Формула эйлера для определения критической силы. Устойчивость сжатых стержней Наименьшая критическая сила по эйлеру

ДЕТАЛИ МАШИН

«Соединения деталей машин»

В процессе изготовления машины некоторые ее детали соединяют между собой, при этом образуются неразъемные или разъемные соединения.

Неразъемными называют соединения, которые невозможно разобрать без разрушения или повреждения деталей. К ним относятся заклепочные, сварные и клеевые соединения.

Разъемными называют соединения, которые можно разбирать и вновь собирать без повреждения деталей. К разъемным соединениям относятся резьбовые, шпоночные, зубчатые (шлицевые) и другие.

Определим критическую силу для центрально сжатого стержня, шарнирно опертого по концам (рис. 13.4). При небольших значениях силы Р ось стержня остается прямой и в его сечениях возникают напряжения центрального сжатия о = P/F. При критическом значении силы Р = Р становится воз- можной искривленная форма равновесия стержня.

Возникает продольный изгиб. Изгибающий момент в произвольном сечении х стержня равен

Важно заметить, что изгибающий момент определяется для деформированного состояния стержня.

Если предположить, что напряжения изгиба, возникающие в поперечных сечениях стержня от действия критической силы, не превосходят предел пропорциональности материала о пц и прогибы стержня малы, то можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси стержня (см. § 9.2)

Введя обозначение

получим вместо (13.2) следующее уравнение:

Общее решение этого уравнения имеет вид

Это решение содержит три неизвестных: постоянные интегрирования Cj, С 2 и параметр к, так как величина критической силы также неизвестна. Для определения этих трех величин имеются только два граничных условия: и(0) = 0, v(l ) = 0. Из первого граничного условия следует, что С 2 = 0, а из второго получим

Из этого равенства следует, что либо С { = 0, либо sin kl = 0. В случае С, = 0 прогибы во всех сечениях стержня равны нулю, что противоречит исходному предположению задачи. Во втором случае kl = пк, где п - произвольное целое число. С учетом этого по формулам (13.3) и (13.5) получим

Рассмотренная задача является задачей на собственные значения. Найденные числа к = пк/1 называются собственными числами, а соответствующие им функции - собственными функциями.

Как видно из (13.7), в зависимости от числа п сжимающая сила Р (я) , при которой стержень находится в изогнутом состоянии, теоретически может принимать целый ряд значений. При этом согласно (13.8) стержень изгибается по п полуволнам синусоиды (рис. 13.5).

Наименьшее значение силы будет при п = 1:

Эта сила носит название первой критической силы. При этом kl = к и изогнутая ось стержня представляет собой одну полуволну синусоиды (рис. 13.5, а):

где С{ 1} =/ - прогиб в середине длины стержня, что следует из (13.8) при п = 1 их = 1/2.

Формула (13.9) была получена Леонардом Эйлером и называется формулой Эйлера для критической силы.

Все формы равновесия (рис. 13.5), кроме первой (п = 1), неустойчивы и потому не представляют практического интереса. Формы равновесия, соответствующие п - 2, 3, ..., будут устойчивыми, если в точках перегиба упругой линии (точки С и С" на рис. 13.5, б, в) ввести дополнительные шарнирные опоры.

Полученное решение обладает двумя особенностями. Во-первых, решение (13.10) не является единственным, так как произвольная постоянная Cj (1) =/ осталась неопределенной, несмотря на использование всех граничных условий. В результате прогибы оказались определены с точностью до постоянного множителя. Во- вторых, это решение не дает возможности описать состояние стержня при Р > Р кр. Из (13.6) следует, что при Р = Р кр стержень может иметь искривленную форму равновесия при условии kl = к. Если же Р > Р кр, то kl Ф п, и тогда должно быть Cj (1) = 0. Это означает, что v = 0, то есть стержень после искривления при Р = Р кр вновь приобретает прямолинейную форму при Р > Р. Очевидно, что это противоречит физическим представлениям об изгибе стержня.

Эти особенности связаны с тем, что выражение (13.1) для изгибающего момента и дифференциальное уравнение (13.2) получены для деформированного состояния стержня, в то время как при постановке граничного условия на конце х = / осевое перемещение и в этого конца (рис. 13.6) вследствие изгиба не учитывалось. Действительно, если пренебречь укорочением стержня за счет центрального сжатия, то нетрудно представить, что прогибы стержня будут иметь вполне определенные значения, если задать величину и в.

