Ito ay ipinapakita na ang integral ng produkto ng power functions ng sin x at cos x ay maaaring bawasan sa integral ng isang differential binomial. Para sa mga integer na halaga ng mga exponent, ang mga naturang integral ay madaling kalkulahin ng mga bahagi o gamit ang mga formula ng pagbabawas. Ang derivation ng mga formula ng pagbabawas ay ibinigay. Ang isang halimbawa ng pagkalkula ng naturang integral ay ibinigay.
NilalamanTingnan din:
Talaan ng mga hindi tiyak na integral
Pagbawas sa integral ng isang differential binomial
Isaalang-alang natin ang mga integral ng form:
Ang ganitong mga integral ay binabawasan sa integral ng differential binomial ng isa sa mga pamalit na t = kasalanan x o t = kasi x.
Ipakita natin ito sa pamamagitan ng pagsasagawa ng pagpapalit
t = kasalanan x.
Pagkatapos
dt = (sin x)′ dx = cos x dx;
cos 2 x = 1 - sin 2 x = 1 - t 2;
Kung ang m at n ay mga rational na numero, dapat gamitin ang differential binomial integration na pamamaraan.
Pagsasama sa mga integer na m at n
Susunod, isaalang-alang ang kaso kapag ang m at n ay mga integer (hindi kinakailangang positibo). Sa kasong ito, ang integrand ay isang rational function ng kasalanan x At kasi x. Samakatuwid, maaari mong ilapat ang mga patakaran na ipinakita sa seksyong "Pagsasama-sama ng mga trigonometric rational function".
Gayunpaman, isinasaalang-alang ang mga partikular na tampok, mas madaling gamitin ang mga formula ng pagbabawas, na madaling makuha sa pamamagitan ng pagsasama ng mga bahagi.
Mga formula ng pagbabawas
Mga formula ng pagbabawas para sa integral
magkaroon ng form:
;
;
;
.
Hindi na kailangang kabisaduhin ang mga ito, dahil madaling makuha ang mga ito sa pamamagitan ng pagsasama ng mga bahagi.
Mga pormula ng patunay ng pagbabawas
Pagsamahin natin ayon sa mga bahagi.
Ang pagpaparami ng m + n, nakukuha natin ang unang formula:
Nakukuha rin namin ang pangalawang formula.
Pagsamahin natin ayon sa mga bahagi.
Ang pagpaparami ng m + n, nakukuha natin ang pangalawang formula:
Pangatlong formula.
Pagsamahin natin ayon sa mga bahagi.
Pagpaparami ng n + 1
, nakukuha namin ang ikatlong formula:
Katulad nito, para sa ikaapat na formula.
Pagsamahin natin ayon sa mga bahagi.
Pagpaparami ng m + 1
, nakukuha namin ang ikaapat na formula:
Halimbawa
Kalkulahin natin ang integral:
Ibahin natin:
Dito m = 10, n = - 4.
Inilapat namin ang formula ng pagbabawas:
Kapag m = 10, n = - 4:
Kapag m = 8, n = - 2:
Inilapat namin ang formula ng pagbabawas:
Kapag m = 6, n = - 0:
Kapag m = 4, n = - 0:
Kapag m = 2, n = - 0:
Kinakalkula namin ang natitirang integral:
Kinokolekta namin ang mga intermediate na resulta sa isang formula.
Mga sanggunian:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Koleksyon ng mga problema sa mas mataas na matematika, "Lan", 2003.
Sa pahinang ito makikita mo ang:
1. Sa totoo lang, ang talahanayan ng mga antiderivatives - maaari itong i-download sa format na PDF at i-print;
2. Video kung paano gamitin ang talahanayang ito;
3. Isang grupo ng mga halimbawa ng pagkalkula ng antiderivative mula sa iba't ibang mga aklat-aralin at pagsusulit.
Sa mismong video, susuriin namin ang maraming mga problema kung saan kailangan mong kalkulahin ang mga antiderivatives ng mga pag-andar, kadalasang medyo kumplikado, ngunit ang pinakamahalaga, hindi sila mga function ng kapangyarihan. Ang lahat ng mga function na nakabuod sa talahanayan na iminungkahi sa itaas ay dapat na kilala sa puso, tulad ng mga derivatives. Kung wala ang mga ito, ang karagdagang pag-aaral ng mga integral at ang kanilang aplikasyon upang malutas ang mga praktikal na problema ay imposible.
Ngayon ay patuloy kaming nag-aaral ng mga primitive at lumipat sa isang bahagyang mas kumplikadong paksa. Kung noong huling pagkakataon ay tumingin lamang tayo sa mga antiderivative ng mga function ng kapangyarihan at bahagyang mas kumplikadong mga konstruksyon, ngayon ay titingnan natin ang trigonometrya at marami pang iba.
Tulad ng sinabi ko sa huling aralin, ang mga antiderivatives, hindi katulad ng mga derivatives, ay hindi kailanman malulutas "kaagad" gamit ang anumang karaniwang mga patakaran. Bukod dito, ang masamang balita ay, hindi katulad ng hinalaw, ang antiderivative ay maaaring hindi maisaalang-alang sa lahat. Kung sumulat tayo ng isang ganap na random na pag-andar at subukang hanapin ang hinango nito, pagkatapos ay may napakataas na posibilidad na magtatagumpay tayo, ngunit ang antiderivative ay halos hindi kailanman makalkula sa kasong ito. Ngunit may magandang balita: mayroong isang medyo malaking klase ng mga pag-andar na tinatawag na elementarya na mga pag-andar, ang mga antiderivative na kung saan ay napakadaling kalkulahin. At ang lahat ng iba pang mas kumplikadong istruktura na ibinibigay sa lahat ng uri ng pagsusulit, independiyenteng mga pagsusulit at pagsusulit, sa katunayan, ay binubuo ng mga elementary function na ito sa pamamagitan ng pagdaragdag, pagbabawas at iba pang mga simpleng aksyon. Ang mga prototype ng naturang mga pag-andar ay matagal nang kinakalkula at pinagsama sa mga espesyal na talahanayan. Ang mga pag-andar at talahanayan na ito ang gagawin namin ngayon.
Ngunit magsisimula tayo, gaya ng dati, sa isang pag-uulit: tandaan natin kung ano ang isang antiderivative, kung bakit walang hanggan ang marami sa kanila, at kung paano matukoy ang kanilang pangkalahatang hitsura. Upang gawin ito, kinuha ko ang dalawang simpleng problema.
Paglutas ng mga madaling halimbawa
Halimbawa #1
Agad nating tandaan na ang $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ at sa pangkalahatan ang presensya ng $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ ay agad na nagpapahiwatig sa amin na ang kinakailangang antiderivative ng function ay nauugnay sa trigonometry. At, sa katunayan, kung titingnan natin ang talahanayan, makikita natin na ang $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ ay hindi hihigit sa $\text(arctg)x$. Kaya't isulat natin ito:
Upang mahanap, kailangan mong isulat ang mga sumusunod:
\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]
\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]
Halimbawa Blg. 2
Pinag-uusapan din natin ang tungkol sa mga trigonometrikong pag-andar dito. Kung titingnan natin ang talahanayan, kung gayon, sa katunayan, ito ang mangyayari:
Kailangan nating hanapin sa buong hanay ng mga antiderivative ang isa na dumadaan sa ipinahiwatig na punto:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]
Sa wakas ay isulat natin ito:
Ganun kasimple. Ang tanging problema ay upang makalkula ang mga antiderivatives ng mga simpleng function, kailangan mong matuto ng talahanayan ng mga antiderivatives. Gayunpaman, pagkatapos pag-aralan ang derivative table para sa iyo, sa tingin ko hindi ito magiging problema.
