كيفية العثور على تكامل دالة السلطة. حساب أبسط التكاملات غير المحددة

لقد تبين أن تكامل حاصل ضرب دوال القدرة لـ sin x وcos x يمكن اختزاله إلى تكامل ذات الحدين التفاضلي. بالنسبة للقيم الصحيحة للأسس، يمكن حساب هذه التكاملات بسهولة عن طريق الأجزاء أو باستخدام صيغ الاختزال. يتم إعطاء اشتقاق صيغ التخفيض. ويرد مثال لحساب مثل هذا التكامل.

محتوى

أنظر أيضا:
جدول التكاملات غير المحددة

التخفيض إلى تكامل ذات الحدين التفاضلية

دعونا نفكر في تكاملات النموذج:

يتم تقليل هذه التكاملات إلى تكامل ذات الحدين التفاضلي لأحد البدائل t = الخطيئة سأو ر = كوس س.

دعونا نثبت ذلك من خلال إجراء الاستبدال
ر = الخطيئة س.
ثم
دينار = (الخطيئة x)′ dx = cos x dx;
كوس 2 س = 1 - خطيئة 2 س = 1 - ر 2;

إذا كان m وn أرقامًا نسبية، فيجب استخدام طرق التكامل التفاضلي ذي الحدين.

التكامل مع الأعداد الصحيحة m و n

بعد ذلك، فكر في الحالة التي يكون فيها m وn أعدادًا صحيحة (ليست بالضرورة موجبة). في هذه الحالة، التكامل هو دالة عقلانية لـ الخطيئة سو كوس س. لذلك، يمكنك تطبيق القواعد الواردة في قسم "دمج الدوال المنطقية المثلثية".

ومع ذلك، مع الأخذ في الاعتبار الميزات المحددة، فمن الأسهل استخدام صيغ الاختزال، والتي يمكن الحصول عليها بسهولة عن طريق التكامل بالأجزاء.

صيغ التخفيض

صيغ التخفيض للتكامل

لديك النموذج:

;
;
;
.

ليست هناك حاجة لحفظها، حيث يمكن الحصول عليها بسهولة عن طريق التكامل بالأجزاء.

إثبات صيغ التخفيض

دعونا نتكامل بالأجزاء.


بالضرب في m + n نحصل على الصيغة الأولى:

بالمثل نحصل على الصيغة الثانية.

دعونا نتكامل بالأجزاء.


بالضرب في m + n نحصل على الصيغة الثانية:

الصيغة الثالثة.

دعونا نتكامل بالأجزاء.


الضرب بـ ن + 1 ، نحصل على الصيغة الثالثة:

وكذلك الحال بالنسبة للصيغة الرابعة.

دعونا نتكامل بالأجزاء.


الضرب في م + 1 فنحصل على الصيغة الرابعة:

مثال

دعونا نحسب التكامل:

دعونا تحويل:

هنا م = 10، ن = - 4.

نطبق صيغة التخفيض:

ماكينة الصراف الآلي = 10، ن = - 4:

ماكينة الصراف الآلي = 8، ن = - 2:

نطبق صيغة التخفيض:

ماكينة الصراف الآلي = 6، ن = - 0:

ماكينة الصراف الآلي = 4، ن = - 0:

ماكينة الصراف الآلي = 2، ن = - 0:

نحسب التكامل المتبقي:

نقوم بجمع النتائج المتوسطة في صيغة واحدة.

مراجع:
ن.م. غونتر، ر.و. كوزمين، مجموعة مسائل في الرياضيات العليا، لان، 2003.

أنظر أيضا:

في هذه الصفحة سوف تجد:

1. في الواقع، جدول المشتقات العكسية - يمكن تنزيله بتنسيق PDF وطباعته؛

2. فيديو حول كيفية استخدام هذا الجدول؛

3. مجموعة من الأمثلة لحساب المشتق العكسي من الكتب المدرسية والاختبارات المختلفة.

في الفيديو نفسه، سنقوم بتحليل العديد من المسائل حيث يكون من الضروري حساب المشتقات العكسية للدوال، والتي غالبًا ما تكون معقدة للغاية، ولكن الأهم من ذلك، أنها ليست دوال قوى. جميع الوظائف الملخصة في الجدول المقترح أعلاه يجب أن تكون معروفة عن ظهر قلب، مثل المشتقات. بدونها، من المستحيل إجراء مزيد من الدراسة للتكاملات وتطبيقها لحل المشكلات العملية.

اليوم نواصل دراسة البدائيين والانتقال إلى موضوع أكثر تعقيدا قليلا. إذا نظرنا في المرة الأخيرة إلى المشتقات العكسية لدوال القوة والإنشاءات الأكثر تعقيدًا قليلًا، فسوف ننظر اليوم إلى علم المثلثات وأكثر من ذلك بكثير.

كما قلت في الدرس الأخير، المشتقات العكسية، على عكس المشتقات، لا يتم حلها "بشكل مباشر" باستخدام أي قواعد قياسية. علاوة على ذلك، فإن الأخبار السيئة هي أنه، على عكس المشتق، قد لا يتم أخذ المشتق العكسي في الاعتبار على الإطلاق. إذا كتبنا دالة عشوائية تمامًا وحاولنا العثور على مشتقها، فسننجح باحتمال كبير جدًا، لكن المشتق العكسي لن يتم حسابه أبدًا في هذه الحالة. ولكن هناك أخبار جيدة: هناك فئة كبيرة إلى حد ما من الوظائف تسمى الوظائف الأولية، والتي من السهل جدًا حساب المشتقات العكسية لها. وجميع الهياكل الأخرى الأكثر تعقيدًا التي يتم تقديمها في جميع أنواع الاختبارات والاختبارات والامتحانات المستقلة، تتكون في الواقع من هذه الوظائف الأولية من خلال الجمع والطرح وغيرها من الإجراءات البسيطة. منذ فترة طويلة تم حساب النماذج الأولية لهذه الوظائف وتجميعها في جداول خاصة. هذه الوظائف والجداول هي التي سنعمل معها اليوم.

لكننا سنبدأ، كما هو الحال دائمًا، بالتكرار: دعونا نتذكر ما هو المشتق العكسي، ولماذا يوجد عدد لا نهائي منهم، وكيفية تحديد مظهرهم العام. للقيام بذلك، التقطت مشكلتين بسيطتين.

حل الأمثلة السهلة

المثال رقم 1

دعونا نلاحظ على الفور أن $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ وبشكل عام وجود $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ يلمح لنا على الفور أن المشتق العكسي المطلوب للدالة مرتبط بعلم المثلثات. وبالفعل، إذا نظرنا إلى الجدول، فسنجد أن $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ ليس أكثر من $\text(arctg)x$. لذلك دعونا نكتبها:

لكي تجده عليك أن تكتب ما يلي:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text()\!\!\pi\!\!\text( )))(6)=\frac(\text()\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+ج\]

المثال رقم 2

نحن نتحدث أيضًا عن الدوال المثلثية هنا. إذا نظرنا إلى الجدول، فبالفعل هذا ما يحدث:

نحتاج أن نجد من بين مجموعة المشتقات العكسية بأكملها تلك التي تمر عبر النقطة المشار إليها:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text()=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

دعونا نكتبها أخيرًا:

بكل بساطة. المشكلة الوحيدة هي أنه من أجل حساب المشتقات العكسية للدوال البسيطة، عليك أن تتعلم جدول المشتقات العكسية. ومع ذلك، بعد دراسة جدول المشتقات بالنسبة لك، أعتقد أن هذا لن يكون مشكلة.

