- Die Strecke, die die Mittelpunkte der Diagonalen eines Trapezes verbindet, ist gleich der halben Differenz der Grundflächen
- Dreiecke, die durch die Basen eines Trapezes gebildet werden, und die Segmente der Diagonalen bis zu ihrem Schnittpunkt sind ähnlich
- Dreiecke, die aus Segmenten der Diagonalen eines Trapezes gebildet werden, deren Seiten auf den Seiten des Trapezes liegen, sind gleich groß (haben die gleiche Fläche)
- Wenn Sie die Seiten des Trapezes in Richtung der kleineren Basis verlängern, schneiden sie sich in einem Punkt mit der geraden Linie, die die Mittelpunkte der Basen verbindet
- Ein Segment, das die Basen eines Trapezes verbindet und durch den Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes verläuft, wird durch diesen Punkt im Verhältnis geteilt, das dem Verhältnis der Längen der Basen des Trapezes entspricht
- Ein Segment parallel zu den Basen des Trapezes, das durch den Schnittpunkt der Diagonalen gezogen wird, wird durch diesen Punkt in zwei Hälften geteilt, und seine Länge ist gleich 2ab/(a + b), wobei a und b die Basen des Trapezes sind Trapez
Eigenschaften eines Segments, das die Mittelpunkte der Diagonalen eines Trapezes verbindet
Verbinden wir die Mittelpunkte der Diagonalen des Trapezes ABCD, wodurch wir ein Segment LM erhalten.
Ein Segment, das die Mittelpunkte der Diagonalen eines Trapezes verbindet liegt auf der Mittellinie des Trapezes.
Dieses Segment parallel zur Basis des Trapezes.
Die Länge des Segments, das die Mittelpunkte der Diagonalen eines Trapezes verbindet, ist gleich der Hälfte der Differenz seiner Basen.
LM = (AD - BC)/2
oder
LM = (a-b)/2
Eigenschaften von Dreiecken, die durch die Diagonalen eines Trapezes gebildet werden
Dreiecke, die durch die Basen eines Trapezes und den Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes gebildet werden - sind ähnlich.
Die Dreiecke BOC und AOD sind ähnlich. Da die Winkel BOC und AOD vertikal sind, sind sie gleich.
Die Winkel OCB und OAD sind kreuzweise liegende Innenwinkel mit Parallellinien AD und BC (die Basen des Trapezes sind parallel zueinander) und einer Sekantenlinie AC, daher sind sie gleich.
Die Winkel OBC und ODA sind aus dem gleichen Grund gleich (intern kreuzweise).
Da alle drei Winkel eines Dreiecks gleich den entsprechenden Winkeln eines anderen Dreiecks sind, sind diese Dreiecke ähnlich.
Was folgt daraus?
Um Probleme in der Geometrie zu lösen, wird die Ähnlichkeit von Dreiecken wie folgt genutzt. Wenn wir die Längen zweier entsprechender Elemente ähnlicher Dreiecke kennen, ermitteln wir den Ähnlichkeitskoeffizienten (wir dividieren das eine durch das andere). Von hier aus sind die Längen aller anderen Elemente im exakt gleichen Verhältnis zueinander.
Eigenschaften von seitlich liegenden Dreiecken und Diagonalen eines Trapezes
Betrachten Sie zwei Dreiecke, die auf den Seiten des Trapezes AB und CD liegen. Dies sind die Dreiecke AOB und COD. Trotz der Tatsache, dass die Größen der einzelnen Seiten dieser Dreiecke völlig unterschiedlich sein können, aber Die Flächen der Dreiecke, die durch die Seitenflächen und den Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes gebildet werden, sind gleich, das heißt, die Dreiecke sind gleich groß.
Wenn wir die Seiten des Trapezes zur kleineren Basis hin verlängern, ergibt sich der Schnittpunkt der Seiten fallen mit einer geraden Linie zusammen, die durch die Mitte der Basen verläuft.
Somit kann jedes Trapez zu einem Dreieck erweitert werden. Dabei:
- Dreiecke, die durch die Basen eines Trapezes mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt am Schnittpunkt der verlängerten Seiten gebildet werden, sind ähnlich
- Die Gerade, die die Mittelpunkte der Grundflächen des Trapezes verbindet, ist zugleich der Median des konstruierten Dreiecks
Eigenschaften eines Segments, das die Basen eines Trapezes verbindet
Wenn Sie ein Segment zeichnen, dessen Enden auf den Basen eines Trapezes liegen, das am Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes (KN) liegt, dann ist das Verhältnis seiner konstituierenden Segmente von der Seite der Basis zum Schnittpunkt der Diagonalen (KO/ON) wird gleich dem Verhältnis der Basen des Trapezes sein(v. Chr./n. Chr.).
