Что такое показательное уравнение? Примеры.

Итак, показательное уравнение… Новый уникальный экспонат на нашей общей выставке самых разнообразных уравнений!) Как это почти всегда бывает, ключевым словом любого нового математического термина является соответствующее прилагательное, которое его характеризует. Так и тут. Ключевым словом в термине «показательное уравнение» является слово «показательное» . Что оно означает? Это слово означает, что неизвестное (икс) находится в показателях каких-либо степеней. И только там! Это крайне важно.

Например, такие простые уравнения:

3 x +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4·2 2 x -17·2 x +4 = 0

Или даже такие монстры:

2 sin x = 0,5

Прошу сразу обратить внимание на одну важную вещь: в основаниях степеней (снизу) – только числа . А вот в показателях степеней (сверху) – самые разнообразные выражения с иксом. Совершенно любые.) Всё от конкретного уравнения зависит. Если, вдруг, в уравнении вылезет икс где-нибудь ещё, помимо показателя (скажем, 3 x = 18+x 2), то такое уравнение будет уже уравнением смешанного типа . Такие уравнения не имеют чётких правил решения. Поэтому в данном уроке мы их рассматривать не будем. На радость ученикам.) Здесь мы будем рассматривать только показательные уравнения в «чистом» виде.

Вообще говоря, даже чистые показательные уравнения чётко решаются далеко не все и не всегда. Но среди всего богатого многообразия показательных уравнений есть определённые типы, которые решать можно и нужно. Вот именно эти типы уравнений мы с вами и рассмотрим. И примеры обязательно порешаем.) Так что устраиваемся поудобнее и – в путь! Как и в компьютерных «стрелялках», наше путешествие будет проходить по уровням.) От элементарного к простому, от простого – к среднему и от среднего - к сложному. По пути вас также будет ждать секретный уровень – приёмы и методы решения нестандартных примеров. Те, о которых вы не прочитаете в большинстве школьных учебников… Ну, а в конце вас, разумеется, ждёт финальный босс в виде домашки.)

Уровень 0. Что такое простейшее показательное уравнение? Решение простейших показательных уравнений.

Для начала рассмотрим какую-нибудь откровенную элементарщину. С чего-то же надо начинать, верно? Например, такое уравнение:

2 х = 2 2

Даже безо всяких теорий, по простой логике и здравому смыслу ясно, что х = 2. Иначе же никак, верно? Никакое другое значение икса не годится… А теперь обратим наш взор на запись решения этого крутого показательного уравнения:

2 х = 2 2

Х = 2

Что же у нас произошло? А произошло следующее. Мы, фактически, взяли и… просто выкинули одинаковые основания (двойки)! Совсем выкинули. И, что радует, попали в яблочко!

Да, действительно, если в показательном уравнении слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях, то эти числа можно отбросить и просто приравнять показатели степеней. Математика разрешает.) И дальше можно работать уже отдельно с показателями и решать куда более простое уравнение. Здорово, правда?

Вот и ключевая идея решения любого (да-да, именно любого!) показательного уравнения: с помощью тождественных преобразований необходимо добиться того, чтобы слева и справа в уравнении стояли одинаковые числа-основания в различных степенях. А дальше можно смело убрать одинаковые основания и приравнять показатели степеней. И работать с более простым уравнением.

А теперь запоминаем железное правило: убирать одинаковые основания можно тогда и только тогда, когда в уравнении слева и справа числа-основания стоят в гордом одиночестве.

Что значит, в гордом одиночестве? Это значит, безо всяких соседей и коэффициентов. Поясняю.

Например, в уравнении

3·3 x-5 = 3 2 x +1

Тройки убирать нельзя! Почему? Потому что слева у нас стоит не просто одинокая тройка в степени, а произведение 3·3 x-5 . Лишняя тройка мешает: коэффициент, понимаешь.)

То же самое можно сказать и про уравнение

5 3 x = 5 2 x +5 x

Здесь тоже все основания одинаковые – пятёрка. Но справа у нас не одинокая степень пятёрки: там – сумма степеней!

Короче говоря, убирать одинаковые основания мы имеем право лишь тогда, когда наше показательное уравнение выглядит так и только так:

a f ( x ) = a g ( x )

Такой вид показательного уравнения называют простейшим . Или, по-научному, каноническим . И какое бы накрученное уравнение перед нами ни было, мы его, так или иначе, будем сводить именно к такому простейшему (каноническому) виду. Или, в некоторых случаях, к совокупности уравнений такого вида. Тогда наше простейшее уравнение можно в общем виде переписать вот так:

F(x) = g(x)

И всё. Это будет эквивалентным преобразованием. При этом в качестве f(x) и g(x) могут стоять совершенно любые выражения с иксом. Какие угодно.

Возможно, особо любознательный ученик поинтересуется: а с какой такой стати мы вот так легко и просто отбрасываем одинаковые основания слева и справа и приравниваем показатели степеней? Интуиция интуицией, но вдруг, в каком-то уравнении и для какого-то основания данный подход окажется неверным? Всегда ли законно выкидывать одинаковые основания? К сожалению, для строгого математического ответа на этот интересный вопрос нужно довольно глубоко и серьёзно погружаться в общую теорию устройства и поведения функций. А чуть конкретнее – в явление строгой монотонности. В частности, строгой монотонности показательной функции y = a x . Поскольку именно показательная функция и её свойства лежат в основе решения показательных уравнений, да.) Развёрнутый ответ на этот вопрос будет дан в отдельном спецуроке, посвящённом решению сложных нестандартных уравнений с использованием монотонности разных функций.)

Объяснять подробно этот момент сейчас – это лишь выносить мозг среднестатистическому школьнику и отпугивать его раньше времени сухой и грузной теорией. Я этого делать не буду.) Ибо наша основная на данный момент задача – научиться решать показательные уравнения! Самые-самые простые! Посему – пока не паримся и смело выкидываем одинаковые основания. Это можно , поверьте мне на слово!) А дальше уже решаем эквивалентное уравнение f(x) = g(x). Как правило, более простое, чем исходное показательное.

Предполагается, конечно же, что решать хотя бы , и уравнения, уже без иксов в показателях, народ на данный момент уже умеет.) Кто до сих пор не умеет – смело закрывайте эту страницу, гуляйте по соответствующим ссылочкам и восполняйте старые пробелы. Иначе несладко вам придётся, да…

Я уж молчу про иррациональные, тригонометрические и прочие зверские уравнения, которые также могут всплыть в процессе ликвидации оснований. Но не пугайтесь, откровенную жесть в показателях степеней мы с вами пока рассматривать не будем: рано ещё. Будем тренироваться лишь на самых простых уравнениях.)

