Es wird gezeigt, dass das Integral des Produkts der Potenzfunktionen von sin x und cos x auf das Integral eines Differentialbinomials reduziert werden kann. Für ganzzahlige Werte von Exponenten lassen sich solche Integrale leicht durch Teile oder mithilfe von Reduktionsformeln berechnen. Die Herleitung der Reduktionsformeln wird angegeben. Ein Beispiel für die Berechnung eines solchen Integrals wird gegeben.
InhaltSiehe auch:
Tabelle der unbestimmten Integrale
Reduktion auf das Integral eines Differentialbinomials
Betrachten wir Integrale der Form:
Solche Integrale werden auf das Integral des Differentialbinomials einer der Substitutionen t = reduziert Sünde x oder t = weil x.
Lassen Sie uns dies demonstrieren, indem wir die Substitution durchführen
t = Sünde x.
Dann
dt = (sin x)′ dx = cos x dx;
cos 2 x = 1 - sin 2 x = 1 - t 2;
Wenn m und n rationale Zahlen sind, sollten Methoden der differentiellen Binomialintegration verwendet werden.
Integration mit ganzen Zahlen m und n
Betrachten Sie als Nächstes den Fall, dass m und n ganze Zahlen sind (nicht unbedingt positiv). In diesem Fall ist der Integrand eine rationale Funktion von Sünde x Und weil x. Daher können Sie die im Abschnitt „Integration trigonometrischer rationaler Funktionen“ vorgestellten Regeln anwenden.
Unter Berücksichtigung der Besonderheiten ist es jedoch einfacher, Reduktionsformeln zu verwenden, die leicht durch partielle Integration erhalten werden.
Reduktionsformeln
Reduktionsformeln für das Integral
habe die Form:
;
;
;
.
Es besteht keine Notwendigkeit, sie auswendig zu lernen, da sie durch partielle Integration leicht zu erhalten sind.
Nachweis von Reduktionsformeln
Lassen Sie uns nach Teilen integrieren.
Durch Multiplikation mit m + n erhalten wir die erste Formel:
Auf ähnliche Weise erhalten wir die zweite Formel.
Lassen Sie uns nach Teilen integrieren.
Durch Multiplikation mit m + n erhalten wir die zweite Formel:
Dritte Formel.
Lassen Sie uns nach Teilen integrieren.
Multiplikation mit n + 1
, wir erhalten die dritte Formel:
Ähnliches gilt für die vierte Formel.
Lassen Sie uns nach Teilen integrieren.
Multiplikation mit m + 1
, wir erhalten die vierte Formel:
Beispiel
Berechnen wir das Integral:
Lassen Sie uns transformieren:
Hier m = 10, n = - 4.
Wir wenden die Reduktionsformel an:
Bei m = 10, n = - 4:
Bei m = 8, n = - 2:
Wir wenden die Reduktionsformel an:
Bei m = 6, n = - 0:
Bei m = 4, n = - 0:
Bei m = 2, n = - 0:
Wir berechnen das verbleibende Integral:
Wir sammeln Zwischenergebnisse in einer Formel.
Verweise:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Sammlung von Problemen der höheren Mathematik, „Lan“, 2003.
Auf dieser Seite finden Sie:
1. Eigentlich die Tabelle der Stammfunktionen – sie kann im PDF-Format heruntergeladen und ausgedruckt werden;
2. Video zur Verwendung dieser Tabelle;
3. Eine Reihe von Beispielen zur Berechnung der Stammfunktion aus verschiedenen Lehrbüchern und Tests.
Im Video selbst werden wir viele Probleme analysieren, bei denen Sie Stammfunktionen von Funktionen berechnen müssen, die oft recht komplex sind, aber am wichtigsten ist, dass es sich nicht um Potenzfunktionen handelt. Alle in der oben vorgeschlagenen Tabelle zusammengefassten Funktionen müssen wie Ableitungen auswendig bekannt sein. Ohne sie ist eine weitere Untersuchung der Integrale und ihrer Anwendung zur Lösung praktischer Probleme unmöglich.
Heute beschäftigen wir uns weiterhin mit Primitiven und wenden uns einem etwas komplexeren Thema zu. Während wir uns beim letzten Mal nur mit Stammfunktionen von Potenzfunktionen und etwas komplexeren Konstruktionen befasst haben, werden wir uns heute mit der Trigonometrie und vielem mehr befassen.
Wie ich in der letzten Lektion gesagt habe, werden Stammfunktionen im Gegensatz zu Ableitungen nie „sofort“ mithilfe von Standardregeln gelöst. Darüber hinaus ist die schlechte Nachricht, dass die Stammfunktion im Gegensatz zur Ableitung möglicherweise überhaupt nicht berücksichtigt wird. Wenn wir eine völlig zufällige Funktion schreiben und versuchen, ihre Ableitung zu finden, dann wird uns das mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit gelingen, aber die Stammfunktion wird in diesem Fall fast nie berechnet. Aber es gibt eine gute Nachricht: Es gibt eine ziemlich große Klasse von Funktionen, die Elementarfunktionen genannt werden und deren Stammfunktionen sehr einfach zu berechnen sind. Und alle anderen komplexeren Strukturen, die bei allen Arten von Tests, unabhängigen Tests und Prüfungen angegeben werden, bestehen tatsächlich aus diesen elementaren Funktionen durch Addition, Subtraktion und andere einfache Aktionen. Die Prototypen solcher Funktionen werden seit langem berechnet und in speziellen Tabellen zusammengestellt. Mit diesen Funktionen und Tabellen werden wir heute arbeiten.
Aber wir beginnen wie immer mit einer Wiederholung: Erinnern wir uns daran, was eine Stammfunktion ist, warum es unendlich viele davon gibt und wie man ihr allgemeines Aussehen bestimmt. Dazu habe ich zwei einfache Probleme aufgegriffen.
Einfache Beispiele lösen
Beispiel Nr. 1
Beachten wir sofort, dass $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ und im Allgemeinen die Anwesenheit von $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ weist uns sofort darauf hin, dass die erforderliche Stammfunktion der Funktion mit der Trigonometrie zusammenhängt. Und tatsächlich, wenn wir uns die Tabelle ansehen, werden wir feststellen, dass $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ nichts anderes ist als $\text(arctg)x$. Schreiben wir es also auf:
Um es zu finden, müssen Sie Folgendes aufschreiben:
\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]
\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]
Beispiel Nr. 2
Wir sprechen hier auch von trigonometrischen Funktionen. Wenn wir uns die Tabelle ansehen, dann passiert tatsächlich Folgendes:
Wir müssen unter der gesamten Menge der Stammfunktionen diejenige finden, die durch den angegebenen Punkt geht:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]
Schreiben wir es endlich auf:
So einfach ist das. Das einzige Problem besteht darin, dass Sie zum Berechnen von Stammfunktionen einfacher Funktionen eine Tabelle mit Stammfunktionen lernen müssen. Nachdem ich die Ableitungstabelle für Sie studiert habe, denke ich jedoch, dass dies kein Problem sein wird.
