دع أسطوانة دائرية قائمة ، المستوى الأفقي للإسقاطات موازٍ لقاعدتها. عندما تتقاطع الأسطوانة مع مستوى في الوضع العام (نفترض أن المستوى لا يتقاطع مع قواعد الأسطوانة) ، يكون خط التقاطع شكلًا بيضاويًا ، والمقطع نفسه له شكل قطع ناقص ، ويتزامن إسقاطه الأفقي مع إسقاط قاعدة الأسطوانة ، كما أن الواجهة الأمامية لها شكل قطع ناقص. ولكن إذا كان مستوى القطع يصنع زاوية تساوي 45 درجة مع محور الأسطوانة ، فإن المقطع الذي له شكل القطع الناقص يُسقط بدائرة على مستوى الإسقاطات التي يميل القسم إليها في نفس الاتجاه زاوية.
إذا تقاطع مستوى القطع مع السطح الجانبي للأسطوانة وأحد قواعدها (الشكل 8.6) ، يكون لخط التقاطع شكل قطع ناقص غير مكتمل (جزء من القطع الناقص). الإسقاط الأفقي للمقطع في هذه الحالة هو جزء من الدائرة (إسقاط القاعدة) ، والجبهة جزء من القطع الناقص. يمكن وضع المستوى بشكل عمودي على أي مستوى إسقاط ، ثم سيتم عرض المقطع على مستوى الإسقاط هذا بخط مستقيم (جزء من تتبع المستوى القاطع).
إذا تقاطعت الأسطوانة بمستوى موازٍ للشكل العام ، فإن خطوط التقاطع مع السطح الجانبي تكون مستقيمة ، ويكون المقطع نفسه على شكل مستطيل إذا كانت الأسطوانة مستقيمة ، أو متوازي أضلاع إذا كانت الأسطوانة مائلة.
كما تعلم ، يتكون كل من الأسطوانة والمخروط من أسطح مسطرة.
إن خط التقاطع (خط القطع) للسطح المحكوم والمستوى في الحالة العامة هو منحنى معين ، يتم إنشاؤه من نقاط تقاطع المولدات مع المستوى القاطع.
دعها تعطى مخروط دائري مستقيم.عند عبوره بمستوى ، يمكن أن يتخذ خط التقاطع شكل: مثلث ، قطع ناقص ، دائرة ، قطع مكافئ ، قطع زائد (الشكل 8.7) ، اعتمادًا على موقع المستوى.
يتم الحصول على المثلث عندما يمر مستوى القطع عبر قمته. في هذه الحالة ، تكون خطوط التقاطع مع السطح الجانبي عبارة عن خطوط مستقيمة تتقاطع في الجزء العلوي من المخروط ، والتي تشكل ، جنبًا إلى جنب مع خط تقاطع القاعدة ، مثلثًا مسقطًا على مستويات الإسقاط مع تشويه. إذا تقاطع المستوى مع محور المخروط ، فسيتم الحصول على مثلث في المقطع ، حيث تكون الزاوية مع الرأس المتوافقة مع رأس المخروط أقصى حد لمقاطع المثلث للمخروط المحدد. في هذه الحالة ، يُسقط القسم على مستوى الإسقاط الأفقي (موازٍ لقاعدته) بواسطة جزء من خط مستقيم.
سيكون خط تقاطع المستوى والمخروط شكلًا بيضاويًا إذا لم يكن المستوى موازيًا لأي من مولدات المخروط. هذا يعادل حقيقة أن المستوى يتقاطع مع جميع المولدات (السطح الجانبي الكامل للمخروط). إذا كان مستوى القطع موازيًا لقاعدة المخروط ، فإن خط التقاطع عبارة عن دائرة ، والمقطع نفسه يُسقط على مستوى الإسقاط الأفقي دون تشويه ، وعلى المستوى الأمامي - كقطعة مستقيمة.
سيكون خط التقاطع قطعًا مكافئًا عندما يكون المستوى القاطع موازيًا لمركب واحد فقط من المخروط. إذا كان مستوى القطع موازيًا لمولدين في نفس الوقت ، فإن خط التقاطع يكون قطعًا زائدًا.
يتم الحصول على المخروط المقطوع إذا تقاطع المخروط الدائري الأيمن بواسطة مستوى موازٍ للقاعدة وعمودي على محور المخروط ، ويتم التخلص من الجزء العلوي. في الحالة التي يكون فيها مستوى الإسقاط الأفقي موازيًا لقواعد المخروط المقطوع ، يتم إسقاط هذه القواعد على مستوى الإسقاط الأفقي دون تشويه بواسطة دوائر متحدة المركز ، ويكون الإسقاط الأمامي شبه منحرف. عندما يتقاطع مخروط مقطوع مع مستو ، اعتمادًا على موقعه ، قد يتخذ خط القطع شكل شبه منحرف ، أو قطع ناقص ، أو دائرة ، أو قطع مكافئ ، أو قطع زائد ، أو جزء من أحد هذه المنحنيات ، التي ترتبط نهاياتها بواسطة خط مستقيم.
شرح نصي للدرس:
نواصل دراسة قسم الهندسة الصلبة "جسد الثورة".
أجسام الثورة تشمل: اسطوانات ، مخاريط ، كرات.
دعونا نتذكر التعاريف.
الارتفاع هو المسافة من أعلى شكل أو جسم إلى قاعدة الشكل (الجسم). خلاف ذلك ، مقطع يربط أعلى وأسفل الشكل وعمودي عليه.
تذكر ، لإيجاد مساحة الدائرة ، اضرب pi في مربع نصف القطر.
مساحة الدائرة متساوية.
تذكر كيف تجد مساحة الدائرة ، مع معرفة القطر؟ لأن
دعنا نضعها في الصيغة:
المخروط هو أيضًا جسم ثورة.
المخروط (بتعبير أدق ، المخروط الدائري) هو جسم يتكون من دائرة - قاعدة المخروط ، نقطة لا تقع في مستوى هذه الدائرة - الجزء العلوي من المخروط وجميع الأجزاء التي تربط قمة المخروط مع نقاط القاعدة.
دعنا نتعرف على صيغة إيجاد حجم المخروط.
نظرية. حجم المخروط يساوي ثلث مساحة القاعدة مضروبًا في الارتفاع.
دعنا نثبت هذه النظرية.
معطى: مخروط ، S هي مساحة قاعدته ،
ح هو ارتفاع المخروط
يثبت: V =
الإثبات: ضع في اعتبارك مخروطًا بحجم V ، ونصف قطر القاعدة R ، والارتفاع h ، والقمة عند النقطة O.
دعونا نقدم محور الثور من خلال OM ، محور المخروط. القسم التعسفي من المخروط بواسطة مستوى عمودي على المحور x عبارة عن دائرة متمركزة عند النقطة
M1 - نقطة تقاطع هذا المستوى مع محور الثور. دعونا نشير إلى نصف قطر هذه الدائرة على أنه R1 ، ومساحة المقطع العرضي S (x) ، حيث x هي حدود النقطة M1.
من تشابه المثلثات القائمة الزاوية OM1A1 و OMA (ے OM1A1 = ے OMA - خطوط مستقيمة ، ے MOA- مشترك ، مما يعني أن المثلثات متشابهة في زاويتين) يتبع ذلك
يوضح الشكل أن OM1 = x ، OM = h
أو من أين نجد من خلال خاصية النسبة R1 =.
نظرًا لأن القسم عبارة عن دائرة ، ثم S (x) \ u003d πR12 ، فإننا نستبدل التعبير السابق بدلاً من R1 ، فإن مساحة المقطع تساوي نسبة حاصل ضرب مربع pi er بالمربع x إلى مربع الارتفاع:
دعنا نطبق الصيغة الأساسية
بحساب أحجام الأجسام ، مع a = 0 ، b = h ، نحصل على التعبير (1)
نظرًا لأن قاعدة المخروط عبارة عن دائرة ، فإن المساحة S لقاعدة المخروط ستكون مساوية لـ pi er square
في صيغة حساب حجم الجسم ، نستبدل قيمة pi er بمساحة القاعدة ونحصل على أن حجم المخروط يساوي ثلث منتج المنطقة من القاعدة والارتفاع
لقد تم إثبات النظرية.
النتيجة الطبيعية للنظرية (صيغة حجم المخروط المقطوع)
يتم حساب الحجم V للمخروط المقطوع ، الذي يبلغ ارتفاعه h ، ومساحات القاعدتين S و S1 ، بواسطة الصيغة
Ve يساوي ثلث الرماد مضروبًا في مجموع مساحات القواعد والجذر التربيعي لحاصل ضرب مناطق القاعدة.
حل المشاكل
مثلث قائم الزاوية بطول 3 سم و 4 سم يدور حول الوتر. حدد حجم الجسم الناتج.
