Gegeben sei ein gerader Kreis. Schnittpunkt eines Zylinders und eines Kegels

Gegeben sei ein gerader Kreiszylinder, dessen horizontale Projektionsebene parallel zu seiner Grundfläche verläuft. Wenn ein Zylinder von einer Ebene in allgemeiner Position geschnitten wird (wir gehen davon aus, dass die Ebene die Grundflächen des Zylinders nicht schneidet), ist die Schnittlinie eine Ellipse, der Abschnitt selbst hat die Form einer Ellipse, ihre horizontale Projektion fällt mit der zusammen Projektion der Grundfläche des Zylinders, auch die Vorderseite hat die Form einer Ellipse. Wenn die Schnittebene jedoch mit der Zylinderachse einen Winkel von 45 ° bildet, wird der Abschnitt, der die Form einer Ellipse hat, durch einen Kreis auf die Projektionsebene projiziert, zu der der Abschnitt gleichzeitig geneigt ist Winkel.

Wenn die Schnittebene die Seitenfläche des Zylinders und eine seiner Basen schneidet (Abb. 8.6), dann hat die Schnittlinie die Form einer unvollständigen Ellipse (Teil einer Ellipse). Die horizontale Projektion des Abschnitts ist in diesem Fall Teil des Kreises (Grundprojektion) und die Frontalprojektion ist Teil der Ellipse. Die Ebene kann senkrecht zu jeder Projektionsebene stehen, dann wird der Schnitt durch eine Gerade (Teil der Spur der Sekantenebene) auf diese Projektionsebene projiziert.

Wenn der Zylinder von einer zur Mantellinie parallelen Ebene geschnitten wird, sind die Schnittlinien mit der Mantelfläche gerade, und der Schnitt selbst hat die Form eines Rechtecks, wenn der Zylinder gerade ist, oder eines Parallelogramms, wenn der Zylinder geneigt ist.

Wie Sie wissen, werden sowohl der Zylinder als auch der Kegel durch Regelflächen gebildet.

Die Schnittlinie (Schnittlinie) der Regelfläche und der Ebene ist im allgemeinen Fall eine bestimmte Kurve, die aus den Schnittpunkten der Erzeugenden mit der Sekantenebene konstruiert wird.

Lass es gegeben sein gerader kreisförmiger Kegel. Beim Schnitt mit einer Ebene kann die Schnittlinie je nach Lage der Ebene die Form eines Dreiecks, einer Ellipse, eines Kreises, einer Parabel, einer Hyperbel (Abb. 8.7) annehmen.

Ein Dreieck entsteht, wenn die Schnittebene, die den Kegel schneidet, durch dessen Scheitelpunkt verläuft. In diesem Fall sind die Schnittlinien mit der Mantelfläche gerade Linien, die sich an der Spitze des Kegels schneiden und zusammen mit der Schnittlinie der Basis ein verzerrt auf die Projektionsebenen projiziertes Dreieck bilden. Wenn die Ebene die Achse des Kegels schneidet, erhält man ein Dreieck in dem Abschnitt, in dem der Winkel, dessen Scheitelpunkt mit dem Scheitelpunkt des Kegels zusammenfällt, für die Dreiecksabschnitte des gegebenen Kegels maximal ist. In diesem Fall wird der Abschnitt durch ein gerades Liniensegment auf die horizontale Projektionsebene (sie verläuft parallel zu ihrer Basis) projiziert.

Die Schnittlinie einer Ebene und eines Kegels ist eine Ellipse, wenn die Ebene zu keinem der Erzeuger des Kegels parallel ist. Dies entspricht der Tatsache, dass die Ebene alle Generatoren (die gesamte Mantelfläche des Kegels) schneidet. Wenn die Schnittebene parallel zur Kegelbasis verläuft, ist die Schnittlinie ein Kreis, der Schnitt selbst wird verzerrungsfrei auf die horizontale Projektionsebene und als gerades Liniensegment auf die Frontalebene projiziert.

Die Schnittlinie ist eine Parabel, wenn die Sekantenebene nur zu einer Mantellinie des Kegels parallel ist. Wenn die Schnittebene gleichzeitig zu zwei Erzeugenden parallel ist, ist die Schnittlinie eine Hyperbel.

Ein Kegelstumpf entsteht, wenn ein gerader Kreiskegel von einer Ebene parallel zur Grundfläche und senkrecht zur Kegelachse geschnitten wird und der obere Teil weggeworfen wird. Wenn die horizontale Projektionsebene parallel zu den Grundflächen des Kegelstumpfes verläuft, werden diese Grundflächen ohne Verzerrung durch konzentrische Kreise auf die horizontale Projektionsebene projiziert und die Frontalprojektion ist ein Trapez. Wenn ein Kegelstumpf von einer Ebene geschnitten wird, kann die Schnittlinie je nach Lage die Form eines Trapezes, einer Ellipse, eines Kreises, einer Parabel, einer Hyperbel oder eines Teils einer dieser Kurven annehmen, deren Enden durch a verbunden sind gerade Linie.

TEXTLERKLÄRUNG DER LEKTION:

Wir studieren weiterhin den Abschnitt der Festkörpergeometrie „Revolutionskörper“.

Zu den Rotationskörpern gehören: Zylinder, Kegel, Kugeln.

Erinnern wir uns an die Definitionen.

Die Höhe ist der Abstand von der Oberseite einer Figur oder eines Körpers bis zur Basis der Figur (des Körpers). Andernfalls ein Segment, das die Ober- und Unterseite der Figur verbindet und senkrecht dazu verläuft.

Denken Sie daran: Um die Fläche eines Kreises zu ermitteln, multiplizieren Sie pi mit dem Quadrat des Radius.

Die Fläche des Kreises ist gleich.

Erinnern Sie sich, wie man die Fläche eines Kreises ermittelt, wenn man den Durchmesser kennt? Als

Setzen wir es in die Formel ein:

Ein Kegel ist auch ein Rotationskörper.

Ein Kegel (genauer gesagt ein Kreiskegel) ist ein Körper, der aus einem Kreis besteht – der Basis des Kegels, einem Punkt, der nicht in der Ebene dieses Kreises liegt – der Spitze des Kegels und allen die Spitze verbindenden Segmenten der Kegel mit den Spitzen der Basis.

Machen wir uns mit der Formel zur Bestimmung des Volumens eines Kegels vertraut.

Satz. Das Volumen eines Kegels entspricht einem Drittel der Grundfläche multipliziert mit der Höhe.

Beweisen wir diesen Satz.

Gegeben: ein Kegel, S ist die Fläche seiner Grundfläche,

h ist die Höhe des Kegels

Beweisen Sie: V=

Beweis: Betrachten Sie einen Kegel mit Volumen V, Basisradius R, Höhe h und Spitze am Punkt O.

Führen wir die Achse Ox durch OM ein, die Achse des Kegels. Ein beliebiger Schnitt eines Kegels durch eine Ebene senkrecht zur x-Achse ist ein Kreis mit Mittelpunkt im Punkt

M1 - der Schnittpunkt dieser Ebene mit der Achse Ox. Bezeichnen wir den Radius dieses Kreises als R1 und die Querschnittsfläche als S(x), wobei x die Abszisse des Punktes M1 ist.

Aus der Ähnlichkeit der rechtwinkligen Dreiecke OM1A1 und OMA (ے OM1A1 = ے OMA – Geraden, ےMOA-gemeinsam, was bedeutet, dass die Dreiecke in zwei Winkeln ähnlich sind) folgt Folgendes

Die Abbildung zeigt, dass OM1=x, OM=h

oder woher wir aufgrund der Proportionseigenschaft R1 = finden.

Da der Abschnitt ein Kreis ist, ist S (x) \u003d πR12, wir ersetzen den vorherigen Ausdruck anstelle von R1, die Querschnittsfläche ist gleich dem Verhältnis des Produkts von pi er Quadrat mal Quadrat x zum Quadrat der Höhe:

Wenden wir die Grundformel an

Wenn wir die Volumina von Körpern berechnen, mit a=0, b=h, erhalten wir den Ausdruck (1)

Da die Basis des Kegels ein Kreis ist, ist die Fläche S der Basis des Kegels gleich dem Quadrat des Quadrats

In der Formel zur Berechnung des Volumens eines Körpers ersetzen wir den Wert von Pi er Quadrat durch die Grundfläche und erhalten, dass das Volumen des Kegels einem Drittel des Produkts aus der Fläche entspricht der Basis und der Höhe

Der Satz ist bewiesen.