Lösen von Problemen, die eine Exponentialfunktion enthalten
Schreiben wir zunächst die folgenden Formeln:
\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]
Mal sehen, wie das alles in der Praxis funktioniert.
Beispiel Nr. 1
Wenn wir uns den Inhalt der Klammern ansehen, werden wir feststellen, dass es in der Tabelle der Stammfunktionen keinen solchen Ausdruck dafür gibt, dass $((e)^(x))$ in einem Quadrat steht, daher muss dieses Quadrat erweitert werden. Dazu verwenden wir die abgekürzten Multiplikationsformeln:
Suchen wir die Stammfunktion für jeden der Begriffe:
\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^ (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]
Fassen wir nun alle Begriffe in einem einzigen Ausdruck zusammen und erhalten die allgemeine Stammfunktion:
Beispiel Nr. 2
Diesmal ist der Grad größer, sodass die abgekürzte Multiplikationsformel recht komplex sein wird. Öffnen wir also die Klammern:
Versuchen wir nun, aus dieser Konstruktion die Stammfunktion unserer Formel zu ziehen:
Wie Sie sehen, gibt es in den Stammfunktionen der Exponentialfunktion nichts Kompliziertes oder Übernatürliches. Alle werden anhand von Tabellen berechnet, aber aufmerksame Schüler werden wahrscheinlich bemerken, dass die Stammfunktion $((e)^(2x))$ viel näher an einfach $((e)^(x))$ als an $((a) liegt )^(x ))$. Vielleicht gibt es also eine speziellere Regel, die es ermöglicht, bei Kenntnis der Stammfunktion $((e)^(x))$ $((e)^(2x))$ zu finden? Ja, eine solche Regel existiert. Darüber hinaus ist es ein wesentlicher Bestandteil der Arbeit mit der Tabelle der Stammfunktionen. Wir werden es nun anhand derselben Ausdrücke analysieren, mit denen wir gerade als Beispiel gearbeitet haben.
Regeln für die Arbeit mit der Tabelle der Stammfunktionen
Schreiben wir unsere Funktion noch einmal:
Im vorherigen Fall haben wir zur Lösung die folgende Formel verwendet:
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]
Aber jetzt machen wir es etwas anders: Erinnern wir uns, auf welcher Basis $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Wie ich bereits sagte, da die Ableitung $((e)^(x))$ nichts anderes als $((e)^(x))$ ist, wird ihre Stammfunktion gleich dem gleichen $((e) ^ sein (x))$. Aber das Problem ist, dass wir $((e)^(2x))$ und $((e)^(-2x))$ haben. Versuchen wir nun, die Ableitung von $((e)^(2x))$ zu finden:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
Schreiben wir unsere Konstruktion noch einmal um:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]
Das heißt, wenn wir die Stammfunktion $((e)^(2x))$ finden, erhalten wir Folgendes:
\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]
Wie Sie sehen, haben wir das gleiche Ergebnis wie zuvor erhalten, aber wir haben die Formel nicht verwendet, um $((a)^(x))$ zu finden. Nun mag das dumm erscheinen: Warum die Berechnungen komplizieren, wenn es eine Standardformel gibt? Bei etwas komplexeren Ausdrücken werden Sie jedoch feststellen, dass diese Technik sehr effektiv ist, d. h. Verwenden von Ableitungen, um Stammfunktionen zu finden.
Zum Aufwärmen ermitteln wir auf ähnliche Weise die Stammfunktion von $((e)^(2x))$:
\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]
Bei der Berechnung wird unsere Konstruktion wie folgt geschrieben:
\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]
Wir kamen genau zum gleichen Ergebnis, gingen aber einen anderen Weg. Es ist dieser Weg, der uns jetzt etwas komplizierter erscheint, der sich in Zukunft für die Berechnung komplexerer Stammfunktionen und die Verwendung von Tabellen als effektiver erweisen wird.
Beachten Sie! Dies ist ein sehr wichtiger Punkt: Stammfunktionen können wie Ableitungen auf viele verschiedene Arten gezählt werden. Wenn jedoch alle Berechnungen und Berechnungen gleich sind, ist die Antwort dieselbe. Wir haben dies gerade am Beispiel von $((e)^(-2x))$ gesehen - einerseits haben wir diese Stammfunktion „durchgehend“ berechnet, indem wir die Definition verwendet und mithilfe von Transformationen berechnet haben, andererseits Wir haben uns daran erinnert, dass $ ((e)^(-2x))$ als $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ dargestellt werden kann und erst dann haben wir verwendet die Stammfunktion für die Funktion $( (a)^(x))$. Nach all den Transformationen war das Ergebnis jedoch wie erwartet das gleiche.
Und jetzt, da wir das alles verstanden haben, ist es an der Zeit, zu etwas Bedeutsamerem überzugehen. Jetzt werden wir zwei einfache Konstruktionen analysieren, aber die Technik, die zu ihrer Lösung verwendet wird, ist ein leistungsfähigeres und nützlicheres Werkzeug, als einfach zwischen benachbarten Stammfunktionen aus der Tabelle zu „laufen“.
Problemlösung: Finden der Stammfunktion einer Funktion
Beispiel Nr. 1
Teilen wir den Betrag, der in den Zählern steht, in drei separate Brüche auf:
Dies ist ein ziemlich natürlicher und verständlicher Übergang – die meisten Studierenden haben damit keine Probleme. Schreiben wir unseren Ausdruck wie folgt um:
Erinnern wir uns nun an diese Formel:
In unserem Fall erhalten wir Folgendes:
Um all diese dreistöckigen Brüche loszuwerden, schlage ich Folgendes vor:
Beispiel Nr. 2
Im Gegensatz zum vorherigen Bruch ist der Nenner kein Produkt, sondern eine Summe. In diesem Fall können wir unseren Bruch nicht mehr durch die Summe mehrerer einfacher Brüche dividieren, sondern müssen irgendwie versuchen sicherzustellen, dass der Zähler ungefähr den gleichen Ausdruck enthält wie der Nenner. In diesem Fall ist es ganz einfach:
Diese Notation, die in der mathematischen Sprache „Null addieren“ genannt wird, ermöglicht es uns, den Bruch erneut in zwei Teile zu teilen:
Finden wir nun, wonach wir gesucht haben:
Das sind alle Berechnungen. Trotz der scheinbar größeren Komplexität als bei der vorherigen Aufgabe fiel der Rechenaufwand noch geringer aus.
Nuancen der Lösung
Und hier liegt die Hauptschwierigkeit bei der Arbeit mit tabellarischen Stammfunktionen, dies macht sich besonders bei der zweiten Aufgabe bemerkbar. Tatsache ist, dass wir zur Auswahl einiger Elemente, die sich leicht anhand der Tabelle berechnen lassen, wissen müssen, wonach wir genau suchen, und in der Suche nach diesen Elementen besteht die gesamte Berechnung der Stammfunktionen.