Теперь рассмотрим уравнения, которые требуют некоторых дополнительных усилий для сведения их к простейшим. Для отличия назовём их простыми показательными уравнениями . Итак, двигаемся на следующий уровень!

Уровень 1. Простые показательные уравнения. Распознаём степени! Натуральные показатели.

Ключевыми правилами в решении любых показательных уравнений являются правила действий со степенями . Без этих знаний и умений ничего не получится. Увы. Так что, если со степенями проблемы, то для начала милости прошу . Кроме того, ещё нам понадобятся . Эти преобразования (целых два!) – основа решения всех уравнений математики вообще. И не только показательных. Так что, кто забыл, тоже прогуляйтесь по ссылочке: я их не просто так ставлю.

Но одних только действий со степенями и тождественных преобразований мало. Необходима ещё личная наблюдательность и смекалка. Нам ведь требуются одинаковые основания, не так ли? Вот и осматриваем пример и ищем их в явном или замаскированном виде!

Например, такое уравнение:

3 2 x – 27 x +2 = 0

Первый взгляд на основания . Они… разные! Тройка и двадцать семь. Но паниковать и впадать в отчаяние рано. Самое время вспомнить, что

27 = 3 3

Числа 3 и 27 – родственнички по степени! Причём близкие.) Стало быть, имеем полное право записать:

27 x +2 = (3 3) x+2

А вот теперь подключаем наши знания о действиях со степенями (а я предупреждал!). Есть там такая очень полезная формулка:

(a m) n = a mn

Если теперь запустить её в ход, то вообще отлично получается:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

Исходный пример теперь выглядит вот так:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

Отлично, основания степеней выровнялись. Чего мы и добивались. Полдела сделано.) А вот теперь запускаем в ход базовое тождественное преобразование – переносим 3 3(x +2) вправо. Элементарных действий математики никто не отменял, да.) Получаем:

3 2 x = 3 3(x +2)

Что нам даёт такой вид уравнения? А то, что теперь наше уравнение сведено к каноническому виду : слева и справа стоят одинаковые числа (тройки) в степенях. Причём обе тройки - в гордом одиночестве. Смело убираем тройки и получаем:

2х = 3(х+2)

Решаем это и получаем:

X = -6

Вот и все дела. Это правильный ответ.)

А теперь осмысливаем ход решения. Что нас спасло в этом примере? Нас спасло знание степеней тройки. Как именно? Мы опознали в числе 27 зашифрованную тройку! Этот приёмчик (шифровка одного и того же основания под разными числами) – один из самых популярных в показательных уравнениях! Если только не самый популярный. Да и в тоже, кстати. Именно поэтому в показательных уравнениях так важна наблюдательность и умение распознавать в числах степени других чисел!

Практический совет:

Степени популярных чисел надо знать. В лицо!

Конечно, возвести двойку в седьмую степень или тройку в пятую может каждый. Не в уме, так хотя бы на черновике. Но в показательных уравнениях гораздо чаще надо не возводить в степень, а наоборот - узнавать, какое число и в какой степени скрывается за числом, скажем, 128 или 243. А это уже посложнее, чем простое возведение, согласитесь. Почувствуйте разницу, что называется!

Поскольку умение распознавать степени в лицо пригодится не только на этом уровне, но и на следующих, вот вам небольшое задание:

Определить, какими степенями и каких чисел являются числа:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Ответы (вразброс, естественно):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Да-да! Не удивляйтесь, что ответов побольше, чем заданий. Например, 2 8 , 4 4 и 16 2 – это всё 256.

Уровень 2. Простые показательные уравнения. Распознаём степени! Отрицательные и дробные показатели.

На этом уровне мы уже используем наши знания о степенях на полную катушку. А именно – вовлекаем в сей увлекательный процесс отрицательные и дробные показатели! Да-да! Нам же надо наращивать мощь, верно?

Например, такое страшное уравнение:

Опять первый взгляд – на основания. Основания – разные! Причём на этот раз даже отдалённо не похожие друг на друга! 5 и 0,04… А для ликвидации оснований нужны одинаковые… Что же делать?

Ничего страшного! На самом деле всё то же самое, просто связь между пятёркой и 0,04 визуально просматривается плохо. Как выкрутимся? А перейдём-ка в числе 0,04 к обычной дроби! А там, глядишь, всё и образуется.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Ух ты! Оказывается, 0,04 – это 1/25! Ну кто бы мог подумать!)

Ну как? Теперь связь между числами 5 и 1/25 легче углядеть? Вот то-то и оно…

А теперь уже по правилам действий со степенями с отрицательным показателем можно твёрдой рукой записать:

Вот и отлично. Вот мы и добрались до одинакового основания – пятёрки. Заменяем теперь в уравнении неудобное нам число 0,04 на 5 -2 и получаем:

Опять же, по правилам действий со степенями, теперь можно записать:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

На всякий случай, напоминаю (вдруг, кто не в курсе), что базовые правила действий со степенями справедливы для любых показателей! В том числе и для отрицательных.) Так что смело берём и перемножаем показатели (-2) и (х-1) по соответствующему правилу. Наше уравнение становится всё лучше и лучше:

Всё! Кроме одиноких пятёрок в степенях слева и справа больше ничего нет. Уравнение сведено к каноническому виду. А дальше – по накатанной колее. Убираем пятёрки и приравниваем показатели:

x 2 –6 x +5=-2(x -1)

Пример практически решён. Осталась элементарная математика средних классов – раскрываем (правильно!) скобки и собираем всё слева:

x 2 –6 x +5 = -2 x +2

x 2 –4 x +3 = 0

Решаем это и получаем два корня:

x 1 = 1; x 2 = 3

Вот и всё.)

А теперь снова поразмышляем. В данном примере нам вновь пришлось распознать одно и то же число в разной степени! А именно - увидеть в числе 0,04 зашифрованную пятёрку. Причём на этот раз – в отрицательной степени! Как же нам это удалось? С ходу – никак. А вот после перехода от десятичной дроби 0,04 к обыкновенной дроби 1/25 всё и высветилось! И дальше всё решение пошло как по маслу.)

Поэтому очередной зелёный практический совет.