Folgerung des Satzes (Formel für das Volumen eines Kegelstumpfes)

Das Volumen V eines Kegelstumpfes mit der Höhe h und den Grundflächen S und S1 wird nach der Formel berechnet

Ve ist gleich einem Drittel der Asche multipliziert mit der Summe der Grundflächen und der Quadratwurzel des Produkts der Grundflächen.

Probleme lösen

Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Schenkellängen 3 cm und 4 cm dreht sich um die Hypotenuse. Bestimmen Sie das Volumen des resultierenden Körpers.

Wenn sich das Dreieck um die Hypotenuse dreht, entsteht ein Kegel. Bei der Lösung dieses Problems ist es wichtig zu verstehen, dass zwei Fälle möglich sind. In jedem von ihnen wenden wir die Formel zur Bestimmung des Volumens eines Kegels an: Das Volumen eines Kegels ist gleich einem Drittel des Produkts aus Grundfläche und Höhe

Im ersten Fall sieht die Zeichnung so aus: Gegeben ist ein Kegel. Sei Radius r = 4, Höhe h = 3

Die Grundfläche ist gleich dem Produkt aus π mal dem Quadrat des Radius

Dann ist das Volumen des Kegels gleich einem Drittel des Produkts aus π mal dem Quadrat des Radius mal der Höhe.

Setzt man den Wert in die Formel ein, erhält man, dass das Volumen des Kegels 16π beträgt.

Im zweiten Fall so: Gegeben sei ein Kegel. Sei Radius r = 3, Höhe h = 4

Das Volumen eines Kegels entspricht einem Drittel der Grundfläche multipliziert mit der Höhe:

Die Grundfläche ist gleich dem Produkt aus π mal dem Quadrat des Radius:

Dann ist das Volumen des Kegels gleich einem Drittel des Produkts aus π mal dem Quadrat des Radius mal der Höhe:

Setzt man den Wert in die Formel ein, erhält man, dass das Volumen des Kegels 12π beträgt.

Antwort: Das Volumen des Kegels V beträgt 16 π oder 12 π

Aufgabe 2. Gegeben sei ein gerader Kreiskegel mit einem Radius von 6 cm, Winkel BCO = 45 .

Finden Sie das Volumen des Kegels.

Lösung: Für diese Aufgabe liegt eine fertige Zeichnung vor.

Schreiben wir die Formel zum Ermitteln des Volumens eines Kegels:

Wir drücken es durch den Radius der Basis R aus:

Wir finden h \u003d BO nach Konstruktion, - rechteckig, weil Winkel BOC=90 (die Summe der Winkel eines Dreiecks), die Winkel an der Basis sind gleich, also ist das Dreieck ΔBOC gleichschenklig und BO=OC=6 cm.

Einführung

Relevanz des Forschungsthemas. Kegelschnitte waren bereits den Mathematikern des antiken Griechenlands bekannt (z. B. Menechmus, 4. Jahrhundert v. Chr.); Mit Hilfe dieser Kurven wurden einige Konstruktionsprobleme gelöst (Verdoppelung des Würfels usw.), die sich mit den einfachsten Zeichenwerkzeugen – Zirkel und Lineal – als unzugänglich erwiesen. In den ersten Studien, die uns überliefert sind, erhielten griechische Geometer Kegelschnitte, indem sie eine Schnittebene senkrecht zu einem der Generatoren zeichneten, während sie abhängig vom Öffnungswinkel an der Spitze des Kegels (d. h. dem größten Winkel zwischen den Generatoren) Wenn dieser Winkel spitz ist, ist er eine Parabel, wenn er ein rechter Winkel ist, und eine Hyperbel, wenn er stumpf ist. Das umfassendste Werk, das sich diesen Kurven widmete, waren die „Kegelschnitte“ von Apollonius von Perge (ca. 200 v. Chr.). Weitere Fortschritte in der Theorie der Kegelschnitte sind mit der Entstehung im 17. Jahrhundert verbunden. neue geometrische Methoden: projektiv (französische Mathematiker J. Desargues, B. Pascal) und insbesondere koordinativ (französische Mathematiker R. Descartes, P. Fermat).

Das Interesse an Kegelschnitten wurde schon immer durch die Tatsache gestützt, dass diese Kurven häufig bei verschiedenen Naturphänomenen und bei menschlichen Aktivitäten vorkommen. In der Wissenschaft erlangten Kegelschnitte besondere Bedeutung, nachdem der deutsche Astronom I. Kepler aus Beobachtungen entdeckte und der englische Wissenschaftler I. Newton die Gesetze der Planetenbewegung theoretisch begründete, von denen eines behauptet, dass Planeten und Kometen Sonnensystem Bewegung entlang konischer Abschnitte, in einem der Brennpunkte befindet sich die Sonne. Die folgenden Beispiele beziehen sich auf bestimmte Arten von Kegelschnitten: Ein schräg zum Horizont geworfenes Projektil oder Stein beschreibt eine Parabel (die korrekte Form der Kurve wird durch den Luftwiderstand etwas verzerrt); In einigen Mechanismen werden elliptische Zahnräder verwendet („Ellipsengetriebe“); Die Hyperbel dient als Graph der umgekehrten Proportionalität, der häufig in der Natur beobachtet wird (z. B. das Boyle-Mariotte-Gesetz).

Ziel der Arbeit:

Das Studium der Theorie der Kegelschnitte.

Forschungsthema:

Konische Abschnitte.

Zweck der Studie:

Untersuchen Sie theoretisch die Merkmale von Kegelschnitten.

Studienobjekt:

Konische Abschnitte.

Gegenstand der Studie:

Historische Entwicklung der Kegelschnitte.

1. Bildung von Kegelschnitten und ihre Typen

Kegelschnitte sind Linien, die sich im Schnitt eines geraden Kreiskegels mit unterschiedlichen Ebenen bilden.

Beachten Sie, dass eine konische Oberfläche eine Oberfläche ist, die durch die Bewegung einer geraden Linie gebildet wird, die ständig durch einen festen Punkt (die Spitze des Kegels) verläuft und ständig eine feste Kurve schneidet – eine Führung (in unserem Fall einen Kreis). ).

Klassifiziert man diese Linien nach der Art der Lage der Sekantenebenen relativ zu den Generatoren des Kegels, erhält man drei Arten von Kurven:

I. Kurven, die durch einen Kegelabschnitt durch Ebenen gebildet werden, die zu keiner der Erzeugenden parallel sind. Solche Kurven werden verschiedene Kreise und Ellipsen sein. Diese Kurven werden elliptische Kurven genannt.

II. Kurven, die durch einen Abschnitt eines Kegels durch Ebenen gebildet werden, die jeweils parallel zu einer der Erzeugenden des Kegels liegen (Abb. 1b). Nur Parabeln werden solche Kurven sein.

III. Kurven, die durch einen Kegelabschnitt durch Ebenen gebildet werden, von denen jede parallel zu zwei Erzeugenden verläuft (Abb. 1c). solche Kurven werden Hyperbeln sein.

Es kann keine Kurven vom Typ IV mehr geben, da es keine Ebene parallel zu drei Erzeugern eines Kegels gleichzeitig geben kann, da keine drei Erzeuger eines Kegels selbst in derselben Ebene liegen.

Beachten Sie, dass der Kegel von Ebenen geschnitten werden kann und so im Schnitt zwei Geraden entstehen. Dazu müssen die Sekantenebenen durch die Kegelspitze gezogen werden.

2. Ellipse

Für die Untersuchung der Eigenschaften von Kegelschnitten sind zwei Sätze wichtig:

Satz 1. Gegeben sei ein gerader Kreiskegel, der durch die Ebenen b 1, b 2, b 3 senkrecht zu seiner Achse zerlegt wird. Dann sind alle Segmente der Kegelgeneratoren zwischen einem beliebigen Kreispaar (erhalten im Schnitt mit den gegebenen Ebenen) einander gleich, d. h. A 1 B 1 \u003d A 2 B 2 \u003d usw. und B 1 C 1 \u003d B 2 C 2 \u003d usw. Satz 2. Wenn eine Kugeloberfläche gegeben ist und ein Punkt S außerhalb davon liegt, dann sind die Tangentensegmente, die vom Punkt S zur Kugeloberfläche gezogen werden, einander gleich, d.h. SA 1 =SA 2 =SA 3 usw.

2.1 Grundeigenschaft einer Ellipse

Wir schneiden einen geraden Kreiskegel mit einer Ebene, die alle seine Generatoren schneidet. Im Schnitt erhalten wir eine Ellipse. Zeichnen wir eine Ebene senkrecht zur Ebene durch die Kegelachse.