Mit anderen Worten, es reicht nicht aus, sich nur die Tabelle der Stammfunktionen zu merken – Sie müssen in der Lage sein, etwas zu sehen, das noch nicht existiert, sondern was der Autor und Compiler dieser Aufgabe meinte. Deshalb argumentieren viele Mathematiker, Lehrer und Professoren ständig: „Was bedeutet Stammfunktion oder Integration – ist das nur ein Werkzeug oder ist es eine echte Kunst?“ Tatsächlich ist Integration meiner persönlichen Meinung nach überhaupt keine Kunst – es gibt nichts Erhabenes darin, es ist nur Übung und noch mehr Übung. Und zum Üben lösen wir noch drei weitere ernste Beispiele.
Wir schulen Integration in der Praxis
Aufgabe Nr. 1
Schreiben wir die folgenden Formeln:
\[((x)^(n))\zu \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
\[\frac(1)(x)\to \ln x\]
\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]
Schreiben wir Folgendes:
Problem Nr. 2
Schreiben wir es wie folgt um:
Die gesamte Stammfunktion ist gleich:
Aufgabe Nr. 3
Die Schwierigkeit dieser Aufgabe besteht darin, dass es im Gegensatz zu den oben genannten Funktionen überhaupt keine Variable $x$ gibt, d. h. Uns ist nicht klar, was wir addieren oder subtrahieren müssen, um zumindest etwas Ähnliches wie das untenstehende zu erhalten. Tatsächlich gilt dieser Ausdruck jedoch als noch einfacher als alle vorherigen Ausdrücke, da diese Funktion wie folgt umgeschrieben werden kann:
Sie fragen sich jetzt vielleicht: Warum sind diese Funktionen gleich? Lass uns das Prüfen:
Schreiben wir es noch einmal um:
Lassen Sie uns unseren Ausdruck ein wenig verändern:
Und wenn ich das alles meinen Schülern erkläre, entsteht fast immer das gleiche Problem: Bei der ersten Funktion ist alles mehr oder weniger klar, bei der zweiten kann man es mit Glück oder Übung auch herausfinden, aber was für ein alternatives Bewusstsein hast du? müssen, um das dritte Beispiel zu lösen? Hab eigentlich keine Angst. Die Technik, die wir bei der Berechnung der letzten Stammfunktion verwendet haben, heißt „Zerlegung einer Funktion in ihre einfachste Form“. Dies ist eine sehr ernste Technik, der wir eine eigene Videolektion widmen werden.
In der Zwischenzeit schlage ich vor, zu dem zurückzukehren, was wir gerade untersucht haben, nämlich zu den Exponentialfunktionen, und die Probleme durch ihren Inhalt etwas zu komplizieren.
Komplexere Probleme zur Lösung antiderivativer Exponentialfunktionen
Aufgabe Nr. 1
Beachten wir Folgendes:
\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]
Um die Stammfunktion dieses Ausdrucks zu finden, verwenden Sie einfach die Standardformel - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.
In unserem Fall sieht die Stammfunktion so aus:
Verglichen mit dem Design, das wir gerade gelöst haben, sieht dieses natürlich einfacher aus.
Problem Nr. 2
Auch hier ist leicht zu erkennen, dass diese Funktion leicht in zwei separate Terme unterteilt werden kann – zwei separate Brüche. Lassen Sie uns umschreiben:
Es bleibt noch die Stammfunktion jedes dieser Begriffe mithilfe der oben beschriebenen Formel zu finden:
Trotz der scheinbar größeren Komplexität von Exponentialfunktionen im Vergleich zu Potenzfunktionen erwies sich der Gesamtumfang der Berechnungen und Berechnungen als deutlich einfacher.
Natürlich mag das, was wir gerade besprochen haben, für sachkundige Studierende (insbesondere vor dem Hintergrund dessen, was wir zuvor besprochen haben) wie elementare Ausdrücke erscheinen. Bei der Auswahl dieser beiden Probleme für die heutige Videolektion habe ich mir jedoch nicht das Ziel gesetzt, Ihnen eine weitere komplexe und anspruchsvolle Technik zu erklären – ich wollte Ihnen lediglich zeigen, dass Sie keine Angst davor haben sollten, Standardalgebratechniken zur Transformation ursprünglicher Funktionen zu verwenden .
Mit einer „geheimen“ Technik
Abschließend möchte ich auf eine weitere interessante Technik eingehen, die einerseits über das hinausgeht, was wir heute hauptsächlich besprochen haben, andererseits aber erstens überhaupt nicht kompliziert ist, d.h. Selbst Anfänger können es beherrschen, und zweitens findet man es häufig in Tests aller Art und unabhängigen Arbeiten, d.h. Die Kenntnis davon wird zusätzlich zur Kenntnis der Tabelle der Stammfunktionen sehr nützlich sein.
Aufgabe Nr. 1
Offensichtlich haben wir etwas, das einer Potenzfunktion sehr ähnlich ist. Was sollen wir in diesem Fall tun? Denken wir darüber nach: $x-5$ unterscheidet sich nicht so sehr von $x$ – sie haben nur $-5$ hinzugefügt. Schreiben wir es so:
\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]
Versuchen wir, die Ableitung von $((\left(x-5 \right))^(5))$ zu finden:
\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]
Dies impliziert:
\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ rechts))^(\prime ))\]
In der Tabelle gibt es keinen solchen Wert, daher haben wir diese Formel jetzt selbst abgeleitet, indem wir die Standardstammfunktionsformel für eine Potenzfunktion verwendet haben. Schreiben wir die Antwort so:
Problem Nr. 2
Viele Studenten, die sich die erste Lösung ansehen, denken vielleicht, dass alles sehr einfach ist: Ersetzen Sie einfach $x$ in der Potenzfunktion durch einen linearen Ausdruck, und schon passt alles zusammen. Leider ist nicht alles so einfach, und jetzt werden wir das sehen.
Analog zum ersten Ausdruck schreiben wir Folgendes:
\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]
\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]
Zurück zu unserer Ableitung können wir schreiben:
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]
\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \right))^(\prime ))\]
Daraus folgt unmittelbar:
Nuancen der Lösung
Bitte beachten Sie: Wenn sich beim letzten Mal nichts Wesentliches geändert hat, dann erschien im zweiten Fall statt $-10$ $-30$. Was ist der Unterschied zwischen -10$ und -30$? Offensichtlich um den Faktor -3$. Frage: Woher kommt es? Wenn Sie genau hinschauen, können Sie erkennen, dass es sich um die Berechnung der Ableitung einer komplexen Funktion handelt – der Koeffizient, der bei $x$ stand, erscheint in der Stammfunktion unten. Dies ist eine sehr wichtige Regel, die ich in der heutigen Videolektion zunächst überhaupt nicht besprechen wollte, aber ohne sie wäre die Darstellung tabellarischer Stammfunktionen unvollständig.
