コースワーク
出演者： ブグロフ・S・K.
多くの物理プロセスや幾何学的パターンを研究すると、多くの場合、パラメーターの問題の解決につながります。 一部の大学では、方程式、不等式、およびその系を試験問題に含めていますが、これらは非常に複雑な場合が多く、解法に対して非標準的なアプローチが必要です。 学校では、この数学コースの最も難しいセクションの 1 つは、少数の選択クラスでのみ考慮されます。
この研究を準備するにあたり、私はこのトピックをより深く研究し、すぐに答えにつながる最も合理的な解決策を特定するという目標を設定しました。 私の意見では、グラフィカルな方法はパラメータを使用して方程式や不等式を解くための便利で迅速な方法です。
私のエッセイでは、頻繁に現れる方程式、不等式、およびその体系について説明します。仕事の過程で得た知識が、学校の試験に合格したり、大学に入学したりするときに役立つことを願っています。
§ 1. 基本的な定義
方程式を考えてみましょう
｜(a, b, c, …, k, x)=j(a, b, c, …, k, x), (1)
ここで、a、b、c、…、k、x は可変量です。
変数値のシステム
a = a0、b = b0、c = c0、…、k = k0、x = x0、
この式の左辺と右辺の両方が実数値をとるものを、変数 a、b、c、...、k、x の許容値系と呼びます。 A を a のすべての許容値の集合、B を b のすべての許容値の集合、などとし、X を x のすべての許容値の集合とする。 аОА、bОB、…、xОX。 セット A、B、C、…、K のそれぞれについて、1 つの値 a、b、c、…、k を選択して固定し、それらを式 (1) に代入すると、x の方程式が得られます。つまり 未知数の方程式。
方程式を解くときに定数とみなされる変数 a、b、c、...、k をパラメータと呼び、方程式自体をパラメータを含む方程式と呼びます。
パラメータはラテン文字の最初の文字 a、b、c、d、...、k、l、m、n で指定され、未知数は文字 x、y、z で指定されます。
パラメーターを使用して方程式を解くということは、パラメーターのどの値で解が存在し、それが何であるかを示すことを意味します。
同じパラメータを含む 2 つの方程式は、次の場合に等価であると呼ばれます。
a) 同じパラメータ値に対して意味があります。
b) 最初の方程式のすべての解は 2 番目の方程式の解であり、その逆も同様です。
§ 2. 解決アルゴリズム。
方程式の定義域を見つけます。
a を x の関数として表します。
xOa 座標系では、この方程式の定義領域に含まれる x の値に対して関数 a=|(x) のグラフを構築します。
直線 a=c がグラフ a=|(x) と交差する場合、関数 a=|(x) のグラフと cÎ(-¥;+¥) の交点を見つけます。 、次に交点の横座標を決定します。 これを行うには、x について方程式 a=|(x) を解くだけで十分です。
答えを書き留めておきます。
I. 方程式を解く
(1)x=0 は方程式の根ではないため、方程式は次のように解くことができます。
または関数のグラフは 2 つの双曲線を「貼り合わせた」ものです。 元の方程式の解の数は、作成された直線と直線 y=a の交点の数によって決まります。
О(-¥;-1]П(1;+¥)Пの場合
の場合、直線 y=a は式 (1) のグラフと 1 点で交差します。 x の方程式を解くときに、この点の横座標を求めます。したがって、この区間では、方程式 (1) の解が得られます。
。 の場合、直線 y=a は式 (1) のグラフと 2 点で交差します。 これらの点の横座標は方程式 と から求められ、 と が得られます。 の場合、直線 y=a は式 (1) のグラフと交差しないため、解はありません。О(-¥;-1]П(1;+¥)Пの場合
、 それ ; 、 それ 、 ; 、その場合、解決策はありません。II. 方程式が成立するパラメータ a のすべての値を求めます。
には3つの異なるルーツがあります。方程式を次のように書き直すと、
そして、関数のペアを調べてみると、パラメータ a の目的の値が、関数のグラフとちょうど 3 つの交点を持つ関数のグラフの位置に対応することに気づくことができます。 。xOy 座標系で関数のグラフを構築します。