Wir schreiben zwei Kugeln so in den Kegel ein, dass sie, da sie sich auf gegenüberliegenden Seiten der Ebene befinden und die konische Oberfläche berühren, jeweils irgendwann die Ebene berühren.

Lassen Sie eine Kugel die Ebene am Punkt F 1 berühren und den Kegel entlang des Kreises C 1 berühren, und die andere am Punkt F 2 und berühren Sie den Kegel entlang des Kreises C 2 .

Nehmen Sie einen beliebigen Punkt P auf der Ellipse.

Dies bedeutet, dass alle daraus gezogenen Schlussfolgerungen für jeden Punkt der Ellipse gültig sind. Zeichnen wir die Erzeugende des ODER des Kegels und markieren Sie die Punkte R 1 und R 2, an denen er die konstruierten Kugeln berührt.

Verbinden Sie Punkt P mit den Punkten F 1 und F 2 . Dann ist PF 1 = PR 1 und PF 2 = PR 2, da PF 1, PR 1 Tangenten sind, die vom Punkt P zu einer Kugel gezogen werden, und PF 2, PR 2 Tangenten sind, die vom Punkt P zu einer anderen Kugel gezogen werden (Satz 2 ) . Wenn wir beide Gleichungen Term für Term addieren, finden wir

PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = R 1 R 2 (1)

Diese Beziehung zeigt, dass die Summe der Abstände (РF 1 und РF 2) eines beliebigen Punktes P der Ellipse zu zwei Punkten F 1 und F 2 ein konstanter Wert für diese Ellipse ist (d. h. sie hängt nicht von der Position ab). des Punktes P auf der Ellipse).

Die Punkte F 1 und F 2 werden als Brennpunkte der Ellipse bezeichnet. Die Punkte, an denen die Linie F 1 F 2 die Ellipse schneidet, werden Eckpunkte der Ellipse genannt. Der Abschnitt zwischen den Eckpunkten wird als Hauptachse der Ellipse bezeichnet.

Das Segment der Erzeugenden R 1 R 2 ist gleich lang wie die Hauptachse der Ellipse. Dann wird die Haupteigenschaft der Ellipse wie folgt formuliert: Die Summe der Abstände eines beliebigen Punktes P der Ellipse zu ihren Brennpunkten F 1 und F 2 ist ein konstanter Wert für diese Ellipse, gleich der Länge ihrer Hauptachse.

Beachten Sie, dass die Ellipse ein Kreis ist, wenn die Brennpunkte der Ellipse zusammenfallen, d. h. Ein Kreis ist ein Sonderfall einer Ellipse.

2.2 Ellipsengleichung

Um die Gleichung einer Ellipse zu schreiben, müssen wir die Ellipse als Ort von Punkten betrachten, die eine Eigenschaft haben, die diesen Ort charakterisiert. Nehmen wir als Definition die Haupteigenschaft der Ellipse: Ellipse ist der Ort von Punkten in einer Ebene, für die die Summe der Abstände zu zwei festen Punkten F 1 und F 2 dieser Ebene, Brennpunkte genannt, ein konstanter Wert ist die Länge seiner Hauptachse.

Die Länge des Segments F 1 F 2 = 2c und die Länge der Hauptachse sei 2a. Um die kanonische Gleichung der Ellipse abzuleiten, wählen wir den Ursprung O des kartesischen Koordinatensystems in der Mitte des Segments F 1 F 2 und richten die Achsen Ox und Oy wie in Abbildung 5 gezeigt aus. (Wenn die Brennpunkte zusammenfallen, dann O fällt mit F 1 und F 2 zusammen, und jenseits der Achse kann Ox als jede durch O verlaufende Achse angesehen werden. Dann im gewählten Koordinatensystem die Punkte F 1 (c, 0) und F 2 (-c, 0). Offensichtlich ist 2a > 2c, d.h. a>c. Sei M(x, y) ein Punkt der zur Ellipse gehörenden Ebene. Sei МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . Nach der Definition einer Ellipse ist die Gleichheit

r 1 +r 2 =2a (2) ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Lage des Punktes M (x, y) auf einer gegebenen Ellipse. Mit der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten erhalten wir

r 1 =, r 2 =. Kehren wir zur Gleichheit (2) zurück:

Verschieben wir eine Wurzel auf die rechte Seite der Gleichheit und quadrieren sie:

Durch Reduzieren erhalten wir:

Wir geben ähnliche an, reduzieren um 4 und isolieren das Radikal:

Wir quadrieren

Öffnen Sie die Klammern und kürzen Sie sie auf:

Woher bekommen wir:

(a 2 -c 2) x 2 + a 2 y 2 \u003d a 2 (a 2 -c 2). (3)

Beachten Sie, dass a 2 -c 2 >0. Tatsächlich ist r 1 +r 2 die Summe zweier Seiten des Dreiecks F 1 MF 2 und F 1 F 2 ist seine dritte Seite. Daher ist r 1 +r 2 > F 1 F 2 , oder 2a>2с, d.h. a>c. Bezeichnen Sie a 2 -c 2 \u003d b 2. Gleichung (3) sieht folgendermaßen aus: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 . Führen wir eine Transformation durch, die die Ellipsengleichung in die kanonische (wörtlich: als Beispiel genommene) Form bringt, indem wir nämlich beide Teile der Gleichung durch a 2 b 2 dividieren:

(4) - kanonische Gleichung einer Ellipse.

Da Gleichung (4) eine algebraische Konsequenz von Gleichung (2*) ist, erfüllen die x- und y-Koordinaten eines beliebigen Punktes M der Ellipse auch Gleichung (4). Da bei algebraischen Transformationen im Zusammenhang mit der Entfernung von Radikalen „zusätzliche Wurzeln“ auftreten können, muss sichergestellt werden, dass jeder Punkt M, dessen Koordinaten Gleichung (4) erfüllen, auf dieser Ellipse liegt. Dazu reicht es zu beweisen, dass die Größen r 1 und r 2 für jeden Punkt die Beziehung (2) erfüllen. Lassen Sie also die x- und y-Koordinaten des Punktes M Gleichung (4) erfüllen. Wenn wir den Wert von y 2 aus (4) in den Ausdruck r 1 einsetzen, finden wir nach einfachen Transformationen, dass r 1 =. Da, dann r 1 =. Ganz ähnlich finden wir, dass r 2 =. Somit gilt für den betrachteten Punkt M r 1 =, r 2 =, d.h. r 1 + r 2 \u003d 2a, daher liegt der Punkt M auf einer Ellipse. Die Größen a und b werden als große bzw. kleine Halbachse der Ellipse bezeichnet.

2.3 Untersuchung der Form einer Ellipse gemäß ihrer Gleichung

Lassen Sie uns die Form der Ellipse anhand ihrer kanonischen Gleichung ermitteln.

1. Gleichung (4) enthält x und y nur in geraden Potenzen. Wenn also der Punkt (x, y) zur Ellipse gehört, dann sind die Punkte (x, - y), (-x, y), (-x, - y). Daraus folgt, dass die Ellipse symmetrisch um die Achsen Ox und Oy sowie um den Punkt O (0,0) ist, der als Mittelpunkt der Ellipse bezeichnet wird.

2. Finden Sie die Schnittpunkte der Ellipse mit den Koordinatenachsen. Wenn wir y = 0 setzen, finden wir zwei Punkte A 1 (a, 0) und A 2 (-a, 0), in denen die Ox-Achse die Ellipse schneidet. Wenn wir x=0 in Gleichung (4) einsetzen, finden wir die Schnittpunkte der Ellipse mit der Oy-Achse: B 1 (0, b) und. B 2 (0, - b) Punkte A 1 , A 2 , B 1 , B 2 werden Ellipsenscheitelpunkte genannt.

3. Aus Gleichung (4) folgt, dass jeder Term auf der linken Seite Eins nicht überschreitet, d.h. Es gibt Ungleichheiten und oder und. Daher liegen alle Punkte der Ellipse innerhalb des durch die Geraden gebildeten Rechtecks.

4. In Gleichung (4) ist die Summe der nichtnegativen Terme und gleich eins. Wenn also ein Term zunimmt, nimmt der andere ab, d. h. Wenn x zunimmt, dann nimmt y ab und umgekehrt.

Aus dem Gesagten folgt, dass die Ellipse die in Abb. gezeigte Form hat. 6 (ovale geschlossene Kurve).