عندما يدور المثلث حول الوتر ، نحصل على مخروط. عند حل هذه المشكلة ، من المهم أن نفهم أن هناك حالتين ممكنتين. في كل منها ، نطبق صيغة إيجاد حجم المخروط: حجم المخروط يساوي ثلث حاصل ضرب القاعدة والارتفاع
في الحالة الأولى ، سيبدو الرسم كما يلي: يتم إعطاء مخروط. دع نصف القطر r = 4 ، الارتفاع h = 3
مساحة القاعدة تساوي حاصل ضرب π في مربع نصف القطر
ثم حجم المخروط يساوي ثلث حاصل ضرب π في مربع نصف القطر في الارتفاع.
عوّض القيمة في الصيغة ، اتضح أن حجم المخروط هو 16π.
في الحالة الثانية ، مثل هذا: إعطاء مخروط. دع نصف القطر r = 3 ، الارتفاع h = 4
حجم المخروط يساوي ثلث مساحة القاعدة مضروبًا في الارتفاع:
مساحة القاعدة تساوي حاصل ضرب π في مربع نصف القطر:
ثم حجم المخروط يساوي ثلث حاصل ضرب في مربع نصف القطر مضروبًا في الارتفاع:
عوّض القيمة في الصيغة ، اتضح أن حجم المخروط هو 12π.
الجواب: حجم المخروط V هو 16 π أو 12 π
المشكلة الثانية: بمخروط دائري قائم نصف قطره 6 سم ، تكون الزاوية BCO = 45.
أوجد حجم المخروط.
الحل: يتم تقديم رسم جاهز لهذه المهمة.
لنكتب صيغة إيجاد حجم المخروط:
نعبر عنها بدلالة نصف قطر القاعدة R:
نجد h \ u003d BO بالبناء ، - مستطيل ، لأن الزاوية BOC = 90 (مجموع زوايا المثلث) ، الزوايا عند القاعدة متساوية ، لذا فإن المثلث ΔBOC متساوي الساقين و BO = OC = 6 سم.
مقدمة
أهمية موضوع البحث.كانت المقاطع المخروطية معروفة بالفعل لعلماء الرياضيات في اليونان القديمة (على سبيل المثال ، Menechmus ، القرن الرابع قبل الميلاد) ؛ بمساعدة هذه المنحنيات ، تم حل بعض مشاكل البناء (مضاعفة المكعب ، وما إلى ذلك) ، والتي تبين أنه يتعذر الوصول إليها عند استخدام أبسط أدوات الرسم - البوصلات والمساطر. في الدراسات الأولى التي وصلت إلينا ، حصلت المقاييس اليونانية على مقاطع مخروطية عن طريق رسم مستوى قطع عمودي على أحد المولدات ، بينما ، اعتمادًا على زاوية الفتح في الجزء العلوي من المخروط (أي أكبر زاوية بين المولدات من تجويف واحد) ، تحول خط التقاطع إلى قطع ناقص ، إذا كانت هذه الزاوية حادة ، فهي قطع مكافئ ، إذا كانت زاوية قائمة ، وقطع زائد ، إذا كانت منفرجة. كان العمل الأكثر اكتمالا المكرس لهذه المنحنيات هو "المقاطع المخروطية" لأبولونيوس البرجي (حوالي 200 قبل الميلاد). ترتبط التطورات الأخرى في نظرية المقاطع المخروطية بالخلق في القرن السابع عشر. طرق هندسية جديدة: إسقاطية (علماء الرياضيات الفرنسيون ج. ديسارغ ، ب. باسكال) وتنسيق بشكل خاص (عالم الرياضيات الفرنسي ر. ديكارت ، ب. فيرمات).
كان الاهتمام بالأقسام المخروطية مدعومًا دائمًا بحقيقة أن هذه المنحنيات توجد غالبًا في ظواهر طبيعية مختلفة وفي النشاط البشري. في العلم ، اكتسبت المقاطع المخروطية أهمية خاصة بعد أن اكتشف عالم الفلك الألماني آي كبلر من الملاحظات ، وأثبت العالم الإنجليزي الأول نيوتن نظريًا قوانين حركة الكواكب ، والتي يدعي أحدها أن الكواكب والمذنبات النظام الشمسيتتحرك على طول أقسام مخروطية ، في أحد بؤر الشمس. تشير الأمثلة التالية إلى أنواع معينة من المقاطع المخروطية: يصف المقذوف أو الحجر الملقى بشكل غير مباشر في الأفق القطع المكافئ (الشكل الصحيح للمنحنى مشوه إلى حد ما بمقاومة الهواء) ؛ في بعض الآليات ، يتم استخدام التروس البيضاوية ("التروس البيضاوية") ؛ يعمل القطع الزائد كرسم بياني للتناسب العكسي ، وغالبًا ما يُلاحظ في الطبيعة (على سبيل المثال ، قانون Boyle-Mariotte).
الهدف من العمل:
دراسة نظرية المقاطع المخروطية.
موضوع البحث:
المقاطع المخروطية.
الغرض من الدراسة:
دراسة ملامح المقاطع المخروطية نظريًا.
موضوع الدراسة:
المقاطع المخروطية.
موضوع الدراسة:
التطور التاريخي للمقاطع المخروطية.
1. تكوين المقاطع المخروطية وأنواعها
المقاطع المخروطية عبارة عن خطوط تتشكل في قسم مخروط دائري قائم مع مستويات مختلفة.
لاحظ أن السطح المخروطي هو سطح يتكون من حركة خط مستقيم يمر طوال الوقت عبر نقطة ثابتة (أعلى المخروط) ويتقاطع طوال الوقت مع منحنى ثابت - دليل (في حالتنا ، دائرة ).
بتصنيف هذه الخطوط حسب طبيعة موقع الطائرات القاطعة بالنسبة لمولدات المخروط ، يتم الحصول على ثلاثة أنواع من المنحنيات:
1. المنحنيات المتكونة من قسم من المخروط بواسطة مستويات غير موازية لأي من المولدات. ستكون هذه المنحنيات عبارة عن دوائر وأشكال بيضاوية مختلفة. تسمى هذه المنحنيات المنحنيات الإهليلجية.
ثانيًا. تتكون المنحنيات من قسم من المخروط بواسطة المستويات ، كل منها موازٍ لإحدى مصفوفات المخروط (الشكل 1 ب). فقط القطع المكافئة ستكون مثل هذه المنحنيات.
ثالثا. تتكون المنحنيات من قسم من المخروط بواسطة الطائرات ، كل منها يوازي بعض المولدين (الشكل 1 ج). ستكون هذه المنحنيات عبارة عن قطع زائد.
لم يعد هناك أي منحنيات من النوع الرابع ، حيث لا يمكن أن يكون هناك مستوى موازٍ لثلاثة مولدات من المخروط في وقت واحد ، حيث لا توجد ثلاثة مولدات للمخروط في نفس المستوى.
لاحظ أن المخروط يمكن أن يتقاطع مع المستويات بحيث يتم الحصول على خطين مستقيمين في المقطع. للقيام بذلك ، يجب رسم الطائرات القاطعة من خلال الجزء العلوي من المخروط.
2. القطع الناقص
هناك نظريتان مهمتان لدراسة خصائص المقاطع المخروطية:
النظرية 1. دع مخروطًا دائريًا مستقيمًا يُعطى ، والذي تم تشريحه بواسطة المستويات b 1 ، b 2 ، b 3 ، عموديًا على محورها. ثم تتساوى جميع أجزاء المولدات المخروطية بين أي زوج من الدوائر (تم الحصول عليها في قسم مع المستويات المحددة) مع بعضها البعض ، أي أ 1 ب 1 \ u003d أ 2 ب 2 \ u003d ، إلخ. و B 1 C 1 \ u003d B 2 C 2 \ u003d ، إلخ. النظرية 2. إذا تم إعطاء سطح كروي وكانت هناك نقطة S خارجه ، فإن مقاطع الظلال المرسومة من النقطة S إلى السطح الكروي ستكون متساوية مع بعضها البعض ، أي SA 1 = SA 2 = SA 3 إلخ.
2.1 الخاصية الأساسية للقطع الناقص
لقد قطعنا مخروطًا دائريًا قائمًا بحيث يتقاطع مستوى مع جميع مولداته ، وفي هذا القسم نحصل على قطع ناقص. لنرسم مستوى عموديًا على المستوى عبر محور المخروط.
نقوم بإدخال كرتين في المخروط بحيث يكون كل منهما يقع على جوانب متقابلة من المستوى ويلامس السطح المخروطي ، ويلامس كل منهما المستوى في مرحلة ما.
دع كرة تلمس المستوى عند النقطة F 1 وتلمس المخروط على طول الدائرة C 1 ، والأخرى عند النقطة F 2 وتلمس المخروط على طول الدائرة C 2.
خذ نقطة عشوائية P على القطع الناقص.
هذا يعني أن جميع الاستنتاجات التي تم التوصل إليها حول هذا الموضوع ستكون صالحة لأي نقطة من القطع الناقص. دعنا نرسم المصفوفة العامة لـ OR للمخروط ونضع علامة على النقطتين R 1 و R 2 التي تلامس عندها الكرات المنشأة.