KO/ON = BC/AD
Diese Eigenschaft ergibt sich aus der Ähnlichkeit der entsprechenden Dreiecke (siehe oben).
Eigenschaften eines Segments parallel zu den Basen eines Trapezes
Wenn wir ein Segment parallel zu den Basen des Trapezes zeichnen und durch den Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes verlaufen, dann hat es die folgenden Eigenschaften:
- Angegebene Distanz (KM) halbiert durch den Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes
- Abschnittslänge durch den Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes und parallel zu den Basen verläuft, ist gleich KM = 2ab/(a + b)
Formeln zum Ermitteln der Diagonalen eines Trapezes
a, b- trapezförmige Sockel
CD- Seiten des Trapezes
d1 d2- Diagonalen eines Trapezes
α β - Winkel mit einer größeren Basis des Trapezes
Formeln zum Ermitteln der Diagonalen eines Trapezes durch die Grundflächen, Seiten und Winkel an der Grundfläche
Die erste Formelgruppe (1-3) spiegelt eine der Haupteigenschaften von Trapezdiagonalen wider:
1. Die Summe der Quadrate der Diagonalen eines Trapezes ist gleich der Summe der Quadrate der Seiten plus dem doppelten Produkt seiner Grundflächen. Diese Eigenschaft von Trapezdiagonalen kann als separater Satz bewiesen werden
2 . Diese Formel wird durch Transformation der vorherigen Formel erhalten. Das Quadrat der zweiten Diagonale wird durch das Gleichheitszeichen geworfen, woraufhin die Quadratwurzel aus der linken und rechten Seite des Ausdrucks gezogen wird.
3 . Diese Formel zum Ermitteln der Länge der Diagonale eines Trapezes ähnelt der vorherigen, mit dem Unterschied, dass auf der linken Seite des Ausdrucks eine weitere Diagonale übrig bleibt
Die nächste Gruppe von Formeln (4-5) hat eine ähnliche Bedeutung und drückt eine ähnliche Beziehung aus.
Mit der Formelgruppe (6-7) können Sie die Diagonale eines Trapezes ermitteln, wenn die größere Basis des Trapezes, eine Seite und der Winkel an der Basis bekannt sind.
Formeln zum Ermitteln der Diagonalen eines Trapezes durch die Höhe
Aufgabe.
Die Diagonalen des Trapezes ABCD (AD | | BC) schneiden sich im Punkt O. Ermitteln Sie die Länge der Basis BC des Trapezes, wenn die Basis AD = 24 cm, Länge AO = 9 cm, Länge OS = 6 cm.
Lösung.
Die Lösung dieses Problems ist ideologisch absolut identisch mit den vorherigen Problemen.
Die Dreiecke AOD und BOC sind in drei Winkeln ähnlich – AOD und BOC sind vertikal und die übrigen Winkel sind paarweise gleich, da sie durch den Schnittpunkt einer Geraden und zweier paralleler Geraden gebildet werden.
Da die Dreiecke ähnlich sind, hängen alle ihre geometrischen Abmessungen miteinander zusammen, ebenso wie die geometrischen Abmessungen der Segmente AO und OC, die uns aufgrund der Problembedingungen bekannt sind. Also
AO/OC = AD/BC
9 / 6 = 24 / v. Chr
BC = 24 * 6 / 9 = 16
Antwort: 16 cm
Aufgabe .
Im Trapez ABCD ist bekannt, dass AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Finden Sie die Fläche des Trapezes. 
Lösung .
Um die Höhe eines Trapezes von den Eckpunkten der kleineren Basis B und C aus zu ermitteln, senken wir zwei Höhen auf die größere Basis. Da das Trapez ungleich ist, bezeichnen wir die Länge AM = a, die Länge KD = b ( Nicht zu verwechseln mit der Notation in der Formel Finden der Fläche eines Trapezes). Da die Grundflächen des Trapezes parallel sind und wir zwei Höhen senkrecht zur größeren Grundfläche abgesenkt haben, ist MBCK ein Rechteck.