Beachten Sie, dass Gleichung (4) bei a = b die Form x 2 + y 2 = a 2 annimmt. Das ist die Kreisgleichung. Eine Ellipse kann aus einem Kreis mit Radius a erhalten werden, wenn dieser einmal entlang der Oy-Achse gestaucht wird. Bei einer solchen Kontraktion geht der Punkt (x; y) zum Punkt (x; y 1), wo. Wenn wir den Kreis in die Gleichung einsetzen, erhalten wir die Ellipsengleichung: .

Lassen Sie uns eine weitere Größe einführen, die die Form der Ellipse charakterisiert.

Die Exzentrizität einer Ellipse ist das Verhältnis der Brennweite 2c zur Länge 2a ihrer Hauptachse.

Exzentrizität wird üblicherweise mit e bezeichnet: e = Da c< a, то. Заметив, что c 2 = a 2 - b 2 , находим: , отсюда.

Aus der letzten Gleichung lässt sich leicht eine geometrische Interpretation der Exzentrizität der Ellipse gewinnen. Bei sehr kleinen Zahlen sind a und b nahezu gleich, das heißt, die Ellipse kommt einem Kreis nahe. Liegt sie nahe bei Eins, dann ist die Zahl b im Vergleich zur Zahl a sehr klein und die Ellipse ist entlang der Hauptachse stark verlängert. Somit charakterisiert die Exzentrizität der Ellipse das Maß für die Dehnung der Ellipse.

3. Übertreibung

3.1 Die Haupteigenschaft der Hyperbel

Wenn wir die Hyperbel mit Hilfe von Konstruktionen untersuchen, die den Konstruktionen ähneln, die für das Studium der Ellipse durchgeführt wurden, stellen wir fest, dass die Hyperbel ähnliche Eigenschaften wie die Ellipse hat.

Schneiden wir einen geraden Kreiskegel durch eine Ebene b, die beide Ebenen schneidet, d. h. parallel zu zwei seiner Generatoren. Der Querschnitt ist eine Hyperbel. Zeichnen wir durch die Achse ST des Kegels die Ebene ASB, senkrecht zur Ebene b.

Schreiben wir zwei Kugeln in den Kegel ein – eine in einen seiner Hohlräume, die andere in den anderen, so dass jede von ihnen die Kegelfläche und die Sekantenebene berührt. Lassen Sie die erste Kugel die Ebene b im Punkt F 1 berühren und die konische Oberfläche entlang des Kreises UґVґ berühren. Lassen Sie die zweite Kugel die Ebene b im Punkt F 2 berühren und die konische Oberfläche entlang des Kreises UV berühren.

Wir wählen einen beliebigen Punkt M auf der Hyperbel. Zeichnen wir die Erzeugende des Kegels MS durch ihn und markieren die Punkte d und D, an denen er die erste und zweite Kugel berührt. Wir verbinden den Punkt M mit den Punkten F 1 , F 2 , die wir als Brennpunkte der Hyperbel bezeichnen. Dann ist MF 1 =Md, da beide Segmente tangential zur ersten Kugel sind, die vom Punkt M aus gezogen wird. Ebenso gilt MF 2 =MD. Subtrahieren wir Term für Term von der ersten Gleichheit, so finden wir die zweite

MF 1 -MF 2 \u003d Md-MD \u003d dD,

wobei dD ein konstanter Wert ist (als Erzeugende eines Kegels mit den Basen UґVґ und UV), unabhängig von der Wahl des Punktes M auf der Hyperbel. Bezeichnen Sie mit P und Q die Punkte, an denen die Gerade F 1 F 2 die Hyperbel schneidet. Diese Punkte P und Q werden die Eckpunkte der Hyperbel genannt. Das Segment PQ wird als reelle Achse der Hyperbel bezeichnet. Im Zuge der Elementargeometrie wird bewiesen, dass dD=PQ. Daher ist MF 1 -MF 2 =PQ.

Wenn der Punkt M auf dem Zweig der Hyperbel liegt, in dessen Nähe sich der Fokus F 1 befindet, dann MF 2 -MF 1 =PQ. Dann erhalten wir schließlich МF 1 -MF 2 =PQ.

Der Modul der Differenz zwischen den Abständen eines beliebigen Punktes M einer Hyperbel von seinen Brennpunkten F 1 und F 2 ist ein konstanter Wert, der der Länge der realen Achse der Hyperbel entspricht.

3.2 Gleichung einer Hyperbel

Nehmen wir als Definition die Haupteigenschaft einer Hyperbel: Eine Hyperbel ist ein Ort von Punkten in einer Ebene, für den der Modul der Abstandsdifferenz zu zwei festen Punkten F 1 und F 2 dieser Ebene, Brennpunkte genannt, eine Konstante ist Wert gleich der Länge seiner realen Achse.

Die Länge des Segments F 1 F 2 = 2c und die Länge der realen Achse sei 2a. Um die kanonische Gleichung der Hyperbel abzuleiten, wählen wir den Ursprung O des kartesischen Koordinatensystems in der Mitte des Segments F 1 F 2 und richten die Achsen Ox und Oy wie in Abbildung 5 gezeigt aus. Dann wird im gewählten Koordinatensystem die Punkte F 1 (c, 0) und F 2 ( -s, 0). Offensichtlich 2a<2с, т.е. а<с. Пусть М (х, у) - точка плоскости, принадлежащая гиперболе. Пусть МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . Согласно определению гиперболы равенство

r 1 -r 2 \u003d 2a (5) ist eine notwendige und ausreichende Bedingung für die Lage des Punktes M (x, y) auf dieser Hyperbel. Mit der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten erhalten wir

r 1 =, r 2 =. Kehren wir zur Gleichheit (5) zurück:

Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung quadrieren

(x + s) 2 + y 2 \u003d 4a 2 ± 4a + (x-c) 2 + y 2

Durch Reduzieren erhalten wir:

2 хс=4а 2 ±4а-2 хс

±4a=4a 2 -4 xs

a 2 x 2 -2a 2 xc + a 2 c 2 + a 2 y 2 \u003d a 4 -2a 2 xc + x 2 c 2

x 2 (c 2 -a 2) - a 2 y 2 \u003d a 2 (c 2 -a 2) (6)

Beachten Sie, dass c 2 -a 2 >0. Bezeichne c 2 -a 2 =b 2 . Gleichung (6) sieht folgendermaßen aus: b 2 x 2 -a 2 y 2 =a 2 b 2 . Wir führen eine Transformation durch, die die Hyperbelgleichung in die kanonische Form bringt, nämlich beide Teile der Gleichung durch a 2 b 2 dividieren: (7) - In der kanonischen Gleichung der Hyperbel sind die Größen a und b jeweils die realen und imaginären Halbachsen der Hyperbel.

Wir müssen sicherstellen, dass Gleichung (7), die durch algebraische Transformationen von Gleichung (5*) erhalten wurde, keine neuen Wurzeln erhalten hat. Dazu genügt es zu beweisen, dass für jeden Punkt M, dessen Koordinaten x und y Gleichung (7) erfüllen, die Werte r 1 und r 2 die Beziehung (5) erfüllen. Unter Berücksichtigung ähnlicher Argumente wie bei der Ableitung der Ellipsenformel finden wir die folgenden Ausdrücke für r 1 und r 2:

Für den betrachteten Punkt M gilt also r 1 -r 2 =2a, er liegt also auf der Hyperbel.

3.3 Studium der Hyperbelgleichung

Versuchen wir nun, anhand der Betrachtung von Gleichung (7) eine Vorstellung von der Lage der Hyperbel zu bekommen.
1. Zunächst zeigt Gleichung (7), dass die Hyperbel um beide Achsen symmetrisch ist. Dies erklärt sich aus der Tatsache, dass in der Kurvengleichung nur gerade Koordinatengrade enthalten sind. 2. Wir markieren nun den Bereich der Ebene, in dem die Kurve liegen soll. Die nach y aufgelöste Gleichung einer Hyperbel hat die Form:

Es zeigt, dass y immer dann existiert, wenn x 2? ein 2 . Das bedeutet, dass für x? a und für x? - und die y-Ordinate wird real sein, und für - a

Darüber hinaus wächst mit zunehmendem x (und größer a) auch die y-Ordinate ständig (insbesondere ist daraus ersichtlich, dass die Kurve nicht wellenförmig sein kann, d. h. so, dass mit dem Wachstum der Abszisse von x die y-Ordinate nimmt entweder zu oder ab).

