المعادلات التربيعية والمتباينات ذات المعلمة. كتاب "المعادلات والمتباينات مع المعلمات" مؤتمر حل المعادلات والمتباينات مع المعلمات

عمل الدورة

المؤدي: Bugrov S K.

غالبًا ما تؤدي دراسة العديد من العمليات الفيزيائية والأنماط الهندسية إلى حل المشكلات المتعلقة بالمعلمات. تقوم بعض الجامعات أيضًا بتضمين المعادلات والمتباينات وأنظمتها في أوراق الامتحانات، والتي غالبًا ما تكون معقدة للغاية وتتطلب نهجًا غير قياسي في الحل. في المدرسة، يعتبر هذا أحد أصعب أقسام دورة الرياضيات المدرسية فقط في عدد قليل من الفصول الاختيارية.

في إعداد هذا العمل، حددت هدف دراسة أعمق لهذا الموضوع، وتحديد الحل الأكثر عقلانية الذي يؤدي بسرعة إلى الإجابة. في رأيي، الطريقة الرسومية هي طريقة مريحة وسريعة لحل المعادلات والمتباينات ذات المعلمات.

يناقش مقالي أنواع المعادلات والمتباينات وأنظمتها التي نواجهها بشكل متكرر، وآمل أن تساعدني المعرفة التي اكتسبتها في عملية العمل عند اجتياز الامتحانات المدرسية وعند الالتحاق بالجامعة.

§ 1. التعاريف الأساسية

خذ بعين الاعتبار المعادلة

¦(أ، ب، ج، …، ك، س)=ي(أ، ب، ج، …، ك، س)، (1)

حيث a، b، c، …، k، x هي كميات متغيرة.

أي نظام القيم المتغيرة

أ = أ0، ب = ب0، ج = ج0، …، ك = ك0، س = x0،

الذي يأخذ فيه الطرفان الأيسر والأيمن من هذه المعادلة قيما حقيقية يسمى نظام القيم المسموح بها للمتغيرات a، b، c، ...، k، x. لتكن A مجموعة كل القيم المسموح بها لـ a، B تكون مجموعة كل القيم المسموح بها لـ b، وما إلى ذلك، X تكون مجموعة كل القيم المسموح بها لـ x، أي. أها، ب ب، …، سإكس. إذا قمنا باختيار قيمة واحدة لكل مجموعة A، B، C، …، K، على التوالي، وثبتها a، b، c، …، k واستبدلناها في المعادلة (1)، فإننا نحصل على معادلة لـ x، أي. معادلة ذات مجهول واحد

المتغيرات a، b، c، ...، k، والتي تعتبر ثابتة عند حل المعادلة، تسمى المعلمات، وتسمى المعادلة نفسها معادلة تحتوي على معلمات.

يتم تحديد المعلمات بالأحرف الأولى من الأبجدية اللاتينية: a، b، c، d، ...، k، l، m، n، ويتم تحديد المجهولات بواسطة الحروف x، y، z.

إن حل معادلة ذات معلمات يعني الإشارة إلى قيم حلول المعلمات الموجودة وما هي عليه.

تسمى المعادلتان اللتان تحتويان على نفس المعلمات معادلتين إذا:

أ) أنها منطقية لنفس قيم المعلمات؛

ب) كل حل للمعادلة الأولى هو حل للمعادلة الثانية والعكس صحيح.

§ 2. خوارزمية الحل.

أوجد مجال تعريف المعادلة.

نعبر عن a كدالة لـ x.

في نظام الإحداثيات xOa، نقوم ببناء رسم بياني للدالة a=¦(x) لقيم x المضمنة في مجال تعريف هذه المعادلة.

نجد نقاط تقاطع الخط a=c، حيث cÎ(-¥;+¥) مع الرسم البياني للدالة a=¦(x) إذا كان الخط a=c يتقاطع مع الرسم البياني a=¦(x). ، ثم نحدد حدود نقاط التقاطع. للقيام بذلك، يكفي حل المعادلة a=¦(x) لـ x.