قم بتوصيل النقطة P بالنقطتين F 1 و F 2. ثم PF 1 = PR 1 و PF 2 = PR 2 ، نظرًا لأن PF 1 و PR 1 عبارة عن ظلمات مرسومة من النقطة P إلى كرة واحدة ، و PF 2 و PR 2 عبارة عن ظلال مرسومة من النقطة P إلى كرة أخرى (نظرية 2) . بجمع كلتا المتساويتين حدًا بمصطلح حد ، نجد
PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = R 1 R 2 (1)
توضح هذه العلاقة أن مجموع المسافات (РF 1 و РF 2) لنقطة عشوائية P من القطع الناقص إلى نقطتين F 1 و F 2 هي قيمة ثابتة لهذا القطع الناقص (أي أنها لا تعتمد على الموضع للنقطة P على القطع الناقص).
تسمى النقطتان F 1 و F 2 بؤري القطع الناقص. النقاط التي يتقاطع عندها الخط F 1 F 2 مع القطع الناقص تسمى رؤوس القطع الناقص. يسمى المقطع بين الرؤوس المحور الرئيسي للقطع الناقص.
مقطع من المولد R 1 R 2 يساوي في الطول المحور الرئيسي للقطع الناقص. ثم تتم صياغة الخاصية الرئيسية للقطع الناقص على النحو التالي: مجموع مسافات النقطة التعسفية P للقطع الناقص إلى بؤرتيه F 1 و F 2 هي قيمة ثابتة لهذا القطع الناقص ، مساوية لطول محوره الرئيسي.
لاحظ أنه إذا تزامنت بؤر القطع الناقص ، فإن القطع الناقص هو دائرة ، أي الدائرة هي حالة خاصة من القطع الناقص.
2.2 معادلة القطع الناقص
لكتابة معادلة القطع الناقص ، يجب أن نعتبر القطع الناقص هو موضع النقاط التي لها بعض الخصائص التي تميز هذا المكان. لنأخذ الخاصية الرئيسية للقطع الناقص على أنها تعريفها: Ellipse هو موضع النقاط في المستوى الذي يكون فيه مجموع المسافات إلى نقطتين ثابتتين F 1 و F 2 من هذا المستوى ، يسمى البؤر ، قيمة ثابتة تساوي طول محوره الرئيسي.
دع طول المقطع F 1 F 2 \ u003d 2c ، وطول المحور الرئيسي هو 2a. لاشتقاق المعادلة الأساسية للقطع الناقص ، نختار الأصل O لنظام الإحداثيات الديكارتية في منتصف المقطع F 1 F 2 ، ونوجه المحاور Ox و Oy كما هو موضح في الشكل 5. (إذا تزامنت البؤرتان ، إذن يتطابق O مع F 1 و F 2 ، وما وراء محور Ox يمكن اعتباره أي محور يمر عبر O). ثم في نظام الإحداثيات المختار النقاط F 1 (ج ، 0) و F 2 (-c ، 0). من الواضح أن 2 أ> 2 ج ، أي أ> ج. لنفترض أن M (x ، y) نقطة من المستوى الذي ينتمي إلى القطع الناقص. دع МF 1 = r 1 ، МF 2 = r 2. وفقا لتعريف القطع الناقص ، المساواة
r 1 + r 2 = 2a (2) شرط ضروري وكافٍ لموقع النقطة M (x ، y) على قطع ناقص معين. باستخدام صيغة المسافة بين نقطتين ، نحصل على
ص 1 = ، ص 2 =. لنعد إلى المساواة (2):
دعنا ننتقل جذرًا واحدًا إلى الجانب الأيمن من المساواة ونقوم بتربيعها:
التخفيض ، نحصل على:
نعطي متشابهة ، ونخفض بمقدار 4 ونعزل الراديكالي:
نحن نربيع
افتح الأقواس واختصر إلى:
من حيث نحصل:
(أ 2-ج 2) س 2 + أ 2 ص 2 \ u003d أ 2 (أ 2-ج 2). (3)
لاحظ أن 2 -c 2> 0. في الواقع ، r 1 + r 2 هو مجموع ضلعي المثلث F 1 MF 2 ، و F 1 F 2 هو ضلعه الثالث. لذلك ، r 1 + r 2> F 1 F 2 ، أو 2а> 2s ، أي أ> ج. دلالة على 2 -c 2 \ u003d b 2. ستبدو المعادلة (3) على النحو التالي: ب 2 × 2 + أ 2 ص 2 = أ 2 ب 2. لنقم بإجراء تحويل يجلب معادلة القطع الناقص إلى الشكل الأساسي (حرفيًا: مأخوذ كعينة) ، أي نقسم كلا الجزأين من المعادلة على 2 ب 2:
(4) - المعادلة الأساسية للقطع الناقص.
نظرًا لأن المعادلة (4) هي نتيجة جبرية للمعادلة (2 *) ، فإن إحداثيات x و y لأي نقطة M من القطع الناقص ستلبي أيضًا المعادلة (4). نظرًا لأن "الجذور الإضافية" يمكن أن تظهر أثناء التحولات الجبرية المرتبطة بالتخلص من الجذور ، فمن الضروري التأكد من أن أي نقطة M ، والتي تتوافق إحداثياتها مع المعادلة (4) ، تقع على هذا القطع الناقص. للقيام بذلك ، يكفي إثبات أن الكميات r 1 و r 2 لكل نقطة تتوافق مع العلاقة (2). لذلك ، دع إحداثيات x و y للنقطة M تحقق المعادلة (4). بالتعويض عن قيمة y 2 من (4) في التعبير r 1 ، بعد تحويلات بسيطة نجد أن r 1 =. منذ ذلك الحين ، r 1 =. وبالمثل ، نجد أن r 2 =. وبالتالي ، بالنسبة للنقطة المدروسة M r 1 = ، r 2 = ، أي r 1 + r 2 \ u003d 2a ، وبالتالي فإن النقطة M تقع على القطع الناقص. يُطلق على الكميتين a و b اسم المحاور الرئيسية والثانوية للقطع الناقص ، على التوالي.
2.3 دراسة شكل القطع الناقص حسب معادلته
دعونا نحدد شكل القطع الناقص باستخدام معادلته المتعارف عليها.
1. تحتوي المعادلة (4) على x و y فقط في قوى زوجية ، لذلك إذا كانت النقطة (x ، y) تنتمي إلى القطع الناقص ، فإن النقاط (x ، - y) ، (-x ، y) ، (-x ، - ذ). ويترتب على ذلك أن القطع الناقص متماثل حول المحورين Ox و Oy ، وكذلك حول النقطة O (0،0) ، والتي تسمى مركز القطع الناقص.
2. أوجد نقاط تقاطع القطع الناقص مع محاور الإحداثيات. بوضع y \ u003d 0 ، نجد نقطتين A 1 (a ، 0) و A 2 (-a ، 0) ، حيث يتقاطع محور Ox مع القطع الناقص. بوضع x = 0 في المعادلة (4) ، نجد نقاط تقاطع القطع الناقص مع محور Oy: B 1 (0 ، b) و. ب 2 (0 ، - ب) تسمى النقاط أ 1 ، أ 2 ، ب 1 ، ب 2 رؤوس القطع الناقص.
3. من المعادلة (4) يترتب على ذلك أن كل مصطلح على الجانب الأيسر لا يتجاوز الوحدة ، أي هناك تفاوتات و أو و. لذلك ، تقع جميع نقاط القطع الناقص داخل المستطيل المكون من الخطوط المستقيمة ،.
4. في المعادلة (4) مجموع المصطلحات غير السالبة ويساوي واحد. لذلك ، مع زيادة أحد المصطلحات ، سينخفض الآخر ، أي إذا زادت x ، فإن y تنخفض والعكس صحيح.
مما قيل ، يترتب على ذلك أن الشكل البيضاوي له الشكل الموضح في الشكل. 6 (منحنى مغلق بيضاوي).
لاحظ أنه إذا كانت a = b ، فإن المعادلة (4) ستأخذ الصيغة x 2 + y 2 = a 2. هذه هي معادلة الدائرة. يمكن الحصول على القطع الناقص من دائرة نصف قطرها a ، إذا تم ضغطها مرة واحدة على طول محور Oy. مع هذا الانكماش ، ستنتقل النقطة (س ؛ ص) إلى النقطة (س ؛ ص 1) ، حيث. بالتعويض عن الدائرة في المعادلة ، نحصل على معادلة القطع الناقص:.
دعونا نقدم كمية أخرى تميز شكل القطع الناقص.
الانحراف اللامركزي للقطع الناقص هو نسبة الطول البؤري 2 ج إلى الطول 2 أ لمحوره الرئيسي.
عادةً ما يتم الإشارة إلى الانحراف عن طريق e: e = منذ c< a, то. Заметив, что c 2 = a 2 - b 2 , находим: , отсюда.
