ما هي المنطقة الجانبية. أوجد مساحة سطح هرم مثلث منتظم

في هرم مثلثي منتظم سابك ر- وسط الضلع AB, س- قمة.
ومن المعروف أن ريال = 6، ومساحة السطح الجانبية 36 .
أوجد طول القطعة قبل الميلاد.

دعونا نجعل مزحة. في الهرم المنتظم ، الوجوه الجانبية هي مثلثات متساوية الساقين.

القطعة المستقيمة ريال سعودى- ينخفض الوسيط إلى القاعدة ، ومن ثم ارتفاع الوجه الجانبي.

مساحة السطح الجانبي للهرم المثلثي المنتظم تساوي مجموع المساحات
ثلاثة جوانب متساوية جانب S. = 3 إس إس. من هنا S ABS = 36: 3 = 12- منطقة الوجه.

مساحة المثلث تساوي نصف حاصل ضرب قاعدته في ارتفاعه.
S ABS = 0.5 AB SR. بمعرفة المساحة والارتفاع ، نجد ضلع القاعدة AB = BC.
12 = 0.5 أب 6
12 = 3 أب
AB = 4

إجابة: 4

يمكنك التعامل مع المشكلة من الطرف الآخر. دع جانب القاعدة AB = BC = أ.
ثم منطقة الوجه S ABS = 0.5 AB SR = 0.5 a 6 = 3a.

مساحة كل من الوجوه الثلاثة هي 3 أ، مساحة ثلاثة وجوه هي 9 أ.
وفقًا لحالة المشكلة ، تبلغ مساحة السطح الجانبي للهرم 36.
جانب S. = 9 أ = 36.
من هنا أ = 4.

المشاكل الهندسية النموذجية في المستوى وفي الفضاء ثلاثي الأبعاد هي مشاكل تحديد مساحات السطح لأشكال مختلفة. في هذه المقالة ، نقدم صيغة مساحة السطح الجانبية الهرم الصحيحرباعي الزوايا.

ما هو الهرم؟

نعطي صارمة التعريف الهندسيالأهرامات. افترض أن هناك بعض المضلعات مع n جوانب و n من الزوايا. نختار نقطة عشوائية في الفضاء لن تكون في مستوى n-gon المحدد ، ونوصلها بكل رأس من رأس المضلع. سوف نحصل على شكل له بعض الحجم ، والذي يسمى هرم n-gonal. على سبيل المثال ، دعنا نظهر في الشكل أدناه كيف يبدو الهرم الخماسي.

عنصران مهمان لأي هرم هما قاعدته (n-gon) والجزء العلوي. ترتبط هذه العناصر ببعضها البعض من خلال n مثلثات ، والتي بشكل عام لا تساوي بعضها البعض. يُطلق على العمود العمودي الذي يتم إسقاطه من أعلى إلى القاعدة ارتفاع الشكل. إذا تقاطع مع القاعدة في المركز الهندسي (يتزامن مع مركز كتلة المضلع) ، فإن هذا الهرم يسمى بالخط المستقيم. بالإضافة إلى هذا الشرط ، إذا كانت القاعدة عبارة عن مضلع منتظم ، فإن الهرم بأكمله يسمى منتظم. يوضح الشكل أدناه شكل الأهرامات العادية مع قواعد مثلثة ، ورباعية الزوايا ، وخماسية ، وسداسية.

سطح الهرم

قبل الانتقال إلى مسألة مساحة السطح الجانبي لهرم رباعي الزوايا منتظم ، ينبغي للمرء أن يسهب بمزيد من التفصيل في مفهوم السطح نفسه.

كما هو مذكور أعلاه والموضح في الأشكال ، فإن أي هرم يتكون من مجموعة من الوجوه أو الجوانب. أحد الأضلاع هو القاعدة و n عبارة عن مثلثات. سطح الشكل كله هو مجموع مساحات كل جانب من جوانبها.

من المريح دراسة السطح باستخدام مثال الشكل الذي يتكشف. يظهر مسح لهرم رباعي الزوايا منتظم في الأشكال أدناه.

نلاحظ أن مساحة سطحه تساوي مجموع أربع مساحات من مثلثات متساوية الساقين متطابقة ومساحة مربع.