Если в показательном уравнении присутствуют десятичные дроби, то переходим от десятичных дробей к обыкновенным. В обыкновенных дробях гораздо проще распознать степени многих популярных чисел! После распознавания переходим от дробей к степеням с отрицательными показателями.

Имейте в виду, что такой финт в показательных уравнениях встречается очень и очень часто! А человек не в теме. Смотрит он, например, на числа 32 и 0,125 и огорчается. Неведомо ему, что это одна и та же двойка, только в разных степенях… Но вы-то ведь уже в теме!)

Решить уравнение:

Во! На вид – тихий ужас… Однако внешность обманчива. Это простейшее показательное уравнение, несмотря на его устрашающий внешний вид. И сейчас я вам это покажу.)

Во-первых, разбираемся со всеми чиселками, сидящими в основаниях и в коэффициентах. Они, ясное дело, разные, да. Но мы всё же рискнём и попробуем сделать их одинаковыми ! Попробуем добраться до одного и того же числа в разных степенях . Причём, желательно, числа самого возможно малого. Итак, начинаем расшифровку!

Ну, с четвёркой сразу всё ясно – это 2 2 . Так, уже кое-что.)

С дробью 0,25 – пока непонятно. Проверять надо. Используем практический совет – переходим от десятичной дроби к обыкновенной:

0,25 = 25/100 = 1/4

Уже гораздо лучше. Ибо теперь уже отчётливо видно, что 1/4 – это 2 -2 . Отлично, и число 0,25 тоже сроднили с двойкой.)

Пока всё идёт хорошо. Но осталось самое нехорошее число из всех – корень квадратный из двух! А с этим перцем что делать? Можно ли его тоже представить как степень двойки? А кто ж его знает…

Что ж, снова лезем в нашу сокровищницу знаний о степенях! На этот раз дополнительно подключаем наши знания о корнях . Из курса 9-го класса мы с вами должны были вынести, что любой корень, при желании, всегда можно превратить в степень с дробным показателем.

Вот так:

В нашем случае:

Во как! Оказывается, корень квадратный из двух – это 2 1/2 . Вот оно что!

Вот и прекрасно! Все наши неудобные числа на самом деле оказались зашифрованной двойкой.) Не спорю, где-то весьма изощрённо зашифрованной. Но и мы ведь тоже повышаем свой профессионализм в разгадке подобных шифров! А дальше уже всё очевидно. Заменяем в нашем уравнении числа 4, 0,25 и корень из двух на степени двойки:

Всё! Основания всех степеней в примере стали одинаковыми – двойка. А теперь в ход идут стандартные действия со степенями:

a m · a n = a m + n

a m:a n = a m-n

(a m) n = a mn

Для левой части получится:

2 -2 ·(2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

Для правой части будет:

И теперь наше злое уравнение стало выглядеть вот так:

Кто не врубился, как именно получилось это уравнение, то тут вопрос не к показательным уравнениям. Вопрос – к действиям со степенями. Я же просил срочно повторить тем, у кого проблемы!

Вот и финишная прямая! Получен канонический вид показательного уравнения! Ну как? Убедил я вас, что не всё так страшно? ;) Убираем двойки и приравниваем показатели:

Осталось всего лишь решить это линейное уравнение. Как? С помощью тождественных преобразований, вестимо.) Дорешайте, чего уж там! Умножайте обе части на двойку (чтобы убрать дробь 3/2), переносите слагаемые с иксами влево, без иксов вправо, приводите подобные, считайте – и будет вам счастье!

Должно всё получиться красиво:

X = 4

А теперь снова осмысливаем ход решения. В данном примере нас выручил переход от квадратного корня к степени с показателем 1/2 . Причём только такое хитрое преобразование нам помогло везде выйти на одинаковое основание (двойку), которое и спасло положение! И, если бы не оно, то мы бы имели все шансы навсегда зависнуть и так и не справиться с этим примером, да…

Поэтому не пренебрегаем очередным практическим советом:

Если в показательном уравнении присутствуют корни, то переходим от корней к степеням с дробными показателями. Очень часто только такое преобразование и проясняет дальнейшую ситуацию.

Конечно же, отрицательные да дробные степени уже гораздо сложнее натуральных степеней. Хотя бы с точки зрения визуального восприятия и, особенно, распознавания справа налево!

Понятно, что напрямую возвести, например, двойку в степень -3 или же четвёрку в степень -3/2 не такая уж и большая проблема. Для знающих.)

А вот поди, например, с ходу сообрази, что

0,125 = 2 -3

Или

Тут только практика и богатый опыт рулят, да. И, конечно же, чёткое представление, что такое отрицательная и дробная степень. А также – практические советы! Да-да, те самые зелёные .) Надеюсь, что они всё-таки помогут вам лучше ориентироваться во всём разношёрстном многообразии степеней и значительно увеличат ваши шансы на успех! Так что не пренебрегаем ими. Я не зря зелёным цветом пишу иногда.)

Зато, если вы станете на «ты» даже с такими экзотическими степенями, как отрицательные и дробные, то ваши возможности в решении показательных уравнений колоссально расширятся, и вам уже будет по плечу практически любой тип показательных уравнений. Ну, если не любой, то процентов 80 всех показательных уравнений – уж точно! Да-да, я не шучу!

Итак, наша первая часть знакомства с показательными уравнениями подошла к своему логическому завершению. И, в качестве промежуточной тренировки, я традиционно предлагаю немного порешать самостоятельно.)

Задание 1.

Чтобы мои слова о расшифровке отрицательных и дробных степеней не пропали даром, предлагаю сыграть в небольшую игру!

Представьте в виде степени двойки числа:

Ответы (в беспорядке):

Получилось? Отлично! Тогда делаем боевое задание – решаем простейшие и простые показательные уравнения!

Задание 2.

Решить уравнения (все ответы – в беспорядке!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16 x+3 = 0

Ответы:

x = 16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

Получилось? Действительно, уж куда проще-то!

Тогда решаем следующую партию:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x ·4 x -4

35 1-x = 0,2 - x ·7 x

Ответы:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

И эти примеры одной левой? Отлично! Вы растёте! Тогда вот вам на закуску ещё примерчики:

Ответы:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

И это решено? Что ж, респект! Снимаю шляпу.) Значит, урок прошёл не напрасно, и начальный уровень решения показательных уравнений можно считать успешно освоенным. Впереди – следующие уровни и более сложные уравнения! И новые приёмы и подходы. И нестандартные примеры. И новые сюрпризы.) Всё это – в следующем уроке!