حل المسائل التي تحتوي على دالة أسية

في البداية، دعونا نكتب الصيغ التالية:

\[((ه)^(x))\إلى ((ه)^(x))\]

\[((أ)^(x))\إلى \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

دعونا نرى كيف يعمل كل هذا في الممارسة العملية.

المثال رقم 1

إذا نظرنا إلى محتويات الأقواس، نلاحظ أنه في جدول المشتقات العكسية لا يوجد مثل هذا التعبير عن وجود $((e)^(x))$ في مربع، لذلك يجب توسيع هذا المربع. للقيام بذلك، نستخدم صيغ الضرب المختصرة:

دعونا نجد المشتق العكسي لكل مصطلح من المصطلحات:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\إلى \frac(((\left(((e)^ (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\إلى \frac(((\left(((e )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

الآن دعونا نجمع كل الحدود في تعبير واحد ونحصل على المشتق العكسي العام:

المثال رقم 2

هذه المرة تكون الدرجة أكبر، وبالتالي فإن صيغة الضرب المختصرة ستكون معقدة للغاية. لذلك دعونا نفتح الأقواس:

الآن دعونا نحاول أخذ المشتق العكسي للصيغة من هذا البناء:

كما ترون، لا يوجد شيء معقد أو خارق للطبيعة في المشتقات العكسية للدالة الأسية. يتم حسابها جميعًا من خلال الجداول، ولكن من المحتمل أن يلاحظ الطلاب اليقظون أن المشتق العكسي $((e)^(2x))$ أقرب بكثير إلى $((e)^(x))$ من $((a) )^(x ))$. لذا، ربما تكون هناك قاعدة خاصة أخرى تسمح، بمعرفة المشتق العكسي $((e)^(x))$، بالعثور على $((e)^(2x))$؟ نعم، مثل هذه القاعدة موجودة. علاوة على ذلك، فهو جزء لا يتجزأ من العمل مع جدول المشتقات العكسية. سنقوم الآن بتحليلها باستخدام نفس التعبيرات التي تعاملنا معها للتو كمثال.

قواعد العمل مع جدول المشتقات العكسية

لنكتب وظيفتنا مرة أخرى:

في الحالة السابقة استخدمنا الصيغة التالية لحلها:

\[((أ)^(x))\إلى \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

ولكن الآن دعونا نفعل ذلك بشكل مختلف قليلاً: دعونا نتذكر على أي أساس $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. كما قلت من قبل، نظرًا لأن المشتق $((e)^(x))$ ليس أكثر من $((e)^(x))$، وبالتالي فإن مشتقه العكسي سيكون مساويًا لنفس $((e) ^ (x))$. لكن المشكلة هي أن لدينا $((e)^(2x))$ و$((e)^(-2x))$. لنحاول الآن إيجاد مشتقة $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime )=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

دعونا نعيد كتابة البناء لدينا مرة أخرى:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x))))(2) \right))^(\prime ))\]

هذا يعني أنه عندما نجد المشتق العكسي $((e)^(2x))$ نحصل على ما يلي:

\[((e)^(2x))\إلى \frac(((e)^(2x)))(2)\]

كما ترون، حصلنا على نفس النتيجة السابقة، لكننا لم نستخدم الصيغة للعثور على $((a)^(x))$. الآن قد يبدو هذا غبيًا: لماذا تعقيد الحسابات عندما تكون هناك صيغة قياسية؟ ومع ذلك، في التعبيرات الأكثر تعقيدًا قليلًا، ستجد أن هذه التقنية فعالة جدًا، أي. استخدام المشتقات للعثور على المشتقات العكسية.

كتمهيد، دعونا نوجد المشتق العكسي للـ $((e)^(2x))$ بطريقة مشابهة:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime )))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]

عند الحساب، سيتم كتابة البناء لدينا على النحو التالي:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

لقد حصلنا على نفس النتيجة تماما، ولكن سلكنا طريقا مختلفا. هذا هو المسار الذي يبدو الآن أكثر تعقيدًا بالنسبة لنا، والذي سيصبح في المستقبل أكثر فعالية لحساب المشتقات العكسية الأكثر تعقيدًا واستخدام الجداول.

ملحوظة! هذه نقطة مهمة جدًا: يمكن عد المشتقات العكسية، مثل المشتقات، بعدة طرق مختلفة. ومع ذلك، إذا كانت جميع الحسابات والحسابات متساوية، فإن الإجابة ستكون واحدة. لقد رأينا ذلك للتو في مثال $((e)^(-2x))$ - من ناحية، قمنا بحساب هذا المشتق العكسي "من خلال"، باستخدام التعريف وحسابه باستخدام التحويلات، من ناحية أخرى، تذكرنا أنه يمكن تمثيل $ ((e)^(-2x))$ كـ $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ وعندها فقط استخدمنا المشتق العكسي للدالة $( (a)^(x))$. ومع ذلك، بعد كل التحولات، كانت النتيجة هي نفسها، كما كان متوقعا.

والآن بعد أن فهمنا كل هذا، فقد حان الوقت للانتقال إلى شيء أكثر أهمية. سنقوم الآن بتحليل بنائين بسيطين، لكن التقنية التي سيتم استخدامها عند حلهما هي أداة أكثر قوة وإفادة من مجرد "التشغيل" بين المشتقات العكسية المجاورة من الجدول.

حل المشكلات: إيجاد المشتق العكسي للدالة

المثال رقم 1

دعونا نقسم المبلغ الموجود في البسط إلى ثلاثة كسور منفصلة:

يعد هذا انتقالًا طبيعيًا ومفهومًا إلى حد ما - فمعظم الطلاب ليس لديهم مشاكل معه. دعونا نعيد كتابة تعبيرنا على النحو التالي:

الآن دعونا نتذكر هذه الصيغة:

وفي حالتنا سنحصل على ما يلي:

للتخلص من كل هذه الكسور المكونة من ثلاثة طوابق، أقترح القيام بما يلي:

المثال رقم 2

على عكس الكسر السابق، فإن المقام ليس منتجًا، ولكنه مجموع. في هذه الحالة، لم يعد بإمكاننا تقسيم الكسر إلى مجموع عدة كسور بسيطة، لكن يجب أن نحاول بطريقة أو بأخرى التأكد من أن البسط يحتوي تقريبًا على نفس التعبير الموجود في المقام. في هذه الحالة، من السهل جدًا القيام بما يلي:

هذا الترميز، والذي يسمى في اللغة الرياضية "إضافة صفر"، سيسمح لنا بتقسيم الكسر مرة أخرى إلى جزأين:

والآن لنجد ما كنا نبحث عنه:

هذا كل الحسابات. على الرغم من التعقيد الواضح الذي كان أكبر مما كان عليه في المشكلة السابقة، فقد تبين أن كمية الحسابات أصغر.

الفروق الدقيقة في الحل

وهنا تكمن الصعوبة الرئيسية في العمل مع المشتقات المضادة الجدولية، وهذا ملحوظ بشكل خاص في المهمة الثانية. الحقيقة هي أنه من أجل اختيار بعض العناصر التي يمكن حسابها بسهولة من خلال الجدول، نحتاج إلى معرفة ما نبحث عنه بالضبط، وفي البحث عن هذه العناصر يتكون الحساب الكامل للمشتقات العكسية.

