Die ersten Historiker unserer Zivilisation – die alten Griechen – erwähnen Ägypten als Geburtsort der Geometrie. Es ist schwierig, ihnen zu widersprechen, wenn man weiß, mit welcher erstaunlichen Genauigkeit die riesigen Gräber der Pharaonen errichtet wurden. Die gegenseitige Anordnung der Ebenen der Pyramiden, ihre Proportionen, die Ausrichtung auf die Himmelsrichtungen – ohne Kenntnis der Grundlagen der Geometrie wäre eine solche Perfektion undenkbar.
Das Wort „Geometrie“ kann als „Maß der Erde“ übersetzt werden. Darüber hinaus fungiert das Wort „Erde“ nicht als Planetenteil Sonnensystem, aber als Flugzeug. Die Kennzeichnung von Flächen für die Landwirtschaft ist höchstwahrscheinlich die ursprüngliche Grundlage der Wissenschaft der geometrischen Formen, ihrer Arten und Eigenschaften.
Ein Dreieck ist die einfachste räumliche Figur der Planimetrie und enthält nur drei Punkte – Eckpunkte (weniger gibt es nicht). Das Fundament der Fundamente ist vielleicht der Grund, warum darin etwas Geheimnisvolles und Altes zu sein scheint. Das allsehende Auge in einem Dreieck ist eines der frühesten bekannten okkulten Zeichen, und die Geographie seiner Verbreitung und sein Zeitrahmen sind einfach erstaunlich. Von alten ägyptischen, sumerischen, aztekischen und anderen Zivilisationen bis hin zu moderneren Gemeinschaften okkulter Liebhaber, die über den ganzen Globus verstreut sind.
Was sind Dreiecke?
Ein gewöhnliches ungleichseitiges Dreieck ist ein geschlossenes geometrische Figur, bestehend aus drei Segmenten unterschiedlicher Länge und drei Winkeln, von denen keines gerade ist. Darüber hinaus gibt es mehrere Sondertypen.
Bei einem spitzen Dreieck betragen alle Winkel weniger als 90 Grad. Mit anderen Worten: Alle Winkel eines solchen Dreiecks sind spitz.
Ein rechtwinkliges Dreieck, über das Schulkinder aufgrund der Fülle an Theoremen immer geweint haben, hat einen Winkel mit dem Wert 90 Grad, oder wie er auch genannt wird, einen rechten.
Ein stumpfes Dreieck zeichnet sich dadurch aus, dass einer seiner Winkel stumpf ist, also sein Wert mehr als 90 Grad beträgt.
Ein gleichseitiges Dreieck hat drei Seiten gleicher Länge. In einer solchen Figur sind auch alle Winkel gleich.
Und schließlich um gleichschenkligen Dreiecks zwei der drei Seiten sind gleich.
Unterscheidungsmerkmale
Die Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks bestimmen auch seinen Hauptunterschied – die Gleichheit der beiden Seiten. Diese gleichen Seiten werden normalerweise Hüften (oder häufiger Seiten) genannt, die dritte Seite wird jedoch „Basis“ genannt.
In der betrachteten Abbildung ist a = b.
Das zweite Vorzeichen eines gleichschenkligen Dreiecks folgt aus dem Sinussatz. Da die Seiten a und b gleich sind, sind auch die Sinuswerte ihrer entgegengesetzten Winkel gleich:
a/sin γ = b/sin α, woraus folgt: sin γ = sin α.
Aus der Gleichheit der Sinuswerte folgt die Gleichheit der Winkel: γ = α.
Das zweite Vorzeichen eines gleichschenkligen Dreiecks ist also die Gleichheit zweier an der Basis angrenzender Winkel.
Drittes Zeichen. In einem Dreieck werden Elemente wie Höhe, Winkelhalbierende und Mittelwert unterschieden.