من المساواة الأخيرة ، من السهل الحصول على تفسير هندسي لانحراف الأطوار في القطع الناقص. بالنسبة للأعداد الصغيرة جدًا ، فإن a و b متساويان تقريبًا ، أي أن القطع الناقص قريب من الدائرة. إذا كان قريبًا من الوحدة ، فسيكون الرقم ب صغيرًا جدًا مقارنة بالرقم أ ، ويكون القطع الناقص ممدودًا بقوة على طول المحور الرئيسي. وهكذا ، فإن الانحراف اللامركزي للقطع الناقص يميز مقياس استطالة القطع الناقص.
3. المبالغة
3.1 الخاصية الرئيسية للقطع الزائد
باستكشاف القطع الزائد بمساعدة الإنشاءات المشابهة للتركيبات المنفذة لدراسة القطع الناقص ، نجد أن القطع الزائد له خصائص مشابهة لتلك الموجودة في القطع الناقص.
دعونا نقطع مخروطًا دائريًا مستقيمًا بواسطة مستو ب يتقاطع مع مستوييه ، أي بالتوازي مع اثنين من مولداتها. المقطع العرضي هو القطع الزائد. دعونا نرسم من خلال المحور ST للمخروط المستوى ASB ، عموديًا على المستوى b.
دعونا ندخل كرتين في المخروط - واحدة في تجويفها ، والأخرى في الأخرى ، بحيث تلامس كل منهما السطح المخروطي والمستوى القاطع. دع الكرة الأولى تلمس المستوى b عند النقطة F 1 والمس السطح المخروطي على طول الدائرة UґVґ. دع الكرة الثانية تلمس المستوى b عند النقطة F 2 وتلمس السطح المخروطي على طول دائرة الأشعة فوق البنفسجية.
نختار نقطة عشوائية M على القطع الزائد ، دعونا نرسم الشبكة العامة للمخروط MS من خلالها ونضع علامة على النقطتين d و D التي تلامس عندها الكرتان الأولى والثانية. نقوم بتوصيل النقطة M بالنقطتين F 1 و F 2 ، والتي سنسميها بؤر القطع الزائد. ثم MF 1 = Md ، نظرًا لأن كلا الجزأين مماس للكرة الأولى ، مرسومة من النقطة M. وبالمثل ، MF 2 = MD. نطرح مصطلحًا بمصطلح من المساواة الأولى والثاني
MF 1 -MF 2 \ u003d Md-MD \ u003d dD ،
حيث dD هي قيمة ثابتة (كمصنع عام لمخروط مع قاعدتي UґVґ و UV) ، بغض النظر عن اختيار النقطة M على القطع الزائد. قم بالإشارة بواسطة P و Q إلى النقاط التي يتقاطع عندها الخط F 1 F 2 مع القطع الزائد. تسمى هذه النقاط P و Q رؤوس القطع الزائد. يسمى المقطع PQ المحور الحقيقي للقطع الزائد. ثبت في سياق الهندسة الأولية أن dD = PQ. لذلك ، MF 1 -MF 2 = PQ.
إذا كانت النقطة M ستكون على هذا الفرع من القطع الزائد ، بالقرب من نقطة التركيز F 1 ، فإن MF 2 -MF 1 = PQ. ثم نحصل أخيرًا على МF 1 -MF 2 = PQ.
معامل الاختلاف بين مسافات النقطة التعسفية M للقطع الزائد من بؤريها F 1 و F 2 هو قيمة ثابتة تساوي طول المحور الحقيقي للقطع الزائد.
3.2 معادلة القطع الزائد
لنأخذ الخاصية الرئيسية للقطع الزائد على أنها تعريفها: القطع الزائد هو موضع نقاط في مستوى يكون معامل الاختلاف في المسافات إلى نقطتين ثابتتين F 1 و F 2 لهذا المستوى ، يسمى البؤر ، ثابتًا قيمة مساوية لطول محوره الحقيقي.
دع طول المقطع F 1 F 2 \ u003d 2c ، وطول المحور الحقيقي هو 2a. لاشتقاق المعادلة الأساسية للقطع الزائد ، نختار الأصل O لنظام الإحداثيات الديكارتية في منتصف المقطع F 1 F 2 ، ونوجه المحورين Ox و Oy كما هو موضح في الشكل 5. ثم في نظام الإحداثيات المختار ، النقاط F 1 (ج ، 0) و F 2 (-s ، 0). من الواضح أن 2 أ<2с, т.е. а<с. Пусть М (х, у) - точка плоскости, принадлежащая гиперболе. Пусть МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . Согласно определению гиперболы равенство
r 1 -r 2 \ u003d 2a (5) شرط ضروري وكافٍ لموقع النقطة M (x ، y) على هذا القطع الزائد. باستخدام صيغة المسافة بين نقطتين ، نحصل على
ص 1 = ، ص 2 =. لنعد إلى المساواة (5):
دعونا نربّع طرفي المعادلة
(س + ث) 2 + ص 2 \ u003d 4a 2 ± 4a + (س- ج) 2 + ص 2
التخفيض ، نحصل على:
2 хс = 4а 2 ± 4а-2 хс
± 4 أ = 4 أ -2 -4 س
أ 2 س 2 -2a 2 س ج + أ 2 ج 2 + أ 2 ص 2 \ u003d أ 4 -2a 2 س ج + س 2 ج 2
× 2 (ج 2-أ 2) - أ 2 ص 2 \ u003d أ 2 (ج 2-أ 2) (6)
لاحظ أن c 2 -a 2> 0. دلالة c 2 -a 2 = b 2. ستبدو المعادلة (6) على النحو التالي: ب 2 × 2-أ 2 ص 2 = أ 2 ب 2. نقوم بإجراء تحويل يجلب معادلة القطع الزائد إلى الشكل المتعارف عليه ، أي نقسم كلا الجزأين من المعادلة على أ 2 ب 2: (7) - المعادلة الأساسية للقطع الزائد ، الكميات a و b هي ، على التوالي ، أنصاف المحاور الحقيقية والخيالية للقطع الزائد.
يجب أن نتأكد من أن المعادلة (7) ، التي تم الحصول عليها من خلال التحويلات الجبرية للمعادلة (5 *) ، لم تكتسب جذورًا جديدة. للقيام بذلك ، يكفي إثبات أنه بالنسبة لكل نقطة M ، فإن الإحداثيات x و y التي تفي بالمعادلة (7) ، والقيم r 1 و r 2 ترضي العلاقة (5). إجراء حجج مشابهة لتلك التي تم إجراؤها عند اشتقاق صيغة القطع الناقص ، نجد التعبيرات التالية لـ r 1 و r 2:
وبالتالي ، بالنسبة للنقطة المدروسة M لدينا r 1 -r 2 = 2a ، وبالتالي فهي تقع على القطع الزائد.
3.3 دراسة معادلة القطع الزائد
لنحاول الآن ، بناءً على اعتبار المعادلة (7) ، الحصول على فكرة عن موقع القطع الزائد.