Что-то не получилось? Значит, скорее всего, проблемы в . Или в . Или в том и другом сразу. Тут уж я бессилен. Могу в очередной раз предложить лишь одно – не лениться и прогуляться по ссылочкам.)

Продолжение следует.)

Сегодня мы будем заниматься показательными уравнениями.

Как элементарными, так и такими, которые обычно дают на ЕГЭ «на засыпку».

Прямо с прошлых вариантов ЕГЭ.

Впрочем после прочтения этой статьи все они станут для тебя элементарными.

Почему?

Потому что ты сможешь проследить шаг за шагом как я думаю, когда я их решаю и научиться думать так же как и я.

Поехали!

Что такое показательные уравнения

Если ты забыл следующие темы, то для получения наилучшего результата, пожалуйста, повтори:

Свойства и
Решение и уравнений

Повторил? Замечательно!

Тогда тебе не составит труда заметить, что корнем уравнения является число.

Ты точно понял, как я это сделал? Правда? Тогда продолжаем.

Теперь ответь мне на вопрос, чему равно в третьей степени? Ты абсолютно прав: .

А восьмерка - это какая степень двойки? Правильно - третья! Потому что.

Ну вот, теперь давай попробуем решить следующую задачку: Пусть я раз умножаю само на себя число и получаю в результате.

Спрашивается, сколько раз я умножил само на себя? Ты, конечно, можешь проверить это непосредственно:

\begin{align} & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end{align}

Тогда ты можешь сделать вывод, что само на себя я умножал раза.

Как еще это можно проверить?

А вот как: непосредственно по определению степени: .

Но, согласись, если бы я спрашивал, сколько раз два нужно умножить само на себя, чтобы получить, скажем, ты бы сказал мне: я не буду морочить себе голову и умножать само на себя до посинения.

И был бы абсолютно прав. Потому как ты можешь записать все действия кратко (а краткость - сестра таланта)

где - это и есть те самые «разы» , когда ты умножаешь само на себя.

Я думаю, что ты знаешь (а если не знаешь, срочно, очень срочно повторяй степени!), что, тогда моя задачка запишется в виде:

Откуда ты можешь сделать вполне оправданный вывод, что:

Вот так вот незаметно я записал простейшее показательное уравнение:

И даже нашел его корень . Тебе не кажется, что все совсем тривиально? Вот и я думаю именно так же.

Вот тебе еще один пример:

Но что же делать?

Ведь нельзя записать в виде степени (разумной) числа.

Давай не будем отчаиваться и заметим, что оба этих числа прекрасно выражаются через степень одного и того же числа.

Тогда исходное уравнение преобразуется к виду:

Откуда, как ты уже понял, .

Давай более не будем тянуть и запишем определение :

В нашем с тобой случае: .

Решаются эти уравнения сведением их к виду:

c последующим решением уравнения

Мы, собственно, в предыдущем примере это и делали: у нас получилось, что. И мы решали с тобой простейшее уравнение.

Вроде бы ничего сложного, правда? Давай вначале потренируемся на самых простых примерах:

Мы опять видим, что правую и левую часть уравнения нужно представить в виде степени одного числа.

Правда слева это уже сделано, а вот справа стоит число.

Но, ничего страшного, ведь, и мое уравнение чудесным образом преобразится вот в такое:

Чем мне пришлось здесь воспользоваться? Каким правилом?

Правило «степени в степени» , которое гласит:

А что если:

Прежде чем ответить на этот вопрос, давай мы с тобой заполним вот такую табличку:

Нам не представляет труда заметить, что чем меньше, тем меньше значение, но тем не менее, все эти значения больше нуля.

И ТАК БУДЕТ ВСЕГДА!!!

Это же свойство справедливо ДЛЯ ЛЮБОГО ОСНОВАНИЯ С ЛЮБЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ!! (для любых и).

Тогда какой мы можем сделать вывод об уравнении?

А вот какой: оно корней не имеет ! Как не имеет корней и любое уравнение.

Теперь давай потренируемся и порешаем простые примерчики:

Давай сверяться:

1. Здесь от тебя ничего не потребуется, кроме знания свойств степеней (которые, кстати, я просил тебя повторить!)

Как правило, все приводят к наименьшему основанию: , .

Тогда исходное уравнение будет равносильно следующему:

Все, что мне нужно - это воспользоваться свойствами степеней:

При умножении чисел с одинаковыми основаниями степени складываются, а при делении - вычитаются.

Тогда я получу:

Ну а теперь со спокойной совестью перейду от показательного уравнения к линейному: \begin{align}
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
& x=0. \\
\end{align}

2. Во втором примере надо быть внимательнее: беда вся в том, что в левой части у нас ну никак не получится представить и в виде степени одного и того же числа.

В таком случае иногда полезно представлять числа в виде произведения степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями:

Левая часть уравнения примет вид:

Что же нам это дало?

А вот что: Числа с разными основаниями, но одинаковыми показателями можно перемножать. При этом основания перемножаются, а показатель не меняется:

Применительно к моей ситуации это даст:

\begin{align}
& 4\cdot {{64}^{x}}{{25}^{x}}=6400, \\
& 4\cdot {{(64\cdot 25)}^{x}}=6400, \\
& {{1600}^{x}}=\frac{6400}{4}, \\
& {{1600}^{x}}=1600, \\
& x=1. \\
\end{align}

Неплохо, правда?

3. Я не люблю, когда у меня без особой нужды с одной стороны уравнения стоят два слагаемых, а с другой - ни одного (иногда, конечно, это оправданно, но сейчас не такой случай).

Перенесу слагаемое с минусом вправо:

Теперь, как и раньше, запишу все через степени тройки:

Сложу степени слева и получу равносильное уравнение

Ты без труда найдешь его корень:

4. Как и в примере три, слагаемому с минусом - место в правой части!

Слева у меня почти что все хорошо, кроме чего?

Да, мне мешает «неправильная степень» у двойки. Но я могу без труда это исправить, записав: .

Эврика - слева все основания разные, но все степени - одинаковые! Срочно перемножаем!

Тут опять-таки все ясно: (если ты не понял, каким волшебным образом я получил последнее равенство, оторвись на минуту, передохни и прочитай свойства степени еще раз очень внимательно.

