Bedingte Extremum-Lagrange-Funktion und -Bedingungen. Der größte und kleinste Wert einer Funktion in einem geschlossenen Bereich

Die Funktion z - f(x, y) sei in einem Bereich D definiert und Mo(xo, y0) sei ein innerer Punkt dieses Bereichs. Definition. Wenn es eine solche Zahl gibt, dass die Ungleichung für alle gilt, die die Bedingungen erfüllen, dann wird der Punkt Mo(xo, yo) der Punkt des lokalen Maximums der Funktion f(x, y) genannt; wenn jedoch für alle Dx, Du die Bedingungen | erfüllt sind dann heißt der Punkt Mo(x0, y0) ein feines lokales Minimum. Mit anderen Worten, der Punkt M0(x0, y0) ist der Punkt des Maximums oder Minimums der Funktion f(x, y), wenn es eine 6-Nachbarschaft des Punktes A/o(xo, y0) gibt, so dass das Inkrement der Funktion an allen Punkten M(x, y) dieser Umgebung das Vorzeichen behält. Beispiele. 1. Für eine Funktion ist ein Punkt ein Minimalpunkt (Abb. 17). 2. Für die Funktion ist der Punkt 0(0,0) der Maximalpunkt (Abb. 18). 3. Für die Funktion ist der Punkt 0(0,0) der lokale Maximalpunkt. 4 Tatsächlich existiert eine Umgebung des Punktes 0(0, 0), zum Beispiel ein Kreis mit dem Radius j (siehe Abb. 19), an jedem Punkt, der sich vom Punkt 0(0, 0) unterscheidet, ist der Wert der Funktion /(x, y) kleiner als 1 = Wir werden nur die Punkte des strikten Maximums und Minimums der Funktionen betrachten, wenn die strikte Ungleichung oder strikte Ungleichung für alle Punkte M(x) y) aus einigen punktierten 6-Nachbarn erfüllt ist Stadtteil des Punktes Mq. Der Wert der Funktion am Maximalpunkt wird als Maximum bezeichnet, und der Wert der Funktion am Minimalpunkt wird als Minimum dieser Funktion bezeichnet. Die Maximal- und Minimalpunkte einer Funktion werden als Extrempunkte der Funktion bezeichnet, und die Maxima und Minima der Funktion selbst werden als ihre Extrema bezeichnet. Satz 11 ( notwendige Bedingung Extremum). Wenn Funktion Extremum einer Funktion mehrerer Variablen Das Konzept eines Extremums einer Funktion mehrerer Variablen. Notwendige und hinreichende Bedingungen für ein Extremum Bedingtes Extremum Die größten und kleinsten Werte stetiger Funktionen haben an diesem Punkt ein Extremum, dann verschwindet an diesem Punkt jede partielle Ableitung und u verschwindet entweder oder existiert nicht. Die Funktion z = f(x) y) habe ein Extremum im Punkt M0(x0, y0). Geben wir der Variablen y den Wert yo. Dann ist die Funktion z = /(x, y) eine Funktion einer Variablen x\ Da sie bei x = xo ein Extremum (Maximum oder Minimum, Abb. 20) hat, dann ist ihre Ableitung nach x = „o, | (*o,l>)" Ist gleich Null oder existiert nicht. Ebenso überprüfen wir, dass a) oder gleich Null ist oder nicht existiert. Punkte, an denen = 0 und u = 0 oder nicht existieren, werden als kritische Punkte der Funktion z = Ax, y) bezeichnet. immt-Ableitungen, die bei null werden. Aber diese Funktion a ist dünn auf dem imvat "strumum. Tatsächlich ist die Funktion am Punkt 0(0,0) gleich Null und nimmt Punkte M(x, y) als nahe an wie möglich zum Punkt 0(0,0), kkk positive und negative Werte. Damit an Punkten an Punkten (0, y) für beliebig kleine, der Punkt 0(0,0) dieses Typs als Mini-Max-Punkt bezeichnet wird (Abb. 21). Die genauen Bedingungen für das Extremum einer Funktion zweier Variablen werden durch den folgenden Satz ausgedrückt: Satz 12 (ausreichende Bedingungen für das Extremum von Fuzim zweier Variablen) Der Punkt Mo(xo, V0) sei a stationärer Punkt der Funktion f(x, y), und in einer Umgebung des Punktes /, einschließlich des Punktes Mo selbst, hat die Funktion f(r, y) stetige partielle Ableitungen bis einschließlich zweiter Ordnung. Dann „1) am Punkt Mq(xq, Yo) hat die Funktion /(x, y) ein Maximum, wenn an diesem Punkt die Determinante 2) am Punkt Mo(x0, Yo) hat die Funktion /(x, y) ein Minimum, wenn am Punkt Mo(xq, Yo) die Funktion /(x, y) kein Extremum hat, wenn D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо> Wo) Das Extremum der Funktion f(x, y) kann sein oder auch nicht. In diesem Fall sind weitere Untersuchungen erforderlich. Wir beschränken uns auf den Beweis der Behauptungen 1) und 2) des Satzes. Schreiben wir die Taylor-Formel zweiter Ordnung für die Funktion /(i, y): wobei. Aufgrund der Annahme ist klar, dass das Vorzeichen des Inkrements D/ durch das Vorzeichen des Trinoms auf der rechten Seite von (1) bestimmt wird, d. h. durch das Vorzeichen des zweiten Differentials d2f. Lassen Sie uns der Kürze halber bezeichnen. Dann kann Gleichheit (l) wie folgt geschrieben werden: An dem Punkt MQ(so, Y0) sei ... Da die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung der Funktion /(s, y) nach Annahme stetig sind, gilt die Ungleichung (3) auch in einer Umgebung des Punktes M0(s0,yo). Wenn die Bedingung erfüllt ist (am Punkt A/0 und aufgrund der Kontinuität behält die Ableitung /,z(s, y) ihr Vorzeichen in einer Umgebung des Punktes Af0. In der Region, in der A ∆ 0 gilt, gilt: Daraus ist klar, dass, wenn LC - B2 > 0 in einer Umgebung des Punktes M0(x0) y0 ist, das Vorzeichen des Trinoms B2 > 0 A und C keine unterschiedlichen Vorzeichen haben kann). Da das Vorzeichen der Summe AAs2 + 2BAxAy + CAy2 am Punkt (s0 + $ Ax, yo + 0 Dy) das Vorzeichen der Differenz bestimmt, kommen wir zu folgendem Schluss: Wenn die Bedingung für die Funktion f(s, y) am stationären Punkt (s0, yo) erfüllt ist, dann für ausreichend kleine || Ungleichheit wird bestehen bleiben. Somit hat die Funktion /(s, y) im Punkt (sq, y0) ein Maximum. Wenn die Bedingung aber am stationären Punkt (s0, yo) erfüllt ist, dann ist |Ar| für alle hinreichend klein und |Do| Die Ungleichung ist wahr, was bedeutet, dass die Funktion /(s, y) am Punkt (so, yo) ein Minimum hat. Beispiele. 1. Untersuchen Sie die Funktion 4 für ein Extremum. Unter Verwendung der notwendigen Bedingungen für ein Extremum suchen wir nach stationären Punkten der Funktion. Dazu ermitteln wir die partiellen Ableitungen u und setzen sie mit Null gleich. Wir erhalten ein Gleichungssystem von wo aus - einem stationären Punkt. Wenden wir nun Satz 12 an. Es gilt also: Es gibt ein Extremum im Punkt Ml. Denn das ist das Minimum. Wenn wir die Funktion g in die Form umwandeln, ist es leicht zu erkennen, dass die rechte Seite ()" minimal ist, wenn sie das absolute Minimum dieser Funktion ist. 2. Untersuchen Sie die Funktion auf ein Extremum. Wir finden die stationären Punkte der Funktion, für die wir ein Gleichungssystem zusammenstellen. Von hier aus stellen wir sicher, dass der Punkt stationär ist. Da es aufgrund von Satz 12 im Punkt M kein Extremum gibt. * 3. Untersuchen Sie die Funktion für ein Extremum. Finden Sie die stationären Punkte der Funktion. Aus dem Gleichungssystem erhalten wir das, sodass der Punkt stationär ist. Darüber hinaus haben wir festgestellt, dass Satz 12 keine Antwort auf die Frage nach dem Vorhandensein oder Fehlen eines Extremums