نكتب الجواب.

أولا: حل المعادلة

(1)

بما أن x=0 ليس جذرًا للمعادلة، فيمكن حل المعادلة من أجل:

أو

الرسم البياني للدالة عبارة عن قطعتين زائدتين "ملتصقتين". يتم تحديد عدد حلول المعادلة الأصلية من خلال عدد نقاط تقاطع الخط المبني والخط المستقيم y=a.

إذا كانت О (-¥;-1]П(1;+¥)П

، فإن الخط المستقيم y=a يتقاطع مع الرسم البياني للمعادلة (1) عند نقطة واحدة. سنجد حدود هذه النقطة عند حل معادلة x.

وبالتالي، في هذه الفترة، المعادلة (1) لها حل

. ، فإن الخط المستقيم y=a يتقاطع مع الرسم البياني للمعادلة (1) عند نقطتين. يمكن العثور على حروف هذه النقاط من المعادلات و نحصل عليها و . ، فإن المستقيم y=a لا يتقاطع مع الرسم البياني للمعادلة (1)، وبالتالي لا توجد حلول.

إذا كانت О (-¥;-1]П(1;+¥)П

، الذي - التي ؛ ، الذي - التي ، ؛ ، ثم لا توجد حلول.

ثانيا. ابحث عن جميع قيم المعلمة a التي المعادلة لها

له ثلاثة جذور مختلفة.

إعادة كتابة المعادلة كما

وبعد فحص زوج من الوظائف، يمكنك ملاحظة أن القيم المطلوبة للمعلمة a وأنها فقط ستتوافق مع مواضع الرسم البياني للوظيفة التي بها ثلاث نقاط تقاطع بالضبط مع الرسم البياني للوظيفة .

في نظام الإحداثيات xOy سنقوم ببناء رسم بياني للوظيفة

). للقيام بذلك، يمكننا تمثيلها في النموذج، وبعد النظر في أربع حالات ناشئة، نكتب هذه الوظيفة في النموذج

منذ الرسم البياني للوظيفة

- هذا خط مستقيم له زاوية ميل لمحور الثور تساوي، ويتقاطع مع محور أوي عند نقطة ذات إحداثيات (0، أ)، نستنتج أنه لا يمكن الحصول على نقاط التقاطع الثلاثة المشار إليها إلا في حالة يمس هذا الخط الرسم البياني للوظيفة. لذلك، نجد المشتقة.

ثالثا. ابحث عن جميع قيم المعلمة a، لكل منها نظام المعادلات

لديها حلول.

من المعادلة الأولى للنظام نحصل عليها

لذلك، تحدد هذه المعادلة عائلة من "شبه القطع المكافئ" - الفروع اليمنى للقطع المكافئ "تنزلق" مع رؤوسها على طول محور الإحداثي السيني.

لنختار المربعات الكاملة على الجانب الأيسر من المعادلة الثانية ونقوم بتحليلها

العديد من نقاط الطائرة

تلبية المعادلة الثانية خطين مستقيمين و

دعونا نتعرف على قيم المعلمة التي يحتوي منحنى من عائلة "semiparabolas" على نقطة مشتركة واحدة على الأقل مع أحد الخطوط المستقيمة الناتجة.

حل عدم المساواة مع المعلمة.

المتباينات التي لها الصيغة ax > b, ax< b, ax ≥ b, ax ≤ b, где a и b – действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестная величина, называются المتباينات الخطية.

تتشابه مبادئ حل المتباينات الخطية باستخدام المعلمة إلى حد كبير مع مبادئ حل المعادلات الخطية باستخدام المعلمة.

مثال 1.

حل المتراجحة 5x – a > ax + 3.

حل.