Also lasst es uns noch einmal machen. Es sei unsere Hauptleistungsfunktion:
\[((x)^(n))\zu \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
Ersetzen wir nun anstelle von $x$ den Ausdruck $kx+b$. Was wird dann passieren? Wir müssen Folgendes finden:
\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \right)\cdot k)\]
Auf welcher Grundlage behaupten wir das? Sehr einfach. Finden wir die Ableitung der oben geschriebenen Konstruktion:
\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]
Dies ist derselbe Ausdruck, der ursprünglich existierte. Somit ist diese Formel auch richtig und kann zur Ergänzung der Stammfunktionstabelle verwendet werden, oder besser ist es, sich einfach die gesamte Tabelle zu merken.
Schlussfolgerungen aus dem „Geheimnis: Technik:
- Beide Funktionen, die wir gerade betrachtet haben, können zwar durch Erweiterung der Grade auf die in der Tabelle angegebenen Stammfunktionen zurückgeführt werden, aber wenn wir mit dem vierten Grad einigermaßen klarkommen, würde ich den neunten Grad gar nicht erst in Betracht ziehen wagte es zu enthüllen.
- Würden wir die Abschlüsse erweitern, kämen wir am Ende auf eine solche Menge an Berechnungen, dass eine einfache Aufgabe unangemessen viel Zeit in Anspruch nehmen würde.
- Deshalb müssen solche Probleme, die lineare Ausdrücke enthalten, nicht „kopfüber“ gelöst werden. Sobald Sie auf eine Stammfunktion stoßen, die sich von der in der Tabelle nur durch das Vorhandensein des Ausdrucks $kx+b$ darin unterscheidet, erinnern Sie sich sofort an die oben geschriebene Formel, setzen Sie sie in Ihre Stammfunktion in der Tabelle ein, und alles wird gut ausgehen schneller und einfacher.
Aufgrund der Komplexität und Ernsthaftigkeit dieser Technik werden wir in zukünftigen Videolektionen natürlich noch oft auf sie zurückkommen, aber das ist alles für heute. Ich hoffe, dass diese Lektion denjenigen Schülern wirklich hilft, die Stammfunktionen und Integration verstehen möchten.
Hallo nochmal, Freunde!
Wie ich versprochen habe, werden wir mit dieser Lektion beginnen, die endlosen Weiten der poetischen Welt der Integrale zu erkunden und eine Vielzahl (manchmal sehr schöner) Beispiele zu lösen. :) :)
Um uns in der ganzheitlichen Vielfalt kompetent zurechtzufinden und uns nicht zu verlaufen, brauchen wir nur vier Dinge:
1) Tabelle der Integrale. Alle Details über sie - . So genau funktioniert die Zusammenarbeit mit ihr.
2) Eigenschaften der Linearität des unbestimmten Integrals (des Integrals der Summe/Differenz und des Produkts einer Konstanten).
3) Tabelle der Ableitungen und Differenzierungsregeln.
Ja, ja, wundern Sie sich nicht! Ohne die Fähigkeit, Derivate zu zählen, bringt die Integration absolut nichts. Stimmen Sie zu, es macht zum Beispiel keinen Sinn, Division zu lernen, ohne zu wissen, wie man multipliziert. :) Und sehr bald werden Sie feststellen, dass Sie ohne ausgeprägte Differenzierungsfähigkeiten kein einziges Integral berechnen können, das über die elementaren tabellarischen Integrale hinausgeht.
4) Methoden der Integration.
Davon gibt es sehr, sehr viele. Für eine bestimmte Funktionsklasse – Ihre eigene. Aber bei all ihrer reichen Vielfalt stechen drei grundlegende hervor:
– ,
– ,
– .
Jeder von ihnen wird in separaten Lektionen besprochen.
Kommen wir nun endlich zur Lösung der lang erwarteten Beispiele. Um nicht von Abschnitt zu Abschnitt zu springen, werde ich den gesamten Herrensatz noch einmal vervielfältigen, was für unsere weitere Arbeit nützlich sein wird. Lassen Sie alle Werkzeuge griffbereit.)
Zuallererst dies Tabelle der Integrale:
Darüber hinaus benötigen wir die Grundeigenschaften des unbestimmten Integrals (Linearitätseigenschaften):
Nun, die nötige Ausrüstung ist vorbereitet. Es ist Zeit zu gehen! :) :)
Direkte Anwendung der Tabelle
In diesem Absatz werden die einfachsten und harmlosesten Beispiele betrachtet. Der Algorithmus hier ist furchtbar einfach:
1) Schauen Sie sich die Tabelle an und suchen Sie nach der/den erforderlichen Formel(n);
2) Linearitätseigenschaften anwenden (sofern erforderlich);
3) Wir führen die Transformation mithilfe tabellarischer Formeln durch und fügen am Ende eine Konstante hinzu MIT (nicht vergessen!) ;
4) Schreiben Sie die Antwort auf.
So lass uns gehen.)
Beispiel 1
In unserer Tabelle gibt es keine solche Funktion. Es gibt jedoch ein Integral einer Potenzfunktion in allgemeiner Form (zweite Gruppe). In unserem Fall n=5. Also ersetzen wir n durch die fünf und berechnen das Ergebnis sorgfältig:
Bereit. :) :)
Natürlich ist dieses Beispiel völlig primitiv. (Nur zum Kennenlernen.) Aber die Fähigkeit, Potenzen zu integrieren, macht es einfach, Integrale beliebiger Polynome und anderer Potenzkonstruktionen zu berechnen.
Beispiel 2
Unter dem Integral steht die Summe. Na ja, okay. Für diesen Fall haben wir Linearitätseigenschaften. :) Wir teilen unser Integral in drei separate auf, nehmen alle Konstanten aus den Vorzeichen der Integrale und zählen jede einzelne gemäß der Tabelle (Gruppe 1-2):
Bitte beachten: konstant MIT erscheint genau in dem Moment, in dem ALLE Integralzeichen verschwinden! Danach muss man es natürlich ständig mit sich herumtragen. Was also tun?
Natürlich ist es in der Regel nicht notwendig, so detailliert zu beschreiben. Dies geschieht ausschließlich zum Verständnis. Um es auf den Punkt zu bringen.)
Zum Beispiel wirst du sehr bald, ohne lange darüber nachzudenken, Monstern im Geiste eine Antwort geben wie:
Polynome sind die freiesten Funktionen in Integralen.) Und in den Bereichen Diffusion, Physik, Festigkeitslehre und anderen ernsthaften Disziplinen müssen Sie ständig Polynome integrieren. An etwas gewöhnen.)
Das nächste Beispiel wird etwas cooler sein.
Beispiel 3
Ich hoffe, jeder versteht, dass unser Integrand so geschrieben werden kann:
Die Integrandenfunktion ist getrennt und der Faktor dx (Differenzsymbol)- separat.
