Quadratische Gleichungen und Ungleichungen mit einem Parameter. Lehrbuch „Gleichungen und Ungleichungen mit Parametern“ Konferenz „Gleichungen und Ungleichungen mit Parametern lösen“.

Kursarbeit

Interpret: Bugrov S K.

Das Studium vieler physikalischer Prozesse und geometrischer Muster führt oft zur Lösung von Problemen mit Parametern. Einige Universitäten beziehen Gleichungen, Ungleichungen und ihre Systeme auch in Prüfungsarbeiten ein, die oft sehr komplex sind und einen nicht standardisierten Lösungsansatz erfordern. In der Schule wird dieser zu den schwierigsten Abschnitten des Schulmathematikunterrichts nur in wenigen Wahlpflichtfächern berücksichtigt.

Bei der Vorbereitung dieser Arbeit habe ich mir zum Ziel gesetzt, dieses Thema eingehender zu untersuchen und die rationalste Lösung zu finden, die schnell zu einer Antwort führt. Meiner Meinung nach ist die grafische Methode eine bequeme und schnelle Möglichkeit, Gleichungen und Ungleichungen mit Parametern zu lösen.

In meinem Aufsatz bespreche ich häufig anzutreffende Arten von Gleichungen, Ungleichungen und deren Systeme, und ich hoffe, dass mir die im Laufe der Arbeit erworbenen Kenntnisse beim Bestehen von Schulprüfungen und beim Eintritt in eine Universität helfen werden.

§ 1. Grundlegende Definitionen

Betrachten Sie die Gleichung

¦(a, b, c, …, k, x)=j(a, b, c, …, k, x), (1)

wobei a, b, c, …, k, x variable Größen sind.

Jedes System variabler Werte

a = a0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0,

in dem sowohl die linke als auch die rechte Seite dieser Gleichung reelle Werte annehmen, nennt man ein System zulässiger Werte der Variablen a, b, c, ..., k, x. Sei A die Menge aller zulässigen Werte von a, B die Menge aller zulässigen Werte von b usw., X die Menge aller zulässigen Werte von x, d. h. аОА, bОB, …, xОX. Wenn wir für jede der Mengen A, B, C, …, K jeweils einen Wert a, b, c, …, k auswählen und festlegen und in Gleichung (1) einsetzen, erhalten wir eine Gleichung für x, d.h. Gleichung mit einer Unbekannten.

Die Variablen a, b, c, ..., k, die beim Lösen einer Gleichung als konstant betrachtet werden, werden Parameter genannt, und die Gleichung selbst wird als Gleichung mit Parametern bezeichnet.

Die Parameter werden durch die Anfangsbuchstaben des lateinischen Alphabets bezeichnet: a, b, c, d, ..., k, l, m, n, und die Unbekannten werden durch die Buchstaben x, y, z bezeichnet.

Eine Gleichung mit Parametern zu lösen bedeutet, anzugeben, bei welchen Werten der Parameter Lösungen existieren und was diese sind.

Zwei Gleichungen mit denselben Parametern heißen äquivalent, wenn:

a) sie sind für die gleichen Parameterwerte sinnvoll;

b) Jede Lösung der ersten Gleichung ist eine Lösung der zweiten und umgekehrt.

§ 2. Lösungsalgorithmus.

Finden Sie den Definitionsbereich der Gleichung.

Wir drücken a als Funktion von x aus.

Im xOa-Koordinatensystem erstellen wir einen Graphen der Funktion a=¦(x) für die Werte von x, die im Definitionsbereich dieser Gleichung enthalten sind.

Wir finden die Schnittpunkte der Geraden a=c, wobei cÎ(-¥;+¥) mit dem Graphen der Funktion a=¦(x) Wenn die Gerade a=c den Graphen a=¦(x) schneidet. , dann bestimmen wir die Abszisse der Schnittpunkte. Dazu genügt es, die Gleichung a=¦(x) nach x zu lösen.