أولاً، دعونا نحول المتباينة الأصلية:

5x - ax > a + 3، لنضع x على الجانب الأيسر من المتراجحة خارج الأقواس:

(5 – أ)x > a + 3. الآن فكر في الحالات المحتملة للمعلمة a:

إذا كان a> 5، ثم x< (а + 3) / (5 – а).

إذا كان a=5 فلا توجد حلول.

اذا كان< 5, то x >(أ + 3) / (5 – أ).

سيكون هذا الحل هو الحل لعدم المساواة.

مثال 2.

حل المتراجحة x(a – 2) / (a – 1) – 2a/3 ≥ 2x – a لـ ≠ 1.

حل.

دعونا نحول عدم المساواة الأصلية:

س(أ – 2) / (أ – 1) – 2س ≥ 2أ/3 – أ;

آه/(أ – 1) ≥ -أ/3. بضرب طرفي المتراجحة في (-1) نحصل على:

الفأس/(أ – 1) ≥ أ/3. دعونا نستكشف الحالات المحتملة للمعلمة أ:

1 حالة. اجعل a/(a – 1) > 0 أو € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞). ثم س ≥ (أ – 1)/3.

الحالة 2. دع a/(a – 1) = 0، أي أ = 0. إذن x هو أي رقم حقيقي.

الحالة 3. دع أ/(أ – 1)< 0 или а € (0; 1). Тогда x ≤ (а – 1)/3.

الجواب: س € [(أ - 1)/3؛ +∞) لـ € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞);
× € [-∞؛ (أ – 1)/3] لـ € (0؛ 1)؛
س € R ل = 0.

مثال 3.

حل المتراجحة |1 + x| ≥ الفأس نسبة إلى x.

حل.

ويترتب على ذلك شرط أن يكون الجانب الأيمن من فأس المتباينة غير سالب، أي. الفأس ≥ 0. بقاعدة كشف الوحدة من المتراجحة |1 + x| ≥ الفأس لدينا عدم المساواة المزدوجة

الفأس ≥ 1 + س ≥ الفأس. دعنا نعيد كتابة النتيجة في شكل نظام:

(الفأس ≥ 1 + س؛
(-الفأس ≥ 1 + س.

فلنحولها إلى:

((أ - 1)س ≥ 1؛
((أ + 1)س ≥ -1.

وندرس النظام الناتج على فترات وعند نقاط (رسم بياني 1):

لـ ≥ -1 x € (-∞; 1/(a – 1)].

في 1< а < 0 x € [-1/(а – 1); 1/(а – 1)].

عندما أ = 0 س = -1.

عند 0< а ≤ 1 решений нет.

طريقة رسومية لحل عدم المساواة

يؤدي رسم الرسوم البيانية إلى تبسيط حل المعادلات التي تحتوي على معلمة إلى حد كبير. يعد استخدام الطريقة الرسومية عند حل المتباينات باستخدام المعلمة أكثر وضوحًا وسرعة.

حل المتباينات بيانياً بالشكل f(x) ≥ g(x) يعني إيجاد قيم المتغير x الذي يقع الرسم البياني للدالة f(x) فوق الرسم البياني للدالة g(x). للقيام بذلك، من الضروري دائمًا العثور على نقاط تقاطع الرسوم البيانية (إذا كانت موجودة).

مثال 1.

حل المتراجحة |x + 5|< bx.

حل.

نقوم ببناء الرسوم البيانية للوظائف y = |x + 5| و ص = ب س (الصورة 2). سيكون حل عدم المساواة هو قيم المتغير x الذي يكون الرسم البياني للدالة y = |x + 5| سيكون أسفل الرسم البياني للدالة y = bx.

تظهر الصورة:

1) بالنسبة إلى b > 1، تتقاطع الخطوط. إن حدود نقطة تقاطع الرسوم البيانية لهذه الوظائف هي الحل للمعادلة x + 5 = bx، حيث x = 5/(b – 1). الرسم البياني y = bx يقع في الأعلى عند x من الفاصل الزمني (5/(b – 1); +∞)، مما يعني أن هذه المجموعة هي الحل للمتباينة.