Paglutas ng mga problemang naglalaman ng exponential function
Upang magsimula, isulat natin ang mga sumusunod na formula:
\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]
Tingnan natin kung paano gumagana ang lahat sa pagsasanay.
Halimbawa #1
Kung titingnan natin ang mga nilalaman ng mga bracket, mapapansin natin na sa talahanayan ng mga antiderivatives ay walang ganoong expression para sa $((e)^(x))$ na nasa isang parisukat, kaya ang parisukat na ito ay dapat na palawakin. Upang gawin ito, ginagamit namin ang mga pinaikling formula ng pagpaparami:
Hanapin natin ang antiderivative para sa bawat isa sa mga termino:
\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e))^ (2)) \kanan))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e) )^(-2)) \kanan))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]
Ngayon, kolektahin natin ang lahat ng termino sa isang expression at kunin ang pangkalahatang antiderivative:
Halimbawa Blg. 2
Sa pagkakataong ito ang degree ay mas malaki, kaya ang pinaikling formula ng pagpaparami ay magiging kumplikado. Kaya buksan natin ang mga bracket:
Ngayon subukan nating kunin ang antiderivative ng ating formula mula sa construction na ito:
Tulad ng makikita mo, walang kumplikado o supernatural sa mga antiderivatives ng exponential function. Lahat ng mga ito ay kinakalkula sa pamamagitan ng mga talahanayan, ngunit malamang na mapapansin ng mga matulunging estudyante na ang antiderivative na $((e)^(2x))$ ay mas malapit sa simpleng $((e)^(x))$ kaysa sa $((a )^(x ))$. Kaya, marahil mayroong ilang higit pang espesyal na panuntunan na nagpapahintulot, alam ang antiderivative na $((e)^(x))$, upang mahanap ang $((e)^(2x))$? Oo, umiiral ang gayong panuntunan. At, bukod dito, ito ay isang mahalagang bahagi ng pagtatrabaho sa talahanayan ng mga antiderivatives. Susuriin namin ngayon ito gamit ang parehong mga expression na kakatrabaho lang namin bilang isang halimbawa.
Mga panuntunan para sa pagtatrabaho sa talahanayan ng mga antiderivatives
Isulat natin muli ang ating function:
Sa nakaraang kaso, ginamit namin ang sumusunod na formula upang malutas:
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]
Ngunit ngayon gawin natin ito nang medyo naiiba: tandaan natin kung anong batayan ang $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Gaya ng nasabi ko na, dahil ang derivative na $((e)^(x))$ ay hindi hihigit sa $((e)^(x))$, kaya ang antiderivative nito ay magiging katumbas ng parehong $((e) ^ (x))$. Ngunit ang problema ay mayroon tayong $((e)^(2x))$ at $((e)^(-2x))$. Ngayon subukan nating hanapin ang derivative ng $((e)^(2x))$:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
Muli nating isulat muli ang ating pagtatayo:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]
Nangangahulugan ito na kapag nakita natin ang antiderivative na $((e)^(2x))$ nakukuha natin ang sumusunod:
\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]
Tulad ng nakikita mo, nakuha namin ang parehong resulta tulad ng dati, ngunit hindi namin ginamit ang formula upang mahanap ang $((a)^(x))$. Ngayon ito ay maaaring mukhang hangal: bakit kumplikado ang mga kalkulasyon kapag mayroong isang karaniwang formula? Gayunpaman, sa bahagyang mas kumplikadong mga expression ay makikita mo na ang diskarteng ito ay napaka-epektibo, i.e. gamit ang mga derivatives upang mahanap ang mga antiderivatives.
Bilang isang warm-up, hanapin natin ang antiderivative ng $((e)^(2x))$ sa katulad na paraan:
\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]
Kapag kinakalkula, ang aming konstruksiyon ay isusulat tulad ng sumusunod:
\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]
Parehong resulta ang nakuha namin, ngunit ibang landas ang tinahak namin. Ito ang landas na ito, na ngayon ay tila mas kumplikado sa amin, na sa hinaharap ay magiging mas epektibo para sa pagkalkula ng mas kumplikadong mga antiderivative at paggamit ng mga talahanayan.
Tandaan! Ito ay isang napakahalagang punto: ang mga antiderivative, tulad ng mga derivative, ay mabibilang sa maraming iba't ibang paraan. Gayunpaman, kung ang lahat ng mga kalkulasyon at kalkulasyon ay pantay, ang sagot ay magiging pareho. Nakita namin ito sa halimbawa ng $((e)^(-2x))$ - sa isang banda, kinakalkula namin itong antiderivative na "right through", gamit ang kahulugan at kinakalkula ito gamit ang mga pagbabago, sa kabilang banda, naalala namin na ang $ ((e)^(-2x))$ ay maaaring katawanin bilang $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ at saka lang namin ginamit ang antiderivative para sa function na $( (a)^(x))$. Gayunpaman, pagkatapos ng lahat ng mga pagbabago, ang resulta ay pareho, tulad ng inaasahan.
At ngayong naiintindihan na natin ang lahat ng ito, oras na para magpatuloy sa isang bagay na mas makabuluhan. Ngayon ay susuriin natin ang dalawang simpleng mga konstruksyon, ngunit ang pamamaraan na gagamitin kapag nilutas ang mga ito ay isang mas malakas at kapaki-pakinabang na tool kaysa sa simpleng "pagtakbo" sa pagitan ng mga kalapit na antiderivatives mula sa talahanayan.
Paglutas ng problema: paghahanap ng antiderivative ng isang function
Halimbawa #1
Hatiin natin ang halaga na nasa mga numerator sa tatlong magkakahiwalay na fraction:
Ito ay isang medyo natural at nauunawaan na paglipat - karamihan sa mga mag-aaral ay walang problema dito. Muli nating isulat ang ating ekspresyon tulad ng sumusunod:
Ngayon tandaan natin ang formula na ito:
Sa aming kaso, makukuha namin ang sumusunod:
Upang maalis ang lahat ng tatlong-kuwento na fraction na ito, iminumungkahi kong gawin ang sumusunod:
Halimbawa Blg. 2
Hindi tulad ng nakaraang fraction, ang denominator ay hindi isang produkto, ngunit isang kabuuan. Sa kasong ito, hindi na natin mahahati ang ating fraction sa kabuuan ng ilang simpleng fraction, ngunit dapat nating subukang tiyakin na ang numerator ay naglalaman ng humigit-kumulang kaparehong expression ng denominator. Sa kasong ito, medyo simple na gawin ito:
Ang notasyong ito, na sa wikang matematikal ay tinatawag na "pagdaragdag ng zero," ay magbibigay-daan sa amin na muling hatiin ang fraction sa dalawang piraso:
Ngayon, hanapin natin ang hinahanap natin:
Iyon lang ang mga kalkulasyon. Sa kabila ng maliwanag na mas kumplikado kaysa sa nakaraang problema, ang halaga ng mga kalkulasyon ay naging mas maliit.
