三角形の最大または最小の高さを見つけるにはどうすればよいですか? 三角形の高さが小さいほど、描画される高さは大きくなります。 つまり、三角形の高さの最大のものは、その最小の辺に描かれたものになります。 - 三角形の最大の辺に描画されるもの。
三角形の最大の高さを求めるには , 三角形の面積を、この高さが描かれる辺の長さ (つまり、三角形の最小の辺の長さ) で割ることができます。
したがって、d 三角形の最小の高さを見つけるには 三角形の面積を最長の辺の長さで割ります。
タスク1。
一辺が7cm、8cm、9cmの三角形の最小の高さを求めます。
与えられる:
AC=7cm、AB=8cm、BC=9cm。
検索: 三角形の最小の高さ。
解決：
三角形の高さのうち最も小さいものは、その最も長い辺に描かれたものです。 したがって、辺 BC に描かれた高さ AF を見つける必要があります。
表記の便宜上、次の表記を導入します。
BC=a、AC=b、AB=c、AF=ha。
三角形の高さは、三角形の面積の 2 倍をこの高さが描かれている辺で割った商に等しくなります。 はヘロンの公式を使って求めることができます。 それが理由です
計算します:
答え：
タスク2。
一辺が1cm、25cm、30cmの三角形の最も長い辺を見つけます。
与えられる:
AC=25cm、AB=11cm、BC=30cm。
探す：
最高高度 三角形ABC.
解決：
三角形の最大の高さは、その最小の辺に描画されます。
したがって、辺 AB に描かれた高さ CD を見つける必要があります。
便宜上、
まず、三角形とは、 幾何学模様、1 つの直線上にない 3 つの点が 3 つの線分で接続されて形成されます。 三角形の高さを調べるには、まずその種類を決定する必要があります。 三角形は、角の大きさと等しい角の数が異なります。 角の大きさに応じて、三角形は鋭角、鈍角、直角になります。 等しい辺の数に応じて、二等辺三角形、正三角形、不等辺三角形が区別されます。 高さは、三角形の頂点から反対側に下ろした垂線です。 三角形の高さはどうやって求めますか?
二等辺三角形の高さの求め方
ために 二等辺三角形辺と底辺の角度が等しいのが特徴で、辺に描かれた二等辺三角形の高さは常に互いに等しくなります。 また、この三角形の高さは中央値でもあり、二等分線でもあります。 したがって、高さはベースを半分に分割します。 得られた直角三角形を考え、ピタゴラスの定理を使って二等辺三角形の辺、つまり高さを求めます。 次の式を使用して高さを計算します: H \u003d 1/2 * √4 * a 2 - b 2、ここで: a - この二等辺三角形の辺、b - この二等辺三角形の底辺。
正三角形の高さの求め方
辺が等しい三角形を正三角形といいます。 このような三角形の高さは、二等辺三角形の高さの公式から導出されます。 H = √3/2*a となります。ここで、a は指定された正三角形の辺です。
不等辺三角形の高さの求め方
不等辺三角形とは、互いに等しい 2 つの辺がない三角形です。 このような三角形では、3 つの高さはすべて異なります。 次の式を使用して高さの長さを計算できます: H \u003d sin60 * a \u003d a * (sgrt3) / 2、ここで a は三角形の辺です。または、最初に次の式を使用して特定の三角形の面積を計算します。 Heron の公式は次のようになります: S \u003d (p * (p-c) * (p-b)*(p-a))^1/2、ここで、a、b、c は不等辺三角形の辺、p はその半周長です。 。 各高さ = 2*面積/辺
直角三角形の高さの求め方
直角三角形には直角が 1 つあります。 脚の 1 つを通過する高さは、同時に 2 番目の脚にもなります。 したがって、脚の上にある高さを見つけるには、修正されたピタゴラスの公式を使用する必要があります：a \u003d √ (c 2 - b 2)、ここで、a、bは脚です（aは検出される脚です）、c斜辺の長さです。 2 番目の高さを見つけるには、結果の値 a を b の代わりに入力する必要があります。 三角形の内側にある 3 番目の高さを見つけるには、次の式が使用されます: h \u003d 2s / a、h は高さです 直角三角形、s は面積、a は高さが垂直になる辺の長さです。
すべての角が鋭角である場合、三角形は鋭角と呼ばれます。 この場合、3 つの高さはすべて鋭角三角形の内側に位置します。 三角形が 1 つの鈍角を持つ場合、その三角形は鈍角と呼ばれます。 鈍角三角形の 2 つの高度は三角形の外側にあり、辺の延長線上にあります。 3 番目の辺は三角形の内側にあります。 高さは同じピタゴラスの定理を使用して決定されます。
三角形の高さの計算などの一般的な式
- 三角形の辺の高さを求める公式: H= 2/a √p*(p-c)*(p-b)*(p-b)、h は求める高さ、a、b、c は辺です。与えられた三角形の p はその半周長、 です。
- 角度と辺から三角形の高さを求める公式: H=b sin y = c sin ß
- 面積と辺の観点から三角形の高さを求める公式: h = 2S / a、ここで、a は三角形の辺、h は辺 a までの高さです。
- 半径と辺から三角形の高さを求める公式: H= bc/2R。
三角形。
基本概念。
三角形- これは、1 つの直線上にない 3 つの線分と 3 つの点で構成される図形です。
セグメントは次のように呼ばれます。 パーティー、そしてポイント ピーク.