Wenn sich bei der Lösung des Problems herausstellt, dass im betrachteten Dreieck zwei beliebige dieser Elemente übereinstimmen: die Höhe mit der Winkelhalbierenden; Winkelhalbierende mit Median; Median mit der Höhe – wir können definitiv schlussfolgern, dass das Dreieck gleichschenklig ist.
Geometrische Eigenschaften einer Figur
1. Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks. Eine der charakteristischen Eigenschaften der Figur ist die Gleichheit der an die Basis angrenzenden Winkel:
<ВАС = <ВСА.
2. Eine weitere oben diskutierte Eigenschaft: Der Median, die Winkelhalbierende und die Höhe in einem gleichschenkligen Dreieck sind gleich, wenn sie von der Spitze bis zur Basis aufgebaut sind.
3. Die Gleichheit der Winkelhalbierenden, die von den Eckpunkten an der Basis gezogen werden:
Wenn AE die Winkelhalbierende des Winkels BAC und CD die Winkelhalbierende des Winkels BCA ist, dann gilt: AE = DC.
4. Die Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks sorgen auch für die Gleichheit der Höhen, die von den Eckpunkten an der Basis ausgehen.
Wenn wir die Höhen des Dreiecks ABC (wobei AB = BC) aus den Eckpunkten A und C bilden, sind die resultierenden Segmente CD und AE gleich.
5. Auch die von den Ecken an der Basis gezogenen Mittelwerte werden gleich sein.
Wenn also AE und DC Mediane sind, also AD = DB und BE = EC, dann ist AE = DC.
Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks
Die Gleichheit der Seiten und Winkel an ihnen führt zu einigen Besonderheiten bei der Berechnung der Längen der Elemente der betreffenden Figur.
Die Höhe in einem gleichschenkligen Dreieck teilt die Figur in zwei symmetrische rechtwinklige Dreiecke, deren Hypotenusen die Seiten sind. Die Höhe wird in diesem Fall nach dem Satz des Pythagoras als Bein bestimmt.
Ein Dreieck kann alle drei Seiten gleich haben, dann wird es gleichseitig genannt. Die Höhe in einem gleichseitigen Dreieck wird auf ähnliche Weise bestimmt, nur für Berechnungen reicht es aus, nur einen Wert zu kennen – die Länge der Seite dieses Dreiecks.
Sie können die Höhe auf andere Weise bestimmen, indem Sie beispielsweise die Basis und den angrenzenden Winkel kennen.
Median eines gleichschenkligen Dreiecks
Der betrachtete Dreieckstyp wird aufgrund geometrischer Merkmale ganz einfach durch den minimalen Satz an Ausgangsdaten gelöst. Da der Median in einem gleichschenkligen Dreieck sowohl seiner Höhe als auch seiner Winkelhalbierenden entspricht, unterscheidet sich der Algorithmus zu seiner Bestimmung nicht von der Reihenfolge, in der diese Elemente berechnet werden.
Beispielsweise können Sie die Länge des Medians anhand der bekannten lateralen Seite und des Winkelwerts am Scheitelpunkt bestimmen.
So bestimmen Sie den Umfang
Da die betrachtete planimetrische Figur zwei immer gleiche Seiten hat, reicht es zur Bestimmung des Umfangs aus, die Länge der Basis und die Länge einer der Seiten zu kennen.
Betrachten Sie ein Beispiel, bei dem Sie den Umfang eines Dreiecks anhand der bekannten Basis und Höhe bestimmen müssen.
Der Umfang ist gleich der Summe aus der Grundfläche und der doppelten Seitenlänge. Die laterale Seite wiederum wird mit dem Satz des Pythagoras als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks bestimmt. Seine Länge ist gleich der Quadratwurzel der Summe des Quadrats der Höhe und des Quadrats der halben Grundfläche.
Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks
Die Berechnung der Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks bereitet in der Regel keine Schwierigkeiten. In unserem Fall gilt natürlich die universelle Regel, die Fläche eines Dreiecks als halbes Produkt aus Grundfläche und Höhe zu bestimmen. Allerdings erleichtern die Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks die Aufgabe erneut.