Wir schreiben die Antwort auf.

I. Lösen Sie die Gleichung

(1)

Da x=0 keine Wurzel der Gleichung ist, kann die Gleichung nach a aufgelöst werden:

oder

Der Graph einer Funktion besteht aus zwei „zusammengeklebten“ Hyperbeln. Die Anzahl der Lösungen der ursprünglichen Gleichung wird durch die Anzahl der Schnittpunkte der konstruierten Linie und der Geraden y=a bestimmt.

Wenn ein О (-¥;-1]Ï(1;+¥)Ï

, dann schneidet die Gerade y=a den Graphen von Gleichung (1) in einem Punkt. Wir werden die Abszisse dieses Punktes finden, wenn wir die Gleichung nach x lösen.

Somit hat Gleichung (1) in diesem Intervall eine Lösung

. , dann schneidet die Gerade y=a den Graphen von Gleichung (1) an zwei Punkten. Die Abszissen dieser Punkte können aus den Gleichungen und ermittelt werden, wir erhalten und. , dann schneidet die Gerade y=a den Graphen von Gleichung (1) nicht, daher gibt es keine Lösungen.

Wenn ein О (-¥;-1]Ï(1;+¥)Ï

, Das ; , Das , ; , dann gibt es keine Lösungen.

II. Finden Sie alle Werte des Parameters a, für den die Gleichung gilt

hat drei verschiedene Wurzeln.

Schreiben Sie die Gleichung um als

und nachdem Sie ein Funktionspaar untersucht haben, können Sie feststellen, dass die gewünschten Werte des Parameters a und nur sie den Positionen des Funktionsgraphen entsprechen, an denen er genau drei Schnittpunkte mit dem Funktionsgraphen hat .

Im xOy-Koordinatensystem erstellen wir einen Graphen der Funktion

). Dazu können wir sie in der Form darstellen und, nachdem wir vier auftretende Fälle betrachtet haben, diese Funktion in die Form schreiben

Da der Graph der Funktion

- Dies ist eine gerade Linie mit einem Neigungswinkel zur Ox-Achse gleich , und die Oy-Achse an einem Punkt mit den Koordinaten (0, a) schneidet. Wir schließen daraus, dass die drei angegebenen Schnittpunkte nur dann erhalten werden können, wenn Diese Linie berührt den Graphen der Funktion. Daher finden wir die Ableitung.

III. Finden Sie alle Werte des Parameters a, für die jeweils das Gleichungssystem gilt

hat Lösungen.

Aus der ersten Gleichung des Systems erhalten wir

Daher definiert diese Gleichung eine Familie von „Halbparabeln“ – die rechten Äste der Parabel „gleiten“ mit ihren Scheitelpunkten entlang der Abszissenachse.

Wählen wir die perfekten Quadrate auf der linken Seite der zweiten Gleichung aus und faktorisieren sie

Viele Punkte des Flugzeugs

die zweite Gleichung erfüllen, sind zwei Geraden und

Lassen Sie uns herausfinden, bei welchen Werten des Parameters a eine Kurve aus der Familie der „Halbparabeln“ mindestens einen gemeinsamen Punkt mit einer der resultierenden Geraden hat.

Ungleichungen mit einem Parameter lösen.

Ungleichungen der Form ax > b, ax< b, ax ≥ b, ax ≤ b, где a и b – действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестная величина, называются Lineare Ungleichungen.

Die Prinzipien zum Lösen linearer Ungleichungen mit einem Parameter sind den Prinzipien zum Lösen linearer Gleichungen mit einem Parameter sehr ähnlich.

Beispiel 1.

Lösen Sie die Ungleichung 5x – a > ax + 3.

Lösung.

Lassen Sie uns zunächst die ursprüngliche Ungleichung transformieren:

5x – ax > a + 3, setzen wir x auf die linke Seite der Ungleichung in Klammern:

(5 – a)x > a + 3. Betrachten Sie nun mögliche Fälle für Parameter a:

Wenn a > 5, dann x< (а + 3) / (5 – а).