2) وبالمثل نجد ذلك عند -1< b < 0 решением является х из интервала (-5/(b + 1); 5/(b – 1)).

3) بالنسبة لـ b ≥ -1 x € (-∞; 5/(b – 1)).

4) بالنسبة إلى 0 ≥ b ≥ 1، لا تتقاطع الرسوم البيانية، مما يعني أن المتراجحة ليس لها حلول.

الإجابة: x € (-∞; 5/(b – 1)) لـ b ≥ -1;
× € (-5/(ب + 1)؛ 5/(ب – 1)) عند -1< b < 0;
لا توجد حلول لـ 0 ≥ b ≥ 1؛ x € (5/(b – 1); +∞) لـ b > 1.

مثال 2.

حل المتراجحة a(a + 1)x > (a + 1)(a + 4).

حل.

1) لنجد قيم "التحكم" للمعلمة a: a 1 = 0، و 2 = -1.

2) دعونا نحل هذه المتباينة في كل مجموعة فرعية من الأعداد الحقيقية: (-∞; -1); (-1)؛ (-10)؛ (0)؛ (0؛ +∞).

أ) أ< -1, из данного неравенства следует, что х >(أ + 4)/أ؛

ب) أ = -1، فإن هذه المتراجحة ستأخذ الشكل 0 x > 0 - لا توجد حلول؛

ج) -1< a < 0, из данного неравенства следует, что х < (a + 4)/a;

د) أ = 0، فإن هذه المتباينة لها الشكل 0 x > 4 - لا توجد حلول؛

ه) أ > 0، من هذا عدم المساواة يتبع ذلك س > (أ + 4)/أ.

مثال 3.

حل المتراجحة |2 – |x||< a – x.

حل.

نقوم ببناء رسم بياني للدالة y = |2 – |x|| (تين. 3)وفكر في جميع الحالات المحتملة لموقع الخط المستقيم y = -x + a.

الإجابة: ليس للمتباينة حلول لـ ≥ -2؛
x € (-∞; (a – 2)/2) لـ € (-2; 2];
x € (-∞; (a + 2)/2) لـ a > 2.

عند حل المشكلات المختلفة والمعادلات والمتباينات مع المعلمات، يتم اكتشاف عدد كبير من التقنيات الإرشادية، والتي يمكن بعد ذلك تطبيقها بنجاح في أي فرع آخر من فروع الرياضيات.

تلعب مشاكل المعلمات دورًا مهمًا في تكوين التفكير المنطقي والثقافة الرياضية. لهذا السبب، بعد أن أتقنت أساليب حل المشكلات باستخدام المعلمات، ستتعامل بنجاح مع المشكلات الأخرى.

لا تزال لديك أسئلة؟ لا أعرف كيفية حل عدم المساواة؟
للحصول على مساعدة من المعلم، قم بالتسجيل.
الدرس الأول مجاني!

موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر.

نوع الوظيفة: 18

حالة

ما هي قيم المعلمة a التي تؤدي إلى عدم المساواة

\log_(5)(4+a+(1+5a^(2)-\cos^(2)x) \cdot\sin x - a \cos 2x) \leq 1راضٍ عن جميع قيم x؟

عرض الحل

حل

وهذا المتباين يعادل المتباينة المزدوجة 0 < 4+a+(5a^{2}+\sin^{2}x) \sin x+ أ(2 \sin^(2)x-1) \leq 5 .

دع \sin x=t ، ثم نحصل على عدم المساواة:

4 < t^{3}+2at^{2}+5a^{2}t \leq 1 \: (*) ، والتي يجب تنفيذها لجميع قيم -1 \leq t \leq 1 . إذا كانت a=0، فإن عدم المساواة (*) ينطبق على أي t\in [-1;1] .