Kommentar: in dieser Lektion Multiplikator dx im Prozess der Integration Tschüss nimmt in keiner Weise teil und wir „vergessen“ ihn im Geiste vorerst. :) Wir arbeiten nur mit Integrandenfunktion. Aber vergessen wir ihn nicht. Sehr bald, buchstäblich in der nächsten Lektion, die diesem Thema gewidmet ist, werden wir uns daran erinnern. Und wir werden die Bedeutung und Kraft dieser Ikone mit voller Kraft spüren!)
In der Zwischenzeit wird unser Blick auf die Integrandenfunktion gelenkt
Sieht nicht sehr nach einer Power-Funktion aus, aber genau das ist es. :) Wenn wir uns an die Schuleigenschaften von Wurzeln und Kräften erinnern, ist es durchaus möglich, unsere Funktion zu transformieren:
Und x hoch minus zwei Drittel ist bereits eine Tabellenfunktion! Zweite Gruppe n=-2/3. Und die ständige 1/2 ist für uns kein Hindernis. Wir nehmen es nach draußen, über das Integralzeichen hinaus, und berechnen direkt nach der Formel:
In diesem Beispiel haben uns die elementaren Eigenschaften von Graden geholfen. Und dies sollte in den meisten Fällen erfolgen, wenn unter dem Integral einzelne Wurzeln oder Brüche stehen. Daher ein paar praktische Tipps zur Integration von Kraftaufbauten:
Wir ersetzen Brüche durch Potenzen mit negativen Exponenten;
Wir ersetzen Wurzeln durch Potenzen mit gebrochenen Exponenten.
Aber in der endgültigen Antwort ist der Übergang von Potenzen zurück zu Brüchen und Wurzeln Geschmackssache. Persönlich wechsele ich zurück – es ist ästhetisch ansprechender oder so.
Und bitte zählen Sie alle Brüche sorgfältig! Wir achten sorgfältig auf die Vorzeichen und darauf, was wohin gehört – was im Zähler und was im Nenner steht.
Was? Haben Sie schon genug von langweiligen Power-Funktionen? Okay! Packen wir den Stier bei den Hörnern!
Beispiel 4
Wenn wir nun alles unter dem Integral auf einen gemeinsamen Nenner bringen, dann können wir ernsthaft und lange an diesem Beispiel hängen bleiben.) Aber wenn wir uns den Integranden genauer ansehen, können wir erkennen, dass unsere Differenz aus zwei tabellarischen Funktionen besteht . Lassen wir uns also nicht verdrehen, sondern zerlegen wir stattdessen unser Integral in zwei Teile:
Das erste Integral ist eine gewöhnliche Potenzfunktion (2. Gruppe, n = -1): 1/x = x -1 .
Unsere traditionelle Formel für die Stammfunktion einer Potenzfunktion
Funktioniert hier nicht, aber bei uns n = -1 Es gibt eine würdige Alternative – eine Formel mit einem natürlichen Logarithmus. Dieses hier:
Dann wird gemäß dieser Formel der erste Bruch wie folgt integriert:
Und der zweite Bruch ist auch eine Tischfunktion! Gelernt? Ja! Das siebte Formel mit „hohem“ Logarithmus:
Die Konstante „a“ in dieser Formel ist gleich zwei: a=2.
Wichtiger Hinweis: Bitte beachten Sie die KonstanteMIT mit Zwischenintegration I nirgends Ich schreibe es nicht zu! Warum? Weil sie zur endgültigen Antwort gehen wird ganzes Beispiel. Das ist völlig ausreichend.) Streng genommen muss die Konstante nach jeder einzelnen Integration geschrieben werden – sei es Zwischen- oder Endintegration: Das ist es, was das unbestimmte Integral erfordert...)
Nach der ersten Integration müsste ich zum Beispiel schreiben:
Nach der zweiten Integration:
Der Trick besteht jedoch darin, dass die Summe/Differenz beliebiger Konstanten ist auch etwas konstant! In unserem Fall benötigen wir für die endgültige Antwort das erste Integral subtrahieren zweite. Dann können wir es schaffen Unterschied zwei Zwischenkonstanten:
C 1 -C 2
Und wir haben jedes Recht, genau diesen Unterschied in den Konstanten zu ersetzen eine Konstante! Und benennen Sie es einfach mit dem uns bekannten Buchstaben „C“ um. So:
C 1 -C 2 = C
Also schreiben wir dieselbe Konstante zu MIT zum Endergebnis und wir bekommen die Antwort:
Ja, ja, es sind Brüche! Am häufigsten werden mehrstöckige Logarithmen integriert. Wir gewöhnen uns auch daran.)
Erinnern:
Bei der Zwischenintegration mehrerer Terme ist die Konstante MIT Nach jedem von ihnen müssen Sie nicht schreiben. Es reicht aus, es in die endgültige Antwort des gesamten Beispiels aufzunehmen. Am Ende.
Das nächste Beispiel ist ebenfalls mit einem Bruch. Zum Aufwärmen.)
Beispiel 5
Der Tisch hat eine solche Funktion natürlich nicht. Aber da ist ähnlich Funktion:
Dies ist das Allerletzte achte Formel. Mit Arkustangens. :) :)
Dieses hier:
Und Gott selbst hat uns befohlen, unser Integral dieser Formel anzupassen! Aber es gibt ein Problem: in der tabellarischen Formel vorher x 2 Es gibt keinen Koeffizienten, aber wir haben eine Neun. Wir können die Formel noch nicht direkt verwenden. Aber in unserem Fall ist das Problem völlig lösbar. Nehmen wir diese Neun zunächst aus den Klammern heraus und nehmen wir sie dann insgesamt aus unserem Bruch heraus.)
Und der neue Bruch ist die Tabellenfunktion, die wir bereits brauchen, Nummer 8! Hier und 2 =4/9. Oder a=2/3.
Alle. Wir nehmen 1/9 aus dem Integralzeichen und verwenden die achte Formel:
Hier ist die Antwort. Dieses Beispiel mit dem Koeffizienten vorne x 2, ich habe es absichtlich so gewählt. Um klarzustellen, was in solchen Fällen zu tun ist. :) Wenn vorher x 2 Gibt es keinen Koeffizienten, dann werden solche Brüche auch im Kopf integriert.
Zum Beispiel:
Hier ein 2 = 5, also ist „a“ selbst „Wurzel aus fünf“. Im Allgemeinen verstehen Sie.)
Jetzt modifizieren wir unsere Funktion leicht: Wir schreiben den Nenner unter die Wurzel.) Jetzt nehmen wir dieses Integral:
Beispiel 6
Der Nenner hat jetzt eine Wurzel. Natürlich hat sich auch die entsprechende Integrationsformel geändert, ja.) Wieder gehen wir in die Tabelle und suchen eine passende heraus. Unsere Wurzeln liegen in den Formeln der 5. und 6. Gruppe. Aber in der sechsten Gruppe gibt es nur einen Unterschied in der Wurzel. Und wir haben den Betrag. Wir arbeiten also daran fünfte Formel, mit einem „langen“ Logarithmus:
Nummer A wir haben fünf. Setzen Sie es in die Formel ein und erhalten Sie:
Und das ist alles. Das ist die Antwort. Ja, ja, so einfach ist das!)