Nuances ng solusyon
At ito ay kung saan ang pangunahing kahirapan ng pagtatrabaho sa mga tabular na antiderivatives ay namamalagi, ito ay lalong kapansin-pansin sa pangalawang gawain. Ang katotohanan ay upang pumili ng ilang mga elemento na madaling kalkulahin sa pamamagitan ng talahanayan, kailangan nating malaman kung ano ang eksaktong hinahanap natin, at nasa paghahanap para sa mga elementong ito na binubuo ang buong pagkalkula ng mga antiderivatives.
Sa madaling salita, hindi sapat na kabisaduhin lamang ang talahanayan ng mga antiderivatives - kailangan mong makita ang isang bagay na hindi pa umiiral, ngunit kung ano ang ibig sabihin ng may-akda at tagatala ng problemang ito. Iyon ang dahilan kung bakit maraming mga mathematician, guro at propesor ang patuloy na nagtatalo: "Ano ang pagkuha ng mga antiderivatives o pagsasama - ito ba ay isang tool lamang o ito ba ay isang tunay na sining?" Sa katunayan, sa aking personal na opinyon, ang pagsasama-sama ay hindi isang sining - walang kahanga-hanga sa loob nito, ito ay pagsasanay lamang at higit na pagsasanay. At para magsanay, lutasin natin ang tatlo pang seryosong halimbawa.
Nagsasanay kami sa pagsasama-sama sa pagsasanay
Gawain Blg. 1
Isulat natin ang mga sumusunod na formula:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
\[\frac(1)(x)\to \ln x\]
\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]
Isulat natin ang sumusunod:
Problema Blg. 2
Isulat muli natin ito tulad ng sumusunod:
Ang kabuuang antiderivative ay magiging katumbas ng:
Problema Blg. 3
Ang kahirapan ng gawaing ito ay, hindi katulad ng mga naunang function sa itaas, walang variable na $x$ sa lahat, i.e. hindi malinaw sa atin kung ano ang idadagdag o ibawas upang makakuha ng kahit na isang bagay na katulad ng nasa ibaba. Gayunpaman, sa katunayan, ang expression na ito ay itinuturing na mas simple kaysa sa alinman sa mga nakaraang expression, dahil ang function na ito ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:
Maaari mo na ngayong itanong: bakit pantay ang mga function na ito? Suriin natin:
Muli nating isulat ito:
Baguhin natin ng kaunti ang ating ekspresyon:
At kapag ipinaliwanag ko ang lahat ng ito sa aking mga mag-aaral, halos palaging ang parehong problema ay lumitaw: sa unang pag-andar ang lahat ay higit pa o hindi gaanong malinaw, sa pangalawa maaari mo ring malaman ito nang may swerte o pagsasanay, ngunit anong uri ng alternatibong kamalayan ang gagawin mo kailangang magkaroon upang malutas ang ikatlong halimbawa? Sa totoo lang, huwag kang matakot. Ang pamamaraan na ginamit namin kapag kinakalkula ang huling antiderivative ay tinatawag na "pagbubulok ng isang function sa pinakasimpleng nito", at ito ay isang napakaseryosong pamamaraan, at isang hiwalay na aralin sa video ang ilalaan dito.
Pansamantala, iminumungkahi kong bumalik sa kung ano ang aming pinag-aralan, ibig sabihin, sa exponential function at medyo kumplikado ang mga problema sa kanilang nilalaman.
Mas kumplikadong mga problema para sa paglutas ng mga antiderivative exponential function
Gawain Blg. 1
Pansinin natin ang mga sumusunod:
\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\kaliwa(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]
Upang mahanap ang antiderivative ng expression na ito, gamitin lamang ang karaniwang formula - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.
Sa aming kaso, ang antiderivative ay magiging ganito:
Siyempre, kumpara sa disenyo na nalutas namin, ang isang ito ay mukhang mas simple.
Problema Blg. 2
Muli, madaling makita na ang function na ito ay madaling mahahati sa dalawang magkahiwalay na termino - dalawang magkahiwalay na fraction. Muli nating isulat:
Ito ay nananatiling hanapin ang antiderivative ng bawat isa sa mga terminong ito gamit ang formula na inilarawan sa itaas:
Sa kabila ng maliwanag na mas kumplikado ng mga exponential function kumpara sa mga power function, ang kabuuang dami ng mga kalkulasyon at kalkulasyon ay naging mas simple.
Siyempre, para sa mga mag-aaral na may kaalaman, kung ano ang napag-usapan natin (lalo na sa backdrop ng napag-usapan natin noon) ay maaaring parang mga elementarya. Gayunpaman, kapag pinili ko ang dalawang problemang ito para sa aralin sa video ngayon, hindi ko itinakda sa aking sarili ang layunin na sabihin sa iyo ang isa pang kumplikado at sopistikadong pamamaraan - ang gusto ko lang ipakita sa iyo ay hindi ka dapat matakot na gumamit ng mga karaniwang pamamaraan ng algebra upang baguhin ang mga orihinal na function. .
Gamit ang isang "lihim" na pamamaraan
Sa konklusyon, nais kong tumingin sa isa pang kawili-wiling pamamaraan, na, sa isang banda, ay higit pa sa kung ano ang pangunahing tinalakay natin ngayon, ngunit, sa kabilang banda, ito ay, una, hindi lahat kumplikado, i.e. Kahit na ang mga nagsisimulang mag-aaral ay maaaring makabisado ito, at, pangalawa, ito ay madalas na matatagpuan sa lahat ng uri ng mga pagsubok at independiyenteng gawain, i.e. Ang kaalaman tungkol dito ay magiging lubhang kapaki-pakinabang bilang karagdagan sa kaalaman sa talahanayan ng mga antiderivatives.
Gawain Blg. 1
Malinaw, mayroon kaming isang bagay na halos kapareho sa isang power function. Ano ang dapat nating gawin sa kasong ito? Pag-isipan natin ito: Ang $x-5$ ay hindi gaanong naiiba sa $x$ - nagdagdag lang sila ng $-5$. Isulat natin ito ng ganito:
\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]
Subukan nating hanapin ang derivative ng $((\left(x-5 \right))^(5))$:
\[((\left(((\left(x-5 \right)))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]
Ito ay nagpapahiwatig:
\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right)))^(5)))(5) \ kanan))^(\prime ))\]
Walang ganoong halaga sa talahanayan, kaya nakuha na namin ngayon ang formula na ito gamit ang karaniwang antiderivative formula para sa isang power function. Isulat natin ang sagot tulad nito:
Problema Blg. 2
Maraming mga mag-aaral na tumitingin sa unang solusyon ay maaaring mag-isip na ang lahat ay napaka-simple: palitan lamang ang $x$ sa power function ng isang linear na expression, at lahat ay mahuhulog sa lugar. Sa kasamaang palad, ang lahat ay hindi gaanong simple, at ngayon ay makikita natin ito.
Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa unang expression, isinusulat namin ang sumusunod:
\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]
\[((\left(((\left(4-3x \right)))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\kaliwa(4-3x \kanan))^(\prime ))=\]
\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]
Pagbabalik sa aming derivative, maaari naming isulat:
\[((\left(((\left(4-3x \right)))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]
\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right)))^(10)))(-30) \kanan))^(\prime ))\]
Ito ay agad na sumusunod:
Nuances ng solusyon
Pakitandaan: kung walang nagbago noong nakaraan, sa pangalawang kaso, sa halip na $-10$, $-30$ ang lumitaw. Ano ang pagkakaiba sa pagitan ng $-10$ at $-30$? Malinaw, sa kadahilanang $-3$. Tanong: saan ito nanggaling? Kung titingnan mong mabuti, makikita mo na ito ay kinuha bilang resulta ng pagkalkula ng derivative ng isang kumplikadong function - ang coefficient na nakatayo sa $x$ ay lilitaw sa antiderivative sa ibaba. Ito ay isang napakahalagang tuntunin, na sa una ay hindi ko binalak na talakayin sa aralin sa video ngayon, ngunit kung wala ito ang pagtatanghal ng mga tabular na antiderivative ay hindi kumpleto.