Nehmen wir an, wir kennen die Höhe und den Winkel neben der Basis. Sie müssen die Fläche der Figur bestimmen. Sie können es auf diese Weise tun.
Da die Winkelsumme jedes Dreiecks 180° beträgt, ist es nicht schwierig, die Größe des Winkels zu bestimmen. Darüber hinaus wird anhand des nach dem Sinussatz ermittelten Verhältnisses die Länge der Grundfläche des Dreiecks bestimmt. Alles, Grundfläche und Höhe – ausreichende Daten zur Flächenbestimmung – sind vorhanden.
Weitere Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks
Die Position des Mittelpunkts eines um ein gleichschenkliges Dreieck umschriebenen Kreises hängt vom Winkel des Scheitels ab. Wenn also ein gleichschenkliges Dreieck spitzwinklig ist, liegt der Mittelpunkt des Kreises innerhalb der Figur.
Der Mittelpunkt eines Kreises, der ein stumpfes gleichschenkliges Dreieck umschreibt, liegt außerhalb davon. Und schließlich, wenn der Winkel am Scheitelpunkt 90° beträgt, liegt der Mittelpunkt genau in der Mitte der Grundfläche und der Durchmesser des Kreises geht durch die Grundfläche selbst.
Um den Radius eines um ein gleichschenkliges Dreieck umschriebenen Kreises zu bestimmen, reicht es aus, die Länge der lateralen Seite durch den doppelten Kosinus des halben Winkels am Scheitelpunkt zu dividieren.
Die Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks drücken die folgenden Sätze aus.
Satz 1. In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Winkel an der Basis gleich.
Satz 2. In einem gleichschenkligen Dreieck ist die zur Basis gezogene Winkelhalbierende der Mittelwert und die Höhe.
Satz 3. In einem gleichschenkligen Dreieck ist der zur Basis gezogene Median die Winkelhalbierende und die Höhe.
Satz 4. In einem gleichschenkligen Dreieck ist die zur Basis gezogene Höhe die Winkelhalbierende und der Median.
Lassen Sie uns einen davon beweisen, zum Beispiel Satz 2.5.
Nachweisen. Betrachten Sie ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit der Basis BC und beweisen Sie, dass ∠ B = ∠ C. Sei AD die Winkelhalbierende des Dreiecks ABC (Abb. 1). Die Dreiecke ABD und ACD sind entsprechend dem ersten Gleichheitszeichen der Dreiecke gleich (AB = AC gemäß Bedingung, AD ist die gemeinsame Seite, ∠ 1 = ∠ 2, da AD die Winkelhalbierende ist). Aus der Gleichheit dieser Dreiecke folgt, dass ∠ B = ∠ C. Der Satz ist bewiesen.
Mit Satz 1 stellen wir den folgenden Satz auf.
Satz 5. Das dritte Kriterium für die Gleichheit von Dreiecken. Wenn drei Seiten eines Dreiecks jeweils gleich drei Seiten eines anderen Dreiecks sind, dann sind diese Dreiecke gleich (Abb. 2).
Kommentar. Die in den Beispielen 1 und 2 aufgestellten Sätze drücken die Eigenschaften der Mittelsenkrechten zum Segment aus. Aus diesen Vorschlägen geht hervor, dass Die Mittelsenkrechten der Seiten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.
Beispiel 1 Beweisen Sie, dass der Punkt der Ebene mit gleichem Abstand von den Enden des Segments auf der Mittelsenkrechten zu diesem Segment liegt.
Lösung. Der Punkt M sei von den Enden des Segments AB gleich weit entfernt (Abb. 3), d. h. AM = VM.
Dann ist ΔAMV gleichschenklig. Zeichnen wir eine Gerade p durch den Punkt M und den Mittelpunkt O der Strecke AB. Konstruktionsbedingt ist die Strecke MO der Median des gleichschenkligen Dreiecks AMB und daher (Satz 3) und die Höhe, also die Gerade MO, die Mittelsenkrechte zur Strecke AB.