3. Der Mittelpunkt einer Hyperbel ist ein Punkt, zu dem jeder Punkt der Hyperbel einen zu sich selbst symmetrischen Punkt hat. Der Punkt O(0,0), der Ursprung, wie bei der Ellipse, ist der Mittelpunkt der durch die kanonische Gleichung gegebenen Hyperbel. Dies bedeutet, dass jeder Punkt der Hyperbel einen symmetrischen Punkt auf der Hyperbel in Bezug auf den Punkt O hat. Dies folgt aus der Symmetrie der Hyperbel in Bezug auf die Achsen Ox und Oy. Jede durch ihren Mittelpunkt verlaufende Sehne einer Hyperbel wird als Durchmesser der Hyperbel bezeichnet.

4. Die Schnittpunkte der Hyperbel mit der Linie, auf der ihre Brennpunkte liegen, werden als Eckpunkte der Hyperbel bezeichnet, und das Segment zwischen ihnen wird als reale Achse der Hyperbel bezeichnet. In diesem Fall ist die reale Achse die x-Achse. Beachten Sie, dass die reale Achse der Hyperbel oft sowohl als Segment 2a als auch als gerade Linie selbst (Ox-Achse) bezeichnet wird, auf der sie liegt.

Finden Sie die Schnittpunkte der Hyperbel mit der Oy-Achse. Die y-Achsengleichung lautet x=0. Wenn wir x = 0 in Gleichung (7) einsetzen, erhalten wir, dass die Hyperbel keine Schnittpunkte mit der Oy-Achse hat. Dies ist verständlich, da es in einem Streifen der Breite 2a, der die Oy-Achse abdeckt, keine Hyperbelpunkte gibt.

Die Linie, die senkrecht zur realen Achse der Hyperbel verläuft und durch deren Mittelpunkt verläuft, wird als imaginäre Achse der Hyperbel bezeichnet. In diesem Fall fällt sie mit der y-Achse zusammen. In den Nennern der Terme mit x 2 und y 2 in der Hyperbelgleichung (7) liegen also die Quadrate der realen und imaginären Halbachsen der Hyperbel.

5. Die Hyperbel schneidet die Gerade y = kx für k< в двух точках. Если k то общих точек у прямой и гиперболы нет.

Nachweisen

Um die Koordinaten der Schnittpunkte der Hyperbel und der Geraden y = kx zu bestimmen, ist es notwendig, das Gleichungssystem zu lösen

Wenn wir y eliminieren, erhalten wir

oder Für b 2 -k 2 a 2 0, also für k, gilt die resultierende Gleichung und damit das Lösungssystem nicht.

Die Geraden mit den Gleichungen y= und y= - heißen Asymptoten der Hyperbel.

Für b 2 -k 2 a 2 >0, also für k< система имеет два решения:

Daher hat jede Gerade, die durch den Ursprung geht, eine Steigung k< пересекает гиперболу в двух точках. При k = 0 получаем точки пересечения (a; 0) и (- a; 0) - вершины гиперболы.

6. Optische Eigenschaft der Hyperbel: Optische Strahlen, die von einem Brennpunkt der Hyperbel ausgehen und von diesem reflektiert werden, scheinen vom zweiten Brennpunkt auszustrahlen.

Die Exzentrizität der Hyperbel ist das Verhältnis der Brennweite 2c zur Länge 2a ihrer realen Achse?
diese. von der Seite seiner Konkavität.

3.4 Konjugierte Hyperbel

Neben der Hyperbel (7) wird auch die zu ihr konjugierte Hyperbel betrachtet. Die konjugierte Hyperbel wird durch die kanonische Gleichung definiert.

Auf Abb. 10 zeigt die Hyperbel (7) und ihre konjugierte Hyperbel. Die konjugierte Hyperbel hat die gleichen Asymptoten wie die gegebene, aber F 1 (0, c),

4. Parabel

4.1 Grundeigenschaft einer Parabel

Lassen Sie uns die grundlegenden Eigenschaften einer Parabel ermitteln. Schneiden wir einen geraden Kreiskegel mit der Spitze S durch eine Ebene parallel zu einem seiner Erzeugenden. Im Abschnitt erhalten wir eine Parabel. Zeichnen wir durch die Achse ST des Kegels die Ebene ASB senkrecht zur Ebene (Abb. 11). Die darin liegende Erzeugende SA wird parallel zur Ebene sein. Schreiben wir in den Kegel eine Kugelfläche ein, die den Kegel entlang des Kreises UV tangiert und die Ebene im Punkt F tangiert. Zeichnen Sie eine Linie durch den Punkt F parallel zum Generator SA. Wir bezeichnen den Punkt seines Schnittpunkts mit der Erzeugenden SB mit P. Der Punkt F wird Brennpunkt der Parabel genannt, der Punkt P ist ihr Scheitelpunkt und die Linie PF, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft (und parallel zur Erzeugenden SA verläuft). ) wird die Achse der Parabel genannt. Die Parabel wird keinen zweiten Scheitelpunkt haben – den Schnittpunkt der PF-Achse mit der Erzeugenden SA: Dieser Punkt „geht ins Unendliche“. Nennen wir die Leitlinie (in der Übersetzung „Führung“) die Linie q 1 q 2 des Schnittpunkts der Ebene mit der Ebene, in der der Kreis UV liegt. Nehmen Sie einen beliebigen Punkt M auf der Parabel und verbinden Sie ihn mit der Spitze des Kegels S. Die Linie MS berührt die Kugel im Punkt D, der auf dem Kreis UV liegt. Wir verbinden den Punkt M mit dem Fokus F und lassen die Senkrechte MK vom Punkt M zur Leitlinie fallen. Dann stellt sich heraus, dass die Abstände eines beliebigen Punktes M der Parabel zum Fokus (MF) und zur Leitlinie (MK) einander gleich sind (die Haupteigenschaft der Parabel), d.h. MF=MK.

Beweis: МF=MD (als Tangenten an eine Kugel von einem Punkt). Bezeichnen wir den Winkel zwischen einer der Erzeugenden des Kegels und der ST-Achse als q. Projizieren wir die Segmente MD und MK auf die ST-Achse. Das Segment MD bildet eine Projektion auf die ST-Achse, gleich MDcosc, da MD auf der Mantellinie des Kegels liegt; Das Segment MK bildet eine Projektion auf die ST-Achse, gleich MKsoc, da das Segment MK parallel zur Generatrix SA verläuft. (Tatsächlich steht die Leitlinie q 1 q 1 senkrecht auf der Ebene ASB. Daher schneidet die Gerade PF die Leitlinie im Punkt L im rechten Winkel. Die Geraden MK und PF liegen jedoch in derselben Ebene und MK steht ebenfalls senkrecht zur Leitlinie). Die Projektionen beider Segmente MK und MD auf die ST-Achse sind einander gleich, da eines ihrer Enden – der Punkt M – gemeinsam ist und die anderen beiden D und K in einer Ebene senkrecht zur ST-Achse liegen (Abb. ). Dann ist МDcosц= MKsоsц oder МD= MK. Daher ist MF=MK.

Eigentum 1.(Brennwert einer Parabel).

Der Abstand von jedem Punkt der Parabel zur Mitte der Hauptsehne ist gleich ihrem Abstand zur Leitlinie.

Nachweisen.

Punkt F – der Schnittpunkt der Linie QR und der Hauptsehne. Dieser Punkt liegt auf der Symmetrieachse Oy. Tatsächlich sind die Dreiecke RNQ und ROF genau wie rechtwinklige Dreiecke kongruent

Dreiecke mit frühen Schenkeln (NQ=OF, OR=RN). Unabhängig davon, welchen Punkt N wir nehmen, schneidet die entlang ihm konstruierte Linie QR die Hauptsehne in ihrer Mitte F. Jetzt ist klar, dass das Dreieck FMQ gleichschenklig ist. Tatsächlich ist das Segment MR sowohl der Median als auch die Höhe dieses Dreiecks. Dies impliziert, dass MF=MQ.

Eigentum 2.(Optische Eigenschaft einer Parabel).

Jede Tangente an die Parabel bildet gleiche Winkel mit dem Fokusradius, der zum Tangentenpunkt gezogen wird, und der Strahl, der vom Tangentenpunkt kommt und mit der Achse gleichgerichtet ist (oder Strahlen, die aus einem einzelnen Fokus kommen und von der Parabel reflektiert werden, gehen weg). parallel zur Achse).