1. أولاً وقبل كل شيء ، توضح المعادلة (7) أن القطع الزائد متماثل حول كلا المحورين. ويفسر ذلك حقيقة أن معادلة المنحنى فقط درجات متساوية من الإحداثيات. 2. نقوم الآن بتحديد منطقة المستوى حيث يقع المنحنى. معادلة القطع الزائد ، التي تم حلها فيما يتعلق بـ y ، لها الشكل:
هذا يدل على أن y موجود دائمًا عندما x 2؟ أ 2. هذا يعني أن س؟ a و x؟ - وسيكون الإحداثي y حقيقيًا ، ولأجل - a علاوة على ذلك ، مع زيادة x (وأكبر أ) ، سينمو الإحداثي y أيضًا طوال الوقت (على وجه الخصوص ، يمكن أن نرى من هذا أن المنحنى لا يمكن أن يكون متموجًا ، أي أنه مع نمو الإحداثي السيني لـ x ، الإحداثي ص إما يزيد أو ينقص). 3. مركز القطع الزائد هو نقطة لكل نقطة من القطع الزائد نقطة عليها متناظرة مع نفسها. النقطة O (0،0) ، الأصل ، كما هو الحال بالنسبة للقطع الناقص ، هي مركز القطع الزائد المعطى بواسطة المعادلة الأساسية. هذا يعني أن كل نقطة من القطع الزائد لها نقطة متماثلة على القطع الزائد فيما يتعلق بالنقطة O. هذا يتبع من تناظر القطع الزائد فيما يتعلق بالمحور Ox و Oy. أي وتر من القطع الزائد يمر عبر مركزه يسمى قطر القطع الزائد. 4. نقاط تقاطع القطع الزائد مع الخط الذي تقع عليه بؤره تسمى رؤوس القطع الزائد ، ويسمى المقطع بينهما المحور الحقيقي للقطع الزائد. في هذه الحالة ، المحور الحقيقي هو المحور السيني. لاحظ أن المحور الحقيقي للقطع الزائد يسمى غالبًا كل من القطعة 2 أ والخط المستقيم نفسه (محور الثور) الذي يقع عليه. أوجد نقاط تقاطع القطع الزائد مع محور Oy. معادلة المحور y هي x = 0. بالتعويض عن x = 0 في المعادلة (7) ، نحصل على أن القطع الزائد ليس له نقاط تقاطع مع محور Oy. هذا أمر مفهوم ، حيث لا توجد نقاط القطع الزائد في شريط عرضه 2 أ ، يغطي محور Oy. يسمى الخط العمودي على المحور الحقيقي للقطع الزائد ويمر عبر مركزه بالمحور التخيلي للقطع الزائد. في هذه الحالة ، يتزامن مع المحور ص. إذن ، في مقامات المصطلحات التي تحتوي على x 2 و y 2 في معادلة القطع الزائد (7) هي مربعات أنصاف المحاور الحقيقية والخيالية للقطع الزائد. 5. يتقاطع القطع الزائد مع الخط y = kx من أجل k< в двух точках. Если k то общих точек у прямой и гиперболы нет. دليل لتحديد إحداثيات نقاط تقاطع القطع الزائد والخط المستقيم y = kx ، من الضروري حل نظام المعادلات القضاء على y ، نحصل عليه أو بالنسبة لـ b 2 -k 2 a 2 0 ، أي بالنسبة لـ k ، لا تحتوي المعادلة الناتجة ، وبالتالي نظام الحلول ، على. تسمى الخطوط المستقيمة ذات المعادلتين y = و y = - الخطوط المقاربة للقطع الزائد. بالنسبة لـ b 2-k 2 a 2> 0 ، أي لـ k< система имеет два решения: إذن ، كل خط مستقيم يمر عبر نقطة الأصل بميله k< пересекает гиперболу в двух точках. При k = 0 получаем точки пересечения (a; 0) и (- a; 0) - вершины гиперболы. 6. الخاصية البصرية للقطع الزائد: يبدو أن الأشعة الضوئية المنبعثة من بؤرة واحدة للقطع الزائد ، المنعكسة منه ، صادرة من البؤرة الثانية. الانحراف اللامركزي للقطع الزائد هو نسبة الطول البؤري 2 ج إلى الطول 2 أ لمحوره الحقيقي؟ 3.4 القطع الزائد المقترن جنبا إلى جنب مع القطع الزائد (7) ، يعتبر ما يسمى القطع الزائد المترافق فيما يتعلق به. يتم تعريف القطع الزائد المقترن بالمعادلة الأساسية. على التين. 10 يُظهر القطع الزائد (7) والقطع الزائد المقترن به. القطع الزائد المقترن له نفس الخطوط المقاربة مثل المعطى ، ولكن F 1 (0، c) ، 4. القطع المكافئ
4.1 خاصية أساسية للقطع المكافئ دعونا نؤسس الخصائص الأساسية للقطع المكافئ. دعونا نقطع مخروطًا دائريًا قائمًا برأس S على مستوى موازٍ لأحد مولداته. في القسم نحصل على القطع المكافئ. دعونا نرسم من خلال المحور ST للمخروط المستوى ASB ، عموديًا على المستوى (الشكل 11). سيكون المولد الكهربائي SA الموجود فيه موازيًا للمستوى. دعونا نكتب في المخروط سطحًا كرويًا مماسًا للمخروط على طول دائرة الأشعة فوق البنفسجية والماس للمستوى عند النقطة F. ارسم خطًا عبر النقطة F الموازية للمولد SA. نشير إلى نقطة تقاطعها مع المصفوفة المولدة SB بواسطة P. وتسمى النقطة F بؤرة القطع المكافئ ، والنقطة P هي رأسها ، والخط PF الذي يمر عبر الرأس والبؤرة (وبالتوازي مع المصفوفة المولدة SA ) يسمى محور القطع المكافئ. لن يكون للقطع المكافئ رأس ثان - نقطة تقاطع محور PF مع المولد الكهربائي SA: هذه النقطة "تذهب إلى ما لا نهاية". دعنا نسمي الدليل (في الترجمة يعني "دليل") الخط q 1 q 2 من تقاطع المستوى مع المستوى الذي تقع فيه الدائرة فوق البنفسجية. خذ نقطة عشوائية M على القطع المكافئ وقم بتوصيلها برأس المخروط S. يلامس الخط MS الكرة عند النقطة D الواقعة على دائرة الأشعة فوق البنفسجية. نقوم بتوصيل النقطة M بالتركيز F وإسقاط MK العمودي من النقطة M إلى الدليل. ثم اتضح أن مسافات النقطة التعسفية M من القطع المكافئ إلى البؤرة (MF) وإلى الدليل (MK) متساوية مع بعضها البعض (الخاصية الرئيسية للقطع المكافئ) ، أي مف = MK. الإثبات: МF = MD (مثل ظل الكرة من نقطة واحدة). دعنا نشير إلى الزاوية بين أي من المصفوفات المولدة للمخروط والمحور ST على أنها q. لنقم بإسقاط المقاطع MD و MK على محور ST. يشكل المقطع MD إسقاطًا على المحور ST ، مساوٍ لـ MDcosc ، حيث أن MD يقع على الشبكة التوليدية للمخروط ؛ يشكل المقطع MK إسقاطًا على المحور ST ، يساوي MKsoc ، نظرًا لأن المقطع MK موازٍ للمركبة المولدة SA. (في الواقع ، الدليل q 1 q 1 عمودي على المستوى ASB. لذلك ، يتقاطع الخط PF مع الدليل عند النقطة L في الزاوية اليمنى. لكن الخطين MK و PF يقعان في نفس المستوى ، و MK أيضًا عمودي إلى الدليل). تتساوى إسقاطات كلا الجزأين MK و MD على محور ST مع بعضها البعض ، نظرًا لأن أحد طرفيها - النقطة M - شائع ، والجزءان الآخران D و K يقعان في مستوى عمودي على محور ST (الشكل. ). ثم МDcosц = MKsоsц أو МD = MK. لذلك ، MF = MK. خاصية 1.(الخاصية البؤرية للقطع المكافئ). المسافة من أي نقطة من القطع المكافئ إلى منتصف الوتر الرئيسي تساوي المسافة التي تفصلها عن الدليل. دليل. النقطة F - نقطة تقاطع الخط QR والوتر الرئيسي. هذه النقطة تقع على محور التناظر Oy. في الواقع ، المثلثات RNQ و ROF متطابقة ، تمامًا مثل المثلثات القائمة الزاوية مثلثات بأرجل مبكرة (NQ = OF ، OR = RN). لذلك ، بغض النظر عن النقطة N التي نأخذها ، فإن الخط QR الذي تم إنشاؤه على طوله سوف يتقاطع مع الوتر الرئيسي في وسطه F. الآن من الواضح أن المثلث FMQ متساوي الساقين. في الواقع ، المقطع MR هو كل من متوسط وارتفاع هذا المثلث. هذا يعني أن MF = MQ. خاصية 2.(خاصية بصرية من القطع المكافئ). أي مماس للقطع المكافئ يصنع زوايا متساوية مع نصف القطر البؤري المرسوم إلى نقطة التماس والشعاع القادم من نقطة الظل والموجّه بشكل مشترك مع المحور (أو ، الأشعة الخارجة من بؤرة واحدة ، المنعكسة من القطع المكافئ ، ستذهب بالتوازي مع المحور). دليل. بالنسبة لنقطة N ملقاة على القطع المكافئ نفسه ، فإن المساواة | FN | = | NH | صحيحة ، وبالنسبة للنقطة N "الكذب في المنطقة الداخلية من القطع المكافئ ، | FN" |<|N"H"|. Если теперь провести биссектрису l угла FМК, то для любой отличной от М точки M" прямой l найдём: | FM "| = | M" K "|> | M" K "| ، أي النقطة M" تقع في المنطقة الخارجية من القطع المكافئ. إذن ، الخط l بأكمله ، باستثناء النقطة M ، يقع في المنطقة الخارجية ، أي المنطقة الداخلية للقطع المكافئ تقع على جانب واحد من l ، مما يعني أن l مماس للقطع المكافئ. يعطي هذا دليلاً على الخاصية البصرية للقطع المكافئ: الزاوية 1 تساوي الزاوية 2 ، لأن l هو منصف الزاوية FMK. 4.2 معادلة القطع المكافئ بناءً على الخاصية الرئيسية للقطع المكافئ ، نقوم بصياغة تعريفه: القطع المكافئ هو مجموعة من جميع النقاط في المستوى ، كل منها على مسافة متساوية من نقطة معينة ، تسمى البؤرة ، وخط مستقيم معين يسمى الدليل . المسافة من التركيز F إلى الدليل تسمى معلمة القطع المكافئ ويتم الإشارة إليها بواسطة p (p> 0). لاشتقاق معادلة القطع المكافئ ، نختار نظام إحداثيات Oxy بحيث يمر محور Ox من خلال التركيز F عموديًا على الدليل في الاتجاه من الدليل إلى F ، ويقع الأصل O في المنتصف بين التركيز والدليل (الشكل 12). في النظام المحدد ، يكون التركيز F (، 0) ، ومعادلة الدليل لها الصيغة x = - ، أو x + = 0. لنفترض أن m (x ، y) نقطة عشوائية للقطع المكافئ. قم بتوصيل النقطة M بـ F. ارسم الجزء MH عموديًا على الدليل. وفقًا لتعريف القطع المكافئ ، MF = MH. باستخدام صيغة المسافة بين نقطتين ، نجد: لذلك ، بتربيع طرفي المعادلة ، نحصل على أولئك. (8) تسمى المعادلة (8) المعادلة الكنسية للقطع المكافئ. 4.3 دراسة أشكال القطع المكافئ وفقًا لمعادلته 1. في المعادلة (8) ، يتم تضمين المتغير y في درجة زوجية ، مما يعني أن القطع المكافئ متماثل حول محور الثور ؛ المحور x هو محور تناظر القطع المكافئ. 2. بما أن c> 0 ، فإنه يتبع من (8) أن x> 0. لذلك ، يقع القطع المكافئ على يمين المحور الصادي. 3. دع x \ u003d 0 ، ثم y \ u003d 0. لذلك ، يمر القطع المكافئ عبر الأصل. 4. مع زيادة غير محدودة في x ، تزداد الوحدة y أيضًا إلى أجل غير مسمى. القطع المكافئ y 2 \ u003d 2 بكسل له الشكل (الشكل) الموضح في الشكل 13. النقطة O (0 ؛ 0) تسمى قمة القطع المكافئ ، الجزء FM \ u003d r يسمى نصف القطر البؤري للنقطة M المعادلات y 2 \ u003d -2 px، x 2 \ u003d - 2 py، x 2 = 2 py (p> 0) تحدد أيضًا القطع المكافئ. 1.5 خاصية الدليل للمقاطع المخروطية .