Кто говорил, что можно пропускать степень с отрицательным показателем? Ну вот и я о том же, что никто). Теперь я получу:

\begin{align}
& {{2}^{4\left({x} -9 \right)}}={{2}^{-1}} \\
& 4({x} -9)=-1 \\
& x=\frac{35}{4}. \\
\end{align}

Еще показательные уравнения для тренировки

Вот тебе задачки для тренировки, к которым я лишь приведу ответы (но в «перемешанном» виде). Порешай их, сверься, и мы с тобой продолжим наши изыскания!

Готов? Ответы вот такие:

любое число

Ну ладно, ладно, я пошутил! Вот вам наброски решений (некоторые - весьма краткие!)

Тебе не кажется неслучайным, что одна дробь слева - это «перевернутая» другая? Грех будет этим не воспользоваться:

Это правило очень часто используется при решении показательных уравнений, запомни его хорошенько!

Тогда исходное уравнение станет вот таким:

Решив это квадратное уравнение, ты получишь вот такие корни:

2. Еще один прием решения: деление обеих частей уравнения на выражение, стоящее слева (или справа).

Разделю на то, что справа, тогда получу:

Откуда (почему?!)

3. даже не хочу повторятся, настолько все уже «разжевано».

4. равносильно квадратному уравнению, корни

5. Нужно воспользоваться формулой, приведенной в первой задаче, тогда получишь, что:

Уравнение превратилось в тривиальное тождество, которое верно при любом. Тогда ответ - это любое действительное число.

Ну что же, вот ты и потренировался решать простейшие показательные уравнения.

Примеры из жизни по решению показательных уравнений

Теперь я хочу тебе привести несколько жизненных примеров, которые помогут тебе понять, а для чего они нужны в принципе.

Пример 1 (меркантильный)

Пусть у тебя есть рублей, а тебе хочется превратить его в рублей.

Банк предлагает тебе взять у тебя эти деньги под годовых с ежемесячной капитализацией процентов (ежемесячным начислением).

Спрашивается, на сколько месяцев нужно открыть вклад, чтобы набрать нужную конечную сумму?

Вполне приземленная задача, не так ли?

Тем не менее ее решение связано с построением соответствующего показательного уравнения: Пусть - начальная сумма, - конечная сумма, - процентная ставка за период, - количество периодов.

В нашем случае (если ставка годовых, то за месяц начисляют).

А почему делится на? Если не знаешь ответ на этот вопрос, вспоминай тему « »!

Тогда мы получим вот такое уравнение:

Данное показательное уравнение уже можно решить только при помощи калькулятора (его внешний вид на это намекает, причем для этого требуется знание логарифмов, с которыми мы познакомимся чуть позже), что я и сделаю: …

Таким образом, для получения млн. нам потребуется сделать вклад на месяц (не очень быстро, не правда ли?).

Пример 2 (регулярно попадается на ЕГЭ!! - задача взята из «реального» варианта)

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону, где (мг) — начальная масса изотопа, (мин.) — время, прошедшее от начального момента, (мин.) — период полураспада.

В начальный момент времени масса изотопа мг. Период его полураспада мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна мг?

Ничего страшного: просто берем и подставляем все данные в предложенную нам формулу:

Разделим обе части на, «в надежде», что слева мы получим что-нибудь удобоваримое:

Ну что же, нам очень повезло! Слева стоит, тогда перейдем к равносильному уравнению:

Откуда мин.

Как видишь, показательные уравнения имеют вполне реальное приложение на практике.

Теперь я хочу разобрать с тобой еще один (нехитрый) способ...

Решение показательных уравнений, основанное на вынесении общего множителя за скобки с последующей группировкой слагаемых.

Не пугайся моих слов, ты уже сталкивался с этим методом в 7 классе, когда изучал многочлены. Например, если тебе требовалось :

Давай сгруппируем: первое и третье слагаемое, а также второе и четвертое.

Ясно, что первое и третье - это разность квадратов:

а второе и четвертое имеют общий множитель тройку:

Тогда исходное выражение равносильно такому:

Откуда вынести общий множитель уже не представляет труда:

Следовательно,

Вот примерно таким образом мы и будем поступать при решении показательных уравнений: искать «общность» среди слагаемых и выносить ее за скобки, ну а потом - будь что будет, я верю, что нам будет везти =))

Пример №1

Справа стоит далеко не степень семерки (я проверял!) Да и слева - немногим лучше, можно, конечно, «оттяпать» от первого слагаемого множитель а от второго, а затем уже разбираться с полученным, но давай с тобой поступим благоразумнее.

Я не хочу иметь дело с дробями, которые неизбежно образуются при «выделении» , так не лучше ли мне вынести?

Тогда дробей у меня не будет: как говорится, и волки сыты и овцы целы:

Посчитай выражение в скобках. Волшебным, магическим образом получается, что (удивительно, хотя чего нам еще ждать?).

Тогда сократим обе части уравнения на этот множитель. Получим: , откуда.

Вот пример посложнее (совсем немного, правда):

Вот беда-то! У нас здесь нет одного общего основания! Не совсем ясно, что же теперь делать. А давай сделаем, что сможем: во-первых перенесем «четверки» в одну сторону, а «пятерки» в другую:

Теперь давай вынесем «общее» слева и справа:

Ну и что теперь? В чем выгода от такой бестолковой группировки? На первый взгляд она совсем не видна, однако давай глянем глубже:

Ну а теперь сделаем так, чтобы слева у нас было только выражение с, а справа - все остальное. Как нам это сделать? А вот как: Разделить обе части уравнения сначала на (так мы избавимся от степени справа), а затем разделим обе части на (так мы избавимся от числового множителя слева). Окончательно получим:

Невероятно! Cлева у нас стоит выражение, а справа - просто.

Тогда тут же делаем вывод, что

Пример №2

Я приведу его краткое решение (не особо утруждая себя пояснениями), постарайся сам разобраться во всех «тонкостях» решения.

Теперь итоговое закрепление пройденного материала. Постарайся самостоятельно решить следующие задачи.

Вынесем общий множитель за скобки: Откуда
Первое выражение представим в виде: , разделим обе части на и получим, что
, тогда исходное уравнение преобразуется к виду: Ну а теперь подсказка - ищи, где мы с тобой уже решали это уравнение!
Представь как, как, а, ну а затем подели обе части на, так ты получишь простейшее показательное уравнение.
Вынеси за скобки.
Вынеси за скобки.

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Я предполагаю, что после ознакомления с первой статьей, в которой рассказывалось что такое показательные уравнения и как их решать , ты овладел необходимым минимумом знаний, необходимых для решения простейших примеров.