دع \neq 0 . الدالة f(t)=t^(3)+2at^(2)+5a^(2)t تزداد على الفترة [-1;1] ، منذ المشتقة f"(t)=3t^(2) +4at +5a^(2) > 0 لجميع قيم t \in \mathbb(R) وa \neq 0 (المميز D< 0 и старший коэффициент больше нуля).

سيتم تحقيق عدم المساواة (*) لـ t \in [-1;1] في ظل الظروف

\begin(cases) f(-1) > -4, \\ f(1) \leq 1, \\ a \neq 0; \end(cases)\: \Leftrightarrow \begin(cases) -1+2a-5a^(2) > -4, \\ 1+2a+5a^(2) \leq 1, \\ a \neq 0; \end(cases)\: \Leftrightarrow \begin(الحالات) 5a^(2)-2a-3< 0, \\ 5a^{2}+2a \leq 0, \\ a \neq 0; \end{cases}\: \Leftrightarrow -\frac(2)(5)\leq أ< 0 .

لذلك، يتم استيفاء الشرط عندما -\frac(2)(5) \leq a \leq 0 .

إجابة

\left [ -\frac(2)(5); 0\يمين]

المصدر: "الرياضيات. التحضير لامتحان الدولة الموحدة 2016. مستوى الملف الشخصي." إد. F. F. ليسينكو، S. Yu.

نوع الوظيفة: 18
الموضوع: عدم المساواة مع المعلمة

حالة

ابحث عن جميع قيم المعلمة a، لكل منها عدم المساواة

x^2+3|x-a|-7x\leqslant -2a

لديه حل فريد من نوعه.

عرض الحل

حل

إن عدم المساواة يعادل مجموعة من أنظمة عدم المساواة

\left[\!\!\begin(array)(l) \begin(cases) x \geqslant a, \\ x^2+3x-3a-7x+2a\leqslant0; \end(cases) \\ \begin(cases)x \left[\!\!\begin(array)(l) \begin(cases) x \geqslant a, \\ x^2-4x-a\leqslant0; \end(cases) \\ \begin(cases)x \left[\!\!\begin(array)(l) \begin(cases) a \leqslant x, \\ a\geqslant x^2-4x; \end(cases) \\ \begin(cases)a>x, \\ a\leqslant -\frac(x^2)(5)+2x. \end(cases)\end(array)\right.

في نظام الإحداثيات أوكسا، سنقوم ببناء الرسوم البيانية للوظائف أ=س، أ=س^2-4x، أ=-\frac(x^2)(5)+2x.

يتم تلبية المجموعة الناتجة بالنقاط الموجودة بين الرسوم البيانية للوظائف أ=س^2-4س، أ=-\فارك(س^2)(5)+2سعلى الفاصل الزمني x\in (المنطقة المظللة).

من الرسم البياني نحدد: المتباينة الأصلية لها حل فريد لـ a=-4 وa=5، حيث أنه في المنطقة المظللة ستكون هناك نقطة واحدة بإحداثيات يساوي -4 ويساوي 5.

حل عدم المساواة مع المعلمة.

مثال 1.

حل المتراجحة 5x – a > ax + 3.

حل.

أولاً، دعونا نحول المتباينة الأصلية:

5x - ax > a + 3، لنضع x على الجانب الأيسر من المتراجحة خارج الأقواس:

(5 – أ)x > a + 3. الآن فكر في الحالات المحتملة للمعلمة a:

إذا كان a> 5، ثم x< (а + 3) / (5 – а).

إذا كان a=5 فلا توجد حلول.

اذا كان< 5, то x >(أ + 3) / (5 – أ).

سيكون هذا الحل هو الحل لعدم المساواة.

مثال 2.

حل المتراجحة x(a – 2) / (a – 1) – 2a/3 ≥ 2x – a لـ ≠ 1.

حل.