Bedeutet
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b
Die Dreiecke DBM und ACK sind rechteckig, ihre rechten Winkel werden also durch die Höhen des Trapezes gebildet. Bezeichnen wir die Höhe des Trapezes mit h. Dann nach dem Satz des Pythagoras
H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
Und
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2
Berücksichtigen wir, dass a = 16 - b, dann in der ersten Gleichung
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2
Setzen wir den Wert des Quadrats der Höhe in die zweite Gleichung ein, die wir mit dem Satz des Pythagoras erhalten haben. Wir bekommen:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12
Also KD = 12
Wo
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5
Ermitteln Sie die Fläche des Trapezes durch seine Höhe und die Hälfte der Summe der Basen
, wo a b – die Basis des Trapezes, h – die Höhe des Trapezes
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 cm 2
Antwort: Die Fläche des Trapezes beträgt 80 cm2.
In diesem Artikel werden wir versuchen, die Eigenschaften eines Trapezes möglichst vollständig wiederzugeben. Insbesondere werden wir über die allgemeinen Eigenschaften und Eigenschaften eines Trapezes sowie über die Eigenschaften eines eingeschriebenen Trapezes und eines in ein Trapez eingeschriebenen Kreises sprechen. Wir werden auch auf die Eigenschaften eines gleichschenkligen und rechteckigen Trapezes eingehen.
Ein Beispiel für die Lösung eines Problems mithilfe der besprochenen Eigenschaften hilft Ihnen, es in Ihrem Kopf einzuordnen und sich den Stoff besser zu merken.
Trapez und Alles-Alles-Alles
Erinnern wir uns zunächst kurz daran, was ein Trapez ist und welche anderen Konzepte damit verbunden sind.
Ein Trapez ist also eine viereckige Figur, deren zwei Seiten parallel zueinander sind (das sind die Grundflächen). Und die beiden sind nicht parallel – das sind die Seiten.
Bei einem Trapez kann die Höhe abgesenkt werden – senkrecht zu den Grundflächen. Die Mittellinie und Diagonalen werden eingezeichnet. Es ist auch möglich, aus jedem Winkel des Trapezes eine Winkelhalbierende zu zeichnen.
Wir werden nun über die verschiedenen Eigenschaften sprechen, die mit all diesen Elementen und ihren Kombinationen verbunden sind.
Eigenschaften von Trapezdiagonalen
Um es klarer zu machen, skizzieren Sie beim Lesen das Trapez ACME auf einem Blatt Papier und zeichnen Sie Diagonalen hinein.
- Wenn Sie die Mittelpunkte jeder Diagonale finden (nennen wir diese Punkte X und T) und sie verbinden, erhalten Sie ein Segment. Eine der Eigenschaften der Diagonalen eines Trapezes besteht darin, dass das Segment HT auf der Mittellinie liegt. Und seine Länge kann man erhalten, indem man die Differenz der Basen durch zwei dividiert: ХТ = (a – b)/2.
- Vor uns liegt das gleiche Trapez ACME. Die Diagonalen schneiden sich im Punkt O. Schauen wir uns die Dreiecke AOE und MOK an, die aus Segmenten der Diagonalen zusammen mit den Basen des Trapezes gebildet werden. Diese Dreiecke sind ähnlich. Der Ähnlichkeitskoeffizient k von Dreiecken wird durch das Verhältnis der Basen des Trapezes ausgedrückt: k = AE/KM.
Das Verhältnis der Flächen der Dreiecke AOE und MOK wird durch den Koeffizienten k 2 beschrieben. - Das gleiche Trapez, die gleichen Diagonalen, die sich im Punkt O schneiden. Nur dieses Mal betrachten wir die Dreiecke, die die Segmente der Diagonalen zusammen mit den Seiten des Trapezes bilden. Die Flächen der Dreiecke AKO und EMO sind gleich groß – ihre Flächen sind gleich.
- Eine weitere Eigenschaft eines Trapezes ist die Konstruktion von Diagonalen. Wenn Sie also die Seiten von AK und ME in Richtung der kleineren Basis fortsetzen, werden sie sich früher oder später an einem bestimmten Punkt kreuzen. Zeichnen Sie als nächstes eine gerade Linie durch die Mitte der Basis des Trapezes. Es schneidet die Basen an den Punkten X und T.