Из этого рассуждения становится очевидным, что для определения зависимости прогибов от величины сжимающей силы Р необходимо вместо граничного условия v(l) = 0 использовать уточненное граничное условие v(l - и в) = 0. При этом установлено, что если сила превосходит критическое значение всего на 1+2%, прогибы становятся достаточно большими и необходимо пользоваться точным нелинейным дифференциальным уравнением продольного изгиба

Это уравнение отличается от приближенного уравнения (13.4) первым слагаемым, представляющим собой точное выражение для кривизны изогнутой оси стержня (см. § 9.2).

Решение уравнения (13.11) достаточно сложно и выражается через полный эллиптический интеграл первого рода.

Л е к ц и я 7

УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

Понятие об устойчивости сжатого стержня. Формула Эйлера. Зависимость критической силы от способа закрепления стержня. Пределы применимости формулы Эйлера. Формула Ясинского. Расчет на устойчивость.

Понятие об устойчивости сжатого стержня

Рассмотрим стержень с прямой осью, нагруженный продольной сжимающей силой F. В зависимости от величины силы и параметров стержня (материал, длина, форма и размеры поперечного сечения) его прямолинейная форма равновесия может быть устойчивой или не устойчивой.

Д ля определения вида равновесия стержня подействуем на него небольшой поперечной нагрузкой Q. В результате стержень перейдет в новое положение равновесия с изогнутой осью. Если после прекращения действия поперечной нагрузки стержень возвращается в исходное (прямолинейное) положение, то прямолинейная форма равновесия является устойчивой (рис 7.1а). В том случае, когда после прекращения действия поперечной силы Q стержень не возвращается в первоначальное положение, прямолинейная форма равновесия является неустойчивой (рис 7.1б).

Таким образом, устойчивостью называется способность стержня после некоторого отклонения от первоначального положения в результате действия какой-либо возмущающей нагрузки самопроизвольно возвращаться в исходное положение при прекращении действия этой нагрузки. Наименьшая продольная сжимающая сила, при которой прямолинейная форма равновесия стержня становится неустойчивой, называется критической силой.

Рассмотренная схема работы центрального сжатого стержня носит теоретический характер. На практике сжимающая сила может действовать с некоторым эксцентриситетом, а стержень может иметь некоторую (хотя бы и небольшую) начальную кривизну. Поэтому с самого начала продольного нагружения стержня наблюдается его изгиб. Исследования показывают, что пока сжимающая сила меньше критической силы, прогибы стержня будут небольшими. При приближении силы к критическому значению прогибы начинают неограниченно возрастать. Этот критерий (неограниченный рост прогибов при ограниченном росте сжимающей силы) и принимается за критерий потери устойчивости.

Потеря устойчивости упругого равновесия имеет место не только при сжатии стержня, но и при его кручении, изгибе и более сложных видах деформации.

Формула Эйлера

Рассмотрим стержень с прямой осью, закрепленный посредством двух шарнирных опор (рис 7.2). Примем, что действующая на стержень продольная сжимающая сила достигла критического значения, и стержень изогнулся в плоскости наименьшей жесткости. Плоскость наименьшей жесткости расположена перпендикулярно к той главной центральной оси сечения, относительно которой осевой момент инерции сечения имеет минимальное значение.

(7.1)

где М – изгибающий момент; I min – минимальный момент инерции сечения.

Из рис. 7.2 находим изгибающий момент

(7.2)

На рис. 7.2 изгибающий момент, обусловленный действием критической силы, положителен, а прогиб – отрицателен. С целью согласования принятых знаков в зависимости (7.2) поставлен знак минус.

Подставляя (7.2) в (7.1), для определения функции прогиба получаем дифференциальное уравнение

(7.3)

(7.4)

Из курса высшей математики известно, что решение уравнения (7.3) имеет вид

где A, B – постоянные интегрирования.

Для определения постоянных интегрирования в (7.5) используем краевые условия

Для изогнутого стержня коэффициенты A и B не могут одновременно быть равными нулю (иначе стержень не будет изогнутым). Поэтому

Приравнивая (7.6) и (7.4), находим

(7.7)

Практическое значение имеет наименьшее, отличное от нуля, значение критической силы. Поэтому, подставив в (7.7) n=1, окончательно будем иметь

(7.8)

Зависимость (7.8) называется формулой Эйлера.

Зависимость критической силы

от способа закрепления стержня

Формула (7.8) получена для случая закрепления стержня посредством двух шарнирных опор, расположенных на его краях. При других способах закрепления стержня для определения критической силы используется обобщенная формула Эйлера

(7.9)

где μ – коэффициент приведения длины, учитывающий способ закрепления стержня.

Наиболее распространенные способы закрепления стержня и соответствующие им коэффициенты приведения длины показаны на рис. 7.3.