بمعنى آخر، لا يكفي مجرد حفظ جدول المشتقات العكسية - يجب أن تكون قادرًا على رؤية شيء غير موجود بعد، ولكن ما يعنيه المؤلف والمترجم لهذه المشكلة. ولهذا السبب يجادل العديد من علماء الرياضيات والمعلمين والأساتذة باستمرار: "ما الذي يعنيه تناول المشتقات العكسية أو التكامل - هل هو مجرد أداة أم أنه فن حقيقي؟" في الحقيقة، في رأيي الشخصي، التكامل ليس فنًا على الإطلاق - لا يوجد فيه شيء سامٍ، إنه مجرد ممارسة والمزيد من الممارسة. ومن أجل التدريب، دعونا نحل ثلاثة أمثلة أكثر جدية.

نحن ندرب على التكامل في الممارسة العملية

المهمة رقم 1

لنكتب الصيغ التالية:

\[((x)^(n))\إلى \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\إلى \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

لنكتب ما يلي:

المشكلة رقم 2

دعونا نعيد كتابتها على النحو التالي:

إجمالي المشتق العكسي سيكون مساوياً لـ:

المشكلة رقم 3

تكمن صعوبة هذه المشكلة في أنه، على عكس الوظائف السابقة أعلاه، لا يوجد متغير $x$ على الإطلاق، أي. ليس من الواضح لنا ما يجب إضافته أو طرحه للحصول على شيء مشابه لما هو أدناه على الأقل. لكن في الواقع يعتبر هذا التعبير أبسط من أي من التعبيرات السابقة، لأنه يمكن إعادة كتابة هذه الدالة على النحو التالي:

ربما تتساءل الآن: لماذا تتساوى هذه الدوال؟ دعونا تحقق:

لنعيد كتابتها مرة أخرى:

دعونا نغير تعبيرنا قليلاً:

وعندما أشرح كل هذا لطلابي، تظهر نفس المشكلة دائمًا تقريبًا: مع الوظيفة الأولى، يكون كل شيء أكثر أو أقل وضوحًا، ومع الوظيفة الثانية، يمكنك أيضًا اكتشاف ذلك بالحظ أو الممارسة، ولكن ما نوع الوعي البديل الذي تستخدمه؟ تحتاج إلى حل المثال الثالث؟ في الواقع، لا تخافوا. التقنية التي استخدمناها عند حساب المشتق العكسي الأخير تسمى "تحليل الدالة إلى أبسط صورها"، وهي تقنية خطيرة للغاية، وسيتم تخصيص درس فيديو منفصل لها.

في غضون ذلك، أقترح العودة إلى ما درسناه للتو، أي إلى الوظائف الأسية وتعقيد المشكلات إلى حد ما فيما يتعلق بمحتواها.

مسائل أكثر تعقيدًا لحل الدوال الأسية للمشتقات العكسية

المهمة رقم 1

دعونا نلاحظ ما يلي:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

للعثور على المشتق العكسي لهذا التعبير، ما عليك سوى استخدام الصيغة القياسية - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

في حالتنا، سيكون المشتق العكسي كما يلي:

وبطبيعة الحال، بالمقارنة مع التصميم الذي قمنا بحله للتو، يبدو هذا التصميم أبسط.

المشكلة رقم 2

مرة أخرى، من السهل أن ترى أن هذه الدالة يمكن تقسيمها بسهولة إلى حدين منفصلين - كسرين منفصلين. دعونا نعيد الكتابة:

يبقى العثور على المشتق العكسي لكل من هذه المصطلحات باستخدام الصيغة الموضحة أعلاه:

على الرغم من التعقيد الأكبر الواضح للدوال الأسية مقارنة بوظائف الطاقة، فقد تبين أن الحجم الإجمالي للحسابات والحسابات أبسط بكثير.

بالطبع، بالنسبة للطلاب ذوي المعرفة، فإن ما ناقشناه للتو (خاصة على خلفية ما ناقشناه من قبل) قد يبدو وكأنه تعبيرات أولية. ومع ذلك، عند اختيار هاتين المسألتين لدرس الفيديو اليوم، لم أضع لنفسي هدفًا بإخبارك بتقنية أخرى معقدة ومتطورة - كل ما أردت أن أوضحه لك هو أنه لا ينبغي أن تخاف من استخدام تقنيات الجبر القياسية لتحويل الوظائف الأصلية .

باستخدام تقنية "سرية".

في الختام، أود أن ألقي نظرة على تقنية أخرى مثيرة للاهتمام، من ناحية، تتجاوز ما ناقشناه بشكل رئيسي اليوم، ولكن من ناحية أخرى، أولا، ليست معقدة على الإطلاق، أي. حتى الطلاب المبتدئين يمكنهم إتقانها، وثانيًا، غالبًا ما توجد في جميع أنواع الاختبارات والعمل المستقل، أي. معرفتها ستكون مفيدة جدًا بالإضافة إلى معرفة جدول المشتقات العكسية.

المهمة رقم 1

من الواضح أن لدينا شيئًا مشابهًا جدًا لدالة القوة. ماذا يجب أن نفعل في هذه الحالة؟ دعونا نفكر في الأمر: $x-5$ لا يختلف كثيرًا عن $x$ - لقد أضافوا للتو $-5$. لنكتبها هكذا:

\[((x)^(4))\إلى \frac(((x)^(5))))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((س)^(4))\]

دعونا نحاول العثور على مشتق $((\left(x-5 \right))^(5))$:

\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

هذا يعني:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ صحيح))^(\prime ))\]

لا توجد مثل هذه القيمة في الجدول، لذا اشتقنا هذه الصيغة بأنفسنا باستخدام صيغة المشتقة العكسية القياسية لدالة القوة. لنكتب الجواب هكذا:

المشكلة رقم 2

قد يعتقد العديد من الطلاب الذين ينظرون إلى الحل الأول أن كل شيء بسيط للغاية: ما عليك سوى استبدال $x$ في دالة الطاقة بتعبير خطي، وسيقع كل شيء في مكانه. لسوء الحظ، كل شيء ليس بهذه البساطة، والآن سنرى هذا.

وقياساً على التعبير الأول نكتب ما يلي:

\[((x)^(9))\إلى \frac(((x)^(10))))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

وبالعودة إلى مشتقتنا، يمكننا أن نكتب:

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \يمين))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \يمين))^(10)))(-30) \يمين))^(\رئيسي ))\]

ويترتب على ذلك مباشرة:

الفروق الدقيقة في الحل

يرجى ملاحظة: إذا لم يتغير شيء بشكل أساسي في المرة الأخيرة، ففي الحالة الثانية، بدلاً من $-10$، ظهر $-30$. ما الفرق بين -10$ و-30$؟ من الواضح، بعامل $-3$. السؤال: من أين أتى؟ إذا نظرت عن كثب، يمكنك أن ترى أنه تم أخذه كنتيجة لحساب مشتق دالة معقدة - يظهر المعامل الذي يقف عند $x$ في المشتق العكسي أدناه. هذه قاعدة مهمة للغاية، والتي لم أخطط في البداية لمناقشتها على الإطلاق في درس الفيديو اليوم، ولكن بدونها سيكون عرض المشتقات العكسية الجدولية غير مكتمل.