Wenn wir nun die Linie XT verlängern, dann verbindet sie den Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes O, den Punkt, an dem sich die Verlängerungen der Seiten und die Mitten der Grundflächen X und T schneiden. - Durch den Schnittpunkt der Diagonalen zeichnen wir ein Segment, das die Basen des Trapezes verbindet (T liegt auf der kleineren Basis KM, X auf der größeren AE). Der Schnittpunkt der Diagonalen teilt dieses Segment im folgenden Verhältnis: TO/OX = KM/AE.
- Nun zeichnen wir durch den Schnittpunkt der Diagonalen ein Segment parallel zu den Grundflächen des Trapezes (a und b). Der Schnittpunkt teilt es in zwei gleiche Teile. Die Länge des Segments können Sie mithilfe der Formel ermitteln 2ab/(a + b).
Eigenschaften der Mittellinie eines Trapezes
Zeichnen Sie die Mittellinie im Trapez parallel zu seinen Basen.
- Die Länge der Mittellinie eines Trapezes kann berechnet werden, indem die Längen der Basen addiert und in zwei Hälften geteilt werden: m = (a + b)/2.
- Wenn Sie ein beliebiges Segment (zum Beispiel eine Höhe) durch beide Basen des Trapezes zeichnen, wird es durch die Mittellinie in zwei gleiche Teile geteilt.
Eigenschaft der Trapezhalbierenden
Wählen Sie einen beliebigen Winkel des Trapezes und zeichnen Sie eine Winkelhalbierende. Nehmen wir zum Beispiel den Winkel KAE unseres Trapezes ACME. Nachdem Sie die Konstruktion selbst abgeschlossen haben, können Sie leicht überprüfen, ob die Winkelhalbierende von der Basis (oder ihrer Fortsetzung auf einer geraden Linie außerhalb der Figur selbst) ein Segment mit der gleichen Länge wie die Seite abschneidet.
Eigenschaften von Trapezwinkeln
- Welches der beiden an die Seite angrenzenden Winkelpaare Sie auch wählen, die Summe der Winkel im Paar beträgt immer 180 0: α + β = 180 0 und γ + δ = 180 0.
- Verbinden wir die Mittelpunkte der Basen des Trapezes mit einem Segment TX. Schauen wir uns nun die Winkel an den Basen des Trapezes an. Wenn die Summe der Winkel für einen von ihnen 90 0 beträgt, kann die Länge des Segments TX leicht berechnet werden, basierend auf der Differenz der Längen der Basen, geteilt in zwei Hälften: TX = (AE – KM)/2.
- Wenn parallele Linien durch die Seiten eines Trapezwinkels gezogen werden, teilen sie die Seiten des Winkels in proportionale Segmente.
Eigenschaften eines gleichschenkligen (gleichseitigen) Trapezes
- Bei einem gleichschenkligen Trapez sind die Winkel an jeder Basis gleich.
- Bauen Sie jetzt noch einmal ein Trapez, damit Sie sich leichter vorstellen können, wovon wir sprechen. Schauen Sie sich die Basis AE genau an – der Scheitelpunkt der gegenüberliegenden Basis M wird auf einen bestimmten Punkt auf der Linie projiziert, die AE enthält. Der Abstand vom Scheitelpunkt A zum Projektionspunkt des Scheitelpunkts M und der Mittellinie eines gleichschenkligen Trapezes sind gleich.
- Ein paar Worte zur Eigenschaft der Diagonalen eines gleichschenkligen Trapezes – ihre Längen sind gleich. Und auch die Neigungswinkel dieser Diagonalen zur Basis des Trapezes sind gleich.
- Nur um ein gleichschenkliges Trapez kann ein Kreis beschrieben werden, da die Summe der entgegengesetzten Winkel eines Vierecks 180 0 beträgt – eine Voraussetzung dafür.
- Die Eigenschaft eines gleichschenkligen Trapezes ergibt sich aus dem vorherigen Absatz: Wenn ein Kreis in der Nähe des Trapezes beschrieben werden kann, ist er gleichschenklig.
- Aus den Merkmalen eines gleichschenkligen Trapezes folgt die Eigenschaft der Höhe eines Trapezes: Wenn sich seine Diagonalen im rechten Winkel schneiden, dann ist die Länge der Höhe gleich der Hälfte der Summe der Basen: h = (a + b)/2.