角度の合計三角形は180度に等しい。
三角形の高さ。
三角形の高さ頂点から反対側に引いた垂線です。
鋭角の三角形では、高さは三角形の内側に含まれます (図 1)。
直角三角形では、脚は三角形の高さになります (図 2)。
鈍角三角形では、高さは三角形の外側を通ります (図 3)。
三角形の高さのプロパティ:
三角形の二等分線。
三角形の二等分線- これは頂点の角を二等分し、頂点を反対側の点に接続する線分です (図 5)。
二等分線のプロパティ:
三角形の中央値。
三角形の中央値- これは頂点と反対側の中央を接続するセグメントです (図 9a)。
| 中央値の長さは、次の式を使用して計算できます。 2b 2 + 2c 2 - ある 2 どこ ああ- 中央値が横に描画されます あ. 直角三角形では、斜辺に描かれた中央値は斜辺の半分になります。 c どこ マック斜辺に描かれた中央値です c(図9c) 三角形の中線は 1 点 (三角形の重心) で交差し、この点で上から数えて 2:1 の比率で分割されます。 つまり、頂点から中心までのセグメントは、三角形の中心から辺までのセグメントの 2 倍になります (図 9c)。 三角形の 3 つの中央線は、三角形を等しい面積の 6 つの三角形に分割します。 |
三角形の中心線。
三角形の中心線- これは、その 2 つの側面の中点を接続するセグメントです (図 10)。
三角形の中線は 3 番目の辺と平行で、その半分に等しくなります。
三角形の外側の角。
外側のコーナー三角形は、隣接しない 2 つの内角の合計に等しい (図 11)。
三角形の外角は、隣接しない角よりも大きくなります。
直角三角形。
直角三角形- これは直角を持つ三角形です (図 12)。
直角三角形の直角の反対側の辺を といいます。 斜辺.
残りの 2 つの側面は次のように呼ばれます。 脚.
直角三角形の比例セグメント。
1) 直角三角形では、直角から引いた高さにより、ABC、ACH、HCB という 3 つの相似な三角形が形成されます (図 14a)。 したがって、高さのなす角度は角度Aと角度Bに等しくなります。
図14a
二等辺三角形。
二等辺三角形- これは 2 つの辺が等しい三角形です (図 13)。
これらの等しい辺は次のように呼ばれます 側面、そして3番目 基礎三角形。
二等辺三角形では、底辺の角度は等しいです。 (この三角形では、角度 A は角度 C に等しい)。
二等辺三角形では、底辺に引かれた中央線が三角形の二等分線と高さの両方になります。
正三角形。
正三角形とは、すべての辺が等しい三角形です（図14）。
正三角形の性質:
三角形の驚くべき性質。
三角形には、これらの形状に関連する問題をうまく解決するのに役立つ独自の特性があります。 これらのプロパティのいくつかは上で概説されています。 ただし、他の優れた機能をいくつか追加して、もう一度繰り返します。
| 1) 角度 90 度、30 度、60 度の直角三角形の場合、脚は b、30°の角度の反対側にある、と等しい 斜辺の半分。 足ある もっと脚をb√3回（図15） あ）。 たとえば、b の脚が 5 の場合、斜辺は次のようになります。 c必ず 10 に等しく、脚 あ 5√3に等しい。 2) 角度が90度、45度、45度の直角二等辺三角形では、斜辺は脚の√2倍になります（図15） b）。 たとえば、脚が 5 の場合、斜辺は 5√2 です。 3) 三角形の中心線は平行な辺の半分に等しい (図 15) と）。 たとえば、三角形の辺が 10 の場合、それに平行な中線は 5 になります。 4) 直角三角形では、斜辺に引かれた中央値は斜辺の半分に等しくなります (図 9c)。 マック= c/2。 5) 1 点で交差する三角形の中線は、この点で 2:1 の比率で分割されます。 つまり、頂点から中央線の交点までのセグメントは、中央線の交点から三角形の辺までのセグメントの 2 倍になります (図 9c)。 6) 直角三角形では、斜辺の中点が外接円の中心になります（図15） d). |
三角形の等価性の兆候.