Kaya ulitin natin. Hayaan ang aming pangunahing function ng kapangyarihan:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
Ngayon, sa halip na $x$, palitan natin ang expression na $kx+b$. Ano kaya ang mangyayari? Kailangan nating hanapin ang mga sumusunod:
\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \kanan)\cdot k)\]
Sa anong batayan natin ito inaangkin? Napakasimple. Hanapin natin ang derivative ng construction na nakasulat sa itaas:
\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right)))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\kaliwa(kx+b \kanan))^(n))\]
Ito ang parehong expression na orihinal na umiral. Kaya, ang pormula na ito ay tama rin, at maaari itong magamit upang madagdagan ang talahanayan ng mga antiderivatives, o mas mahusay na kabisaduhin lamang ang buong talahanayan.
Mga konklusyon mula sa "lihim: pamamaraan:
- Ang parehong mga pag-andar na tiningnan lang natin ay maaaring, sa katunayan, ay mababawasan sa mga antiderivative na ipinahiwatig sa talahanayan sa pamamagitan ng pagpapalawak ng mga degree, ngunit kung higit pa o mas kaunti ay makakayanan natin ang ika-apat na antas, kung gayon hindi ko gagawin ang ika-siyam na antas sa lahat ay naglakas-loob na ihayag.
- Kung papalawakin natin ang mga degree, magkakaroon tayo ng napakaraming kalkulasyon na ang isang simpleng gawain ay magdadala sa atin ng hindi naaangkop na malaking tagal ng oras.
- Iyon ang dahilan kung bakit ang mga naturang problema, na naglalaman ng mga linear na expression, ay hindi kailangang lutasin nang "magulo". Sa sandaling makatagpo ka ng isang antiderivative na naiiba mula sa isa sa talahanayan sa pamamagitan lamang ng pagkakaroon ng expression na $kx+b$ sa loob, agad na tandaan ang formula na nakasulat sa itaas, palitan ito sa iyong talahanayan na antiderivative, at lahat ay magiging marami. mas mabilis at mas madali.
Naturally, dahil sa pagiging kumplikado at kabigatan ng diskarteng ito, babalik tayo sa pagsasaalang-alang nito nang maraming beses sa mga susunod na aralin sa video, ngunit iyon lang para sa ngayon. Sana ay talagang makatulong ang araling ito sa mga mag-aaral na gustong maunawaan ang mga antiderivatives at integration.
Kumusta muli, mga kaibigan!
Gaya ng ipinangako ko, sa araling ito sisimulan nating tuklasin ang walang katapusang kalawakan ng patula na mundo ng mga integral at magsisimulang lutasin ang iba't ibang uri ng (minsan napakaganda) mga halimbawa. :)
Upang mahusay na mag-navigate sa lahat ng mahalagang pagkakaiba-iba at hindi mawala, kailangan lang natin ng apat na bagay:
1) Talaan ng mga integral. Lahat ng detalye tungkol sa kanya - . Ito ay kung paano eksaktong magtrabaho sa kanya.
2) Mga katangian ng linearity ng hindi tiyak na integral (ang integral ng kabuuan / pagkakaiba at ang produkto ng isang pare-pareho).
3) Talaan ng mga derivatives at mga panuntunan sa pagkakaiba-iba.
Oo, oo, huwag magtaka! Kung walang kakayahang magbilang ng mga derivatives, talagang walang makukuha mula sa pagsasama. Sumang-ayon, walang katuturan, halimbawa, na matutunan ang paghahati nang hindi alam kung paano dumami. :) At sa lalong madaling panahon makikita mo na kung walang mga kasanayan sa pagkita ng kaibhan hindi mo makalkula ang isang solong integral na higit pa sa mga elementarya na tabular.
4) Mga paraan ng pagsasama.
Napakarami sa kanila. Para sa isang partikular na klase ng mga function - sa iyo. Ngunit sa lahat ng kanilang mayamang pagkakaiba-iba, tatlong pangunahing bagay ang namumukod-tangi:
– ,
– ,
– .
Ang bawat isa sa kanila ay tatalakayin sa magkakahiwalay na mga aralin.
At ngayon, sa wakas, bumaba tayo sa paglutas ng mga pinakahihintay na halimbawa. Upang hindi tumalon mula sa isang seksyon sa seksyon, muli kong duplicate ang buong set ng ginoo, na magiging kapaki-pakinabang para sa aming karagdagang trabaho. Hayaan ang lahat ng mga tool ay nasa kamay.)
Una sa lahat, ito talahanayan ng mga integral:
Bilang karagdagan, kakailanganin natin ang mga pangunahing katangian ng hindi tiyak na integral (linearity properties):
Well, ang mga kinakailangang kagamitan ay inihanda. Oras na para umalis! :)
Direktang aplikasyon ng talahanayan
Isasaalang-alang ng talatang ito ang pinakasimple at hindi nakakapinsalang mga halimbawa. Ang algorithm dito ay napakasimple:
1) Tingnan ang talahanayan at hanapin ang (mga) kinakailangang formula;
2) Ilapat ang mga katangian ng linearity (kung kinakailangan);
3) Isinasagawa namin ang pagbabagong-anyo gamit ang mga formula ng tabular at nagdaragdag ng isang pare-pareho sa dulo SA (wag kalimutan!) ;
4) Isulat ang sagot.
Kaya, tayo na.)
Halimbawa 1
Walang ganoong function sa aming table. Ngunit mayroong isang integral ng isang function ng kapangyarihan sa pangkalahatang anyo (pangalawang pangkat). Sa kaso natin n=5. Kaya pinapalitan namin ang lima para sa n at maingat na kalkulahin ang resulta:
handa na. :)
Siyempre, ang halimbawang ito ay ganap na primitive. Puro para sa kakilala.) Ngunit ang kakayahang pagsamahin ang mga kapangyarihan ay nagpapadali sa pagkalkula ng mga integral ng anumang polynomial at iba pang mga konstruksyon ng kapangyarihan.
Halimbawa 2
Sa ibaba ng integral ay ang kabuuan. Well, okay. Mayroon kaming mga katangian ng linearity para sa kasong ito. :) Hinati namin ang aming integral sa tatlong magkakahiwalay, alisin ang lahat ng mga constant sa mga palatandaan ng mga integral at bilangin ang bawat isa ayon sa talahanayan (pangkat 1-2):
Mangyaring tandaan: pare-pareho SA lilitaw nang eksakto sa sandali kung kailan LAHAT ng mahalagang palatandaan ay nawawala! Siyempre, pagkatapos nito kailangan mong palaging dalhin ito sa iyo. Ano ang gagawin…
Siyempre, kadalasan ay hindi kinakailangang ilarawan sa gayong detalye. Ito ay ginagawa para lamang sa pag-unawa. Upang makuha ang punto.)