- Zeichnen Sie erneut das Segment TX durch die Mittelpunkte der Basen des Trapezes – bei einem gleichschenkligen Trapez steht es senkrecht zu den Basen. Und gleichzeitig ist TX die Symmetrieachse eines gleichschenkligen Trapezes.
- Verringern Sie dieses Mal die Höhe vom gegenüberliegenden Scheitelpunkt des Trapezes auf die größere Basis (nennen wir es a). Sie erhalten zwei Segmente. Die Länge von Eins kann ermittelt werden, wenn die Längen der Basen addiert und in zwei Hälften geteilt werden: (a + b)/2. Den zweiten erhalten wir, wenn wir den kleineren von der größeren Basis subtrahieren und die resultierende Differenz durch zwei dividieren: (a – b)/2.
Eigenschaften eines in einen Kreis eingeschriebenen Trapezes
Da es sich bereits um ein in einen Kreis eingeschriebenes Trapez handelt, wollen wir uns näher mit diesem Thema befassen. Insbesondere, wo sich der Mittelpunkt des Kreises im Verhältnis zum Trapez befindet. Auch hier empfiehlt es sich, sich die Zeit zu nehmen, einen Bleistift in die Hand zu nehmen und zu zeichnen, was im Folgenden besprochen wird. Auf diese Weise werden Sie schneller verstehen und sich besser erinnern.
- Die Lage des Kreismittelpunkts wird durch den Neigungswinkel der Diagonale des Trapezes zu seiner Seite bestimmt. Beispielsweise kann eine Diagonale von der Oberseite eines Trapezes im rechten Winkel zur Seite verlaufen. In diesem Fall schneidet die größere Basis den Mittelpunkt des Umkreises genau in der Mitte (R = ½AE).
- Diagonale und Seite können sich auch in einem spitzen Winkel treffen – dann liegt der Kreismittelpunkt innerhalb des Trapezes.
- Der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises kann außerhalb des Trapezes, jenseits seiner größeren Basis, liegen, wenn zwischen der Diagonale des Trapezes und der Seite ein stumpfer Winkel besteht.
- Der Winkel zwischen der Diagonale und der großen Basis des Trapezes ACME (eingeschriebener Winkel) ist die Hälfte des ihr entsprechenden Zentralwinkels: MAE = ½MOE.
- Kurz über zwei Möglichkeiten, den Radius eines umschriebenen Kreises zu ermitteln. Methode eins: Schauen Sie sich Ihre Zeichnung genau an – was sehen Sie? Sie können leicht erkennen, dass die Diagonale das Trapez in zwei Dreiecke teilt. Der Radius ergibt sich aus dem Verhältnis der Dreiecksseite zum Sinus des entgegengesetzten Winkels, multipliziert mit zwei. Zum Beispiel, R = AE/2*sinAME. Auf ähnliche Weise kann die Formel für jede Seite beider Dreiecke geschrieben werden.
- Methode zwei: Ermitteln Sie den Radius des umschriebenen Kreises durch die Fläche des Dreiecks, das aus Diagonale, Seite und Basis des Trapezes besteht: R = AM*ME*AE/4*S AME.
Eigenschaften eines um einen Kreis umschriebenen Trapezes
Sie können einen Kreis in ein Trapez einpassen, wenn eine Bedingung erfüllt ist. Lesen Sie weiter unten mehr darüber. Und zusammengenommen hat diese Figurenkombination eine Reihe interessanter Eigenschaften.
- Wenn ein Kreis in ein Trapez eingeschrieben ist, lässt sich die Länge seiner Mittellinie leicht ermitteln, indem man die Längen der Seiten addiert und die resultierende Summe in zwei Hälften teilt: m = (c + d)/2.
- Für das Trapez ACME, das um einen Kreis beschrieben wird, ist die Summe der Grundlängen gleich der Summe der Seitenlängen: AK + ME = KM + AE.
- Aus dieser Eigenschaft der Grundflächen eines Trapezes folgt die umgekehrte Aussage: Ein Kreis kann in ein Trapez eingeschrieben werden, dessen Grundsumme gleich der Summe seiner Seiten ist.
- Der Tangentenpunkt eines Kreises mit dem Radius r, der in ein Trapez eingeschrieben ist, teilt die Seite in zwei Segmente, nennen wir sie a und b. Der Radius eines Kreises kann mit der Formel berechnet werden: r = √ab.