هنا نثبت أن كل قسم مخروطي غير دائري (غير متدهور) يمكن تعريفه على أنه مجموعة من النقاط M ، نسبة المسافة MF من نقطة ثابتة F إلى المسافة MP من خط ثابت d لا يمر عبر النقطة F تساوي قيمة ثابتة e: حيث F - بؤرة المقطع المخروطي ، والخط المستقيم d هو الدليل ، والنسبة e هي الانحراف. (إذا كانت النقطة F تنتمي إلى السطر d ، فإن الشرط يحدد مجموعة النقاط ، وهي زوج من الخطوط ، أي قسم مخروطي متدهور ؛ بالنسبة إلى e = 1 ، يندمج هذا الزوج من الخطوط في سطر واحد. للإثبات هذا ، ضع في اعتبارك أن المخروط المتشكل من دوران الخط l حول تقاطعه عند النقطة O من الخط المستقيم p ، مكونًا من l الزاوية b< 90є; пусть плоскость р не проходит через вершину конуса и образует с его осью p угол в < 90є (если в = 90є, то плоскость р пересекает конус по окружности). دعونا نكتب كرة K في المخروط الذي يلامس المستوى p عند النقطة F ويلامس المخروط على طول الدائرة S. نشير إلى خط تقاطع المستوى p مع المستوى y للدائرة S في d. دعونا الآن نربط نقطة اعتباطية M ، تقع على الخط A من تقاطع المستوى p والمخروط ، مع الرأس O للمخروط وبالنقطة F ، وإسقاط MP العمودي من M إلى الخط d ؛ تشير أيضًا بواسطة E إلى نقطة تقاطع مولد MO للمخروط مع الدائرة S. علاوة على ذلك ، MF = ME ، كقطع من مماسين للكرة K ، مستمدة من نقطة واحدة M. علاوة على ذلك ، يشكل الجزء ME مع المحور p للمخروط زاوية ثابتة (أي مستقلة عن اختيار النقطة M) ، ويشكل المقطع MP زاوية ثابتة β ؛ لذلك ، فإن إسقاطات هذين المقطعين على المحور p تساوي على التوالي ME cos b و MP cos c. لكن هذه الإسقاطات تتطابق ، حيث أن الجزأين ME و MP لهما أصل مشترك M ، وتكمن نهاياتهما في المستوى y المتعامد على المحور p. لذلك ، ME cos b = MP cos c ، أو ، بما أن ME = MF ، MF cos b = MP cos c ، حيث يتبع ذلك من السهل أيضًا إظهار أنه إذا كانت النقطة M للمستوى p لا تنتمي إلى المخروط ، إذن. وهكذا ، يمكن وصف كل قسم من المخروط الدائري الأيمن بأنه مجموعة من النقاط في المستوى ، والتي من أجلها. من ناحية أخرى ، بتغيير قيم الزاويتين b و c ، يمكننا إعطاء الانحراف أي قيمة e> 0 ؛ علاوة على ذلك ، من اعتبارات التشابه ، ليس من الصعب فهم أن المسافة FQ من البؤرة إلى الدليل تتناسب طرديًا مع نصف قطر r للكرة K (أو المسافة d للمستوى p من الرأس O لـ المخروط). يمكن إثبات أنه من خلال اختيار المسافة d بشكل مناسب ، يمكننا إعطاء المسافة FQ أي قيمة. لذلك ، يمكن وصف كل مجموعة من النقاط M ، والتي يكون لنسبة المسافات من M إلى النقطة الثابتة F والخط الثابت d قيمة ثابتة ، على أنها منحنى تم الحصول عليه في قسم المخروط الدائري الأيمن بواسطة a طائرة. هذا يثبت أنه يمكن أيضًا تعريف الأقسام المخروطية (غير المتدهورة) من خلال الخاصية التي تمت مناقشتها في هذا القسم الفرعي. تسمى خاصية المقاطع المخروطية هذه خاصية الدليل. من الواضح أنه إذا كان c> b ، ثم e< 1; если в = б, то е = 1; наконец, если в < б, то е >1. من ناحية أخرى ، من السهل ملاحظة أنه إذا كانت s> 6 ، فإن المستوى p يتقاطع مع المخروط على طول خط مغلق ؛ إذا كان c = b ، فإن المستوى p يتقاطع مع المخروط على طول خط غير محدود ؛ إذا كان في< б, то плоскость р пересекает обе полы конуса и, следовательно, линия пересечения этой плоскости и конуса состоит из двух (неограниченных) частей или ветвей (рис. 17). المقطع المخروطي الذي من أجله e< 1, называется эллипсом; коническое сечение с эксцентриситетом е = 1 называется параболой; коническое сечение, для которого е >1 يسمى الغلو. تتضمن القطع الناقصة أيضًا دائرة لا يمكن تحديدها بواسطة خاصية الدليل ؛ نظرًا لأن النسبة بالنسبة للدائرة تتحول إلى 0 (لأنه في هذه الحالة β \ u003d 90º) ، يُعتبر بشكل مشروط أن الدائرة عبارة عن قسم مخروطي له انحراف 0. 6. القطع الناقص والقطع الزائد والقطع المكافئ كمقاطع مخروطية قطع ناقص القطع الناقص قام عالم الرياضيات اليوناني القديم مينيكموس ، الذي اكتشف القطع الناقص والقطع الزائد والقطع المكافئ ، بتعريفها على أنها أقسام من مخروط دائري بواسطة مستوى عمودي على أحد المولدات. وقد أطلق على المنحنيات الناتجة أقسامًا ذات زاوية حادة ومستطيلة ومنفرجة الزاوية ، اعتمادًا على الزاوية المحورية للمخروط. الأول ، كما سنرى أدناه ، هو القطع الناقص ، والثاني هو القطع المكافئ ، والثالث هو فرع واحد من القطع الزائد. تم تقديم الأسماء "القطع الناقص" و "القطع الزائد" و "القطع المكافئ" بواسطة Apollonius. تقريبًا بالكامل (7 من أصل 8 كتب) وصلنا عمل أبولونيوس "في الأقسام المخروطية". في هذا العمل ، يعتبر Apollonius كلا طابقين من المخروط ويتقاطع مع المخروط مع الطائرات التي لا تكون بالضرورة متعامدة مع أحد المولدات. نظرية.يحدد قسم أي مخروط دائري مستقيم بواسطة مستوى (لا يمر عبر قمته) منحنى ، والذي يمكن أن يكون قطعًا زائدًا فقط (الشكل 4) ، أو قطعًا مكافئًا (الشكل 5) أو قطع ناقص (الشكل 6). علاوة على ذلك ، إذا تقاطع المستوى مع مستوى واحد فقط من المخروط وعلى طول منحنى مغلق ، فإن هذا المنحنى هو قطع ناقص ؛ إذا تقاطع مستوى مع مستوى واحد فقط على طول منحنى مفتوح ، فإن هذا المنحنى هو قطع مكافئ ؛ إذا تقاطع مستوى القطع مع مستويي المخروط ، فسيتم تشكيل القطع الزائد في القسم. تم اقتراح دليل أنيق على هذه النظرية في عام 1822 بواسطة Dandelin باستخدام الكرات ، والتي تسمى الآن مجالات Dandelin. لنلقِ نظرة على هذا الدليل. دعونا نكتب في مخروط كرتين تلامسان مستوى المقطع П من جوانب مختلفة. أشر بواسطة F1 و F2 إلى نقاط التلامس بين هذا المستوى والأشكال الكروية. لنأخذ نقطة عشوائية M على خط مقطع المخروط بالمستوى P. على المصفوفة المولدة للمخروط الذي يمر عبر M ، نحدد النقطتين P1 و P2 على الدائرة k1 و k2 ، حيث تلمس الكرتان الشكل. مخروط. من الواضح أن MF1 = MP1 مثل مقاطع اثنين مماسين للكرة الأولى الخارجة من M ؛ بالمثل ، MF2 = MP2. لذلك ، MF1 + MF2 = MP1 + MP2 = P1P2. طول المقطع P1P2 هو نفسه بالنسبة لجميع النقاط M من قسمنا: إنه المصفوفة المولدة لمخروط مقطوع يحده مستويان متوازيان 1 و 11 ، حيث تقع الدائرتان k1 و k2. لذلك ، فإن خط المقطع للمخروط بالمستوى P عبارة عن قطع ناقص مع البؤرتين F1 و F2. يمكن أيضًا إثبات صحة هذه النظرية على أساس الموقف العام بأن تقاطع سطح من الدرجة الثانية بواسطة مستوى هو خط من الدرجة الثانية. الأدب