Halimbawa, sa lalong madaling panahon, nang walang labis na pag-iisip, magbibigay ka ng sagot sa mga halimaw tulad ng:
Ang mga polynomial ay ang pinaka-libreng function sa mga integral.) At sa mga diffuse, physics, lakas ng mga materyales at iba pang seryosong disiplina, kailangan mong patuloy na isama ang mga polynomial. Masanay ka na.)
Ang susunod na halimbawa ay magiging mas malamig.
Halimbawa 3
Sana ay maunawaan ng lahat na ang ating integrand ay maaaring isulat ng ganito:
Ang integrand function ay hiwalay, at ang factor dx (differential icon)- magkahiwalay.
Komento: sa araling ito multiplier dx sa proseso ng integrasyon paalam ay hindi nakikilahok sa anumang paraan, at sa ngayon ay "nakakalimutan" na namin siya. :) Katrabaho lang namin pagsasama at pag-andar. Pero wag natin siyang kalimutan. Sa lalong madaling panahon, literal sa susunod na aralin na nakatuon sa, matatandaan natin ang tungkol dito. At madarama namin ang kahalagahan at kapangyarihan ng icon na ito nang buong lakas!)
Pansamantala, ang aming tingin ay iginuhit sa integrand function
Hindi mukhang isang function ng kapangyarihan, ngunit iyon ay kung ano ito. :) Kung naaalala natin ang mga katangian ng paaralan ng mga ugat at kapangyarihan, kung gayon posible na baguhin ang ating pag-andar:
At ang x sa power minus two-thirds ay isa nang table function! Pangalawang pangkat n=-2/3. At ang pare-parehong 1/2 ay hindi hadlang sa atin. Dinadala namin ito sa labas, lampas sa integral sign, at direktang kinakalkula gamit ang formula:
Sa halimbawang ito, natulungan tayo ng mga elementarya na katangian ng mga degree. At ito ay dapat gawin sa karamihan ng mga kaso kapag may mga malungkot na ugat o fraction sa ilalim ng integral. Samakatuwid, ang ilang mga praktikal na tip kapag isinasama ang mga konstruksyon ng kuryente:
Pinapalitan namin ang mga fraction ng mga kapangyarihan ng mga negatibong exponent;
Pinapalitan namin ang mga ugat ng mga kapangyarihan ng mga fractional exponents.
Ngunit sa huling sagot, ang paglipat mula sa mga kapangyarihan pabalik sa mga fraction at mga ugat ay isang bagay ng panlasa. Sa personal, bumalik ako - ito ay mas aesthetically kasiya-siya, o isang bagay.
At pakiusap, bilangin nang mabuti ang lahat ng fraction! Maingat naming sinusubaybayan ang mga palatandaan at kung saan pupunta - kung ano ang nasa numerator at kung ano ang denominator.
Ano? Pagod na sa boring power functions na? OK! Kunin natin ang toro sa pamamagitan ng mga sungay!
Halimbawa 4
Kung dadalhin natin ngayon ang lahat sa ilalim ng integral sa isang common denominator, maaari tayong makaalis sa halimbawang ito nang seryoso at sa mahabang panahon.) Ngunit, kung susuriing mabuti ang integrand, makikita natin na ang ating pagkakaiba ay binubuo ng dalawang tabular function. . Kaya't huwag tayong maglihis, ngunit sa halip ay i-decompose ang ating integral sa dalawa:
Ang unang integral ay isang ordinaryong power function, (2nd group, n = -1): 1/x = x -1 .
Ang aming tradisyonal na formula para sa antiderivative ng isang power function
Hindi gumagana dito, ngunit para sa amin n = -1 mayroong isang karapat-dapat na alternatibo - isang pormula na may natural na logarithm. Itong isa:
Pagkatapos, ayon sa pormula na ito, ang unang bahagi ay isasama tulad nito:
At ang pangalawang bahagi ay din ng isang table function! Natutunan? Oo! Ito ikapito formula na may "mataas" na logarithm:
Ang pare-parehong "a" sa formula na ito ay katumbas ng dalawa: a=2.
Mahalagang paalaala: Mangyaring tandaan ang pare-parehoSA na may intermediate integration I wala kahit saan Hindi ko ito ina-attribute! Bakit? Dahil pupunta siya sa huling sagot buong halimbawa. Ito ay sapat na.) Sa mahigpit na pagsasalita, ang pare-pareho ay dapat na isulat pagkatapos ng bawat indibidwal na pagsasama - ito man ay intermediate o pangwakas: iyon ang kailangan ng hindi tiyak na integral...)
Halimbawa, pagkatapos ng unang pagsasama kailangan kong isulat:
Pagkatapos ng pangalawang pagsasama:
Ngunit ang lansihin ay ang kabuuan / pagkakaiba ng mga arbitrary na constant ay medyo pare-pareho din! Sa aming kaso, para sa huling sagot na kailangan namin mula sa unang integral ibawas pangalawa. Pagkatapos ay magagawa natin ito pagkakaiba dalawang intermediate constants:
C 1 -C 2
At may karapatan tayong palitan ang mismong pagkakaibang ito sa mga constant isang pare-pareho! At i-redesign na lang ito gamit ang letrang "C" na pamilyar sa atin. Ganito:
C 1 -C 2 = C
Kaya iniuugnay namin ang parehong pare-pareho SA sa huling resulta at makuha namin ang sagot:
Oo, oo, sila ay mga fraction! Ang mga multistory logarithms kapag isinama ay ang pinakakaraniwang bagay. Nasasanay na rin tayo.)
Tandaan:
Sa panahon ng intermediate na pagsasama ng ilang mga termino, ang pare-pareho SA Pagkatapos ng bawat isa sa kanila hindi mo kailangang magsulat. Sapat na isama ito sa huling sagot ng buong halimbawa. Sa huli.
Ang susunod na halimbawa ay mayroon ding fraction. Para sa warming up.)
Halimbawa 5
Ang talahanayan, siyempre, ay walang ganoong function. Pero meron katulad function:
Ito na ang pinakahuli ikawalo pormula. Sa arctangent. :)
Itong isa:
At ang Diyos mismo ang nag-utos sa atin na ayusin ang ating integral sa formula na ito! Ngunit may isang problema: sa tabular na formula dati x 2 Walang coefficient, ngunit mayroon kaming siyam. Hindi pa namin direktang magagamit ang formula. Ngunit sa aming kaso ang problema ay ganap na malulutas. Alisin muna natin ang siyam na ito sa mga bracket, at pagkatapos ay dalhin ito sa labas ng ating bahagi nang buo.)
At ang bagong fraction ay ang table function na kailangan na natin, number 8! Dito at 2 =4/9. O kaya a=2/3.
Lahat. Kinukuha namin ang 1/9 mula sa integral sign at ginagamit ang ikawalong formula:
Ito ang sagot. Ang halimbawang ito, na may coefficient sa harap x 2, sinadya ko itong pinili. Upang gawing malinaw kung ano ang gagawin sa mga ganitong kaso. :) Kung dati x 2 walang coefficient, tapos ang mga ganyang fraction ay isasama rin sa isip.
Halimbawa:
Dito a 2 = 5, kaya ang "a" mismo ay magiging "ugat ng lima". Sa pangkalahatan, naiintindihan mo.)