- Und noch eine Immobilie. Um Verwirrung zu vermeiden, zeichnen Sie dieses Beispiel auch selbst. Wir haben das gute alte Trapez ACME, das um einen Kreis herum beschrieben wird. Es enthält Diagonalen, die sich im Punkt O schneiden. Die aus den Segmenten der Diagonalen und den Seitenflächen gebildeten Dreiecke AOK und EOM sind rechteckig.
Die Höhen dieser Dreiecke, abgesenkt zu den Hypotenusen (d. h. den Seiten des Trapezes), stimmen mit den Radien des eingeschriebenen Kreises überein. Und die Höhe des Trapezes stimmt mit dem Durchmesser des eingeschriebenen Kreises überein.
Eigenschaften eines rechteckigen Trapezes
Ein Trapez heißt rechteckig, wenn einer seiner Winkel richtig ist. Und seine Eigenschaften ergeben sich aus diesem Umstand.
- Bei einem rechteckigen Trapez steht eine Seite senkrecht zur Grundfläche.
- Höhe und Seite eines an einen rechten Winkel angrenzenden Trapezes sind gleich. Damit können Sie die Fläche eines rechteckigen Trapezes berechnen (allgemeine Formel). S = (a + b) * h/2) nicht nur durch die Höhe, sondern auch durch die an den rechten Winkel angrenzende Seite.
- Für ein rechteckiges Trapez sind die oben bereits beschriebenen allgemeinen Eigenschaften der Diagonalen eines Trapezes relevant.
Hinweise auf einige Eigenschaften des Trapezes
Winkelgleichheit an der Basis eines gleichschenkligen Trapezes:
- Sie haben wahrscheinlich schon vermutet, dass wir hier wieder das AKME-Trapez benötigen – zeichnen Sie ein gleichschenkliges Trapez. Zeichnen Sie eine gerade Linie MT vom Scheitelpunkt M parallel zur Seite von AK (MT || AK).
Das resultierende Viereck AKMT ist ein Parallelogramm (AK || MT, KM || AT). Da ME = KA = MT, ist ∆ MTE gleichschenklig und MET = MTE.
AK || MT, daher MTE = KAE, MET = MTE = KAE.
Wobei AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.
Q.E.D.
Basierend auf der Eigenschaft eines gleichschenkligen Trapezes (Gleichheit der Diagonalen) beweisen wir das nun Das Trapez ACME ist gleichschenklig:
- Zeichnen wir zunächst eine gerade Linie MX – MX || KE. Wir erhalten ein Parallelogramm KMHE (Basis – MX || KE und KM || EX).
∆AMX ist gleichschenklig, da AM = KE = MX und MAX = MEA.
MH || KE, KEA = MXE, also MAE = MXE.
Es stellte sich heraus, dass die Dreiecke AKE und EMA einander gleich sind, da AM = KE und AE die gemeinsame Seite der beiden Dreiecke sind. Und auch MAE = MXE. Wir können daraus schließen, dass AK = ME ist, und daraus folgt, dass das Trapez AKME gleichschenklig ist.
Überprüfungsaufgabe
Die Grundflächen des Trapezes ACME betragen 9 cm und 21 cm, die Seitenlänge KA von 8 cm bildet mit der kleineren Grundfläche einen Winkel von 150°. Sie müssen die Fläche des Trapezes finden.
Lösung: Vom Scheitelpunkt K verringern wir die Höhe zur größeren Basis des Trapezes. Und beginnen wir mit der Betrachtung der Winkel des Trapezes.
Die Winkel AEM und KAN sind einseitig. Das bedeutet, dass sie insgesamt 180 0 ergeben. Daher ist KAN = 30 0 (basierend auf der Eigenschaft der Trapezwinkel).
Betrachten wir nun das rechteckige ∆ANC (ich glaube, dieser Punkt ist für Leser ohne zusätzliche Beweise offensichtlich). Daraus ermitteln wir die Höhe des Trapezes KH – in einem Dreieck ist es ein Bein, das dem Winkel 30 0 gegenüberliegt. Daher ist KH = ½AB = 4 cm.
Wir ermitteln die Fläche des Trapezes mit der Formel: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.
Nachwort
Wenn Sie diesen Artikel sorgfältig und sorgfältig studiert haben, nicht zu faul waren, mit einem Bleistift in der Hand Trapeze für alle angegebenen Eigenschaften zu zeichnen und sie in der Praxis zu analysieren, sollten Sie das Material gut beherrschen.