Beispiel 2 Beweisen Sie, dass jeder Punkt der Mittelsenkrechten eines Segments den gleichen Abstand von seinen Enden hat.
Lösung. Sei p die Mittelsenkrechte zum Segment AB und Punkt O der Mittelpunkt des Segments AB (siehe Abb. 3).
Betrachten Sie einen beliebigen Punkt M, der auf der Geraden p liegt. Zeichnen wir die Segmente AM und VM. Die Dreiecke AOM und VOM sind gleich, da ihre Winkel am Scheitelpunkt O gerade sind, der Schenkel OM gemeinsam ist und der Schenkel OA bedingt gleich dem Schenkel OB ist. Aus der Gleichheit der Dreiecke AOM und BOM folgt AM = BM.
Beispiel 3 Im Dreieck ABC (siehe Abb. 4) AB = 10 cm, BC = 9 cm, AC = 7 cm; im Dreieck DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.
Vergleichen Sie die Dreiecke ABC und DEF. Finden Sie entsprechend gleiche Winkel.
Lösung. Diese Dreiecke sind im dritten Kriterium gleich. Dementsprechend gleiche Winkel: A und E (sie liegen den gleichen Seiten BC und FD gegenüber), B und F (sie liegen den gleichen Seiten AC und DE gegenüber), C und D (sie liegen den gleichen Seiten AB und EF gegenüber).
Beispiel 4 In Abbildung 5 AB = DC, BC = AD, ∠B = 100°.
Finden Sie Winkel D.
Lösung. Betrachten Sie die Dreiecke ABC und ADC. Im dritten Merkmal sind sie gleich (AB = DC, BC = AD je nach Bedingung und Seite AC ist gemeinsam). Aus der Gleichheit dieser Dreiecke folgt, dass ∠ B = ∠ D, aber der Winkel B beträgt 100°, daher beträgt der Winkel D 100°.
Beispiel 5 In einem gleichschenkligen Dreieck ABC mit Basis AC beträgt der Außenwinkel am Scheitelpunkt C 123°. Finden Sie den Winkel ABC. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.
Videolösung.
Unter allen Dreiecken gibt es zwei besondere Arten: rechtwinklige Dreiecke und gleichschenklige Dreiecke. Warum sind diese Dreieckstypen so besonders? Nun, erstens erweisen sich solche Dreiecke sehr oft als Hauptakteure bei den Aufgaben des Einheitlichen Staatsexamens des ersten Teils. Und zweitens sind Probleme über rechtwinklige und gleichschenklige Dreiecke viel einfacher zu lösen als andere Probleme in der Geometrie. Sie müssen lediglich ein paar Regeln und Eigenschaften kennen. Das Interessanteste wird im entsprechenden Thema besprochen, und nun betrachten wir gleichschenklige Dreiecke. Und zunächst einmal: Was ist ein gleichschenkliges Dreieck? Oder wie Mathematiker sagen: Was ist die Definition eines gleichschenkligen Dreiecks?
Sehen Sie, wie es aussieht:
Wie ein rechtwinkliges Dreieck haben auch ein gleichschenkliges Dreieck spezielle Namen für seine Seiten. Es werden zwei gleiche Seiten aufgerufen Seiten, und der Dritte Basis.
Und noch einmal, schauen Sie sich das Bild an:
Es könnte natürlich so sein:
Also sei vorsichtig: laterale Seite – eine von zwei gleichen Seiten in einem gleichschenkligen Dreieck und Grundlage ist ein Dritter.
Warum ist ein gleichschenkliges Dreieck so gut? Um dies zu verstehen, zeichnen wir die Höhe bis zur Basis ein. Erinnern Sie sich, was Höhe ist?
Was ist passiert? Aus einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei rechtwinklige entstanden.
Das ist schon gut, aber das wird in jedem noch so „schrägen“ Dreieck passieren.