Пределы применимости формулы Эйлера. Формула Ясинского

П ри выводе формулы Эйлера было использовано условие, что в момент потери устойчивости выполняется закон Гука. Напряжение в стержне в момент потери устойчивости равно

где
- гибкость стержня; A – площадь поперечного сечения стержня.

В момент потери устойчивости закон Гука будет выполняться при условии

где σ пц – предел пропорциональности материала стержня;
- первая предельная гибкость стержня. Для стали Ст3 λ пр1 = 100.

Таким образом, формула Эйлера справедлива при выполнении условия (7.10).

Если гибкость стержня расположена в интервале
то стержень будет терять устойчивость в области упруго-пластических деформаций и формулу Эйлера использовать нельзя. В этом случае критическая сила определяется по экспериментальной формуле Ясинского

где a, b – экспериментальные коэффициенты. Для стали Ст3 a = 310 Мпа, b = 1,14 Мпа.

Вторая предельная гибкость стержня определяется по формуле

где σ т – предел текучести материала стержня. Для стали Ст3 λ пр2 = 60.

При выполнении условия λ ≤ λ пр2 критическое напряжение (по Ясинскому) будет превышать предел текучести материала стержня. Поэтому в этом случае для определения критической силы используется соотношение

(7.12)

В качестве примера на рис. 7.4 показана зависимость критического напряжения от гибкости стержня для стали Ст3.

Расчет на устойчивость

Расчет на устойчивость выполняется с использованием условия устойчивости

(7.13)

Допускаемое напряжение при расчете на устойчивость;

- коэффициент запаса устойчивости.

Допускаемое напряжение при расчете на устойчивость находится по допускаемому напряжению при расчете на сжатие

(7.14)

где φ – коэффициент продольного изгиба (или снижения основного допускаемого напряжения). Данный коэффициент изменяется в пределах 0 ≤ φ ≤ 1.

Учитывая, что для пластичных материалов

из формул (7.13) и (7.14) следует

(7.15)

Значения коэффициента продольного изгиба в зависимости от материала и гибкости стержня приводятся в справочной литературе.

Наиболее интересен проектный расчет из условия устойчивости. При данном виде расчета известны: расчетная схема (коэффициент μ), внешняя сжимающая сила F, материал (допускаемое напряжение [σ]) и длина l стержня, форма его поперечного сечения. Необходимо определить размеры поперечного сечения.

Трудность заключается в том, что неизвестно по какой формуле определять критическое напряжение, т.к. без размеров поперечного сечения нельзя определить гибкость стержня. Поэтому расчет выполняется методом последовательных приближений:

1) Принимаем начальное значение = 0,5. Определяем площадь поперечного сечения

2) По площади находим размеры поперечного сечения.

3) Используя полученные размеры поперечного сечения, вычисляем гибкость стержня, а по гибкости – конечное значение коэффициента продольного изгиба .

4) При несовпадении значений и выполняем второе приближение. Начальное значение φ во втором приближении принимаем равным
. И так далее.

Расчеты повторяем до тех пор, пока начальное и конечное значения коэффициента φ будут отличаться не более чем на 5%. В качестве ответа принимаем значения размеров, полученных в последнем приближении.

Во всем предыдущем изложении мы определяли поперечные размеры стержней из условий прочности. Однако разрушение стержня может произойти не только потому, что будет нарушена прочность, но и оттого, что стержень не сохранит той формы, которая ему придана конструктором; при этом изменится и характер напряженного состояния в стержне.

Наиболее типичным примером является работа стержня, сжатого силами Р . До сих пор для проверки прочности мы имели условие

Это условие предполагает, что стержень все время, вплоть до разрушения работает на осевое сжатие. Уже простейший опыт показывает, что далеко не всегда возможно разрушить стержень путем доведения напряжений сжатия до предела текучести или до предела прочности материала.

Если мы подвергнем продольному сжатию тонкую деревянную линейку, то она может сломаться, изогнувшись; перед изломом сжимающие силы, при которых произойдет разрушение линейки, будут значительно меньше тех, которые вызвали бы при простом сжатии напряжение, равное пределу прочности материала. Разрушение линейки произойдет потому, что она не сможет сохранить приданную ей форму прямолинейного, сжатого стержня, а искривится, что вызовет появление изгибающих моментов от сжимающих сил Р и, стало быть, добавочные напряжения от изгиба; линейка потеряет устойчивость.

Поэтому для надежной работы конструкции мало, чтобы она была прочна; надо, чтобы все ее элементы были устойчивы : они должны при действии нагрузок деформироваться в таких пределах, чтобы характер их работы оставался неизменным. Поэтому в целом ряде случаев, в частности, для сжатых стержней, помимо проверки на прочность, необходима и проверка на устойчивость. Для осуществления этой проверки надо ближе ознакомиться с условиями, при которых устойчивость прямолинейной формы сжатого стержня нарушается.