Теперь я разберу еще один метод решения показательных уравнений, это...

Метод введения новой переменной (или замены)

Им решается большинство «трудных» задач, на тему показательные уравнения (и не только уравнения).

Этот способ - один из наиболее часто употребляемых на практике. Сперва рекомендую ознакомиться с темой .

Как ты уже понял из названия, суть этого метода - ввести такую замену переменной, что твое показательное уравнение чудесным образом преобразится в такое, которое ты уже с легкостью можешь решить.

Все что тебе останется после решения этого самого «упрощенного уравнения» - это сделать «обратную замену»: то есть вернуться от замененного к заменяемому.

Давай проиллюстрируем только что сказанное на очень простом примере:

Пример 1. Метод простой замены

Это уравнение решается при помощи «простой замены» , как ее пренебрежительно называют математики.

В самом деле, замена здесь - самая очевидная. Стоит лишь увидеть, что

Тогда исходное уравнение превратится вот в такое:

Если же дополнительно представить как, то совершенно ясно, что надо заменять: конечно же, . Во что тогда превратится исходное уравнение? А вот во что:

Ты без проблем самостоятельно отыщешь его корни: .

Что нам делать теперь?

Пришло время возвращаться к исходной переменной.

А что я забыл указать? Именно: при замене некоторой степени на новую переменную (то есть при замене вида), меня будут интересовать только положительные корни!

Ты и сам без труда ответишь, почему.

Таким образом, нас с тобой не интересует, а вот второй корень нам вполне подходит:

Тогда, откуда.

Ответ:

Как видишь, в предыдущем примере, замена так и просилась к нам в руки. К сожалению, так бывает далеко не всегда.

Однако, давай не будем переходить сразу к грустному, а потренируемся еще на одном примере с достаточно простой заменой

Пример 2. Метод простой замены

Ясно, что скорее всего заменять придется (это наименьшая из степеней, входящая в наше уравнение).

Однако прежде чем вводить замену, наше уравнение нужно к ней «подготовить», а именно: , .

Тогда можно заменять, в результате я получу следующее выражение:

О ужас: кубическое уравнение с совершенно жуткими формулами его решения (ну если говорить в общем виде). Но давай не будем сразу отчаиваться, а подумаем, что нам делать.

Я предложу смошенничать: мы знаем, что для получения «красивого» ответа, нам нужно получить в виде некоторой степени тройки (с чего бы это, а?).

А давай попробуем угадать хотя бы один корень нашего уравнения (я начну гадать со степеней тройки).

Первое предположение. Не является корнем. Увы и ах…

.
Левая часть равна.
Правая часть: !

Есть! Угадали первый корень. Теперь дело пойдет легче!

Ты знаешь, про схему деления «уголком»? Конечно знаешь, ты применяешь ее, когда делишь одно число на другое. Но немногие знают, что то же самое можно делать и с многочленами.

Есть одна замечательная теорема:

Применимо к моей ситуации это говорит мне о том, что делится без остатка на.

Как же осуществляется деление? А вот как:

Я смотрю, на какой одночлен я должен домножить, чтобы получить Ясно, что на, тогда:

Вычитаю полученное выражение из, получу:

Теперь, на что мне нужно домножить, чтобы получить? Ясно, что на, тогда получу:

и опять вычту полученное выражение из оставшегося:

Ну и последний шаг, домножу на, и вычту из оставшегося выражения:

Ура, деление окончено! Что мы накопили в частном? Само собой: .

Тогда получили вот такое разложение исходного многочлена:

Решим второе уравнение:

Оно имеет корни:

Тогда исходное уравнение:

имеет три корня:

Последний корень мы, конечно, отбросим, поскольку он меньше нуля. А первые два после обратной замены дадут нам два корня:

Ответ: ..

Этим примером я отнюдь не хотел напугать тебя!

Скорее наоборот, я ставил своей целью показать, что хоть у нас была довольно простая замена, тем не менее она привела к довольно сложному уравнению, решение которого потребовало от нас некоторых особых навыков.

Ну что же, от этого никто не застрахован. Зато замена в данном случае была довольно очевидной.

Пример №3 с менее очевидной заменой:

Совершенно не ясно, что нам делать: проблема в том, что в нашем уравнении два разных основания и одно основание не получается из другого возведением ни в какую (разумную, естественно) степень.

Однако, что мы видим?

Оба основания - отличаются только знаком, а их произведение - есть разность квадратов, равная единице:

Определение:

Таким образом, числа, являющиеся основаниями в нашем примере - сопряженные.

В таком случае разумным шагом будет домножить обе части уравнения на сопряженное число.

Например, на, тогда левая часть уравнения станет равна, а правая. Если сделать замену, то наше с тобой исходное уравнение станет вот таким:

его корни, тогда, а помня, что, получим, что.

Ответ: , .

Как правило, метода замены оказывается достаточно, для решения большинства «школьных» показательных уравнений.

Следующие задачи повышенного уровня сложности взяты из вариантов ЕГЭ.

Задачи повышенной сложности из вариантов ЕГЭ

Ты уже достаточно грамотный для того, чтобы самостоятельно решать данные примеры. Я лишь приведу требуемую замену.

Решите уравнение:
Найдите корни уравнения:
Решите уравнение: . Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку:

А теперь краткие пояснения и ответы:

Уравнение №1.

Здесь нам достаточно заметить, что и.

Тогда исходное уравнение будет эквивалентно вот такому:

Данное уравнение решается заменой

Дальнейшие выкладки проделай самостоятельно. В конце твоя задача сведется к решению простейших тригонометрических (зависящих от синуса или косинуса). Решение подобных примеров мы разберем в других разделах.

Уравнение №2.

Здесь даже можно обойтись без замены: достаточно перенести вычитаемое вправо и представить оба основания через степени двойки: , а затем сразу перейти к квадратному уравнению.

Уравнение №3

Тоже решается довольно стандартно: представим как.

Тогда заменив получим квадратное уравнение: тогда,

Ты ведь уже знаешь, что такое логарифм? Нет? Тогда срочно читай тему !

Первый корень, очевидно, не принадлежит отрезку а второй - непонятно! Но мы это очень скоро узнаем! Так как, то (это свойство логарифма!) Сравним:

Вычтем из обеих частей, тогда получим:

Левую часть можно представить в виде:

домножим обе части на:

можно домножить на, тогда

Тогда сравним:

так как, то:

Тогда второй корень принадлежит искомому промежутку

Ответ:

Как видишь, отбор корней показательных уравнений требует достаточно глубокого знания свойств логарифмов , так что я советую тебе быть как можно внимательнее, когда решаешь показательные уравнения.