gibt. Machen wir es so. Für eine Funktion über alle Punkte außer einem Punkt hat die Funktion r per Definition am Punkt A/o(0,0) ein absolutes Minimum. Durch analoges Trocknen stellen wir fest, dass die Funktion an dem Punkt ein Maximum hat, aber kein Extremum an dem Punkt. Sei eine Funktion von η unabhängigen Variablen in einem Punkt differenzierbar. Der Punkt Mo heißt stationärer Punkt der Funktion, wenn. Satz 13 (ausreichende Bedingungen für ein Extremum). Die Funktion sei definiert und habe stetige partielle Ableitungen zweiter Ordnung in einer bestimmten Umgebung der Feinlinie MC(xi..., die eine stationäre Feinfunktion ist. Wenn die quadratische Form (das zweite Differential der Funktion f im Feinpunkt positiv-definit (negativ definit)) ist, ist der Punkt des Minimums (bzw. des Feinmaximums) der Funktion f fein. Negativ-definit, man kann zum Beispiel das Sylvester-Kriterium der positiven (negativen) Definitheit einer Quadratik verwenden Form. 15.2. Bedingtes Extremum Bisher haben wir nach lokalen Extrema einer Funktion im gesamten Definitionsbereich gesucht, wenn die Argumente der Funktion nicht durch zusätzliche Bedingungen verbunden sind. Solche Extrema werden unbedingt genannt. Allerdings stößt man oft auf Probleme beim Finden der sogenannten bedingten Extrema. Die Funktion z = /(x, y) sei im Bereich D definiert. Angenommen, in diesem Bereich sei eine Kurve L gegeben, und es sei notwendig, die Extrema der Funktion f(x> zu finden y) nur unter denen seiner Werte, die den Punkten der Kurve L entsprechen. Die Extrema werden auch bedingte Extrema der Funktion z = f(x) y) auf der Kurve L genannt. Definition Nachbarschaft des Punktes M0 (x0, Yo) und verschieden vom Punkt M0 (Wenn die Kurve L durch eine Gleichung gegeben ist, dann das Problem, das bedingte Extremum der Funktion r - f (x, y) auf der Kurve zu finden! kann wie folgt formuliert werden: um die Extrema der Funktion x = /(x, y) im Bereich D zu finden, vorausgesetzt, dass beim Finden der bedingten Extrema der Funktion z = y) die Argumente zn nicht mehr als unabhängige Variablen betrachtet werden können: Sie sind durch die Beziehung y) = 0 miteinander verbunden, die als Zwangsgleichung bezeichnet wird. Um den Unterschied zwischen m «* D y als unbedingtem und bedingtem Extremum zu verdeutlichen, schauen wir uns ein weiteres Beispiel an, das unbedingte Maximum der Funktion (Abb. 23) ist gleich eins und wird am Punkt (0,0) erreicht. Es entspricht genau M – dem Scheitelpunkt des PVVboloids. Fügen wir die Zwangsgleichung y = j hinzu. Dann ist das bedingte Maximum offensichtlich gleich. Es wird am Punkt (o, |) erreicht und entspricht dem Scheitelpunkt Afj des PVVboloids, der die Schnittlinie des PVVboloids mit der Ebene y = j ist. Im Fall eines unbedingten Minimums s haben wir das kleinste Applikat unter allen Explikten der Oberfläche * = 1 - n;2 ~ y1; slumvv bedingt – nur unter vllkvt-Punkten pvrboloidv, entsprechend einem Punkt * der geraden Linie y = j, nicht der xOy-Ebene. Eine der Methoden zum Finden des bedingten Extremums einer Funktion in Anwesenheit und Zusammenhang ist wie folgt. Die Verbindungsgleichung y) - O definiere y als einwertige differenzierbare Funktion des Arguments x: Wenn wir die Funktion anstelle von y in die Funktion einsetzen, erhalten wir eine Funktion eines Arguments, in der die Verbindungsbedingung bereits berücksichtigt wurde. Das (unbedingte) Extremum der Funktion ist das gewünschte bedingte Extremum. Beispiel. Finden Sie das Extremum einer Funktion unter der Bedingung Extremum einer Funktion mehrerer Variablen. Das Konzept eines Extremums einer Funktion mehrerer Variablen. Notwendige und ausreichende Bedingungen für ein Extremum Bedingtes Extremum Die größten und kleinsten Werte stetiger Funktionen A Aus der Verbindungsgleichung (2") finden wir y \u003d 1-x. Wenn wir diesen Wert y in (V) einsetzen, erhalten wir eine Funktion eines Arguments x: Untersuchen wir es auf ein Extremum: woher x \u003d 1 ein kritischer Punkt ist; , so dass ein bedingtes Minimum der Funktion r geliefert wird (Abb. 24). Lassen Sie uns einen anderen Weg zur Lösung des Problems aufzeigen des bedingten Extremums, genannt Lagrand-Methode der Multiplikatoren. Es gebe einen Punkt des bedingten Extremums der Funktion in Gegenwart einer Einschränkung. Nehmen wir an, dass die Einschränkungsgleichung eine eindeutige stetig differenzierbare Funktion in einer Umgebung des Punktes xi definiert. Nehmen wir an, dass wir erhalten, dass die Ableitung nach x der Funktion / (r, ip (x)) am Punkt xq gleich Null sein muss oder, was dazu äquivalent ist, das Differential von f (x, y) am Punkt Mo "O) muss gleich Null sein. Aus der Zwangsgleichung haben wir (5) Term für Term mit Gleichheit (4), wir haben (das nehmen wir an). Aufgrund der Beliebigkeit von dx erhalten wir dann die Gleichungen (6) und (7), die die notwendigen Bedingungen für ein unbedingtes Extremum an einem Punkt einer Funktion namens Lagrange-Funktion ausdrücken. Somit ist der Punkt des bedingten Extremums der Funktion / (x, y), wenn, notwendigerweise ein stationärer Punkt der Lagrange-Funktion, wobei A ein numerischer Koeffizient ist. Von hier aus erhalten wir eine Regel zum Auffinden bedingter Extrema: Um Punkte zu finden, die Punkte eines funktionalen Extremums einer Funktion bei Vorhandensein einer Verbindung sein können, 1) stellen wir die Lagrange-Funktion zusammen, 2) indem wir die Ableitungen und W dieser Funktion mit Null gleichsetzen und die Verbindungsgleichung zu den resultierenden Gleichungen hinzufügen, erhalten wir ein System aus drei Gleichungen, aus denen wir die Werte von A und die Koordinaten x, y möglicher Extremumpunkte ermitteln. Die Frage nach der Existenz und Natur des bedingten Extremums wird auf der Grundlage der Untersuchung des Vorzeichens des zweiten Differentials der Lagrange-Funktion für das betrachtete Wertesystem x0, Yo, A gelöst, das aus (8) unter der Bedingung erhalten wird, dass Wenn, dann hat die Funktion f(x, y) am Punkt (x0, Yo) ein bedingtes Maximum; wenn d2F > 0 – dann das bedingte Minimum. Insbesondere wenn an einem stationären Punkt (xo, J/o) die Determinante D für die Funktion F(x, y) positiv ist, dann gibt es am Punkt (®o, Yo) ein bedingtes Maximum der Funktion f(x, y) if und ein bedingtes Minimum der Funktion f(x, y) if. Beispiel. Wenden wir uns noch einmal den Bedingungen des vorherigen Beispiels zu: Finden Sie das Extremum der Funktion, vorausgesetzt, dass x + y = 1. Wir werden das Problem mit der Lagrange-Multiplikatormethode lösen. Die Lagrange-Funktion hat in diesem Fall die Form. Um stationäre Punkte zu finden, stellen wir ein System zusammen. Aus den ersten beiden Gleichungen des Systems erhalten wir x = y. Dann finden wir aus der dritten Gleichung des Systems (Kopplungsgleichung), dass x – y = j – die Koordinaten des Punktes eines