Рис.1. Расчетная схема

Возьмем достаточно длинный по сравнению с его поперечными размерами стержень, шарнирно-прикрепленный к опорам (Рис.1), и нагрузим его сверху центрально силой Р , постепенно возрастающей. Мы увидим, что пока сила Р сравнительно мала, стержень будет сохранять прямолинейную форму. При попытках отклонить его в сторону, например путем приложения кратковременно действующей горизонтальной силы, он будет после ряда колебаний возвращаться к первоначальной прямолинейной форме, как только будет удалена добавочная сила, вызвавшая отклонение.

При постепенном увеличении силы Р стержень будет все медленнее возвращаться к первоначальному положению при проверках его устойчивости; наконец, можно довести силу Р до такой величины, при которой стержень, после небольшого отклонения его в сторону, уже не выпрямится, а останется искривленным. Если мы, не удаляя силы Р , выпрямим стержень, он уже, как правило, не сможет сохранить прямолинейную форму. Другими словами, при этом значении силы Р , называемом критическим , мы будем иметь такое состояние равновесия, когда исключается вероятность сохранения стержнем заданной ему прямолинейной формы).

Переход к критическому значению силы Р происходит внезапно ; стоит нам очень немного уменьшить сжимающую силу по сравнению с ее критической величиной, как прямолинейная форма равновесия вновь делается устойчивой.

С другой стороны, при очень небольшом превышении сжимающей силой Р ее критического значения прямолинейная форма стержня делается крайне неустойчивой ; достаточно при этом небольшого эксцентриситета приложенной силы, неоднородности материала по сечению, чтобы стержень искривился, и не только не вернулся к прежней форме, а продолжал искривляться под действием все возрастающих при искривлении изгибающих моментов; процесс искривления заканчивается либо достижением совершенно новой (устойчивой) формы равновесия, либо разрушением.

Исходя из этого, мы должны практически считать критическую величину сжимающей силы эквивалентной нагрузке, «разрушающей» сжатый стержень, выводящей его (и связанную с ним конструкцию) из условий нормальной работы. Конечно, при этом надо помнить, что «разрушение» стержня нагрузкой, превышающей критическую, может происходить при непременном условии беспрепятственного возрастания искривления стержня; поэтому если при боковом выпучивании стержень встретит боковую опору, ограничивающую его дальнейшее искривление, то разрушение может и не наступить.

Обычно подобная возможность является исключением; поэтому практически следует считать критическую сжимающую силу низшим пределом «разрушающей» стержень силы.

Рис.2. Аналогия понятия устойчивости из механики твердого тела

Явление потери устойчивости при сжатии можно по аналогии иллюстрировать следующим примером из механики твердого тела (рис.2). Будем вкатывать цилиндр на наклонную плоскость ab , которая потом переходит в короткую горизонтальную площадку bс и наклонную плоскость обратного направления cd . Пока мы поднимаем цилиндр по плоскости ab , поддерживая его при помощи упора, перпендикулярного к наклонной плоскости, он будет в.состоянии устойчивого равновесия; на площадке bс его равновесие делается безразличным; стоит же нам поместить цилиндр в точку с, как его равновесие сделается неустойчивым— при малейшем толчке вправо цилиндр начнет двигаться вниз.

Описанную выше физическую картину потери устойчивости сжатым стержнем легко осуществить в действительности в любой механической лаборатории на очень элементарной установке. Это описание не является какой-то теоретической, идеализированной схемой, а отражает поведение реального стержня под действием сжимающих сил.

Потерю устойчивости прямолинейной формы сжатого стержня иногда называют «продольным изгибом», так как она влечет за собой значительное искривление стержня под действием продольных сил. Для проверки на устойчивость сохранился и до сих пор термин «проверка на продольный изгиб», являющийся условным, так как здесь речь должна идти не о проверке на изгиб, а о проверке на устойчивость прямолинейной формы стержня.

Установив понятие о критической силе, как о «разрушающей» нагрузке, выводящей стержень из условий его нормальной работы, мы легко можем составить условие для проверки на устойчивость, аналогичное условию прочности.

Критическая сила вызывает в сжатом стержне напряжение, называемое «критическим напряжением» и обозначаемое буквой . Критические напряжения являются опасными напряжениями для сжатого стержня. Поэтому, чтобы обеспечить устойчивость прямолинейной формы стержня, сжатого силами Р , необходимо к условию прочности добавить еще условие устойчивости:

где — допускаемое напряжение на устойчивость, равное критическому, деленному на коэффициент запаса на устойчивость, т. е. .