Как ты понимаешь, в математике все взаимосвязано! Как говорила моя учительница по математике: «математику, как историю, за ночь не прочитаешь».

Как правило, всю сложность при решении задач С1 составляет именно отбор корней уравнения.

Еще один пример для тренировки

Ясно, что само уравнение решается довольно просто. Сделав замену мы сведем наше исходное уравнение к следующему:

Вначале давай рассмотрим первый корень.

Сравним и: так как, то. (свойство логарифмической функции, при).

Тогда ясно, что и первый корень не принадлежит нашему промежутку.

Теперь второй корень: . Ясно, что (так как функция при - возрастающая).

Осталось сравнить и.

так как, то, в то же время.

Таким образом, я могу «вбить колышек» между и.

Этим колышком является число. Первое выражение меньше, а второе - больше.

Тогда второе выражение больше первого и корень принадлежит промежутку.

Ответ: .

В завершение давай рассмотрим еще один пример уравнения, где замена достаточно нестандартна

Пример уравнения с нестандартной заменой!

Давай сразу начнем с того, что делать можно, а что - в принципе можно, но лучше не делать.

Можно - представить все через степени тройки, двойки и шестерки. К чему это приведет?

Да ни к чему и не приведет: мешанина степеней, причем от некоторых будет довольно сложно избавиться.

А что же тогда нужно?

Давай заметим, что а

И что нам это даст? А то, что мы можем свести решение данного примера к решению достаточно простого показательного уравнения!

Вначале давай перепишем наше уравнение в виде:

Теперь разделим обе части получившегося уравнения на:

Эврика! Теперь можно заменять, получим:

Ну что, теперь твоя очередь решать задачки на показательные, а я приведу к ним лишь краткие комментарии, чтобы ты не сбился с верного пути! Удачи!

1. Самая трудная! Замену здесь усмотреть ох как негелко! Но тем не менее этот пример вполне решаем при помощи выделения полного квадрата . Для его решения достаточно заметить, что:

Тогда вот тебе и замена:

(Обрати внимание, что здесь при нашей замене мы не можем отбрасывать отрицательный корень!!! А почему, как ты думаешь?)

Теперь для решения примера тебе осталось решить два уравнения:

Оба они решаются «стандартной заменой» (зато второй в одном примере!)

2. Заметь, что и сделай замену.

3. Разложи число на взаимно-простые сомножители и упрости полученное выражение.

4. Подели числитель и знаменатель дроби на (или, если тебе так больше по душе) и сделай замену или.

5. Заметь, что числа и - сопряженные.

РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ЛОГАРИФМИРОВАНИЯ. ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ

В дополнение давай рассмотрим еще один способ - решение показательных уравнений методом логарифмирования .

Не могу сказать, что решение показательных уравнений этим методом очень уж популярно, однако в некоторых случаях только он способен привести нас к правильному решению нашего уравнения.

Особенно часто он используется для решения так называемых «смешанных уравнений »: то есть таких, где встречаются функции разного вида.

Например, уравнение вида:

в общем случае можно решить только логарифмированием обеих частей (например по основанию), при котором исходное уравнение превратится в следующее:

Давай рассмотрим следующий пример:

Ясно, что по ОДЗ логарифмической функции, нас интересуют только. Однако, это следует не только из ОДЗ логарифма, а еще по одной причине. Я думаю, что тебе не будет трудно угадать, по какой же именно.

Давай прологарифмируем обе части нашего уравнения по основанию:

Как видишь, логарифмирование нашего исходного уравнения достаточно быстро привело нас к правильному (и красивому!) ответу.

Давай потренируемся еще на одном примере:

Здесь тоже нет ничего страшного: прологарифмируем обе стороны уравнения по основанию, тогда получим:

Сделаем замену:

Однако, мы кое-что упустили! Ты заметил, где я сделал промах? Ведь тогда:

что не удовлетворяет требованию (подумай откуда оно взялось!)

Ответ:

Попробуй самостоятельно записать решение показательных уравнений приведенных ниже:

А теперь сверь свое решение с этим:

1. Логарифмируем обе части по основанию, учитывая, что:

(второй корень нам не подходит ввиду замены)

2. Логарифмируем по основанию:

Преобразуем полученное выражение к следующему виду:

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Показательное уравнение

Уравнение вида:

называется простейшим показательным уравнением.

Свойства степеней

Подходы к решению

Приведение к одинаковому основанию
Приведение к одинаковому показателю степени
Замена переменной
Упрощение выражения и применение одного из вышеназванных.

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике,

А также получить доступ к учебнику YouClever без ограничений...

На данном уроке мы рассмотрим решение более сложных показательных уравнений, вспомним основные теоретические положения касательно показательной функции.

1. Определение и свойства показательной функции, методика решения простейших показательных уравнений

Напомним определение и основные свойства показательной функции. Именно на свойствах базируется решение всех показательных уравнений и неравенств.

Показательная функция - это функция вида , где основание степени и Здесь х - независимая переменная, аргумент; у - зависимая переменная, функция.

Рис. 1. График показательной функции

На графике показаны возрастающая и убывающая экспоненты, иллюстрирующие показательную функцию при основании большем единицы и меньшем единицы, но большим нуля соответственно.

Обе кривые проходят через точку (0;1)

Свойства показательной функции :

Область определения: ;

Область значений: ;

Функция монотонна, при возрастает, при убывает.

Монотонная функция принимает каждое свое значение при единственном значении аргумента.

При когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция возрастает от нуля не включительно до плюс бесконечности. При наоборот, когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция убывает от бесконечности до нуля не включительно.

2. Решение типовых показательных уравнений

Напомним, как решать простейшие показательные уравнения. Их решение основано на монотонности показательной функции. К таким уравнениям сводятся практически все сложные показательные уравнения.

Равенство показателей степени при равных основаниях обусловлено свойством показательной функции, а именно ее монотонностью.

Методика решения:

Уравнять основания степеней;

Приравнять показатели степеней.

Перейдем к рассмотрению более сложных показательных уравнений, наша цель - свести каждое из них к простейшему.

Освободимся от корня в левой части и приведем степени к одинаковому основанию:

Для того чтобы свести сложное показательное уравнение к простейшим, часто используется замена переменных.