Ngayon ay bahagyang baguhin natin ang ating function: isusulat natin ang denominator sa ilalim ng ugat.) Ngayon ay kukunin natin ang integral na ito:
Halimbawa 6
Ang denominator ay mayroon na ngayong ugat. Naturally, ang kaukulang pormula para sa pagsasama ay nagbago din, oo.) Muli kaming pumunta sa talahanayan at maghanap ng angkop. Mayroon kaming mga ugat sa mga formula ng ika-5 at ika-6 na grupo. Ngunit sa ikaanim na pangkat ay may pagkakaiba lamang sa ilalim ng mga ugat. At nasa amin ang halaga. Kaya, kami ay nagtatrabaho sa ikalimang pormula, na may "mahabang" logarithm:
Numero A mayroon kaming lima. Palitan sa formula at makuha ang:
At yun lang. Ito ang sagot. Oo, oo, ganoon kasimple!)
Kung may mga pagdududa, maaari mong (at dapat) palaging suriin ang resulta sa pamamagitan ng reverse differentiation. Check natin? Paano kung ito ay isang uri ng pagkasira?
Nag-iiba kami (hindi namin binibigyang pansin ang modyul at nakikita ito bilang mga ordinaryong bracket):
Lahat ay patas. :)
Sa pamamagitan ng paraan, kung sa integrat sa ilalim ng ugat binago mo ang sign mula sa plus hanggang minus, kung gayon ang formula para sa pagsasama ay mananatiling pareho. Ito ay hindi nagkataon na sa talahanayan sa ilalim ng ugat ay mayroong Dagdag bawas. :)
Halimbawa:
Mahalaga! Sa kaso ng minus, sa una ang lugar sa ilalim ng ugat ay dapat na eksakto x 2, at sa pangalawa – numero. Kung ang kabaligtaran ay totoo sa ilalim ng ugat, kung gayon ang kaukulang formula ng tabular ay magiging mas makitid isa pa!
Halimbawa 7
Sa ilalim ng ugat muli minus, ngunit x 2 sa lima ay lumipat kami ng pwesto. Ito ay katulad, ngunit hindi ang parehong bagay... Para sa kasong ito, ang aming talahanayan ay mayroon ding isang formula.) Formula bilang anim, hindi pa namin ito ginagawa:
Ngunit ngayon - maingat. Sa nakaraang halimbawa, ginamit namin ang lima bilang isang numero A . Narito ang lima ay gaganap bilang isang numero isang 2!
Samakatuwid, upang mailapat nang tama ang formula, huwag kalimutang kunin ang ugat ng lima:
At ngayon ang halimbawa ay nalutas sa isang aksyon. :)
Ganun lang! Ang mga termino lamang sa ilalim ng ugat ay ipinagpalit, at ang resulta ng pagsasama ay nagbago nang malaki! Logarithm at arcsine... Kaya pakiusap huwag malito ang dalawang formula na ito! Kahit na ang integrand function ay halos magkapareho...
Bonus:
Sa mga tabular na formula 7-8 mayroong mga coefficient bago ang logarithm at arctangent 1/(2a) At 1/a ayon sa pagkakabanggit. At sa isang nakababahala na sitwasyon ng labanan, kapag isinulat ang mga formula na ito, kahit na ang mga nerd na sinanay ng kanilang pag-aaral ay madalas na nalilito, saan ito simple 1/a, At saan 1/(2a). Narito ang isang simpleng trick na dapat tandaan.
Sa formula No. 7
Ang denominator ng integrand ay naglalaman ng pagkakaiba ng mga parisukat x 2 – isang 2. Na, ayon sa nakakatakot na pormula ng paaralan, ay nahahati bilang (x-a)(x+a). Naka-on dalawa multiplier Keyword - dalawa. At ang mga ito dalawa kapag nagsasama, ang mga bracket ay napupunta sa logarithm: na may minus up, na may plus - down.) At ang coefficient sa harap ng logarithm ay 1/() 2 A).
Ngunit sa formula No. 8
Ang denominator ng fraction ay naglalaman ng kabuuan ng mga parisukat. Ngunit ang kabuuan ng mga parisukat x 2 +a 2 hindi maaaring mabulok sa mas simpleng mga kadahilanan. Samakatuwid, anuman ang masasabi ng isa, ang denominator ay mananatiling ganoon isa salik. At ang coefficient sa harap ng arctangent ay magiging 1/a din.
Ngayon, pagsamahin natin ang ilang trigonometrya para sa pagbabago.)
Halimbawa 8
Ang halimbawa ay simple. Napakasimple na ang mga tao, nang hindi man lang tumitingin sa mesa, ay agad na masayang nagsusulat ng sagot at... nakarating na kami. :)
Sundin natin ang mga palatandaan! Ito ang pinakakaraniwang pagkakamali kapag nagsasama ng mga sine/cosine. Huwag malito sa mga derivatives!
Oo, (kasalanan x)" = cos x At (cos x)’ = - kasalanan x.
Ngunit!
Dahil ang mga tao ay karaniwang naaalala ang mga derivatives nang hindi bababa sa, upang hindi malito sa mga palatandaan, ang pamamaraan para sa pag-alala ng mga integral ay napaka-simple:
Integral ng sine/cosine = minus derivative ng parehong sine/cosine.
Halimbawa, alam natin mula sa paaralan na ang derivative ng isang sine ay katumbas ng isang cosine:
(kasalanan x)" = cos x.
Pagkatapos para sa integral mula sa parehong sine ito ay magiging totoo:
Iyon lang.) Ganun din sa cosine.
Ayusin natin ngayon ang ating halimbawa:
Mga paunang pagbabagong elementarya ng integrand
Hanggang sa puntong ito mayroong mga pinakasimpleng halimbawa. Para malaman kung paano gumagana ang talahanayan at hindi magkamali sa pagpili ng formula.)
Siyempre, gumawa kami ng ilang simpleng pagbabago - kinuha namin ang mga kadahilanan at hinati ang mga ito sa mga termino. Ngunit ang sagot ay nasa ibabaw pa rin sa isang paraan o iba pa.) Gayunpaman... Kung ang pagkalkula ng mga integral ay limitado lamang sa direktang aplikasyon ng talahanayan, kung gayon magkakaroon ng maraming mga freebies sa paligid at ang buhay ay magiging boring.)
Ngayon tingnan natin ang mas matibay na mga halimbawa. Yung tipong parang wala nang diretsong napagdesisyunan. Ngunit sulit na alalahanin ang ilang mga formula o pagbabago sa elementarya, at ang daan patungo sa sagot ay nagiging simple at malinaw. :)
Paglalapat ng mga formula ng trigonometrya
Patuloy tayong magsaya sa trigonometry.
Halimbawa 9
Walang ganoong function sa talahanayan kahit na malapit. Ngunit sa trigonometrya ng paaralan mayroong isang hindi kilalang pagkakakilanlan:
Ngayon ipinapahayag namin mula dito ang squared tangent na kailangan namin at ipasok ito sa ilalim ng integral:
Bakit ito ginawa? At pagkatapos, pagkatapos ng gayong pagbabago, ang ating integral ay mababawasan sa dalawang tabular at isasaalang-alang!
Tingnan:
Ngayon suriin natin ang ating mga aksyon. Sa unang tingin, ang lahat ay tila mas simple kaysa dati. Ngunit pag-isipan natin ito. Kung tayo ay nahaharap sa isang gawain magkaiba ang parehong function, pagkatapos ay gagawin namin eksakto alam na alam kung ano ang gagawin - mag-apply pormula derivative ng isang kumplikadong function:
Iyon lang. Simple at walang problema na teknolohiya. Palagi itong gumagana at garantisadong hahantong sa tagumpay.