Wenn a = 5, dann gibt es keine Lösungen.

Wenn ein< 5, то x >(a + 3) / (5 – a).

Diese Lösung wird die Antwort auf die Ungleichung sein.

Beispiel 2.

Lösen Sie die Ungleichung x(a – 2) / (a – 1) – 2a/3 ≤ 2x – a nach a ≠ 1.

Lösung.

Lassen Sie uns die ursprüngliche Ungleichung umwandeln:

x(a – 2) / (a – 1) – 2x ≤ 2a/3 – a;

Ах/(à – 1) ≤ -à/3. Wenn wir beide Seiten der Ungleichung mit (-1) multiplizieren, erhalten wir:

ax/(a – 1) ≥ a/3. Lassen Sie uns mögliche Fälle für Parameter a untersuchen:

1 Fall. Sei a/(a – 1) > 0 oder a € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞). Dann ist x ≥ (a – 1)/3.

Fall 2. Sei a/(a – 1) = 0, d.h. a = 0. Dann ist x eine beliebige reelle Zahl.

Fall 3. Sei a/(a – 1)< 0 или а € (0; 1). Тогда x ≤ (а – 1)/3.

Antwort: x € [(a – 1)/3; +∞) für a € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞);
x € [-∞; (a – 1)/3] für a € (0; 1);
x € R für a = 0.

Beispiel 3.

Lösen Sie die Ungleichung |1 + x| ≤ ax relativ zu x.

Lösung.

Daraus folgt die Bedingung, dass die rechte Seite der Ungleichungsachse nicht negativ sein darf, d. h. ax ≥ 0. Nach der Regel, den Modul aus der Ungleichung |1 + x| aufzudecken ≤ ax haben wir eine doppelte Ungleichung

Ax ≤ 1 + x ≤ ax. Schreiben wir das Ergebnis in Form eines Systems um:

(ax ≥ 1 + x;
(-ax ≤ 1 + x.

Lassen Sie es uns umwandeln in:

((a – 1)x ≥ 1;
((a + 1)x ≥ -1.

Wir untersuchen das resultierende System in Intervallen und an Punkten (Abb. 1):

Für a ≤ -1 x € (-∞; 1/(a – 1)].

Um 1< а < 0 x € [-1/(а – 1); 1/(а – 1)].

Wenn a = 0 x = -1.

Bei 0< а ≤ 1 решений нет.

Grafische Methode zur Lösung von Ungleichungen

Das Zeichnen von Diagrammen vereinfacht das Lösen von Gleichungen, die einen Parameter enthalten, erheblich. Noch übersichtlicher und sinnvoller ist die Verwendung der grafischen Methode bei der Lösung von Ungleichungen mit einem Parameter.

Das grafische Lösen von Ungleichungen der Form f(x) ≥ g(x) bedeutet, die Werte der Variablen x zu finden, für die der Graph der Funktion f(x) über dem Graphen der Funktion g(x) liegt. Dazu ist es immer notwendig, die Schnittpunkte der Graphen zu finden (sofern vorhanden).

Beispiel 1.

Lösen Sie die Ungleichung |x + 5|< bx.

Lösung.

Wir erstellen Graphen der Funktionen y = |x + 5| und y = bx (Abb. 2). Die Lösung der Ungleichung sind die Werte der Variablen x, für die der Graph der Funktion y = |x + 5| ist wird unter dem Graphen der Funktion y = bx liegen.

Das Bild zeigt:

1) Für b > 1 schneiden sich die Geraden. Die Abszisse des Schnittpunkts der Graphen dieser Funktionen ist die Lösung der Gleichung x + 5 = bx, woraus x = 5/(b – 1). Der Graph y = bx befindet sich oben bei x aus dem Intervall (5/(b – 1); +∞), was bedeutet, dass diese Menge die Lösung der Ungleichung ist.