Воспользуемся свойством степени:

Вводим замену. Пусть , тогда

Умножим полученное уравнение на два и перенесем все слагаемые в левую часть:

Первый корень не удовлетворяет промежутку значений у, отбрасываем его. Получаем:

Приведем степени к одинаковому показателю:

Вводим замену:

Пусть , тогда . При такой замене очевидно, что у принимает строго положительные значения. Получаем:

Решать подобные квадратные уравнения мы умеем, выпишем ответ:

Чтобы удостовериться в правильности нахождения корней, можно выполнить проверку по теореме Виета, т. е. найти сумму корней и их произведение и сверить с соответствующими коэффициентами уравнения.

Получаем:

3. Методика решения однородных показательных уравнений второй степени

Изучим следующий важный тип показательных уравнений:

Уравнения такого типа называют однородными второй степени относительно функций f и g. В левой его части стоит квадратный трехчлен относительно f с параметром g или квадратный трехчлен относительно g с параметром f.

Методика решения:

Данное уравнение можно решать как квадратное, но легче поступить по-другому. Следует рассмотреть два случая:

В первом случае получаем

Во втором случае имеем право разделить на старшую степень и получаем:

Следует ввести замену переменных , получим квадратное уравнение относительно у:

Обратим внимание, что функции f и g могут быть любыми, но нас интересует тот случай, когда это показательные функции.

4. Примеры решения однородных уравнений

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

Поскольку показательные функции приобретают строго положительные значения, имеем право сразу делить уравнение на , не рассматривая случай, когда :

Получаем:

Вводим замену: (согласно свойствам показательной функции)

Получили квадратное уравнение:

Определяем корни по теореме Виета:

Первый корень не удовлетворяет промежутку значений у, отбрасываем его, получаем:

Воспользуемся свойствами степени и приведем все степени к простым основаниям:

Несложно заметить функции f и g:

На канал на youtube нашего сайта сайт, чтобы быть в курсе всех новых видео уроков.

Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.

Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n /a m = a n — m

Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.

Примеры показательных уравнений:

В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.

Приведем еще примеры показательных уравнений.
2 x *5=10
16 x — 4 x — 6=0

Теперь разберем как решаются показательные уравнения?

Возьмем простое уравнение:

2 х = 2 3

Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:

2 х = 2 3
х = 3

Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.

Теперь подведем итоги нашего решения.

Алгоритм решения показательного уравнения:
1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.

Теперь прорешаем несколько примеров:

Начнем с простого.

Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.

x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2

В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.

3 3х — 9 х+8 = 0

Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:

Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3 2 . Воспользуемся формулой степеней (a n) m = a nm .

3 3х = (3 2) х+8

Получим 9 х+8 =(3 2) х+8 =3 2х+16

3 3х = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.

3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.

Смотрим следующий пример:

2 2х+4 — 10 4 х = 2 4

В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (a n) m = a nm .

4 х = (2 2) х = 2 2х

И еще используем одну формулу a n a m = a n + m:

2 2х+4 = 2 2х 2 4

Добавляем в уравнение:

2 2х 2 4 — 10 2 2х = 24

Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2 2х,вот и ответ — 2 2х мы можем вынести за скобки:

2 2х (2 4 — 10) = 24

Посчитаем выражение в скобках:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Все уравнение делим на 6:

Представим 4=2 2:

2 2х = 2 2 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.

Решим уравнение:

9 х – 12*3 х +27= 0

Преобразуем:
9 х = (3 2) х = 3 2х

Получаем уравнение:
3 2х — 12 3 х +27 = 0

Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены . Число с наименьшей степенью заменяем:

Тогда 3 2х = (3 х) 2 = t 2

Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:

t 2 — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t 1 = 9
t 2 = 3

Возвращаемся к переменной x .

Берем t 1:
t 1 = 9 = 3 х

Стало быть,

3 х = 9
3 х = 3 2
х 1 = 2

Один корень нашли. Ищем второй, из t 2:
t 2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х 2 = 1
Ответ: х 1 = 2; х 2 = 1.

На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.

Вступайте в группу

Так называются уравнения вида, где неизвестное находится и в показателе и в основании степени.

Можно указать совершенно четкий алгоритм решения уравнении вида. Для этого надо обратить внимание на то, что при а(х) не равном нулю, единице и минус единице равенство степеней с одинаковыми основаниями (будь-то положительными или отрицательными) возможно лишь при условии равенства показателей То - есть все корни уравнения будут корнями уравнения f(x) = g(x) Обратное же утверждение неверно, при а(х) < 0 и дробных значениях f(x) и g(x) выражения а(х) f(x) и

а(х) g(x) теряют смысл. То - есть при переходе от к f(x) = g(x) (при и могут появиться посторонние корни, которые нужно исключить проверкой по исходному уравнению. А случаи а = 0, а = 1, а =-1 надо рассмотреть отдельно.

Итак, для полного решения уравнения рассматриваем случаи:

а(х) = О f(x) и g{x) будут положительными числами, то это решение. В противном случае, нет

а(х) = 1 . Корни этого уравнения являются корнями и исходного уравнения.

а(х) = -1 . Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению, f(x) и g(x) являются целыми числами одинаковой четности (либо оба четные, либо оба нечетные) , то это решение. В противном случае, нет

При и решаем уравнение f(x)= g(x) и подстановкой полученных результатов в исходное уравнение отсекаем посторонние корни.

Примеры решения показательно-степенных уравнений.

Пример №1.

1) x - 3 = 0, x = 3. т.к. 3 > 0, и 3 2 > 0, то x 1 = 3 - это решение.

2) x - 3 = 1, x 2 = 4.

3) x - 3 = -1, x = 2. Оба показателя четные. Это решение x 3 = 1.

4) x - 3 ? 0 и x ? ± 1. x = x 2 , x = 0 или x = 1. При x = 0, (-3) 0 = (-3) 0 -верно это решение x 4 = 0. При x = 1, (-2) 1 = (-2) 1 - верно это решение x 5 = 1.

Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.

Пример №2.

По определению арифметического квадратного корня: x - 1 ? 0, x ? 1.

1) x - 1 = 0 или x = 1, = 0, 0 0 это не решение.

2) x - 1 = 1 x 1 = 2.

3) x - 1 = -1 x 2 = 0 не подходит в ОДЗ.

Д = (-2) - 4*1*5 = 4 - 20 = -16 - корней нет.