لذلك دعونا نفعل ذلك مرة أخرى. يجب أن تكون هناك وظيفة الطاقة الرئيسية لدينا:

\[((x)^(n))\إلى \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

الآن، بدلاً من $x$، دعنا نستبدل التعبير $kx+b$. ماذا سيحدث بعد ذلك؟ نحن بحاجة إلى العثور على ما يلي:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\إلى \frac((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \يمين)\cdot ك)\]

وعلى أي أساس ندعي هذا؟ بسيط جدا. دعنا نجد مشتق البناء المكتوب أعلاه:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime )=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]

وهذا هو نفس التعبير الذي كان موجودا في الأصل. وبالتالي، فإن هذه الصيغة صحيحة أيضًا، ويمكن استخدامها لتكملة جدول المشتقات العكسية، أو من الأفضل حفظ الجدول بأكمله ببساطة.

استنتاجات من "السر: التقنية:

• في الواقع، يمكن اختزال كلتا الدالتين اللتين نظرنا إليهما للتو إلى المشتقات العكسية الموضحة في الجدول عن طريق توسيع الدرجات، ولكن إذا تمكنا بشكل أو بآخر من التعامل مع الدرجة الرابعة، فلن أفعل الدرجة التاسعة في تجرأ الجميع على الكشف.
• إذا قمنا بتوسيع الدرجات، فسوف ينتهي بنا الأمر إلى هذا الحجم من العمليات الحسابية بحيث تستغرق مهمة بسيطة منا قدرًا كبيرًا من الوقت بشكل غير مناسب.
• ولهذا السبب فإن مثل هذه المشكلات التي تحتوي على تعبيرات خطية، لا تحتاج إلى حل "بتهور". بمجرد أن تصادف مشتقًا عكسيًا يختلف عن الموجود في الجدول فقط من خلال وجود التعبير $kx+b$ بالداخل، تذكر على الفور الصيغة المكتوبة أعلاه، واستبدلها في المشتق العكسي لجدولك، وسيظهر كل شيء كثيرًا أسرع وأسهل.

وبطبيعة الحال، ونظراً لتعقيد وخطورة هذه التقنية، سنعود إلى النظر فيها عدة مرات في دروس الفيديو المستقبلية، ولكن هذا كل ما لدينا اليوم. آمل أن يساعد هذا الدرس الطلاب الذين يرغبون في فهم المشتقات العكسية والتكامل.

مرحبا مرة أخرى أيها الأصدقاء!

كما وعدت، سنبدأ في هذا الدرس باستكشاف المساحات اللامتناهية للعالم الشعري للتكاملات وسنبدأ في حل مجموعة واسعة من الأمثلة (الجميلة جدًا في بعض الأحيان). :)

لكي نبحر بكفاءة في كل التنوع المتكامل ولا نضيع، نحتاج فقط إلى أربعة أشياء:

1) جدول التكاملات. كل التفاصيل عنها - . هذه هي الطريقة بالضبط للعمل معها.

2) خصائص الخطية للتكامل غير المحدد (تكامل المجموع/الفرق وحاصل ضرب ثابت).

3) جدول المشتقات وقواعد التفاضل.

نعم نعم لا تستغرب! وبدون القدرة على حساب المشتقات، لن يكون هناك أي فائدة على الإطلاق من التكامل. أوافق، ليس من المنطقي، على سبيل المثال، تعلم القسمة دون معرفة كيفية الضرب. :) وسرعان ما ستلاحظ أنه بدون مهارات التمايز المتقنة، لا يمكنك حساب تكامل واحد يتجاوز التكامل الجدولي الأولي.

4) طرق التكامل.

هناك الكثير منهم. لفئة معينة من الوظائف - الخاصة بك. ولكن من بين كل تنوعها الغني، تبرز ثلاثة تنوعات أساسية:

– ,

– ,

– .

وسيتم مناقشة كل واحد منهم في دروس منفصلة.

والآن، أخيرًا، دعونا ننتقل إلى حل الأمثلة التي طال انتظارها. لكي لا أقفز من قسم إلى آخر، سأكرر مرة أخرى مجموعة السيد بأكملها، والتي ستكون مفيدة لمزيد من عملنا. دع جميع الأدوات تكون في متناول اليد.)

أولا وقبل كل شيء، هذا جدول التكاملات:

بالإضافة إلى ذلك، سنحتاج إلى الخصائص الأساسية للتكامل غير المحدد (الخصائص الخطية):

حسنا، تم إعداد المعدات اللازمة. حان وقت الذهاب! :)

التطبيق المباشر للجدول

ستنظر هذه الفقرة في أبسط الأمثلة وأكثرها ضررًا. الخوارزمية هنا بسيطة للغاية:

1) انظر إلى الجدول وابحث عن الصيغة (الصيغ) المطلوبة؛

2) تطبيق خصائص الخطية (عند الاقتضاء)؛

3) نقوم بإجراء التحويل باستخدام الصيغ الجدولية ونضيف ثابتًا في النهاية مع (لا تنسى!) ;

4) اكتب الإجابة.

إذا هيا بنا.)

مثال 1

لا توجد مثل هذه الوظيفة في طاولتنا. لكن هناك تكامل لدالة القدرة بشكل عام (المجموعة الثانية). في حالتنا هذه ن = 5. لذلك نستبدل الخمسة بـ n ونحسب النتيجة بعناية:

مستعد. :)

وبطبيعة الحال، هذا المثال بدائي تماما. للتعارف فقط.) لكن القدرة على دمج القوى تجعل من السهل حساب تكاملات أي متعددات الحدود ومنشآت الطاقة الأخرى.

مثال 2

تحت التكامل هو المبلغ. حسنا، حسنا. لدينا خصائص الخطية لهذه الحالة. :) نقسم التكامل إلى ثلاثة تكاملات منفصلة، ​​ونخرج جميع الثوابت من علامات التكاملات ونحسب كل واحد منها حسب الجدول (المجموعة 1-2):

يرجى ملاحظة: ثابت معيظهر بالضبط في اللحظة التي تختفي جميع علامات التكامل! وبطبيعة الحال، بعد ذلك عليك أن تحملها معك باستمرار. اذا مالعمل…

وبطبيعة الحال، ليس من الضروري عادة أن تصف بمثل هذه التفاصيل. وهذا فقط لأغراض الفهم. للحصول على النقطة.)

على سبيل المثال، قريبًا جدًا، وبدون الكثير من التفكير، سوف تجيب عقليًا على وحوش مثل:

كثيرات الحدود هي أكثر الوظائف حرية في التكاملات.) وفي الانتشار والفيزياء وقوة المواد وغيرها من التخصصات الجادة، سيتعين عليك دمج كثيرات الحدود باستمرار. اعتد عليه.)

المثال التالي سيكون أكثر برودة قليلاً.

مثال 3

أتمنى أن يفهم الجميع أنه يمكن كتابة التكامل الخاص بنا على النحو التالي:

الدالة التكاملية منفصلة، ​​والعامل dx (أيقونة التفاضلية)- بشكل منفصل.

تعليق:في هذا الدرس الضرب dx في عملية التكامل الوداعلا يشارك بأي شكل من الأشكال، ونحن "نسيناه" ذهنيًا في الوقت الحالي. :) نحن نعمل فقط مع وظيفة التكامل. لكن دعونا لا ننساه. قريبًا جدًا، حرفيًا في الدرس التالي المخصص له، سوف نتذكر ذلك. وسوف نشعر بأهمية وقوة هذه الأيقونة بكامل قوتها!)