Was ist der Unterschied zwischen dem Bild für ein gleichschenkliges Dreieck? Schau nochmal:
Nun, erstens reicht es diesen seltsamen Mathematikern natürlich nicht, einfach nur zu sehen – sie müssen auf jeden Fall beweisen. Und dann sind diese Dreiecke plötzlich etwas anders und wir betrachten sie als gleich.
Aber keine Sorge: In diesem Fall ist das Beweisen fast so einfach wie das Sehen.
Sollen wir anfangen? Schauen Sie genau hin, wir haben:
Und deshalb,! Warum? Ja, wir finden nur und, und aus dem Satz des Pythagoras (wobei wir uns gleichzeitig daran erinnern)
Bist du dir sicher? Nun, jetzt haben wir es
Und auf drei Seiten - das einfachste (dritte) Zeichen für die Gleichheit der Dreiecke.
Nun, unser gleichschenkliges Dreieck ist in zwei identische rechteckige Dreiecke geteilt.
Sehen Sie, wie interessant? Es stellte sich heraus, dass:
Wie ist es für Mathematiker üblich, darüber zu sprechen? Gehen wir der Reihe nach vor:
(Wir erinnern uns hier daran, dass der Median eine Linie ist, die vom Scheitelpunkt aus gezogen wird und die Seite halbiert, und dass die Winkelhalbierende der Winkel ist.)
Nun, hier haben wir besprochen, welchen Nutzen man aus einem gleichschenkligen Dreieck ziehen kann. Wir haben gefolgert, dass in einem gleichschenkligen Dreieck die Winkel an der Basis gleich sind und die Höhe, Winkelhalbierende und der zur Basis gezogene Mittelwert gleich sind.
Und nun stellt sich eine weitere Frage: Wie erkennt man ein gleichschenkliges Dreieck? Das ist, wie Mathematiker sagen, was sind Zeichen eines gleichschenkligen Dreiecks?
Und es stellt sich heraus, dass man einfach alle Aussagen ins Gegenteil „umdrehen“ muss. Das passiert natürlich nicht immer, aber ein gleichschenkliges Dreieck ist trotzdem eine tolle Sache! Was passiert nach der „Umkehr“?
Schauen Sie mal hier:
Wenn Höhe und Median gleich sind, dann:
Wenn Höhe und Winkelhalbierende gleich sind, dann gilt: 
Wenn Winkelhalbierende und Median gleich sind, dann gilt:
Nun, vergessen Sie nicht und verwenden Sie:
- Wenn ein gleichschenkliges Dreieck gegeben ist, können Sie gerne eine Höhe zeichnen, zwei rechtwinklige Dreiecke erhalten und bereits das Problem mit einem rechtwinkligen Dreieck lösen.
- Wenn das gegeben ist zwei Winkel sind gleich, dann das Dreieck Exakt gleichschenklig und Sie können eine Höhe zeichnen und ... (Das Haus, das Jack gebaut hat ...).
- Wenn sich herausstellt, dass die Höhe durch die Seite in zwei Hälften geteilt wird, dann ist das Dreieck gleichschenklig mit allen daraus resultierenden Boni.
- Wenn sich herausstellte, dass die Höhe den Winkel zu den Böden teilte – auch gleichschenklig!
- Wenn die Winkelhalbierende die Seite in zwei Hälften teilt oder der Median den Winkel, dann passiert dies auch nur in einem gleichschenkligen Dreieck
Mal sehen, wie es in den Aufgaben aussieht.
Aufgabe 1(das einfachste)
In einem Dreieck sind die Seiten und gleich, a. Finden.
Wir entscheiden:
Zuerst eine Zeichnung.
Was ist hier die Grundlage? Sicherlich, .
Wir erinnern uns daran, wenn, dann und.
Zeichnung aktualisiert:
Bestimmen wir für. Wie groß ist die Summe der Winkel des Dreiecks? ?
Wir gebrauchen:
Das ist antworten: .
Einfach richtig? Ich musste nicht einmal hoch hinaus.