平等の最初の兆候: 1 つの三角形の 2 つの辺とそれらの間の角度が、別の三角形の 2 つの辺とそれらの間の角度に等しい場合、そのような三角形は合同です。
平等の 2 番目の記号: ある三角形の辺とそれに隣接する角度が、別の三角形の辺とそれに隣接する角度に等しい場合、そのような三角形は合同です。
平等の 3 番目の記号: ある三角形の 3 辺が別の三角形の 3 辺と等しい場合、それらの三角形は合同です。
三角不等式。
どの三角形でも、各辺は他の 2 つの辺の合計より小さくなります。
ピタゴラスの定理。
直角三角形では、斜辺の二乗は脚の二乗の和に等しくなります。
c 2 = ある 2 + b 2 .
三角形の面積。
1) 三角形の面積は、その辺とこの辺に描かれた高さの積の半分に等しい:
ああ
S = ——
2
2) 三角形の面積は、その辺の任意の 2 つの辺とそれらの間の角度の正弦の積の半分に等しくなります。
1
S = —
AB・
交流 ·
罪 あ
2
円に外接する三角形。
円がすべての辺に触れている場合、その円は三角形に内接していると呼ばれます (図 16) あ).
円に内接する三角形。
すべての頂点が三角形に接している場合、その三角形は円に内接していると呼ばれます (図 17) ある).
直角三角形の鋭角のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント (図 18)。
副鼻腔鋭角 バツ 反対カテーテルを斜辺まで。
次のように表されます: 罪バツ.
余弦鋭角 バツ直角三角形は比率です 隣接カテーテルを斜辺まで。
これは次のように表されます。 バツ.
正接鋭角 バツ反対側の脚と隣接する脚の比率です。
次のように示されます: tgバツ.
コタンジェント鋭角 バツ隣接する脚と反対側の脚の比率です。
次のように示されます: ctgバツ.
ルール:
脚の反対側の角 バツ, 製品と等しい罪の斜辺 バツ:
b=c罪 バツ
角に隣接する脚 バツ、斜辺とcosの積に等しい バツ:
a = cコス バツ
脚の反対側の角 バツ、2 番目の脚と tg の積に等しい バツ:
b = a tg バツ
角に隣接する脚 バツ、2 番目の脚と ctg の積に等しい バツ:
a = b ctg バツ.
あらゆる鋭角に対応 バツ:
sin (90° - バツ) = cos バツ
cos(90° - バツ) = 罪 バツ
多くの幾何学的な問題を解決するには、特定の図形の高さを見つける必要があります。 これらのタスクは実際的に重要です。 建設作業を行うとき、高さを決定することは、必要な材料の量を計算したり、斜面や開口部がどの程度正確に作られているかを決定するのに役立ちます。 多くの場合、パターンを構築するには、プロパティについてのアイデアが必要です。
多くの人は、学校の成績が良くても、普通の幾何学図形を作るときに、三角形や平行四辺形の高さをどうやって見つけるかという疑問が生じます。 そしてそれが最も難しいのです。 これは、三角形が鋭角、鈍角、二等辺、または直角になる可能性があるためです。 それぞれに構築と計算に関する独自のルールがあります。
すべての角が鋭角となる三角形の高さを図的に求める方法
三角形のすべての角度が鋭角である場合 (三角形の各角度が 90 度未満である場合)、高さを求めるには、次の手順を実行します。
- 与えられたパラメータに従って、三角形を構築します。
- 表記法を紹介しましょう。 A、B、C が図形の頂点になります。 各頂点に対応する角度はα、β、γです。 これらの角の反対側の辺は a、b、c です。
- 高さは、角の頂点から三角形の反対側への垂線です。 三角形の高さを求めるには、角度 α の頂点から辺 a へ、角度 β の頂点から辺 b へ、というように垂線を作成します。
- 高さと辺ａの交点をＨ１とし、高さそのものをｈ１とする。 高さと辺bの交点はH2、高さはh2となります。 辺cの場合、高さはh3、交点はH3となります。
鈍角三角形の高さ
ここで、三角形の高さ (90 度を超える) がある場合に、その高さを見つける方法を考えてみましょう。 この場合、鈍角から描いた高さは三角形の内側になります。 残りの 2 つの高さは三角形の外側になります。