Nachweisen. Für einen Punkt N, der auf der Parabel selbst liegt, gilt die Gleichung |FN|=|NH|, und für einen Punkt N", der im inneren Bereich der Parabel liegt, gilt |FN"|<|N"H"|. Если теперь провести биссектрису l угла FМК, то для любой отличной от М точки M" прямой l найдём:

|FM"|=|M"K"|>|M"K"|, d. h. der Punkt M" liegt im äußeren Bereich der Parabel. Die gesamte Linie l liegt also bis auf den Punkt M im äußeren Bereich, d. h. der innere Bereich der Parabel liegt auf einer Seite von l, was bedeutet, dass l die Parabel tangiert. Damit ist die optische Eigenschaft der Parabel bewiesen: Winkel 1 ist gleich Winkel 2, da l die Winkelhalbierende des Winkels FMK ist.

4.2 Gleichung einer Parabel

Basierend auf der Haupteigenschaft einer Parabel formulieren wir ihre Definition: Eine Parabel ist eine Menge aller Punkte in einer Ebene, von denen jeder den gleichen Abstand von einem bestimmten Punkt, dem sogenannten Fokus, und einer bestimmten geraden Linie, der sogenannten Leitlinie, hat. Der Abstand vom Fokus F zur Leitlinie wird als Parameter der Parabel bezeichnet und mit p (p > 0) bezeichnet.

Um die Parabelgleichung abzuleiten, wählen wir das Oxy-Koordinatensystem so, dass die Ox-Achse durch den Fokus F senkrecht zur Leitlinie in der Richtung von der Leitlinie zu F verläuft und der Ursprung O in der Mitte zwischen dem Fokus und der Leitlinie liegt (Abb. 12). Im ausgewählten System liegt der Fokus bei F(, 0) und die Leitliniengleichung hat die Form x=- oder x+=0. Sei m (x, y) ein beliebiger Punkt der Parabel. Verbinden Sie den Punkt M mit F. Zeichnen Sie die Strecke MH senkrecht zur Leitlinie. Nach der Definition einer Parabel gilt MF = MH. Mit der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten ermitteln wir:

Wenn wir also beide Seiten der Gleichung quadrieren, erhalten wir

diese. (8) Gleichung (8) wird die kanonische Gleichung einer Parabel genannt.

4.3 Untersuchung der Formen einer Parabel gemäß ihrer Gleichung

1. In Gleichung (8) ist die Variable y in geradem Grad enthalten, was bedeutet, dass die Parabel symmetrisch zur Ox-Achse ist; Die x-Achse ist die Symmetrieachse der Parabel.

2. Da c > 0 ist, folgt aus (8), dass x>0. Daher befindet sich die Parabel rechts von der y-Achse.

3. Sei x = 0, dann ist y = 0. Daher verläuft die Parabel durch den Ursprung.

4. Mit einer unbegrenzten Zunahme von x wächst auch der Modul y auf unbestimmte Zeit. Die Parabel y 2 \u003d 2 px hat die in Abbildung 13 gezeigte Form (Form). Der Punkt O (0; 0) wird als Scheitelpunkt der Parabel bezeichnet, das Segment FM \u003d r wird als Brennradius des Punktes M bezeichnet . Die Gleichungen y 2 = -2 px, x 2 = - 2 py, x 2 =2 py (p>0) definieren ebenfalls Parabeln.

1.5. Verzeichniseigenschaft von Kegelschnitten .

Hier beweisen wir, dass jeder nicht kreisförmige (nicht entartete) Kegelschnitt als eine Menge von Punkten M definiert werden kann, deren Abstand MF von einem festen Punkt F im Verhältnis zum Abstand MP von einer festen, nicht durchlaufenden Linie d steht Der Punkt F ist gleich einem konstanten Wert e: wobei F der Schwerpunkt des Kegelschnitts, die Gerade d die Leitlinie und das Verhältnis e die Exzentrizität ist. (Wenn der Punkt F zur Geraden d gehört, dann bestimmt die Bedingung die Punktmenge, die ein Geradenpaar ist, also ein entarteter Kegelschnitt; für e = 1 verschmilzt dieses Geradenpaar zu einer Geraden. Zu beweisen Dazu betrachte man den Kegel, der durch die Drehung der Geraden l um den Kegel gebildet wird, der sie im Punkt O der Geraden p schneidet und mit l den Winkel b bildet< 90є; пусть плоскость р не проходит через вершину конуса и образует с его осью p угол в < 90є (если в = 90є, то плоскость р пересекает конус по окружности).

Schreiben wir eine Kugel K in den Kegel ein, die die Ebene p im Punkt F berührt und den Kegel entlang des Kreises S berührt. Die Schnittlinie der Ebene p mit der Ebene y des Kreises S bezeichnen wir mit d.

Verbinden wir nun einen beliebigen Punkt M, der auf der Schnittlinie A der Ebene p und des Kegels liegt, mit der Spitze O des Kegels und mit dem Punkt F und lassen wir die Senkrechte MP von M auf die Gerade d fallen; Mit E bezeichnen wir auch den Schnittpunkt des Generators MO des Kegels mit dem Kreis S.

Darüber hinaus ist MF = ME, als Segmente zweier Tangenten der Kugel K, die von einem Punkt M aus gezogen werden.

Darüber hinaus bildet das Segment ME mit der Achse p des Kegels einen konstanten (d. h. unabhängig von der Wahl des Punktes M) Winkel 6, und das Segment MP bildet einen konstanten Winkel β; Daher sind die Projektionen dieser beiden Segmente auf die p-Achse jeweils gleich ME cos b und MP cos c.

Diese Projektionen fallen jedoch zusammen, da die Segmente ME und MP einen gemeinsamen Ursprung M haben und ihre Enden in der y-Ebene senkrecht zur p-Achse liegen.

Daher ist ME cos b = MP cos c, oder, da ME = MF, MF cos b = MP cos c, woraus folgt

Es ist auch leicht zu zeigen, dass, wenn der Punkt M der Ebene p nicht zum Kegel gehört, dann. Somit kann jeder Abschnitt eines geraden Kreiskegels als eine Menge von Punkten in der Ebene beschrieben werden, für die. Andererseits können wir durch Ändern der Werte der Winkel b und c der Exzentrizität einen beliebigen Wert e > 0 geben; Aus Ähnlichkeitsüberlegungen ist es außerdem nicht schwer zu verstehen, dass der Abstand FQ vom Fokus zur Leitlinie direkt proportional zum Radius r der Kugel K (oder dem Abstand d der Ebene p vom Scheitelpunkt O von) ist der Kegel). Es kann gezeigt werden, dass wir durch geeignete Wahl des Abstands d dem Abstand FQ einen beliebigen Wert geben können. Daher kann jede Menge von Punkten M, für die das Verhältnis der Abstände von M zu einem festen Punkt F und zu einer festen Linie d einen konstanten Wert hat, als eine Kurve beschrieben werden, die im Abschnitt eines geraden Kreiskegels durch a erhalten wird Ebene. Dies beweist, dass auch (nicht entartete) Kegelschnitte durch die in diesem Unterabschnitt besprochene Eigenschaft definiert werden können.

Diese Eigenschaft von Kegelschnitten nennt man sie Verzeichniseigenschaft. Es ist klar, dass, wenn c > b, dann e< 1; если в = б, то е = 1; наконец, если в < б, то е >1. Andererseits ist leicht zu erkennen, dass, wenn s > 6, die Ebene p den Kegel entlang einer geschlossenen begrenzten Linie schneidet; wenn c = b, dann schneidet die Ebene p den Kegel entlang einer unbeschränkten Linie; wenn drin< б, то плоскость р пересекает обе полы конуса и, следовательно, линия пересечения этой плоскости и конуса состоит из двух (неограниченных) частей или ветвей (рис. 17).

Der Kegelschnitt, für den e< 1, называется эллипсом; коническое сечение с эксцентриситетом е = 1 называется параболой; коническое сечение, для которого е >1 wird als Hyperbel bezeichnet. Zu Ellipsen gehört auch ein Kreis, der nicht durch eine Verzeichniseigenschaft angegeben werden kann; Da für einen Kreis das Verhältnis zu 0 wird (weil in diesem Fall β \u003d 90º), wird bedingt davon ausgegangen, dass der Kreis ein Kegelschnitt mit einer Exzentrizität von 0 ist.