في هذه الأثناء، تنجذب أنظارنا إلى الدالة التكاملية

لا تبدو مثل وظيفة الطاقة إلى حد كبير، ولكن هذا هو ما هو عليه. :) إذا تذكرنا خصائص المدرسة للجذور والقوى، فمن الممكن تمامًا تحويل وظيفتنا:

وx أس ناقص الثلثين هي بالفعل دالة جدولية! المجموعة الثانية ن=-2/3. والثابت 1/2 ليس عائقًا أمامنا. نخرجها خارج علامة التكامل، ونحسبها مباشرة باستخدام الصيغة:

في هذا المثال، ساعدتنا الخصائص الأولية للدرجات. ويجب أن يتم ذلك في معظم الحالات عندما تكون هناك جذور أو كسور وحيدة تحت التكامل. لذلك، هناك بعض النصائح العملية عند دمج منشآت الطاقة:

نستبدل الكسور بالقوى ذات الأسس السالبة؛

نستبدل الجذور بالقوى بالأسس الكسرية.

لكن في الإجابة النهائية، فإن الانتقال من القوى إلى الكسور والجذور هو مسألة ذوق. أنا شخصياً أعود مرة أخرى - إنه أكثر جمالياً، أو شيء من هذا القبيل.

ويرجى عد جميع الكسور بعناية! نحن نراقب بعناية العلامات وما يحدث وأين – ما هو الموجود في البسط وما هو المقام.

ماذا؟ هل سئمت من وظائف الطاقة المملة بالفعل؟ نعم! دعونا نأخذ الثور من قرونه!

مثال 4

إذا قمنا الآن بوضع كل شيء تحت التكامل إلى قاسم مشترك، فيمكننا أن نعلق على هذا المثال بجدية ولفترة طويلة.) ولكن، بإلقاء نظرة فاحصة على التكامل، يمكننا أن نرى أن اختلافنا يتكون من دالتين جدوليتين . لذلك دعونا لا ننحرف، ولكن بدلًا من ذلك نقسم التكامل إلى قسمين:

التكامل الأول هو دالة قوى عادية (المجموعة الثانية، ن = -1): 1/س = س -1 .

صيغتنا التقليدية للمشتق العكسي لدالة القدرة

لا يعمل هنا، ولكن بالنسبة لنا ن = -1هناك بديل جدير - صيغة ذات لوغاريتم طبيعي. هذا:

وبعد ذلك، ووفقاً لهذه الصيغة، سيتم تكامل الكسر الأول على النحو التالي:

والكسر الثاني هو أيضا وظيفة الجدول!تعلمت؟ نعم! هذا السابعصيغة ذات لوغاريتم "عالي":

الثابت "a" في هذه الصيغة يساوي اثنين: أ = 2.

ملاحظة مهمة: يرجى ملاحظة الثابتمع مع التكامل المتوسط ​​I في أي مكانأنا لا أعزو ذلك!لماذا؟ لأنها سوف تذهب إلى الإجابة النهائية المثال كله.وهذا يكفي تمامًا.) بالمعنى الدقيق للكلمة، يجب كتابة الثابت بعد كل تكامل فردي - سواء كان تكاملًا متوسطًا أو نهائيًا: هذا ما يتطلبه التكامل غير المحدد...)

على سبيل المثال، بعد التكامل الأول يجب أن أكتب:

بعد التكامل الثاني:

لكن الحيلة هي أن مجموع/الفرق بين الثوابت التعسفية هو أيضا بعض ثابت!في حالتنا، للحصول على الإجابة النهائية نحتاج من التكامل الأول طرح او خصمثانية. ثم يمكننا أن نفعل ذلك اختلافاثنين من الثوابت المتوسطة:

ج1-ج2

ولدينا كل الحق في استبدال هذا الاختلاف في الثوابت ثابت واحد!وقم ببساطة بإعادة تصميمه بالحرف "C" المألوف لدينا. مثله:

ج1 -ج2=ج

لذلك ننسب هذا الثابت نفسه معإلى النتيجة النهائية ونحصل على الجواب:

نعم نعم إنهم كسور! اللوغاريتمات متعددة الطوابق هي الأكثر شيوعًا عند دمجها. لقد اعتدنا على ذلك أيضًا.)

يتذكر:

أثناء التكامل الوسيط لعدة حدود، يكون الثابت معبعد كل واحد منهم ليس عليك الكتابة. ويكفي تضمينه في الإجابة النهائية للمثال بأكمله. في النهاية.

المثال التالي هو أيضا مع الكسر. للإحماء.)

مثال 5

الجدول، بالطبع، لا يحتوي على مثل هذه الوظيفة. ولكن هناك مشابهوظيفة:

هذا هو الأخير جدا ثامنمعادلة. مع قوس قزح. :)

هذا:

والله نفسه أمرنا أن نضبط تكاملنا مع هذه الصيغة! ولكن هناك مشكلة واحدة: في الصيغة الجدولية من قبل × 2لا يوجد معامل، لكن لدينا تسعة. لا يمكننا بعد استخدام الصيغة مباشرة. ولكن في حالتنا المشكلة قابلة للحل تماما. دعونا أولًا نخرج التسعة من الأقواس، ثم نخرجها من الكسر تمامًا.)

والكسر الجديد هو دالة الجدول التي نحتاجها بالفعل، رقم 8! هنا و2 = 4/9. أو أ=2/3.

الجميع. نأخذ 1/9 من علامة التكامل ونستخدم الصيغة الثامنة:

ها هي الإجابة. هذا المثال، مع المعامل في المقدمة × 2، لقد اخترت ذلك بهذه الطريقة عن قصد. لتوضيح ما يجب فعله في مثل هذه الحالات. :) إذا كان من قبل × 2لا يوجد معامل، ثم سيتم دمج هذه الكسور أيضا في العقل.

على سبيل المثال:

هنا أ 2 = 5، لذا فإن "أ" نفسه سيكون "جذر خمسة". على العموم فهمت)

الآن دعونا نعدل الدالة قليلًا: سنكتب المقام تحت الجذر.) الآن سنأخذ هذا التكامل:

مثال 6

المقام الآن له جذر. وبطبيعة الحال، تغيرت أيضًا الصيغة المقابلة للتكامل، نعم.) مرة أخرى نذهب إلى الجدول ونبحث عن الصيغة المناسبة. لدينا جذور في صيغ المجموعتين الخامسة والسادسة. لكن في المجموعة السادسة لا يوجد سوى اختلاف تحت الجذور. ولدينا المبلغ. لذلك، نحن نعمل على الصيغة الخامسة، مع لوغاريتم "طويل":

رقم أ لدينا خمسة. استبدل في الصيغة واحصل على:

و هذا كل شيء. هذا هو الجواب. نعم، نعم، الأمر بهذه البساطة!)

إذا تسللت الشكوك إليك، يمكنك (ويجب عليك) دائمًا التحقق من النتيجة عن طريق التمايز العكسي. يجب علينا التحقق؟ ماذا لو كان نوعا من المسمار؟

نحن نفرق (لا ننتبه للوحدة ونعتبرها بين قوسين عاديين):

كل شيء عادل. :)

بالمناسبة، إذا قمت بتغيير العلامة من الموجب إلى الناقص في التكامل الموجود تحت الجذر، فستظل صيغة التكامل كما هي. ليس من قبيل الصدفة أن يكون هناك جذر في الجدول زائد / ناقص. :)

على سبيل المثال:

مهم!في حالة ناقص، على أولاًيجب أن يكون المكان تحت الجذر بالضبط × 2، و على ثانية – رقم. إذا كان العكس صحيحًا تحت الجذر، فستكون الصيغة الجدولية المقابلة أضيق مختلف!