三角形の角度 α と β を鋭角、角度 γ を鈍角とします。 そして、角αと角βから出る高さを作るには、三角形の反対側の辺を続けて垂線を引く必要があります。
二等辺三角形の高さの求め方
このような図形には 2 つの等しい辺と底辺があり、底辺の角度も互いに等しいです。 この辺と角度の等しいことにより、高さの構築とその計算が容易になります。
まず、三角形自体を描画しましょう。 辺 b と辺 c および角度 β と γ はそれぞれ等しいものとします。
ここで、角度 α の頂点からの高さを描き、それを h1 とします。 この高さは二等分線と中央値の両方になります。
基礎工事は1回のみとなります。 たとえば、高さと二等分線を求めるために、二等辺三角形の頂点と反対側の底辺を結ぶ線分である中央線を描きます。 そして、他の 2 つの辺の高さの長さを計算するには、高さを 1 つだけ構築できます。 したがって、二等辺三角形の高さを計算する方法をグラフィカルに決定するには、3 つの高さのうち 2 つの高さを見つけるだけで十分です。
直角三角形の高さの求め方
直角三角形の高さを決定するのは、他の三角形よりもはるかに簡単です。 これは、脚自体が直角を成しており、高さがあるためです。
3 番目の高さを構築するには、通常どおり、直角の頂点と反対側を結ぶ垂線を引きます。 結果として、この場合、三角形を作成するために必要な作図は 1 つだけです。
純粋に数学的な問題と応用的な性質 (特に建設) のさまざまな種類の問題を解決するとき、多くの場合、特定の幾何学的図形の高さの値を決定する必要があります。 三角形の指定された値 (高さ) を計算するにはどうすればよいですか?
単一の直線上にない 3 つの点をペアで組み合わせると、得られる図形は三角形になります。 高さ - 図形の任意の頂点からの線の一部。 反対側は90°の角度を形成します。
不等辺三角形の高さを求める
図形が任意の角と辺を持つ場合の三角形の高さの値を求めてみましょう。
ヘロンの公式
h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a、ここで
p - 図形の周囲の半分、h(a) - 辺 a に直角に描かれた線分、
p=(a+b+c)/2 – 半周の計算。
図形の領域がある場合、その高さを決定するには、比 h(a)=2S/a を使用できます。
三角関数
辺 a との交点で直角をなす線分の長さを決定するには、次の関係を使用できます。辺 b と角度 γ または辺 c と角度 β が既知の場合、h(a)=b*sinγまたは h(a)=c *sinβ。
どこ：
γ は辺 b と a の間の角度です。
β は辺 c と辺 a の間の角度です。
半径との関係
元の三角形が円に内接している場合は、その円の半径を使用して高さを決定できます。 その中心は、(各頂点からの) 3 つの高さすべてが交差する点 (垂心) に位置し、そこから頂点までの距離 (任意) が半径になります。
次に、h(a)=bc/2R となります。ここで、
b、c - 三角形の他の 2 辺、
R は三角形を描く円の半径です。
直角三角形の高さを求めます
この幾何学的図形では、交差する 2 つの辺が直角 - 90 ° を形成します。 したがって、その高さの値を決定する必要がある場合は、脚の1つのサイズ、または斜辺と90°を形成するセグメントの値のいずれかを計算する必要があります。 指定する場合：
a、b - 脚、
c は斜辺、
h(c) は斜辺に対する垂線です。
次の比率を使用して必要な計算を行うことができます。
- ピタゴラスの定理：
a \u003d √ (c 2 -b 2)、
b \u003d √ (c 2 -a 2)、
h(c)=2S/c S=ab/2 の場合、 h(c)=ab/c となります。
- 三角関数:
a=c*sinβ、
b=c*cosβ、
h(c)=ab/c=с*sinβ*cosβ。
二等辺三角形の高度を求める
この幾何学的図形は、同じサイズの2つの側面と3番目のベースの存在によって区別されます。 3 番目の異なる側に描かれた高さを決定するには、ピタゴラスの定理が役に立ちます。 指定付き
-側、
c - ベース、
h(c) は c を 90° の角度で切ったものなので、h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2) となります。