möglichen Extremums sind. In diesem Fall (es wird angezeigt, dass A \u003d -1. Somit ist die Lagrange-Funktion. ein Punkt des bedingten Minimums der Funktion * \u003d x2 + y2, vorausgesetzt, es gibt kein unbedingtes Extremum für die Funktion Lagrange. P (x, y) bedeutet noch nicht das Fehlen eines bedingten Extremums für die Funktion / (x, y) bei Vorhandensein einer Verbindung Beispiel. Finden Sie das Extremum der Funktion unter der Bedingung y von Gleichungen, wir erhalten x + y = 0 und gelangen zu einem System, aus dem x = y = A = 0. Somit hat die entsprechende Lagrange-Funktion die Form. Am Punkt (0,0) hat die Funktion F(x, y; 0) kein unbedingtes Extremum, jedoch das bedingte Extremum der Funktion r = xy. Wenn y = x, gibt es dieses. In diesem Fall ist tatsächlich r = x2. Von hier aus ist klar, dass es am Punkt (0,0) ein bedingtes Minimum gibt für den Fall von Funktionen beliebig vieler Argumente aus / Gesucht werden soll das Extremum der Funktion bei Vorliegen der Verbindungsgleichungen. Indem wir alle partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktion F zu Null setzen und zu den erhaltenen Gleichungen die Verbindungsgleichungen (9) hinzufügen, erhalten wir ein System von n + m Gleichungen, aus denen wir Ab A3|..., Am und die Koordinaten x\) x2) bestimmen. » xn mögliche Punkte des bedingten Extremums. Die Frage, ob es sich bei den mit der Lagrange-Methode gefundenen Punkten tatsächlich um bedingte Extrempunkte handelt, lässt sich oft auf der Grundlage physikalischer oder geometrischer Überlegungen klären. 15.3. Maximale und minimale Werte stetiger Funktionen Es sei erforderlich, den maximalen (kleinsten) Wert einer Funktion z = /(x, y) stetig in einem erweiterten begrenzten Bereich D zu finden. Nach Satz 3 gibt es in diesem Bereich einen Punkt (xo, V0), an dem die Funktion den größten (kleinsten) Wert annimmt. Liegt der Punkt (xo, y0) innerhalb des Bereichs D, dann hat die Funktion / ein Maximum (Minimum), so dass in diesem Fall der für uns interessante Punkt unter den kritischen Punkten der Funktion /(x, y) enthalten ist. Allerdings kann die Funktion /(x, y) auch an der Grenze der Region ihren maximalen (kleinsten) Wert erreichen. Um den größten (kleinsten) Wert zu finden, den die Funktion z = /(x, y) in einem begrenzten geschlossenen Bereich 2) annimmt, ist es daher notwendig, alle Maxima (Minima) der Funktion zu finden, die innerhalb dieses Bereichs erreicht werden, sowie den größten (kleinsten) Wert der Funktion an der Grenze dieses Bereichs. Die größte (kleinste) aller dieser Zahlen ist der gewünschte maximale (kleinste) Wert der Funktion z = /(x, y) im Bereich 27. Lassen Sie uns zeigen, wie dies im Fall einer differenzierbaren Funktion geschieht. Prmmr. Finden Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion der Fläche 4. Wir finden die kritischen Punkte der Funktion innerhalb der Fläche D. Dazu stellen wir ein Gleichungssystem auf. Von hier aus erhalten wir x \u003d y "0, so dass der Punkt 0 (0,0) der kritische Punkt der Funktion x ist. Da Finden wir nun den größten und kleinsten Wert der Funktion an der Grenze Г des Bereichs D. Auf dem Teil der Grenze gilt, dass y \u003d 0 ein kritischer Punkt ist, und da \u003d dann hat die Funktion z \u003d 1 + y2 an diesem Punkt ein Minimum gleich eins. An den Enden des Segments G", an Punkten (, haben wir. Unter Verwendung von Symmetrieüberlegungen erhalten wir die gleichen Ergebnisse für andere Teile der Grenze. Schließlich erhalten wir: Der kleinste Wert der Funktion z \u003d x2 + y2 in der Fläche „B“ ist Null und wird am internen Punkt 0 (0, 0) der Fläche erreicht, und der größte Wert dieser Funktion, gleich zwei, wird an vier Punkten der Grenze erreicht (Abb. 25) Abb. 25 Übungen finden der Definitionsbereich von Funktionen: Erstellen Sie Funktionsebenenlinien: 9 Finden Sie die Ebenenflächen von Funktionen dreier unabhängiger Variablen: Berechnen Sie die Grenzen von Funktionen: Finden Sie die partiellen Ableitungen von Funktionen und ihre totalen Differentiale: Finden Sie die Ableitungen komplexer Funktionen: 3 Finden Sie J. Extremum einer Funktion mehrerer Variablen Das Konzept eines Extremums einer Funktion mehrerer Variablen Notwendige und ausreichende Bedingungen für ein Extremum Bedingtes Extremum Die größten und kleinsten Werte stetiger Funktionen Finden Sie implizit gegebene jj-Funktionen: 40. Finden Sie die Steigung der Tangente Kurve im Schnittpunkt mit der Geraden x = 3. 41. Finden Sie die Punkte, an denen die Tangente der x-Kurve parallel zur x-Achse verläuft. . Finden Sie in den folgenden Aufgaben und Z: Schreiben Sie die Gleichungen der Tangentialebene und der Flächennormalen: 49. Schreiben Sie die Gleichungen der Tangentenebenen der Oberfläche x2 + 2y2 + Zr2 = 21, parallel zur Ebene x + 4y + 6z = 0. Finden Sie die ersten drei bis vier Terme der Taylor-Entwicklung: 50. y in der Nähe des Punktes (0, 0). Untersuchen Sie anhand der Definition des Extremums einer Funktion die folgenden Funktionen für ein Extremum:). Untersuchen Sie unter Verwendung ausreichender Bedingungen für das Extremum einer Funktion zweier Variablen das Extremum der Funktion: 84. Finden Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion z \u003d x2 - y2 in einem geschlossenen Kreis. 85. Finden Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion * \u003d x2y (4-x-y) in einem durch Linien x \u003d 0, y \u003d begrenzten Dreieck 0, x + y \u003d b. 88. Bestimmen Sie die Abmessungen eines rechteckigen Außenbeckens mit der kleinsten Oberfläche, vorausgesetzt, dass sein Volumen gleich V ist. 87. Bestimmen Sie die Abmessungen eines rechteckigen Parallelepipeds mit einer gegebenen Gesamtoberfläche von 5 maximalem Volumen. Antworten 1. und | Ein Quadrat, das aus Liniensegmenten x einschließlich seiner Seiten besteht. 3. Familie konzentrischer Ringe 2= 0,1,2,... .4. Die gesamte Ebene mit Ausnahme der Punkte der Geraden y. Der über der Parabel liegende Teil der Ebene y = -x?. 8. Kreispunkte x. Die gesamte Ebene mit Ausnahme der geraden Linien l, was einer unendlichen Reihe entspricht. Die Funktion ist in Punkten definiert. a) Linien parallel zur Linie x b) Konzentrische Kreise mit Mittelpunkt im Ursprung. 10. a) Parabeln y) Parabeln y a) Parabeln b) Hyperbeln | .Flugzeuge xc. 13.Prim - Rotationshyperboloide mit einem Hohlraum um die Oz-Achse; denn und sind zweischichtige Rotationshyperboloide um die Oz-Achse, beide Flächenfamilien sind durch einen Kegel getrennt; Es gibt keine Grenze, b) 0. 18. Sei y = kxt, dann z lim z = -2, sodass die gegebene Funktion am Punkt (0,0) keine Grenze hat. 19. a) Punkt (0,0); b) Punkt (0,0). 20. a) Bruchlinie - Kreis x2 + y2 = 1; b) Die Bruchlinie ist eine gerade Linie y \u003d x. 21. a) Bruchlinien – Koordinatenachsen Ox und Oy; b) 0 (leere Menge). 22. Alle Punkte (m, n), wobei und n ganze Zahlen sind