مثال 7

تحت الجذر مرة أخرى ناقص، ولكن × 2مع الخمسة قمنا بتبديل الأماكن. إنها مشابهة، ولكنها ليست نفس الشيء... في هذه الحالة، يحتوي جدولنا أيضًا على صيغة.) الصيغة رقم ستة، لم نعمل معها بعد:

ولكن الآن - بعناية. في المثال السابق، استخدمنا خمسة كرقم أ . هنا خمسة سيكون بمثابة رقم 2!

لذلك، لتطبيق الصيغة بشكل صحيح، لا تنس استخراج جذر خمسة:

والآن تم حل المثال في إجراء واحد. :)

مثل هذا تماما! فقط تم تبديل المصطلحات الموجودة تحت الجذر، وتغيرت نتيجة التكامل بشكل كبير! اللوغاريتم وقوس الجيب... لذا من فضلك لا تخلط بين هاتين الصيغتين!على الرغم من أن وظائف التكامل متشابهة جدًا ...

علاوة:

في الصيغ الجدولية 7-8 توجد معاملات قبل اللوغاريتم وظل القوس 1/(2أ)و 1/أعلى التوالى. وفي موقف قتالي مثير للقلق، عند كتابة هذه الصيغ، غالبًا ما يشعر المهووسون المهووسون بدراساتهم بالارتباك، حيث يكون الأمر بسيطًا 1/أ، و أين 1/(2أ). إليك خدعة بسيطة لتتذكرها.

في الصيغة رقم 7

يحتوي مقام التكامل على اختلاف المربعات × 2 - أ 2. والتي، وفقا لصيغة المدرسة المخيفة، تنقسم إلى (س-أ)(س+أ). على اثنينالمضاعف الكلمة الرئيسية - اثنين. و هؤلاء اثنينعند التكامل، تذهب الأقواس إلى اللوغاريتم: مع ناقص لأعلى، مع زائد - لأسفل.) والمعامل أمام اللوغاريتم هو أيضًا 1/( 2 أ).

ولكن في الصيغة رقم 8

مقام الكسر يحتوي على مجموع المربعات.لكن مجموع المربعات × 2 + أ 2لا يمكن تحللها إلى عوامل أبسط. لذلك، مهما قيل، فإن القاسم سيبقى كذلك واحدعامل. وسيكون المعامل أمام ظل الزاوية أيضًا 1/a.

الآن دعونا ندمج بعض علم المثلثات من أجل التغيير.)

مثال 8

المثال بسيط. في غاية البساطة، حتى أن الأشخاص، حتى دون النظر إلى الطاولة، يكتبون الإجابة على الفور بسعادة و... لقد وصلنا. :)

دعونا نتبع العلامات! هذا هو الخطأ الأكثر شيوعًا عند دمج الجيب/جيب التمام. لا تخلط مع المشتقات!

نعم، (خطيئة س)" = كوس سو (كوس س)’ = - خطيئة س.

لكن!

نظرًا لأن الناس يتذكرون عادةً المشتقات على أقل تقدير، حتى لا يختلط عليهم الأمر في العلامات، فإن تقنية تذكر التكاملات بسيطة جدًا:

تكامل الجيب/جيب التمام =ناقص مشتق من نفس الجيب/جيب التمام.

على سبيل المثال، نعلم من المدرسة أن مشتقة جيب التمام يساوي جيب التمام:

(خطيئة س)" = كوس س.

ثم ل أساسي من نفس جيبه سيكون صحيحا:

هذا كل شيء.) إنه نفس الشيء مع جيب التمام.

لنصلح الآن مثالنا:

التحولات الأولية الأولية للتكامل

حتى هذه اللحظة كانت هناك أبسط الأمثلة. للتعرف على كيفية عمل الجدول وعدم ارتكاب الأخطاء في اختيار الصيغة.)

بالطبع، أجرينا بعض التحويلات البسيطة، حيث أخرجنا العوامل وقسمناها إلى مصطلحات. لكن الجواب لا يزال ظاهرًا على السطح بطريقة أو بأخرى.) ومع ذلك... إذا كان حساب التكاملات يقتصر فقط على التطبيق المباشر للجدول، فسيكون هناك الكثير من الهدايا المجانية وستصبح الحياة مملة.)

الآن دعونا نلقي نظرة على أمثلة أكثر صلابة. النوع الذي لا يبدو أن هناك شيئًا قد تقرر فيه بشكل مباشر. ولكن من المفيد أن نتذكر بضع صيغ أو تحويلات في المدرسة الابتدائية، ويصبح الطريق إلى الإجابة بسيطًا وواضحًا. :)

تطبيق صيغ علم المثلثات

دعونا نواصل الاستمتاع بعلم المثلثات.

مثال 9

لا توجد مثل هذه الوظيفة في الجدول حتى قريبة. ولكن في علم المثلثات المدرسة هناك هوية غير معروفة:

الآن نعبر منه عن المماس التربيعي الذي نحتاجه وندخله تحت التكامل:

لماذا تم ذلك؟ وبعد ذلك، بعد هذا التحول، سيتم تقليل تكاملنا إلى تكاملين جدوليين وسيتم أخذه في الاعتبار!

يرى:

الآن دعونا نحلل أفعالنا. للوهلة الأولى، يبدو أن كل شيء أبسط من أي وقت مضى. ولكن دعونا نفكر في هذا. إذا واجهنا مهمة يميزنفس الوظيفة، فإننا سوف بالضبطكان يعرف بالضبط ما يجب فعله - تقدم بطلب معادلة مشتق من وظيفة معقدة:

هذا كل شئ. تكنولوجيا بسيطة وخالية من المتاعب. إنه يعمل دائمًا ويضمن أن يؤدي إلى النجاح.

ماذا عن التكامل؟ ولكن هنا كان علينا البحث في علم المثلثات، وحفر بعض الصيغة الغامضة على أمل أن تساعدنا بطريقة أو بأخرى على الخروج وتقليل التكامل إلى صيغة جدولية. وهي ليست حقيقة أنها ستساعدنا، إنها ليست حقيقة على الإطلاق... ولهذا السبب فإن التكامل هو عملية أكثر إبداعًا من التمايز. الفن، أود أن أقول حتى. :) وهذا ليس المثال الأصعب. إنها البداية فقط!

مثال 10

ما الذي يلهمه؟ جدول التكاملات لا يزال عاجزا، نعم. ولكن، إذا نظرت مرة أخرى إلى كنزنا من الصيغ المثلثية، فيمكنك البحث عن طريقة مفيدة جدًا جدًا صيغة جيب التمام الزاوية المزدوجة:

لذلك، نطبق هذه الصيغة على دالة التكامل. في دور "ألفا" لدينا x/2.

نحن نحصل:

التأثير مذهل، أليس كذلك؟

يوضح هذان المثالان بوضوح أن التحويل المسبق للدالة قبل التكاملإنه أمر مقبول تمامًا وفي بعض الأحيان يجعل الحياة أسهل كثيرًا! وفي التكامل، يكون هذا الإجراء (تحويل التكامل) أكثر تبريرًا من حيث الحجم منه في التمايز. سترى كل شيء لاحقًا.)