2) Ebenso finden wir das bei -1< b < 0 решением является х из интервала (-5/(b + 1); 5/(b – 1)).

3) Für b ≤ -1 x € (-∞; 5/(b – 1)).

4) Für 0 ≤ b ≤ 1 schneiden sich die Graphen nicht, was bedeutet, dass die Ungleichung keine Lösungen hat.

Antwort: x € (-∞; 5/(b – 1)) für b ≤ -1;
x € (-5/(b + 1); 5/(b – 1)) bei -1< b < 0;
es gibt keine Lösungen für 0 ≤ b ≤ 1; x € (5/(b – 1); +∞) für b > 1.

Beispiel 2.

Lösen Sie die Ungleichung a(a + 1)x > (a + 1)(a + 4).

Lösung.

1) Finden wir die „Kontrollwerte“ für Parameter a: a 1 = 0 und 2 = -1.

2) Lösen wir diese Ungleichung für jede Teilmenge der reellen Zahlen: (-∞; -1); (-1); (-10); (0); (0; +∞).

a) a< -1, из данного неравенства следует, что х >(a + 4)/a;

b) a = -1, dann nimmt diese Ungleichung die Form 0 x > 0 an – es gibt keine Lösungen;

c) -1< a < 0, из данного неравенства следует, что х < (a + 4)/a;

d) a = 0, dann hat diese Ungleichung die Form 0 x > 4 – es gibt keine Lösungen;

e) a > 0, aus dieser Ungleichung folgt x > (a + 4)/a.

Beispiel 3.

Lösen Sie die Ungleichung |2 – |x||< a – x.

Lösung.

Wir erstellen einen Graphen der Funktion y = |2 – |x|| (Abb. 3) und betrachten Sie alle möglichen Fälle der Lage der Geraden y = -x + a.

Antwort: Die Ungleichung hat keine Lösungen für a ≤ -2;
x € (-∞; (a – 2)/2) für a € (-2; 2];
x € (-∞; (a + 2)/2) für a > 2.

Bei der Lösung verschiedener Probleme, Gleichungen und Ungleichungen mit Parametern werden zahlreiche heuristische Techniken entdeckt, die dann in allen anderen Zweigen der Mathematik erfolgreich angewendet werden können.

Probleme mit Parametern spielen eine wichtige Rolle bei der Bildung des logischen Denkens und der mathematischen Kultur. Deshalb werden Sie, wenn Sie Methoden zur Lösung von Problemen mit Parametern beherrschen, auch andere Probleme erfolgreich bewältigen.

Sie haben noch Fragen? Sie wissen nicht, wie Sie Ungleichheiten lösen können?
Um Hilfe von einem Tutor zu erhalten, registrieren Sie sich.
Die erste Lektion ist kostenlos!

Wenn Sie Material ganz oder teilweise kopieren, ist ein Link zur Quelle erforderlich.

Jobtyp: 18

Zustand

Für welche Werte des Parameters a gilt die Ungleichung

\log_(5)(4+a+(1+5a^(2)-\cos^(2)x) \cdot\sin x - a \cos 2x) \leq 1 ist für alle Werte von x erfüllt?

Lösung anzeigen

Lösung

Diese Ungleichung entspricht der doppelten Ungleichung 0 < 4+a+(5a^{2}+\sin^{2}x) \sin x+ a(2 \sin^(2)x-1) \leq 5 .

Sei \sin x=t , dann erhalten wir die Ungleichung:

4 < t^{3}+2at^{2}+5a^{2}t \leq 1 \: (*) , die für alle Werte von -1 \leq t \leq 1 ausgeführt werden muss. Wenn a=0, dann gilt die Ungleichung (*) für jedes t\in [-1;1] .

Sei a \neq 0 . Die Funktion f(t)=t^(3)+2at^(2)+5a^(2)t nimmt im Intervall [-1;1] zu, da die Ableitung f"(t)=3t^(2) +4at +5a^(2) > 0 für alle Werte von t \in \mathbb(R) und a \neq 0 (Diskriminante D< 0 и старший коэффициент больше нуля).