المساحة الكلية لكل المثلثات التي تشكل جوانب الشكل تسمى مساحة السطح الجانبي. بعد ذلك ، نوضح كيفية حسابه لهرم رباعي الزوايا منتظم.

مساحة السطح الجانبي لهرم منتظم مستطيل الشكل

لحساب مساحة السطح الجانبية للشكل المحدد ، ننتقل مرة أخرى إلى المسح أعلاه. لنفترض أننا نعرف ضلع القاعدة المربعة. دعنا نشير إليها بالرمز أ. يمكن ملاحظة أن طول قاعدة كل من المثلثات الأربعة المتطابقة a. لحساب مساحتها الإجمالية ، تحتاج إلى معرفة هذه القيمة لمثلث واحد. من مجرى الهندسة ، من المعروف أن مساحة المثلث S t تساوي ناتج القاعدة والارتفاع اللذين يجب تقسيمهما إلى النصف. إنه:

حيث ح ب - الارتفاع مثلث متساوي الساقينمرسومة على القاعدة أ. بالنسبة للهرم ، هذا الارتفاع هو الحرم. يبقى الآن مضاعفة التعبير الناتج في 4 للحصول على المساحة S b من السطح الجانبي للهرم المعني:

S ب = 4 * S t = 2 * ح ب * أ.

تحتوي هذه الصيغة على معلمتين: العروة وجانب القاعدة. إذا كان الأخير معروفًا في معظم حالات المشكلات ، فيجب حساب الأول بمعرفة كميات أخرى. فيما يلي الصيغ لحساب apotema h b لحالتين:

عندما يعرف طول الضلع الجانبي ؛
عندما يعرف ارتفاع الهرم.

إذا أشرنا إلى طول الحافة الجانبية (جانب مثلث متساوي الساقين) بالرمز L ، فسيتم تحديد Apotema h b بالصيغة:

ح ب \ u003d √ (L 2 - أ 2/4).

هذا التعبير هو نتيجة تطبيق نظرية فيثاغورس لمثلث السطح الجانبي.

إذا كان ارتفاع الهرم معروفًا ، فيمكن حساب الأبوتيما h ب على النحو التالي:

ح ب = √ (ح 2 + أ 2/4).
كما أنه ليس من الصعب الحصول على هذا المقدار إذا أخذنا في الاعتبار وجود مثلث قائم الزاوية داخل هرم مكون من الساقين h و a / 2 والوتر h b.
سنوضح كيفية تطبيق هذه الصيغ من خلال حل مشكلتين مثيرتين للاهتمام.

مشكلة مساحة السطح المعروفة

من المعروف أن مساحة السطح الجانبي لمربع الزوايا تبلغ 108 سم 2. من الضروري حساب قيمة طول ملفه h bif ارتفاع الهرم 7 سم.
نكتب صيغة المساحة S b للسطح الجانبي من خلال الارتفاع. لدينا:

S ب = 2 * √ (ح 2 + أ 2/4) * أ.

هنا قمنا ببساطة باستبدال صيغة الأبوتيما المقابلة في التعبير عن S b. لنقم بتربيع طرفي المعادلة:

S b 2 \ u003d 4 * a 2 * h 2 + a 4.

للعثور على قيمة a ، نقوم بتغيير المتغيرات:

ر 2 + 4 * ح 2 * ر - S ب 2 = 0.

نستبدل الآن القيم المعروفة ونحل المعادلة التربيعية:

ر 2 + 196 * ر - 11664 = 0.

لقد كتبنا فقط الجذر الموجب لهذه المعادلة. ثم تكون جوانب قاعدة الهرم مساوية لـ:

أ = √t = √47.8355 6.916 سم.

للحصول على طول أبوتيما ، ما عليك سوى استخدام الصيغة:

ح ب \ u003d √ (ح 2 + أ 2/4) \ u003d √ (7 2 + 6.916 2/4) ≈ 7.808 سم.

السطح الجانبي لهرم خوفو

لنحدد قيمة ضلع أكبر هرم مصري. من المعروف أن مربعًا طول ضلعه 230.363 مترًا عند قاعدته. كان ارتفاع الهيكل في الأصل 146.5 متر. عوض بهذه الأرقام في الصيغة المقابلة لـ S b ، نحصل على:

S b \ u003d 2 * √ (h 2 + a 2/4) * a \ u003d 2 * √ (146.5 2 + 230.363 2/4) * 230.363 ≈ 85860 م 2.