Wenn sich Zweifel einschleichen, können (und sollten) Sie das Ergebnis immer durch umgekehrte Differenzierung überprüfen. Sollen wir nachsehen? Was ist, wenn es ein Fehler ist?
Lassen Sie uns differenzieren (wir achten nicht auf das Modul und behandeln es wie gewöhnliche Klammern):
Alles ist fair. :) :)
Wenn Sie übrigens im Integranden unter der Wurzel das Vorzeichen von Plus auf Minus ändern, bleibt die Integrationsformel dieselbe. Es ist kein Zufall, dass es in der Tabelle unter der Wurzel steht Plus minus. :)
Zum Beispiel:
Wichtig! Bei Minus ein Erste die Stelle unter der Wurzel sollte genau sein x 2, und so weiter zweite – Nummer. Wenn unter der Wurzel das Gegenteil der Fall ist, wird die entsprechende Tabellenformel enger anders!
Beispiel 7
Unter der Wurzel wieder minus, aber x 2 Mit den fünf haben wir die Plätze getauscht. Es ist ähnlich, aber nicht dasselbe... Für diesen Fall gibt es in unserer Tabelle auch eine Formel.) Formel Nummer sechs, damit haben wir noch nicht gearbeitet:
Aber jetzt – vorsichtig. Im vorherigen Beispiel haben wir fünf als Zahl verwendet A . Hier fungiert fünf als Zahl eine 2!
Um die Formel richtig anzuwenden, vergessen Sie daher nicht, die Wurzel aus fünf zu ziehen:
Und nun ist das Beispiel in einer Aktion gelöst. :) :)
So ist das! Lediglich die Begriffe unter der Wurzel wurden vertauscht und das Ergebnis der Integration hat sich erheblich geändert! Logarithmus und Arkussinus... Also bitte Verwechseln Sie diese beiden Formeln nicht! Obwohl die Integrandenfunktionen sehr ähnlich sind ...
Bonus:
In den Tabellenformeln 7-8 gibt es Koeffizienten vor dem Logarithmus und dem Arkustangens 1/(2a) Und 1/a jeweils. Und in einer alarmierenden Kampfsituation geraten selbst studienerfahrene Nerds beim Aufschreiben dieser Formeln oft in Verwirrung, wo ist das einfach? 1/a, und wo 1/(2a). Hier ist ein einfacher Trick, den Sie sich merken sollten.
In Formel Nr. 7
Der Nenner des Integranden enthält Differenz der Quadrate x 2 – eine 2. Was nach der Angstschulformel zusammenbricht als (x-a)(x+a). An zwei Multiplikator Stichwort - zwei. Und diese zwei beim Integrieren gehen die Klammern zum Logarithmus: mit einem Minus nach oben, mit einem Plus nach unten.) Und der Koeffizient vor dem Logarithmus ist ebenfalls 1/( 2 A).
Aber in Formel Nr. 8
Der Nenner des Bruchs enthält Quadratsumme. Aber die Summe der Quadrate x 2 +a 2 kann nicht in einfachere Faktoren zerlegt werden. Daher wird der Nenner, was auch immer man sagen mag, so bleiben eins Faktor. Und der Koeffizient vor dem Arkustangens beträgt ebenfalls 1/a.
Lassen Sie uns nun zur Abwechslung etwas Trigonometrie integrieren.)
Beispiel 8
Das Beispiel ist einfach. So einfach, dass die Leute, ohne auch nur auf die Tabelle zu schauen, sofort voller Freude die Antwort schreiben und ... wir sind angekommen. :) :)
Folgen wir den Zeichen! Dies ist der häufigste Fehler bei der Integration von Sinus/Cosinus. Nicht mit Derivaten verwechseln!
Ja, (Sünde X)" = cos X Und (cos X)’ = - Sünde X.
Aber!
Da sich Menschen normalerweise zumindest Ableitungen merken, ist die Technik zum Merken von Integralen sehr einfach, um nicht durch die Zeichen verwirrt zu werden:
Integral von Sinus/Cosinus = Minus Ableitung desselben Sinus/Cosinus.
Aus der Schule wissen wir zum Beispiel, dass die Ableitung eines Sinus gleich einem Kosinus ist:
(Sünde X)" = cos X.
Dann für Integral aus dem gleichen Sinus wird es wahr sein:
Das ist alles.) Das Gleiche gilt für den Kosinus.
Lassen Sie uns nun unser Beispiel korrigieren:
Vorläufige elementare Transformationen des Integranden
Bis zu diesem Zeitpunkt gab es die einfachsten Beispiele. Um ein Gefühl für die Funktionsweise der Tabelle zu bekommen und keine Fehler bei der Auswahl einer Formel zu machen.)
Natürlich haben wir einige einfache Transformationen vorgenommen – wir haben die Faktoren herausgenommen und sie in Begriffe unterteilt. Aber die Antwort lag auf die eine oder andere Weise immer noch an der Oberfläche.) Allerdings... Wenn die Berechnung von Integralen nur auf die direkte Anwendung der Tabelle beschränkt wäre, gäbe es viele Gratisgeschenke und das Leben würde langweilig.)
Schauen wir uns nun weitere eindrucksvolle Beispiele an. Die Art, bei der nichts direkt entschieden zu werden scheint. Aber es lohnt sich, sich nur an ein paar Formeln oder Transformationen aus der Grundschule zu erinnern, und der Weg zur Antwort wird einfach und klar. :) :)
Anwendung trigonometrischer Formeln
Lasst uns weiterhin Spaß an der Trigonometrie haben.
Beispiel 9
Es gibt keine solche Funktion in der Tabelle, nicht einmal annähernd. Aber in Schultrigonometrie Es gibt so eine wenig bekannte Identität:
Nun drücken wir daraus den benötigten quadrierten Tangens aus und fügen ihn unter das Integral ein:
Warum wurde das gemacht? Und dann, nach einer solchen Transformation, wird unser Integral auf zwei tabellarische reduziert und berücksichtigt!
Sehen:
Lassen Sie uns nun unsere Handlungen analysieren. Auf den ersten Blick scheint alles einfacher denn je zu sein. Aber lasst uns darüber nachdenken. Wenn wir vor einer Aufgabe stünden unterscheiden die gleiche Funktion, dann würden wir genau wusste genau, was zu tun ist: Bewerben Formel Ableitung einer komplexen Funktion:
Und alle. Einfache und problemlose Technik. Es funktioniert immer und führt garantiert zum Erfolg.