Unter den Bedingungen wird die Ungleichung (*) für t \in [-1;1] erfüllt

\begin(cases) f(-1) > -4, \\ f(1) \leq 1, \\ a \neq 0; \end(cases)\: \Leftrightarrow \begin(cases) -1+2a-5a^(2) > -4, \\ 1+2a+5a^(2) \leq 1, \\ a \neq 0; \end(cases)\: \Leftrightarrow \begin(cases) 5a^(2)-2a-3< 0, \\ 5a^{2}+2a \leq 0, \\ a \neq 0; \end{cases}\: \Leftrightarrow -\frac(2)(5)\leq a< 0 .

Die Bedingung ist also erfüllt, wenn -\frac(2)(5) \leq a \leq 0 .

Antwort

\left [ -\frac(2)(5); 0\richtig ]

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2016. Profilebene.“ Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Jobtyp: 18
Thema: Ungleichungen mit einem Parameter

Zustand

Finden Sie alle Werte des Parameters a, für die jeweils die Ungleichung gilt

x^2+3|x-a|-7x\leqslant -2a

hat eine einzigartige Lösung.

Lösung anzeigen

Lösung

Ungleichheit entspricht einer Reihe von Ungleichheitssystemen

\left[\!\!\begin(array)(l) \begin(cases) x \geqslant a, \\ x^2+3x-3a-7x+2a\leqslant0; \end(cases) \\ \begin(cases)x \left[\!\!\begin(array)(l) \begin(cases) x \geqslant a, \\ x^2-4x-a\leqslant0; \end(cases) \\ \begin(cases)x \left[\!\!\begin(array)(l) \begin(cases) a \leqslant x, \\ a\geqslant x^2-4x; \end(cases) \\ \begin(cases)a>x, \\ a\leqslant -\frac(x^2)(5)+2x. \end(cases)\end(array)\right.

Im Oxa-Koordinatensystem werden wir Funktionsgraphen erstellen a=x, a=x^2-4x, a=-\frac(x^2)(5)+2x.

Die resultierende Menge wird durch die zwischen den Funktionsgraphen eingeschlossenen Punkte erfüllt a=x^2-4x, a=-\frac(x^2)(5)+2x auf dem Intervall x\in (schattierter Bereich).

Aus der Grafik bestimmen wir: Die ursprüngliche Ungleichung hat eine eindeutige Lösung für a=-4 und a=5, da es im schattierten Bereich einen einzelnen Punkt mit der Ordinate a gleich -4 und gleich 5 geben wird.

Ungleichungen mit einem Parameter lösen.

Die Prinzipien zum Lösen linearer Ungleichungen mit einem Parameter sind den Prinzipien zum Lösen linearer Gleichungen mit einem Parameter sehr ähnlich.

Beispiel 1.

Lösen Sie die Ungleichung 5x – a > ax + 3.

Lösung.

Lassen Sie uns zunächst die ursprüngliche Ungleichung transformieren:

5x – ax > a + 3, setzen wir x auf die linke Seite der Ungleichung in Klammern:

(5 – a)x > a + 3. Betrachten Sie nun mögliche Fälle für Parameter a:

Wenn a > 5, dann x< (а + 3) / (5 – а).

Wenn a = 5, dann gibt es keine Lösungen.

Wenn ein< 5, то x >(a + 3) / (5 – a).

Diese Lösung wird die Antwort auf die Ungleichung sein.

Beispiel 2.

Lösen Sie die Ungleichung x(a – 2) / (a – 1) – 2a/3 ≤ 2x – a nach a ≠ 1.

Lösung.

