 21. Hanapin ang derivative ng isang function 
Solusyon: parehong mga termino ay kumplikadong mga function, kung saan para sa una , , at para sa pangalawa , , pagkatapos
Sagot: 
Mga derivative na aplikasyon.
1. Bilis at acceleration
Hayaang ilarawan ng function na s(t). posisyon bagay sa ilang coordinate system sa oras t. Pagkatapos ang unang derivative ng function na s(t) ay instantaneous bilis bagay:
v=s′=f′(t)
Ang pangalawang derivative ng function na s(t) ay ang instantaneous acceleration bagay:
w=v′=s′′=f′′(t)
2. Tangent equation
y−y0=f′(x0)(x−x0),
kung saan ang (x0,y0) ay ang mga coordinate ng touch point, ang f′(x0) ay ang halaga ng derivative ng function na f(x) sa touch point.
3. Normal na Equation
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),
kung saan ang (x0,y0) ay ang mga coordinate ng punto kung saan iginuhit ang normal, ang f′(x0) ay ang halaga ng derivative ng function na f(x) sa ibinigay na punto.
4. Pag-andar na Pataas at Bumababa
Kung f′(x0)>0, ang function ay tataas sa puntong x0. Sa figure sa ibaba, ang function ay tumataas sa x
Kung f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1
5. Lokal na extrema ng function
Ang function na f(x) ay may lokal na maximum sa isang puntong x1 kung mayroong isang kapitbahayan ng puntong x1 na para sa lahat ng x mula sa kapitbahayan na ito ay mayroong hindi pagkakapantay-pantay na f(x1)≥f(x).
Katulad nito, mayroon ang function na f(x). lokal na minimum sa isang puntong x2 kung mayroong isang kapitbahayan ng puntong x2 na para sa lahat ng x mula sa kapitbahayan na ito ay mayroong hindi pagkakapantay-pantay na f(x2)≤f(x).
6. Mga kritikal na puntos
Ang puntong x0 ay kritikal na punto function na f(x) kung ang derivative f′(x0) dito ay katumbas ng zero o wala.
7. Ang unang sapat na tanda ng pagkakaroon ng isang extremum
Kung ang function na f(x) ay tumataas (f′(x)>0) para sa lahat ng x sa ilang pagitan (a,x1] at bumababa (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) para sa lahat ng x mula sa pagitan )