دعونا نحول عدم المساواة الأصلية:

س(أ – 2) / (أ – 1) – 2س ≥ 2أ/3 – أ;

آه/(أ – 1) ≥ -أ/3. بضرب طرفي المتراجحة في (-1) نحصل على:

الفأس/(أ – 1) ≥ أ/3. دعونا نستكشف الحالات المحتملة للمعلمة أ:

1 حالة. اجعل a/(a – 1) > 0 أو € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞). ثم س ≥ (أ – 1)/3.

الحالة 2. دع a/(a – 1) = 0، أي أ = 0. إذن x هو أي رقم حقيقي.

الحالة 3. دع أ/(أ – 1)< 0 или а € (0; 1). Тогда x ≤ (а – 1)/3.

الجواب: س € [(أ - 1)/3؛ +∞) لـ € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞);
× € [-∞؛ (أ – 1)/3] لـ € (0؛ 1)؛
س € R ل = 0.

مثال 3.

حل المتراجحة |1 + x| ≥ الفأس نسبة إلى x.

حل.

الفأس ≥ 1 + س ≥ الفأس. دعنا نعيد كتابة النتيجة في شكل نظام:

(الفأس ≥ 1 + س؛
(-الفأس ≥ 1 + س.

فلنحولها إلى:

((أ - 1)س ≥ 1؛
((أ + 1)س ≥ -1.

وندرس النظام الناتج على فترات وعند نقاط (رسم بياني 1):

لـ ≥ -1 x € (-∞; 1/(a – 1)].

في 1< а < 0 x € [-1/(а – 1); 1/(а – 1)].

عندما أ = 0 س = -1.

عند 0< а ≤ 1 решений нет.

طريقة رسومية لحل عدم المساواة

مثال 1.

حل المتراجحة |x + 5|< bx.

حل.

تظهر الصورة:

2) وبالمثل نجد ذلك عند -1< b < 0 решением является х из интервала (-5/(b + 1); 5/(b – 1)).

3) بالنسبة لـ b ≥ -1 x € (-∞; 5/(b – 1)).

4) بالنسبة إلى 0 ≥ b ≥ 1، لا تتقاطع الرسوم البيانية، مما يعني أن المتراجحة ليس لها حلول.

الإجابة: x € (-∞; 5/(b – 1)) لـ b ≥ -1;
× € (-5/(ب + 1)؛ 5/(ب – 1)) عند -1< b < 0;
لا توجد حلول لـ 0 ≥ b ≥ 1؛ x € (5/(b – 1); +∞) لـ b > 1.

مثال 2.

حل المتراجحة a(a + 1)x > (a + 1)(a + 4).

حل.

1) لنجد قيم "التحكم" للمعلمة a: a 1 = 0، و 2 = -1.

2) دعونا نحل هذه المتباينة في كل مجموعة فرعية من الأعداد الحقيقية: (-∞; -1); (-1)؛ (-10)؛ (0)؛ (0؛ +∞).

أ) أ< -1, из данного неравенства следует, что х >(أ + 4)/أ؛

ب) أ = -1، فإن هذه المتراجحة ستأخذ الشكل 0 x > 0 - لا توجد حلول؛

ج) -1< a < 0, из данного неравенства следует, что х < (a + 4)/a;

د) أ = 0، فإن هذه المتباينة لها الشكل 0 x > 4 - لا توجد حلول؛

ه) أ > 0، من هذا عدم المساواة يتبع ذلك س > (أ + 4)/أ.

مثال 3.

حل المتراجحة |2 – |x||< a – x.

حل.

نقوم ببناء رسم بياني للدالة y = |2 – |x|| (تين. 3)وفكر في جميع الحالات المحتملة لموقع الخط المستقيم y = -x + a.

الإجابة: ليس للمتباينة حلول لـ ≥ -2؛
x € (-∞; (a – 2)/2) لـ € (-2; 2];
x € (-∞; (a + 2)/2) لـ a > 2.

لا تزال لديك أسئلة؟ لا أعرف كيفية حل عدم المساواة؟
للحصول على مساعدة من المعلم -.
الدرس الأول مجاني!

blog.site، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر الأصلي.