Aufgabe 2(Auch nicht sehr schwierig, aber Sie müssen das Thema wiederholen)
In einem Dreieck, Finden.
Wir entscheiden:
Das Dreieck ist gleichschenklig! Wir zeichnen die Höhe ein (das ist der Fokus, mit dessen Hilfe jetzt alles entschieden wird).
Jetzt „löschen wir aus dem Leben“, betrachten wir nur.
Also haben wir:
Wir erinnern uns an die tabellarischen Werte der Kosinuswerte (oder schauen Sie sich den Spickzettel an ...)
Es bleibt noch zu finden: .
Antworten: .
Beachten Sie, dass wir hier sind Sehr erforderliche Kenntnisse über das rechtwinklige Dreieck und die „tafelförmigen“ Sinus- und Cosinuswerte. Das kommt sehr oft vor: Die Themen „Isosceles Triangle“ und „In Puzzles“ kommen gebündelt vor, passen aber nicht sehr gut zu anderen Themen.
Gleichschenkligen Dreiecks. Durchschnittsniveau.
Diese zwei gleiche Seiten genannt Seiten, A Die dritte Seite ist die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks.
Schauen Sie sich das Bild an: und - die Seiten, - die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks.
Schauen wir uns auf einem Bild an, warum das so ist. Zeichnen Sie eine Höhe von einem Punkt aus.
Dies bedeutet, dass alle entsprechenden Elemente gleich sind.
Alle! Auf einen Schlag (Höhe) wurden alle Aussagen auf einmal bewiesen.
Und Sie erinnern sich: Um das Problem des gleichschenkligen Dreiecks zu lösen, ist es oft sehr nützlich, die Höhe bis zur Basis des gleichschenkligen Dreiecks zu verringern und es in zwei gleiche rechtwinklige Dreiecke zu teilen.
Zeichen eines gleichschenkligen Dreiecks
Es gelten auch die umgekehrten Aussagen:
Fast alle dieser Aussagen lassen sich noch einmal „auf einen Schlag“ beweisen.
1. Es stellte sich also heraus, dass v gleich ist und.
Nehmen wir die Höhe. Dann
2. a) Lassen Sie nun ein Dreieck ein gleiche Höhe und Winkelhalbierende.
2. b) Und wenn Höhe und Median gleich sind? Alles ist fast gleich, nichts ist komplizierter!
 |
- auf zwei Beinen |
2. c) Aber wenn es keine Höhe gibt, das auf die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks abgesenkt wird, dann gibt es zunächst keine rechtwinkligen Dreiecke. Schlecht!
Aber es gibt einen Ausweg – lesen Sie ihn auf der nächsten Ebene der Theorie, da der Beweis hier komplizierter ist, aber denken Sie zunächst daran, dass das Dreieck auch gleichschenklig sein wird, wenn der Median und die Winkelhalbierende zusammenfallen, und die Höhe immer noch mit dieser Winkelhalbierenden und dem Median zusammenfällt.
Zusammenfassen:
- Wenn das Dreieck gleichschenklig ist, sind die Winkel an der Basis gleich und die zur Basis gezogene Höhe, Winkelhalbierende und Mittellinie sind gleich.
- Wenn es in einem Dreieck zwei gleiche Winkel gibt oder zwei der drei Geraden (Halbierende, Mittellinie, Höhe) zusammenfallen, dann ist ein solches Dreieck gleichschenklig.
Gleichschenkligen Dreiecks. Kurzbeschreibung und Grundformeln
Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck mit zwei gleichen Seiten.
Zeichen eines gleichschenkligen Dreiecks:
- Wenn ein Dreieck zwei gleiche Winkel hat, dann ist es gleichschenklig.
- Wenn in einem Dreieck zusammenfallen:
A) Höhe und Winkelhalbierende oder
B) Höhe und Mittelwert oder
V) Median und Winkelhalbierende,
zur Seite gezogen, dann ist ein solches Dreieck gleichschenklig.
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