1. أتاناسيان إل إس ، بازيليف ف. الهندسة. في ساعتين الجزء الأول. كتاب مدرسي لطلاب الفيزياء والرياضيات. بيد. الرفيق م: التنوير ، 1986. 2. Bazylev V.T. إلخ الهندسة. بروك. بدل لطلاب السنة الأولى في الفيزياء. - حصيرة. حقائق بيد. في. - الرفيق م: التربية ، 1974. 3. Pogorelov A.V. الهندسة. بروك. لـ7-11 خلية. متوسط مدرسة - الطبعة الرابعة - م: التنوير ، 1993. 4. تاريخ الرياضيات من العصور القديمة إلى بداية القرن التاسع عشر. يوشكيفيتش أ. - م: نوكا ، 1970. 5. Boltyansky V.G. الخصائص البصرية للقطع الناقص والقطع الزائد والقطع المكافئ. // الكم. - 1975. - رقم 12. - مع. 19 - 23. 6. Efremov N.V. دورة قصيرة في الهندسة التحليلية. - م: نوكا ، الطبعة السادسة ، 1967. - 267 ص. مفهوم المقاطع المخروطية. المقاطع المخروطية - تقاطعات المستويات والأقماع. أنواع المقاطع المخروطية. بناء المقاطع المخروطية. القسم المخروطي هو موضع النقاط التي تحقق معادلة من الدرجة الثانية. الملخص ، تمت إضافة 05.10.2008 "المقاطع المخروطية" من أبولونيوس. اشتقاق معادلة المنحنى لجزء من مخروط مستطيل للثورة. اشتقاق معادلة القطع المكافئ والقطع الناقص والقطع الزائد. ثبات المقاطع المخروطية. مزيد من التطوير لنظرية المقاطع المخروطية في أعمال أبولونيوس. الملخص ، تمت الإضافة في 02/04/2010 المفهوم والمعلومات التاريخية عن المخروط وخصائص عناصره. ملامح تشكيل مخروط وأنواع المقاطع المخروطية. بناء مجال Dandelin ومعاييره. تطبيق خصائص المقاطع المخروطية. حسابات مساحات أسطح المخروط. عرض تقديمي ، تمت الإضافة بتاريخ 04/08/2012 المفهوم الرياضي للمنحنى. المعادلة العامة لمنحنى الرتبة الثانية. معادلات الدائرة والقطع الناقص والقطع الزائد والقطع المكافئ. محاور تناظر القطع الزائد. دراسة شكل القطع المكافئ. منحنيات الرتبة الثالثة والرابعة. حليقة أنجيسي ، ورقة ديكارتي. أطروحة تمت إضافة 10/14/2011 مراجعة وتوصيف الطرق المختلفة لبناء أقسام المجسمات المتعددة السطوح ، وتحديد نقاط القوة والضعف فيها. طريقة الأقسام المساعدة كطريقة عالمية لبناء أقسام متعددة السطوح. أمثلة على حل المشكلات في موضوع البحث. عرض تقديمي ، تمت إضافة 01/19/2014 المعادلة العامة لمنحنى الرتبة الثانية. رسم معادلات القطع الناقص والدائرة والقطع الزائد والقطع المكافئ. الانحراف اللامركزي للقطع الزائد. تركيز وإخراج القطع المكافئ. تحويل المعادلة العامة إلى الشكل المتعارف عليه. اعتماد نوع المنحنى على الثوابت. عرض تقديمي ، تمت إضافة 11/10/2014 عناصر هندسة المثلث: اقتران متساوي ومتساوي ، ونقاط وخطوط ملحوظة. المخروطيات المرتبطة بالمثلث: خصائص المقاطع المخروطية ؛ مخروطات محصورة حول مثلث ومكتوبة فيه ؛ تطبيق لحل المشكلة. ورقة مصطلح ، تمت إضافة 06/17/2012 القطع الناقص ، القطع الزائد ، القطع المكافئ كمنحنيات من الدرجة الثانية تستخدم في الرياضيات العليا. مفهوم منحنى الدرجة الثانية هو خط على مستوى يتم تحديده في بعض أنظمة الإحداثيات الديكارتية بواسطة معادلة. نظرية باسكامل ونظرية بريانشون. الملخص ، تمت الإضافة في 01/26/2011 حول أصل مشكلة مضاعفة المكعب (إحدى المشاكل الخمسة الشهيرة في العصور القديمة). أول محاولة معروفة لحل المشكلة ، حل Archit of Tarentum. حل المشكلات في اليونان القديمة بعد أرشيتاس. الحلول باستخدام المقاطع المخروطية من Menechmus و Eratosthenes. الملخص ، تمت إضافة 2014/04/13 الأنواع الرئيسية لمقطع المخروط. قسم يتكون من مستوى يمر عبر محور المخروط (محوري) ومن خلال قمته (المثلث). تشكيل مقطع بواسطة مستوي موازٍ (مكافئ) ، عمودي (دائرة) وليس عموديًا (قطع ناقص) على المحور. يتكون العمل التشخيصي من جزأين ، بما في ذلك 19 مهمة. يحتوي الجزء الأول على 8 مهام بمستوى أساسي من التعقيد بإجابة قصيرة. يحتوي الجزء 2 على 4 مهام بمستوى متزايد من التعقيد مع إجابة قصيرة و 7 مهام بمستوى عالٍ من التعقيد مع إجابة مفصلة.
مؤسسة تعليمية بلدية مدرسة Alekseevskaya الثانوية "مركز التعليم" تطوير الدرس الموضوع: مخروط دائري مباشر. قسم المخروط بالطائرات مدرس رياضيات السنة الأكاديمية الموضوع: مخروط دائري مباشر. قسم المخروط بالطائرات. الغرض من الدرس:لتحليل تعريفات المخروط والمفاهيم الفرعية (قمة الرأس ، القاعدة ، المولدات ، الارتفاع ، المحور) ؛ ضع في الاعتبار أقسام المخروط التي تمر عبر الرأس ، بما في ذلك الأجزاء المحورية ؛ لتعزيز تنمية الخيال المكاني للطلاب. أهداف الدرس: التعليمية:
لدراسة المفاهيم الأساسية لجسم الثورة (مخروط). النامية:
لمواصلة تكوين مهارات التحليل والمقارنة. القدرة على تسليط الضوء على الشيء الرئيسي ، لصياغة الاستنتاجات. التعليمية:
تنمية اهتمام الطلاب بالتعلم وغرس مهارات الاتصال. نوع الدرس:محاضرة. طرق التدريس:التكاثر ، إشكالية ، البحث الجزئي. معدات:الجدول ، نماذج الهيئات الثورة ، معدات الوسائط المتعددة. خلال الفصول أنا.
تنظيم الوقت. في الدروس السابقة ، تعرفنا بالفعل على أجسام الثورة وتناولنا مفهوم الأسطوانة بمزيد من التفصيل. يمكنك رؤية رسمين على الجدول ، وعمل في أزواج ، قم بصياغة الأسئلة الصحيحة حول الموضوع الذي يتم تناوله. P. فحص الواجبات المنزلية. اعمل في أزواج باستخدام جدول موضوعي (منشور منقوش في أسطوانة ومنشور موصوف بالقرب من الأسطوانة). على سبيل المثال ، في أزواج وفردي ، يمكن للطلاب طرح الأسئلة التالية: ما هي الأسطوانة الدائرية (مولد الأسطوانة ، قواعد الأسطوانة ، السطح الجانبي للأسطوانة)؟ ما المنشور يسمى نقش بالقرب من الاسطوانة؟ أي مستوى يسمى مماس الاسطوانة؟ ما هي الأشكال المضلعات؟ ABC,
أ1
ب1
ج1
,
ABCDEوأ1
ب1
ج1
د1
ه1
?