القيمة التي تم العثور عليها أكبر قليلاً من مساحة 17 ملعب كرة قدم.

عند التحضير لامتحان الرياضيات ، يتعين على الطلاب تنظيم معرفتهم بالجبر والهندسة. أود أن أجمع جميع المعلومات المعروفة ، على سبيل المثال ، كيفية حساب مساحة الهرم. علاوة على ذلك ، بدءًا من القاعدة والجوانب الجانبية إلى مساحة السطح بأكملها. إذا كان الموقف واضحًا مع الوجوه الجانبية ، نظرًا لأنها مثلثات ، فإن القاعدة تكون مختلفة دائمًا.

ماذا تفعل عند إيجاد مساحة قاعدة الهرم؟

يمكن أن يكون أي شكل على الإطلاق: من مثلث عشوائي إلى n-gon. وهذه القاعدة ، بالإضافة إلى الاختلاف في عدد الزوايا ، يمكن أن تكون شكلًا عاديًا أو غير صحيح. في مهام الاستخدام التي تهم تلاميذ المدارس ، لا توجد سوى المهام ذات الأرقام الصحيحة في القاعدة. لذلك ، سنتحدث عنها فقط.

مثلث قائم

هذا متساوي الأضلاع. واحد حيث جميع الأطراف متساوية ويشار إليه بالحرف "أ". في هذه الحالة ، يتم حساب مساحة قاعدة الهرم بالصيغة:

S = (أ 2 * √3) / 4.

مربع

معادلة حساب مساحتها هي الأبسط ، وهنا "أ" هو الضلع مرة أخرى:

العادية التعسفية n-gon

جانب المضلع له نفس التسمية. لعدد الزوايا ، يتم استخدام الحرف اللاتيني n.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º / n)).

كيف يتم المتابعة عند حساب مساحة السطح الجانبية والإجمالية؟

نظرًا لأن القاعدة عبارة عن شكل منتظم ، فإن جميع أوجه الهرم متساوية. علاوة على ذلك ، كل واحد منهم هو مثلث متساوي الساقين ، لأن الحواف الجانبية متساوية. بعد ذلك ، من أجل حساب المساحة الجانبية للهرم ، تحتاج إلى صيغة تتكون من مجموع أحاديات متطابقة. يتم تحديد عدد المصطلحات من خلال عدد جوانب القاعدة.

يتم حساب مساحة المثلث متساوي الساقين بالصيغة التي يتم فيها ضرب نصف حاصل ضرب القاعدة في الارتفاع. هذا الارتفاع في الهرم يسمى apothem. تعيينها هو "أ". الصيغة العامة لمساحة السطح الجانبية هي:

S \ u003d ½ P * A ، حيث P هو محيط قاعدة الهرم.

هناك حالات عندما تكون جوانب القاعدة غير معروفة ، ولكن يتم إعطاء الحواف الجانبية (ج) والزاوية المسطحة عند قمتها (α). ثم من المفترض استخدام هذه الصيغة لحساب المساحة الجانبية للهرم:

S = n / 2 * في 2 sin α .

مهمة 1

حالة.أوجد المساحة الكلية للهرم ، إذا كانت قاعدته تقع في ضلع يبلغ 4 سم ، وكانت قيمة العمود هي √3 سم.

حل.عليك أن تبدأ بحساب محيط القاعدة. نظرًا لأن هذا مثلث عادي ، إذن P \ u003d 3 * 4 \ u003d 12 سم. نظرًا لأن apothem معروف ، يمكنك على الفور حساب مساحة السطح الجانبي بالكامل: ½ * 12 * √3 = 6 √3 سم 2.

بالنسبة للمثلث الموجود في القاعدة ، سيتم الحصول على قيمة المساحة التالية: (4 2 * √3) / 4 \ u003d 4√3 سم 2.

لتحديد المساحة بأكملها ، ستحتاج إلى إضافة القيمتين الناتجتين: 6√3 + 4√3 = 10√3 سم 2.

إجابة. 10√3 سم 2.

المهمة رقم 2

حالة. هناك صحيح هرم رباعي الزوايا. طول جانب القاعدة 7 مم ، الحافة الجانبية 16 مم. تحتاج إلى معرفة مساحة سطحه.