Lassen Sie uns die ursprüngliche Ungleichung umwandeln:

x(a – 2) / (a – 1) – 2x ≤ 2a/3 – a;

Ах/(à – 1) ≤ -à/3. Wenn wir beide Seiten der Ungleichung mit (-1) multiplizieren, erhalten wir:

ax/(a – 1) ≥ a/3. Lassen Sie uns mögliche Fälle für Parameter a untersuchen:

1 Fall. Sei a/(a – 1) > 0 oder a € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞). Dann ist x ≥ (a – 1)/3.

Fall 2. Sei a/(a – 1) = 0, d.h. a = 0. Dann ist x eine beliebige reelle Zahl.

Fall 3. Sei a/(a – 1)< 0 или а € (0; 1). Тогда x ≤ (а – 1)/3.

Antwort: x € [(a – 1)/3; +∞) für a € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞);
x € [-∞; (a – 1)/3] für a € (0; 1);
x € R für a = 0.

Beispiel 3.

Lösen Sie die Ungleichung |1 + x| ≤ ax relativ zu x.

Lösung.

Ax ≤ 1 + x ≤ ax. Schreiben wir das Ergebnis in Form eines Systems um:

(ax ≥ 1 + x;
(-ax ≤ 1 + x.

Lassen Sie es uns umwandeln in:

((a – 1)x ≥ 1;
((a + 1)x ≥ -1.

Wir untersuchen das resultierende System in Intervallen und an Punkten (Abb. 1):

Für a ≤ -1 x € (-∞; 1/(a – 1)].

Um 1< а < 0 x € [-1/(а – 1); 1/(а – 1)].

Wenn a = 0 x = -1.

Bei 0< а ≤ 1 решений нет.

Grafische Methode zur Lösung von Ungleichungen

Beispiel 1.

Lösen Sie die Ungleichung |x + 5|< bx.

Lösung.

Das Bild zeigt:

2) Ebenso finden wir das bei -1< b < 0 решением является х из интервала (-5/(b + 1); 5/(b – 1)).

3) Für b ≤ -1 x € (-∞; 5/(b – 1)).

4) Für 0 ≤ b ≤ 1 schneiden sich die Graphen nicht, was bedeutet, dass die Ungleichung keine Lösungen hat.

Antwort: x € (-∞; 5/(b – 1)) für b ≤ -1;
x € (-5/(b + 1); 5/(b – 1)) bei -1< b < 0;
es gibt keine Lösungen für 0 ≤ b ≤ 1; x € (5/(b – 1); +∞) für b > 1.

Beispiel 2.

Lösen Sie die Ungleichung a(a + 1)x > (a + 1)(a + 4).

Lösung.

1) Finden wir die „Kontrollwerte“ für Parameter a: a 1 = 0 und 2 = -1.

2) Lösen wir diese Ungleichung für jede Teilmenge der reellen Zahlen: (-∞; -1); (-1); (-10); (0); (0; +∞).

a) a< -1, из данного неравенства следует, что х >(a + 4)/a;

b) a = -1, dann nimmt diese Ungleichung die Form 0 x > 0 an – es gibt keine Lösungen;

c) -1< a < 0, из данного неравенства следует, что х < (a + 4)/a;

d) a = 0, dann hat diese Ungleichung die Form 0 x > 4 – es gibt keine Lösungen;

e) a > 0, aus dieser Ungleichung folgt x > (a + 4)/a.

Beispiel 3.

Lösen Sie die Ungleichung |2 – |x||< a – x.

Lösung.

Wir erstellen einen Graphen der Funktion y = |2 – |x|| (Abb. 3) und betrachten Sie alle möglichen Fälle der Lage der Geraden y = -x + a.

Antwort: Die Ungleichung hat keine Lösungen für a ≤ -2;
x € (-∞; (a – 2)/2) für a € (-2; 2];
x € (-∞; (a + 2)/2) für a > 2.

Sie haben noch Fragen? Sie wissen nicht, wie Sie Ungleichheiten lösen können?
Um Hilfe von einem Tutor zu bekommen -.
Die erste Lektion ist kostenlos!

blog.site: Wenn Sie Material ganz oder teilweise kopieren, ist ein Link zur Originalquelle erforderlich.