6. Ellipse, Hyperbel und Parabel als Kegelschnitte

Kegelschnitt-Ellipsen-Hyperbel

Der antike griechische Mathematiker Menechmus, der die Ellipse, die Hyperbel und die Parabel entdeckte, definierte sie als Abschnitte eines kreisförmigen Kegels durch eine Ebene senkrecht zu einem der Generatoren. Die resultierenden Kurven nannte er je nach Achsenwinkel des Kegels Abschnitte von spitzwinkligen, rechteckigen und stumpfwinkligen Kegeln. Die erste ist, wie wir weiter unten sehen werden, eine Ellipse, die zweite eine Parabel und die dritte ein Zweig einer Hyperbel. Die Namen „Ellipse“, „Hyperbel“ und „Parabel“ wurden von Apollonius eingeführt. Fast vollständig (7 von 8 Büchern) ist das Werk des Apollonius „Über Kegelschnitte“ überliefert. In dieser Arbeit betrachtet Apollonius beide Böden des Kegels und schneidet den Kegel mit Ebenen, die nicht unbedingt senkrecht zu einem der Generatoren stehen.

Satz. Der Schnitt eines geraden Kreiskegels durch eine Ebene (die nicht durch seinen Scheitelpunkt verläuft) definiert eine Kurve, die nur eine Hyperbel (Abb. 4), eine Parabel (Abb. 5) oder eine Ellipse (Abb. 6) sein kann. Wenn die Ebene außerdem nur eine Ebene des Kegels und entlang einer geschlossenen Kurve schneidet, dann ist diese Kurve eine Ellipse; wenn eine Ebene nur eine Ebene entlang einer offenen Kurve schneidet, dann ist diese Kurve eine Parabel; schneidet die Schnittebene beide Kegelebenen, so entsteht im Schnitt eine Hyperbel.

Ein eleganter Beweis dieses Theorems wurde 1822 von Dandelin anhand von Kugeln vorgeschlagen, die heute Dandelin-Kugeln genannt werden. Schauen wir uns diesen Beweis an.

Schreiben wir in einen Kegel zwei Kugeln ein, die die Schnittebene П von verschiedenen Seiten berühren. Bezeichnen Sie mit F1 und F2 die Berührungspunkte zwischen dieser Ebene und den Kugeln. Nehmen wir einen beliebigen Punkt M auf der Schnittlinie des Kegels durch die Ebene P. Auf der Erzeugenden des Kegels durch M markieren wir die auf dem Kreis k1 und k2 liegenden Punkte P1 und P2, entlang derer sich die Kugeln berühren Kegel.

Es ist klar, dass MF1=MP1 als die Segmente zweier Tangenten an die erste Kugel gelten, die von M ausgehen; ebenso gilt MF2=MP2. Daher ist MF1+MF2=MP1+MP2=P1P2. Die Länge der Strecke P1P2 ist für alle Punkte M unseres Abschnitts gleich: Sie ist die Erzeugende eines Kegelstumpfes, der von den parallelen Ebenen 1 und 11 begrenzt wird, in dem die Kreise k1 und k2 liegen. Daher ist die Schnittlinie des Kegels durch die Ebene P eine Ellipse mit den Brennpunkten F1 und F2. Die Gültigkeit dieses Theorems kann auch auf der Grundlage der allgemeinen Position festgestellt werden, dass der Schnittpunkt einer Fläche zweiter Ordnung mit einer Ebene eine Gerade zweiter Ordnung ist.

Literatur

1. Atanasyan L.S., Bazylev V.T. Geometrie. In 2 Stunden. Teil 1. Lehrbuch für Studierende der Physik und Mathematik. Päd. in-Kamerad-M.: Aufklärung, 1986.

2. Bazylev V.T. usw. Geometrie. Proz. Zuschuss für Studierende des 1. Studienjahres der Physik. - Matte. Fakten ped. In. - Genosse-M.: Bildung, 1974.

3. Pogorelov A.V. Geometrie. Proz. für 7-11 Zellen. Durchschn. Schule - 4. Aufl.-M.: Aufklärung, 1993.

4. Geschichte der Mathematik von der Antike bis zum Beginn des 19. Jahrhunderts. Juschkewitsch A.P. - M.: Nauka, 1970.

5. Boltyansky V.G. Optische Eigenschaften der Ellipse, Hyperbel und Parabel. // Quantum. - 1975. - Nr. 12. - Mit. 19 - 23.

6. Efremov N.V. Ein kurzer Kurs in analytischer Geometrie. - M: Nauka, 6. Auflage, 1967. - 267 S.

Aufgabenbedingungen

Finden Sie, ob
Um im Labor ein vergrößertes Bild einer Glühbirne auf dem Bildschirm zu erhalten, wird eine Sammellinse mit einer Hauptbrennweite = 30 cm verwendet. Der Abstand von der Linse zur Glühbirne kann zwischen 40 und 65 cm variieren vom Objektiv bis zum Bildschirm - im Bereich von 75 bis 100 cm. Das Bild auf dem Bildschirm ist klar, wenn das Verhältnis eingehalten wird. Geben Sie den größten Abstand von der Linse an, in dem die Glühbirne platziert werden kann, damit ihr Bild auf dem Bildschirm klar ist. Geben Sie Ihre Antwort in Zentimetern an.
Das Schiff fährt 300 km entlang des Flusses bis zum Ziel und kehrt nach dem Parken zum Ausgangspunkt zurück. Ermitteln Sie die Strömungsgeschwindigkeit. Wenn die Geschwindigkeit des Schiffes in stillem Wasser 15 km/h beträgt, dauert das Parken 5 Stunden und das Schiff kehrt 50 Stunden nach dem Verlassen zum Abfahrtsort zurück. Geben Sie Ihre Antwort in km/h an.
Finden Sie den kleinsten Wert einer Funktion auf einem Segment
a) Lösen Sie die Gleichung b) Finden Sie alle Wurzeln dieser Gleichung, die zum Segment gehören
Gegeben sei ein gerader Kreiskegel mit einer Spitze M. Der axiale Abschnitt des Kegels ist ein Dreieck mit einem Winkel von 120 ° an der Spitze M. Der Kegelgenerator ist . Durch den Punkt M Ein Abschnitt des Kegels ist senkrecht zu einem der Generatoren gezeichnet.
a) Beweisen Sie, dass das resultierende Dreieck ein stumpfes Dreieck ist.
b) Ermitteln Sie den Abstand vom Mittelpunkt UM die Basis des Kegels zur Schnittebene.
Löse die Gleichung
Kreis mit Mittelpunkt UM berührt die Seite AB gleichschenkligen Dreiecks ABC, seitliche Erweiterungen Wechselstrom und Fortführung der Stiftung Sonne am Punkt N. Punkt M- Mitte der Basis Sonne.
a) Beweisen Sie das MN=AC.
b) Finden Betriebssystem, wenn die Seiten des Dreiecks ABC sind 5, 5 und 8.
Das Geschäftsprojekt „A“ geht von einer Steigerung der darin investierten Beträge um 34,56 % jährlich in den ersten beiden Jahren und um 44 % jährlich in den nächsten zwei Jahren aus. Projekt „B“ geht von einem Wachstum um eine konstante ganze Zahl aus N Prozent jährlich. Finden Sie den kleinsten Wert N, wonach das Projekt „B“ in den ersten vier Jahren profitabler sein wird als das Projekt „A“.
Finden Sie alle Werte des Parameters , , für die jeweils das Gleichungssystem gilt hat die einzige Lösung
Anya spielt ein Spiel: Zwei verschiedene natürliche Zahlen werden an die Tafel geschrieben und , beide sind kleiner als 1000. Wenn beide natürliche Zahlen sind, macht Anya einen Zug – sie ersetzt die vorherigen durch diese beiden Zahlen. Ist mindestens eine dieser Zahlen keine natürliche Zahl, endet das Spiel.
a) Kann das Spiel genau drei Züge dauern?
b) Gibt es zwei Anfangszahlen, so dass das Spiel mindestens 9 Züge dauert?
c) Anya hat den ersten Zug im Spiel gemacht. Finden Sie das größtmögliche Verhältnis des Produkts der beiden erhaltenen Zahlen zum Produkt

Städtische Bildungseinrichtung

Alekseevskaya-Sekundarschule

„Bildungszentrum“

Unterrichtsentwicklung

Betreff: DIREKTER KREISKEGEL.

ABSCHNITT EINES KEGELS DURCH FLUGZEUG

Mathematiklehrer

Schuljahr

Betreff: DIREKTER KREISKEGEL.

ABSCHNITT EINES KEGELS DURCH FLUGZEUG.

Der Zweck der Lektion: die Definitionen eines Kegels und untergeordneter Konzepte (Scheitelpunkt, Basis, Generatoren, Höhe, Achse) zu analysieren;

Betrachten Sie Abschnitte des Kegels, die durch den Scheitelpunkt verlaufen, einschließlich axialer Abschnitte.

die Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens der Schüler zu fördern.