Paano naman ang integral? Ngunit dito kinailangan naming halungkatin ang trigonometrya, maghukay ng ilang hindi kilalang formula sa pag-asa na kahit papaano ay makakatulong ito sa amin na makalabas at mabawasan ang integral sa isang tabular. At hindi ito isang katotohanan na makakatulong ito sa amin, hindi ito isang katotohanan sa lahat... Kaya nga ang pagsasama ay isang mas malikhaing proseso kaysa sa pagkita ng kaibhan. Si Art, sasabihin ko pa. :) At hindi ito ang pinakamahirap na halimbawa. Ito ay simula pa lamang!
Halimbawa 10
Ano ang inspirasyon nito? Ang talahanayan ng mga integral ay wala pa ring kapangyarihan, oo. Ngunit, kung titingnan mo muli ang aming treasury ng mga trigonometric formula, maaari kang maghukay ng isang napaka, lubhang kapaki-pakinabang double angle cosine formula:
Kaya inilapat namin ang formula na ito sa aming integrand function. Sa papel na "alpha" mayroon kaming x/2.
Nakukuha namin:
Kahanga-hanga ang epekto, hindi ba?
Ang dalawang halimbawang ito ay malinaw na nagpapakita na ang paunang pagbabago ng isang function bago ang pagsasama Ito ay ganap na katanggap-tanggap at kung minsan ay ginagawang mas madali ang buhay! At sa pagsasama ang pamamaraang ito (pagbabago ng integrand) ay isang pagkakasunud-sunod ng magnitude na mas makatwiran kaysa sa pagkita ng kaibhan. Makikita mo ang lahat mamaya.)
Tingnan natin ang ilang mas karaniwang pagbabago.
Mga pormula para sa pinaikling multiplikasyon, pagbubukas ng mga panaklong, pagdadala ng mga katulad at ang paraan ng term-by-term division.
Ang karaniwang pagbabago sa paaralan. Pero minsan sila lang ang nagtitipid, oo.)
Halimbawa 11
Kung kinakalkula natin ang derivative, walang magiging problema: ang formula para sa derivative ng isang produkto at - sige. Ngunit ang karaniwang formula para sa integral ay hindi umiiral mula sa trabaho. At ang tanging paraan dito ay buksan ang lahat ng mga bracket upang sa ilalim ng integral ay makakuha tayo ng polynomial. At kahit papaano ay isasama natin ang polynomial.) Ngunit bubuksan din natin ang mga bracket nang matalino: ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon ay makapangyarihang mga bagay!
(x 2 - 1) 2 (x 2 + 1) 2 = ((x 2 - 1)(x 2 + 1)) 2 = ((x 2) 2 - 1 2) 2 = (x 4 - 1) 2 = x 8 - 2x 4 + 1
Ngayon binibilang namin:
At iyon lang.)
Halimbawa 12
Muli, ang karaniwang formula para sa integral ng isang fraction ay wala. Gayunpaman, ang denominator ng integrand ay naglalaman ng malungkot x. Ito ay lubhang nagbabago ng sitwasyon.) Hatiin natin ang numerator sa denominator na termino ayon sa termino, na binabawasan ang ating kakila-kilabot na bahagi sa isang hindi nakakapinsalang kabuuan ng mga function ng tabular na kapangyarihan:
Hindi ako partikular na magkokomento sa pamamaraan para sa pagsasama ng mga degree: hindi na sila maliit.)
Isama natin ang kabuuan ng mga function ng kapangyarihan. Ayon sa tanda.)
Iyon lang.) Sa pamamagitan ng paraan, kung ang denominator ay hindi X, ngunit, sabihin nating, x+1, ganito:
Ang trick na ito na may term-by-term division ay hindi magiging madali. Ito ay tiyak dahil sa pagkakaroon ng isang ugat sa numerator at isang yunit sa denominator. Kailangan kong tanggalin ang ugat. Ngunit ang gayong mga integral ay mas kumplikado. Tungkol sa kanila - sa iba pang mga aralin.
Tingnan mo! Ang isa ay dapat lamang bahagyang baguhin ang function - ang diskarte sa pagsasama nito ay agad na nagbabago. Minsan kapansin-pansing!) Walang malinaw na pamantayang pamamaraan. Ang bawat function ay may sariling diskarte. Minsan kakaiba.)
Sa ilang mga kaso, ang mga conversion sa mga fraction ay mas nakakalito.
Halimbawa 13
At dito, paano mo mababawasan ang integral sa isang set ng mga tabular? Dito maaari mong matalinong umiwas sa pamamagitan ng pagdaragdag at pagbabawas ng expression x 2 sa numerator ng fraction na sinusundan ng term-by-term division. Isang napakatalino na trick sa integrals! Panoorin ang master class! :)
At ngayon, kung papalitan natin ang orihinal na fraction ng pagkakaiba ng dalawang fraction, kung gayon ang ating integral ay nahahati sa dalawang tabular - ang power function na pamilyar na sa atin at ang arctangent (formula 8):
Well, ano ang masasabi natin? Wow!
Ang trick na ito ng pagdaragdag/pagbabawas ng mga termino sa numerator ay napakapopular sa pagsasama ng mga rational fraction. napaka! Inirerekomenda ko ang pagkuha ng tala.
Halimbawa 14
Ang parehong mga panuntunan ng teknolohiya dito rin. Kailangan mo lang magdagdag/magbawas ng isa para kunin ang expression sa denominator mula sa numerator:
Sa pangkalahatan, ang mga rational fraction (na may mga polynomial sa numerator at denominator) ay isang hiwalay, napakalawak na paksa. Ang punto ay ang mga rational fraction ay isa sa napakakaunting klase ng mga function kung saan isang unibersal na paraan ng pagsasama. umiiral. Ang paraan ng agnas sa mga simpleng fraction, kasama ng . Ngunit ang pamamaraang ito ay napakahirap sa paggawa at kadalasang ginagamit bilang mabigat na artilerya. Higit sa isang aral ang iaalay sa kanya. Pansamantala, nagsasanay kami at nagiging mas mahusay sa mga simpleng function.
Ibuod natin ang aralin ngayon.
Ngayon ay sinuri namin nang detalyado nang eksakto kung paano gamitin ang talahanayan, kasama ang lahat ng mga nuances, sinuri ang maraming mga halimbawa (at hindi ang pinaka-walang halaga) at nakilala ang pinakasimpleng mga paraan ng pagbawas ng mga integral sa mga tabular. At ito ang gagawin natin ngayon Laging. Anuman ang kahila-hilakbot na pag-andar sa ilalim ng integral, sa tulong ng isang malawak na iba't ibang mga pagbabagong-anyo, titiyakin namin na, sa malao't madali, ang aming integral, sa isang paraan o iba pa, ay mababawasan sa isang hanay ng mga tabular.
Ilang praktikal na tip.
1) Kung ang integral ay isang fraction, ang numerator nito ay ang kabuuan ng mga kapangyarihan (roots), at ang denominator ay malungkot x kapangyarihan, pagkatapos ay ginagamit namin ang term-by-term division ng numerator ayon sa denominator. Palitan ang mga ugat ng kapangyarihan ng c mga fractional indicator at gumana ayon sa mga formula 1-2.