）。 これを行うには、それを次の形式で表すことができ、4 つの発生するケースを考慮して、この関数を次の形式で記述します。関数のグラフなので
- これは、Ox 軸に対する傾斜角が に等しい直線であり、座標 (0, a) の点で Oy 軸と交差するため、示された 3 つの交点は次の場合にのみ取得できると結論付けます。この線は関数のグラフに触れています。 したがって、導関数を求めます。Ⅲ． パラメータ a のすべての値を求めます。各値について、連立方程式は次のようになります。
解決策があります。
システムの最初の方程式から次のことが得られます。
したがって、この方程式は「半放物線」のファミリーを定義します。つまり、放物線の右の枝が横軸に沿って頂点を「スライド」します。2 番目の方程式の左側にある完全な正方形を選択して因数分解してみましょう
飛行機の多くの点
2 番目の式を満たすのは 2 本の直線であり、「半放物線」ファミリーの曲線が、パラメータ a のどの値で、結果として得られる直線の 1 つと少なくとも 1 つの共通点を持っているかを調べてみましょう。
パラメータを使用して不等式を解きます。
ax > b、ax の形式を持つ不等式< b, ax ≥ b, ax ≤ b, где a и b – действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестная величина, называются 線形不等式.
パラメーターを使用して線形不等式を解く原理は、パラメーターを使用して一次方程式を解く原理と非常に似ています。
例1.
不等式 5x – a > ax + 3 を解きます。
解決。
まず、元の不等式を変形してみましょう。
5x – ax > a + 3、不等式の左側のかっこから x を取り出しましょう。
(5 – a)x > a + 3. ここで、パラメーター a について考えられるケースを考えてみましょう。
a > 5 の場合、x< (а + 3) / (5 – а).
a = 5 の場合、解はありません。
もし< 5, то x >(a + 3) / (5 – a)。
この解が不等式の答えになります。
例2。
a ≠ 1 について、不等式 x(a – 2) / (a – 1) – 2a/3 ≤ 2x – a を解きます。
解決。
元の不等式を変形してみましょう。
x(a – 2) / (a – 1) – 2x ≤ 2a/3 – a;
Ах/(а – 1) ≤ -а/3。 不等式の両辺に (-1) を掛けると、次のようになります。
ax/(a – 1) ≥ a/3。 パラメーター a について考えられるケースを調べてみましょう。
1件。 a/(a – 1) > 0 または € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞) とします。 したがって、x ≥ (a – 1)/3 となります。
ケース2。 a/(a – 1) = 0、つまり、 a = 0。この場合、x は任意の実数になります。
ケース3。 a/(a – 1) とします。< 0 или а € (0; 1). Тогда x ≤ (а – 1)/3.
答え: x € [(a – 1)/3; +∞) の場合は € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞);
x € [-∞; (a – 1)/3] ユーロ (0; 1);
a = 0 の x € R。
例 3.
不等式 |1 + x| を解きます。 ≤ x に対する ax。
解決。
これは、不等式 ax の右辺が負でなくてはいけないという条件から導き出されます。 ax ≥ 0。不等式 |1 + x| から加群を明らかにする規則による。 ≤ ax 二重不等式があります
斧 ≤ 1 + x ≤ 斧。 結果をシステムの形式で書き直してみましょう。
(ax ≥ 1 + x;
(-ax ≤ 1 + x。
これを次のように変換しましょう。
((a – 1)x ≥ 1;
((a + 1)x ≥ -1。
結果として得られるシステムをインターバルおよびポイントで研究します。 (図1):
a ≤ -1 x € (-∞; 1/(a – 1)] の場合。
-1 で< а < 0 x € [-1/(а – 1); 1/(а – 1)].
a = 0 x = -1 の場合。
0時< а ≤ 1 решений нет.