Natürlich gibt es hier viele Informationen, vielfältig und manchmal sogar verwirrend: Es ist nicht so schwer, die Eigenschaften des beschriebenen Trapezes mit den Eigenschaften des eingeschriebenen zu verwechseln. Aber Sie haben selbst gesehen, dass der Unterschied riesig ist.
Jetzt haben Sie einen detaillierten Überblick über alle allgemeinen Eigenschaften eines Trapezes. Sowie spezifische Eigenschaften und Eigenschaften von gleichschenkligen und rechteckigen Trapezen. Es eignet sich sehr gut zur Vorbereitung auf Tests und Prüfungen. Probieren Sie es selbst aus und teilen Sie den Link mit Ihren Freunden!
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Mittellinie Figuren in der Planimetrie – ein Segment, das die Mittelpunkte zweier Seiten einer bestimmten Figur verbindet. Das Konzept wird für folgende Figuren verwendet: Dreieck, Viereck, Trapez.
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✪ 8. Klasse, Lektion 25, Mittellinie eines Dreiecks
✪ Geometrie MITTELLINIE EINES DREIECKS Atanasyan 8. Klasse
✪ Mittellinie des Dreiecks | Geometrie 7-9 Klasse #62 | Info-Lektion
Untertitel
Mittellinie des Dreiecks
Eigenschaften
- Die Mittellinie des Dreiecks verläuft parallel zur Basis und entspricht der Hälfte davon.
- Wenn sich alle drei Mittellinien schneiden, entstehen 4 gleiche Dreiecke, die dem Original ähnlich (sogar homothetisch) sind und einen Koeffizienten von 1/2 haben.
- Die Mittellinie schneidet ein diesem Dreieck ähnliches Dreieck ab, dessen Fläche einem Viertel der Fläche des ursprünglichen Dreiecks entspricht.
- Die drei Mittellinien des Dreiecks teilen es in 4 gleiche (identische) Dreiecke, ähnlich dem ursprünglichen Dreieck. Alle 4 dieser identischen Dreiecke werden mediale Dreiecke genannt. Das mittlere dieser 4 identischen Dreiecke wird Komplementärdreieck genannt.
Zeichen
- Wenn ein Segment parallel zu einer der Seiten des Dreiecks verläuft und den Mittelpunkt einer Seite des Dreiecks mit einem Punkt verbindet, der auf der anderen Seite des Dreiecks liegt, dann ist dies die Mittellinie.
Mittellinie eines Vierecks
Mittellinie eines Vierecks- ein Segment, das die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten eines Vierecks verbindet.
Eigenschaften
Die erste Linie verbindet zwei gegenüberliegende Seiten. Der zweite verbindet die beiden anderen gegenüberliegenden Seiten. Der dritte verbindet die Mittelpunkte zweier Diagonalen (nicht in allen Vierecken sind die Diagonalen am Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt).
- Wenn in einem konvexen Viereck die Mittellinie mit den Diagonalen des Vierecks gleiche Winkel bildet, dann sind die Diagonalen gleich.
- Die Länge der Mittellinie eines Vierecks ist kleiner als die Hälfte der Summe der beiden anderen Seiten oder gleich dieser, wenn diese Seiten parallel sind, und nur in diesem Fall.
- Die Mittelpunkte der Seiten eines beliebigen Vierecks sind die Eckpunkte eines Parallelogramms. Seine Fläche entspricht der Hälfte der Fläche des Vierecks und sein Mittelpunkt liegt im Schnittpunkt der Mittellinien. Dieses Parallelogramm wird Varignon-Parallelogramm genannt;
- Der letzte Punkt bedeutet Folgendes: In einem konvexen Viereck kann man vier zeichnen Mittellinien zweiter Art. Mittellinien zweiter Art- vier Segmente innerhalb eines Vierecks, die parallel zu den Diagonalen durch die Mittelpunkte seiner angrenzenden Seiten verlaufen. Vier Mittellinien zweiter Art Schneiden Sie ein konvexes Viereck in vier Dreiecke und ein zentrales Viereck. Dieses zentrale Viereck ist ein Varignon-Parallelogramm.
- Der Schnittpunkt der Mittellinien eines Vierecks ist ihr gemeinsamer Mittelpunkt und halbiert das Segment, das die Mittelpunkte der Diagonalen verbindet. Darüber hinaus ist sie es
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