Lernziele:

Lehrreich: die Grundkonzepte eines Rotationskörpers (Kegels) zu studieren.

Entwicklung: die Ausbildung der Analyse- und Vergleichsfähigkeiten fortzusetzen; Fähigkeit, das Wesentliche hervorzuheben, Schlussfolgerungen zu formulieren.

Lehrreich: Förderung des Interesses der Schüler am Lernen, Vermittlung von Kommunikationsfähigkeiten.

Unterrichtsart: Vorlesung.

Lehrmethoden: reproduktiv, problematisch, teilweise suchend.

Ausrüstung: Tisch, Modelle von Revolutionskörpern, Multimedia-Ausrüstung.

Während des Unterrichts

ICH. Zeit organisieren.

In den vorherigen Lektionen haben wir uns bereits mit den Rotationskörpern vertraut gemacht und uns näher mit dem Konzept eines Zylinders beschäftigt. Auf dem Tisch sehen Sie zwei Zeichnungen und formulieren zu zweit die richtigen Fragen zum behandelten Thema.

P. Hausaufgaben überprüfen.

Arbeiten Sie paarweise anhand einer thematischen Tabelle (ein in einen Zylinder eingeschriebenes Prisma und ein in der Nähe des Zylinders beschriebenes Prisma).

Zu zweit und einzeln können Studierende beispielsweise folgende Fragen stellen:

Was ist ein Kreiszylinder (Zylindererzeugende, Zylindergrundfläche, Zylindermantelfläche)?

Welches Prisma heißt in der Nähe eines Zylinders eingeschrieben?

Welche Ebene heißt Tangente an den Zylinder?

Welche Formen sind Polygone? ABC, A1 B1 C1 , ABCDEUndA1 B1 C1 D1 E1 ?

- Was für ein Prisma ist ein Prisma? ABCDEABCDE? (GeradeMein.)

- Beweisen Sie, dass es sich um ein gerades Prisma handelt.

(optional erledigen 2 Schülerpaare an der Tafel die Arbeit)

III. Aktualisierung des Grundwissens.

Nach dem Material der Planimetrie:

Satz von Thales;

Eigenschaften der Mittellinie eines Dreiecks;

Fläche eines Kreises.

Nach dem Material der Stereometrie:

Konzept Homothetie;

Der Winkel zwischen einer Linie und einer Ebene.

IV.Neues Material lernen.

(Pädagogisches und methodisches Set „Live Mathematics », Anhang 1.)

Nach der Präsentation des Materials wird ein Arbeitsplan vorgeschlagen:

1. Definition eines Kegels.

2. Definition eines rechten Kegels.

3. Elemente eines Kegels.

4. Entwicklung des Kegels.

5. Erhalten eines Kegels als Rotationskörper.

6. Arten von Kegelabschnitten.

Antworten auf diese Fragen finden die Studierenden selbständig.Kinder in den Absätzen 184-185, begleitet von Zeichnungen.

Valeologische Pause: Müde? Ruhen wir uns vor dem nächsten praktischen Arbeitsschritt aus!

Massage der für die Arbeit zuständigen Reflexzonen an der Ohrmuschel innere Organe;

· Massage der Reflexzonen an den Handflächen;

Gymnastik für die Augen (blinzeln und die Augen scharf öffnen);

Dehnung der Wirbelsäule (Heben Sie Ihre Arme hoch, ziehen Sie sich mit der rechten und dann mit der linken Hand hoch)

Atemübungen zur Sättigung des Gehirns mit Sauerstoff (5-mal kräftig durch die Nase einatmen)

Es wird (gemeinsam mit der Lehrkraft) eine thematische Tabelle erstellt, die das Ausfüllen der Tabelle mit Fragen und Material aus verschiedenen Quellen (Lehrbuch und Computerpräsentation) begleitet.

"Kegel. Frustum".

ThematischTisch

1. Kegel (gerade, kreisförmig) heißt der durch Rotation entstandene Körper rechtwinkliges Dreieck um die gerade Linie, die das Bein enthält.

Punkt M - Scheitel Kegel, Kreis mit Mittelpunkt UM – BaseKegel,

Liniensegment MA=l umEntwicklung Kegel, Segment MO= H - Kegelhöhe,

Liniensegment OA= R - Basisradius, Segment Sonne= 2 R - BasisdurchmesserVaniya,

Dreieck MVS -Axialschnitt,

< BMC - Ecke am oberen Ende des axialen Abschnitts, < MBO - Eckedie Steigung der Erzeugenden zur EbeneGrundknochen

_________________________________________

2. Kegelentwicklung- Sektor
Kreis und Kreis.

< BMBl = A - Schwenkwinkel. Sweep-Bogenlänge BCV1 =2π R = la .

Seitenfläche S. = π R l

Gesamtoberfläche (Sweep-Bereich)

S= π R ( l + R )

Kegel nennt man den Körper, der aus einem Kreis besteht - Gründe Kegel, ein Punkt, der nicht in der Ebene dieses Kreises liegt, - Gipfel Kegel und alle Segmente, die die Spitze des Kegels mit den Spitzen der Basis verbinden - Generatoren

______________________________

3. Abschnitte eines Kegels durch Ebenen

Schnitt durch einen Kegel durch eine durchquerende Ebene durch die Spitze des Kegels, - gleichschenkligen Dreiecks AMV: AM=VM – Erzeugende des Kegels, AB – Sehne;

Axialschnitt- gleichschenkliges Dreieck AMB: AM=BM - Erzeuger des Kegels, AB - Durchmesser der Basis.

Der Schnitt des Kegels durch eine Ebene senkrecht zur Kegelachse, - Kreis;

schräg zur Kegelachse - Ellipse.

Kegelstumpf bezeichnet den Teil des Kegels, der zwischen der Basis und dem zur Basis parallelen Abschnitt des Kegels eingeschlossen ist. Kreise mit Mittelpunkten 01 Und Ö2 - obere und untere Basis Kegelstumpf, d undR - Basisradien,

Liniensegment AB= l - Generatrix,

ά - Generatrix-Steigungswinkelzum Flugzeug untere Basis,

Liniensegment 01O2 -Höhe(Abstand zwischen WohnungGründe),

Trapez A B C D - Axialschnitt.

v.Fixieren des Materials.

Frontarbeit.

· Mündlich (anhand einer vorgefertigten Zeichnung) Nr. 9 und Nr. 10 sind gelöst.

(Zwei Schüler erklären die Lösung von Problemen, der Rest kann kurze Notizen in Notizbüchern machen)

Nr. 9. Der Radius der Kegelbasis beträgt 3 m, die Höhe des Kegels beträgt 4 m. Finden Sie die Generatrix.

(Lösung:l=√ R2 + H2 =√32+42=√25=5m.)

Nr. 10 Einen Kegel formen l in einem Winkel von 30° zur Grundebene geneigt. Finden Sie die Höhe.

(Lösung:H = l Sünde 30◦ = l|2.)

· Lösen Sie das Problem anhand der fertigen Zeichnung.

Die Höhe des Kegels beträgt h. Durch Generatoren MA Und MB Es wird eine Ebene gezeichnet, die einen Winkel bildet A mit der Ebene der Kegelbasis. Akkord AB verengt einen Bogen mit einem Gradmaß R.

1. Beweisen Sie, dass der Schnitt eines Kegels durch eine Ebene erfolgt MAV- gleichschenkligen Dreiecks.

2. Erklären Sie, wie Sie den linearen Winkel eines Diederwinkels konstruieren, der durch die Sekantenebene und die Ebene der Kegelbasis gebildet wird.

3. Finden MS.

4. Erstellen (und erläutern) Sie einen Plan zur Berechnung der Akkordlänge AB und Schnittfläche MAV.

5. Zeigen Sie in der Abbildung, wie Sie von einem Punkt aus eine Senkrechte zeichnen können UM zur Schnittebene MAV(die Konstruktion rechtfertigen).

· Wiederholung:

untersuchtes Material aus der Planimetrie:

Definition eines gleichschenkligen Dreiecks;

Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks;

Fläche eines Dreiecks

untersuchtes Material aus der Stereometrie:

Bestimmung des Winkels zwischen Ebenen;

Eine Methode zum Konstruieren eines linearen Winkels eines Diederwinkels.

Selbsttest

1. Zeichnen Sie Rotationskörper, die durch die Drehung der in der Abbildung gezeigten flachen Figuren entstehen.

2. Geben Sie an, durch welche Drehung die flache Figur den abgebildeten Rotationskörper erzeugt hat. (b)

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