-
أي نوع من المنشور هو المنشور ABCDEABCDE؟ (مستقيملي.) -
إثبات أنه منشور مستقيم. (اختياريًا يقوم زوجان من الطلاب على السبورة بالعمل) ثالثا.
تحديث المعرفة الأساسية. وفقًا لمواد قياس الكواكب: نظرية طاليس. خصائص خط الوسط للمثلث ؛ مساحة الدائرة. وفقًا لمواد القياس الفراغي: مفهوم متجانسة. الزاوية بين الخط والمستوى. رابعا.تعلم مواد جديدة. (المجموعة التربوية والمنهجية "Live Mathematics »,
المرفق 1.) بعد تقديم المادة ، يتم اقتراح خطة عمل: 1. تعريف المخروط. 2. تعريف المخروط الأيمن. 3. عناصر المخروط. 4. تطوير المخروط. 5. الحصول على مخروط كجسم ثورة. 6. أنواع أقسام المخروط. سيجد الطلاب إجابات لهذه الأسئلة بأنفسهم.الأطفال في الفقرات 184-185 ، مرافقة لهم بالرسومات. وقفة Valeological:مرهق؟ دعونا نستريح قبل المرحلة العملية التالية من العمل! تدليك مناطق الانعكاس على الأذن المسؤولة عن العمل اعضاء داخلية; · تدليك مناطق الانعكاس على راحتي اليدين. الجمباز للعيون (الحول وفتح عينيك بحدة) ؛ شد العمود الفقري (ارفع ذراعيك ، واسحب نفسك بيمينك ، ثم بيدك اليسرى) تمارين التنفس تهدف إلى تشبع الدماغ بالأكسجين (يستنشق بحدة من خلال الأنف 5 مرات) يتم تجميع جدول موضوعي (مع المعلم) ، مصحوبًا بإكمال الجدول بالأسئلة والمواد الواردة من مصادر مختلفة (الكتاب المدرسي وعرض الكمبيوتر) "مخروط. فروستم ". موضوعيطاولة 1. مخروط (مستقيم ، دائري) يسمى الجسم الذي تم الحصول عليه بالتناوب مثلث قائمحول الخط المستقيم الذي يحتوي على الساق. نقطة م -
قمة الرأسمخروط ، دائرة مع المركز عن –
قاعدةمخروط، القطعة المستقيمة ماجستير=ل عنالناميةمخاريط ، قطعة شهر= ح
-
ارتفاع مخروط, القطعة المستقيمة OA= ص - نصف قطر القاعدة، شريحة شمس= 2
ص -
قطر القاعدةالفانيا, مثلث MVS -قسم محوري, <
BMC -
ركن في الجزء العلوي من المقطع المحوري, <
MBO -
ركنمنحدر عامل التوليد إلى المستوىعظام القاعدة _________________________________________
2.
تطوير المخروط- قطاع <
BMBl = أ
- زاوية الاجتياح. طول قوس الاجتياح بكف 1 = 2π
ص
=
لا
.
مساحة السطح الجانبي S. = π
ص
ل
إجمالي مساحة السطح (مساحة المسح) S = π
ص
(
ل
+
ص
)
مخروطيسمى الجسم ، ويتكون من دائرة - أسبابمخروط ، نقطة لا تقع في مستوى هذه الدائرة ، - القممالمخروط وجميع الأجزاء التي تربط الجزء العلوي من المخروط بنقاط القاعدة - مولدات كهرباء ______________________________ 3. أقسام المخروط بالطائرات قسم من مخروط يمر به طائرة من خلال الجزء العلوي من المخروط, - مثلث متساوي الساقين AMV: AM = VM - مولدات المخروط ، AB - وتر ؛ قسم محوري- مثلث متساوي الساقين AMB: AM = BM - مولدات المخروط ، AB - قطر القاعدة. قسم المخروط بمستوى عمودي على محور المخروط ، - دائرة; بزاوية على محور المخروط - الشكل البيضاوي. المخروطييسمى جزء المخروط المحاط بالقاعدة وقسم المخروط الموازي للقاعدة. الدوائر مع المراكز 01
و ا2
-
القاعدة العلوية والسفليةالمخروطي، د وص
-
نصف قطر القاعدة, القطعة المستقيمة AB= ل
- مولداتريكس, ά
- زاوية انحدار المولدالى الطائرةأسفل القاعدة، القطعة المستقيمة 01O2 -ارتفاع(المسافة بين مستويأسباب), شبه منحرف ا ب ت ث -
قسم محوري. الخامس.إصلاح المادة. العمل الأمامي. · شفهيا (باستخدام رسم جاهز)تم حل رقم 9 ورقم 10. (يشرح طالبان حل المشكلات ، ويمكن للباقي تدوين ملاحظات موجزة في دفاتر الملاحظات) رقم 9. نصف قطر قاعدة المخروط 3 أمتار ، وارتفاعه 4 أمتار. ابحث عن المولد. (حل:ل=√
ص2
+
ح2
= √32 + 42 = √25 = 5 م). رقم 10 تشكيل مخروط ليميل إلى مستوى القاعدة بزاوية 30 درجة. أوجد الارتفاع. (حل:ح =
ل الخطيئة 30◦ =
ل|2.)
· حل المشكلة وفقًا للرسم النهائي. ارتفاع المخروط h. من خلال المولدات ماجستيرو ميغا بايتيتم رسم مستوى يصنع زاوية أمع مستوى قاعدة المخروط. وتر ABيقيد قوسًا بقياس درجة تم العثور على R. 1. إثبات أن الجزء المخروطي بالطائرة مركبة الصعود من المريخ- مثلث متساوي الساقين. 2. اشرح كيفية بناء الزاوية الخطية لزاوية ثنائية السطوح تتكون من المستوى القاطع ومستوى قاعدة المخروط. 3. البحث آنسة. 4. ضع (واشرح) خطة لحساب طول الوتر ABومنطقة مقطعية مركبة الصعود من المريخ. 5. وضح في الشكل كيف يمكنك رسم عمودي من نقطة عنإلى مستوى المقطع مركبة الصعود من المريخ(تبرير البناء). · تكرار: مادة مدروسة من قياس الكواكب: تعريف مثلث متساوي الساقين ؛ خصائص مثلث متساوي الساقين ؛ مساحة المثلث المواد المدروسة من القياس الفراغي: تحديد الزاوية بين المستويات ؛ طريقة لتكوين زاوية خطية لزاوية ثنائية السطوح. اختبار ذاتي 1. ارسم أجسامًا ثورية مكونة من دوران الأشكال المسطحة الموضحة بالشكل. 2. أشر إلى الدوران الذي أنتج منه الشكل المسطح جسم الثورة المصور. (ب)
أولئك. من جانب التقعر.وثائق مماثلة
3 ساعات و 55 دقيقة (235 دقيقة) مخصصة لأداء عمل تشخيصي في الرياضيات.
تتم كتابة إجابات المهام من 1 إلى 12 في صورة عدد صحيح أو كسر عشري نهائي. اكتب الأرقام في حقول الإجابة في نص العمل ، ثم انقلها إلى ورقة الإجابة رقم 1. عند إكمال المهام 13-19 ، تحتاج إلى تدوين الحل الكامل والإجابة على ورقة الإجابة رقم 1. 2.
جميع النماذج مكتملة بالحبر الأسود الفاتح. يُسمح باستخدام أقلام الجل أو الشعيرات الدموية أو النافورة.
عند إكمال المهام ، يمكنك استخدام مسودة. لا تحتسب إدخالات المسودة في تقييم العمل.
يتم تلخيص النقاط التي تحصل عليها للمهام المكتملة.
نتمنى لكم التوفيق!شروط المهمة
ب) أوجد كل جذور هذه المعادلة التي تنتمي إلى المقطع
أ) إثبات أن المثلث الناتج مثلث منفرج.
ب) أوجد المسافة من المركز عنقاعدة المخروط على مستوى المقطع.
أ) إثبات ذلك MN = AC.
ب) البحث نظام التشغيل ،إذا كانت جوانب المثلث ABCهي 5 و 5 و 8.
الحل الوحيد
أ) هل يمكن أن تستمر اللعبة بثلاث حركات بالضبط؟
ب) هل هناك رقمان أوليان بحيث تستمر اللعبة 9 حركات على الأقل؟
ج) قامت أنيا بالخطوة الأولى في اللعبة. أوجد أكبر نسبة ممكنة لمنتج العددين اللذين تم الحصول عليهما
دائرة ودائرة.