Was ist mit dem Integral? Aber hier mussten wir in der Trigonometrie stöbern und eine obskure Formel ausgraben, in der Hoffnung, dass sie uns irgendwie dabei helfen würde, herauszukommen und das Integral auf ein tabellarisches zu reduzieren. Und es ist keine Tatsache, dass es uns helfen würde, es ist überhaupt keine Tatsache ... Deshalb ist Integration ein kreativerer Prozess als Differenzierung. Kunst würde ich sogar sagen. :) Und das ist nicht das schwierigste Beispiel. Es ist nur der Anfang!
Beispiel 10
Was inspiriert es? Die Integraltabelle ist immer noch machtlos, ja. Aber wenn Sie noch einmal einen Blick in unsere Schatzkammer trigonometrischer Formeln werfen, können Sie eine sehr, sehr nützliche Lösung finden Doppelwinkelkosinus-Formel:
Also wenden wir diese Formel auf unsere Integrandenfunktion an. In der „Alpha“-Rolle haben wir x/2.
Wir bekommen:
Der Effekt ist erstaunlich, nicht wahr?
Diese beiden Beispiele zeigen deutlich, dass eine Funktion vortransformiert wird vor der Integration Das ist völlig akzeptabel und macht das Leben manchmal enorm einfacher! Und bei der Integration ist dieses Verfahren (Transformation des Integranden) um eine Größenordnung berechtigter als bei der Differentiation. Du wirst alles später sehen.)
Schauen wir uns noch ein paar typische Transformationen an.
Formeln für die abgekürzte Multiplikation, das Öffnen von Klammern, die Bildung ähnlicher Klammern und die Methode der Term-für-Term-Division.
Die üblichen banalen Schulverwandlungen. Aber manchmal sind sie die einzigen, die sparen, ja.)
Beispiel 11
Wenn wir die Ableitung berechnen würden, gäbe es kein Problem: die Formel für die Ableitung des Produkts und – weiter so. Aber die Standardformel für Integral existiert nicht aus dem Werk. Und der einzige Ausweg besteht darin, alle Klammern zu öffnen, sodass wir unter dem Integral ein Polynom erhalten. Und wir werden das Polynom irgendwie integrieren.) Aber wir werden die Klammern auch mit Bedacht öffnen: Abgekürzte Multiplikationsformeln sind mächtige Dinge!
(x 2 - 1) 2 (x 2 + 1) 2 = ((x 2 - 1)(x 2 + 1)) 2 = ((x 2) 2 - 1 2) 2 = (x 4 - 1) 2 = x 8 - 2x 4 + 1
Jetzt zählen wir:
Und das ist alles.)
Beispiel 12
Auch hier gilt die Standardformel für Integral eines Bruchs existiert nicht. Der Nenner des Integranden enthält jedoch einsam x. Dies ändert die Situation radikal.) Teilen wir Term für Term den Zähler durch den Nenner und reduzieren so unseren schrecklichen Bruch auf eine harmlose Summe tabellarischer Potenzfunktionen:
Auf die Vorgehensweise bei der Integration der Abschlüsse möchte ich nicht näher eingehen: Sie sind nicht mehr klein.)
Integrieren wir die Summe der Potenzfunktionen. Laut Schild.)
Das ist alles.) Übrigens, wenn der Nenner nicht X wäre, sondern, sagen wir, x+1, so:
Dieser Trick mit der Term-für-Term-Aufteilung hätte nicht so einfach funktioniert. Dies liegt genau daran, dass im Zähler eine Wurzel und im Nenner eine Einheit vorhanden ist. Ich müsste die Wurzel loswerden. Aber solche Integrale sind viel komplizierter. Über sie - in anderen Lektionen.
Sehen! Man muss die Funktion nur leicht modifizieren – schon ändert sich die Herangehensweise an ihre Integration. Teilweise dramatisch!) Es gibt kein klares Standardschema. Jede Funktion hat ihren eigenen Ansatz. Manchmal sogar einzigartig.)
In manchen Fällen ist die Umrechnung in Brüche sogar noch schwieriger.
Beispiel 13
Und wie kann man hier das Integral auf eine Reihe tabellarischer Integrale reduzieren? Hier kann man geschickt ausweichen, indem man den Ausdruck addiert und subtrahiert x 2 im Zähler des Bruchs, gefolgt von einer Term-für-Term-Division. Ein sehr cleverer Trick bei Integralen! Schauen Sie sich die Meisterklasse an! :) :)
Und wenn wir nun den ursprünglichen Bruch durch die Differenz zweier Brüche ersetzen, dann zerfällt unser Integral in zwei tabellarische – die uns bereits bekannte Potenzfunktion und den Arkustangens (Formel 8):
Nun, was können wir sagen? Wow!
Dieser Trick, Terme im Zähler zu addieren/subtrahieren, ist bei der Integration rationaler Brüche sehr beliebt. Sehr! Ich empfehle, es zur Kenntnis zu nehmen.
Beispiel 14
Auch hier gilt die gleiche Technik. Sie müssen nur eins addieren/subtrahieren, um den Ausdruck im Nenner vom Zähler zu extrahieren:
Im Allgemeinen sind rationale Brüche (mit Polynomen im Zähler und Nenner) ein eigenes, sehr weit gefasstes Thema. Der Punkt ist, dass rationale Brüche eine der ganz wenigen Funktionsklassen sind, für die es eine universelle Integrationsmethode gibt existiert. Die Methode der Zerlegung in einfache Brüche, gekoppelt mit . Diese Methode ist jedoch sehr arbeitsintensiv und wird normalerweise als schwere Artillerie eingesetzt. Ihm wird mehr als eine Unterrichtsstunde gewidmet sein. In der Zwischenzeit trainieren wir und verbessern uns in einfachen Funktionen.
Fassen wir die heutige Lektion zusammen.
Heute haben wir die genaue Verwendung der Tabelle mit allen Nuancen im Detail untersucht, viele Beispiele (und nicht die trivialsten) analysiert und uns mit den einfachsten Techniken zum Reduzieren von Integralen auf tabellarische Integrale vertraut gemacht. Und so werden wir es jetzt machen Stets. Egal welche schreckliche Funktion das Integral hat, mit Hilfe verschiedenster Transformationen werden wir früher oder später dafür sorgen, dass unser Integral auf die eine oder andere Weise auf eine Reihe tabellarischer Integrale reduziert wird.
Einige praktische Tipps.
1) Wenn das Integral ein Bruch ist, dessen Zähler die Summe der Potenzen (Wurzeln) und dessen Nenner ist einsame x Macht, dann verwenden wir eine Term-für-Term-Division des Zählers durch den Nenner. Ersetzen Sie Wurzeln durch Potenzen von c Bruchindikatoren und arbeiten nach den Formeln 1-2.