دعونا نلقي نظرة على بعض التحولات النموذجية.

صيغ الضرب المختصر وفتح الأقواس وإحضار المتشابه وطريقة القسمة على حد.

التحولات المدرسية المعتادة المعتادة. ولكن في بعض الأحيان هم الوحيدون الذين ينقذون، نعم.)

مثال 11

إذا كنا نحسب المشتقة، فلن تكون هناك مشكلة: صيغة مشتقة المنتج و- هيا. لكن الصيغة القياسية ل أساسيغير موجود من العمل. والطريقة الوحيدة هنا هي فتح جميع الأقواس بحيث نحصل تحت التكامل على كثيرة الحدود. وسنقوم بتكامل كثير الحدود بطريقة ما.) ولكننا سنفتح أيضًا الأقواس بحكمة: صيغ الضرب المختصرة هي أشياء قوية!

(x 2 - 1) 2 (x 2 + 1) 2 = ((x 2 - 1)(x 2 + 1)) 2 = ((x 2) 2 - 1 2) 2 = (x 4 - 1) 2) = س 8 - 2س 4 + 1

والآن نحسب:

و هذا كل شيء.)

مثال 12

مرة أخرى، الصيغة القياسية ل تكامل الكسرغير موجود. ومع ذلك، فإن مقام التكامل يحتوي على وحيدا ×.هذا يغير الوضع بشكل جذري.) دعونا نقسم البسط على المقام حدًا بعد حد، مما يقلل الكسر الرهيب لدينا إلى مجموع غير ضار من دوال القوة المجدولة:

لن أعلق تحديدًا على إجراءات دمج الدرجات العلمية: فهي لم تعد صغيرة بعد الآن.)

دعونا ندمج مجموع وظائف الطاقة. حسب الإشارة.)

هذا كل شيء.) بالمناسبة، إذا لم يكن المقام X، ولكن، على سبيل المثال، س+1، مثله:

لم تكن هذه الخدعة المتمثلة في التقسيم على حدة على حدة لتنجح بهذه السهولة. ويرجع ذلك على وجه التحديد إلى وجود جذر في البسط ووحدة في المقام. يجب أن أتخلص من الجذر. لكن مثل هذه التكاملات أكثر تعقيدًا. عنهم - في دروس أخرى.

يرى! لا يتعين على المرء سوى تعديل الوظيفة بشكل طفيف - يتغير النهج المتبع في تكاملها على الفور. في بعض الأحيان بشكل كبير!) لا يوجد مخطط قياسي واضح. كل وظيفة لها نهجها الخاص. في بعض الأحيان تكون فريدة من نوعها.)

في بعض الحالات، تكون التحويلات إلى الكسور أكثر صعوبة.

مثال 13

وهنا، كيف يمكنك اختزال التكامل إلى مجموعة من الجداول؟ هنا يمكنك المراوغة بذكاء عن طريق إضافة وطرح التعبير × 2في بسط الكسر متبوعًا بالقسمة على حد على حد. خدعة ذكية جدًا في التكاملات! مشاهدة الطبقة الرئيسية! :)

والآن، إذا استبدلنا الكسر الأصلي بالفرق بين كسرين، فإن تكاملنا ينقسم إلى قسمين جدوليين - دالة القوة المألوفة لدينا بالفعل وقوس الظل (الصيغة 8):

حسنا ماذا يمكن أن أقول؟ رائع!

تحظى خدعة إضافة/طرح الحدود في البسط بشعبية كبيرة في تكامل الكسور النسبية. جداً! أوصي بأخذ العلم.

مثال 14

نفس القواعد التكنولوجية هنا أيضًا. كل ما عليك فعله هو إضافة/طرح واحد لاستخراج التعبير الموجود في المقام من البسط:

بشكل عام، الكسور المنطقية (مع كثيرات الحدود في البسط والمقام) هي موضوع منفصل وواسع جدًا. النقطة المهمة هي أن الكسور المنطقية هي واحدة من فئات الوظائف القليلة جدًا التي يمكن استخدام طريقة عالمية للتكامل فيها موجود. طريقة التحلل إلى كسور بسيطة، مقرونة . لكن هذه الطريقة تتطلب عمالة كثيفة للغاية وعادة ما تستخدم كمدفعية ثقيلة. سيتم تخصيص أكثر من درس له. في هذه الأثناء، نحن نتدرب ونتحسن في الوظائف البسيطة.

دعونا نلخص درس اليوم.

لقد درسنا اليوم بالتفصيل كيفية استخدام الجدول، مع كل الفروق الدقيقة، وقمنا بتحليل العديد من الأمثلة (وليست الأكثر تافهة) وتعرفنا على أبسط الطرق لتقليل التكاملات إلى التكاملات الجدولية. وهذه هي الطريقة التي سنفعلها الآن دائماً. بغض النظر عن الوظيفة الرهيبة الموجودة في إطار التكامل، بمساعدة مجموعة واسعة من التحولات، سنضمن أنه عاجلاً أم آجلاً، سيتم تقليل تكاملنا، بطريقة أو بأخرى، إلى مجموعة من التحولات الجدولية.

بعض النصائح العملية.

1) إذا كان التكامل كسراً بسطه مجموع القوى (الجذور) ومقامه هو وحيدا × القوة، ثم نستخدم قسمة البسط على المقام حدًا على حد. استبدل الجذور بصلاحيات c المؤشرات الكسرية والعمل حسب الصيغ 1-2.

2) في الإنشاءات المثلثية، أولًا نقوم بتجربة الصيغ الأساسية لعلم المثلثات - الزاوية المزدوجة/الثلاثية،

قد تكون محظوظًا جدًا. أو ربما لا…

3) عند الضرورة (خاصة في كثيرات الحدود والكسور)، نستخدمهاصيغ الضرب المختصرة:

(أ+ب) 2 = أ 2 +2أ+ب 2

(أ-ب) 2 = أ 2 -2أ+ب 2

(أ-ب)(أ+ب) = أ 2 -ب 2

4) عند تكامل الكسور مع كثيرات الحدود، نحاول عزل التعبير (التعبيرات) في المقام في البسط بشكل مصطنع. في كثير من الأحيان يتم تبسيط الكسر ويتم تقليل التكامل إلى مجموعة من الكسر الجدولي.

حسنا، الأصدقاء؟ أرى أنك بدأت تحب التكاملات. :) ثم نصبح أفضل في حل الأمثلة بأنفسنا.) مادة اليوم كافية للتعامل معها بنجاح.

ماذا؟ لا أعلم، ؟ نعم! لم نمر بهذا بعد.) ولكن ليست هناك حاجة لدمجها بشكل مباشر هنا. وقد تساعدك الدورة المدرسية!)

الإجابات (في حالة من الفوضى):

للحصول على نتائج أفضل، أوصي بشدة بشراء مجموعة من المشاكل المبنية على G.N Mathan. بيرمان. أشياء رائعة!

هذا كل ما لدي لهذا اليوم. حظ سعيد!

التكاملات الأساسية التي يجب أن يعرفها كل طالب

التكاملات المدرجة هي الأساس، أساس الأساسيات. يجب بالتأكيد تذكر هذه الصيغ. عند حساب التكاملات الأكثر تعقيدًا، سيتعين عليك استخدامها باستمرار.

انتبه بشكل خاص إلى الصيغ (5)، (7)، (9)، (12)، (13)، (17)، (19). لا تنس إضافة ثابت عشوائي C إلى إجابتك عند التكامل!