2) Sa mga konstruksyon ng trigonometriko, una sa lahat, sinubukan namin ang mga pangunahing formula ng trigonometrya - doble/triple anggulo,
Baka napakaswerte mo. O pwedeng hindi…
3) Kung kinakailangan (lalo na sa mga polynomial at fraction), ginagamit naminpinaikling mga formula ng pagpaparami:
(a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2
(a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2
(a-b)(a+b) = a 2 -b 2
4) Kapag isinasama ang mga fraction sa mga polynomial, sinusubukan naming artipisyal na ihiwalay ang (mga) expression sa denominator sa numerator. Kadalasan ang fraction ay pinasimple at ang integral ay binabawasan sa isang kumbinasyon ng mga tabular.
Well, mga kaibigan? Nakikita kong nagsisimula kang magustuhan ang mga integral. :) Pagkatapos ay mas lalo nating lutasin ang mga halimbawa.) Ang materyal ngayon ay sapat na upang matagumpay na makayanan ang mga ito.
Ano? Hindi alam, ? Oo! Hindi pa natin ito napagdaanan.) Ngunit hindi na kailangang direktang isama ang mga ito dito. At nawa'y matulungan ka ng kurso sa paaralan!)
Mga sagot (magulo):
Para sa mas mahusay na mga resulta, lubos kong inirerekomenda ang pagbili ng isang koleksyon ng mga problema batay sa G.N. Berman. Cool na bagay!
Yun lang ang meron ako ngayong araw. Good luck!
Mga pangunahing integral na dapat malaman ng bawat mag-aaral
Ang mga nakalistang integral ay ang batayan, ang batayan ng mga batayan. Talagang dapat tandaan ang mga formula na ito. Kapag kinakalkula ang mas kumplikadong mga integral, kailangan mong gamitin ang mga ito nang palagian.
Bigyang-pansin ang mga formula (5), (7), (9), (12), (13), (17) at (19). Huwag kalimutang magdagdag ng di-makatwirang pare-parehong C sa iyong sagot kapag nagsasama!
Integral ng isang pare-pareho
∫ A d x = A x + C (1)Pagsasama ng Power Function
Sa katunayan, posible na limitahan ang ating sarili sa mga formula lamang (5) at (7), ngunit ang natitirang bahagi ng mga integral mula sa pangkat na ito ay madalas na nangyayari na ito ay nagkakahalaga ng pagbibigay ng kaunting pansin sa kanila.
∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)
Mga integral ng exponential function at hyperbolic function
Siyempre, ang formula (8) (marahil ang pinaka-maginhawa para sa pagsasaulo) ay maaaring ituring na isang espesyal na kaso ng formula (9). Ang mga formula (10) at (11) para sa mga integral ng hyperbolic sine at hyperbolic cosine ay madaling hinango mula sa formula (8), ngunit mas mabuting tandaan lamang ang mga ugnayang ito.
∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)
Mga pangunahing integral ng trigonometriko function
Ang isang pagkakamali na madalas gawin ng mga mag-aaral ay nalilito nila ang mga palatandaan sa mga formula (12) at (13). Ang pag-alala na ang derivative ng sine ay katumbas ng cosine, sa ilang kadahilanan maraming tao ang naniniwala na ang integral ng function na sinx ay katumbas ng cosx. Hindi ito totoo! Ang integral ng sine ay katumbas ng "minus cosine", ngunit ang integral ng cosx ay katumbas ng "just sine":
∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)
Mga integral na bumababa sa kabaligtaran na mga function ng trigonometriko
Formula (16), na humahantong sa arctangent, ay natural na isang espesyal na kaso ng formula (17) para sa a=1. Katulad nito, ang (18) ay isang espesyal na kaso ng (19).
∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)
Mas kumplikadong integral
Maipapayo rin na tandaan ang mga formula na ito. Madalas din silang ginagamit, at ang kanilang output ay medyo nakakapagod.
∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)
Pangkalahatang mga tuntunin ng pagsasama
1) Ang integral ng kabuuan ng dalawang function ay katumbas ng kabuuan ng mga katumbas na integral: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)
2) Ang integral ng pagkakaiba ng dalawang function ay katumbas ng pagkakaiba ng mga katumbas na integral: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)
3) Ang pare-pareho ay maaaring alisin sa integral sign: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)
Madaling makita na ang ari-arian (26) ay kumbinasyon lamang ng mga katangian (25) at (27).
4) Integral ng complex function kung linear ang internal function: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)
Dito ang F(x) ay isang antiderivative para sa function na f(x). Pakitandaan: gumagana lang ang formula na ito kapag ang panloob na function ay Ax + B.
Mahalaga: walang unibersal na formula para sa integral ng produkto ng dalawang function, pati na rin para sa integral ng isang fraction:
∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (tatlumpu)
Hindi ito nangangahulugan, siyempre, na ang isang fraction o produkto ay hindi maaaring isama. Kaya lang, sa tuwing makakakita ka ng integral na tulad ng (30), kailangan mong mag-imbento ng paraan para “ipaglaban” ito. Sa ilang mga kaso, ang pagsasama-sama ng mga bahagi ay makakatulong sa iyo, sa iba ay kailangan mong gumawa ng pagbabago ng variable, at kung minsan kahit na ang "paaralan" na algebra o mga formula ng trigonometrya ay makakatulong.
Isang simpleng halimbawa ng pagkalkula ng hindi tiyak na integral
Halimbawa 1. Hanapin ang integral: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d xGamitin natin ang mga formula (25) at (26) (ang integral ng kabuuan o pagkakaiba ng mga function ay katumbas ng kabuuan o pagkakaiba ng mga katumbas na integral. Nakukuha natin ang: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x
Tandaan natin na ang pare-pareho ay maaaring alisin sa integral sign (pormula (27)). Ang expression ay na-convert sa form
3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e x d x + 12 ∫ 1 d x
Ngayon ay gamitin na lang natin ang talahanayan ng mga pangunahing integral. Kakailanganin nating maglapat ng mga formula (3), (12), (8) at (1). Isama natin ang power function, sine, exponential at constant 1. Huwag kalimutang magdagdag ng arbitrary constant C sa dulo:
3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
Pagkatapos ng mga pagbabagong elementarya ay nakuha namin ang pangwakas na sagot:
X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
Subukan ang iyong sarili sa pamamagitan ng pagkita ng kaibhan: kunin ang derivative ng resultang function at siguraduhin na ito ay katumbas ng orihinal na integrand.
Talahanayan ng buod ng mga integral
| ∫ A d x = A x + C |
| ∫ x d x = x 2 2 + C |
| ∫ x 2 d x = x 3 3 + C |
| ∫ 1 x d x = 2 x + C |
| ∫ 1 x d x = ln | x | +C |
| ∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C |
| ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) |
| ∫ e x d x = e x + C |
| ∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) |
| ∫ s h x d x = c h x + C |
| ∫ c h x d x = s h x + C |
| ∫ sin x d x = − cos x + C |
| ∫ cos x d x = sin x + C |
| ∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C |
| ∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C |
| ∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C |
| ∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) |
| ∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C |
| ∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) |
| ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C |
| ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C |
| ∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) |
| ∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) |
| ∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) |
I-download ang talahanayan ng mga integral (bahagi II) mula sa link na ito
Kung ikaw ay nag-aaral sa isang unibersidad, kung nahihirapan ka sa mas mataas na matematika (mathematical analysis, linear algebra, probability theory, statistics), kung kailangan mo ng mga serbisyo ng isang kwalipikadong guro, pumunta sa pahina ng isang mas mataas na tutor sa matematika. Sama-sama nating lutasin ang iyong mga problema!
Maaaring interesado ka rin sa