حل.نظرًا لأن متعدد السطوح رباعي الزوايا ومنتظم ، فإن قاعدته مربعة. بعد معرفة مناطق القاعدة والجوانب الجانبية ، سيكون من الممكن حساب مساحة الهرم. تم إعطاء صيغة المربع أعلاه. وفي الوجوه الجانبية ، جميع جوانب المثلث معروفة. لذلك ، يمكنك استخدام صيغة هيرون لحساب مساحتها.

الحسابات الأولى بسيطة وتؤدي إلى هذا الرقم: 49 مم 2. بالنسبة للقيمة الثانية ، ستحتاج إلى حساب نصف المحيط: (7 + 16 * 2): 2 = 19.5 مم. يمكنك الآن حساب مساحة مثلث متساوي الساقين: √ (19.5 * (19.5-7) * (19.5-16) 2) = √2985.9375 = 54.644 ملم 2. لا يوجد سوى أربعة مثلثات من هذا القبيل ، لذلك عند حساب الرقم النهائي ، ستحتاج إلى ضربه في 4.

اتضح: 49 + 4 * 54.644 = 267.576 مم 2.

إجابة. القيمة المطلوبة 267.576 ملم 2.

المهمة رقم 3

حالة. للحصول على هرم رباعي الزوايا منتظم ، تحتاج إلى حساب المنطقة. فيه ضلع المربع 6 سم والارتفاع 4 سم.

حل.أسهل طريقة هي استخدام الصيغة مع حاصل ضرب المحيط والحلقة. من السهل العثور على القيمة الأولى. والثاني أكثر صعوبة بقليل.

علينا أن نتذكر نظرية فيثاغورس ونأخذ في الاعتبار أنها تتكون من ارتفاع الهرم والقسم ، وهو الوتر. الضلع الثاني يساوي نصف جانب المربع ، لأن ارتفاع متعدد السطوح يقع في وسطه.

النصاب المطلوب (وتر المثلث مثلث قائم) يساوي √ (3 2 + 4 2) = 5 (سم).

يمكنك الآن حساب القيمة المطلوبة: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \ u003d 96 (سم 2).

إجابة. 96 سم 2.

المهمة رقم 4

حالة.دانا الجانب الأيمنقواعدها 22 مم ، الأضلاع الجانبية - 61 مم. ما هي مساحة السطح الجانبي لهذا متعدد السطوح؟

حل.المنطق فيه هو نفسه الموصوف في المشكلة رقم 2. فقط هناك تم إعطاء هرم به مربع في قاعدته ، وهو الآن شكل سداسي.

بادئ ذي بدء ، يتم حساب مساحة القاعدة باستخدام الصيغة أعلاه: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 سم 2.

أنت الآن بحاجة إلى معرفة نصف محيط مثلث متساوي الساقين ، وهو وجه جانبي. (22 + 61 * 2): 2 = 72 سم ويبقى حساب مساحة كل مثلث باستخدام صيغة هيرون ، ثم اضربه في ستة وأضفه إلى المساحة التي تحولت إلى قاعدة.

الحسابات باستخدام صيغة Heron: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \ u003d √ 435600 = 660 سم 2. الحسابات التي ستعطي مساحة السطح الجانبية: 660 * 6 = 3960 سم 2. يبقى جمعها لمعرفة السطح بالكامل: 5217.47≈5217 سم 2.

إجابة.القاعدة - 726√3 سم 2 ، السطح الجانبي - 3960 سم 2 ، المساحة بأكملها - 5217 سم 2.

تعريف الهرم

هرمهو متعدد الوجوه ، يقوم على مضلع ، ووجوه مثلثات.

آلة حاسبة على الانترنت

يجدر الخوض في تحديد بعض مكونات الهرم.

هي ، مثل غيرها من متعددات الوجوه ، لديها ضلوع. يتقاربون إلى نقطة واحدة تسمى قمةالأهرامات. يمكن أن يقع المضلع التعسفي في قاعدته. حافةمُسَمًّى الشكل الهندسي، يتكون من أحد جانبي القاعدة وأقرب حافتين. في حالتنا ، هذا مثلث. ارتفاعالهرم هو المسافة من المستوى الذي تقع فيه قاعدته إلى قمة متعدد السطوح. بالنسبة للهرم المنتظم ، هناك مفهوم آخر صيدلةهو عمودي من قمة الهرم إلى قاعدته.