تكامل ثابت

∫ أ د س = أ س + ج (1)

دمج وظيفة الطاقة

في الواقع، كان من الممكن أن نقتصر على الصيغتين (5) و(7) فقط، ولكن بقية التكاملات من هذه المجموعة تحدث كثيرًا بحيث تستحق الاهتمام بها قليلاً.

∫ س د س = س 2 2 + ج (2)
∫ س 2 د س = س 3 3 + ج (3)
∫ 1 × د × = 2 × + ج (4)
∫ 1 × د × = قانون الجنسية | س | +ج (5)
∫ 1 × 2 د × = − 1 س + ج (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

تكاملات الدوال الأسية والدوال الزائدية

وبطبيعة الحال، يمكن اعتبار الصيغة (8) (ربما الأكثر ملاءمة للحفظ) حالة خاصة من الصيغة (9). يمكن بسهولة اشتقاق الصيغتين (10) و(11) لتكاملات جيب التمام الزائدي وجيب التمام الزائدي من الصيغة (8)، ولكن من الأفضل أن نتذكر هذه العلاقات ببساطة.

∫ ه س د س = ه س + ج (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ س ح × د × = ج ح × + ج (10)
∫ ج ح × د × = ث ح × + ج (11)

التكاملات الأساسية للدوال المثلثية

الخطأ الذي يرتكبه الطلاب غالبًا هو الخلط بين العلامات الموجودة في الصيغتين (12) و(13). تذكر أن مشتق الجيب يساوي جيب التمام، لسبب ما يعتقد الكثير من الناس أن تكامل الدالة sinx يساوي cosx. هذا ليس صحيحا! تكامل الجيب يساوي "ناقص جيب التمام"، لكن تكامل cosx يساوي "جيب التمام فقط":

∫ الخطيئة x د x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 خطيئة 2 x د x = − ج t ز x + C (15)

التكاملات تقلل إلى الدوال المثلثية العكسية

الصيغة (16)، المؤدية إلى ظل قوس قزح، هي بطبيعة الحال حالة خاصة من الصيغة (17) لـ a=1. وبالمثل، (18) هي حالة خاصة من (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 × 2 + أ 2 = 1 أ أ ر ج تي ز × أ + ج (أ ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 أ 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

تكاملات أكثر تعقيدا

ومن المستحسن أيضًا أن تتذكر هذه الصيغ. يتم استخدامها أيضًا في كثير من الأحيان، ويكون إنتاجها مملًا للغاية.

∫ 1 × 2 + أ 2 د × = ln | س + س 2 + أ 2 | +ج (20)
∫ 1 x 2 − أ 2 د x = ln | س + س 2 − أ 2 | +ج (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 قوسين x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + أ 2 د x = x 2 x 2 + أ 2 + أ 2 2 ln | س + س 2 + أ 2 | + ج (أ > 0) (23)
∫ x 2 − أ 2 د x = x 2 x 2 − أ 2 − أ 2 2 ln | س + س 2 − أ 2 | + ج (أ > 0) (24)

القواعد العامة للتكامل

1) تكامل مجموع وظيفتين يساوي مجموع التكاملات المقابلة: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) تكامل الفرق بين دالتين يساوي الفرق بين التكاملات المقابلة: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) يمكن إخراج الثابت من علامة التكامل: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

من السهل أن نرى أن الخاصية (26) هي ببساطة مزيج من الخاصيتين (25) و(27).

4) تكامل دالة مركبة إذا كانت الوظيفة الداخلية خطية: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

هنا F(x) هو مشتق عكسي للدالة f(x). يرجى ملاحظة: هذه الصيغة تعمل فقط عندما تكون الدالة الداخلية هي Ax + B.

هام: لا توجد صيغة عالمية لتكامل منتج وظيفتين، وكذلك لتكامل الكسر:

∫ و (س) ز ​​(س) د س = ? ∫ و (س) ز ​​(س) د س = ? (ثلاثون)

وهذا لا يعني بالطبع أنه لا يمكن دمج الكسر أو المنتج. كل ما في الأمر هو أنه في كل مرة ترى جزءًا لا يتجزأ مثل (30)، سيتعين عليك اختراع طريقة "لمحاربته". في بعض الحالات، سيساعدك التكامل بالأجزاء، وفي حالات أخرى سيتعين عليك إجراء تغيير في المتغير، وفي بعض الأحيان حتى الجبر "المدرسة" أو صيغ علم المثلثات يمكن أن تساعدك.

مثال بسيط لحساب التكامل غير المحدد

مثال 1. أوجد التكامل: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

دعونا نستخدم الصيغتين (25) و (26) (تكامل مجموع أو فرق الدوال يساوي مجموع أو فرق التكاملات المقابلة. نحصل على: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 د س

دعونا نتذكر أنه يمكن إخراج الثابت من علامة التكامل (الصيغة (27)). يتم تحويل التعبير إلى النموذج

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​x d x + 12 ∫ 1 d x

الآن دعونا نستخدم جدول التكاملات الأساسية. سنحتاج إلى تطبيق الصيغ (3)، (12)، (8)، (1). دعونا ندمج دالة القوة، الجيب، الأسي والثابت 1. لا تنس إضافة ثابت عشوائي C في النهاية:

3 x 3 3 − 2 cos x − 7 ه x + 12 x + C

بعد التحويلات الأولية نحصل على الإجابة النهائية:

X 3 − 2 cos x − 7 ه x + 12 x + C

اختبر نفسك عن طريق الاشتقاق: خذ مشتقة الدالة الناتجة وتأكد من أنها تساوي التكامل الأصلي.

جدول ملخص للتكاملات

∫ أ د س = أ س + ج

∫ x د x = x 2 2 + C

∫ x 2 د x = x 3 3 + C

∫ 1 × د × = 2 × + ج

∫ 1 × د × = قانون الجنسية | س | +ج

∫ 1 x 2 د x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ ه س د س = ه س + ج

∫ أ × د × = أ × ln أ + ج (أ > 0، أ ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ ج ح × د × = ث ح × + ج

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 خطيئة 2 x د x = − ج t g x + C

∫ 1 1 + x 2 د x = أ r c t g x + C = − أ r c c t g x + C

∫ 1 × 2 + أ 2 = 1 أ أ ر ج تي ز × أ + ج (أ ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 أ 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 × 2 + أ 2 د × = ln | س + س 2 + أ 2 | +ج

∫ 1 x 2 − أ 2 د x = ln | س + س 2 − أ 2 | +ج

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 قوسين x a + C (a > 0)

∫ x 2 + أ 2 د x = x 2 x 2 + أ 2 + أ 2 2 ln | س + س 2 + أ 2 | + ج (أ > 0)

∫ x 2 − أ 2 د x = x 2 x 2 − أ 2 − أ 2 2 ln | س + س 2 − أ 2 | + ج (أ > 0)

قم بتحميل جدول التكاملات (الجزء الثاني) من هذا الرابط

إذا كنت تدرس في إحدى الجامعات، إذا كنت تواجه صعوبات في الرياضيات العليا (التحليل الرياضي، الجبر الخطي، نظرية الاحتمالات، الإحصاء)، إذا كنت بحاجة إلى خدمات مدرس مؤهل، فانتقل إلى صفحة مدرس رياضيات أعلى. سوف نحل مشاكلك معا!

قد تكون مهتم ايضا ب