不等式を解くためのグラフィカルな方法
グラフをプロットすると、パラメーターを含む方程式を解くことが大幅に簡素化されます。 パラメーターを使用して不等式を解くときにグラフィカルな方法を使用すると、さらに明確で便利です。
f(x) ≥ g(x) の形式の不等式をグラフィカルに解くことは、関数 f(x) のグラフが関数 g(x) のグラフの上にある変数 x の値を見つけることを意味します。 これを行うには、グラフの交点 (存在する場合) を見つけることが常に必要です。
例1.
不等式 |x + 5| を解きます。< bx.
解決。
関数 y = |x + 5| のグラフを作成します。 そして y = bx (図2)。 不等式の解は、関数 y = |x + 5| のグラフとなる変数 x の値になります。 関数 y = bx のグラフの下になります。 
写真は示す：
1) b > 1 の場合、線は交差します。 これらの関数のグラフの交点の横軸は、方程式 x + 5 = bx の解であり、x = 5/(b – 1) となります。 グラフ y = bx は、区間 (5/(b – 1); +∞) の x の上に位置します。これは、このセットが不等式の解であることを意味します。
2) 同様に、-1 で次のことがわかります。< b < 0 решением является х из интервала (-5/(b + 1); 5/(b – 1)).
3) b ≤ -1 x € (-∞; 5/(b – 1)) の場合。
4) 0 ≤ b ≤ 1 の場合、グラフは交差しません。これは、不等式には解がないことを意味します。
答え: x € (-∞; 5/(b – 1)) (b ≤ -1 の場合)
x € (-5/(b + 1); 5/(b – 1)) -1< b < 0;
0 ≤ b ≤ 1 の解はありません。 b > 1 の場合、x € (5/(b – 1); +∞)。
例2。
不等式 a(a + 1)x > (a + 1)(a + 4) を解きます。
解決。
1) パラメーター a の「制御」値を見つけてみましょう: a 1 = 0、2 = -1。
2) 実数の各部分集合についてこの不等式を解いてみましょう: (-∞; -1); (-1); (-10); (0); (0; +∞)。
a)a< -1, из данного неравенства следует, что х >(a + 4)/a;
b) a = -1 の場合、この不等式は 0 x > 0 の形になります – 解はありません。
c) -1< a < 0, из данного неравенства следует, что х < (a + 4)/a;
d) a = 0 の場合、この不等式は 0 x > 4 の形式になります。解はありません。
e) a > 0、この不等式から、x > (a + 4)/a となります。
例 3.
不等式 |2 – |x|| を解きます。< a – x.
解決。
関数 y = |2 – |x|| のグラフを作成します。 (図3)そして、直線 y = -x + a の位置について考えられるすべてのケースを検討します。 
答え: この不等式には、a ≤ -2 に対する解はありません。
x € (-∞; (a – 2)/2) for a € (-2; 2];
a > 2 の場合、x € (-∞; (a + 2)/2)。
パラメータを使用してさまざまな問題、方程式、不等式を解決すると、多数のヒューリスティックな手法が発見され、それらは数学の他の分野にもうまく適用できます。
パラメータの問題は、論理的思考と数学的文化の形成に重要な役割を果たします。 そのため、パラメーターを使用して問題を解決する方法を習得すると、他の問題にもうまく対処できるようになります。
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職種: 18
状態
パラメータ a のどの値に対して不等式が成り立つのか
\log_(5)(4+a+(1+5a^(2)-\cos^(2)x) \cdot\sin x - a \cos 2x) \leq 1 x のすべての値が満たされますか?
解決策を表示する解決
この不等式は二重不等式と等価です 0 < 4+a+(5a^{2}+\sin^{2}x) \sin x+ a(2 \sin^(2)x-1) \leq 5 .
\sin x=t とすると、次の不等式が得られます。
4 < t^{3}+2at^{2}+5a^{2}t \leq 1 \: (*) これは、 -1 \leq t \leq 1 のすべての値に対して実行する必要があります。 a=0 の場合、不等式 (*) は任意の t\in [-1;1] に当てはまります。
\neq 0 とします。 関数 f(t)=t^(3)+2at^(2)+5a^(2)t は、導関数 f"(t)=3t^(2) であるため、区間 [-1;1] で増加します。 +4at +5a^(2) > 0 t \in \mathbb(R) および \neq 0 (判別式 D< 0 и старший коэффициент больше нуля).