Notwendige und hinreichende Bedingungen für das Extremum von Funktionen zweier Variablen. Ein Punkt wird als minimaler (maximaler) Punkt einer Funktion bezeichnet, wenn in einer Umgebung des Punktes die Funktion definiert ist und die Ungleichung erfüllt (jeweils werden der maximale und der minimale Punkt als Extrempunkte der Funktion bezeichnet).

Eine notwendige Bedingung für ein Extremum. Wenn die Funktion am Extrempunkt erste partielle Ableitungen hat, verschwinden sie an diesem Punkt. Daraus folgt, dass man, um die Extrempunkte einer solchen Funktion zu finden, das Gleichungssystem lösen sollte. Punkte, deren Koordinaten dieses System erfüllen, werden kritische Punkte der Funktion genannt. Darunter können Maximalpunkte, Minimalpunkte sowie Punkte sein, die keine Extrempunkte sind.

Ausreichende Extrembedingungen werden verwendet, um Extrempunkte aus der Menge der kritischen Punkte auszuwählen, und sind unten aufgeführt.

Die Funktion soll am kritischen Punkt stetige zweite partielle Ableitungen haben. Wenn zu diesem Zeitpunkt

Bedingung, dann ist es ein Minimumpunkt bei und ein Maximumpunkt bei. Wenn es sich um einen kritischen Punkt handelt, dann ist es kein Extrempunkt. In diesem Fall ist eine genauere Untersuchung der Natur des kritischen Punktes erforderlich, der in diesem Fall ein Extrempunkt sein kann oder auch nicht.

Extrema von Funktionen dreier Variablen. Im Fall einer Funktion von drei Variablen wiederholen die Definitionen der Extrempunkte wörtlich die entsprechenden Definitionen für eine Funktion von zwei Variablen. Wir beschränken uns darauf, das Verfahren zur Untersuchung einer Funktion für ein Extremum vorzustellen. Beim Lösen des Gleichungssystems sollte man die kritischen Punkte der Funktion finden und dann an jedem der kritischen Punkte die Größen berechnen

Sind alle drei Größen positiv, so handelt es sich bei dem betrachteten kritischen Punkt um einen Minimalpunkt; Wenn dann der gegebene kritische Punkt ein Maximalpunkt ist.

Bedingtes Extremum einer Funktion zweier Variablen. Der Punkt wird als bedingter minimaler (maximaler) Punkt der Funktion bezeichnet, vorausgesetzt, dass es eine Umgebung des Punktes gibt, an dem die Funktion definiert ist und in der (jeweils) für alle Punkte deren Koordinaten die Gleichung erfüllen

Um bedingte Extrempunkte zu finden, verwenden Sie die Lagrange-Funktion

wobei die Zahl Lagrange-Multiplikator genannt wird. Lösen des Systems aus drei Gleichungen

Finden Sie die kritischen Punkte der Lagrange-Funktion (sowie den Wert des Hilfsfaktors A). An diesen kritischen Punkten kann es zu einem bedingten Extremum kommen. Das obige System liefert nur notwendige Bedingungen für ein Extremum, aber keine ausreichenden: Es kann durch die Koordinaten von Punkten erfüllt werden, die keine Punkte eines bedingten Extremums sind. Ausgehend vom Kern des Problems ist es jedoch oft möglich, die Art des kritischen Punktes festzustellen.

Bedingtes Extremum einer Funktion mehrerer Variablen. Betrachten Sie eine Funktion von Variablen unter der Bedingung, dass sie durch die Gleichungen in Beziehung stehen

Eine hinreichende Bedingung für ein Extremum einer Funktion zweier Variablen

1. Die Funktion sei in einer Umgebung des Punktes stetig differenzierbar und habe stetige partielle Ableitungen zweiter Ordnung (rein und gemischt).