2) Bei trigonometrischen Konstruktionen probieren wir zunächst die Grundformeln der Trigonometrie aus – Doppel-/Dreifachwinkel,
Vielleicht haben Sie großes Glück. Oder vielleicht nicht…
3) Wo nötig (insbesondere bei Polynomen und Brüchen) verwenden wirabgekürzte Multiplikationsformeln:
(a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2
(a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2
(a-b)(a+b) = a 2 -b 2
4) Bei der Integration von Brüchen mit Polynomen versuchen wir, den oder die Ausdrücke im Nenner im Zähler künstlich zu isolieren. Sehr oft wird der Bruch vereinfacht und das Integral auf eine Kombination tabellarischer Brüche reduziert.
Na, Freunde? Wie ich sehe, fängst du an, Integrale zu mögen. :) Dann werden wir besser darin, die Beispiele selbst zu lösen.) Der heutige Stoff reicht völlig aus, um sie erfolgreich zu bewältigen.
Was? Weiß nicht, ? Ja! Wir haben das noch nicht durchgearbeitet.) Es besteht aber keine Notwendigkeit, sie hier direkt zu integrieren. Und möge Ihnen der Schulkurs helfen!)
Antworten (in Unordnung):
Für bessere Ergebnisse empfehle ich dringend den Kauf einer Aufgabensammlung basierend auf G.N. Mathan. Bermann. Cooles Zeug!
Und das ist alles, was ich für heute habe. Viel Glück!
Hauptintegrale, die jeder Schüler kennen sollte
Die aufgeführten Integrale sind die Basis, die Grundlage der Grundlagen. Diese Formeln sollte man sich unbedingt merken. Wenn Sie komplexere Integrale berechnen, müssen Sie diese ständig verwenden.
Achten Sie besonders auf die Formeln (5), (7), (9), (12), (13), (17) und (19). Vergessen Sie nicht, bei der Integration eine beliebige Konstante C zu Ihrer Antwort hinzuzufügen!
Integral einer Konstante
∫ A d x = A x + C (1)Integration einer Potenzfunktion
Tatsächlich war es möglich, uns nur auf die Formeln (5) und (7) zu beschränken, aber die übrigen Integrale aus dieser Gruppe kommen so häufig vor, dass es sich lohnt, ihnen ein wenig Aufmerksamkeit zu schenken.
∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)
Integrale von Exponentialfunktionen und hyperbolischen Funktionen
Natürlich kann Formel (8) (vielleicht die bequemste zum Auswendiglernen) als Sonderfall von Formel (9) betrachtet werden. Die Formeln (10) und (11) für die Integrale des hyperbolischen Sinus und hyperbolischen Kosinus lassen sich leicht aus Formel (8) ableiten, es ist jedoch besser, sich diese Beziehungen einfach zu merken.
∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)
Grundlegende Integrale trigonometrischer Funktionen
Ein Fehler, den Schüler oft machen, besteht darin, dass sie die Zeichen in den Formeln (12) und (13) verwechseln. Wenn man bedenkt, dass die Ableitung des Sinus gleich dem Cosinus ist, glauben viele Menschen aus irgendeinem Grund, dass das Integral der Funktion sinx gleich cosx ist. Das ist nicht wahr! Das Integral von Sinus ist gleich „minus Cosinus“, aber das Integral von cosx ist gleich „nur Sinus“:
∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)
Integrale, die sich auf inverse trigonometrische Funktionen reduzieren lassen
Formel (16), die zum Arkustangens führt, ist natürlich ein Sonderfall von Formel (17) für a=1. Ebenso ist (18) ein Sonderfall von (19).
∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)
Komplexere Integrale
Es ist auch ratsam, sich diese Formeln zu merken. Sie werden auch recht oft verwendet und ihre Ausgabe ist recht mühsam.
∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)
Allgemeine Integrationsregeln
1) Das Integral der Summe zweier Funktionen ist gleich der Summe der entsprechenden Integrale: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)
2) Das Integral der Differenz zweier Funktionen ist gleich der Differenz der entsprechenden Integrale: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)
3) Die Konstante kann aus dem Integralzeichen entnommen werden: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)
Es ist leicht zu erkennen, dass Eigenschaft (26) einfach eine Kombination der Eigenschaften (25) und (27) ist.
4) Integral einer komplexen Funktion, wenn die innere Funktion linear ist: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)
Hier ist F(x) eine Stammfunktion für die Funktion f(x). Bitte beachten Sie: Diese Formel funktioniert nur, wenn die innere Funktion Ax + B ist.
Wichtig: Für das Integral des Produkts zweier Funktionen sowie für das Integral eines Bruchs gibt es keine universelle Formel:
∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (dreißig)
Das bedeutet natürlich nicht, dass ein Bruch oder ein Produkt nicht integriert werden kann. Es ist nur so, dass Sie jedes Mal, wenn Sie ein Integral wie (30) sehen, einen Weg finden müssen, es zu „bekämpfen“. In einigen Fällen hilft Ihnen die partielle Integration, in anderen müssen Sie eine Variablenänderung vornehmen, und manchmal können sogar „schulische“ Algebra- oder Trigonometrieformeln hilfreich sein.
Ein einfaches Beispiel für die Berechnung des unbestimmten Integrals
Beispiel 1. Finden Sie das Integral: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d xVerwenden wir die Formeln (25) und (26) (das Integral der Summe oder Differenz von Funktionen ist gleich der Summe oder Differenz der entsprechenden Integrale). Wir erhalten: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x
Erinnern wir uns daran, dass die Konstante aus dem Integralzeichen entnommen werden kann (Formel (27)). Der Ausdruck wird in das Formular umgewandelt
3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e x d x + 12 ∫ 1 d x
Lassen Sie uns nun einfach die Tabelle der Basisintegrale verwenden. Wir müssen die Formeln (3), (12), (8) und (1) anwenden. Integrieren wir die Potenzfunktion, den Sinus, die Exponentialfunktion und die Konstante 1. Vergessen Sie nicht, am Ende eine beliebige Konstante C hinzuzufügen:
3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
Nach elementaren Transformationen erhalten wir die endgültige Antwort:
X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
Testen Sie sich selbst durch Differentiation: Nehmen Sie die Ableitung der resultierenden Funktion und stellen Sie sicher, dass sie gleich dem ursprünglichen Integranden ist.
Übersichtstabelle der Integrale
| ∫ A d x = A x + C |
| ∫ x d x = x 2 2 + C |
| ∫ x 2 d x = x 3 3 + C |
| ∫ 1 x d x = 2 x + C |
| ∫ 1 x d x = ln | x | +C |
| ∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C |
| ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) |
| ∫ e x d x = e x + C |
| ∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) |
| ∫ s h x d x = c h x + C |
| ∫ c h x d x = s h x + C |
| ∫ sin x d x = − cos x + C |
| ∫ cos x d x = sin x + C |
| ∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C |
| ∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C |
| ∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C |
| ∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) |
| ∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C |
| ∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) |
| ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C |
| ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C |
| ∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) |
| ∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) |
| ∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) |
Laden Sie die Integraltabelle (Teil II) über diesen Link herunter
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