أنواع الأهرامات

هناك 3 أنواع من الأهرامات:

مستطيلي- زاوية تشكل فيها أي حافة زاوية قائمة مع القاعدة.
صحيح- قاعدته عبارة عن شكل هندسي منتظم ، ويكون الجزء العلوي من المضلع نفسه إسقاطًا لمركز القاعدة.
رباعي الوجوه- هرم مكون من مثلثات. علاوة على ذلك ، يمكن أخذ كل منهم كأساس.

صيغة مساحة سطح الهرم

لإيجاد مساحة السطح الكلية للهرم ، أضف مساحة السطح الجانبية ومنطقة القاعدة.

الأبسط هو حالة الهرم المنتظم ، لذا سنتعامل معها. دعونا نحسب المساحة الإجمالية لمثل هذا الهرم. مساحة السطح الجانبية هي:

جانب S = 1 2 ⋅ l ⋅ p S _ (\ text (side)) = \ frac (1) (2) \ cdot l \ cdot pس جانب = 2 1 ⋅ ل ⋅ص

ل ل- عِلم الهرم.
ص صهو محيط قاعدة الهرم.

المساحة الإجمالية للهرم:

S = جانب S + S رئيسي S = S _ (\ نص (جانب)) + S _ (\ نص (رئيسي))S =س جانب + س رئيسي

جانب S _ (نص (جانب)) س جانب - مساحة السطح الجانبي للهرم ؛
S main S _ (\ text (main)) س رئيسي هي مساحة قاعدة الهرم.

مثال على حل المشكلة.

مثال

أوجد المساحة الكلية للهرم الثلاثي إذا كان طوله 8 (انظر) ، وفي القاعدة يوجد مثلث متساوي الأضلاع ضلع 3 (انظر)

حل

L = 8 لتر = 8 ل =8
أ = 3 أ = 3 أ =3

أوجد محيط القاعدة. بما أن القاعدة مثلث متساوي الأضلاع مع ضلع ا أثم محيطه ص ص(مجموع كل جوانبه):

P = أ + أ + أ = 3 ⋅ أ = 3 ⋅ 3 = 9 ص = أ + أ + أ = 3 \ cdot أ = 3 \ cdot 3 = 9ع =أ +أ +أ =3 ⋅ أ =3 ⋅ 3 = 9

ثم المنطقة الجانبية للهرم:

جانب S = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 8 ⋅ 9 = 36 S _ (\ text (side)) = \ frac (1) (2) \ cdot l \ cdot p = \ frac (1) (2) \ cdot 8 \ cdot 9 = 36س جانب = 2 1 ⋅ ل ⋅ع =2 1 ⋅ 8 ⋅ 9 = 3 6 (انظر المربع)

نوجد الآن مساحة قاعدة الهرم ، أي مساحة المثلث. في حالتنا ، المثلث متساوي الأضلاع ويمكن حساب مساحته بالصيغة:

S main = 3 ⋅ a 2 4 S _ (\ text (main)) = \ frac (\ sqrt (3) \ cdot a ^ 2) (4)س رئيسي = 4 3 ⋅ أ 2

ا أهو ضلع المثلث.

نحن نحصل:

S main = 3 ⋅ a 2 4 = 3 ⋅ 3 2 4 ≈ 3.9 S _ (\ text (main)) = \ frac (\ sqrt (3) \ cdot a ^ 2) (4) = \ frac (\ sqrt (3) ) \ cdot 3 ^ 2) (4) \ تقريبًا 3.9س رئيسي = 4 3 ⋅ أ 2 = 4 3 ⋅ 3 2 ≈ 3 . 9 (انظر المربع)

منطقة كاملة:

S = S side + S main ≈ 36 + 3.9 = 39.9 S = S _ (\ text (side)) + S _ (\ text (main)) \ تقريبًا 36 + 3.9 = 39.9S =س جانب + س رئيسي ≈ 3 6 + 3 . 9 = 3 9 . 9 (انظر المربع)

إجابة: 39.9 سم مربع

مثال آخر أكثر تعقيدًا بقليل.

مثال

قاعدة الهرم مربع مساحته 36 (انظر المربع). يبلغ طول جسم متعدد السطوح 3 أضعاف ضلع القاعدة ا أ. أوجد مساحة السطح الكلية لهذا الشكل.