2. Bezeichnen Sie mit der Determinante zweiter Ordnung

Extremum variable Vorlesungsfunktion

Satz

Wenn der Punkt mit Koordinaten ein stationärer Punkt für die Funktion ist, dann gilt:

A) Wenn es sich um einen Punkt mit lokalem Extremum handelt und bei einem lokalen Maximum ein lokales Minimum vorliegt;

C) wenn der Punkt kein lokaler Extrempunkt ist;

C) wenn, vielleicht beides.

Nachweisen

Wir schreiben die Taylor-Formel für die Funktion und beschränken uns dabei auf zwei Mitglieder:

Da der Punkt nach der Bedingung des Satzes stationär ist, sind die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung gleich Null, d.h. Und. Dann

Bezeichnen

Dann nimmt das Inkrement der Funktion die Form an:

Aufgrund der Stetigkeit partieller Ableitungen zweiter Ordnung (rein und gemischt) können wir entsprechend der Bedingung des Satzes an einem Punkt schreiben:

Wo oder; ,

1. Sei und, d. h. oder.

2. Wir multiplizieren das Inkrement der Funktion und dividieren durch, wir erhalten:

3. Ergänzen Sie den Ausdruck in geschweiften Klammern zum vollen Quadrat der Summe:

4. Der Ausdruck in geschweiften Klammern ist nicht negativ, da

5. Daher, wenn und daher, und, dann und daher, ist der Punkt gemäß der Definition ein Punkt mit lokalem Minimum.

6. Wenn und bedeutet, und dann ist ein Punkt mit Koordinaten laut Definition ein lokaler Maximalpunkt.

2. Betrachten Sie ein quadratisches Trinom, seine Diskriminante, .

3. Wenn, dann gibt es Punkte wie das Polynom

4. Das Gesamtinkrement der Funktion an einem Punkt gemäß dem in I erhaltenen Ausdruck schreiben wir in der Form:

5. Aufgrund der Stetigkeit partieller Ableitungen zweiter Ordnung und der Bedingung des Satzes an einem Punkt können wir das schreiben

Daher gibt es eine Umgebung eines Punktes, so dass für jeden Punkt das quadratische Trinom größer als Null ist:

6. Betrachten Sie – die Umgebung des Punktes.

Wählen wir einen beliebigen Wert, darum geht es. Vorausgesetzt, dass dies in der Formel für das Inkrement der Funktion steht

Was wir bekommen:

7. Seitdem.

8. Wenn wir in ähnlicher Weise für die Wurzel argumentieren, erhalten wir, dass es in jeder Umgebung des Punktes einen Punkt gibt, für den er daher in der Umgebung des Punktes kein Vorzeichen beibehält und es daher an dem Punkt kein Extremum gibt.

Bedingtes Extremum einer Funktion zweier Variablen

Bei der Suche nach Extrema einer Funktion zweier Variablen treten häufig Probleme im Zusammenhang mit dem sogenannten bedingten Extremum auf. Dieses Konzept lässt sich am Beispiel einer Funktion zweier Variablen erklären.

Gegeben seien eine Funktion und eine Gerade L auf der Ebene 0xy. Das Problem besteht darin, einen solchen Punkt P (x, y) auf der Linie L zu finden, an dem der Wert der Funktion im Vergleich zu den Werten dieser Funktion an den Punkten der Linie L, die sich in der Nähe des Punktes P befinden, am größten oder kleinsten ist. Solche Punkte P werden bedingte Extrempunkte der Funktion auf der Linie L genannt. Im Gegensatz zum üblichen Extrempunkt wird der Wert der Funktion am bedingten Extrempunkt mit den Werten der Funktion nicht an allen Punkten einiger ihrer Nachbarschaften verglichen, sondern nur an denen, die auf der Linie L liegen .

Es ist ganz klar, dass der Punkt des üblichen Extremums (man sagt auch das unbedingte Extremum) auch der Punkt des bedingten Extremums für jede Linie ist, die durch diesen Punkt verläuft. Das Gegenteil ist natürlich nicht der Fall: Ein bedingter Extrempunkt ist möglicherweise kein konventioneller Extrempunkt. Lassen Sie uns das Gesagte anhand eines Beispiels veranschaulichen.

Beispiel 1. Der Graph der Funktion ist die obere Hemisphäre (Abb. 2).

Reis. 2.

Diese Funktion hat im Ursprung ein Maximum; es entspricht dem Scheitelpunkt M der Hemisphäre. Wenn die Gerade L eine Gerade ist, die durch die Punkte A und B geht (ihre Gleichung), dann ist geometrisch klar, dass für die Punkte dieser Geraden der Maximalwert der Funktion an dem Punkt erreicht wird, der in der Mitte zwischen den Punkten A und B liegt. Dies ist der Punkt des bedingten Extremums (Maximums) der Funktion auf dieser Geraden; es entspricht dem Punkt M 1 auf der Halbkugel, und aus der Abbildung ist ersichtlich, dass hier von keinem gewöhnlichen Extremum die Rede sein kann.

Beachten Sie, dass man im letzten Teil des Problems, den größten und kleinsten Wert einer Funktion in einem geschlossenen Bereich zu finden, die Extremalwerte der Funktion an der Grenze dieses Bereichs finden muss, d.h. auf einer Zeile und lösen Sie dadurch das Problem für ein bedingtes Extremum.

Definition 1. Sie sagen, dass es an einem Punkt, der die Gleichung erfüllt, ein bedingtes oder relatives Maximum (Minimum) gibt: Wenn für einen, der die Gleichung erfüllt, die Ungleichung

Definition 2. Eine Gleichung dieser Form wird als Zwangsgleichung bezeichnet.

Satz

Wenn die Funktionen und in einer Umgebung eines Punktes und der partiellen Ableitung stetig differenzierbar sind und der Punkt der Punkt des bedingten Extremums der Funktion in Bezug auf die Zwangsgleichung ist, dann ist die Determinante zweiter Ordnung gleich Null:

Nachweisen

1. Da gemäß der Bedingung des Satzes die partielle Ableitung und der Wert der Funktion, dann in einem Rechteck

implizite Funktion definiert

Eine komplexe Funktion zweier Variablen an einem Punkt hat daher ein lokales Extremum oder.

2. Tatsächlich gemäß der Invarianzeigenschaft der Differentialformel erster Ordnung

3. Die Verbindungsgleichung kann in dieser Form dargestellt werden, das heißt

4. Multiplizieren Sie Gleichung (2) mit und (3) und addieren Sie sie

Daher bei

willkürlich. h.t.d.

Folge

Die Suche nach bedingten Extrempunkten einer Funktion zweier Variablen erfolgt in der Praxis durch die Lösung eines Gleichungssystems

Im obigen Beispiel haben wir also Nr. 1 aus der Kommunikationsgleichung. Von hier aus lässt sich leicht überprüfen, was bei ein Maximum erreicht. Aber dann aus der Gleichung der Kommunikation. Wir erhalten den geometrisch gefundenen Punkt P.