Для возможности осуществить проверку на устойчивость мы должны показать, как определять и как выбрать коэффициент запаса .

Формула Эйлера для определения критической силы.

Для нахождения критических напряжений надо вычислить критическую силу , т. е. наименьшую осевую сжимающую силу, способную удержать в равновесии слегка искривленный сжатый стержень.

Эту задачу впервые решил академик Петербургской Академии наук Л. Эйлер в 1744 году.

Заметим, что самая постановка задачи иная, чем во всех ранее рассмотренных отделах курса. Если раньше мы определяли деформацию стержня при заданных внешних нагрузках, то здесь ставится обратная задача: задавшись искривлением оси сжатого стержня, следует определить, при каком значении осевой сжимающей силы Р такое искривление возможно.

Рассмотрим прямой стержень постоянного сечения, шарнирно опертый по концам; одна из опор допускает возможность продольного перемещения соответствующего конца стержня (рис.3). Собственным весом стержня пренебрегаем.

Рис.3. Расчетная схема в «задаче Эйлера»

Нагрузим стержень центрально приложенными продольными сжимающими силами и дадим ему весьма небольшое искривление в плоскости наименьшей жесткости; стержень удерживается в искривленном состоянии, что возможно, так как .

Деформация изгиба стержня предположена весьма малой, поэтому для решения поставленной задачи можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси стержня. Выбрав начало координат в точке А и направление координатных осей, как показано на рис.3, имеем:

Возьмем сечение на расстоянии х от начала координат; ордината изогнутой оси в этом сечении будет у , а изгибающий момент равен

По исходной схеме изгибающий момент получается отрицательным, ординаты же при выбранном направлении оси у оказываются положительными. (Если бы стержень искривился выпуклостью книзу, то момент был бы положительным, а у — отрицательным и .)

Приведенное только что дифференциальное уравнение принимает вид:

деля обе части уравнения на EJ и обозначая дробь через приводим его к виду:

Общий интеграл этого уравнения имеет вид.

Формула Эйлера : , где Е – модуль Юнга; – минимальный главный центральный момент инерции поперечного сечения стержня (очевидно, что при потере устойчивости изгиб стержня произойдет в плоскости наименьшей изгибной жесткости); – коэффициент приведения длины, зависящий от формы потери устойчивости; l – длина стержня. Произведение - приведенная длина стержня .

Формула Эйлера для шарнирно-опертого стержня, сжатого по концам

Для шарнирно опертого стержня, сжатого по концам, формула Эйлера для определения : (коэффициент приведения длины ).

Основной случай потери устойчивости – случай, когда при закреплении концов стержня и приложении нагрузки форма потери устойчивости представляет собой одну полуволну синусоиды (рис. 12.2, а).

Некоторые другие способы закрепления концов стержня (нагрузка по-прежнему приложена по торцам) легко могут быть приведены к основному случаю потери устойчивости путем сопоставления формы изогнутой оси с формой потери устойчивости шарнирно опертого стержня.

Формула Эйлера для стержня с защемленным и свободным концами

При потере устойчивости стержень с жестко защемленным одним и свободным другим концом изогнется, как показано на (рис. 12.2, б). Форма потери устойчивости этого стержня представляет собой четверть синусоиды. Приведенная длина равна (полуволна синусоиды имеет длину ), а эйлерова сила в четыре раза меньше, чем для основного случая. Формула Эйлера для стержня с защемленным и свободным концами: .

Формула Эйлера для стержня с защемленными концами

Для стержня, оба конца которого жестко защемлены, форма потери устойчивости такова, что одна полуволна синусоиды занимает половину длины стержня (рис. 12.2, в). Поэтому приведенная длина стержня равна (), а формула эйлеровой нагрузки .

Критической () принято называть истинную, а эйлеровой () – теоретическую нагрузку, при которой происходит потеря .

Формула Эйлера получена из предположения, что в момент потери устойчивости напряжения сжатия в стержне не превышают предела пропорциональности : . Модуль Юнга (Е) в формуле Эйлера свидетельствует о том, что вплоть до момента потери устойчивости выполнялся . Если потеря устойчивости происходит при напряжении меньшем, чем , то .

Для стержней, теряющих устойчивость при напряжении, превышающем предел пропорциональности (), использование формулы Эйлера принципиально неправильно и крайне опасно, поскольку критическая нагрузка (истинная нагрузка, при которой происходит потеря устойчивости) меньше эйлеровой нагрузки: .

Пределы применимости формулы Эйлера

.