حل

S quad = 36 S _ (\ text (quad)) = 36س رباعية = 3 6
l = 3 ⋅ a l = 3 \ cdot a ل =3 ⋅ أ

أوجد ضلع القاعدة ، أي ضلع المربع. ترتبط مساحتها وطول جانبها:

S quad = a 2 S _ (\ text (quad)) = a ^ 2س رباعية = أ 2
36 = a2 36 = أ ^ 2 3 6 = أ 2
أ = 6 أ = 6 أ =6

أوجد محيط قاعدة الهرم (أي محيط المربع):

P = أ + أ + أ + أ = 4 ⋅ أ = 4 6 = 24 ف = أ + أ + أ + أ = 4 \ cdot أ = 4 \ cdot 6 = 24ع =أ +أ +أ +أ =4 ⋅ أ =4 ⋅ 6 = 2 4

أوجد طول العروش:

L = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 6 = 18 لتر = 3 \ cdot a = 3 \ cdot 6 = 18ل =3 ⋅ أ =3 ⋅ 6 = 1 8

في حالتنا هذه:

S quad = S main S _ (\ text (quad)) = S _ (\ text (main))س رباعية = س رئيسي

يبقى أن نجد فقط مساحة السطح الجانبية. حسب الصيغة:

جانب S = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 18 ⋅ 24 = 216 S _ (\ text (side)) = \ frac (1) (2) \ cdot l \ cdot p = \ frac (1) (2) \ cdot 18 \ cdot 24 = 216س جانب = 2 1 ⋅ ل ⋅ع =2 1 ⋅ 1 8 ⋅ 2 4 = 2 1 6 (انظر المربع)

منطقة كاملة:

$(\ نص (جانب)) + S _ (\ نص (رئيسي)) = 216 + 36 = 252$

إجابة: 252 سم مربع.

تعليمات

بادئ ذي بدء ، تجدر الإشارة إلى أن السطح الجانبي للهرم يتم تمثيله بعدة مثلثات ، يمكن العثور على مناطقها باستخدام مجموعة متنوعة من الصيغ ، اعتمادًا على البيانات المعروفة:

S \ u003d (a * h) / 2 ، حيث h هو الارتفاع المنخفض إلى الجانب a ؛

S = a * b * sinβ ، حيث a ، b هي جوانب المثلث ، و هي الزاوية بين هذين الجانبين ؛

S \ u003d (r * (a + b + c)) / 2 ، حيث a ، b ، c هي جوانب المثلث ، و r نصف قطر الدائرة المدرجة في هذا المثلث ؛

S \ u003d (a * b * c) / 4 * R ، حيث R هو نصف قطر المثلث الموصوف حول الدائرة ؛

S \ u003d (a * b) / 2 \ u003d r² + 2 * r * R (إذا كان المثلث بزاوية قائمة) ؛

S = S = (a² * √3) / 4 (إذا كان المثلث متساوي الأضلاع).

في الواقع ، هذه فقط أبسط الصيغ المعروفة لإيجاد مساحة المثلث.

بعد حساب مناطق جميع المثلثات التي تمثل أوجه الهرم ، باستخدام الصيغ أعلاه ، يمكننا البدء في حساب مساحة هذا الهرم. يتم ذلك بكل بساطة: تحتاج إلى إضافة مساحات كل المثلثات التي تشكل السطح الجانبي للهرم. يمكن التعبير عن هذا في صيغة مثل هذا:

Sp = ΣSi ، حيث Sp هي المنطقة الجانبية ، و Si هي مساحة المثلث i ، وهي جزء من سطحه الجانبي.

لمزيد من الوضوح ، يمكننا أن نأخذ في الاعتبار مثالًا صغيرًا: يتم إعطاء هرم منتظم ، وتتكون الوجوه الجانبية من مثلثات متساوية الأضلاع ، ويوجد عند قاعدته مربع. طول حافة هذا الهرم 17 سم مطلوب إيجاد مساحة السطح الجانبي لهذا الهرم.