Beispiel #2. Finden Sie die bedingten Extrempunkte der Funktion in Bezug auf die Einschränkungsgleichung.

Finden wir die partiellen Ableitungen der gegebenen Funktion und der Verbindungsgleichung:

Machen wir eine Determinante zweiter Ordnung:

Schreiben wir das Gleichungssystem zum Finden bedingter Extrempunkte auf:

Daher gibt es vier bedingte Extrempunkte der Funktion mit den Koordinaten: .

Beispiel #3. Finden Sie die Extrempunkte der Funktion.

Wenn wir die partiellen Ableitungen mit Null gleichsetzen: , finden wir einen stationären Punkt – den Ursprung. Hier,. Daher ist der Punkt (0, 0) auch kein Extrempunkt. Die Gleichung ist die Gleichung eines hyperbolischen Paraboloids (Abb. 3), die Abbildung zeigt, dass der Punkt (0, 0) kein Extrempunkt ist.

Reis. 3.

Der größte und kleinste Wert einer Funktion in einem geschlossenen Bereich

1. Die Funktion sei in einem begrenzten geschlossenen Bereich D definiert und stetig.

2. Die Funktion soll in diesem Bereich endliche partielle Ableitungen haben, mit Ausnahme einzelner Punkte des Bereichs.

3. Nach dem Weierstrass-Theorem gibt es in diesem Bereich einen Punkt, an dem die Funktion den größten und den kleinsten Wert annimmt.

4. Wenn diese Punkte innere Punkte der Region D sind, dann ist es offensichtlich, dass sie ein Maximum oder ein Minimum haben.

5. In diesem Fall gehören die für uns interessanten Punkte zu den verdächtigen Punkten auf dem Extremum.

6. Die Funktion kann aber auch am Rand des Gebietes D den Maximal- oder Minimalwert annehmen.

7. Um den größten (kleinsten) Wert der Funktion im Bereich D zu finden, müssen Sie alle internen Punkte finden, die einem Extremum verdächtig sind, den Wert der Funktion in ihnen berechnen und dann mit dem Wert der Funktion an den Grenzpunkten des Bereichs vergleichen. Der größte aller gefundenen Werte ist der größte im geschlossenen Bereich D.

8. Die Methode zur Ermittlung eines lokalen Maximums oder Minimums wurde bereits in Abschnitt 1.2 behandelt. und 1.3.

9. Es bleibt noch die Methode zum Ermitteln der Maximal- und Minimalwerte der Funktion an der Grenze der Region zu betrachten.

10. Bei einer Funktion zweier Variablen stellt sich heraus, dass die Fläche normalerweise durch eine Kurve oder mehrere Kurven begrenzt wird.

11. Entlang einer solchen Kurve (oder mehreren Kurven) hängen die Variablen und entweder voneinander ab oder beide hängen von einem Parameter ab.

12. Somit stellt sich heraus, dass die Funktion am Rand von einer Variablen abhängig ist.

13. Die Methode zum Ermitteln des größten Werts einer Funktion einer Variablen wurde bereits früher besprochen.

14. Die Grenze der Region D sei durch die parametrischen Gleichungen gegeben:

Dann wird auf dieser Kurve die Funktion zweier Variablen sein komplexe Funktion aus Parameter: . Für eine solche Funktion wird der größte und kleinste Wert durch die Methode zur Bestimmung des größten und kleinsten Wertes für eine Funktion einer Variablen bestimmt.

Bedingtes Extrem.

Extrema einer Funktion mehrerer Variablen

Methode der kleinsten Quadrate.

Lokales Extremum von FNP

Lassen Sie die Funktion Und= F(P), RÎDÌR N und sei der Punkt Р 0 ( A 1 , A 2 , ..., ein p) –intern Punkt der Menge D.

Definition 9.4.

1) Der Punkt P 0 heißt Maximalpunkt Funktionen Und= F(P) wenn es eine Umgebung dieses Punktes U(P 0) Ì D gibt, so dass für jeden Punkt P( X 1 , X 2 , ..., x n)í U(P 0) , Р¹Р 0 , die Bedingung F(P) £ F(P0) . Bedeutung F(P 0) Funktionen am Maximalpunkt aufgerufen wird Funktion maximal und bezeichnet F(P 0) = max F(P) .

2) Der Punkt P 0 heißt Mindestpunktzahl Funktionen Und= F(P) wenn es eine Umgebung dieses Punktes U(P 0)Ì D gibt, so dass für jeden Punkt P( X 1 , X 2 , ..., x n)ñU(P 0), Р¹Р 0 , die Bedingung F(P)³ F(P0) . Bedeutung F(P 0) Funktionen am Minimalpunkt werden aufgerufen Funktionsminimum und bezeichnet F(P 0) = min F(P).

Die minimalen und maximalen Punkte einer Funktion werden aufgerufen Extrempunkte, werden die Werte der Funktion an den Extrempunkten genannt Funktionsextreme.

Wie aus der Definition hervorgeht, sind die Ungleichungen F(P) £ F(P0) , F(P)³ F(P 0) darf nur in einer bestimmten Umgebung des Punktes Р 0 und nicht im gesamten Funktionsbereich ausgeführt werden, was bedeutet, dass die Funktion mehrere Extrema des gleichen Typs haben kann (mehrere Minima, mehrere Maxima). Daher werden die oben definierten Extrema aufgerufen lokal(lokale) Extreme.

Satz 9.1. (notwendige Bedingung für das Extremum des FNP)

Wenn die Funktion Und= F(X 1 , X 2 , ..., x n) ein Extremum im Punkt P 0 hat, dann sind seine partiellen Ableitungen erster Ordnung an diesem Punkt entweder gleich Null oder existieren nicht.

Nachweisen. Sei am Punkt Р 0 ( A 1 , A 2 , ..., ein p) Funktion Und= F(P) hat ein Extrem, beispielsweise ein Maximum. Lassen Sie uns die Argumente klären X 2 , ..., x n, setzen X 2 =A 2 ,..., x n = ein p. Dann Und= F(P) = F 1 ((X 1 , A 2 , ..., ein p) ist eine Funktion einer Variablen X 1 . Da diese Funktion hat X 1 = A 1 Extremum (Maximum) also F 1 ¢=0 oder existiert nicht, wenn X 1 =A 1 (eine notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremums einer Funktion einer Variablen). Aber , dann oder existiert nicht am Punkt P 0 - dem Extremumpunkt. Ebenso können wir partielle Ableitungen nach anderen Variablen betrachten. CHTD.

Es werden die Punkte des Definitionsbereichs einer Funktion aufgerufen, an denen die partiellen Ableitungen erster Ordnung gleich Null sind oder nicht existieren kritische Punkte diese Funktion.

Wie aus Satz 9.1 folgt, sollten die Extrempunkte des FNP unter den kritischen Punkten der Funktion gesucht werden. Aber was eine Funktion einer Variablen betrifft, ist nicht jeder kritische Punkt ein Extrempunkt.