不等式 (*) は、次の条件の下で t \in [-1;1] に対して満たされます。
\begin(cases) f(-1) > -4, \\ f(1) \leq 1, \\ a \neq 0; \end(件)\: \Leftrightarrow \begin(cases) -1+2a-5a^(2) > -4, \\ 1+2a+5a^(2) \leq 1, \\ a \neq 0; \end(件)\: \Leftrightarrow \begin(件) 5a^(2)-2a-3< 0, \\ 5a^{2}+2a \leq 0, \\ a \neq 0; \end{cases}\: \Leftrightarrow -\frac(2)(5)\leq a< 0 .
したがって、 -\frac(2)(5) \leq a \leq 0 の場合に条件が満たされます。
答え
\left [ -\frac(2)(5); 0\右]
出典: 「数学。 2016 年統一国家試験の準備。 プロフィールレベル。」 エド。 F. F. リセンコ、S. ユ。
職種: 18
トピック: パラメーターを使用した不等式
状態
パラメータ a のすべての値を求めます。それぞれの値について不等式が成立します。
x^2+3|x-a|-7x\leqslant -2a
独自の解決策を持っています。
解決策を表示する解決
不平等は一連の不等式と同等です
\left[\!\!\begin(array)(l) \begin(cases) x \geqslant a, \\ x^2+3x-3a-7x+2a\leqslant0; \end(ケース) \\ \begin(ケース)x
Oxa 座標系で関数のグラフを構築します a=x、a=x^2-4x、a=-\frac(x^2)(5)+2x。
結果のセットは、関数のグラフ間に囲まれた点によって満たされます。 a=x^2-4x、a=-\frac(x^2)(5)+2x間隔 x\in (影付きの領域) 上で。
グラフから次のことがわかります。元の不等式には、a=-4 と a=5 に対する一意の解があります。これは、影付きの領域には、縦座標 a が -4 と 5 に等しい単一の点があるためです。
パラメータを使用して不等式を解きます。
ax > b、ax の形式を持つ不等式< b, ax ≥ b, ax ≤ b, где a и b – действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестная величина, называются 線形不等式.
パラメーターを使用して線形不等式を解く原理は、パラメーターを使用して一次方程式を解く原理と非常に似ています。
例1.
不等式 5x – a > ax + 3 を解きます。
解決。
まず、元の不等式を変形してみましょう。
5x – ax > a + 3、不等式の左側のかっこから x を取り出しましょう。
(5 – a)x > a + 3. ここで、パラメーター a について考えられるケースを考えてみましょう。
a > 5 の場合、x< (а + 3) / (5 – а).
a = 5 の場合、解はありません。
もし< 5, то x >(a + 3) / (5 – a)。
この解が不等式の答えになります。
例2。
a ≠ 1 について、不等式 x(a – 2) / (a – 1) – 2a/3 ≤ 2x – a を解きます。
解決。
元の不等式を変形してみましょう。
x(a – 2) / (a – 1) – 2x ≤ 2a/3 – a;
Ах/(а – 1) ≤ -а/3。 不等式の両辺に (-1) を掛けると、次のようになります。
ax/(a – 1) ≥ a/3。 パラメーター a について考えられるケースを調べてみましょう。
1件。 a/(a – 1) > 0 または € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞) とします。 したがって、x ≥ (a – 1)/3 となります。
ケース2。 a/(a – 1) = 0、つまり、 a = 0。この場合、x は任意の実数になります。
ケース3。 a/(a – 1) とします。< 0 или а € (0; 1). Тогда x ≤ (а – 1)/3.
答え: x € [(a – 1)/3; +∞) の場合は € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞);
x € [-∞; (a – 1)/3] ユーロ (0; 1);
a = 0 の x € R。
例 3.