الحل: يعرف طول ضلع هذا الهرم ، ومن المعروف أن وجوهه مثلثات متساوية الأضلاع. وبالتالي ، يمكننا القول أن جميع جوانب كل مثلثات السطح الجانبي هي 17 سم. لذلك ، من أجل حساب مساحة أي من هذه المثلثات ، ستحتاج إلى تطبيق الصيغة:

S = (17² * √3) / 4 = (289 * 1.732) / 4 = 125.137 سم²

من المعروف أنه يوجد مربع عند قاعدة الهرم. وبالتالي ، من الواضح أن هناك أربعة مثلثات متساوية الأضلاع معطاة. ثم يتم حساب مساحة السطح الجانبي للهرم على النحو التالي:

125.137 سم² * 4 = 500.548 سم²

الجواب: المساحة الجانبية للهرم 500.548 سم².

أولاً ، نحسب مساحة السطح الجانبي للهرم. السطح الجانبي هو مجموع مساحات كل الوجوه الجانبية. إذا كنت تتعامل مع هرم منتظم (أي هرم قائم على مضلع منتظم ، ويتم إسقاط الرأس في مركز هذا المضلع) ، فعندئذٍ لحساب السطح الجانبي بالكامل ، يكفي ضرب محيط القاعدة (أي مجموع أطوال جميع جوانب المضلع الذي يقع في الهرم الأساسي) بارتفاع الوجه الجانبي (يُسمى بخلاف ذلك apothem) وقسم القيمة الناتجة على 2: Sb = 1 / 2P * h ، حيث Sb هي مساحة السطح الجانبي ، P هي محيط القاعدة ، h هي ارتفاع الوجه الجانبي (apothem).

إذا كان لديك هرم عشوائي أمامك ، فسيتعين عليك حساب مناطق كل الوجوه بشكل منفصل ، ثم جمعها. نظرًا لأن الوجوه الجانبية للهرم مثلثات ، استخدم صيغة مساحة المثلث: S = 1 / 2b * h ، حيث b هي قاعدة المثلث و h هي الارتفاع. عندما يتم حساب مساحات كل الوجوه ، يبقى فقط جمعها للحصول على مساحة السطح الجانبي للهرم.

ثم تحتاج إلى حساب مساحة قاعدة الهرم. يعتمد اختيار صيغة الحساب على المضلع الذي يقع في قاعدة الهرم: صحيح (أي مضلع له نفس الطول) أو غير صحيح. يمكن حساب مساحة المضلع المنتظم بضرب المحيط بنصف قطر الدائرة المدرجة في المضلع وقسمة القيمة الناتجة على 2: Sn = 1 / 2P * r ، حيث Sn هي مساحة المضلع ، P هو المحيط ، و r هو نصف قطر الدائرة المدرجة في المضلع.

الهرم المقطوع عبارة عن متعدد الوجوه يتكون من هرم وقسمه موازٍ للقاعدة. العثور على مساحة السطح الجانبي للهرم ليس بالأمر الصعب على الإطلاق. الأمر بسيط للغاية: المساحة تساوي حاصل ضرب نصف مجموع الأسس بواسطة apothem. ضع في اعتبارك مثال لحساب مساحة السطح الجانبي للهرم المقطوع. لنفترض أننا حصلنا على هرم رباعي الزوايا منتظم. أطوال القاعدة هي b = 5 cm ، c = 3 cm ، Apothem a = 4 cm ، لإيجاد مساحة السطح الجانبي للهرم ، عليك أولاً إيجاد محيط القاعدتين. في القاعدة الكبيرة ، ستكون مساوية لـ p1 = 4b = 4 * 5 = 20 سم. في قاعدة أصغر ، ستكون الصيغة كما يلي: p2 = 4c = 4 * 3 = 12 cm. لذلك ، ستكون المساحة يساوي: s = 1/2 (20 + 12) * 4 = 32/2 * 4 = 64 سم.

الهرم متعدد الوجوه ، أحد وجوهه (القاعدة) عبارة عن مضلع عشوائي ، والأوجه الأخرى (الجوانب) عبارة عن مثلثات لها رأس مشترك. وفقًا لعدد أركان قاعدة الهرم ، يوجد مثلث (رباعي الوجوه) ورباعي الزوايا وما إلى ذلك.

الهرم متعدد السطوح قاعدة على شكل مضلع ، والوجوه المتبقية مثلثات برأس مشترك. القفص هو ارتفاع الوجه الجانبي لهرم منتظم ، مرسوم من قمته.