Satz 9.2

Sei Р 0 ein kritischer Punkt der Funktion Und= F(P) und ist das Differential zweiter Ordnung dieser Funktion. Dann

und wenn D 2 u(P 0) > 0 für , dann ist Р 0 ein Punkt Minimum Funktionen Und= F(P);

b) wenn D 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maximal Funktionen Und= F(P);

c) wenn D 2 u(P 0) nicht durch Vorzeichen definiert ist, dann ist P 0 kein Extrempunkt;

Wir betrachten diesen Satz ohne Beweis.

Beachten Sie, dass der Satz den Fall nicht berücksichtigt D 2 u(P 0) = 0 oder existiert nicht. Dies bedeutet, dass die Frage nach dem Vorhandensein eines Extremums am Punkt P 0 unter solchen Bedingungen offen bleibt – zusätzliche Studien sind erforderlich, beispielsweise die Untersuchung des Inkrements der Funktion an diesem Punkt.

In ausführlicheren Mathematikkursen wird dies insbesondere für die Funktion nachgewiesen z = f(X,j) zweier Variablen, deren Differential zweiter Ordnung eine Summe der Form ist

Die Untersuchung des Vorhandenseins eines Extremums am kritischen Punkt Р 0 kann vereinfacht werden.

Bezeichnen Sie , , . Stellen Sie die Determinante zusammen

.

Es stellt sich heraus:

D 2 z> 0 am Punkt P 0 , d.h. P 0 - Mindestpunkt, wenn A(P 0) > 0 und D(P 0) > 0;

D 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

wenn D(P 0)< 0, то D 2 z in der Nähe des Punktes Р 0 ändert sich das Vorzeichen und es gibt kein Extremum am Punkt Р 0;

wenn D(Р 0) = 0, dann sind auch zusätzliche Untersuchungen der Funktion in der Nähe des kritischen Punktes Р 0 erforderlich.

Also für die Funktion z = f(X,j) zwei Variablen haben wir den folgenden Algorithmus (nennen wir ihn „Algorithmus D“) zum Finden des Extremums:

1) Finden Sie den Definitionsbereich D( F) Funktionen.

2) Kritische Punkte finden, d.h. Punkte aus D( F), für die und gleich Null sind oder nicht existieren.

3) Überprüfen Sie an jedem kritischen Punkt Р 0 die ausreichenden Bedingungen für das Extremum. Finden Sie dazu , wo , , und berechnen D(Р 0) und A(P 0). Dann:

wenn D(Р 0) >0, dann gibt es am Punkt Р 0 ein Extremum, außerdem, wenn A(P 0) > 0 - dann ist dies ein Minimum, und wenn A(P 0)< 0 – максимум;

wenn D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Wenn D(Р 0) = 0, sind zusätzliche Studien erforderlich.

4) Berechnen Sie den Wert der Funktion an den gefundenen Extrempunkten.

Beispiel 1.

Finden Sie das Extremum einer Funktion z = X 3 + 8j 3 – 3xy .

Lösung. Der Definitionsbereich dieser Funktion ist die gesamte Koordinatenebene. Finden wir die kritischen Punkte.

, , Þ Р 0 (0,0) , .

Überprüfen wir die Erfüllung ausreichender Extrembedingungen. Lass uns finden

6X, = -3, = 48bei Und = 288Hu – 9.

Dann ist D (P 0) = 288 × 0 × 0 – 9 = –9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 - es gibt ein Extremum am Punkt Р 1, und seitdem A(P 1) = 3 >0, dann ist dieses Extremum ein Minimum. Also min z=z(P1) = .

Beispiel 2

Finden Sie das Extremum einer Funktion .

Lösung: D( F) = R 2 . Kritische Punkte: ; existiert nicht bei bei= 0, also ist P 0 (0,0) der kritische Punkt dieser Funktion.

2, = 0, = , = , aber D(Р 0) ist nicht definiert, daher ist es unmöglich, sein Vorzeichen zu studieren.

Aus dem gleichen Grund ist es unmöglich, Satz 9.2 direkt anzuwenden − D 2 z existiert zum jetzigen Zeitpunkt noch nicht.

Betrachten Sie das Inkrement der Funktion F(X, j) am Punkt Р 0 . Wenn D F =F(P)- F(P 0)>0 "P, dann ist P 0 der Minimalpunkt, wenn D F < 0, то Р 0 – точка максимума.

Wir haben in unserem Fall

D F = F(X, j) – F(0, 0) = F(0+D X,0+D j) – F(0, 0) = .

Bei D X= 0,1 und D j= -0,008 erhalten wir D F = 0,01 – 0,2 < 0, а при DX= 0,1 und D j= 0,001 D F= 0,01 + 0,1 > 0, d.h. in der Nähe des Punktes Р 0 weder die Bedingung D F <0 (т.е. F(X, j) < F(0, 0) und daher ist P 0 kein Maximalpunkt), noch die Bedingung D F>0 (d. h. F(X, j) > F(0, 0) und dann ist Р 0 kein Minimalpunkt). Daher hat diese Funktion per Definition eines Extremums keine Extrema.

Bedingtes Extrem.

Das betrachtete Extremum der Funktion wird aufgerufen bedingungslos, da den Funktionsargumenten keine Einschränkungen (Bedingungen) auferlegt werden.

Definition 9.2. Funktionsextremum Und = F(X 1 , X 2 , ... , x n), unter der Bedingung gefunden, dass seine Argumente X 1 , X 2 , ... , x n erfüllen die Gleichungen j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j T(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, wobei P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( F), wird genannt bedingtes Extremum .

Gleichungen j k(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., M, werden genannt Verbindungsgleichungen.

Betrachten Sie die Funktionen z = f(X,j) von zwei Variablen. Wenn es nur eine Zwangsgleichung gibt, d.h. , dann bedeutet das Finden eines bedingten Extremums, dass das Extremum nicht im gesamten Bereich der Funktion gesucht wird, sondern auf einer Kurve, die in D( F) (d. h. es werden nicht die höchsten oder niedrigsten Punkte der Oberfläche gesucht z = f(X,j) und die höchsten bzw. niedrigsten Punkte unter den Schnittpunkten dieser Fläche mit dem Zylinder , Abb. 5).


Bedingtes Extremum der Funktion z = f(X,j) zweier Variablen kann auf folgende Weise ermittelt werden( Eliminierungsmethode). Drücken Sie aus der Gleichung eine der Variablen als Funktion der anderen aus (z. B. schreiben Sie ) und setzen Sie diesen Wert der Variablen in die Funktion ein und schreiben Sie diese als Funktion einer Variablen (im betrachteten Fall). ). Finden Sie das Extremum der resultierenden Funktion einer Variablen.