不等式 |1 + x| を解きます。 ≤ x に対する ax。
解決。
これは、不等式 ax の右辺が負でなくてはいけないという条件から導き出されます。 ax ≥ 0。不等式 |1 + x| から加群を明らかにする規則による。 ≤ ax 二重不等式があります
斧 ≤ 1 + x ≤ 斧。 結果をシステムの形式で書き直してみましょう。
(ax ≥ 1 + x;
(-ax ≤ 1 + x。
これを次のように変換しましょう。
((a – 1)x ≥ 1;
((a + 1)x ≥ -1。
結果として得られるシステムをインターバルおよびポイントで研究します。 (図1):
a ≤ -1 x € (-∞; 1/(a – 1)] の場合。
-1 で< а < 0 x € [-1/(а – 1); 1/(а – 1)].
a = 0 x = -1 の場合。
0時< а ≤ 1 решений нет.
不等式を解くためのグラフィカルな方法
グラフをプロットすると、パラメーターを含む方程式を解くことが大幅に簡素化されます。 パラメーターを使用して不等式を解くときにグラフィカルな方法を使用すると、さらに明確で便利です。
f(x) ≥ g(x) の形式の不等式をグラフィカルに解くことは、関数 f(x) のグラフが関数 g(x) のグラフの上にある変数 x の値を見つけることを意味します。 これを行うには、グラフの交点 (存在する場合) を見つけることが常に必要です。
例1.
不等式 |x + 5| を解きます。< bx.
解決。
関数 y = |x + 5| のグラフを作成します。 そして y = bx (図2)。 不等式の解は、関数 y = |x + 5| のグラフとなる変数 x の値になります。 関数 y = bx のグラフの下になります。
写真は示す：
1) b > 1 の場合、線は交差します。 これらの関数のグラフの交点の横軸は、方程式 x + 5 = bx の解であり、x = 5/(b – 1) となります。 グラフ y = bx は、区間 (5/(b – 1); +∞) の x の上に位置します。これは、このセットが不等式の解であることを意味します。
2) 同様に、-1 で次のことがわかります。< b < 0 решением является х из интервала (-5/(b + 1); 5/(b – 1)).
3) b ≤ -1 x € (-∞; 5/(b – 1)) の場合。
4) 0 ≤ b ≤ 1 の場合、グラフは交差しません。これは、不等式には解がないことを意味します。
答え: x € (-∞; 5/(b – 1)) (b ≤ -1 の場合)
x € (-5/(b + 1); 5/(b – 1)) -1< b < 0;
0 ≤ b ≤ 1 の解はありません。 b > 1 の場合、x € (5/(b – 1); +∞)。
例2。
不等式 a(a + 1)x > (a + 1)(a + 4) を解きます。
解決。
1) パラメーター a の「制御」値を見つけてみましょう: a 1 = 0、2 = -1。
2) 実数の各部分集合についてこの不等式を解いてみましょう: (-∞; -1); (-1); (-10); (0); (0; +∞)。
a)a< -1, из данного неравенства следует, что х >(a + 4)/a;
b) a = -1 の場合、この不等式は 0 x > 0 の形になります – 解はありません。
c) -1< a < 0, из данного неравенства следует, что х < (a + 4)/a;
d) a = 0 の場合、この不等式は 0 x > 4 の形式になります。解はありません。
e) a > 0、この不等式から、x > (a + 4)/a となります。
例 3.
不等式 |2 – |x|| を解きます。< a – x.
解決。
関数 y = |2 – |x|| のグラフを作成します。 (図3)そして、直線 y = -x + a の位置について考えられるすべてのケースを検討します。
答え: この不等式には、a ≤ -2 に対する解はありません。
x € (-∞; (a – 2)/2) for a € (-2; 2];
a > 2 の場合、x € (-∞; (a + 2)/2)。
パラメータを使用してさまざまな問題、方程式、不等式を解決すると、多数のヒューリスティックな手法が発見され、それらは数学の他の分野にもうまく適用できます。
パラメータの問題は、論理的思考と数学的文化の形成に重要な役割を果たします。 そのため、パラメーターを使用して問題を解決する方法を習得すると、他の問題にもうまく対処できるようになります。
まだ質問がありますか? 不平等を解決する方法がわかりませんか?
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