BEDINGT EXTREM

Der minimale oder maximale Wert, der von einer bestimmten Funktion (oder Funktion) erreicht wird, vorausgesetzt, dass einige andere Funktionen (Funktionen) Werte aus einer bestimmten zulässigen Menge annehmen. Liegen keine Bedingungen vor, die Änderungen unabhängiger Variablen (Funktionen) im angegebenen Sinne begrenzen, spricht man von einem unbedingten Extremum.
Klassisch Aufgabe für W. e. ist das Problem, das Minimum einer Funktion mehrerer Variablen zu bestimmen

Vorausgesetzt, dass einige andere Funktionen die angegebenen Werte annehmen:

In diesem Problem G, zu dem die Werte der Vektorfunktion gehören g=(g 1 , ...,g m), In den Zusatzbedingungen (2) ist ein Fixpunkt enthalten c=(c 1 , ..., mit t) im m-dimensionalen euklidischen Raum
Wenn in (2) neben dem Gleichheitszeichen auch Ungleichheitszeichen zulässig sind

Dies führt zu dem Problem nichtlineare Programmierung(13). In Problem (1), (3) ist die Menge G der zulässigen Werte der Vektorfunktion g eine bestimmte krummlinige Form, die zu der durch m 1 definierten (n-m 1)-dimensionalen Hyperfläche gehört , M 1 gleichheitsartige Bedingungen (3). Die Grenzen des angegebenen krummlinigen Polyeders werden unter Berücksichtigung konstruiert p-m 1 Ungleichungen in (3) enthalten.
Ein Sonderfall des Problems (1), (3) auf einem U.v. ist die Aufgabe Lineares Programmieren, in dem alle betrachteten Funktionen f und gi sind linear in x l , ... , x p. Bei einem linearen Programmierproblem ist die Menge G möglicher Werte einer Vektorfunktion G, in den Bedingungen enthalten, die den Variablenbereich begrenzen x 1 , .....x n , ist, die zur (n-t 1)-dimensionalen Hyperebene gehört, die durch m 1 Gleichheitstypbedingungen in (3) definiert ist.
Ebenso stellen die meisten Optimierungsprobleme praktische Funktionen dar Interesse, wird auf Aufgaben auf U. e reduziert. (cm. Isoperimetrisches Problem, Ringproblem, Lagrange-Problem, Manner-Problem). Genau wie in Mathe. Programmierung, die Hauptprobleme der Variationsrechnung und der Theorie der optimalen Kontrolle sind Probleme auf dem konvexen e.
Bei der Lösung von Problemen in den USA, insbesondere bei der Betrachtung des Theoretischen. Bei Fragen im Zusammenhang mit Problemen auf C. e. erweist es sich als sehr nützlich, auf unbestimmte Zeit zu verwenden Lagrange-Multiplikatoren, wodurch das Problem auf U. e. reduziert werden kann. Lösung des Problems auf dem Unbedingten und Vereinfachung der notwendigen Optimalitätsbedingungen. Die Verwendung von Lagrange-Multiplikatoren liegt den meisten klassischen Verfahren zugrunde Methoden zur Lösung von Problemen in U. e.

Zündete.: Hadley J., Nichtlinear und , trans. aus Englisch, M., 1967; Bliss G.A., Vorlesungen zur Variationsrechnung, trans. aus dem Englischen, M., 1950; Pontryagin L. S. [et al.], Mathematical Optimal Processes, 2. Aufl., M., 1969.
I. B. Vapnyarsky.

Mathematische Enzyklopädie. - M.: Sowjetische Enzyklopädie. I. M. Winogradow. 1977-1985.

Sehen Sie, was „CONDITIONAL EXTREME“ in anderen Wörterbüchern ist:

    Relatives Extremum, Extremum der Funktion f (x1,..., xn + m) von n + t Variablen, unter der Annahme, dass diese Variablen zusätzlichen t-Verbindungsgleichungen (Bedingungen) unterliegen: φk (x1,..., xn + m) = 0, 1≤ k ≤ m (*) (siehe Extremum).… …

    Sei eine offene Menge und seien gegebene Funktionen. Lassen. Diese Gleichungen werden Zwangsgleichungen genannt (die Terminologie ist der Mechanik entlehnt). Es sei eine Funktion auf G ... Wikipedia definiert

    - (von lat. extremum extreme) Wert einer stetigen Funktion f(x), der entweder ein Maximum oder ein Minimum ist. Genauer gesagt: Eine im Punkt x0 stetige Funktion f (x) hat ein Maximum (Minimum) in x0, wenn es eine Nachbarschaft (x0 + δ, x0 δ) dieses Punktes gibt, ... ... Große sowjetische Enzyklopädie

    Dieser Begriff hat andere Bedeutungen, siehe Extrem (Bedeutungen). Extremum (lat. extremum extreme) ist in der Mathematik der Maximal- oder Minimalwert einer Funktion auf einer gegebenen Menge. Der Punkt, an dem das Extremum erreicht wird, ist ... ... Wikipedia

    Eine Funktion, die zur Lösung von Problemen für ein bedingtes Extremum von Funktionen mehrerer Variablen und Funktionale verwendet wird. Mit der Hilfe von L. f. Die notwendigen Optimalitätsbedingungen werden in Aufgaben für ein bedingtes Extremum niedergeschrieben. Es besteht keine Notwendigkeit, nur Variablen auszudrücken ... Mathematische Enzyklopädie

    Eine mathematische Disziplin, die sich der Ermittlung extremer (maximaler und minimaler) Werte von Funktionalen von Variablen in Abhängigkeit von der Wahl einer oder mehrerer Funktionen widmet. In und. ist eine natürliche Weiterentwicklung dieses Kapitels… … Große sowjetische Enzyklopädie

    Variablen, mit deren Hilfe die Lagrange-Funktion bei der Untersuchung von Problemen für ein bedingtes Extremum konstruiert wird. Die Verwendung von L. m. und der Lagrange-Funktion ermöglicht es, in Problemen für ein bedingtes Extremum die notwendigen Optimalitätsbedingungen auf einheitliche Weise zu erhalten ... Mathematische Enzyklopädie

    Die Variationsrechnung ist ein Zweig der Funktionalanalysis, der die Variationen von Funktionalen untersucht. Die typischste Aufgabe der Variationsrechnung besteht darin, eine Funktion zu finden, auf die ein gegebenes Funktional zutrifft ... ... Wikipedia

    Ein Abschnitt der Mathematik, der sich mit der Untersuchung von Methoden zum Finden von Extrema von Funktionalen befasst, die von der Wahl einer oder mehrerer Funktionen unter verschiedenen Arten von Einschränkungen (Phase, Differential, Integral usw.) abhängen, die diesen auferlegt werden ... ... Mathematische Enzyklopädie

    Die Variationsrechnung ist ein Zweig der Mathematik, der die Variationen von Funktionalen untersucht. Die typischste Aufgabe der Variationsrechnung besteht darin, eine Funktion zu finden, bei der das Funktional einen Extremwert erreicht. Methoden ... ... Wikipedia

Bücher

  • Vorlesungen zur Kontrolltheorie. Band 2. Optimale Kontrolle, V. Boss. Es werden die klassischen Probleme der Theorie der optimalen Kontrolle betrachtet. Die Präsentation beginnt mit den Grundkonzepten der Optimierung in endlichdimensionalen Räumen: bedingtes und unbedingtes Extremum, ...